Оптимальное ограниченное управление сингулярно возмущенными системами с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Капустян, Владимир Емельянович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Кі^врщ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ш. ТАРАСА ШЕВЧЕНКО
Б 04
7 3 Мац щ
На правах рукогп:;/ Капустин Владшчір йюдьяковіїч
уда 1)17.9:519.3
ОПТИМАЛЬНОЕ ОГРАНИЧЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗЭДЗШй! СИСТЕМАМИ О РАСПИШЕННУШ ПАРАМЕТР/ЯІ
01.01.09 - математическая кибвшетана
Автореферат дассотавди на соискание ученой степені: доктора фаяияо-матєматичзских наук
Кис в - 193-1
Диссертация прадстангге? собой руксшеь
Рсбстй шаоляека на кафедра моделирования сложшіХ- систем Каепсксгр университета и на кафедре прикладной математики Днвлроггатрсвского лнстигуга инженеров железнодорокного транспорта
На: інис консультанта: доктор физико-математических наук, .
процесор А.Г. Наконечный:
• доктор фі:здао-мате,\;зтических наук,
профессор А.И. Кторов
Официальные оппонента:
доктор фізіжо-матемаги-іескіх наук, профессор М.Г. Дмитриев,
доктор фїзвяо-математичесіш: наук, профессор B.C. Мельник,
доктор фязико-математических наук, профессор В.А. Шотникоь.
Еодувіая организация - Институт математики и механики У?о РАН, г.Екатеринбург.
оо
Защита состоится " 26 " мая 1994 г. в 14— часов на
заседания специализированного совета Д 068. 18. 16 при Киевском университете шлеші Тараса Шевченко < 252127, Киев, проспект
акгдвмика В.М. Глушісова, 6, Киевский университет, факультет кибернетики, оуд. 40).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета.
Автореферат разослан '20" апреля 1994 г.
Ученый секретарь специализированного совета
кавд. физ.-мат. наук А.В. Кузьмин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТІШ. Теория оптимального управления система?™ с распределогшнмз параметрами (СРП) активно развивалась в последние десятилетия ввиду своой технической актуальности и разнообразия математических вопросов, которые она затрагивает. Основы теории оптимального управления СРП Ошта заложены в работах С.А. Авдонина,
B.Барб», Н.А. Бобылева, Б.Н. Бублика. А.Г. Бутковского, Ф.П. Васильева, О.В. Васильва, А.И. Егорова, Ю.В. Егорова, V. N. Ермольева,
C.А. Иванова, Ж.-Л. Лионса, В.Г . Литвинова, К, А. Лурье, В.К. Максимова, B.C. Мэлыыха, а.Г. Наконечного, К).С. Осипова, В.й. Плотникова, У.Е. Райтума, М. Рахимова, С.Я. Серовайского, Т.К. Ся-разетдиновп. В.И. Сумина, В.А. Срочко, Л. Тартара, В.А. Якубовича, А.В. Фурсикова и других. Конкретя'те решения в оігг;г>:''"ьівіх задачах для СРП (кроме уникальных случаев) могут быть получены либо методами численного анализа , щбо приг. зданием асимптотических методов, если это возможно. Взкнш кок с позиций теории оптимального управления, так и приложений является класс управляемых объектов, опиг’ваемих краевыми задачами для уравнения с частными производными и малим параметром в главной часта дифференциального оператора (сингулярно возмущенные системы). Для конечномерных систем математический основы исследований сингулярно возмущенных оптимальных задач Сшш разработаны в работах Kokoto -vlca P.V. и М.Г. Дмитриева. В основном рассматривались задачи без ограничений на управления. Для сингулярно возмущенных СРП
концептуальной является раоота Ж.-Л. Лионса , в которой исследуются слабие ;,еиоіП!л сингулярно возмущенных: СРП, вариационных неравенств и задач оптимального управления. Получены результаты о предельном переходе к вырожденным решениям. Однако вопросы построения гладких асимптотических аппроксимаций решений зада1: оптимального управления для сингулярно возмущенных СРП с ограничениями остались открытыми. Оказывается, їто в таких задачах в случае локальных ограничений из управленая возникают внутренние переходные слои, которые призваны осуществить гладкий переход экстремалей из области предельного значения управления в область
'Lions J. L. Perturbations Slngulleres dans les Problemes aux Ll-mltes eten Controle Optimal.-lecture Notes In Math.1973,323, Springer.-645p.
упр»»**:-*:*}. гфгдодожацих внутренности ограничений. Крсмо іОі-и, оай иоеспоч5ла«т випсліенгв неравенств .услоэкй оптимавьности крі; указанном переходе. . Подобна» эффекты ьсзигкант при акэикотаческом анализе вариационных неравенств для ашпшгаескик
операторов с маті: параметром в главной части оператора . В ззчазамости от способа .вхоздэшш малого пврзмэтра в гласною часть даКйркци&льнзго оператора (йодное выроадонш оператора, Ч5ОТ1ГСа08.' Еироадеше Й т.д. * существенно мс-ияется способ поогроошя формальных асимптотических ревешЕй зедач оптимального узредвзия для соотвотствухвдх СРП. Как правило, .чаше параметр к-.оот физическое (геометрическое) содержание, а "аскмцтотический еизлкз налинейш систем, к котором относятся задачи упразлония ОРИ с «аяш параметром в главной части оператора и огроначезшвя гг. іпразлеике, позьоляет получить '• радения таких слотом с яроетаодькой осажис: днвской точностью. Указакшз решения имеют каіс сйхйзтоятэяьауа ценность, так и могут слуамть в качестве качгднгах прайпіЕжшій для алгоркткоз численного анализа.
ЦЗёЬ РЛЕСЇ». .Сассэртацая посвящена разработка катодов построения глздках асгмитстичбских ашрохсіаіоцкй равений задач оптхмалыюго ограниченного, управленая для различных классов сингулярно воэмудешшх. СРП. Поя этом значительное шси>' з р&бота уделяется построен»*} Сормалиш. асимптотик зкстуекахза и управления произсольно-го порядгч точности и «х обоснованию. В дагаамвческих. СРИ наряду с прсгрвимншйі управязншаи рассматриваются и вопросы асиыптотическо-го сїшгеза. Кроне того, оятьчашшв асимптотические конструкции си-стоп управления используются для подученда алгоритмовминимаксного аетмптотзчеекого оцсгшвеаая функционалов,:определенных на решениях СРП.
МЕТОДІ ИССЛЕДОВАНИЯ. 3 диссертации используются условии оптамаль-поста для СРП в фэрыа вариационных неравенств, катод динамического программирования, теория минимаксного оценивания, методы решения крзешх зедач математической фкзнхи, фушционэлышй анализ. Кроме того, в зависимости от рассматриваемой задача использовалась сле-
Назароа С.А. Асимптотическое решение вариационных неравенств для лшейного оператор© с шлым параметром при сгарких производных.-Язв. АН СССР. Серка сга.Тематіуіеская.І9^,т-54,К4,а.754-773.
дуетив. катода асимптотического анализа сингуляргго возму-даинкх СРП: метод псгранфункцкй, сраяявавшх и составных гсидогаптсесквх р5зло-
КбНКЙ.
ШЧНАЯ НСКЗЗПА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЕНАЧИМОСТЬ. 3 диссертации рэзргботз-яа методика решения задач оптимального огршзггенного упраз.пвгшя сингулярно возмущенными СРП и на этом пут я при нокотсрцх эграштсзгаях подучены следуадке ноеыо результаты: .
1. В классе гладких аппроксимаций получено полгаз асимптотическое решение линейно-хвадратачноЯ задачи оитшальиого управления для эллиптической краевой задачи как с локальными огрлтчежими на управ-ленив, так и с'глобальными..
2. Для б к л шейкой задачи оптимального упряапеаия'эллиптической системой и для-задачи оптимального управления эллиптической системой с кубической нелинейность» по состоянию ксстроош и обоснованы полные асимптотические реиония. При этом 01У гл'л асимптотаческол точ-аесгг: пголучеян при ашюлкенш некоторых неравенств, '’связнзбссзк” дслишо задачи. Для задача с кубической шлшюСеостмо ' проьодзн чнсленннй эксперимент, позволящай судить об офз&ктивностя ас;*_«/пто-тичзскнх ревенкв.
3. Дет задачи оптимального управления процессом переноса частиц з
плоской слое обосновано применение прямого метода асжлтстаческсго анализа, т. о. Тез использования условий оптимальности. Прг ,эгс<4 задача на каадоЯ итерации декошюзкруа тся .та три долее -проста? задач-/., решаемые' аналитически. Доказана релачсзцкснность всккггготкчос-ких итераций. ' ~
•4. Для порабоачёаяа сингулярно возмукенных ояткмалдая спота» излучены полннэ всимнтотйчвсккв разложения реаенгй, прячем, каг< два глобальнах, так и локальных ограниченна аз упрзвлвнш. Еста рн-роадэвтся весь доЗф&рвнт.зльшй. оператор, то результата блискц йя-лкпглческкм задача;.;. В случае Еыро.-здекия только прострзнстБвкноа части оператора построены к обоснованы асимптотика произвольней точности для глобальных ограничен*® на управление.. Если со ограничения на управление носят локальния характер, то для улравлэялч, зависящего только от времени. построено асимптотическое представле ние времени схода управления с ограничения до любого порядка точности, что позволяет обосновать наЦденшо асимптотики решений исходной задача. Для распределенного управления таков обоснование
получено до порядка 0(е ).
5. Построено полное решение задачи синтеза оптимального управления для параболической сингулярно возмущенной системы с управлением, зависящим только от времени.
6. Найдены асимптотики в задаче управления тепловым полем в тонких талах. Эта задача относится к критическому случаю и характеризуется тем, что вырожденная задача не совпадает с укороченной задачей. Для г^Сальныг ограничений на управление получены полные результа-
' ' ' ■ ' 9 . . • • ' ;
та, а для локальных - до порядка 0(е ).
7. Построены асимптотики минимаксных оценок функционалов для ряда стационарных и эволюционных. СРП, а для эллиптических краевых задач получены асимптотики решений в задачах оптимального наблюдения.
Все основные результаты диссертации носят конструктивний характер, асимтотическиа алгоритмы содержат задач::, которые часто имеют аналитические решения Предложенные в работе подхода могут слуїить основой исследований других задач оптимального управления сингулярно возмуценный® СРП с ограничениями.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах. Всесоюзных и мевдународных конференциях, в том числе.
