Оптимизация оценки области устойчивости нелинейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

а л .1

КИЕВСКИЙ УШШРШТЕТ шеш ТЛРАСА ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи ТРЕТЬЯКОВА Лариса Владимировна •

ОПТИМИЗАЦИЯ ОЦЕНКИ ОБЛАСТИ УСТ(ШИЮС?И ЮШНЕЙШ' СИСТЕМ

01.01.09 - математическая кибернетика

А,в I о р е $ е^ а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических,«аук

К я е 6 - 1692

""" » ">»

Работа Ешолнена в Западной филиале Всероссийского .тепло-технического научно-исследбвательского института им.Дзержинского.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук, ' доцент . ХУСАШОВ Д.Я.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Л.С.АНДРЕЕВ

кандидат физико-математических наук,, ' ' 4 старший научней сотрудник А.Ю.ОБОЛЕНСЮЙ

Ведущая организация - Институт математики АН Украины . -

Защита диссертации"состоится

" icaVéLs 1992г. i/У час/ У ыин. в ауд.У^ на заседании специализированного совета Д 068,18.16 в Киевском государственной университете им. Т.Г.Шегчанко по адресу: 252127, Киев-127, проспект чйадемй^а-Глуякова, б, госуниверситет, факультет кибернетики.

С. диссертацией ногою ознакомиться в научной библиотеке киевского университета. ' •

« ~ 'Автореферат -разослан " " ocm^xSm г.

Учений секретарь специализированно го совета"'. ,

канд.* фиэ .-кат. наук, доцент. - А.В.Кузьмин

, •к 0

СЕМЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Метод функций Ляпунова яшяется одним из универсальных качественных методов исследования задач устойчивости. Проблемы устойчивости регулируемых систем и связанные с ними исследования качественных характеристик наблюдаемых процессов, таких, как оценка области асимптотической, устойчивости, вычисление времени переходного процесса и др. являются наиболее актуальными задачами теории автоматического регулирования. Несмотря на трудности в использовании второго метода, порожденные недостаточно полной разработкой методов построения функций Ляпунова, он несомненно является одним из наиболее эффективных методов теории динамических систем. Отрешение получить наилучшие качественные характеристики исследуемых решшов повлекло рассмотрение семейства простейших функций Ляпунова, в частности, квадратичных форм, л выбора среди гак в тем или ином смысле оптимальных функций. Это позволило внедрить в проблему выделения наилучших оценок качественных характеристик динамических процессов методы нелинейного программирования. На этом пути получено решете рада интересных задач конструктивной теории регулируемых систем.

Целью диссертационной работы является развитие качественной теории устойчивости, нелинейных дифференциальные систем; построение.новых методов исследования задачи оценки области притяжения; изучение геометрических свойств поверхностей уро вня функций Ляпунова; получение оптимальных оценок областей устойчивости с помощью теоремы А.М.Ляпунова; создание алгоритмов построения и оптимизации функций Ляпунова для нелинейных систем в некритическом случае и в простейших критических случаях одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней.

Научная новизна. Получено развитие теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости с точки зрения задачи об оценке области притяжения. Предложен поиск оптимальных оценок путем свегеш'я к специальной задаче нелинейного программирования. Показано, что яр*» построении семейстга оценок областей пгття *еп"я кводрпи'щ»« систем юэнш'рдса* ;-зп:-'-л?коная задача яс-

— ^ —

хет быть сведена к задаче линейного программирования, зависящей от параметра.

Введено понятие "поверхность Ляпунова" и изучены геометрические свойства таких поверхностей, используемых в задаче о построении оптимальных: оценок.

Предложены алгоритмы реализации метода наращивания оценок областей- притяжения для голоморфных систем с сильным асиптоигчески устойчивым свойством, а также в двух критически случаях одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней.

Путем построения канонических квадратичных форм приведены оценки решений линейных систем, оценки времени переходного процесса и даны достаточные условия абсолютной устойчивости для систем прямого регулирования.

