Оптимизация в решении экстремальных задач на классах однолистных автоморфизмов полуплоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 я;з1

САРАТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТШННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ га1.Н.Г.ЧЕРНЫИЕВСКОГО

ча правах рукописи

Захаров Андрей Михайлович

01®ШИЗАЦИЯ В РЁШЕНИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ НА КЛАССАХ одн&Шсйшх АВТОМОРФИЗМОВ ПОЛУПЛОСКОСТИ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертаций на соискание ученой степени кацаддаТа физико-математических наук

Саратов - 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа Саратовского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им.Н.Г.Черньпевского

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Д.В.Прохоров

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

. старший научный сотрудник Ф.Г.Авхадийб»

кандидат физико-математических наук, профессор В.В.Соболев

Ведущая организация - Томский государственный университет

Защита состоится " \8 " ор^рс^^-Я ^ддз г> в

час.

на заседании Специализированного совета К 063.74.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ при Саратовском государственном университете им.Н.Г.Черньшевского по адресу: 410071, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский государственный университет, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослан " _5" " 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета,- кандидат физико-математических наук, доцент

П.Ф.Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Центральной темой исследований в теории конформных отображений является теория однолистных функций. Условие однолистности, обладая очевидным физическим смыслом и наглядной геометрической интерпретацией, часто приводит к рассмотрению сложных по своей структуре, прежде всего ввиду нелинейности, классов функций. Изучение экстремальных свойств классов однолистных функций имеет богатую историю и представляет собой серьезную математическую задачу. Решение экстремальных задач, связанных с поиском множеств значений функционалов и систем функционалов, постоянно сопровождалось появлением новых общих методов: площадей, контурного интегрирования, вариационного, параметрического, симметризации, экстремальных метрик и других. В последнее время в рамках параметрического метода при решении задач по описанию множеств значений систем функционалов эффективно применяется оптимальное управление. Начало этому направлению было положено в работах И.А.Александрова и В.И.Попова. В дальнейшем теория оптимального управления успешно применялась Г.А.Поповой, Д.В.Прохоровым, В.П.Важ-даевым, А.Ю. Васильевым и другими.

Классические результаты в теории однолистных функций относятся к

классу $ функций т°(2) = 2 Qn %п » гсломорфных и однолистных

п-г.

в единичном круге. Другой канонической односвязной областью задг.чия, не сводящейся к кругу, является полуплоскость с более сложным нормирующим условием. Начало исследованиям -однолистных автоморфизмов по -луплоскости было положено М.А.Лаврентьевым, установившим вариационным методом ряд качественных результатов и давшим приложения к вопросам струйного обтекания. С появлением параметрического метода стало возможным систематическое изучение экстремальных свойств классов однолистных автоморфизмов полуплоскости. Важные результаты, связанные с поиском множеств значений систем функционалов, в частности, оценки коэффициентов лорановского разложения, были получены Ь.П.Куфаревым, И.А.Александровым, В.В.Соболевым, Т.Н.Селляховой, С.Т.Александроеым и другими.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена применению методов оптимизации к решению экстремальных задач теории отображений. Объектом исследований являются классы однолистных функций, определенных в полуплоскости и круге. Тематика работы включается в исследования

3

по грш.ту Комитета по высшей школе РФ Ji 2-12-7-25 "Оптимизация в задаче о коэффициентах однолистных функций", что подчеркивает ее актуальность.

Цельв работы является решение .экстремальных задач теории отображений, а именно:

I) описание взаимного изменения функции и ее производной не подклассе

однолистных автоморфизмов полуплоскости; .-) нахождение множества значений системы начальных коэффициентов ло-рановского разложения на'подклассе однолистных автоморфизмов полуплоскости;

3': решение изоперчметрической задачи о минимизации площади при линейной замене граничных значений функции; ■х! опенка четвертого коэффициента квази-звездообразной функции.

Ь^толкка исследований отражена в названии диссерташи. В работе Не™лк применение методы теории функций действительного и комплексного переменного, оптимального управления, аналитической теории дийпсрен-пиальных уравнений, теории алгебраических функций. Для ргзекия экстремальных задач систематически применяется комбинация вариационного мотэда к оптимального управления. Поиск множества энач&нкй систем сгуккцпокалов сводится к нахождению множества достижимости управляемо?.

темы. Важнейшим инструментом исследований является принцип мзксит мума Ji.С.Пэнтрягина, который оказывается не только необходимым, но к достаточным условием оптимальности.

