Оптимизация решений нелинейных задач магнитостатики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕН!® ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

РАПОЦЕВИЧ ЕВГЕНИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

УДК 518.61

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАГНИТОСТАТИКИ

01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соскание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выложена в Вычислительном центре Сибирского отделения Российской академии наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Ильин В.П. кандидат физико-математических наук Урванцев А.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Василенко В.А.

на заседании Специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Вычислительном центре Сибирского отделения Российской АН по адресу:

630090, г.Новосибирск-ЭО, проспект ак.Лаврентьева,6

С диссертацией можно ознакомиться б читальном зале Отделения ГПНТБ(проспект ак.Лаврентьева,6).

Автореферат разослан "/^" еМЛЬД 1992года

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-матеметических наук Ю.И.Кузнецов

доктор физико-математических наук профессор Березин Ю.А.

Ведущая организация: ВЦ СО РАН г.Красноярск

Защита состоится 1992года ъ/А

часов

►стсгямг 1

пин

Актуальность темы

В настоящее время, наверное, трудно найти такую отрасль промышленности, в которой бы активно не применялись приборы и механизмы, работа которых основывается на использовании электромагнитных полей. Электромагнитные поля используются в громкоговорителях, электромоторах, генераторах,

электро-вакуумных и электронно-оптических системах и т.д. Важный и большой класс образуют системы с постоянными магнитами (СПМ). Использование СПМ в качестве источника шля и магнитодвижущей силы, в отличие от систем на соленоидах, позволило отказаться от ряда источников питания - наиболее громоздкой части радиоэлектронного оборудования, что значительно сократило габариты и вес разнообразного радиоэлектронного оборудования. Улучшение качества постоянных магнитов послужило значительному ■ расширению области их применения. Бурное развитие процесса компьютеризации значительно увеличило количество моделируемых вариантов приборов и актуальной стала задача численного анализа и оптимального проектирования.

Для решения задачи анализа требуется качественная математическая модель, отражающая с определенной степенью, точности моделируемое явление. Разнообразие моделей и подходов к их реализации, описанных во введении,говорит об актуальности и сложности задачи моделирования нелинейных анизотропных свойств постоянных магнитов.

Второй основной задачей исследования систем с электромагнитным шлем является задача оптимального проектирования. До недавнего времени проектирование и расчет таких конструкций относилось больше к искусству, так как необходимо было иметь интуицию и воображение, основанные на большом практическом опыте. Применение теории оптимального управления к решению задачи синтеза систем с электромагнитным полем открывает больше возможности для практических приложений.

Др у гам важным вопросом при анализе и оптимальном проектировании магнитных систем является автоматизация

процесса решения задачи. Она подразумевает создашз проблемно-ориентированных систем, содержащих, с одной стороны, программные средства, обеспечивающие эффективную реализацию чкслекшгх алгоритмов, а с другой стороны, языковыие средства, обеспечивающие взаимодействие пользователя с ЭВМ в терминах выбранной предметной области.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключается в построении математической модели СПМ эффективно реализуемой с помощью метода конечшх элементов, выборе эффективных итерационных алгоритмов репения получающихся нелинейных систем алгебраических уравнений; в применении теории оптимального управления к задаче оптимального проектирования СПМ, доказательство существования решения такой задачи и построение алгоритма ее численного решения, а также в создании проблемно-ориентированной система ( ПОС РАМЗЕС ), предназначенной для моделирования широкого класса приборов на основе электрических и магнитных полей.

Научная новизна

Разработаны математическая модель и алгоритм расчета квазистационарного магнитного поля в системах с постоянным магнитом.

Доказаны теорем существования реазния задачи оптимизации формы области для линейного и квазилинейного эллиптического уравнения состояния моделируемой системы.

Создана проблемно-ориентированная система (ПОС РАМЗЕС) для решения широкого класса задач электрофизики.

Практическая ценность

Разработанная проблемно-ориентированная система РАМЗЕС позволяет проводить расчеты электростатических и магнитостатических полей сложных физических конструкций.

