Оптимальное управление системами гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УЖ 517.97

СУРАНЧИЕВ Амандоо жапауович

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕ/АШ1 1ВДЭДИШШИЧЕСК0Г0 ТИПА

01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ко соискавиз упокой степони кандидата фнзико-математаческих наук

СМЖТ-ПЕТЕРВУГТ - 1992

Работа выполнена на' кафедре теории управления факультет« прикладной математика - процессов управления Санкт-пехероурх--ского университета,

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

член-корр. АН СССР. доктор д.изико-матештических наук, профессор ЗУБОВ Владимир Иванович

доктор технических наук, профессор ЛХШ'Ж Геннадий Тихонович

кандидат физико-ь:атег/.атических наук ЛЫКОСОВ Виктор Михайлович

Ведущая организация:

Нижегородский государственный университет им. н.И. Лобачевского

Защита состоится "^лЛ" . Т9Р2 г. в

6

часов

на заседании специализированного совета K-063.57.I6 по приоуя-дешш ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете по адресу: IP0C04I Санкт-Петербург, В.О., 10-я линияi дом 33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г. Санкт-Петербург, университетская набережная, ДОМ 7/9 /.

Автореферат разослан •¿L Т992 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета

K-CS3.57.I6, доцент ,/ ^ В.Ф. Горьковой

0Ш1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬ!ЮСТЬ ТЕМЫ. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами в настоящее время находится на стадии становления. Многие важные и интересные вопросы остаются открутим» или иссдедоваш1 неполно, одним из таких вопросов являэтся задача управления системами гидродинамического тина, в частности, управления системой Обербека - Буосинеска, описывающей дважениэ вязкой олабосжикаемоЦ жидкости при конвекции. Изучение упомянутой задачи управления примыкает к теории

сингулярного управления системами с распрэдолзншми параметрами

1) 2) Эта теория, предложенная А.в.^урсшсовим и К.-Л. Ляписом и

применяемая для управления и наблюдения системами, которые задаются с помощью некорректно краевых задач математической казаки, з пооледиээ время интенсивно раэвивавтся учеными многих tvrpau, Здесь ооиоэиая трудность заключается з том, что часто оказывается нэязвестшш результат об однозначной разрешимоета соответствующих уравнении а частных производных в трэхиарном оду-чаз а, itaic слздотвир, невозможность арименеяял традиционной теории оптимального управления^.

Ы ivpcauoa A.B. СвоЗотвп решения некоторых экстремальных задач, звлзашшх з зазтвмоЗ Павьо-С'окоа, - мат. аопряия, 1982, ИЗ» знп.З, з. Л21-34Э.

2.) Зам» 1,-д, уяраадэнаэ з-лигуляршши раопрелэлэняша оаотэяпма

Пара, ID37.

3.) Ячпнз Оягцздльпоэ унрамаяпэ суигэквуя, опиоывазши.'Л уразпвяаяия з -тазтлыаа лрйззапдтш. - м», yaj, 1Э72.

Серьезные трудности возникают и при получении необходимых или достаточных (или тех и других одновременной условий оптимальности, особенно при наличии разовых ограничений. Преодоление таких трудностей для конкретных задач является актуальной проблемой.

ЦЕЛЬ РА1ШН: доказать ноиые теоремы существования сингулярно-оптимальных пар для упомянутой задачи при распределенном и граничном управлениях; получить необходимые условия сингулярной оптимальности; исследование связи сингулярной управляемости системы Навье - Стокса о проблемой разрешимооти системы Обербека -Еуссииеска; изучить вопросы сингулярной управляемости системы уравнений модифицированной задачи Навье - Стокса.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАБОТЫ основан на использовании результатов существования решении параболических и аботрактно-парабо-лических задач и метода Лионса . в диосертадии широко используется теория пространств Соболева и, в частности,- теоремы вложения Соболева, кетоды компактности.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты,

т. Получены новые теороыы существования оптимальных пар для сиотекы пберйока - Гуссвнеска в сингулярном смысле при распределенном и граничном управлениях.

2, Получены необходимые условия сингулярной оптимальности пг;>ы "состояние - управление" и выведены новые априорные оценки для сопряженных состояний для системы обербека - Еуссинеска при распределенном и ггпличное управлениях.

3. Получены новые необходимые условия оптимальности и теор-еш существования нар для системы Навье - Стокса, когда (}ункци-

онал оценивания состоянии включает уравнено анергии.