Практическая ценность работы. Основные исследования проводились в рамках научно-исследовательской темы: "Разработать метода и алгоритмы моделирования и оптимизации процессов обработки гидроакустических сигналов, натурных испытаний п проектирования летательных аппаратов, ускорядах полей заряженных частиц" й I? 01660061345 ГАСНИ 50.53 /Постановление Президиума АН УССР №74 от 27.12.85г., Постановление ШГГ СССР, АН СССР £573/137 от 10.11.85г./ Приложение Д>78/.

Полученные в дисертации результаты использовадись в рабо тах по исследованию задачи об оценке области притяжения асим птотически устойчивых режимов работы синхронных электро-зке-ргетических систем в.Тешютехнкческои институте в г. Минске.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной научной конференции "Метод функции Ляпунова" /г. ларьков, 1986г./, ка республиканской конференции "Применение вычислительной .техники,.математических методов модёллровашя в автоматизации экспериментальных данных исследований /г. Киев, 1987г., 1868г./, на Уральской регао-наяьной конференции по функционачьно- дифференциальным ур астениям /г. Уфа, ISBSt./, на научном семинаре Латвийского университета /научный руководитель: проф. Рейзинь Л.Э./, на научней семинаре Белгосуниверситета Республики Беларусь /научные руководителя: член.-корр. АН Республики Беларусь ■ Изо-бов H.A., член.-корр. АН Республики Беларусь Грудо Э.й./ на научном семинаре Киевского университета /научный руководи-

тель: член.-корр. АН Украины, проф. Бублик Б.П./.

Публикации. Основные результата диссертации опубликовали в 9 печатных работах.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка основной попользованной литературы, содержащего £5 наименований. Имеется рисунок.

содармда РАБОМ

Во введении обоснована актуальность развиваемой темы, , изложат цель исследований, новизна и.практическое значение. Дано краткое содержание диссертации.

В первой глава исследуется дифференциальная система

^ = > Ж ё о. /1/

Б § 1 приведены основные понятия теории устойчивости, дан анализ теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости с то чки.зрения задачи об оценке области притяжения. Указаны труд носит вычислений и ввделены две основные проблемы /к/ и /В/ в отрешении получить наилучшую оценку области притяжения с по-вгощыо теоремы Ляпунова.

В § 2 первой главы изучается геометрическая структура поверхностей уровня определенно положительных: функций. Введено

Определение 1.8. Пусть - непрерывная опреде-

ленно положительная функция.- Будем говорить, что уравнение. \/С*0"*С , с > О ( залает поверхность Ляпунова, если существует число £>0 , такое, что для любой непрерывной линии ас ; £о,ТЛ-»Л" ( асСо)-о, 1эс(Т)|| - £ ) можно указать чи ело ££ .70, Т С ( дуй которого выполняются следующие условия:

1/ ас (40 & 62/ V (=с Сг) ) =.С. • Доказана

Теорема 1.1. Если для функции при некото-

ром с*> о . поверхность \/£с) = с* не является поверхностью Ляпунова, го существует число св>0 , такое, что:

/ V(cc) - С - поверхность Ляпунова для О < с. < сй j

2/ при С > с0 уравнение V^oc) = с не определяет поверх ность Ляпунова.

Приведены два примера, показывающие, что если число с„ удовлетворяет теореме 1.1., то поверхность V (ос) = с0 может как быть поверхностью Ляпунова так и не быть ею.

Получены оценки сверху и снизу для бифуркационного значения с = с0 в виде неравенств

Sup min. V{x.) - с0 £ со £r с0 = sup V(ot) . /2/ E>o 8*11 =£. t>o lixti-t

Дана следующая характеристика оценки £о . Теорема 1.2. Пусть V : !R4 JR* . - непрерывная определенно положительная функция и £.* > О - оценка снизу значения с с согласно /2/. Тогда для о < £ 0 множество = = {ж<=Л?и | V fot) - <<■} содержит компактное подмножество такое, что:

1/ К^ - окрестность нуля в ]R" •

2/ К^ПЧТК, ;

3/ граница Ft К^ множества К^ является поверхностью Ляпунова.