Научная новизна. Все основные результаты работы явяяэтся новыми. Б диссертации полностью решены задачи описания взаимного изменения функции и ее производной, взаимного изменения начальных коэффициент тов на подклассах однолистных автоморфизмов полуплоскости. Приводится параметрическое представление, указывается свойства и алгоритм построения граничных гиперповерхностей, часть границы выписывается явно. Определены условия, при которых задача о минимизации площади при линейной замене граничных значений функции является содержательной, найдена минимизирующая последовательность. Получена точная оценка четвертого коэффициента квази-звездообразной функции, уточняющая результаты И.Дзюбинского.

Теоретическое значение и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут кайти применение в различных областях геометрической теории функций :: теории оптимального управления, а также могут быть испг.вм'.-кеш ь учебкой процессе в специальных курсах по оптимально:iy уг;- г

теории. функций комплексного переменного»

4

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 4-?. и 5-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (г. Саратов, 1988, 1990 гг.), Первых и Вторых математических чтениях памяти М.Я.Суслина (г.Саратов, 1989, 1991 гг.), Летней математической школе "Комплексный анализ" (г.Симферополь, 1992 г.).

В целом работа докладывалась на семинаре по геометрической теории функций Саратовского государственного университета и Саратовского государственного педагогического института (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Прохоров Д.В.), на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, вычислительной математики Саратовского государственного университета (руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Купцов Н.П.), на семинаре по геометрической теории функций НИИ математики и механики Казанского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Авхадиев Ф.Г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано Четыре статьи Ш - [4].

Структура и.объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов и списка литературы, содержащего 59 наименований. Диссертация изложена на 98 страницах машинописного текста и включает 8 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор литературы по исследованиям, близ- . ким к теме диссертаций, приведены необходимые обозначения, охарактеризованы основные результаты и методы работы.

Обозначил через H множество всех голоморфных и однолистных в верхней полуплоскости П%-{ъ: ümz>oj функций w-^ca) , принимающих значения в fit, ' и имеющих- "гидроДинамь-гескую" нормировку Для фиксированного с é о будем обозначать че-

%е л

рез . H (с) (H (О/ множество функций класса H , для которых torn 2(г(й)-*)=С ( lim ъ (fis) -ъ) с ).

зеП*й геП* а

Пусть. п - совокупность всех функций /( г) <s H , отображающих ¡7г на односвязные области без внешних в f7w точек, получающиеся из П« проведением конечного числа жорцановых разрезов (образующих попарно несвязные деревня, кадцое из которых имеет один корень на оси Jmw-ro ). н (с) = H il H (с).

Функции класса И допускают в полуокрестности

5

бесконечно удаленной точки разложение в ряд

с вещественными коэффициентами сп тогда и только тогда, когда дополнение области Д = {и/: = %е Л* } до П^ ограничено. Совокупность всех функций ¿(2) & Н , удовлетворяющих этому условие, будем называть классом Ни, соответственно, НЬ(С)=Н^Л Н(с). В 1970 году И.А.Александров и В.В.Соболев нашли области значений

систем функционалов { 1п > (а)| , алс $'(1)] на классе Н и

{г(к)] на Н(С) . Несколько позднее Т.Н.Селляховой и В.Б.Соболеву удалось на классе Н полностью описать систему {¥(2), с. для функций из Н(с) получить точные оценки модуля производной. Решение задачи о точных двусторонних оценках аргумента производной в зависимости от величины с на некотором более широком вследствии замены нормирующего условия классе функций, чем Ц1С) , было дано

С.Т.Александровым.

Первая глава диссертационной работы посвящена описанию множества 1)с {г.) значений системы функционалов

3</;=ЧКет>, Зт {(%) ', еп амдГм},

2 е П^, на классе Н(с).

В § I традиционными для вариационного метода рассуждениями доказывается теорема о геометрической характеристике экстремальных функций.

ТЕОРЕМА I. Пусть функция \л/- -£(2) является экстремальной б задаче описания множества значений системы ЛМ на классе Н(с). Тогда ^<2)еН(С) . Область 1«/= получается из

проведением разрезов по аналитическим дугам, и та часть границы дЬ области Д , что лежит в П1< , представляет собой либо одну аналитическую дугу,' либо совокупность двух аналитических дуг, замыкание каждой из которых имеет «а прямой д П*^ одну точку, либо совокупность трех аналитических дуг, выходящих из точки полуплоскости П^

под углом друг к другу. В каждом из этих случаев дута, имеющая

концевую точку на дП^ , образует с осью Зт \ы-о прямой угол.

