Построение и оптимизация оценок качественных характеристик нелинейных систем регулирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

¡£8' П ь 9 % .

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ШЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи Н1АТЫРКО Андрей Владимирович

УДК 517.929.4

ПОСТРОЕНИЕ Й ОПТШШЦЙЯ ОЦЕНОК КАЧЕСТВЕННЫХ ХАРАНТЕШСТШС НШШЕЙШХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОЙАНЙЯ

01.01.09 - математическая кибернетика

Авторвфдраг диссертации на соясквниэ ученой степени нандйдатё физико-математических наук

К н э в -

1992

Работе выполнена в Киевском университете имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент ХУСАИНОВ Д.Я.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук, проф. БЕЛОВ Ю.А.

- кандидат физико-математических наук, ст.н.о. КОРЕНЕВСКШ Д.Г.

Ведущая организация - Институт кибернетики имени

В.М.Глушкова АН Украины

Защита состоится 1992г. в 14 часов

на заседании специализированного совета Д 068.18.16 в Киевском университете имени Тараса Шевченко по адресу: 252127, г.Киев-127, пр.Академика Глушнова, 6, факультет кибернетики, вуд. 40.

■ С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета им.Тараса Шевченко.

19Э2Г.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного соЕетэ КУЗЬМИН А.В.

п м j ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одной кг наиболее актуальных задач теории автоматического регулирования является задача качественного анализа управляемой системы, способной обеспечить устойчивый резким работы слсяяого технического объекта с нелинейной динамикой. Достаточно конструктивным и эффективным катодом качественных исследований является прямой. (второй) метод A.M.Ляпунова, который представляет собой гибкий аппарат для решения различных задач устойчивости. Он основывается на исследовании траектории днтмнчзской системы с помощью' вспэно-гателышх функций - функций Ляпунова (ОН). Умение построить оригинальную Ф.5 требует от разработчика технических систем достаточной математической подготовки я хорошо развитой интуиции, оставаясь до сегодняшнего дня Солее искусством, чем наукой. Развитие теоретической базы ыэтодов автоматизированного конструирования ФЛ поможет избежать ситуации, когда прикладной специалист становится жертвой мифа о неуловимости Ш.

Показателям! функционирования сложных систем, кроме их устойчивости (неустойчивости), является различные качественные характеристики (такие, как время переходного процесса, интегральный критерий качества, величина перерегулирования и др.). Метод функций Ляпунова теоретически двэ? возможность определения точных количественных значений характеристик. Однако, на Практика, из-за отсутствия общего конструктивного подхода к построению М, a тшке из-за сложного вида систем (в частности, нелинейные система, списываемые обыкновенными Джйвренцивльшмй уравнениями (ОДУ) с отклоняющимся аргументом) нахождение точных значений характеристик затруднительно.

Возникшее в последнее время понятна оптимальных, (экстремальных, "beat* и i.п.) ФЛ" позволило решить ряд интересных задач, в частности, наилучшим образом оценить определенные качественные характеристики динамического процесса. А применение определенной ойтгаязвцйоняого подхода дало возможность автоматизирование, йрограмшшМ образом строить ©Л из заранее заданного класса.

Ывдьд диссертационной работы является развитие качественных методов исследования нелинейных дингмиеских систем;

построение новых критериев устойчивости нелинейных динамических систем специального вида; разработка и исследование методов получения оценок ряда качественных'характеристик на основе построения ФЛ с экстремальными свойствами; программная реализация на ЗВМ алгоритмов построения и оптимизации ФЛ заданного класса по введенным критериям; создайте программного диалогового комплекса качественного анализа нелинейных систем регулирования.

Научная новизна. О помощью прямого Метода Ляпунова получаны достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования (САР') описываемых в терминах ОДУ и ОДУ с отклоняющимся аргументом. Предложен оригинальный оптимизационный подход для явтоматбзлрованяого конструирования Ш вида Лурье-Постникова. Построены оценки различных качественных характеристик изучаемых систем (величина перерегулирования, интегральная критерий качества, время переходного процесса).