. Рассмотрен частный случай функций V , а именно, аддитивные функции, определяемые равенством

и ' .

V со = ZL ч. CxfcO , , /3/

I = -t

где <л : !R Ж * - непрернвна, определенно положительна и iа (о.) = о . Если через Кс обозначить связную компактную часть множества \ , 0<с сс„ , согласно теореме 1,2, то для любого номера t - существует интервал С(Х;, fe? 3 деЯствлтельной оси Ж такой, что:

1/ а* >о , íf ? о «

2/ V*. отображает СО.® , о Л и Со, Д на Со, с] • 3/ тол (ас • ) = й .

Теорема 1.3. Для функции /3/ грашца множества ^ = - сЛ" IV (а) £ С 3 не является связной в том и только в том случае, когда существует номер / • - • > а} п существует значение х* 4- Са^ , 6?.] такие, чт У. (х*)¿с.

]Ш аддитивной функции /3/ вычисление сс сводится к за даче на экстремум скалярной фрждаи.

Теорема 1.4. Пусть для функции /3/ вычислены величины

Н. V. Coa) , А/ - J-ítp ^.(oc).

aríO roo

Тогда имеет место равенство

с = 'min- j М- № i .

О V V Ь * J

i iién

В § 3 первой главы дано развитие теоремы А.М.Ляпунова od асимптотической устойчивости с целью получения опгишяьннх оценок области притшешя. Для непрерывно дифференцируемой определенно положительной функции V: б- Jí + строится . аппроксимация области, где ее производная по времена .V , вычисленная в силу системы /1/, является определенно отрицательной функцией следующим образом. Пусть Кс означает спя зную компактную окрестность точки ас =о согласно теореме 1.2. Определим непрерывно дшффоренцнруемиа функции W. : S-^jR j-f/ñ , удовлетворяющие условиям: J

1/ для любой окрестности W точки х - о существует элемент у е W\{oJ такой, что б-у) ¿ O, Vj = í7m;

2/ множество - {et е Gr W • (a) о J ? j = Ггп

является окрестностьп начала координат Ж"

У tnl ( Л <=?> ) £ \ X е G ! V < о } U {о} . i'* J

Отмечены следуювде свойства аппроксимация. ,

Лемма 1.5. Если для j= <7т точка является решением задачи нелинейного программирования

то

V (ос.) min-,

-о, ос Ф с ,

14 Viae*) SJ

/4/

Лемма 1.6. Пусть сс^ - решение задачи /4/. Тогда имеют место следующие соотношения:

1/ если V. , ю V(xi)=o;

2/ если О и V то и>.

ö X J

3/' если V (ai ) < о , то С «О < О .

Из лемма 1.5 непосредственно следуют результаты od оценке области притяжения. _

Теорема 1.4. Пусть для каждого j-J,™ точка '¿t . является решением задачи нелинейного программирования /4/.' Положим T«, = m^H j V с ) , V«*),..., V (се™ ) f сс ] . Тогда для любого числа X е 30, tc t подмножество К. г содержится в области асимитотической устойчивости нулевого решения системы /1/.

Следствие 1.4. Пусть ос0 - решение задачи нелинейного программирования V (сс)min , V(^) - О, х ■* О . Полоним i0 = nu к. ^ V , . Тогда для любого чис-

ла t е JOvt„C подмножество К г содержится в области аси мптотической устойчивости нулевого решения /1/.

Б диссертации показано, что следствие 1.4 определяет луч шух> оценку области притяжения, которая может быть получена с помощью теоремы Ляпунова. Однако, используя предложению ап-. прокснмащш области, где V(oc) < О , этот результат можно усилить. Следующая теорема является основным утверждением диссертация.

Теорема 1.5. Пусть ео = + =» и - решете задачи нелинейного программирования

\*Час) -> № К, Уу С«) * О, X * О . /5/

Предположим, что для всех и пусть -

решение задачи

уп1и., V. (Л) ~ 0,1МаЛ « о, ЭС * О. /6/

•1 У

Поло!йш г = жхи- V (а'0) . Тогда для любого числа Ъ е .] о, г., I множество

к,, а ("р,-) содержится в области

асимптотической устойчивости нулевого решения системы /1/. .