1. Всесоюзной научной конференции "Метод функций А.Н. Ляпунова в современной математике" (Харьков, 1986);
2.Второй научно-технической конференции советских и польских молодых ученых, выпускников высших учебшх заведений СССР (Киев,1986);
3. Международном Совотско- Польском семинаре "Математические метода оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989);
4. III Всесоюзной школе "Понгрягинские чге ния:оптимальное управление,геометрия и анализ” (Кемерово, 1990);
5. VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах” (Свердловск, 1990);
6. Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1992);
1. Научно-технической конференции стран СНГ "Контроль и управление в технических системах" (Винница, '.992);
8. Международной математической конференции "Ляпуновскиэ чтения" (Харьков, 1992);
■ 0. (-Международном еейанаре ‘Негладкие в разрывные задачи управления
'...й.еттйязадет* (Челябинск,1933);
10. -'International workshop "Singular rolutlons and porti*rbatiort3 In control systems" (Pereslavl-Salessfcy.Russia,19S3>. it..МоггосударотсвняоЯ нзучной ксифзреящія "Динеантосюа системы: устойчивость, Яфавлекие, опийжзаіаія" (Минск,1933);
12. на секхнсрах:ковдри прикладной математики ЯМ"а, кафедр» кододірошіия'слотах систем КГ/, кафедры оптимального управления ОГУ, отдала обыкновенных ди№ронцкалышх уравнений института мате-матпаї Ш, отдола даКереидеальных уравнений УрО РАЙ. отдела К 360 института кибернетики Ш'/, исследовательского центра процессов улра-алешя института прогрдамгах систем РАД.
ПУБЛККАЦЯИ. Основні» результаты содержатся в 25 работах, список которых приводится в.конца автореферата. .
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четарзх глав,, списка литературы, вклтащого 165 узшшоззеий и приложения. ОСшЯ объем работа составляет 296 страниц.
. . СОДЕРЖАНКЕ ГАБОТи .
Ео вводе и л и отмечена актуальность • теки.исследования, рассмотрены осношшо направлення анализа проблемы асимтотнчвских решений задач оптимального управления сингулярно возмущенными СРП, приведены основныз катоды ю: исследования и дана аннотация всех глав диссертации. .
Г л а в а 1. содержат результаты по гладкой асгаятотаческоЗ аппроксимации рошений сингулярно возмущенных задач■оптимального управления эллштическим* системе..^ и•.системами переноса частиц. На управления накладываются как локальные, так к глобальные ограничения. Полученные алгоритмы на кладом ваге состоят из болев простых задач, часто решаемых аналитически. Вияснена структура асимптотических разлокений я получено их обоснование с произвольно? степенью точности.
Ь §1 исследуется линейно-;- квадратичная задача оптимального ограниченного управления сингулярно возмущенной эллиптической
. ■ . .. ■ ■ • ■ п . ■ ■ . *■*
краевой задачей. Пусть в области О с R с компактным замыканм П и гладкой (класса С®) (п-О-мерной границей аЯ состояние управляемой системы у(и) определяется как решение задачи Дирихле
-6 .4 у(и> *■ а(х) y(u) = Их) > u(x), (1)
' ' t- " . ' • '■ -y(u) e HJO) (следовательно,у(u).*0 на efl )f (2)
где ( 6 yri), В 6 U с 1г(0) (J-ззжшуто к шпуюю). А - опера-
тор Лапласа, О < е « 1, С» < а < а(х) « Le(0).
Требуется найтн и «а U: .
I(u) = inf { J l(y(v> - z(x)) + v v (x)Jdx }. (3)
v 6 и n ' . ■
ГД9 v - const > 0, z(x) <s
Тогда единственное оптимальное. упревлэниэ определяется из соотношений
Г -е Д y(u) + а<х) у(и) я f + и, х е О ; у(и)~0, х е<?0;
|-е Ь p(u) + а(х) p(u) = у(и) - 2{х), х е £1 ; р(и)=0, х Q;
' • а
/ (p(u) *■ v uHv - ujdx > 0 ¥ v с U; у , р с Й0{П>. (4)
^ а
Пусть .
IMv^U) < v < Сг(х) п. в. в П, < £г. £, е Ь^П) }. (5)
Локальность огранича: Ш (б> привода? к тому, что задаче (4) распадается т елэдуюдав задачи ■
х е а.
iefl.
-е д ;Чх) + 8(х) у(х) = f(x) + ijx), 1 ■ ' '
-е л р(х) + BU) р(х) * У(х) - 2(Х),
р(х) + v К%(\1 > 0 ;
' 2
-е Ь у(зс) + а(х) у(х)■» Их) + 6,(х),
(6)
{7}
т
-е Л р(х) + а(х) р(х) = у(х) - г(х)4
Р<1) + V е,(х) < О ;
* • 1 х € П9: г -е Д у(х> *■ а(х) у(х) +■ V р(х) = /<и|,
\ -е л р(х) + а(х) р(х) = у(х) - 2(х).
где О = ил, 41 п О = С, 1 *
1:1 ‘
Тогда оптимальное управление задается формулой ^(х), х « О,,
-I
-V р(х), х € Ц,, ух), х с Па.
ПРЩЮЛОЖЕНИЕ 1. Пусть {(X), 2(х), а(х) ^(х) с сГ^О) щ Найдем асимптотическую аппроксимацию областей П . С этой целью построим внешнее разложение решений задач (6)-(8) по целым степеням малого параметра шда
и(х) =
т
е
У(х) « Е є угі(х), р<х) = £ є р (х). (Ю)
4*0 іео * .
Тсгдз созгстії ■
{.'* >ї О: і, 00(і <- г> а <х>> * :'Ш > и(х)г(гП; (її)
О*.--» {х с Я: С,(х)(і ■*■ V 5 <х)і ч £<х) < а(х)г<х)}; (12)
п„о--Гі ^ <п.» . <13)
с точностна до некоторых окрестксстел штсокскмирунт соотсугстзє-нао облает Л.Пусть 7^,7 -гравздг снастей О ,0 .
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 2. Будем счі: гать» :гто гргшма 7^<7г. яиляютея (п--і)- меркк.їі зсккнутшії подааюгообразияыи класса С0 без край ц Для определенности пусть областе П(„,£\_ рзсполоаеш строго внутри
П и П ^ п Пг_=о. В окрестности Н ~ршшца еО шевнее раадоввнво (10) нэ удовлетворяет граничным условиям (2). Поэтому эго разложение ага-сдодует дополнить внутренним раз "ожениви '».ша гтагрзяичного слоя. С
этой целью введем в окрестности 2 координата (С,г), где £-расстояние
до гП вдоль внешней нормали ,3-локашшо координаты на поверхности
-1 ' ' Ї <50. Обозначая через ї =-є новую пэрвшшу», зашлем оператор -а Д 4 з к координатах (из) и расщзтм его в ряд по сто пенні* малого параметра
г гг сз <
-£й + а ~ -д / +а (3) +■ 2 £ (Г, (БД, а/ йЪ.ё/ ах) +
° ' (14)
-в < ^ > « ) > ч(ДІ) о а(0,з) / ас ), где ^-диффорэяциэлышё операторы не вшие второго порядка по пер;-
кенноЯ г и пэ БК28 первого порядка по переменной і; их коэффициента
гладко зависят от координат 5 на <?П и полиномиально от *;ао(в)-су-
кенке а(х) на ?0»
. Решения тала погражугэв ищем в виде рядов
у(ї,з) » 2 £І У,< і.з), р(г,8) = £ є р а.э), (15)
1=0 1 )=с. *
коэффициенты которых удовлетворяют задачам
г-д* у / 61 + а^Сэ) у. + V ‘р. *- Е (Ь. (эд, 9( йз.аґ Н) <
) о і 1 *»» "
-1 < 1с ) < к * . л
+(К!) а 8(0,в) / де ) у^^а.в),
■ і 2 «V 1 гч/ .'*.
-<) р./ + 8 (5) р - У, =-2 Ик(ЗЛ, б/ вз,в/ ди +
J 1 . к »*
«>г> <к> . г.,
+ (Ш (3 а(0,ь') / ее ) р^и.з), 1:6 (0,ю). (16)
' ^(О.э) =-уг.(0,Р), р^СО.г) =-р^(0.5), ,
~ (17)
У^»<С*2> ' Ра,..<°'3) = °. ,5*0» .
Задачи (16)-(1?) однозначно разрешимы в классе погршклойных фун- . кцвЯ, 0О.В6Э того, их ресония строятся анапитичаски. Найдеише аор-маяашо атагптотичеслие решения задач (5)-(7), вообке говоря, но прз-
належат Но(0) и,., кроке того» в окрестностях Г. ( у^с Г , уг с Гг) могут нарваться неравенства из (6),(7). Поэтому в окрестностях Гь возкасеа? дояодштельша внутронниа погрансдоп.
' ‘ • • ' ■. ' ' ■ • . • ' ' • - . 4 * . . '
В окростноего Г многообразия • шведам.ксорданзи* (т 90 ). гдо
1 » 1 ■ ■ » ■
о *» до4 в...,ог_1 )-локалыпм коордшатн на 74> , ч-расстокншз до у^,
взягоо со знаком-в Г4<. и в ааа. В сачу (6),(8) окростноать
Г( эоть с&яазть.горэзддя от. нерашнстеа р + гц > 0 к равенству. Яо-
Ббрьность шргмяа вудеа искать в кщо .
* 4 « ±
{х с г : х » е Н(е,о ),#(£,а )-■*.
‘ (18)
£Е 2.(а ), н.(. ) € С (7,,)}.
- 1-0! ,
Для Г, построение псзврхновти дароходь осудасгалявтся ш&яоподо. '
. ■' ' < * - * 41 А ' • *
В Г4 ЕШЮЯНЕМ ’ЗЗДШЯУ лоро^окзт £ +. 01 >0 }, ГДв..!]« € - 11(6,0 ).
