Оптимизация в сложных механических системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

р Г Б ОД

- 3 МАЙ да

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правая руяаписи

КОВАЛЕНКО Александр Николаевич

ОПТИМИЗАЦИЯ В СЛОЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.02.01 - теоретическая механика 01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саготт- Петербург, 1995

Работа выполнена в Сактп-Петсрбургскам государственном университете

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич

доктор технических наук, профессор КОЗЛОВ Владимир Николаевич

доктор физш'.о-математ1 гческих наук, профессор НИКОЛЬСКИЙ Михаил Сергеевич

Ведущая организация - Нейтральный Научно-исследовательский Институтшд. академика А.Н.Крылоиа

Защита состоится " _" _ _ 1995г. часов

вазаседашш диссертационного совета Д 063 57 34 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора физико-математических паук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198 904, Санкт-Петербург, Пе-тродворец, Библиотечная пл., 2,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета: Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " ^ " ("У-^г'Л 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

С.А.Зегжца

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе предлагаются и исследуются специальные приемы оптимизации, ориентированные на использование итеративных методов в сложных в вычислительном отношении задачах.

Приемы основываются на ряде малоизученных свойств оптимизируемых параметров, характерных для механических систем, и позволяют ощутимо сокращать общее компьютерное Еремя решения задачи.

Созданные алгоритмы предназначены для задач оптимизации со значительными затратами времени на однократное вычисление минимизируемой величины и большим (несколько десятков и более) количеством оптимизируемых параметров. Стандартной причиной сложной вычислимости является необходимость применять метод конечных элементов иди решать (в том числе неоднократно) системы дифференциальных уравнений. Именно такие задачи далее будем называть сложными,

В задачах втого типа проблемой является организация процесса оптимизации - от постановки задачи до программной реализации предложенного алгоритма. Сочетание большой размерности со значительным процессорным временем расчета при использовании стандартных методов нередко делает задачи оптимизации выходящими за пределы возможностей самых современных компьютеров.

Бели использовать модели, которые обеспечивают приемлемую на практике точность, то указанными характеристиками обладает значительное количество важных прикладных задач. Таковы оптимизация прочности конструкций; снижение вибрации; выполнение ограничений па деформации (вто,

в частности, ударостойкость, работоспособность); оптимиза-

цияг движения совокупности объектов ы многое другое. Сложными в вычислительном отношении обычно будут н многокритериальные задачи после сведения их к однокрмтериальньш. Все вместе вто означает, что существуют значительные практические потребности в создании алгоритмов оптимизации, специально нацеленных на работу в сложных задачах механики.

Существенными оказываются все аспекты оптимизации в сяожаых системах: анализ поведения минимизируемой величины и исследование свойств оптимального решения; предложение принципов и подходов к созданию специализированных алгоритмов; теоретическое обоснование методов и их отдельных элементов; само "конструирование" алгоритмов и программ, их отладка в работе. Ясно, что здесь необходима ориентация на достаточно мощную вычислительную технику, на современные способы решения компьютерных задач, включающие создание баз данных, знаний, возможность диалогового режима, специальный сервис и др.

Из сказанного следует необходимость системного подхода к проблеме, принятие во внимание не только собственно задачи оптимизации, но и ее окружения. Исследование требует опоры на системный анализ; однако, эта научная дисциплина сама находится в стадии становления своих основных положений, методов и даже понятийного аппарата. В втих условиях использование системного анализа переходит в развитие этой относительно новой ветви знания, в первую очередь таких его разделов как теория сложных систем, основы моделирования, теория принятия решений.

Возвращаясь к собственно оптимизации, укажем на известный пришил человеческого мышления, который можно выразить словами: "Сначала думать, как сделать это, потом думать как это сделать лучше". Именно этот принцип указывает на то место, которое занимает оптимизация.