Соответствующий теореме 1.5 метод оценки области притяжения назван "методом наращивания". Он основан на поэтапном решении двух задач математического программирования /5/ и /6/. На первом этапа, реиая задачу /5/, получаем некоторую гарантированную оценку, которая включает в себя результат, определяемый теоремой Ляпунова. На втором этапе в результате решения задачи /6/ мы "наращиваем" оценку, полученную на предиду щем шаге. Приведены иллюстрирующие примеры.

В четвертом параграфе главы 1 дана процедура оценки области притяжения с использованием в качества функций Ляпунова квадратичных форм и аппроксимации области, где V (зО< О > с помощью многогранников.

Вторая глава диссертации посвящена построении канонических квадратичных форм по линейному приближению системы с матри цей А , имещей все собственные значения с ожидательной ' действительной частью и юс применению к задачам об оценке решений линейных систем, времени переходного процесса и задаче абсолютной устойчивости систем прямого управления.

В § 1 предлагается следующая каноническая квадратичная форма. Пусть N( , .-., >3 и /г, , все различные,

соответственно* вещественные.и комплексные собственные значе ния постоянной квадратной магркцн А размерности и * и .

Пусть величины ^ , / - М , озсачают число клеток Кс

рдана махрызи А , отвечающие собственным значениям ^ , а , , - собственным числам Д, . Известно, что су-,

чествуют линейно независимые собственные векторы Ь-, ,

И,«. а .и ^ , §ел .....' районированной матрицы А такие, что Л = Л. и^ • = , ^ , ¿= < г*, /, ^ . Положим

' где Е ^ ~ вещественные векторы, а

<•' - мнимая единица. Тогда на предидущего следует система:

"У/У -Ме^^и, >*<Л>

- Яе Д , ^ - .

. Вводятся в рассмотрение также серки векторов Ь^^ и 0 , удовлетворяющие соотношениям

- ^ , / - ^, К - щ /> -- й^о

и

= > /м ¿ = * ОЬ ; »."(Ц),

где '¿У/к) означает размер к-ой клетки Хордана числа , а 16- -ой клетки Еордана числа /£ . Квадратичная форма

называется канонической квадратичной формой.

В § 2 главы П получена оценка решений линейной системы

¿«Лх , а«. Я" , Л/

путем следующего: рассуждений. Пусть У{х)=а'В х , &'= 6 , определенно положительная квадратичная форма, такая, что

vcх)^-г^У(х), /в/

Тогда известно, что для всякого решения Л (,t ) система /7/ обладает свойством:

HfcCa^Ä^flajV** itzo, /9/

' л nun '

гда '\v,ax « ''nun. ~ соответственно, наибольшее и наименьшее собственное значение матрица & .

Теорема 2.1. Пусть - собственные числа

матрицы А , Полота! б! = - fttay Ütj. x-Rtu- ,

Тогда для люйого (ГеЗо, существует функция V , для ко торой число % в<5* удовлетворяет /0/. Более того, если собственному числу соответствуют лишь простпе клетки Есрдана, то существует функция V , такая, что выполняется /В/ для = - ^. Обозначим через Т=Т(£)> о _ время, через которое решение системы/7/ будет.удовлетворять условию Jtc(tte,i;^il 5S Vi sT , о ^ 1 . В этом случае справедлива оценка времени переходного процесса

Используя кеноначэску» функции в завержнта отого. параграфа строятся семейство квадратичных форм, для которого решается задача оптимизации получлит« оценок /§/, /10/.