• * ■ '
При втом сп&рогср -е А « а рзсгзшщггея в ряд
* ' »* , «Э > # . •
/ ёгг; + ао<о } 4Хе (а.(Г)*,0 , а/ 50*) +
'!* <19)
+(,11) а а(0.а ) / вг ), в котором оператора £. сходка по структуре с осератореж 1у Определим 'приблиЕзтша асЕягготцчвскиэ разложения (мзтод сост-авнш: - воаа-птотяческих разложшшй)
Ш> <Ы> N Ы у* -4
У (£,*> = (ед)££1(1}+ Хг(£,х) £еу.(-е £.5) +
л»-о * ) -о 1
г К * ч# - й < м* ч V
+ ЕХа1(х) Ее УДе т -Ь (£.а ).о ). <20) •
1*1 ;*Л
<N> <H> M j N j*, -I
p {e*x> = Xt (e,x) 2 єр (x> + Xa(e,x) £ єр (-є CtS) +
i-o ' j«o '
i K iv -« і <M> t і
+ SXai(K) £e p (є t -s (a,с ),o ), (21)
i«* 1=0 4
где
!H> v, N-» j I '
3 <є.а ) = E є :* (o ); (22)
«Н, . . **° ■ ■■■■ • ■
X4 (s,x), У.г(е,х), Хж(х)-срвза<сс’иэ фуихция, оярад&яещыз раввнст-ваш?: ■
- <Н» ' • ■ ' • .
\ (6.x) * 1 в QV <rtu Г ).
<N>
X. (s.x) =
-I £ . IN) І і
1 - Х(є х - 5 (є.с ),с ) в Г.,
-It «4» Й т
2 - Х(є ”■ - Ь ^,о У,а ) а Г ;
л.(є,2;) <. о в Я \ S, \(с,х) •« в 3 ; Х^(х> = 0 вко Г,
* * . * *
Х^Ш = я(г ) в \\; чзрез у ядось обозначена Функція ;:з С®(!1 ), равная единице пблкзи нули и кієсіцзя ка.’гй носитель, пртпдгаяаїз'й соотззїотіієїшо 2 йГ.
V *• ' V 1 *
Реаекия типа вауїрояизго.• иограксяоа ^<i) ,<i),pi<t| ,о) дсшам
быть согласованы с функцаяк; у (х),р(х) ко rpwcacu: Ї.»»7В. и об. v і і v *■ * *
ладатЬ'своСстосм У,(If) I,о) - р(С|т] |»а) = 0(ехр(-3{т[ |)). \ц | -> о>. Sc (0,1). Они ОЩЯД6ЯЯ»ТбЯ 112 систем
ДЛЯ Т) > О
г
ksi (k>
-г y/dif + ao<av)y. = -Е (Я^т;',av. а/ щ\а/ зо'') >
і Ч і > *-* -
+ <k!) а а(0,о1) / ее ) у. . (Л ,о ) + %(т? ) £ Г, (к!)
• ' ■ - . ; * . Sc «О I «О
-1 I fe > < It > ‘ f I > <\>
(1!) (д а(0,о1) 7 ав )(<? ." У-_к_і(0,ч/) / ДЕ ) -
£ ((J-K)D \э3 kyk(0.ol) / as‘J k>))/ arf* +
kerf .. . • . ’ . ’
І J-k
і «р» <P>
E £ «Л^.оЧа/аі}\а/ао1Жр1)-x<V На y^.-fO-a'>/ає )),
k*t (>*0 . • ' ' . • . ■ ' г./'-. ' .
H
»v * ' V J - ■ ■ '
•ч? р/сг."|‘ * в0(оЪр, *• -£ \ZJn\a\ д/ зг?,э/ ed) +.
J * ft. r%
. * j*k «'
-1 : к i t k > v it. w -t
(kl) <? «{0,ol) /-3S ) p, t(r) ,0 ) 4 x.(V X E £ -(M) *
. * i;*0 1--0
(U> * (</" ’ a(0,o‘> / ee,",)(d<',pi.k.t'(0,c»i)-/-dS > -
J ~ i l j -1 > . < j ->- > V 1 4
- £(<3-i;)n <«J yk (C,o‘) / 3E ■)) + У;(Т) ,o ) -
k*;CJ .
s i J -* < j-fc > . < J“k > *
-- ^ ^XC-»? > E.t(d-K)f) .(£' pt (O.a1-) / jb ))/£??1 +
. . , к*® ■ . ■
J J . . . . -i < *P> ■ -
•*■ S Z SK<i?‘ ,о\^Лэт}\{?/«эт1)((р?) X<i) p^.ptO.o*) /
).«■< p*-C
1 /^г’’ ’ )>, з 2 с, i = 1.2; .(23)
дня У) \ Q
*V ,2 ; V -*V ' J , ; , j
' -<■> у^Лл-; i jio(o‘ :y. + v p. - -£ <£,(i) .0 . a/ w\ ,<?/ го ) + +(itf >** 4>“'г(0.а‘) / ге"") k0)\a ) + %1Ч ) И Е <Ш *»
J к»1> 1»«л
- i < к » . I к > « I > < t >
(15) (г а(0,о‘) / зе Но у._к_,(0,а1) / ее ) -
- е W-Ц ) т, Щ-Ы\у\з‘>~,‘*7к{а,а'-) / ,S ;-k>»/ гг,1* +
V 30 -
j j - к
+ Е 2 AAVt\o'' ,e/en)\a/i-o' )(<pi) >;(rj Ид * у _ (0,о‘ > /
к»! ряО
/i>e Р )) + v х(т, ) £ (Cj-kH) U ’ р <0,о1) / аз.’ ),
к«о
шьторяотса второэ равнение системы (23). (24)
Возможность построения отрезков рядов (22) сладу&? яз лемки. ЛЕЬЗШ. Пусть выполняются условия предположений 1,2. Тогда рекуррентные последовательности систем (23)-(24) раэрошшн; их .решения
i
экспоненциально стремятся к нулю при |т) | ^ ;ь и при каждом 1 аеви-сят от Н0,...,Иг1, составляющих .оэффнциенга рядов (22), & К s находятся кз условий
У/т) .о ). р^т) ,о ) с С (R ) V О ; v у;(0,о ) ч-
ti
- * І і І і <і»
*(J!) (Ot{»?/i?S )
7}*' л с
- О, І =* 1,2» й
Haa^sri’.! усугікія, ofocz'*ч’'знггсга £!гг'ж:.-ет яэрйзекст» кз {Є)-(7) я S. Г . Ог-ре.їо.таї оЯляегя
" - ' ‘ < а
} >\e - к, \ Г*> U { >; е L\: t > & {s.i: »,
!
*VS = (‘V X Г*> U і * ‘5 P3: ' > Ь (S,C )},
з так;,л яск^лгс-тачоскс* прэдстявлчпо уарг^ияняя с тотасстьз 0(а )
f ^U). xe qi>s.
<!■■ >
U (S* X) *
~ V p . <x), x e О V <ці>е У :\£
ІЛ'І,
і . (25 і
Тоглз гш<з? мзс'?о •
ТЕОРЕМА і. Пусть ысядавии услої .я лвг.;.*н і, я гяк;» услоктя, сФс-пвчкраэдив выполнение неравенств кз (б)-(7) в S, Г.. Тогдз форуми (20)-(2!),(£5) представляй? осакптотнкк репеиял аадячи (і)-(З), (5) и имеют моего оцзнкк
8?ІУ - У )3 > 5?.'р - р )іі < о
:г
( в t Н-четно
гТ« «
з ,:.’--*:очетио
< Ы » < tf »
йу - у »> їр - р Г s с
N-*4
fe ш К-четко
N
є ,К-нечетно
,К-НЄЧЄЇНО J ,
* <Н* і >
{Є , К-ЧОТЯО ■ *«
є Д-нвчетно
) з
|І(и) -І( u )І
Получены релешія задач (і)-'(3),<5): для некоэрцитивного функционала, системы с неполными данными. Если локальные ограничения (5) заманить глобальными
U = { v: BvUL ([i < R, R = const > 0 }, (26)
то для оптимального управления возмокны два варианта: (1)- f[ujj < В; (ii)- ||ug = R. Управление и принадлежит внутренности шара (26),
если ■ ■ ■ '
у (Г - а а)/ (в + у )Ц < V И. , (27)
В протавиш случае решается задача (1 )-(3> с ограничениями типа разансгва. В обоих.случаях наЯдвна и обоснованы полные асдаотоЕ!--чвсняв решения. • .
ДОСТПТО'ИО подробное нелонзнло рэзулиатев'§!'связан»; е выяснением хар*даар& акаштотачвских рыхзяЕй задач оятшашюго управления еяагулярнэ шэмущеянымз; СРП с огрйинчэнныж! управлениями. В слу чаэ '«жададыг йтрачкчвюй появюдачж' вяухрокнко пврвюданв слоя и двхве ирь рашюзрешш <Зо«вв слозннх задач Еознккез? пройлэма мк опиеашя и корршггаого .обоснования. В случа» аэ гдобаяьннх огрмшча-1шй задала: дакошозяруется на дв8:уагравлеяаа лрикадлоквг ваутрвшос-наота гтрп щв его граиацо.При эзод'возникает проблема- ошвлохочгс-ч&схого коетроащш рзсэаия задачи управления. о огршшчэдаом «та ра-сонства,- гьэтому далво-^уден, в-осшааои, гэворбиъ об особенности! адтпозачрсдо*' доэош&.двя других классов 01шш&®>гси зад5Ч СРП. кя исиэд'Э'с-гая' задача иуяьетшзштеаног» унргак&жш, г.о. в
зад!пМ1)~(&> -рйгскбтрйяа^зса зрашхш .
? . -£ й У(ц) •» а(£) у(и) = Г{Х), X 6 п. (28)
О^ргудкромжква задача. имеет риевияэ. во яе едмвегвоюоо. Поэтому са'роя^йайя дался йсзгдгготшя елздуаг рассяагрЕШЯ» кзк. глисф» апп-роглташата ода.'л л г&ьмавтоз агашието шкзшгтоа. йра пэкото-
риг п^едяа .жкакге не дажаг>,' йгазккх го.суззсхьу прадао-
лаэдшда 51, (юедчека формашже ювшовш реазай с$а^«уяарогл-шюй вадата а случав • дакаттх сграя»чо»Ш на згараавоаш. Цусхь
1>.- С П * *,-1 ~
у , р е и - вси&кигшшреовяаЯ усдоааЗ опдалаькостк да во-, ходноа задеяв*, дно' зкоренв из когорих пвшаг'ивд (20)-.(2£), о-
[ мг>-хе.‘С.ь*
и" (£,Х) 4 V X с- ЛЧ(С^и Ц,^), (2Э>
^ [ е,(х), к с Ок е»
где ь\,_е, €зпрбда»5ш в §1; Г.1ы уюззагш т те, что щултз-ведение Оерэ'гся с точкаегь» 0(г> >.