Введено понятие оптимальных в определенном смысле ФД. Поставлены оптимизационные задачи по построению наиболее точных в смысла близости к истинным значениям оценок показателей качества. Предложены'методы их решения»

Разработанные алгоритма реиеккя задач оптимизации реализованы на ЭВМ в диалоговом комплексе качественного анализа нелинейных систем регулирования. Проведен вычислительный эксперимент, Подтвердивший еффективность разработанных алгоритмов.

Практическая ценность работы. Основные исследования проводились в рамках научно-исследовательской тег«- "Разработать метода и алгоритма моделирования и оптимизации процессов обработки гидроакустических сигналов, натурных испытаний и проектирования летательных еппаратов, ускоряющих полей заряженных частиц" № Гг 01860061345 ГАСНИ 50.53 (Постановление Президиума АН УССР МП от 27.12.85г., Постановление ГКНТ СССР, АК СССР Ж573/137 от 10.11.85г./ Приложение »78).

Полученные в диссертации результаты использовались в работах по исследованию устойчивости процессов в сверхпроводящих системах, проводимых с Институтом кибернетики им. В.М.Глу-

шкова АН Украины.

Апробация результатов -работы. Результаты диссертации докладывались и обсукда.тась на Международной конференция по дифференциальным уравнениям /ДУ/ и их приложениям ( г.Русе, Болгария, 1389г.), Международном коллоквиума по ДУ ( г.Пловдив, Болгария, 1991г.), Всесоюзной конференции по качественной теории ДУ ( г.Рига, 19В9г.), Уральской региональной конференции по функционально-дифференциальна« уравнениям /ОДУ/ (Г.Пермь, 1Э58г,), Северо-Кавказской региональной конференции по ОДУ' (г.Махачкала, 1988г.), Гарценовских республиканских чтениям при жш (г.Ленинград, 1989г.)» шзсоле-свишяврв но модэлировз-нию и исследовании устойчивости физических процессов (г. Ни ев, 19Э1г.), на республиканском оэгаспэре Научного совета АН Украины по проблеме "Кибернетика" "йодалфованвэ и оптимизация систем управления" (научные руководители: члея-корр. АН Украины, проф. ВуОлкк Б.Н., проф. Накояечкый А.Г.), семинаре института кибернетики АН Украина (научный руководитель: член.-корр. АН Украины, проф. ППепячдаа В.Н.).

Публикации.' Основные результаты диссертации опубликована в II печатных работах.

Структура рзботн. Диссертация состоит из вездэния, трех глав, заключения, списка основной использованной литературы, содержащего 131 наименование, и двух приложений. Имеется рисунки.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована акгузльность рассматриваемых вопросов, определена цель исследования, научная новизна и практическое значение. Кратко изложено содержание диссертаций. •

■ В первой главе исслэдуптоя нелинейные система- автоматического регулирования, ойиснбаеше в терминах ОДУ без' отклонения аргумента. §1.1 посвящен анализу существующих методов исследования нелинейных систем (в частности, ■ метод функций Ляпунова и частотннй метод), установившейся терминологии, обзору полученных рдяее результатов.

В §1.2 рассмотрены различные существуют« критерии каче-

стаз функционирования данагаческих систем. Показан путь, как используя прямой метод Ляпунова, мокно построить оценки качественных характеристик. Введены определения оптимальных функций Ляпунова по заданным критериям. Рассматриваются системы "прямого"

сс и)=Йх ш * ё$(<?(&)), Ш ^ха),

и "непрямого" регулирования

±а)=Рш)+, Ш - сГха) <2,

С использованием ФЛ вк#з Лурье-Постникова, Соответственно

° и °

где положительно-определенная матрица Н , являющаяся реше-

нлем уравнения ^ (4)

к числовой параметр уЗ такие, что матрица

И+/ММ /2

положительно определена, приведены достаточные условия абсолютной устойчивости.Построены конкретные оценки интегрального критерия качества, величины перерегулирования и времени переходного процесса-систем (I) и (2). С целью получения оценок наиболее близких к истииннм значениям поставлены оптимизационные задачи:

- по построению Наилучшей интегральной оценки для (I)

- по построению оценки величины урегулирования для (I)

- по построении оценки времени переходного процесса для (I) Здесь Г -втН-Йв -[^(¿¿Ы/*]!