В § 2, основываясь на теореме I, указывается параметрическое представление экстремальных функций интегралами обобщенного уравнения Левнера для полуплоскости.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция \л/= ^(з.) доставляет граничную точку множества 1)с{2) и отображает полуплоскость П^ на область, по-

6

лученную удалением из П1 разреза по кусочно аналитическим кривим с двумя концевыми конечными вершинами. Тогда найдутся непрерывные на 1°>~с] вещественные функции и£, иь и положительное число А , такие, что решение и> = ид2, Ь) задачи Коши для обобщенного уравнения Левнера

_ _Л__, 0012,о)- г, (I)

аь ~ иг-оо >

/7г ♦ связано с Рсг) соотношением сО(г)-с)) и представ-

ление (I) единственно.

Доказательство теоремы 2 использует установленный В.3.Соболе сш геометрический смысл параметра А и опирается на вспомогательную лемму.

ЛЕММА I. Пусть А ^есть образ верхней полуплоскости при отображении функцией класса Н . Из граничной точки \л/о , лежащей в конечной части границы дА , проведен аналитический разрез

= Л (51)о£$±8],Л1£)=Щ>, Б - натуральный параметр, и пусть 5)=

= 2 + -к.. - семейство функций класса И , отображающих Пг на

области А (э; = Д\ЬС5), Ь(3> = {\а/: \л/= Л(Ю, У(/МЪ), 5)- АCSJ. Тогда функция ¿ = Ь(Б) и ей обратная являются непрерывно дифференцируемыми и справедлива формула

с(э

дг3

В § 3 экстремальная задача о взаимном изменении функции , и ее производной на классе Н(с) формулируется в терминах теории оптимального управления. ^

Производящим для класса Н{С) является дифференциальное уравнение Левнера .

с!ш _ I . с(Ь и-ш ,

и(2)

Пг . Зафиксируем 2 е Пъ и введем следующие обозначения: Я^ Ь) - Яе са(%, Ь) , . = аЛаД),

ХьШ^ 1г\

92

1'да си - а; (2, Ь) является решением задачи Коши (2) с некоторой кусочно непрерывной на [О, - с] вещественной функцией и. - и, IЫ . Фазовые координаты вектора Х= Х{£} = (:С1.(±), ■ХХ(Ь), Х*Ш, ХЧ(Ы)Т удовлетвори— ют системе дифференциальных уравнений

7

х1(о)=Яе2 ,

Ъг.$сь т. качестве управления выступает кусочно непрерывная функция

Поиск множества Эс(2.) значений системы ЗШ на классе Н(с) сводится к решению задачи оптимального управления: описать множество достижимости в момент х = -с. управляемой системы (3).

Для решения задачи применяется принцип максимума Л.С.Понтрягина. Функция Гамильтона Н(Х,Ч/,гг) аналитически зависит от переменной^ и множество У(Х,Ч') точек максимума зтой функции содержит не более двух элементов. Обозначим через УПт , 171=1,2-, совокупность всех допустимых значений (X* У) , для которых множество состоит

из т точек и, соответственно, положим УПт (Х)-^; (Х^М^Ш-т }.

Обозначим через £г = (г(Х,гг)= ( е^ (X, V), о^Х,!/), 03 (К,ь~),

Су(Х,гр^ • Гаыильтоновая система

О

ах.

. с(9 _ (эеоы у

( 8Р0Ы и ,

\ 9 х; / т ' 5 •

(4)

ск±

^ДзЛ")) описывает неособый режим (т=1 ) . Б

случае т - 2, , соответствующем скользящему режиму, система (4) зауе-кяется на "овкпукленное" однопараметрическое семейство гамильтонрвых систем

= А(?(Х,1Г1)+ (1-А) £(Х,яГ*), Х(о)= Xе,

о[±= . \(дСЧХ,уУ)\ и-\)( ШХл'гПу Ц,10)=. ол I дх / I эх ] '

Число А , 0 6= А-1 , является параметром семейства.

Пусть f с Ш-т (XV • Ввделиы щ непрерывны}: ветвей ь* ,

алгебраической функции Ь~(Х, Н') , определяемой уравнением

- V' - {14-г Хг, -г 21з) V2 - 6 Vй -г

~ ( 6 / з х^-2,4^x1)%"+ }1х1 и начальными условиями ъ*. (X* \) £ V (Х°, }), Xе, 1).