Исследован вопрос о разрешимости задачи управления модифицированными уравнениями цавье - стокса. получены теорема существования решения этой задачи и теорема о необходимых условиях оптимальности пары "состояние-управление®

ПРШГОШИЯ. результаты диссертации могут найти применение в ряде математических задел. например, получение априорные оценки, необходимые услоЕИЯ могут быть использованы для описания множества правых частей систем пбербека - Еуссинеска шш цавъе-Стокса в вопросе раэретиь'ооти последки в целом.

"Система оптимальности пери "скорость-температура", полученная в задаче управления уравнениями кавье-Стокса с функционалом качества, включающим уравнение энергии, может быть использована для соответствующих вычислительных процессов теории тепло- и массообмена.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ, результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории управления и весенних научных коийэрен-циях студентов и аспирантов факультета прикладной математики « процессов управления СИбу /' 1989 - 1991 гг./, на научной ?'онфо-ренции, проведенной кафедрой математического лнплиза ДГП'Л гм. А.И.Горцена / 1989 р./, па 7-ой Всесоюзной кмфзрвншш ''травление в механических системах" /овердловск,Н:00/, па г.2-ом иел-рэгкональиом семинаре молодых ^нзннх /сворадоиск, лий! г./,

ПУБЛИКАЦИЙ, ссновнш результаты д&ссорюшш опублчкогшш в статьях а - Зз.

СТРУКТУРА И ОБШ РАШШ. Лгхоертацпя соолоит гз тг»)шчиг четырех глав н списка лптера'гурц из е2 иашеипииниВ. сД-рн забота составляет 84 страница машинописного '•'.¡кета.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, цель работы и обзор работ, примыкаюишх к теме диссертации, приводится краткое содержание диссертации.

Вводится в рассмотрение обобщенная система ураьнении обер-бека - Вуссянеска, заданная в цилиндре р = 0>. I 0,Т ], Неограниченная область с границе!: Гс сх ;

V - ? + В> и-) б ,

<4^0-, (91^ = 0, > С0,тз ) ,

где . - вектор скорости, Э - температура^рас-

пределенные б С2 ; \) -коэффициент кинематической вязкости и ^ - коэффициент тешэратурапроводности среды; о - вектор ускорения свободного падения; у. - объемный коэффициент теплового расширения. Операторы Д- и £Ь; ( 2Л определены аналогично работе ;

Определим пространства и V- как замыкания множества

М= (ч^ /у скк1/>=о при 4*з ] {%)

по нормам пространств (¿'¿С&))* и (Ы'^1 (У П=1? 3).

Основными упраалшвдши параметрами слукат сингулярные пары (г, , где иГ-{и-* г?) ,в' дальнейпш управление,

либо встречается в правых частях, либо задается как неоднородное 'Граничное условие системы СП.

Глава X посвящена оиягулярно-оптинальиой управляемости системы ( 1) , когда распределенное управление учитывается в правых частях.

В 51.1 рассмотрен функционал качества:

(3)

где , у а - положительные числа, определяемые зэ условии существования оптимальных пар. Ставятся задача:

найти Кг,иг} на множестве допустимых пар:

иге \/3С 0,1 * ¿£(0,Т',Н,),

- вшгуклое, замкнутое множество, V'.. с 5 Ъ

7С0У=21 , ъ!& И)

Предполагается • > <4, у ъ ^ , В к.2 доказана

ТЕОРЕМА Ы. Существует оптимальная пара рэше-

иио задачи ( 9) - (?).

Рассмотрим приближенную задачу, для этого -ззздэм :

рассгатриваемкй на множестве:

б'^д.ес ¿л(0л\г;),

ъсО} =

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть ¿г* - оптимальная пара для ( 8 ^ , V 9 ) ( где (=с0, игв) - выбранная оптимальная пара для исходной задачи, тогда лрж Л^О !

гв-4 - ъгс ->> О в ¿Г(0,1-,Н^* 1^(0,1-,

Итая, имеется процесс аппроксимации и ее сходимость к выбранной паре, эе^етш, что этот процесс неконструктивен, так как (8") включает- искомую пару

В §1.3.вводится

ЛЕ№!А I.I. справедливы следующие оценки:

где cltÇj- различные постоянные, не зависящие от t ; ^

Предельные значения pt и rt обозначит/! : и .

пусть Т-7/,. fit)о ;

1 1 L i JL i_ ЦО\

z ' п ~ г ' -

ТЕОРЕМА 1.3. ПУОТЬ f И (Г уДО&Яетворятат(Т2

С выбранная олтишьная паев ЗЕутечн (Л) - (7) .

