Оптимальное управление продуктивностью одновидовых растительных сообществ с учетом конкуренции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГ6 од

РОССИЙСКАЯ А1ШШМИП НАУК ИНСТИТУТ СИСТШЮГО АНАЛИЗА

На правах рукописи

САМОйЛЕНКО Владимир Владимирович

УДК 501.524.1:001.57

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОДУКТИВНОСТЬЮ ОДНОВИЦОВЬИ РАСТИТЕЛЬНЫХ СООБЩЕСТВ С УЧЕТОМ КОНКУРЕНЦИИ.

01.01.II - системный анализ и автоматическое управление

Автореферат диссертации на соискание ученоа степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993 г.

Работа выполнена в Институте Системного Анализа РАН и Институте Водных и Экологических Проблем ДВО РАН.

Научный руководитель Официальные оппоненты -

' Ведущая организация

доктор технических наук, профессор ПЕГОВ С.А. доктор физико-математических наук ПЫХ Ю.А., доктор технических наук ХОМЯКОВ П.М.

Институт Физики Атмосферы РАН.

Защита состоится "_" _ 1993 г. в _часов на заседании специализированного Совета K-003.63.0I в Институте Системного Анализа РАН по адресу: 117312, г.Москва, пр. 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСА РАН. Автореферат разослан "_"_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доктор физико-математических наук

А.П.Коростелев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность. Продуктивность растительных сообществ и

вопросы управления ею всегда были объектом внимания аграрного производства. Дополнительный интерес к этим проблемам вызван охраной и восстановлением биоты в связи с возрастающим влиянием человека на окружающую среду.

Уровень сложности задач управления экосистемами требует соответствующих способов их решения, что подразумевает, в частности, исследование всего множества допустимых вариантов и реализацию управляющих воздействий экологически чистыми средствами. Важным фактором является также время, в течении которого должно быть получено решение задачи.

Приемы управления продуктивностью-рартиггельных систем, базирующиеся исключительно на эмпирике, далеко не всегда удовлетворяют этим положениям и потому на практике оказываются малоэффективными. Значительное продвижение вперед связано с применением в данной области методов системного анализа и теории управления.

Успешное решение задачи управления продуктивностью растительного сообщества во многом зависит от степени адекватности математической модели реальному объекту. В этом смысле очень важным является учет в математической модели конкуренции меяшу растениями за ресурсы окружающей среды. Определяется это тем, что конкуренция; выступая основным механизмом системной организации фитоцзнозов, оказывает серьезное влияние на продуктивность как отдельных растений, так и сообщает-

ва в целом.

Несмотря на успехи математического моделирования растений и наличие достаточно большого экспериментального материала по данной тематике, проблемы управления продуктивностью разработаны весьма слабо. В этой ситуации постановка, решение и исследование такого рода задач являются актуальными независимо от специфики сообществ.

Целью диссертации является разработка теоретических основ управления продуктивностью одновидовых растительных сообществ с помощью регулирования силы конкурентных связей между растениями. Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

- Постановка и исследование возможности упрощения задачи управления продуктивностью одноввдовых, одаовозрастных растительных сообществ;

- Постановка и решение задачи управления продуктивностью од-новвдового сообщества в случае постоянной плотности;

- Анализ чувствительности оптимальных решений к вариациям параметров модели растения:

- Разработка методов и алгоритмов упрощающих; решение задачи оптимизации продуктивности сообществ в случае переменной плотности.

Основные научные результаты, выносимые на защиту.

1. Идея "эквивалентного" (среднего) растения, позволяющая использовать более простое модельное представление сообщества при оценке его продуктивности.

2. Постановка, исследование и решение оптимизационной задачи

(У

в условиях постоянной начальной плотности и заданного типа размещения растений.

3. Метод решения задачи оптимизации продуктивности с использованием экспериментальных данных для сообществ с произвольным расположением растений и относительно постоянной плотностью.

4. Методы решения оптимизационной задачи при изменяющееся плотности: идея сохранения горизонтальной структуры сообщества и детерминированно-стохастическиа подход.