Подбор итерационных алгоритмов позволяет расчитывать магнитные поля конструкций, элементы которых находятся в разных режимах насыщения. ПОС РАМЗЕС позволяет проводить оптимизацию геометрических параметров рассчитываемых приборов.

ПОС РАМЗЕС внедрен в следующих организациях СНГ: ВЭИ имени В.И.Ленина, НПО "ОРИОН". НПО им.Векшнского - все г.Москва; ПО "Электрон" г.Суш; ВНШРПА им. А.С.Попова г.Санкт-Петербург; ЕрФИ г.Ереван; ИХКиГ г.Новосибирск; Ш г.Бишкек.

Публикации

По материалам диссертационной работы опубликовано 10 работ. Апробация работы

О с новные результаты работы докладывались на научных семинарах ВЦ СО РАН, на Всесоюзных школах-семинара по пакетам прикладных программ в г.Томске(IS84) и в г.Шушенское(1986);

VIII, IX Всесоюзных семинарах "Методы расчета электронно-оптических систем" в г.Санкт-Петербурге(1985) и в г.Ташкенте(1988), XIII Всесоюзной конференции по электронной микроскопии в г.Суш(1987), Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" в г.Новосибирске(1987), Всесоюзном семенаре-совещании

"Автоматизация проектирования и моделирования

электронно-оптических систем" в г.Винница(1989), XI Всесоюзном семинаре-совещании по проблемам технологического применения мощных электронных пучков в г.Москва(1990).

Объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основная часть работы содержит 146 страниц. В диссертации 33 рисунка. Список литературы насчитывает 94 наименования.

Содержание работы

Во введении описывается формулировка задач численного ' анализа й оптимального проектирования систем с магнитным полем. Из общих уравнений, описывающих электромагнитные поля, выделяются ряд частных случаев, описывающих модели магнитных систем, содерзсещих изотропные магнитомягкие и/или анизотропные мапзитотвердае материалы. Дается краткий обзор литературы по моделированию постоянных магнитов и приводятся концепции основных известных моделей, описывающий системы с постоянными магнитами (СШ).

Для з адачи оптимального проектирования дается обзор основополагающих работ по вопросам оптимизации Форш конструкции, существования реиения такой задачи и численных методов ее решения.

Сформулированы задачи исследования, приведены рассматриваемые математические постановки моделей, описана структура диссертационной работы.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена задаче

численного моделирования электрических и магнитных полей в двумерных областях с использованием метода конечных элементов.

В первом параграфе, имевдем постановочный характер, из общих уравнений электромагнитного поля выделяются частные случаи стационарного электрического и магнитного поля. Отдельно выделяется случай стационарного магнитного поля систем с постоянными магнитами, изучение которого является одной из целей диссертации.

• Для СШ рассматриваются две физические модели, основанные на разных исходных предположениях о свойствах магнитотвердого материала. В первой модели рассматривается случай однородной намагниченности постоянного магнита(отсутствие влияние поля на намагниченность), что позволяет моделировать СИЛ методом "эквивалентных токовых сегментов". Существенным моментом при моделировании СИМ является анизотропия материала(магнитная проницаемость V ~ тензор). В этом случае в направлении основного намагничивания рассматривается В/Н зависимость, взятая из предельной петли гистерезиса второго квадранта для

соответствующего типа постоянного магнита. В направлении, перпендикулярном к основному, в качестве В/Н зависимости рассматривается прямая из начала координат, параллельная касательной к графику в основном направлении в точке Н=0. В результата задача сводится к решению квазилинейного эллиптического уравнения с линейной правой частью. Вторая модель описывает более общий случай и базируется на знании В/Н зависимости в основном направлении, зависимости индукции в перпендикулярном направлении от напряженности в перпендикулярном направлении и знании кривой, характеризующей смешение рабочей точки с предельной петли гистерезиса на внутреннюю, подобную ей, в зависимости от поля в перпендикулярном направлении. В результате задача сводится к решении квазилинейного эллиптического уравнения с нелинейной правой частью.