^= ¿/н - у Г ] 7

— /7 ГМУ)С

л />7) (М) , Л а О,

(■) дгчъх^')- соответственно, минимальное и максимальное собственные числа матрицы;

Анелопгпше результаты получены для систем (2).

В §1.3 предложен оригинальный подход для получения условия абсолютной устойчивости системы (I) ( фактически метод автоматизированного построения ФЛ вида Лурье-Постникова (3)), основанный на решении поисковой задачи

Исслэдован вид мнокаств_а определения и целевой функции.

Леша 1.3.1 Множество представляет собой выпуклый

конус.

Леша 1.3.3 Функция является вогнутой функцией.

Получены липчоим производных по направлениям для оптимизируемой функции. Доказана необходимые условия оптимальности.

Следует отметить, что оптимизируемая функция задата (8) практически не является дифференцируемой во всех точках определения. Поэтому в точках недифференцируемости предлагается вычислять обобщенный градиент функции и применять методы субградиентного тшю.

■ Леша 1.3.8 Обобщенным градиентом фугсшии в точке

является пара ({?' £<>), где £ = - матрица,

- скаляр:

- 6 -

и* - элементы собственного норг.зфоЕанного frtfjtJ-векгорз :

Теорема 1.3.3 Чтобы пара (Ho^fee) была решением оптими-шцконной вадэчи (8) необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор [UifyjSi^О,при котором четверка(H^pefafet) ¿шлялась сздловой точкой функции Лагранжа

3 этом же параграфе получены аналогичные результаты и для систем "непрямого" регулирования (2).

В §1.4 показЬно, что задачи построения наилучших оценок качественных характеристик (оптимизационные задачи из §1.2) являются задачами выпуклого программирования. Изучен вид оптимизируемых функций.

Предложи ряд оригинальных способов построения векторов почти-грвдиентов, ушткьакдах специфику оптимизируемых функций.

Во второй глзеэ рассматриваются САР описываемые ОДУ с от-клоняншшся аргументом. В §2.1 двн обзор основных методов и Подходов решения проблемы абсолютной устойчивости применительно к системам с аапавдаванием (метод функций Ляпунова, метод функционалов Ляпунова-Крвсовского и частотный подход), изучена история вопроса.

§2.2 посвящен получению эффективных достаточных условий абсолютной устойчивости систем "прямого"

em =§ W4

и "непрямого" регулирования ' <п5 ■

" /Г л AW ^ И (1°)

1-0 t-0J

0=21, -¿Tj,^■<... t„ = F.

- У

Теорема 2.2.1 Пусть матрица $ - гурвицева. Если существует матрица // , являющаяся решением уравнения Ляпунова (4), и параметры / тагам, что й^п{£)>[> гдр

£

! м у м-_ ■

с-& ' С-О ' 1-0 _

то система (9) абсолютно устойчива при любых й-><9, .

Причем для произвольного решения Х&) системы (9) при будет /1хСНЙ-<С , лишь только Цх&)Ц прн&^й^г? .

Здесь &(Н!= - единичная матрица;

р-Щтш^рФ <- ^ ¿- а * а (Л));

Творэма 2.2.3 Пусть матрица /? - гурвицева. Если существует // , являющаяся решением (4) и параметр у такие, что выполняется (¿1 , где

м — /

+ ша+аМ])

¿1 (И) =(Яп«чс(И)/й»и*, ^ (#*№*.) ^ .

то система (10) абсолютно устойчива При произвольных £ ¿Ц*".

При б том для лвОого реиашш (JC(t)J6'(t)) при t>t„ будет выполняться (!Х&-(Щ-<£ , лишь только /ЦсфМ*еЬ1Се)хщ t0-tetc- ta где Ь~(с)~г/а(ш .