Практическая ценность. Предложенные в работе подхода,

идеи и метода решения задач, а также полученные результаты могут наати применение при прогнозировании урожая монокультур и его качества, определении норм посадки растений, экономической оценки эффективности возделывания культур, постановке и решении задач управления системами "пастбища - травоядные", проведении экспериментальных и теоретических работ то изучению процесса конкуренции между растениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на и Всесоюзном совещании "Общие проблемы биогеоценологии" (Москва, 1988), IV конференции молодых ученых (Пущино, 1988), семинарах отдела системной экологии ИСА РАН, конференциях-конкурсах молодых ученых ИВЭП ДВО РАН (Хабаровск, 1985-1988).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Объем и структура диссертации. Работа состоит из введе-

ния, трех глав, заключения и приложения, содержит 136 отраниц, из них 103 страницы текста, 16 рисунков и I таблица. Библиография насчитывает 151 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель и основные задачи работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия и дается обзор

подходов к построению математических моделей продукционного процесса растительных экосистем. Подчеркивается необходимость отражения в математической модели сообщзства важнейшей особенности растительной экосистемы - конкуренции между растениями. Формализация конкуренции сводится, как правило, к вычислению реально доступных растению ресурсов или же к определению той части пространства, например, площади роста, которое приходится на растение.

Далее рассматривается современное состояние в управлении продуктивностью растительных сообществ. В зависимости от управляющих воздействий выделяются два класса подходов к управлению продуктивностью. К первому относятся те, в которых управление продуктивностью построено на' регулировании ресурсов окружающей среды, второй составляют те, где управление продуктивностью производится.с помощью изменения структуры растительного сообщества. Анализируются два основных недостатка первого направления: "односторонность" управления и слож-

ность предсказания величин ресурсов во времени. По второму направлению отмечается недостаточность развития теоретической базы и преобладание экспериментальных работ.

Третий параграф посвящен постановке задачи управления продуктивностью одновидового, одновозрастного растительного сообщества. Б качестве переменных состояния системы предлагается использовать биомассы растений, а управляющими переменными считаются плотность растений и способ их расположения на горизонтальной поверхности, что относит данную задачу к классу задач управления продуктивностью с помощью изменения структуры сообщества.

Рассматривается математическая модель одновидового, одновозрастного сообщества N растений (N>>1):

X' = ИХ.«. Х(0) = X . (I)

О

где X = (х ,х .....х ) - й-мерный вектор биомасс членов сооб-

1 2 N

щества, Г - в общем случае нелинейная вектор-функция. Каждое уравнение системы (I) характеризует рост биомассы отдельного растения с учетом конкурентного влияния на него всех остальных особей. Продуктивность сообщества в момент времени 1;е[0,Т] определяется как

N

У = I X (Т), (2)

1 1=1 1

Нетрудно видеть, что практическая работа с моделью серьезно затруднена ввиду большой размерности системы (I).

Более перспективным выглядит вариант оценки продуктивности в виде

Ч = N х<Т), 2

который предполагает, что модель сообщества задается уравнением

х- = кх.г).

х(о> = х

(4)

где х - биомасса некоторого "эквивалентного" (среднего) растения. Уравнение "эквивалентного" растения (4) позволяет упростить модельное представление (I) одновидового сообщества, сохранив вместе с тем в себе описание специфической черты последнего - конкуренцию меаду растениями.

Начальная задача заключается в обосновании такого подхода. Модель (I) рассматривается в виде

X' = АХ, (5)

с начальными условиями

х<г > = х , о о

(6)

Матрицей А определяется характер взаимоотношений между растениями в сообществе:

А =

а а а ... а

12 13 1Ы

а а а ... а 12 23 2Ы

а а а 2К ЗН

(7)

Диагональные элементы матрицы А одинаковы (растения одного вида и возраста), а душ недиагональных а^, 1,3 = 1,2,...

описывающих взаимодействие 1-го ,]и 3-го растений за некоторый комплекс ресурсов, из физических соображений следует симметричность а.^ = а^д.

Теорема I. Пусть система (5),(б) с матрицей А вида (7) имеет решение на и оно единственное. Тогда для любого теЕ^.Т]

оценка ВИда (2) сводима к оценке вида (3), что означает переход от системы (5),(6) к соответствующему уравнению (4).

Поскольку теоремой I подтверждается правомерность перехода от модели сообщества к модели "эквивалентного" растения только дая отрезков времени, на которых число растений сообщества N остается величиной постоянной, то доказывается Теорема 2. Пусть в дополнение к условиям теоремы I известно, что численность растений сообщества N может изменяться с течением времени t некоторым монотонным образом. Тогда можно утверждать, что для данного сообщества допустим переход от модели сообщества к модели "эквивалентного" растения.