Тогда существует "тройка" С г0-, иг0 • , К,-(ц0)1?0) и lj0-Cpc,V* » удовлетворяющая сиотеме:

•и;' + Д,о-0 + , о; +u„

~р/ + v> * я 5 rtr., f>e ) = ¡¡¡лЯЛМ,

т . _

5 (lltiollu p, , u-u. )Ji

ç "Ь 1

€r 1^.(0,1-, Vi ), г, <F /rW,7;VJ)> ^l-i^^r-i, rfc- ¿tA,<0,T,VO , rULr(07T■ V/).

«1(1-

глаоа ч поохш^нгс- взучешда задачи оишуляшо-сштимелыгой управляемости сиотоми 11 > при граничном управлений.

П §2.1 приводится общая постановка управляемых задач Неймана и Дирихле, управляема граничные условия имеют взд, лиоо

';.- = и ■ ~ (-13)

задача Неймана6 либо

т'. м- {V/;..-- - Vи ^ >

Задача Лири.хл:-..

условия оогласоуч'ния пи гриаьць!

Вводятся проо.ранотви.

'-¡ч / Ч' I ( Н'гаУ.' , (! с * С' ^ . VI', • Ч ' V <■ Н' (*. { Н. - X Ч I ¥ £ (1*( - ^5 >

Й ч I V ь С и > I

V пгиошешн двойственности и& границ? Г ; \Ц1, ^ <ч/.>,^ ^ 4.1. пьру такуа, чп

ннаовеь' ооподатщи радением тштвкц Ц \ , П3>-задач!* нэйьша, ьи»г. оик. у1»овлцтворяат усдоводи \ 1 и следувдйй иитегралыша

1' "I

' (•■ 1 , (V. ¡>> УН I- • Ч ч.> с! 1 - > и ,Ч V (\\ {4 !)

I 14 <

Л8Й Л»юи.' V» <. „ . »'г/' =

- и -

Т Т

^б^/А^Вч^^ч1 С16)

о

для любых У 6. ¿*{0,Т; ТУ1 > •

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пару ( 2, иП такую, что

Т; и/'ь1) 'Хо.СО.Т-, иЧ^, иг б Ц(0,т; (Г)У >' ^(ОДЧ

назовем обобщенным решением системы СП , (ГО - задачи Дирихле, если она удовлетворяет условиям (л интегральным тождествам: т т

0 о

V ч» ь Ц ГО,Г; V,) , т т .

\ (0'+/А б* а, съ&ъ у) е(1 =-; / < > ¿1, (1^

Выпуклоэ, зашснутвз множество ияр (за опрэдьло-шга 2.Г (определения 2.2 ) ^ Ь С (0,Г<(Н''(г)У) *

,ч'/г)) С^б^с^^^^'л^^ДТ^^г^назовгм шмаоатаом допустимых пар задача пзйманэ (задачи дзрюш") .

Задача 2.Г. (задача Нейкзггз ) , лаЯтя 1н[ 1(г\ на

миояэо-тве (15),(1$\ гдэ гсГ з ;

1 Г '' г

4 7 !1 и%ГОД;(НЧП^ ■

ваяэда 2.2 ( аапз-;. .-¡арагкл . найти и? на (IV),

и* ь и,

Т (г-Дп = ± ^Сод* V; > > +

+ + F «V» 020 )

В §2.2 исследована задача 2.1.

ТЕОРЕМА 2.1. Для задачи 2.1 на множестве допустимых пар существует хотя бы одна оптимальная пара (г0 >итси

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть

"Тогда любой выбранной оптимальной паре (г0) urc) соответствует такая тройка < ur0 ; у 0 ) .где ^а--(р„/г0}.что

-Р.' -ЛАф^М^ро^ It^-^il^^o-^,

-г.' - (Vt Л > - /<?s - Ga );

/urelrsN;

W >_- (9,. = ^ ; ^ ,

tÇ, £-4, / r; (О, r; К J »

Af/«- (0)Т; К ï , Щ > -

В §2.Ï3 .исследована задача 2.2. •

ТЕОРШ 2.3» ДЛЯ задачи 2.2 на 1лножествё допустимых пар существуют оптииаяьнив пар/1 (xoïfl бы одна .