В рада случаев удобна параметр f не веодить в рассмотрение и получать более легка проверяемые условия, которые однако, могут быть солее грубыми.

Теорема 2.2.2 Пусть матрица fi - гурвицвва. Если существует И , являющаяся решением (4) и параметр J& такие, что

и

"мш ^[тьмйн^Лви^, j-f _ j

то система (9) абсолютно устойчива при любых ¥¿>0/ с-Л,™ • Причем №0!прй t*t„, если ¡(ШЦ^ВСе) при £ to

где Щ- £/й{{/) .

feopeMa Z.2.4 Пусть матрица $ - гурвицэва и существует // i являющаяся решением (4), при которой

-M-idf Л J

будет шложительно-опрадэленной матрицей и выполняются неравенства

* тш»)]

Шл < НА Ш

а

а

+

Тогда система (10) абсолютно устойчива при любых £¿>¿7, .

При этом будет выполняться ///(Г, t >10 ' , лиль только НХгМН^Щ где Ъа)~ ■

В §2.3 на основании применения неавтономных аналогов функции Ляпунова вида Лурье-Посттшова

№,*) = еи(хтИг *д/де/г/ ¿>о}

для систем "прямого" регулирования (9) и

й(^) = е^(хгИх + 5 г>о -

для систем "непрямого" регулирования (10) с использованием результатов теорем об абсолютной устойчивости из §2.2 доказано, что если системы (Э),(10) абсолютно устойчивы, то ж решения экспоненциально затухают. Вычхюлены пзрамэтра экспоненциального поведения решений. Эти результаты сформулированы в виде 4-х теорем.

Теорема 2.3.1 Пусть - гурвицевз матрица'и существует матрица // , являющаяся решением (4) и параметры и ^ , При КОТОрЫХ (И} --'О И Йу^и-'и

(£,>}>О . Тогда для решений ха) системы (Э) справедливо енспоненцизльноо неравенство

где г- п ^

Теорема 2.3.3 Пусть матрица $ - гурвицева я существует И , являющаяся решением (4) и параметр ^ , при кото-Ры:х ' 7огД0 Для решения системы (10) спра-

ведливо неравенство

ШУМЙШфеуо}-Щ г, у(н.}/2] ,

где- __ __ __

^ _[О_

01

- произвольная фиксированная величина.

В теоремах 2.2,2 и 2.2.4 содержатся аналогичные результаты, на вайисяадее от параметра

В §2.4 на есюввшш результатов из §§2.2,2.3 построены оценки основных качеотвашах показателей систем регулирования (9), (10). Поставлены оптимизационные задачи (типа (5) -(-7)) ш улучшению оценок интегрального критерия качества, величины трарэгулировазшя и времени переходного процесса. Показано, что области Определения в данных задачах являются выпуклыми мжожасФваш, е сами целевые функции принадлежат классу ПД функций. И* следовательно, они могут быть решены методами суОградиаитйого типа, Цредлокешшми в §1.4.

Третья глава посвящена налогенив практической реализации результатов! гЛвв I ш Е. В §3.1 описана принципиальная схема иостразния диалоговой системы качественного анализа нелинейных систем евюмапяэского регулирования, ее организация и доГвчзская струкЗДа. В §3.2 излокеш условия работы системы, ее Йоашакостй* Методология пользования ею (частичное меню) и некоторое опиоашй ьсновгих программ, реализующих применяемые метода исследовайия.

В йекдчэПкИ даны основные результаты диссертационной работы. Очерчйзеется круг нерешенных задач, которые могут внести некоторый вкДад в развитие методов исследования устойчивости а анйМза качественных характеристик Нелинейных динамических ййстэм. ЗдэСЬ хочется выделить следующие перспективные (по мнению айтора) направления исследований. Это перенесение предложенного Подхода на исследование систем с распределенными отклонениями аргумента, САР нейтрального типа и разностных системI

В прялозюяии I приведено описание структуры входных й выходных данных для программ, составляющих основные функцио-

ннльные части диалоговой системы.