Основная теорема о взаимном изменении функции и ее производной формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 3. Граница 31)' 1£ 11% , множества значений системы функционалов 3(4) на классе Н (с) является объединением множеств -О-х, > не имеющих общих внутренних точек. Каждому из

•множеств , т-1,г , взаимно однозначно соответствует множество УТСт (X, и справедливо параметрическое представление

= ¡еШХа), ||ГН = 1; 0£Л*1},

где есть проекция на фазовое пространство решения

, А),Ч/(£, А)) задачи Коши для гамильтоновых систем (5) с непрерывными ветвями V- = ( X,), ] = ¿,т .

Доказательство теоремы 3 приводится в § 4 и опирается на ряд лемм.

ЛЕММА 2. Для всякого допустимого значения ("Ь, X) множество ХТ1д,(Х) является открытым вещественным гладким многообразием размерности 3.

ЛЕЮ/А 3. Для достаточно малых Ьс> О всякая дуга'{ ХЦ, ^ , А': С у Ъ ¿с, является оптимальной в задаче о нахождении границы

множества достижимости управляемой системы (3) в момент Ъ

ЛЕММА 4. Пусть £ ИГСт (Xя}, • Тогда вдоль всей траекто-

рии X (::,?, Л) выделяются непрерывные ветви г^- , ¡-77т , удовлетворяющие уравнению (6) и максимизирующие функцию Гамильтона, задаваемые т различными начальными условиями г^- (X"] р Ы (Х^'р], ¡=1^. Эти ветви допускают слияние в некоторых точках траектории.

ЛЕММА 5. Утверждение леммы 3 распространяется на весь отрезок

В § 5 изучаются свойства и приводится алгоритм построения граничной гиперповерхности.

Следствие I. За исключением множества меньшей размерности, грани-па д2)с(2) является гладкой поверхностью.

Следствие 2. За исключением многообразия меньшей размерности, множество на границе д])с(2) является аналитической поверх-

9

ностью.

Следствия I и 2 вытекают из рассмотрения характера зависимости решения задачи Коши (5) от начальных данных | и параметра А .

Теорема 3 дает конструктивный алгоритм поиска граничной поверхности дВса) . Достаточно низкая степень уравнения (б) позволяет в § 5 конкретизировать этот алгоритм. Кроме того, приводится явное описание части граничной гиперповерхности, соответствующей скользящему режиму.

Автономность управляемой системы (3) позволяет в § б ввделить первый интеграл гамильтоновой системы (4) и ограничиться в описании гиперповерхности только фазовыми дифференциальными уравнениями.

ТЕОРЕМА 4. Гиперповерхность имеет параметрическое представ-

ление

где Х(М) - решение задачи Коши для управляемой системы (3) с непрерывным оптимальным управлением V- ^о { ^

Специфические свойства функции Гамильтона дают возможность обобщить полученные результаты. Обозначим через Т)^ (2) множество значений системы функционалов_^ (£) на классе Н (с).

ТЕОРЕМА 5. Множества Х>с(2) и Ъс (2) совпадают.

Во второй главе настоящей диссертационной работы исследуется множество §5(с) значений системы начальных коэффициентов Г (?) = = (Сг,с1> на классе Н1.(с) . Своеобразие решаемой в

главе 2 задачи заключается в том, члз разложение однолистных автоморфизмов полуплоскости в ряд Лорана осуществляется в полуокрестности бесконечно удаленной точки. Таким образом, коэффициенты разложения есть функционалы, определенные на границе области задания функции. Такое положение вещей делает задачи описания систем функционалов

С(4) и I (Л . разными, не сводящимися друг к другу. Дополнительные'трудности создает не компактность класса ■,■ Нь (с).

- Кратко остановимся на истории вопроса, упомяну Вг.дишь о точных оценках коэффициентов - и множествах значений систем коэффициентов на классе Н(,(с) . . . В 1974 году В.В.Соболевым и Т.Н.СелЛяховой опубликована статья,' в которой были качены множества значений {с2п} для любого натурального п, {ся,,е}} и {с^} 980 году

Соболев, Т.Н.Селляхова и В.Г.Москвин описали множество значений _сиетега [с,, г^-] . Отметим, что решение задачи о взаимном изме-второго, третьего и четвертого коэффициентов сводится к ззда-пз:описания множества значений системы { 1 . Экстремальные

10

в перечисленных задачах функции отображают П^ на области, полученные из riw проведением разреза с одной концевой точкой, лежащей в верхней полуплоскости.