Для всех указпнннх случаев выписываются соответствующие математические модели. Для двумерных плоских и осесимметркчшк областей формулируются краевые задачи для расчета электрического скалярного и векторного магнитного потенциала, выписываются эквивалентные вариационные постановки задач и соответствующие функционалы типа энергии. Определяются необходимые и достаточные условия для существования и единственности поставленных задач.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы применения метода конечных элементов для численного решения задач теории поля. Для этого в пространстве Н*(0) вводится соответствующее конечномерное подпространство VQh с базисом из система кусочно-линейных функций (элементы первого порядка) определенное на триангуляции исходной области fl . Для рассматриваемых моделей описывается процесс получения системы линейных/нелинейных алгебраических уравнений как из дискретизации Галеркинсной вариационной постановки на пространстве 7Qtl, так и из условия минимума конечномерного аналога соответствующего функционала энергии. Рассматриваются вопросы сходимости и аппроксимации приближенного конечноэлементного решения.

В третий параграф отдельно вынесен некоторый частный

случай задачи расчета нестационарного магнитного поля в системе с постоянным магнитом. Описана математическая модель расчета квазистационарного магнитного поля для случая низких частот и периодического изменения напряжения, подаваемого на котушку с током, когда вкладом от вихревых токов в суммарное поле можно пренебречь. Модель позволяет рассчитывать нелинейные искажения функции тока и суммарное магнитное ноле системы, а также движение катушки с током в магнитном поле. Описанная модель опробована на задаче расчета магнитного поля электродинамического громкоговорителя.

Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов. В первом параграфе формулируются основные понятия и описывается терминология теории оптимального управления. Далее задача оптимизации геометрических параметров конструкции представляется как задача теории оптимального управления. В качестве модели системы расматриваются случаи, описываемые линейными и квазилинейными эллиптическими краевыми задачами, где в качестве функции состояния рассматривается векторный магнитный потенциал А.

В общем виде уравнение состояния можно записать в виде

1у = ! 1,<х,и) = X е а, (1)

1=10Х1 1

у = о, х е дп,

где а 1 1 в зависимости от задачи, записывается в виде

2

11(х,и) = 2 а13(х)и3, 1=1,2; а1;)е Ьда(П)

или

11(х,г)) = <р1(х, М2)^,

где на функции а^, <р1 накладываются ограничения, обеспечивавдие существование и единственность решения задачи (I).

Б качестве функции цели рассматривается функционал, давдий квадратичное отклонение функции наблюдения за системой 2(А) от

требуемой величины ZQ в некоторой фиксированной подобласти к

J (А) = J |Z(A) - Zq |ztitx (2)

Задача оптимизации ставится в виде:

Найти min J"(A), (3)

•э

"е

где функционал минимизируется на множестве допустимых управлений 3£. В качестве функции наблюдения для рассматриваемого класса задач выбирается магнитная индукция S , которая связана с решением задачи (I) соотношением В = rot t .

Для задачи с квазилинейным эллиптическим уравнением ■ состояния рассматривается два случая выбора множества допустимых управлений 3£. В первом случае - это семейство подобластей исходной области, являющиеся носителями финитной правой части уравнения состояния. Этот случай моделирует задачу оптимизации конфигурации источников тока в электромагнитных устройствах. Второй случай описывает задачу оптимизации конфигурации магнитопроЕода (подобласть с определенными на ней нелинейными коэффициентами уравнения состояния). Источники тока не меняют при этом своего положения.

,Во втором параграфе рассматриваются вопросы существования решения задачи (3). Для случаев линейного и квазилинейного эллиптического уравнения состояния доказывается следующая

Теорема I. Если 2g- множество допустимых подобластей Dm> удовлетворяющих условию s-конуса, то на Sg функционал J(Dm) достигает, по крайней мере, одного минимума.