Кромо того, пусть О с К (г, % 3> и вывдшя&хся н&рзмшетю
-1 О» <М> ■ <М> ДО
V > 2Ц Сч11‘Й<Р ♦ 2? > + р у 1. (30)
{«V <м> <>•*> Ш*
где и = п1п{1, тіп^}, у = шах |у ), р = тах|р |; ц определяется из неравенства тах|у( < ЧИЛІ, следующего мз теорем глакмя'Р и но зависит от у. Тогда пмзет косто
п
ТЕ0РИ.1Л 2. Пусть вшіолноші условия лемми I, £ > О, і! с К (п < 3), неравенство (30), а тайке условяя, оОесивчиващиэ выполнение г.ера-
' »К> <К> ІН)
ввкств условий оптимальности а Г; Н-чвтно. Тогда у , р ,и -
представляет асимптотическое решение исходной задачи и тгт место
оценки
<Ы> N*1
2Ц7(у - у )|| + !іу - у ІІ < Се ,
<Н> <К> Н-г»
єі!?(Р - р )$ + 8р - р Я < Се ,
*м» м-*1 <мї г(н*і»
Ці! - И 8 < СЄ , [Ни) - 1(и )| < Об 5
Найдеш условия, при которых возможно поспсен^э асимптоти и исходной задаче в случае глобальній ограничений на управление.
В §3 рассматривается такая сингулярно возмущенная задача оптимального управления
г а
-є Ау + у = и, X е й, :ЛГ/
дЧ/г^ - О, X е АЇ, -3?)
где 0<£«1, д-оператор Лапласа, £-ькеаяяя нормаль к аП; х « ^опаї;
V є и ^ {и: С((х) < и < £г(х). Є,Ш « ІгШ) і. (33)
Требуется найти и е и, доставляющее мияя-ум критерии квчестьо
Ну) = м/б)цу - у„і|‘ , ► о.5»8уе* (,г.
<* ■ * ’
где V = сопзI > О, уЙ *=
Известно, что если А, > 0, то кразаая >С1)-(32) задача прк фигаро вшюм управления имеет вйшетвэнноо реаенке; в противном олгізє • таких репешй может Сыть конечное ЛИіЗО бесконечное число, и сдуч?е > 0 для задачи <31 )-<34) получены .результаты, олкзкш до сагеряа-нию 52. Если ке X < 0, то рассматриваемый в работе подход неприменим к задаче (31)—<34). так как коэффициенты внутренних разложений не принадлежат классу погранфункцмй. Для задачи ке без ограничений н.ч управление (либо глобальных о. раниченпй) и з этом случао возжлг но построение асимптотик решений произвольного порядка точности. Если условю (32) 'вменить условием Дирихле, -га в окрестности точка покоя - нулевая составляющая внутренних разломни* -ятзляетси но асимптотически устойчивой точкой покоя, а то’псой покоя пага адл-
да. Показано» что существуя? такие началышз условия,'определяемые однозначно, при которых коэффициента снутреявях разхойввий принадлежат классу погревфуннций. Здесь ае представлены результата численного эксперимента для модельной задача, которые позволяют 'судить об эффективности полученных асимптотик: если е е 10.01, 0.1?, то резу-льтзты асимптотического анализа совпадают в пределах заданной точности с результатами прямого численного решения исходной задачи.
В §4 .для задачи оптимального -управления -сингулярно возмущенным процессом переноса частиц ( линеаризованное -уравнение Больцмана, случай плоского сілая) исследуется зазмояность применения прямого метода, т.е. катода, но основенкого ка асимптотическом анализе ’ ■
условий онтимэяьности. Сама краевая задача здесь существенно отличается ог задач предыдущих параграфов: она визе? непрэршвшй и дискретний споктрн в неограниченных областях. Это услогшязт исследование проблеет раереаяшсти з^да*! для коэффициентов внутренних разложений. Указанный подход позволяет асимптотически декомпозировать задачу на три <кш)в прооше» ра&зк:я которых мохет бить получено аналитически. Дохозгла доахавцзздность итерационного процесса. Задаче рассматривается -без ограничении на .управленій. Остановимся на конкретных результатах. Пусть процзсе ра- ірчдаяенак частин, .в пластів тслаиной 2Ь (Ь > ОУ пік яготражш рассеянии спксьгвееюя краевой аадьчвй
I *
щшр/ех + <р(х.,у.) = }С^' + q(ii)u(x),
- "* N
(p(+b.jxi •= О, JJ. < О, (35)
где ф(х,ц)-плотность часіац в точно х « I —Ь,Ъ 1 с направление!,; даа-яешїя, косинус угла которого с осью Ох. равен и; д(^)и<х.)-плотность внутренних источников излучения; и(х) е Ьг(-Ь,Ь)-управление; р = ronst > 0; О < є « 1 (£-даша свободного пробега частица).
Требуется найти управление, минимизирующее функционал
£ г
Р£: 1є(и) = C.5J((p(x) - 2(х)) + ти (x))cix, 7--coust > 0. (US)
-Ъ
a
где р(х) = /ф(х,р)(^1-штех'ральная плотность частиц в точке х; 0 <
- 1
< г(2)-фиксированная достаточно иді,;ая Функция. При Сиксаровагшсм
управлении задача (35) ийоет вдщстведаое решение ф(*„|і)«І^{<-Ь,Ь)». «(-Ы)-}, Ґде
lb
<-w* г і t/j
Нг((-'0,Ь),(-1Л)) з {(?: ЙЧ>8й* * <2Ф§Ь * BW4»/<?xilL ) < *>. (37)
г г 2
Решо» задачи (35)-(36) существует и едачствйнкэ. Исходя из метода яогранячкнх функций, тзогеїпгв аздгли Рв 0;т;?ы агквгь в вида
- г ‘ <k> Є
* Е е *■ П, + П. (т ,|л)),
*. »4> '
г» ь • а» <*>
ujx) - Е к (й (I) 4- U. (Vt) <• U (г )). (33і
і. *U **
где
а1) <t>
II U <V * о, \ * X,; t = (7 + Ь)ХЄ,
.n cnrz,{л). а (іг) -t о. \ * -я: Т;. = u - ь)/є.
Тогда имеет место • . ■
ЛИШ 2. Для достаточно малк є > 0
. тт* і nt*4) m \ д «ч,»4І
і?,1п(£ є І^+ °(є ) = Е епіпі.і- 0(s ), m=2n+i, (39)
\*й 1 v-О ^
Л» _ <i> <J>
где кіпі^ для 1 = 2k бэрегел *ю ) я для 1 - 2k+i~(Il ,Ui ,
>ТТ2).
Для определения (5 ,il), і > 0, реагэтся зчдачз
ъ * 1 Л
• г ■ z.
1\: Т. = 0.5/( р^(х) + ru (х))<_х, <5 00=/ ч> (x,n.)d|i,
- ь -г
^(х.ц) - О.С'рД(х,и')ііі* q((i)ut(x) - цз^__г(х,ц)/«>хі (40)
Для опрадедггаїя (П rU. ) резвкггся задачі-:
. /- ■ а
ш -п ~ <ь> я «*
П ?: П 1 = 0 5/« Д (т ,Юф) + Tf(Ut <Tt>) )dtt. +
о -г
+ )иЦ (0,;і)оц * піп.
1
(і> <£> <i> » f |Ш /oxt + П (VH) = 0.5? Д (Tt,|i )4i t q(H)U
(2) <2>
П (Q,n) = -ipj-b,ii), и > 0; (41)
“® ’ 1 /♦% І» 5
П P: П I = -0.5JH Д 'К^цЛф) -i- 7(U (-гг>> )сїхг
О -і 1 (?>
' - /Цї (b,u.)pll (0,jj-)d}x mtn.
-1
іЖі 1 Г
цп /е-іг < п - о.ар /її (ія,ц )ф + су,
' -4
П*’іО,ц) - -^(Ь,ц), |Д < О, (42)
<6, ,ф-решениа к соїгрженная тремзнная в задаче (40) в Доказана разрешимость промежуточных задач (40>-(42), причем, показано. что решение задач онтюльной стабилизации (41)-(42) мозшт біль представлено интегралом по ойобщешшм в смысла Коши соб-гтвєиішм фуіжциям, порожденным соответствующей спектральной задачей для краевых задач и? (41)-(42). Последние имеют как непрерывный, так и конечный дискретный спектр. Прт этом икеег место
Г**1
ТЕОРЕМА 3. Пусть Ц(^) = ї(Ц> е С1-1.1], 2(х) е С [-Ь,Ь].
Тогда существует е0 > О такое, что последовательность {ип} обладает свойством релаксации, т. в. при є є (0,єЛ)даеен
іє(ип) < І£(и[Ьі+ є\) < їє(ап.,) < Іє(и0) < ІЄШ0). (45)
Креме того, справвдлкгы оценки
Вср'(г,}і) ~<рп(х,ц)йГі. і Се ,
г
Ци*(г) - ’^(х)||ь < Сє ,
*
|Іє(и„> - І* І і С е . м (44)
т\іі& ф,‘ и* Т’-точное решение задачи (35), (36); ф £х.'сО - рошенио задачи (3і) лри и = и^(х) я
Прямой метод ї-'.охчт бнїь распространен на рассматриваемые в работе экетремальшэ задачи без ограничения на управление.
В главе 2 представлены результати по гладкой асимптотической аппроксимации решений задач оптимального управления сингулярно возмущенными эволюциошими СРІІ с ограниченными управлениями, іїрі'чем, если вырождается весь даМервкцкальний оператор, то асимп-"отики экстремалей по характеру близки асимптотикам экстремалей «лякптичоских оптимальных задач; если же выроздается только пространстве штя часть дифференциального оператора, то для описания ясикятатики вымени схода управления с локального ограничения стро-лтс’і! члгоритмиг основант» Только з коэффициентах Екеамего разложения.