Принципиально новая ситуация возникает при описании множества значений системы Х(£) . Часть граничной поверхности Э2>(с) вносится функциями, отображающими верхнюю полуплоскость П* на об -ласти, образованные из flw проведением разреза по аналитическим дугам, имеющим две концевые конечные вершины в •

Применение в § 7 вариационного метода приводит к утверждению о характере экстремальных функций.

ТЕОРЕМА 6. Пусть функция w=f(a) является экстремальной в задаче описания множества значений системы I (#) на классе Н¡л с) и определяет конечную точку граничной поверхности 3 2) (с J . Тогда ■?{%)£ Н(с) . Область Д = {и/: , % е. Ль} получается

из lit/ проведением разрезов по аналитическим дугам, и та часть границы О А' области А , что лежит в ni/ , представляет собой либо одну аналитическую дугу,.либо совокупность двух аналитических дут, замыкание каждой из которых имеет на прямой 9flw одну точку, либо совокупность трех аналитических дуг, выходящих из точки полу -плоскости ilw П°Д углом -тр- друг к другу. В каждом из этих

случаев дуга, имеющая концевую точку на 8DZ/ > образует с осью 7m w= о прямой угол.

Подобно теореме I, теорема 6 позволяет конкретизировать параметрическое представление граничных функций. »

Для решения экстремальной задачи в § 8 вновь применяется теория оптимального управления. Чтобы подчеркнуть общность метода, сохраняются обозначения главы I.

В качестве координат фазового вектора Х= X (t)= (a^tt^ oci{t)1 Хч It}) фигурируют второй, третий, четвертый и пятый коэффициенты решения Lü=uHZ,t) задачи Коши для уравнения Левнера (2). ¡Множество Же) значений системы коэффициентов 1(f) на классе Нь(с) совпадает с множеством достижимости в момент i~-c>e управляемой системы

gi(U) = -U , ЭС^о)=0,

TT

й-ь 3

с произвольным кусочно непрерывным управлением ц^)

Сопряженная гамильтоновая система интегрируется, и вместо (4) и (5) следует рассматривать лишь управляемые системы

Х(о) = о, (8)

с( Ь

ЛбЧМ.чЛ-и-АХИМ.и»), Хю)=о. (9)

о(с

Здесь - вектор, составленный из правых частей системы

(7).

Вводя множества' ИУЬ^ , т-1,^ , допустимых значений ( ,

для которых функция Гамильтона имеет т максимумов, положим

Пусть ^ е. УУЬт (О) . Вццелим т , т- непрерывных ветвей ^ алгебраической функции и. - и. (С, |) , определяемой

уравнением

I

и начальными условиями и.х(0, |) ^ и. д. (О, ■ и.-(О^) максими-

зируют ¿ункцию Гамильтона в начальный момент времени. Имеет место теорема о взаимном изменении начальных коэффициентов.

ТЕОРЕМА 7. Граница 02!(с) множества значений системы коэффициентов Т(-£) на классе Н^. (с) является объединением множеств » не имеющих общих внутренних точек. Каждому из множеств т-1, 2-, взаимно однозначно соответствует множество УПт (о) и справедливо параметрическое представление

= А): = о^ Л

где X (с ^ А) есть решение задачи Коши для управляемых систем (9) - с- непрерывными оптимальными управлениями, и.- - (Х^ (|) , ] = .г, т. : Да>наза-7гзльство теоремы 7 основывается ка следующих леммах. /ЛЕЖА 6. Для любого Ь, О Ь ¿-с , множество Ш-^(Ь) является откр^х вещественным гладким многообразием размерности 3.

12

ЛЕММА 7. Утверждения лемм 3, 4 и 5 остаются справедливыми при per-.— ник задачи с нахождении границы множества достижим ост;: управляв:«?: системы (8).

Б § 9 исследуются аналитические свойства гиперповерхности вполне аналогичные свойства;.? гиперповерхности 9DcCS).

Следствие 3. За'исключением множества меньшей размерности, rpaHir.;; d£j(c.) является гладкой поверхностью.

Следствие 4. За исключением многообразия меньшей размерности, t,-..-i:-жество на границе д%)(с) является аналитической поверхности'.

Алгоритм построения границы 8S)ic) , -определяемый теореко»: конкретизируется. Часть граничной гиперповерхности, соответствующая сколь?ялему режиму, выписывается явно. В силу неаЕТоношостк управляемо;: пис~б:.:ы ркиелэние первых интегралов не представляется очевэд-нкк.