ТЕОРШ 2.4« ПУСТЬ с^*, Тогда любой оптимальной паре Czc,uсоответствует тройка

, что

1ГД гблл.^-дебо, 5; ' (пчп)

ИМ , IV,),

лг„г о ) г-сг,., &^<о\ = д1 ,

/0,т, ТЛ), т„ 6 1^.(0,Т;¥),

Г' ( Т)'0;

го(Т> = 0, г,/^. = о ■

В главе з система обербека - Буссинеска рассматривается как соответствующая управляемая система цавье-Стокса. для этого в §3.1 вводится управление:

которое включается в правую часть системы:

ЛГ'+ ^Д^лГ чД(гГ,и) = -а, Щ)

(¿1\гиг=0). функционалом качества служит:

Л)

Традиционно определяются понятия допустимых пар . В §3.2 вводится множество допустимых пар:

где и^ - выпуклое и замкнутое множество из у(0,Т>Нг.) ■

ТЕОРЕМА 3.1. На множестве существует оптимальная

пара С £ „, ги"р .

рассмотрим оператор О : V* V* • который определен

как

П> о- = -иг ¿.а У, где гичиЛ = и' (.'■о-, и) ■+•/' А 4 и . ь ТЕОРЕМА 3.2. ПУ№ , ¡^А! .

Тогда для любой огтимальной пары с Уи>ис) существует тройка ( гг0, , р0 у . удовлетворяющая системе:

-рс + ? Аьро 1- - |^&-1ГвЦу^А»(«г0-»га1,

т

$ ( ри Ш^иС й'иг, и-ипс! I , V И-еЦ,

О

г*е -иг^-гдт (Ци) .

Для доказательства этоЬ теоремы использована ЛЕШ 3.1, при е-»О

сильно в ¿^ ; ТЛ 1 ,

сильно в Су ( О.Т, А / л. ^ Здэса (гу.) и£ ) - аппроксимирующая пара для выбранной оптимальной пары (, и о > , является решением £-при~ блияешгоН задачи (' £> р) :

яяйтн 1п £ Т с С V-, и) на множестве

\хь 1.^(0,1 \ К) , и е ,

\г'->0А*£ ¿^(ОгТЖ'), 1Г(о\Г1}

ГЛ9 4

I £ с 1Г, и) « Т (1Г, и) +Д 11Г1? \ лц-<• 6 % (1Г, 1Г) ■- и II ^+

Глава 4 посвящена задаче оптимального управления модифицированными уравнениями навьэ-Стокса в трехмерном случае: -А 17 + -с ( ^г^ШУх^-Ур + и ,

с^ы-О, С22)

ш,0)= Щ , у/

я методами исследования отличается от предыдущих трех глав.

В (22) { [^»ТлГкД.Ю, 0*1*71 - вомеЯетво нэлкяей-ных интегральных операторов, опредзлешшх по:

Я 3) 41

ъупкцли игк- удошштворяют: Ц^: 0> »О г —>

(х,^,чЛ ъг^Сх^М)- типа карахэодаря им £=1,3. В §4.1 рассматривается функцяозал качества:

Ставятся задача:

найти -I'| Т(и~,и) яз множество .&и:ит > а ¿¿(С,т-,нь) го

удовлетворяйте* сястоме (22) . ЦВ9ЦЭМ пространство:

W(0,Ty = ivt 1лФ,т-,Уъ), tr'U%(0,Ti IV) f

с нормой tlir li^- ^ + lifiWi •

Пделаем ряд допущений относительно семейства нелинейных операторов { Li) > 0 6 ь Т \ (¿ьОл^ в (¿¿ил-*,г))* !

10 V 4GLj,iO,T\(Lt(sibl) faHKww t-»ur^Cv.i, itf-.-t» сильно измерима на с 0,Т 1 j

20Существуют i > 0 и s

J о

З.4) Существует <х ? О г

Перепишем систему (22 > в обобщенном виде i где =

ТЕОРЕМ 4.1. В соответствии о вышеуказанными допущениями, задача <01 имеет по крайней мере одно решение (Va>ue) .

В §4.3 получены необходимые условия оптимальности пары (гг^ЦсЛ ДЛЯ задачи (С) .

рассмотрим матрицы АК{\)Л :

1'ЛЩ о О \ й / irs О \ , /V, (9 0 \ А^Чъ V\ о , VvWo ¿ъ Р К Аг(ил=|0 ir,^ . \04OvJ \о Iг, тг4/ \oo2vJ

и через обозначил слабый предел Vf 6 С1 ( Q ^ :

с w С К Q 0J

ТЕОРЕМ 4.4. Пусть ¿iri3<uc) - оптимальная пара задачи ¿'С).