В И рассматривается задача: ьа решениях параболической системы
і ь
cyt~E*y>ivi+y=a, (45)
y(G,t)«y(l,t)=0, y(x,Q)*'pU), <p(x)e- Lt<0,1) (46)
требуется ПЕЙТП ■
J(u) « Inf {/ f (y(’/)-z(x)) 4W ] dxdt}, (47)
v€U О
гдэ
v = const > 0, s e 1г(0,1), . t5T={0 < x <1, G < t < Tj;
U»{v:fj(x)<v<5a(x) п.в. в Q,.; 0 < 5, <?a*£t€ L^O.l)). (48)
Условчя оптимальности в задача (45) -(48) эквивалента!, как ив §1.1, трем локзлышгл условиям. Нуло^е составляющие внешнего рззлозкагая для irex рагйяваыт прямоугольник QT на рлд прямоугольникоз, п каадом кз которых справедливо свое локальнее условно. В частности, если 0 -• *
“ Q,. UQ,0, где 0,.-{(хД): C.UHl+v)-z(x) >0,t с [О.ТИ, 0ЯО*-ЧГ\
\ ТО ВНеШНЕЭ РЯЗЛОКСНИЯ ДОПОЛНГ.ЮТС), погрянслойшми в окрэстнос-та сторон, ;э таю® угловыми погранфункциями. -Неравенство
£t(x)(l+2v)+<p(x)|3lgrap(zM|/2-23(x)>0, х ( Ю.х,), (49)
где ;с -одасть-оаизЯ керонь уравнения £t(x)(l+v)~2(x)=Q, обеспечивает ваполнекм порБйекствп е лекальном услокз! оптимальности з ено окрестности х = х ' я углов формального асимптотического рзго-:шя задачи. В окрвстяоста аргмой s = х появляется внугрйшыЯ поре-
<Н>
ходаиЗ слой, которай списывается ыгэлопгшо §1.1. Пусть у , р ,
u -состепчие аск-чтотики всех разложений порядке К, тогда верна ТЕОРЕМА 4. Пусть buiioj.: лш стандартные условия по гладкости и согласования граничных условий по непрерывности, а также неравенства (типа (49)), оОеспечиввхщяе вшолнезша неравенства условий опта' + ' ♦ мальноста в 0^ е(опродвляется аналогично аз §1.1), тогда
INI * '£Yj> < N> *
у (e.x.t), р (e.x.t), u (e,x,t) представляют асимптотики
рзие:мя задачи (45)-(48) и имеют место оценки
К
«*»* <w> f е .N-'iOTiiQ Ч
8<у-у !КР-Р )J s с ь. I ,
I £ ,!J-He40THOj
jjy-y ii Up-p 1 < С ( ек > «-четно \ )
I £ , Н-нечетжу
К ♦ 4 S < N ♦ t >
<м> f Є ,М-ЧЭТК01 <;<■ f ь ,К-ЧвТН01
!|U'U g < с{ М • , Л(u) — J<u )=C<1 IN |)t
L є .К-начоїноі (. є ,N-яочэгцо j
где g.g-иорла в Г,„(0_) в. .
Есетроеао речонка задачи (45>-(48) ь случае u(x,t) =• gU)r(t), гд*' 'g(x) c-'cr»(0,i.); T(t> « (O.V)-yspsBJUisiam фушады. Зд&еь ваутренній
яорзходааг слой возизкзаї в скростнсагл прысой t - t , где t—корань
2 ■ ' • ' ' ■ ’ ' . корень уравнения ^(vtjigg )-(g,Z(., t}) =0, (...) - скалярное произведение в L2(0,1). -
В §2 состроены полные асимптотические разложения рашнкЕ задачи оптимального рвевредэлэкного управления параболической системой с малым пара\»тром при операторе Лагльса. Ограничения на упрзвланаа
косят глобальный характер..Ток в іадшшдрв £_=((x,t): х в-.-П, . t-«
є I to. Т ]. Г < ш }.где Q ( Q Є R )-СГр8НИЧ6КНОв MHOS0CTBO С ИШЛЯКТ-нкк замыканием к гладкой ( класса С®) (n-i )-марной границ?й аЯ, сссгоялнз управляемой систош у(и) определяется как рошнае задачи
7 •... • .
у,- s. А у = u, y(x,t)=o, х <s jfi; y(x,t0)= <p(s); <р є Ь,Ш). (50)
їребу.зтея НЗ&ТК U W и
I(u) = Inf { j [ y“(v) + v v'] dxlt}, г1 = const > 0» (51)
VGU Є, .
где
и '■ { v : ]v«it < R. R < a> }. (52)
a ■ r
Задача (5QM52) имее-r едшетв&шоо решение у прії зтом:Ш - либо Ijujj < .R; (11) - либо Ниц = К V в > 0. -При шполнонак сгаидарпш. условий но'Гладкости г: согласования качальшх и краевых у "лоті формальное псимптотачоскоэ рэвюндв'реализует случая (I), осла ш-лолняетея неравенство .
(2v} ‘^Jcpll ( ch (v ; (T-to>)) ‘(0.5 у' sh(2 v
-(T-tn) )'* < R. 153)
• ' . . • - *
Пусть неравенство (53) не выполняется. Тогда и - ~(v + \) р, А *
* 0, (|иЦи (а = R, где р- реиениэ 'стандартной системи оптимальное-
2 Г . ■
та (типа (Л), но для параболических уравнений^йЯ?.
— С«) І
X — (і’ + Л.) « JJ є Ан. (54)
І і: ^
їог;.л коэффициента разлсгжкая (5-і) определяются кй условий
№А ,« R ’ <55> !
і
І
1*о
£ j j^u^dxdt .= £ь, (56)
гдз Ц - коэффациэнта швсіїегс разлотаздл для u; 5»к- известная, фун-кш?я коз®&;ашентоз внешах я- внутренних разлэкзняй э«стреналэ9 задачи. ■
Урэв;?еш:е (G&> волшвйао относкгэлько переианнсй А0, а уравнения
(56) лйнвйш отноеатэльпо \. Имэет «вето ♦'
ЛЭЛ1 3. Пусть 9 є Ь '(П) и но выполняется неравенство (63) .Тогда
і<разпен!*8 (55) всегда имеет коночное чг лэ резешій отиоситэльяо А ,
‘ . ' •» но ;лаь ка единсгеенном полокителыюм рашаж .0>С) десотр-э? г.п-
і ' <’ .
ВКЫУЯЬ Еелгзиа *!v 1 Т.Є. ЗН9Ч52ЕІ9 Я = л. является КЦ028ПЭ-
* *• * О ■>!. <0 > О ’3 '
■ • * f - ■ •
•- — -4 . •
•зек Леграгаэ {\,- (* > А.в) ) й шре^&тгной задане откч&тліого
угфвзл:^-" -і
Доказало, что сі (56) ясафвв!3«'':ттса зря Л. гліступ<'зт
од-™ ч хо: кз :-:-1и'й:го.-’ъ (Я). Пэзг.'о;?у eco c-”: сянозкзчко разрга^а,
•r^*> <N> <?>»* i>,')
оогті i> ,-i 0, Пус'іі» у «р ,u Д - кенэ-гломорю;» Еапрокслмашні
<W> *>?> 1VT>
разлежші’Л агстрокалой з ладач-з (34М35), причім, у , р , ц состогаг пз сі.*.".’.; внванкх а внутрзішкх разлозакий. їогда справедлива 'і’ЗОРЕШ\ 5. Пусть итожено яредпожя£&н»о о гладкости и согласована з: 2 г= С. Тог/.:-, указанные разложения ЯБЛя’атся асимптотическим рягоїйггм задачі; (50MS2) а справвдлкзн оценки
Sgrad^v ■ j"*)^ jo ,4 ligrsd^p- р‘>")!!1_ ,в < С г ,
j . Г* Г X 1**1
і I»- у’•"§.. ,с ,+!!!•“ «,» Д С є , gu- u‘N,jj £ С є ,
J г “ї 2 т
\
I ; г< > *.«>»♦• а* >
I gj(u)-- J(u )в с. s ; * (57)
*■ V Ы У Ы* *
1л - а | 5 С К , (58>
ііСнчог?» бсхм їлтоліяйтеа • жравонстйо (ЬЗ) , то cupsco.tirrai оі;егс>с;
(57) с коэ®ациентт разложений, соответствувдих случаю (1); если кс- неравенство (53) не Бштолвдется.то спрэдзедлихзи оценки (57)-(58) с коэффициентами разложений, соответствующих случав (11) в Г. случае ей олнения норзвенства (53) строится регулятор нулевого порядка на основании продельного перехода.Н.И. Красовского* в соответствующем оптимальном-программном управлении. В частности, указаний регулятор 1М9СТ ВИД .
-ху* -1/г
иЕ=-г> Щу (Т-Ч)) уе(х.О.
Показано, чго Цие - йо|^ (в , < С в. |1(иЕ) - 1<йо)| < С е ,
£ Т -
где й0-оптимальный регулятор в вирокдекной задаче. Есл! в задача
(й0)-(52) положить Т = ш, то всэ конструкции а с илсл готического
. ' .
алгоритма упрощается, например, уравнение (55) имеет решение X. ■=
г г ' *
- (2 Р. )/ |!ф!| , а а * 0 при любах значениях параметров задачи.
Ь §3 исследована задача (50)-(52) при и - £(х) и(1). где с(г) -фиксированная функция. Особенность этой задачи состоит в том, что уравнения для коэффициентов внешних" разложений содераат коаКицевн-га внутренних разложений, получение на. предыдущих итерациях. Для «ее имеют место результата, аналогичные §2. Рассматриваемое в етом счраграфз убавление "слабее", нежели в §2. И это проявляется при Г
м. В общем случае даже продольная в, дала теряет смысл. Она имеет
2
$*эывш« только в олучзэ выполнения равенства Ф(х) ~
0. Тем по менее рэгулягор нулевого порядка стабилизирует решения п-ходной задачи.
I? 54 представлонн результаты оокмпто?аческого анализ^ задэчк оинтеьа штильного управления для одномерного параболического уравнения хю рсшьв решения сингулярно гозмущенной . , аевой задачи для янтегро- дн4фе.ронщшдыюго уравнения Риккати. Это связано с практической невгомолшостьы получения синтезированных увравлсний шеокого порядка точности из асимптотик программшхх экстремалей. Пусг. Г{ = (0,1) и управляемый процесс отбывается краевой задачек (СИ) с управлением и «* gu) и<0. Требуется по принцип? обратной о!шзи найти управление и, минимизирующее критерий качества « • , ‘
Красовскйй Н.Н. Теория управления' движением.- М,: Каука, 19Ш.-475с.
агоров л. М. Оптимальное "праыюнма линейными системами.' - К.: Бы-аа шсолз.- 1988.-280с.