I:p:s регекик залгч главы I и главы 2 удается применить общую методику, основанную на комбинации вариационного метода и теории опти -малького управления. Характеризуя эту методику, следует отметить главные идей:из моменты. Вариационным методом устанавливается гескетри -ческая характеристика экстремальные функций, позволяющая представить лссгелнке интегралами обобщенного уравнения Леннера (I) с непрерывными функциями Ui(i),U-2(t) и постоянной . Такое пред -ставление оказывается возможным из-за аналитичности разрезов, а количество слагаемых е правой части уравнения (I) определяется количеством концесых точек зтих разрезов. Далее экстремальная задача формулируется б терминах теории оптимального управления,и применяется принцип максимума Л.С.Понтрягина, который оказывается не только необходимым, но и достаточным условием. Особо следует выделить тот факт, что поиск множества достижимости управляемой системы сводится к решению не краевой задачи, а задачи Коши для четырех обыкновенных дифференциальных уравнений.

Третья глава содержит решения двух экстремальных задач, не свя -занных с однолистными автоморфизмами полуплоскости. Однако, обьедк-няюпим моментом, позволяющим рассматривать все три главы как елико? целое, является оптимизация.

Пусть Г - простая замкнутая спрямляемая кривая, являющаяся образом единичной окружности дЕ = {%: ¡2| = ij при отображении функцией w=-f{%), cuxj и £(2) есть функции, заданные на дь. Предположим, что функция w(Z) = а(У.) f('£) г 6tй) отображает единична окружность на простую замкнутую кривую QP+ В . Обозначим через 5rtr,с плошадь области, ограниченной ьгр;:всts аГ-^t,

На Первых математических чтениях памяти М.Я.Суслина (Саратов, 1989) профессор Л.А.Аксентьев со ссылкой на авторство профессора Ю.И.Черского сформулировал следующую задачу: среди всех отображений дВ на простую замкнутую спрямляемую кривую Г , удовлетворяющих изо-периметрическому условию $г - $с » найти то, для которого площадь 3 а г-* б минимальна.

3 § 10 эта задача решается в классе звездообразных кривых Г для частного случая сми . Приводится пример,

показывающий, что для широкого класса функций а (2.) минимум 5аг в классе кривых Г , не являющихся звездообразными относительно начала координат, равен нулю.

ТЕОРЕМА 8. Пусть непрерывная функция а 1О задана над В. Тогда в классе звездообразных кривых Г существует последовательность { Г,: > удовлетворяющая изопериметрическому условию

= $о • Для которой 5г,^ - З-гшш а"сг).

к к-*«- ак авее

& * —

Пусть 5 - класс функций £и> = у. — )_ си гГ однолистных и

звездообразных в круге Ь - {2: ¡2) ^ I } . Обозначим через , М>1, множество зсех голоморфных однолистных в £ функций Ри)-£ Вг,гп,

определенных уравнением Ж)) = ^(3) . Класс введен

й.Дзюбинским и назван им классом квази-звездообразных функций.

В § II устанавливается точная оценка \ЬЧ\ . Этот результат уточняет оценку, полученную ранее Д^эбинским.

Пусть 1,ич... - корень уравнения 36М1'-г бМг-с

-г5ЧМх-Ъ0-С, М^Ч.чт... - корень уравнения

- корень уравнения 59М> - 123М2- 72.М-Ш=о. ТЕОРЕМА 9. Пусть

£ . Тогда

справедливы следующие точ**

нне оценки:

^ ;( ± ~ -¿г) и . ;

зл- м-

■фг ¿ььм^

ш^-вм-У (п*иг+м*'-г>вм-зг)г)":>' . ... .

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителк профессору Д.В.Прохорову за ценные советы и постоянное внимание в процессе выполнения диссертационной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Захаров A.M. Оценка четвертого коэффициента квази-звездосбразксй функции //Вычислит» методы и программно. - Саратов, 1989..-

С. 49-53.

2. Зусаров A.M. Множество значений системы функционалов f'(2)} на одном подклассе однолистных в полуплоскости функций //Вторые матем. чтения памяти М.Я.Суслина. Тезисы докл. - Саратов, 1991. -С. 68.

3. Захаров A.M. Множество значений системы функционалов {#(*), f'OOj для однолистных в полуплоскости функций //Саратов, ун-т. - Сара -то,в, 1992. - 38 с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ £6.05.92, ii I745-B92.

4. Захаров A.M. Об одной изоперимэтрической задаче теории отображений //Теория функций и прибл. (Тр. 5-й Саратов, зимн. шк. 25 янв.-4 февр. 1990). - Саратов, 1992. - Ч. 2.