Цель paffomu. Решение задачи uo.umefinoro программирования большой размерности в механических системах ставит следующий набор взамосвязагшых целей:

- общий анализ проблемы оптимизации а сложных задачах механики;

- выделение и исследование свойств механических систем, пригодных для использования при оптимизации;

- предложение методических приемов оптимизации, ориентированных па экономию вычислительных ресурсов (и в первую очередь - на всемерное уменьшение количества вычислений минимизируемой величины);

- теоретическое обоснование элементов методики;

- разработка алгоритмов оптимизации па основе предложенной методики, их программное обеспечение, демонстрация решенных задач в области механики;

- развитие системного подхода в условиях работы со сложными формализованными построениями.

Научная новизна. Исследование оптимизации в механических системах имеет обширную историк» и значительные достижения. В нем выделяются два направления: задачи вариационного исчисления (включая оптимальное управление) и в виде задачи математического (как правило, нелинейного) программирования.

Данная работа посвящена второму из втгос направлений. Предполагается, что проблема оптимизации сводится к задаче математического программирования:

-- mm, (1)

х € X

где F(s) - вычислимая в любой точка допустимого множества X, ограниченная снизу функция и

х = (xi, Sj, ...х») е X С Ra, F(x): Л" Л1;

FrXQX, 0<m«X<oo, (2)

Из исследований, которые в значительной степени связаны с задачами механики, отметим работы Н.Н.Моисеева, Ю.Г.Евтушенко, И-М.Соболя, Р.Б.Ст&тникова, Д.И.Батшце-ва. Из зарубежных авторов выделим Д.Хтшельблау, Э.По-лака, а также написанные авторскими коллективами книги "Оптимизация в технике* (Г.Реклейтис и др.), "Практическая оптимизация" (П.Гилл и др.), "Прикладное оптимальное проектирование" (Э.Хогг и др.).

Однако, вопросы оптимизации в системах с большим количеством варьируемых параметрами, а также в условиях значительных вычислительных затрат на однократное определение целевой функции, в литературе отражены крайне слабо. Отдельная информация и рекомендации разбросаны по различным источникам; специальные методы для таких задач не предлагаются, теоретические исследования их специфики отсутствуют.

Указанную нишу и призвана заполнить данная работа. Не претендуя ыа всеобщность, автор предлагает подход к оптимизации в сложных задачах механики; при атом указывается класс задач, в которых подход применим; на модельных задачах исследуются и в вероятностном смысле обосновываются важнейшие компоненты методики; делается попытка дать количественную оценку вффективности предлагаемых приемов.

Определенная новизна исследования состоит также в использовании апостериорной, т.е. получаемой в процессе решения задачи информации о свойствах целевой функции. Такая информация в механике часто обладает определенной независимостью от той точки или подобласти допустимого множества, к которой она относится. Процедуры, основанные на использовании апостериорной информации и ускоряющие итерационные шаги, названы адаптационными.

/

С точки зрения алгоритмизации в работе приводится и обосновывается положение о том, что в сложных задачах оптимизации необходим не поиск какого-то одного аффективного

метода, приема, а специальная организация процесса оптимизации.

Ele общая направленность состоит в том, чтобы за счет усложпегпш алгоритма собственно оптимизации резко сократить количество вычислений минимизируемой величины. Постулируется, что подавляющий объем компьютерного времени при решении задачи расходуется именно на определение значений целевой функции. В этих условиях логическое усложнение алгоритма за счет дополнительных действий с уже найденными значениями не является обременительным, по позволяет существенно ускорять уменьшение значения функции

Использованные подходы и методы позволили получить новые результаты в области разработки методов оптимизации в сложных механических системах.

Лостоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой задач, связностью действий, системным подходом, соблюдением логики, обоснованным применением математического аппарата, совпадением в частных случаях с утверждениями и рекомендациями других авторов.