!'(«)■= ЛЯ 7(х'Д)' (1(Х,5) у(Е,*)фя1$ +■ V и и)1<М, (59)
I оо
о ■ ■• • . ■
где <3- достаточно глад-стя сшатрячиен Еолохатэ^оа Фзгшсшш. Оитсвесжсв уярязяеяго тогда спродоляэтся кок &чкщисшвл здде
■ • ' А * : ' д
и^.?] - -V Я Ш.Ы) б(г*> У(С»*> 1йс<1£, (60)
. ОО *
где '(тама^рачиая-шяй^атоаьяо оирадогвнная-яра * < Т функция К(х, *Д) определяется как решение сютулярэо.ъопярютой иатагро~ дпф-Ф^р-о’гдааг шЛ щтвоШ задачи ^кклатм
-2Ц * е <^м(х,|,г» Хц<х,ы*> -V Я ки»».*> К(г,М)в(*> *
&{г) йь*с1з V <3(2,|)а
К(0,5Л) =К(х.О^) = к<1 в£.г> = К(х„1,г> = .К<Я,{,Т) *> 0. ((И) £огдв .
- - II ’ •
нв>-- Я чк*> ки.с.*.,) «(‘едае (62)
оо .
^нажяа’эяяи строятся коз&^гговзи вззггюг» раазэязаия рвовная за-
двч» (С1> и доказаш ою пожетклькзз опртдел&'-ость при г < Т.
Ваэйнса рсзковзяхэ дслю.гляя'гсе «етрзаа^&йЕЯ (в суетности сто' л
рон гхтяр^п {Ъ,гМО*.!))- Цусть * часташа суум
?казотт к:г.о р<длох5£:а2. Езг-эт «вето
З'ЕОИЭй» 6. Пусть й, (? - (п»-2) раза яапргржжо дяффренцируэлгиа Фуятки. $огд» спрамлязаа аз&йха
. ' |Г< г» г»
|и!!:,у] ~ и 11,:; Ц <Се . .
г» 2<п-г* >
п п |«в) - 1<и )! <С е- , „
гдо и и .у Ы»^«ор <СО), в которой еш&озо К кзата фквкция К в Кра Т = а> показана нейозазлюсть йрямзвозка рвесиатривзешк в работе методов веттотдовсвохо аиаиза к задача <61) (в этом случае К, = О). .
В 3& весяадувтся задача §2 в ояучео яиа® ограниченна.
' Построеко решение ЕЦроадзкйоа задачи. 3 обо&а. случае оно содержа? иггзжлыго Еогарыюстей. на которих зэряэтся гладкость внвишх разлоязнай *грсекторий экстр&?кг.э2, хота рва&ьаа шразде шюй йадачи
гз
на них изярэравио. Построено пзргсз прибласекиз -поверхности схода
уарввя8іс*я с отрштонто:' Д?лы?-зйа>эв уточаїиши &їой поазряюстк
САізрщшаоїСіі цотерэй і-лад^оста кс&ЗДщндіжш шугрскшо. разлсш'Пій
в окростпоа-. . грагіліу. Папучгис обосшазшю всюшгогас - роодзиг ко-
- rs . .
годной задачи до порядка О(с).
. Задача §3 для локалышх огранкчекк£ на уарзачошо кослодэзгма в
56. Здосъ удбзїся подучить поякэ ренэкао задача:. Врзг.д ахода упрзз •
деяия с огра:шчонкя посграсне до любого порідка їочкосїй к при этом
ишодьзустся' только !.'Сі;й-;-цлозліі ьшшного рзэдогегая. 1:ос1'раэи!-э
формал'л-ого аоквП'стачосхогс ресокил асходьой падачи основано из
вгоДУЯ^К J®*«» ■ ■
..1
.Ш<іА 4. Пусть.: 1) у,й « С р); 9 “ О, х є jQ; З) > і »
■%si 12 I
* cth(v l!gii£T - x i). Тогда ряд •; = £ e т отгчдїіся одаша-гае
, -О '
к при этом; если t > 0, то ....
-1 ' Х.Г% ' -t - I.Z -
\ = “(g.^p (.,%( )/Jt! !U,(co,-----------T_t} •>, v 'ftjis ' Es«*
о -«-•* -tT -»/x
*(T - >)J (g,A'iri„rt.,t))ut + (ch(v Ssliv’S•- \,);i f ffc-h(i> *
n -« a . -i/z ^
*|'g!!(“ - t))(<g,Ay..I(.,t))- у Ш a{t)) + v {!gj{s,ip%.a(..t)>« rch(v !!g|(T - t), ]Qi./1, : > k, (£3)
І'ДО R ), <\(t> - КЗВОСТШв -І&ІГЛ-ЇЯІ
причем, осли
К = Rv.(V*"’V,> + v* *lisll (th(v ЙКЙСТ - te))«
T . ' T ’
go -і/^г -і
-J + (ch(v Jg|(T - t„))) J [sh(v x
‘o , , V,
«ввз(т - t))((g,Ayi.,(..t))- v'igii\(t>) «•V' aeu-
>'(g.Ap^i!(.,t))ch(v'* *ijg|(T - t))]dt) >0, (64)
to 1. > О, в противном случае - a < 0; ест *0 tt< 0, то формула
(63) шеста с неравенством (64) сохраняют свой содержательниц
смысл с заменой (g.9p0(.,t0+)/at) -♦ (£.<JP0(•
■» При атом функции (У,.?,) определяются из
при t є (^0,г0):|-у, = Ду^,,
«}-5 " - lip „
* 1 l * *. r 1-2
при t 6 r\,,T): fi. -r v s(x)(g,p ) « Ajft„ - V gU)a(t),
}. ' (Ss>)
l_n - -yt- лр,.в; с кратка услоикаэд:' '* 0, p4tx,T) - 0, где
(g.F\> = 4<2^PJ. + Ft<to.....r..t)J S\\(V (jgj*
-\/2 -4 -I/: -!✓!*
*<T • t))(Eh(-y 553<T - ro>>г + Sh(v jigfj(t ■ xo))(v ggg»'
• • ' T -
-t -tS2
*mi> - V» / ls5>(f ggg<t •• -
' V
- + у"'%йР(вглр._2(..4)/ ch(v*''M(? - t»]<st -
- V J&3 7 f((jJ.'Pl.2<-**))ch(v i!cil(t-5)) * (<g. *?(._,(.,*)) -
i„ . •
- v 1Zgf?JU)sh(v‘''^i(t - 0)1 d£. '
причем, (З,арй(..гл)/Л) - <g.«jp0(..V)/3t), !\(го.....V,) -
Й.1\.......\_v>. 0СЛЯ T, > о и (8.«зр0(..г0)/а{) = '<g.ap0v.. *<,-)/
/&‘t!. R(%........-с4_4) = осди %t < 0 s
Внеак» различения irpn этом доиодшямся пограпфункциями
f 1\ - >’____*- К Ь, (Я,Т,^Л?5,о/Л) у, .(T.s.t),
I i i i ) = i ' -
| * Pj, _ > yk = E L^s.T.j/as.j/a?) pk /1,5,t), (67)
I yk(0,s,i) = -yy(0,s,t>, p^O.s.t) -= -pt:(0,s,t);
I ?, (T.s.t0) = pk(T,BtT) = 0.
Пусть пест тзи отрезок асшштотвчвского ряда
N N 4
1 - L E v
V u
I'accKOxpSM асюиготкческио ■■раайакшм
У (x,t) = £ є\^(хд) + y/t.s.t)), (68)
<t< T ,
<к> І о ~ о
U (t) -• 1 -1 <NI
l-v (g.p (-.t)), x ■< t < T,
p U,t) * £ є (p (x,t)■+■ p (69)
-Ї.Х _ . .
(VO)
,p (..t)), x0-< t < T,
їда функции: у., p. определена в лемме 4; у. , р, находятся из сис-
темі (67).
ТЕОРИЙ V. Пусть гашо-кнвны условия докжі 4. Тогда функция (68)-(70) предстазднют асимптотики решения исходной задачи и шевт место
ОЦОІІКИ
(Н ї і М > N
8?(У -у ML (Q , + mv - Р >1!,. ,а , s се ,
* т ■ г т ■ . . ■
Ш> <Н> N41
№ - * к ш . + ІР - Р IIL ,* > see .
г т • г т- .
<к> 1 *м> аы**л
5U ~ u Sl <і т,- Сє * І?(ц> "'1<и >1 s Ск а
2 0'
•Глави 3 сосаяіцена -рвсакав задач оптжадьксго управления тепловым полем .а їоішіх телах. ІІод tgkkkm тєлой цоиадаотси такое тело, у которого сдаьі из -размеров кіюго меньше к£*ого-то другого (тонкий стерши», тонкое клаепша). 'V одной сторона, эта задачи їйяєвт • іцяадащю таоравлекностг., ' а с другоС,-аки о'лгосягся к критическому случав сингулярно- везмудакаах систем (вырезденная задача имеет семэйство. ревенай). Ыалы?. . параметр здесь киавт ■ конкропшй геометрический смысл: это отноиаюіе. голцины стэргня к ехчі длине. Кроме того, при этом укороченная система оптимальности но совпадает с шрокдешоа.
В §1 рассматривается задача:в плоском стержне'(тонком прямоугольнике) управляемое тепловое соле описывается функцией y(x,t), х =
»• (2, .х^), которая удовлетворяет в области Qm ={ (x,t) : О < xt< 1,
О < х. < < є,. < t < « > краевой задаче .
f v >. ->
. yU,t0) ”<Р(х). У(0,хг.и = (p,(x,,t). yd.Zj.t) = фг(хх,х);
у (х ,0,t) - А є y(x.,0,t) =0,уя (х ,e,t) + А є у(х ,e,t)=0,
І * 1 * *
где A = const > О, ж -оператор Лапласа, <p(x) є Ls[(0,$ МО.є)], Ф4 е L;i(0,e)x(to,a>)].‘ *
Zb
Требуется найта и с и, достсаглж>зо мжкмум фркшоааяу .I(v) = J (y*(v) + v v^ldxdt, V = const > О,
где U * С v: g v Зь )£> , < R e , R = const > 0 ).