Во второй главе рассматривается задача получения максимума наземной биомассы сообщества при заданном расположении растений и предположении о неизменности начальной плотности.

Предполагается, что рост любого растения в сообществе описывается уравнением:

N

щ' = ат - I Ь т т , 1=1,2,... .И (8)

1 1 Л=1 1 3

где т^ - надземная биомасса 1-го растения, а - относительная , скорость роста, Ь^ - коэффициент конкуренции 1-го и 3-го растений, зависящий от расстояния между ниш, N - число растений, находящихся внутри элементарной площадки. Начальные условия для уравнения (8) задаются в виде и1(0) = ш0, 1=1,2,...,N. Продуктивность растительного сообщества с элементарной площад-

ки оценивается с помощью функционала

Т

2 Г

.1(г.г) = [(1+г)(1+2г)/гг ] ■» т* (г.гД)^, (9)

О

полученного на основе идеи "эквивалентного" растения (результата главы I) и с учетом схемы размещения растений, которая представляла собой прямоугольную матрицу с расстоянием г между растениями по горизонтали. и гт по вертикали. На параметры г и г накладываются естественные ограничения

0<г£1, г>0. (Ю)

Задача заключается в том, чтобы определить такие значения г и г, при которых продуктивность сообщества (функционал (9>), вычисленный в силу связей (8),(10), принимала наибольшее значение. Конечное время Т фиксировано.

Имеет место Теорема 3. Если в задаче управления (8),(9), (10) скорость накопления биомассы растения не зависит от величин гиг, то .данная задача решения не имеет.

Следовательно, одновидовые сообщества растений, в которых особи но взаимодействуют друг с другом, в принцита не могут обеспечить максимальный урожай.

Далее считается, что рост биомассы растения зависит от г и г, а коэффициент конкуренции задается в виде

Ь = Ь0ехр(-гх),

где Ъ0 и г - положительные параметры, х - расстояние. В результате преобразований задача (8)-(10) сводится к поиску экстремума функции

2

«Кг,г) = С(1+г)(1+гг)/гг ] [А/(1+Е(г,г))-Б], (II)

где А = ш0/ехр(-а1), В = ш0Ь0(1-ехр(-а1))/аехр(-а1), Б = ш0 и

К М КМ /222

V -г1г V -гЗгг V V -гг/ 3 г +1

Е(г,г) = 2 ¿е + 2 ¿е + 4 2 2е . (12)

1=1 3=1 1=13=1

В работе получена формула для эффективности конкуренции Е в случае большого количества конкурентов (К и М - велики):

2 2 ■

Е = 2/(ехр(гг)-1) + 2/(ехр(г2Г)-1) + 2п/2Г г . (13)

с использованием которой для г=1 и п = (1+г)/г доказана Теорема 4. Для функции продуктивности сообщества <1(п) вида (II), имеющей эффективность конкуренции 1(п), представленной формулой (13), существует такое значение п = п1, при котором <1(п) вогнута и унимодальна на отрезке [п1 .г^] (г^®) при любых положительных А,В и г. Если же выполнено условие г £ В +

+ /В2 + 2ггВ , то <1(п) вогнута и унимодальна на отрезке [1 .нечисленно задача решалась для сообщества клевера (г полагался равным I). Вычисленный и полученный экспериментально максимумы почти не отличались по абсолютной величине, тогда как соответствующие им значения плотности имели существенные различия. Рассчетами установлено, что оба этих значения принадлежат достаточно широкому диапазону плотностей, при которых возможно получение квазиоптимального урожая.

Показывается, что модификацией критерия задаче можно придать экономическую окраску. Достигается это введением коэффициента а(, характеризующего доход, полученный от единицы конечной биомассы, и коэффициента V, включающего затраты, связанные со стоимостью начальной биомассы и ее размещением на площадке для дальнейшего роста:

J(r,z) = [<1+r)(1+zr)]/zr ÎAj[A/(C+b(r,z)B)J - I'D),

✓4

причем J выражается в денежных единицах на единицу площади.