Для доказательства этой теоремы устанавливается следующее свойство функционала J

Лемма I. Функционал J " непрерывен на Ее для сильной топологии Lgtfl) характеристических функций его элементов.

Для множества 3£ справедлива следующая

Лемма 2. Множество НЕ компактно относительно сильной топологии характеристических функций в П элементов 5е.

Для доказательства непрерывности функционала J

устанавливается справедливость следующей теоремы

Теорема 2. Если О }. последовательность открытых., множеств из й П\ЮШ-»П\Б по Хаусдорфу, то соответствующая

поелодовательпость обобщенных решений Ут задачи (I) сходится к У сильно в Н*(П), где У - обобщенное решение задачи (I) с правой частью Е(х)=1(х)%р(х) (где % - характеристическая функция области).

В третьем параграфе описываются алгоритмы решения задачи оптимизации формы области (3). В '2.3.1 применяемый в алгоритме подход излагается для непрерывного случая. Для решения задачи оптимизации используется градиентный метод. Для его реализации необходимо уметь вычислять градиент ог функционала (2). Для этого применяется вариационный подход. Вводится функция сопряженного состояния, как решение вспомогательного линейного уравнения, при помощи которой вариация функционала J выражается через вариацию уравнения состояния. Находятся выражения для вариации функционала 3 для случая линейного и квазилинейного эллиптического уравнения состояния (I).

В 2.3.2. описывается применение МКЭ для численного решения задачи оптимизации формы области. Для этого строится и исследуется дискретный аналог задачи в выбранном конечномерном подпространстве Используя вариационный подход были

получены формулы для производной функционала «7^ по отношению к координатам вершин триангуляции области и

сформулирована дискретная модель градиентного метода решения оптимизационной задачи.

Третья глава посвящена задаче автоматизации процесса моделирования электромагнитных полей. В первом параграфе рассматривается роль проблемно-ориентированных систем (ПОС) в процессе автоматизации проведения вычислительного эксперимента и в процессе эволюции в области программного обеспечения. ПОС

содержат базы знаний, средства логического вывода, средства получения алгоритма решения задачи по ее спецификации и описывают определенный класс задач из выбранной предметной области.

Во втором параграфе описывается структура и основные компоненты ПОС РАМЗЕС, предназначенной для анализа и проектирования конструкций с электромагнитным полем. В ПОС РАМЗЕС реализованы двумерные(плоские и осесимметричные) модели электростатического поля, магнитостатического поля с учетом свойств магнитомягких и магнитотвердых материалов, модели для СПМ с различными вариантами ограничений на намагниченность, модели для расчета комбинированных систем, модель расчета квазистационарного магнитного поля в СПМ. На этой основе проведена численная реализация задачи оптимизации формы области.

Ориентация ПОС на использование ее в качестве инструмента конструктора при проектировании новых электромагнитных систем привела к создании диалоговой компоненты, оперирующей конструкторскими терминами и понятиями и реализованная по принципу "меню", а тагаке базы данных типовых конструкций(БДТК). БДГК включает в себя пять классов: электронные линзы электроннолучевых устройств, электромагнитные системы магнетронов, электромагнитные отклоняющие системы, магнитостатические фокусирующие системы, магнитостатические магнетронные системы. Кроме этого,база данных ПОС РАМЗЕС содержит архив результатов расчетов и магнитных характеристик материалов.

Функциональная компонента ПОС включает в себя библиотеку эффективных алгоритмов решения линейных(БЗОССС) и нелинейныхДОЗН, Ньютон-Рафсон) систем алгебраических уравнений, а также сервисные средства для вывода информации на печать и графопостроитель и организации диалога.

В третьем параграфе приводятся примеры расчета практических задач из различных областей электрофизики, выполненные с помощью ПОС РАМЗЕС.