(?3)
* а>
• " о»
При этом , что характерно для задач с гда<5а-шшмз ограничениям, исходная залача всяйЕЛїОїязаайї декомтазируэтся на дво;(1)-имбо gug<
■ «/г - \ .'••*. иг ' ■ • ' ’ *
< R е ; (іі)-ллбо jjjg = R 8 .. В случае-;(і) нулевая состевляэ-«ая сланного разясшлшя усхсаяй оотатдыюета определяется аз егсто-
Начальные и гргапгкзаэ условия для’система (?4> определяются пз тро-бовения' нрянадяейиоета енутрекнах разяоаэниЗ классу гаграифуязсЕй. Задето .для коЗДяїяювзсв внутренних -разложения резвятся кетсдоя їу-рьс, а теебоваяка ах край&дззгпоезд» классу погронфункций обвспопнва-етса обреадаие» в пуль нуязшх состакшдах- состввтстукчих аядоа -Зу-..рьо, В чвстшотп,. при сгачдарсзах • условиях та глодкостя а согассоапз-•»»стя ііСходїкьїх jsssjejs, а їйж> ф4 = ф*0, дся задачи (74) шзуздп
УслоЕяв пркнадкшюста уяра&ішея шутрэнисстя вера (73) определяется тогда, согласно (75), неравенством
(74)
(2) sirKsh-j.
ii случае (11) хагяй£5щ:знш разжигания (54) определяются из зада--: вида *5S)—(fcG). В частности, докааено, что уравнение
где rk= + к , ? > о имеет еданетБНшс*» положтелиюа решение
К ECO А.., І > 0 ОД5ШІ«<ШЄ ООрйЯйШЗТСЯ из 'хзвейЕУХ сгстем. Пусть,
, . • fW» .
как всегда., у"". р'*в, и"**. К- -коггэчпоа;ркки лсфоксал-ж с»т*
’ ' ' ' * if! І . . • ьшта*. й кг'трэшкх р'їзшіокійї (крою X- ) з иегодай заднії;. їс--д'і шпйз . , ' ■ .
ТіХ-’Г-її/Л S .Пусть uyi;o.«Wi»a услсвпя пс мажсм-і к сатюошцг* есхєй-і;;іі даше*. fcpj?a ухвзыашэ р^ойеиш язляпхш: зоултої:п9с:8з« ;««аш»м гадача (?і)-{73) к снраавдлш; сцоїсся
<И» (Kt tf*f
■ S у - у Svtb * »<».- у >£ S, <£Ь sec ,
<.4> <N* *■ N*1
8 Р - р Bvas» + B<P'P Ч.Ч-О* - с с ’
<tt > * **•* ил tc«*o*»
08 u - u §,, (Cfc> s С є , {J(u) - J(u )| < G є .(77)
г 1*0 М* і
(К - X J s с G , (78)
гдэ а * { (£,t): О -і |k < 1, te < t < © }, p - сопрэяэтигя пероко-
нітд условий оитюлальиости задачи крдчеи, если наполняется кораввнетво <76), то аграведлхш ошиз; (77) с коэффицивнгема внешнего- и ваутрошкх раэложшиЛ-для зодзчй ( ? ;; если ке неравенство (76) ив выполняется, то епраяедлизы оценки <??)-(78).с коэффициентами ваекнего и екусрекши: рязлояшкй для зада1:»: (11) с
Задача (71)-(73) шг.вг ейть исследовг^а : ь облестл <l.t Т < ©. Ко при атом результати галучеются медао конструктивными, тек как шра-кямтся через ряда сложной структуры.
Во втором параграфе рассматривается управляемый процесс, описи-ваешй краевой задачей (71), б которой и(х.t) = g(x)r(t). где g<x) с Ьгt<0,і М0,є)1. В качестве допустимих управлений тогда возьмем.
МЯ0Я8СТВ0
Ra= ( г: |rgL<1 ,Т1 < R }. (П)
го
Требуется найти г с- R , достэвлящее мшшмум функционалу » £ ® і
1(f) = є (f fq(xt)y(x,ТШ) +vefr <t)dt, v ■* const > 0, (80)
ОС» I
о
vm q(x,) e LtfO,lJ-
Задача (71), (79 MOO) 12/,зет вдинствешіое• решение и при этом: (і)-либо gr)>, ,t Т) < R: (іі)-либо llr|Ib (l >T) * R. В случае (1) ну-
a o' » о’
ловая составляющая внешнего разлохения (ао.(30) условий оптимальности удовлетворяет краевой задаче ‘
* 2 - 4
<кха/^ - а ла/зЬк + 2/ло + V е<С4.0)/8<С,.0)Рг,«!,*)<1С, = О,
* 2 °
-<>Р0т - й*р0/з£, + 2дрс = о,
Ч«,»*о> = -р({4.0).'’|»вСЕ4.Т)- = Ч(£1)/Ч(гг,)а0(ж1.Т)сЬе1,
ио( ОД) = ра(С.4) = а0(1Л). = Р0«1.1> = 0. (31)
Задача (81) иродстпьляот собой услс&та оияиаяьности для таксИ эадачя
‘ , Т 2
(К = <Хч«.)в0«Е,.»>«.) * X Г0<1)£1».
Го . 4 '
] * • * ■ * (82) 1за0АП - в » 2/ло * Е(С. )^&(1:5.
к>^3**о> = 9(^.0), пе(ОЛ) » ао(1И) - О,
которая шээ? ■ решала ,
’?„><*> = -1а)я(^)(г> + / /<4)<П),
I
^ . о ■ .
тдэ а$1а) = 2^^ эзф<-(\ + 2А)(Т - ^0)>,
*** а
“5^) =*Гад охр(-(\ + 2А)(Т - I));
^ = J \а,)чп±)й^. ■* « / ^(54)3(£,.о>^,*
о . а
«» = ) ЗДИК^ЬюЕ,;-
о ■
X (£4), ,\-рвсажш спактралыюй задачи
Хк" * \ ^ * О. 5^(0) = 3^(1) -0.
Условие принадлежности г внутрекнссги шара {79} принимает'ввд
И^Ши + ми л.)"4 < *• 183 >
го х о
В случае (11)для мноаитаяя Лагранжа К слрзавдливо разложение (54). Тогда для опрэдалэнил >.о содучан уравнение '
МтМ«<4в) - пм) - №ш\ - В « 0.
которое всэгда кжо? единственное реиекие, доставлять минимум 1о. Другие сослал ядаэ разложения (54) однозначно определяются из соотношений пада (56). Обосноваккэ асимптотических решент-гЛ оеудостэлярт-ся аналогично §1.
гч
В £ з кссквдуотся задача продздгаег»- пвретрафа для' лохашшх сг-рашчансй'ш упр£вшгю. Найдено; в ваде асамлтотичзского ряда время схода упрэалешя с- ограничена* до лэсСого.'. порядке точности, одявко асикзтотшда рввзішя искодаой задача удалось оОосковвть только до порядка 0(е ), что связано с разривсы коаффацшжїзь, для внуїршшлх разлокекаЗ. .
В последней, четверг о а главо, рассаотрови некоторые, задачі! кшвшисного асимптотического оцодаваїш функционалов от решений сингулярно возмуцэнних СІЛ. Результати'"отой ■ глави ' имат как самоетоятальноо значение,.', так когут "рассматриваться- і: как приложение ПрИ39Д9КШД5 ШВв еЛГОрИїНОВ 8СІ2>аігОТі*.ЧОСКОГО рояояия заднч оптимального управления СИІ* Это свяаако с тек, что алгоритма мщпшксиого оценивания основану на -реівбіва: кексторцх задач сп-ткмапьного упрагишзш*.
В §1 рвссмотроиа задача шшаксаого .одаялааїші <$уівадіоашгов от рвавшій э&тштаческнж кроошх задач, т.в.'- на решзшіях задачи Днри- . хлв ' - ‘ ■ ■ ■ ■ ' ■
-£ и у(и) + а(2) у(и) = Г4(х),
У(и> с К0(П), (34)
опрвдзлщі оператор наблвдония
ф(х) = / Ч(х..С) У(£) с!£ + га(х) (85)
■ 0 ' . " и линейный функционал
КУІ = І в(х) у(х) сіх, б(х) є £„(£1). . (86)
- а • . -
Считаем, что неизвестный вектор Г = (Г.Д*) принадлежит эллипсоиду 5(ї) = { Г:'/(Г*и) +-'Гв(х))Йх 5 V }. (87)
■ . а . ' "■ ■ ■
і) классе оценок вада , ,
1(У) = І исх) <р(Х) их, и(х) Є-Ц(О) (88)
и • л ■ ■ ■
требуется найти оценку 1(у), удовлетворяющую условав
ТШонечШГО'.' Минимаксное оценивание функционалов от рове-ний вариационных уравнений в гильОертови пространствах.--К.:КГУ,1985.-81с.
inf sup |l<y) - l(y){ = ll(y) - l(y)J = o. (89)
<> s
Получены асимптотика .'дпшыахсшх алгорятков оцаниваиия для даух слу-чпт оператора наблюдения: (i)-q(3,£) = гсШ 3(?-х) (Ж.) - функция Дирака); (ii)- q(x,f) = m(x) пШ. При этом коэффициенты как втащи, так н внутренних разложений находятся аналитически. Если есть дазмогяюсть нгменять оператор в уравнении неОлвдешй! (85), то ошибку оценивания о шкн улучаить. С этой цель» км сто условия (89) аало рассматривать условие
’ • ' Л - .
inf inf sup ji(y> - Чу)| = Ji(y) - 1(У)| = g, (90)
9 u SI f > 4
гдй q-элакоц? некоторого фиксированного мложоствз I).
Эта задача аквивялеатна задачо сптжзльнсго управления: найти q <- U, доставлякоао
Inf - 1<у) = /р(х) ф{х) Ах, (91)
л а
гао фужщщ р, у удоа-яэтворязот таким задачам
(-8 12 + az = g(i) - |q(£,x)jrq(t,t))p(T))clT]d£, а п
* а л * <92>
I-с Д р ч- ар = 7.', р, z е ff0{D);
» А А
8Д р + ор = ^(£,х)(<рЦ> - ХЧ(?,Ч)У(Т})С1Т))(35.
. ° , ° (53)
> Л АЛЛА *
-е Д у + зу = р; р, у « Но(й),
Пусть ^(х,?) = ш(С) - £), гдз
и = {т(х> е Ь№(0): £$(х) < а(х) < £,<х). с, с 1ш(0>, £, > 0}п
П ('ДвиЯ л < Н}. (94)
Тогда задача (91)-(94) шее? рэшвниа у е > 0 при 85,(1 < Н, которое
удовлвтворнут условиям опттаашгости (1)-8ш| < Н:
* Л А *
' -и 2+ 0 2= Я(х) - П (Я)р(Х),
3 А
-е Д р + а р = 2,
г *
•5 Л Ф + а ф = -а(х> - т (я)ф (х),
г
-в Л ф4'-; а ф4= ф*.
j\p (v- ?,1 (x>)dx > 0 v* 6 Ц*,?*}, Г!