Далее внимание уделяется исследовании чувствительности экстремума JQ к вариациям параметров модели (b0,r,m0,a,z). Анализ вычисленных коэффициентов чувствительности говорит, что только возрастание bQ приводит к уменьшению значения JQ. Установлены группа "нейтральных" параметров (b0,m0,z) и группа "существенных" (г,а). Показано, что некоторые "нейтральные" параметры могут оказаться весьма привлекательными для практических приложений. В результате масштабирования коэффициентов чувствительности построена последовательность параметров по степени их влияния на величину продуктивно ста J: {r,a,b0z,m0}.

В четвертом параграфе главы разработан метод определения экстремума надземной биомассы одновидового растительного сообщества, в котором расположение особей друг относительно друга заранее неизвестно. Задача сводится к поиску экстремума функции:

max J(N) = N {[ m0A/(1+m0Z(N)>] - m0>, (14)

NeM.Ng]

где обозначения имеют тот же смысл, что и выше. Функция E(N) = = b(N)(exp(aï)-1)/а - функция эффективности конкуренции, a Nc-правая граница интервала поиска.

Показано, что если эффективность конкуренции "оптимальная", т.е. определяется формулой

I0(N) = 1/m0 [AN / (N + p) - 13, (15)

то любая точка из интервала [1,1^] может обеспечить локальный максимум задачи (14). Фиксированные значения параметров п>0 и р (р>0) дают одну и ту же величину продуктивности сообщества «10 для всех значений N£[1 ,ыс].

Если для рассматриваемого сообщества растений известна функция реальной эффективности конкуренции ^(Н) (полученная, например, по результатам экспериментов над сообществом), то решение задачи (14) сводится к исследованию решений уравнения

Е0(11, р) = ЕрОО, (16)

от параметра р. Если уравнение (16) имеет целые положительные корни на отрезке Шр^З, справедлива следующая Теорема 5. Пусть р) представляется формулой (15), а 1^(1!)

является непрерывной функцией аргумента N на отрезке Шр^Ь Тогда среди допустимых значений параметра р, удовлетворяющих условию 0<р<+», можно отыскать такое р*, при котором один из корней уравнения (16) является решением задачи (14).

Третья глава посвящена способам решения задачи оптимизации величины наземной биомассы растительного сообщества в условиях переменной плотности N(1:).

Динамика растительного сообщества описывается системой иг = 1(ш,й,г). (17)

1*'=8(1и). (18)

Н'=ь(м.г>. (19)

где И - множество, характеризующее горизонтальную структуру сообщества, например, множество расстояний. Начальные условия т(г0) = т0, И(г0) = 1*0. Н(-Ь0> = й0. (20)

Практический интерес представляет величина продуктивности

сообщества к моменту времени г = Т: ,

N(1)

КТ) = 1 т1(Т) = ЩТ)т(Т). (21)

1=1

Цель задачи оптимизации продуктивности состоит в определении таких значений Я0, П0 из некоторой области их допустимых значений, при которых система (17)-(20) обеспечивает получение за время Ь = Т максимум функционала (21).

Решить задачу (17)-(20) с функционалом (21) в общем случае не представляется возможным, поскольку неизвестно как формализовать процесс изменения расстояний между живыми растениями во времени (неясен "алгоритм" отмирания).

В работе предложены два эвристических подхода, позволяющие все-таки получить решение задачи (17)-(21).

Суть идеи сохранения горизонтальной структуры сообщества состоит в том, что вслед за изменением плотности N(1) в момент времени I (0<1;<1) происходит мгновенное перемещение растений по единичной площадке так, что изначально заданная горизонтальная, структура не претерпевает изменений. При этом, естественно, безразлично какие именно растения (в каких точках единичной площадки) выпали из ансамбля, существенно лишь общее число отмерших за последний отрезок времени. Это сугубо теоретический прием, который тем не менее можно реализовать на практике, например, в искусственных условиях выращивания.

Такая посылка дает возможность расчитывать элементы множества П некоторым стандартным образом, вследствие чего модель (17)-(20) заменяется на более простой вариант:

N'= g(N,t), с начальными условиями

m(t0> = m0. N(t0) = N0. (23)

Так как при расчетах новые значения N(t) не всегда будут точно "вписываться" в структуру сообщества, то возникла необходимость рассмотреть эту проблему.