В приложении 2 приводятся тексты основных программных mcü дулей.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

- С применением функций Ляпунова из класса Лурье-Постникова построены оценки характеристик качества функционирования нелинейных систем автоматического регулирования (интегральный критерия качества, величина перерзгулирсбания, норма решения, время переходного процесса). Бвэдена понятий оптимальных функций Ляпунова по определенным критериям. •

- Сформулированы задачи оптимизации, решение которых позволяет находить ОМ и с их помощью максимально уточнять оценки основных качественных показателей нелинейных САР.

- Предложен оптимизационный подход эффективной проверки наличия качества абсолютной устойчивости рассматриваемых ÖAP (фактически метод аьтшатнзировэнного построенйй ФЛ вида Лу-рье-Постникова).Представлены метода градиентного'типа для решения поставленных оптимизационных задач. Разработана алгоритмы вычисления вектора почти-градиента оптимизируемых функций

- Получены аффективные достаточные критерия абсолютной устойчивости систем "прямого" л "непрямого" регулирования о несколькими отклоняющимися аргументами запаздывающего типа для произвольных величин запаздывания.

- Построены оценки основных качественных показателей САР о отклоняющимся аргументом. Поставлены задачи оптимизации, решение которых позволяет строить на основании СФЛ неулучиаемые оценки характеристик качества.

- Все разработанные алгоритмы решения оптимизационных задач запрограммированы. На их основании создана диалоговая Машина-независимая система качественного анализа., нелинейных систем регулирования.

По теме диссертации опубликованы следуйте работы:

I. Ивохин S.B., Шатнрко A.B. О некоторых методах построения функций Ляпунова, оптимальных по интегральному критерию//

Баста. КГУ "Шдалнроваю» и оптимизация елок, систем", 1987, Вып.6, С.9? -101.

2. Шатарко A.B. К вопросам качественного анализа нелинейных систем прямого автоматического регулирования. Дэп. Укркшяи, jß2 Ук.аз, Q4.oi,aa. гос.

3. Иатырко A.B., Ивохш E.B. 03 устойчивости систем прямого регулирования о еашздывашгам//Еэстн. КГУ "Моделирование и ощишзащш елок, сштем", 1989, Вып.8, С.72-74.

4. Шатырко А.В, Сценки интегрального критерия качества для нелинейных сар а одним ваиаздаваицим аргументом// тем не, IS90," Вып.9, 0,63-73.

5. ХусшшоЕ Д.Я., Шатырко A.B. Абсолютная устойчивость систем регулирования с запаздывающим аргументом// Укр. мат. вурн., 1990» t.42, J£2, С.245-249.

6. Шатырко A.B., Хусейнов Д.Я. Ой асимптотической устойчивости систем с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа// Тез. докл III Уральской региональной конф. "ФДУ и их приложения". Пермь. 1988, 0,1437

7. Шатырко A.B. Качественный анализ нелинейных систем регулировали о несколькими запаздываниями// Тез. докл. VII Всесоюзной конф. '•Качественная теория ДУ". Рига. I9B9, 0.234.

6. Шатырко A.B. Качественный анализ нелинейных систем автоматического регулирования о зеиаздававдим аргументом//Тез. докл. II Северо-Кавказской региональной конф. "ФДУ". Махачкала. 1988,0.241

9. Хусаиаов Д.Я., Шатарко A.B., Отадник О.И., Завц И.Г. Оптимизация оценок характеристик решений систем обыкновенных дифференциальных уравнешй//Тез.докл. IV Международной конф. ira ДУ й их приложениям. Руса, Болгария 1989, С.Зое,394.

10. Шатырко A.B. К построении оценок показателей качества нелинейных ÖAP// Таз. докл, иколы-семинара "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов. Киев. 1991, 0.92.

11.' Шатырко A.B., ИвохКН Е.В. Некоторые вопросы анализа и синтеза сложных динамических систем, описываемых ДУ с отклоняющимся аргумэнтом//Тез. докл. II Международного коллоквиума по ДУ. Пловдив, Болгария. 1ЭЭ1, 0.268.