г.р.ф. е Й0Ш);
(lii-fnj - R. вшкшшется састока уравабшй из (95), с .яераеэастео
:^‘ИИ№...->»'Г ШД .
* - а *
/(Ф,р у к) (v - л! (x);dx > 0 vt е Ц^.1,], к = cunstjfO. (98)
w
V.3 (9с,; !\Я9ДУвТ, ЧТО ф,=-р, Фг--2. "’0ГД8. ИСКОМОЙ в - ^-(Х), X с- п и астжтшскав оценки строятся, исходя из соотноеззшй (92)-(93).Пра
Л У > R (97)
ЙЗ- (?<б> НЗХОДЕМ
- i; -- {х: к - р и) > 0* ri(x> = iU>>,
• * ' • ' . ■
Ц £х: А - р (х.) < О, Ш(Х) а■£1(Х)}, *98)
. Я, - ОЧ(П О П >; |!ИЦ * R.
\St А * -*>«
г. a р(х) « t\ , X > 0. Тогда s - tax , re U) = ♦*. £(х)
? г .
» (х) +■ е л з. Нулеваэ составшхцкв вшшш, разлошщг д-*л г.р.ф и миоюшуя X отделяют кисшства Г (х: ко - g (х)(а (х) + 5t(x)) >0},
Пт * 'х: \0 - g*(х.(а*(х) + 5*(х>) *<0}. (99)
nso= t)4(Ci< иПг_) = {х: я <х) = + к g(x) - й (х))« которив с точностью до дакоторшс окрестностей ft апяроковкируля кяа-Koci’Ba С..'Счигаом, что граница областей-(99) удовлетворяю. гсрадпо-
лахвиип 2. Для определанности оудем считать, что функшк g(x){a (х)» -.1 ’
- § (х)) шпунлы (вогнута) но ft одаоврвквкяо и сашзтргчна относя
твлько своих течек ишавлуиа (максимума). Пра этом решекиэ выроадев-<к.'2 задача задается формулами
P„U) -
g(x)(a (х) + £,(х)) ' , х и
1 /к
Я sign gu), g(x)-au6K0H0CTCRHHa Vx t
° г г i
£(х><а u> + 5*u)) . X G П -fc;
z
л
к -
[Ц'(Х>, X С Оіг, г І -і/2 а а а
сто<3> = іАо !ЖХ>І-3 <*> с <«*.€,). * с Я*,-
Ьд(х), х й Ог ,
В КОТОрЗ'Х К5*лЗЬ0СТШ«?' П . О , Л определяются ИЗ 38ДОЧЯ
9 3 3-і 2 2 1-і
віл { Хй <*Иа <х> * * /2 (х)(э (X) * £2Ш> Й1 г
* * * і з -і
+( Лй(х)|ііх)*<в*- ' X О (х)№- $ С.<г,)(!х) }
О'ЧлД,-» П.* °а-
лр:і ограівтчаіпта
К = /1е(*>|4* 'К " і + І а (л))сіх- / 5в(хісіх) >0,
Я, П'',П,^€г-* Л-
Лостроеняэ 'вастеих всшотот, а также ал обоев чачле осупве-г&аявтея аналогично §1.2» так как задача (91)-(Э4) надставляет собой задачу оап-тяыюго уараатеняя с мультяишгаяюным улрэшяпкеч. Для моде-льпай задачи провод&и чнслонш-Л экспзркмввт, поавсляэдзй судить с качество ТЮЩЧ5ШШХ. асимптота».
В 52 иарагреДя построена асизштотачэскке яздакглсш5 оценки лілейних фуіпщкензлоз, опрэдэ.теишх ш» ротшшх стацнокзряах саягу-лмрно-гогмудаипих краввах задач пореноса частей излучения) в. икос-ком с.юв. Локаэзиа аснмптстичвсхая р&лексацисшость оценок (см. 51. 4), дано ойосаоват:й рвлаксацкошюго асимптотического алгоритма щц-дкаксного оценивания, который на каадом шага состоит из трах задач, рошаемл: аналитически.
О последам параграфа' рассматривается задача кяикмаксного оцвга-ййїшя теплового 1юля із тонкой штстанэ. Получена вдроеденпая задача двя мизгагаксиих оценок, которая может бать рввеиа методом Фурье. 1'рхбликепия бо^во бксских порядков получаются аналогично 53.1.
Основные розульгаты диссертации опубликовали в елндувдих работах:
1. Капустин З.Б..Михайлова Т.О. Субоїтшальнсе управление для ннстацжшаріш параболических уравнений с двумя вязками гратщами.
.-Докл. АН АССР. Сор.А. ,1585,N11,с.57-60.
2. Капустгш ІЗ.Н.,Михайлова Т.О. Сіінгуляріша вогмуаанкя а очдаче синтазв оптимального управления для высокоинтенсиякнх процоссоо
зз
теплопроводности.-Адаптивные систеаи автоматического управления.-К.:Т«шиша,1985, ШП. ІЗ.с.9-17.
3. Кєпустян В.Е.,Михайлова Т.й..Носатешсо А.Н. Управление и оценивание ..ля нестационарного процесса теплопроводности с вязками границами.-В кн.:Вторая научно-техническая конф. сом-еках и польских молода ученьк, выпускников вузов СССР. Киев,1986,с.53-56.
4. Капустян В.Е. Асимптотическое оптимальное управление процессом
пэроноса.-В кн.гМеадународный Сов.-Польский семинар "Математические метода оіггимального управления л их приложения.' Минск, 1939, с. 167-169. '■■■■■ ' ' - ■ ’ • . ■ ' - ' ' ■
5. Капустин В.Ё. Асимптотический анализ оптимального, управления для процесса переноса частиц. -Автоматика,! 989.N6, с.56-69.
€. Капустян В.Е. Оптимальное управление параболическими урввдвшиаи с последействием.-В кн.:Лигун А.А., Капустин В.Е., Волков О.И. "Специальные вопроса теории приближений и оптимального управления распределенными системами".-К.:Ввда шкода,1990,с.75-153.
7. Капустян В.Е. Асимпотическив' метода в решении критической задачи оптимизации переноса частиц.-В кн.: III Всесоюзная школа.
* Понтрягинские чтения. Оптимальнее управление., геометрия и аиидиз."Тез. докл..Кемерово,1990,с.144, .
8. Капустян В.Е. Асимптотический анализ критической задачи оптк&аюадии дія протеса переноса.-В кл../П Всесоюзная коїіф. "Управление в механических системах*. Тез. докл., Свердловск,1990, с.49. ’ ' . ■■ ■■ ■ .. '•
9. Капустян В.Е. Минимаксное оценивание для сингулярно возмущенных краевых задач переноса в плоском сдое.-Автоматика, 1991,N2,31-36.
10. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальних эллиптических задачах.^Еокл. АН йфаины, 1992,N2,0.70-74.
11. Капустян В.Е. Асимптотическое ограниченное управление в оптимальных эллиптических задачах.-Автоматика.1992,ИЗ,с.59~€6.
12. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в дтаамическихраспределаншх системах.-В кн.: Тру да международного семинара "Устойчивость и колебания наотнайшх систем управления*. Тез. докл..Москва,1992,с.47.
13. Капустян В.Е. Прямой иетод решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления процессом переноса частщ.-іШфф. урашения,1992,т.28,Н7,С. :230-1242.
14. Капустян В.Е. Оптимальные Оисингулярныо эллиптические задачи.-
з*
В кл.ілєз. докл. научно- теза, хогір. СНГ ‘Контроль и управление я технических системах".Винница, 1992,с.54-55. .
15. Капустин В.Е. Асимптотическая стабилизация распределенных систем ограниченным управлением.-В кл. :'1'оз. докл. международной математической конф."Ляпуновскив чтения". Харьков,1992,с.71-73.
16. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных билинейных эллиптических задачах.-Докл. АН Украины,1992,N9, с.35-33.
17. Капустин В.В. Оптимальные Сисингулярные эллиптические задачи с огрьничвннш управлением.-Докл. АН Уїсраиш, 1993,N6,с. 81-85.
18. Капустян В.Е. Оптимальнее ограниченное управление тепловим полом в тонких толах.-Докл. АК Украины,1993,N11, с.84-88.
19. Капустян В.Е. Глобальные ограниченные управления в оптимальных сингулярно возмущенных эллиптических задачах.-Докл. АН Украшш, 1993, N12. С.79-83.
20. Капустян В.Е. Асимптотика управлений в оп^’мальшх сингулярно возмущенных параболических задачах. Глобальные ограничения на управление.-Докл. АН (Россия),1993, т.333, N4,с.428-431.
21. Капустян В.Е. Лселптотичєс.шй анализ ограниченных управленій! в оптимальных эллиптических задачах. -Укр. мат. журнал,1993,N8,т.45, с.1072-1083.
22. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальних сингулярных параболически, задачах. -Укр. мат. ;;урн.эл, 3993,N10,т.45,С.1337-1347.
23. Егоров л.И., 1' лустяя В.Е. Сингулярные возмущения в оптимальных системах с распределенными параметрами.-В кн.: Тез. докл. международного семинара "Негладкие и разрывные апдачи управления и оптимизации." Челябинск, 1993,с. 53-54.
24. Kapustyan V.E. Asymptotics of ccnstralnting optimal control
systems with singular distributed parameters.-International
workshop “Singular solutions and perturbations In control systems”. 1993, Pcresiavl-Zalessky,Russla,p.22.
25. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных параболических системах. -В кн.: Тез. докл. межгосударственной научной конференции:"Динамические систешгустойчивость, управление, оптимизация. ” Минск , 1993, с. 49.
. Кяпустлн Владимир Емельянович
ОПТИМАЛЬНОЕ ОГРАНИЧЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗИЭДЕИНЮЙ СИСТЕМАМИ С РАСПРВД5ЛШШІ ПАРАМЕТРАМИ
01.01.09 - математическая кибернетика
Подписано к печати 11.04.94. Форычт 60x8^/16. Букега
Для множительных аппаратов. Печать офсетная. 'Усл.печ.л.2, Уч.-изд.л.2,0. ТирагДСЮ экз. Заказ 307. Бесплатно.’
Участок оперативной полиграфии ДРТУВТ: 320700, ГСП, Днепропетровск, 10, ул.Акпд.В.* .Лезяряна, 2