В третьем параграфе главы Преследуется задача абсолютной

устойчивости системы прямого управления

ёпв-), бг^с'си , сс&л", /11/

где Л - постоянная и * и -матрица, Ь , С - постоянные й -векторы; V; К. непрерывна и удовлетворяет условию О> О \/ 6" О . Предлагаемый метод иллюстрируется в частном случае, когда матрица А имеет лишь вещественные отрицательные собственные значения о соответствующими крайностями. В данном случае используется каноническая функция и функция Лурье-Постникова

Р- ) Ч(сг)Ы.<Г, .

О 3

Получен укрощенный критерий абсолютной устойчивости системы . /11/ /в смысле А.Н.Яетова/, выраженный через параметры.

В третьей главе диссертация исследуется квадратичная система шда

Л = А£С+ В(зс)ое, , /12/

тцв А - постоянная квадратная гурвицева матрица; =

и

г ¿И 8 ас.., В - и» П -матрица с постоянными коэффициен-3 4

тачя.

Б § 1 .этой главы строится алгоритм первого втада метода нараащванзя, где . в качестве функции Ляпунова выбирается каноническая функция, эапися2цая от вектора параметров Ж :

чЗ

+

кч ¡»^ * Г № (.4 Ч-* а1 ф 1

Алгоритм включает в себя процедуру оценки области, где У(эс}<0, с.помощью многогранника вида $j (с)ос В результате дается семейство оценок области притяжения, выра-

генное неравенством

V( к,б") ^ Ссг > , /13/

где Г ( ¿.'(с) И"^С<г) 6 - (б") ) , а НС<г) _

матрица исходной функции Ляпунова. В заключении втого параграфа ставится задача оптимизации оценки /13/ по критерии максиму ма и -мерного эллипсоида.

В § 2 продолжается построение алгоритма нарациванля оце-. нок областей притяжения, полученных на первом отапе в § 1. При этом предлагается три способа преодоления трудностей, возникающих в решении задачи нелинейного"программирования /6/. Сконча тельная оценка области притяжения имеет вид:

( У(сс ,0 ^ Я, ( Й >

) /14/

(_ 1 Je.tr.

В § 3 для квадратичной системы /12/ предлагается иной метод оценки области асимптотической устойчивости. Здесь также используется семейство квадратичных форм !/(«.) ^ ос'¿0(У

АЪ+ Ы--Л, ...

Предлагается процедура поиска оптимальной оцэнкя, основанная на решении специальной задачи на шнимакс:

Ста*. —к-^п.,

■> к «у^ ' >

г

й 1 = -<Л , /15/

Дано следующее условие разрешимости задачи /10/,

Леша 3.1. Решение задачи /15/ существует тогда я только тогда, когда можно указать число £<1> о , для которого с чествует план <г0 , являкадяйся регсош«м задачи

гтх^ых^-г п, £ =

я

для всех £ € Л о, £ е С . Оптимальные планы задач /15/ и /16/ совпадают.

В диссертации показано, что задача /16/ равносильна следующей задаче линейного программирования —> ,

Теки..1 образом, задача об оценке области притяжения систе-. мы /12/ может бнть сведена к решению специальной задачи линейного программирования /17/, зависящей от векторного параметра <1 е (-¿1,..., "О. в конечном счете оценка области притяжения задается условием

ей<»0аь , ,

где (5^.° - решение задачи /17/,

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию задачи об сценке области аеимлхотиче скол уогсойчашов-йц нелинейных систем с ¡гелоэдр^ндаи правыми чдеадекв;. Вначале /■ 5' ^ / предлагается иотдд- ащефкешавди- области знакоосрадел^^о^ти голоморфной функции многогранником. Си используется в 4 2 - § 4 сро ввтетвенно ¡тля решения ведач об оценке области притяжения не-л1'койкы\ систем в, некри-гоческсм случае и в двух критических

1случаяходнсго нулевого ~ корня и двух чисто мнимых корней. Даны иллюстрирующие примеры.