Теорема 6. Пусть система (22),(23), представляющая модель сообщества, имеет решение на [0,1] и оно единственно. Тогда для указанной системы можно выбрать такие дискретные возмущения переменной N в ряде точек интервала [ОД], что суммарное отклонение полученой траектории от невозмущенной к моменту времени t = Т не будет превышать наперед заданных величин И eZ.

Предложенная идея проверялась на реальных экспериментальных данных по культурным сообществам сосны и дуба. В обоих случаях продуктивность сообществ оценивалась с использованием "эквивалентного" растения. Джя сосны схема размещения растений представляла собой квадратную матрицу. Описание роста биомассы задавалось уравнением из второй главы, а процесс отмирания в сосновом сообществе моделировался комбинацией формул Дидковского и Хильми:

N(t) = N0exp(-c(N)(t-t0)), где N0 - начальная плотность при t=tQ, c(N) - параметр. Параметры математической модели, идентифицировались методом наименьших квадратов. Временной интервал моделирования роста сообществ разбивался на одинаковые отрезки (один год) и для каждого отрезка применялась процедура корректировки плотное-

та. Принималось, что допустимые пределы отклонений по ш(т^) и Щт^) не должны были превышать 20% максимальных величин ш(г1) и Щт^), 3, 1=0,1.....1-1. Модель интегри-

ровалась методом Рунге-Кугта четвертого порядка с шагом 0.1.

Аналогичным образом исследовалось и сообщество дуба. Отличия от случая сосны были незначительные. Так схема расположения растений представлялась прямоугольной матрицей, несколько иначе выглядело описание процесса отмирания, короче был временной отрезок моделирования, использовались другие значения параметров и начальных данных.

Полученные кривые продуктивности и плотности хорошо соответствовали экспериментальным данным как в одном, так и в другом случае, что дало основание считать выдвинутую идею в целом работоспособной.

На базе апробированной идеи задача оптимизации продуктивности решалась применительно к сообществу сосны. Установлено, что максимум продуктивности равный 447.718 м достигается при плотности 3150 шт./га. Отмечается, что целочисленные значения плотности, полученные в соответствии с алгоритмом идеи сохранения и заданной структурой сообщества, могут явиться причиной колебаний кривой продуктивности. Проведенным вычислительным экспериментом показывается, что подобный эффект устраняется более "мягкой" дискретизацией текущих величин плотности, когда последние представляются действительными числами с десятыми и сотыми долями.

Вторая часть главы посвящена несколько другому идейному "подходу. В его рамках предлагается придать модели сообщества детерминированно-стохастический характер. Динамика роста сред-

него растения сообщества, также как и динамика плотности растений задается посредством специальных детерминированных законов. Вероятностный аппарат применяется при моделировании изменений горизонтальной структуры сообщества во времени, т. е. фактически для нахождения расстояний между растениями (уравнение (19)).

Таким образом, основная часть алгоритма численного интегрирования модели сообщества включает в себя для текущего времени 1=1,2,...т; расчет значения биомассы среднего растения т(1;^) и изменения плотности = N(1:^) - Ж^^) согласно заданным законам изменения биомассы и плотности; определение конкретных растений (по номерам или по расстояниям), которые якобы отмерли на данном шаге в результате конкуренции; пересчет изменившихся расстояний между живыми членами сообщества. Имитация "отмерших" растений воспроизводится с помощью датчика случайных чисел и некоторого закона, характеризующего вероятность отмирания растений в зависимости от величины расстояния. Общее число таких растений составляет равно ¿Ы^.

Использовались следующие представления распределений:

1 (х-х0)2

■е = -ехр[--2— 3» с > О,

норм 2.0

ч2по

Р = хехр(-хх), х > О,

эксп

хк

<р = —:— ехр(-хк) х^"1, к-целое, к > О,

гамма С(к) X > О,

(24)

{О, при х < а,

1/{Ь-а), при а « х < Ь, О, при х > Ь,

где с(к) - гамма-функция к, а х > О, так как под переменной х понимается расстояние от рассматриваемого растения до любого другого в пределах единичной площадки.