Практическая ценность. Проведенные исследования и полученные результаты позволяют проводит оптимизацию в задачах большой размерности со значительным сокращением количества вычислений минимизируемой величины и, как следствие, резким уменьшением компьютерного времена.

Разработанные алгоритмы представлены в виде достаточно детализированных схем процесса оптимизации. Ряд версий алгоритмов реализован программно. Три программных средства сданы в Фонды алгоритмов и программ, одно из них - во Всесоюзный фонд.

На основе программной реализации предложенной методики решен целый ряд практических задач по снижению ви-броаитивности сулоригт енергепп^кт« установок и повыше-

кию ударостойкости механических конструкций с нелинейной амортизацией. На методику снижения виброактивпости получен Лет о внедрении (ЦНИИ им.акад. А.Н.Крылова).

Алгоритмическое нахождение улучшенного начального приближения в задаче спутниковой навигации, выполненное на основе специальных математических исследований, создавалось по заказу разработчиков аппаратуры потребителя системы спутниковой навигации и пригодно для непосредственного использования в программном блоке в той аппаратуры.

Большинство рассмотренных в работе вопросов возникло из потребностей практики, их исследование было связано с хоздоговорными работалш и направлено па решение прикладных задач.

Апробация. Отдельные результаты работы докладывались на IV Всесоюз. акустической конференции (Москва, 1977); Всесоюз. конференции по вибрационной технике (Тбилиси, 1982); Семинаре-совещании "Проблемы оптимизации в машиностроении (Харьков, 1982); Всесоюз. совещении по проблемам виброизоляции машин и приборов (Москва-Звенигород, 1986); Всеросс. конференции с междунар. участием "Компьютерные методы небеспой механики" (С.Петербург, 1993); Всеросс. конференции с международ, участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика" (С.Петербург, 1993); Комплексной конференции с международ. участием "Астероидная опасность-93 (С.Петербург, 1993); Internal.Congr. on Computer Systems & Applied Math. (St.Peterfiburg, 1993): Internat .Workshop on Math. Methods к Took in Computer Simulation, (St.Petersburg, 1994).

В целом результаты работы докладывались на научных семинарах: по механике управляемого движения (рук.- проф., засл.деят.науки и техники, В.С.Новоселов, С.Петербургский гос.ун-т, 1994); по теоретической и прикладной механике (рук.-проф. П.Е.Тоистик, С.Петербургский гос.ун-т, 1994); по системному анализу и управлению (рук.- проф. В.А.Троицкий,

С.Петербургский теппгч.уп-т, 1995), '

Структура ц обссм работы. Лнссертапия состоит из введения, трех глав, заключения, списка, литературы из 1СЗ па-именований; содержит 20 рисунков, 4 таблицы. Общий объем работы составляет 179 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к работе дается описание направлений и особенностей проведенного иследовашш, приводится литературный обзор и кратко освещается содержание работы с указанием основных связей между ее частями.

В первой главе проводится общий анализ проблемы оптимизации в сложных механических системах. Роль этой главы заключается в показе того, откуда взялась исследуемая задача оптимизации и как па ней отражается специфика рассмотрения тленно механических систем.

Она начинается с раздела, в котором помещены примеры конкретных задач оптимизации. Первой из них является задача о снижении виброактивности энергетической установки. Механическая система моделируется а виде конструкции ш упругих стержней, твердых тел и линейных жесткостей и совершает вынужденные устоявшиеся колебания на спектре частот / € [ ]. Ее движение описывается по варианту метода конечных элементов - методу динамических жесткостей - с введением до 200 степеней свободы. Оптимизируемыми параметрами (набором х ) являются площади поперечного сечения и моменты инерции сечения стержней, коэффициенты линейных жесткостей. Общее количество варьируемых параметров достигает нескольких десятков.

Вибрационное воздействие системы па пе-систему в произвольный момент времени £ характеризуется выходной меха-

нической мощностью системы

= 1р{1,/,х,а)У{1,Ь*,а)ёа , (3)

где Г, V -векторы силы и скорости в некоторой точке а из множества Л точек соприкосновения системы с не-системой.