В заклачонки подчеркнута роль основного результата диссер тации.'Очерчен круг нерйненных задач, которые могут бнть иссла дованы предлагаемы!®! в работе методами. Перспективными но мнению автора являются перенесения предложенных подходов на диск-' ретине системы и системы яеавтонсглнюс ди'йеренциалышх уравнений. ■ -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

. - Исследована геометрическая структура поверхностей тровня он ределенно'положителышх функций^ Введено'понятие поверхности Ляпунова л даны оценки сверху и снизу би|фуркацноиного значащи параметра, определяющего "наибольшую" поверхность Ляпунова. Указан алгоритм вычисления наибольшей поверхности Ляпунова для аддитивных определенно положительных функций.

- Предложен метод наращивания областей притяжения, основачннй на-развитии тёоремч Ляпунова об асимптотической устойчивости' йутем построения аппроксимация области определенной отрицате-. льности производной по времена функции Ляпунова и решении специальной задачи оптимизации теории нелинейной программирования. . I

- Введено понятие канонической квадратичной форыи, с помощью . которой дан анализ.оценки решений линейных систем п времени пе реходного процесса. Получен упрощенный критерий абсолютной устойчивости системы "прямого" регулирования в синсла А.МЛетова.

- Предложен элективный алгоритм поиска оптимальных оценок области асимптотической устойчивости квадратичных систем методом нар&щивания. .' ' . . '

- Указан подход к построению оптимальных оценок-области притяжения систем с квадратичнши нелишйностяш на ос&овэ сведения исходной задачи к задаче линейного программирования, зависящей от параметров. " -

- Предложена метод« поиска оптииальннх оценок области притязания голоморфних систем в некритическом случае и в двух критиче ских случаях: одного пулевого корня.и пари чисто мнимых корней.

По тема диссертации опубликованы следущие работы:

1. КалитанчБ.С., Третьякова 1.В. Оценка области' притяжения в простерших критически случаях:// Тезисы докладов Всесоюзной кои&в^енции'"¿¡эгод функций"Ляпунова". Харьков, 1£б6. С.25.

2.1 Калияш Б.С., Третьякова Л.В. Оценка'области притяжения аколоппеской системы Дотки-Вольтерра// Тезисы НТК "Применение вычислительной техники, математических методов и моделирования в автоматизации экспериментальных исследований".Киев,1187.С.45-47.

3.- Третьякова-Л.В.-Оценка области асимптотической устойчиво ста квапратиЧных систем// Весц1 All Беларус!. Сер. ф1з.-мат„ на-вук, 1£В8, Я 2'. С.117-118,

|4. Калягин Б.С., Третьякова Л.В. Оценка области асимптотической устойчивости голоморфных систем// Тезисы НТК-"Применение выделительной техники и математических методов в научных и э кономлческих исследованиях", Киев, 1S88. С. 152-153.

5. Третьякова Л.В. Оценка области притяжения в критическом,-случае пари чисто ыгшшх корней// Лат.,матем. ежегодник, 1988, выл. 32. .0.230. ■ '

6. Калитин Б.С., Третьякова Л.В. Некоторые свойства.поверхностей уровня функций Ляпунова//.Веоц1 АН Беларус1. Сер. ф1з.-мат. навуг, 1990, № 1. 0.114-123.

7. ТретьжоБа I.-ti., Хусаинов" Д.Я. Анализ построения наилучшие, оценок, решений.линейных систем с помощью квадратичных форм. Деп. в Укр. ШШИ. 28.03.60. X 545-Ук £0. 16с. .

8. "Третьякова Л.В. Построение оценок1 области асимптотической -устойчивости квадр&гичных.систем// Вестник Киевского.ун-та. Моделирование «'оптимизация Сложных систем, 1££0, № S. С.75-77. .

9. Калитин Б.С., Третьякова ¿.В. Методическое пособие по курсу ^Теория устойчивости", и'лнек: Белгосукиверситет, 1S61. 26с.

' Поди.к псч.5.10.92.мордат 60/64/16.Бумага типографская.

№сл1снпть.Усл,печ.л.о,ЗЗ.Уч.-изд.л.0,8.Тираж 100 экз. ч Уаказ1 а73«£есшштво.

Отпечатало в институте математики АН Украины , 2tk'601 Кисп-1,1'011,ул.Репина ,3.

\