Этот способ также тестировался на примере соснового и дубового сообществ. Проведенные вычислительные эксперименты с разными значениями параметров законов показали, что для сообщества сосны более предпочтительно выглядели равномерное и экспоненциальное распределения, а для сообщества дуба -экспоненциальное и гамма-распределение. Отмечено, что для обоих видов растений независимо от закона распределения начальная часть кривой продуктивности «ГШ оставалась почти одной и той же. Объясняется это тем, что малые отклонения биомассы среднего растения при разных законах распределения смертности нивелировались большими значениями плотности. Это дает основание утверждать, что для продуктивности сообщества на начальной стадии безразлично какие именно его члены будут отмирать. Из этого, в частности, следует, что моделирование начального этапа без особого ущерба может осуществляться с использованем любого из рассмотренных распределений (24).

Далее для соснового сообщества, представленного детерми-нированно-стохастической моделью, решалась задача оптимизации начальной плотности растений с целью получения максимальной продуктивности сообщества «Г к.моменту времени Т. Детерминированная часть модели ничем не отличалась от той, которая использовалась в первой части главы, а за основу стохастической

было принято экспоненциальное распределение с х = 0.0012 как одно из наиболее удачных. Результат решения достаточно схож с тем, который был получен при решении задачи с помощью идеи сохранения горизонтальной структуры сообщества во времени. Отличия состоят в абсолютном значении оптимума продуктивности и в степени выраженности экстремума.

В сравнительном отношении этих подходов идея сохранения имеет преимущество перед детерминированно-стохастической моделью с точки зрения практического использования и затрат времени, поскольку обеспечивает получение слабочувствигельных результатов и не содержит сортировок и процедуры выбора "отмерших" растений.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссерггации.

В приложение вынесены рисунки и графики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Доказана справедливость выдвинутой гипотезы•"эквивалентного" (среднего) растения, согласно которой для оценки продуктивности сообщества растений математическая модель такой системы может заменяться .моделью "эквивалентного" растения.

2. Сформулирована задача управления продуктивностью оддаови-дового сообщества при условии относительного постоянства плотности. Доказано, что в отсутствии конкуренции между растения-

ми оптимизационная задача решения не имеет. Подучена формула эффективности конкуренции, когда количество конкурентов велико. Установлена вогнутость и унимодальность функции продуктивности на отрезке поиска экстремума. На основе численного решения задачи для сообщества клевера показана слабовыраженность экстремума и наличие интервала квазиоптимальных плотностей.

3. Исследована чувствительность параметров модели. Выявлены группы нейтральных и существенных параметров. Построен параметрический ряд по степени влияния параметров на результат решения задчи. Проанализировано смещение точки оптимума при изменениях параметров.

4. Разработан метод решения .оптимизационной задачи, использующий экспериментальные данные, для произвольного расположения растений и условия относительно постоянной плотности.

5. Предложены два новых подхода, позволяющих получить решение задачи оптимизации продуктивности в условиях естественного уменьшения плотности: идея сохранения горизонтальной структуры сообщества и детерминированно-стохастический подход. Идея сохранения обоснована соответствующей теоремой. Работоспособность обоих подходов подтверждена численными расчетами по двум древесным культурным сообществам: сосны и дуба.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:

I. Самойленко В.В., Самойленко Л.А. Моделирование роста корневой системы растений и его влияние на процесс поглощения минеральных элементов// Методы построения и анализа сложных природных систем. Владивосток. ДВНЦ АН СССР. 1987. С.

17-26.

2. Самойленко D.D. Обоснование возможности исследования динамики агроценозов с помощью модели "эквивалентного" растения// Тезисы докл. iv конференции молодых ученых. Пущино. 1909..С. 00-09.

3. Самойленко D.D. Оптимальное размещение растений в однови-довом сообществе с заданной структурой// Изв. АН СССР. Сер. биол. 1920. n 5. С. 663-672.

4. Самойленко B.D. 0 некоторых способах решения задачи управления продуктивностью растительных сообществ. ИВЭП ДВО РАН. Хабаровск, 1992. 54 с.

5. Самойленко D.D. Определение плотности растений, обеспечивающей максимальную продуктивность сообщества (в печати).

САМОйЛЕНКО Владимир Владимирович

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОДУКТИВНОСТЬЮ ОДНОВИДОВЫХ РАСТИТЕЛЬНЫХ СООБЩЕСТВ С УЧЕТОМ КОНКУРЕНЦИИ.

Автореферат

Формат 60x90/16 Печать офсетная. Ус. п.л. Тираж 100 экз. Заказ

' Офсетно-ротапринтныа цех ИВЭП ДВО РАН г.Хабаровск,, ул.Ким Ю Чена, 65.