Основные результаты работы

1. Проведена классификация математических моделей, описывающих магнитное поле в системах с постоянным магнитом. Получены математические постановки задачи расчета стационарного магнитного поля в терминах векторного потенциала для ряда моделей систем с постоянными магнитами. Доказана разрешимость соответствующих краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений в двумерном и трехмерном осесимметричном случае. Приведены оценки сходимости приближенных решений, полученных с использованием метода конечных:элементов.

2. Исследована задача оптимизации формы электромагнитных систем, описываемых линейными и квазилинейными эллиптическими

операторами. Для случая линейного эллиптического уравнения состояния задача оптимизации формы области представлена как задача теории оптимального управления и получены операторные соотношения на оптимальное управление. Для приведенных постановок доказаны теоремы существования решения задачи оптимизации формы области.

3. Предложен алгоритм решения задачи оптимизации формы области, основанный на градиентном методе. Получены представления для производной функции стоимости для разных случаев Еыбора уравнения состояния и ' множества допустимых управлений. На основе метода конечных элементов получен дискретный аналог алгоритма оптимизации формы области. Приведены результаты численных исследований, иллюстрирующие применение алгоритма для решения задачи оптимизации формы электродинамиче ского громкоговорителя.

4. Разработана проблемно-ориентированная система РАМЗЕС, предназначенная для моделирования электрических и магнитных полей широкого класса электрофизических приборов и устройств. В состав системы входит диалоговая компонента, база данных типовых конструкций, библиотека функциональных модулей, включающая алгоритмы построения сетки метода конечных элементов, решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, расчета характеристик

электромагнитных полей и сервисных модулей визуализации

результата.

5. G помощью НОС РАМЗЕС решено больпое количество практических задач из разных областей электрофизики. Сравнение численных результатов с данными физических экспериментов показывает высокую точность расчетов, мобильность и экономичность созданного программного обеспечения.

Литература

1. Рапоцевич Е.А. .Урванцев А..Т. Расчет электромагнитных полей методом конечных элементов с помощью ППП РАМЗЕС-2. -Новосибирск,1984, 26с(Препринт АН СССР, Сиб. отделение, ВЦ;

481).

2. Кузнецов С.Б., Рапоцевич Е.А. Метод разделения области в задачах с квазилинейным эллиптическим оператором. В сб: Вычислительные алгоритм в задачах матфизики.-Новосибирск, 1935, с.45-54

3. РапоцеЕич Е.А. О разрешимости задачи оптимизации формы области. -Новосибирск, 1986, 13с.-(Препринт АН СССР, Сиб. отделение, ВЦ; 634)

4. Рапоцевич Е.А., Урванцев А.Л. Численное моделирование систем с постоянными магнитами.-Новосибирск, 1986, 25с.-(Препринт Ali СССР, Сиб. отделение, ВЦ; 624).

5. Голубева Л.А., Рапоцевич Е.А. Входной язык АИДА для ППП РАМЗЕС-2.-В сб: Пакеты прикладных программ.-Новосибирск, 1986, с.49-62

6. Рапоцевич Е.А., Урванцев А.Л. Расчет оптических характеристик систем магнитных линз с помощью ППП РАМЗЕС-2.-В сб. Тезисы докладов 13 Всесоюзной конференции по электронной микроскопии. г.Сумы, 1987, T.I, с.99-100

7. Рапоцевич Е.А. Численная реализация задачи оптимизации Форш области.-В сб.: Технология вычислительного эксперимента.-Новосибирск, 1988, с.106-117

8. Рапоцевич Е.А., Френкель A.A. Моделирование нестационарного магнитного поля в электродинамическом громкоговорителе.-В сб: Технология моделирования задач матфизики.-Новосибирск, 1989, с.121-134

9. Рапоцевич Е.А. Математическая модель задачи оптимизации формы области.-Новосибирск, 1989, 20с.-(Препринт АН СССР, Сиб. отделение, ВЦ; 868).

10. Голубева Л.А., Рапоцевич Е.А., Урванцев А.Л. Проблемно-ориентированная система для моделирования электромагнитных полей. Автометрия, 1991. Л2, с.67-73