Ллязшшсл минимизируемой величины с функцией N(1, /, х) проводятся следующие операщш: а) осреднение по периоду колебаний для исключения времени; б) введение частотного критерия на основе интеграла или максимума по промежутку | /+]. После этих действий получается функция только от оптимизируемых параметров х. Допустимое множество имеет вид конечномерного замкнутого параллелепипеда:

X = {ж; : а,- < Х{ < 6,; » = 17" } . (4)

Таким образом, поставленная задача сводится к задаче математического программирования.

Другой йааовой задачей в работе является повышение ударостойкости комплекса механизмов на общей рампой поддержке. Механическая система модел!фуется двухуровневой конструкцией из твердых тел (нижний уровень - рама, верхний - механизмы) с кусочно-линейной амортизацией между ними и между рапой и не-скстемой.

Внешним источником движения в модели является задание ускорения не-систсмы в виде функции времени. Специфика ударного воздействия заключается в том, что ускорение отлично от пуля на малом промежутке времени (0, г] и достигает на ней значительных величин. После момента г система за счет диссипации аиергии в жесткостях совершает затухающие колебания.

Движение системы 'оиисывается кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, представляющими собой урав-иения даыжешхя твердых тел в переменных - удлинениях жест-костей. Такое онисадне наиболее удобно как для кинематического возбуждения, так и кусочно-постоянной жесткости.

При численном интегрировании проблемам*! являются большие значения производных и определенно моментов перехода с одного участка линейности на другой в каждой из жесгко-стей. Для борьбы с быстрым накоплением ошибок применяется специальный, экономичный в вычислительном отношении метод интегрирования в виде степенных рядов большого (1218) порядка. Теоретическая разработка этого метода принадлежит Л.К.Вабаджашпшу (СПбГУ).

Варьируемыми параметрами в системе являются значения коэффициентов жесткости для 2-ой и 3-ей ступеней, а также значения удлинений, при которых происходит переключение со 2-ой ступени на 3-ью. Коэффициенты жесткости для первых (включающих положение равновесия) ступеней и значения удлинения для перехода с нее на другие ступени являются неварьируемьши параметрами в связи с тем, что они «-.ответствуют основному режиму работы системы, в то время как ударное воздействие является нештатной ситуацией.

Задача оптимизации ставится как задача попадания в область: а именно, требуется выбрать варьируемые параметры таким образом, чтобы ускорения (перегрузки) твердая тел в системе я удлинения жесткостей не.превосходили заданных значений. Минимизируемая величина выбирается а виде:

£>«(ВД-А,) -► шш, (б)

ее»

где х, как и ранее, - оптимизируемые параметры; е - сквозной индекс всея ограничений на ускорения и удлинения, Не(х) - максимумы по модулю в тих ускорений и удлинений, Л, -ограничения на ускорения и удлинения; й» - вес ограничения с индексом е; 3 - множество нарушенных ограничений, т.е. таких индексов е, для которых #в(з) > . В рассмотренных задачах общее количество ограничений было более 20, а размерность вектора х достигала 24. Приек (6) сводит задачу попадания в область к задаче математического программирования.

и

Раздел, посвященный примерам конкретных задач, содержит также рассмотрение двух проблем, непосредственно связанных с оптимизацией. Это отыскание хорошего начального приближения и использование возможностей, которые открываются для оптимизации при упрощении методики расчета минимизируемой величины. Обе ети проблемы решены в специальных частных случаях, относящихся к задачам космической навигации.

В первой ю них рассматривается проблема определения своего местоположения при помощи системы навигационных спутников. Считая известным положение втих спутников и разность скоростей между спутником и потребителем, можно записать систему нелинейных уравнений для координат потребителя. Решение втой системы находится по методу минимизации невязок. Порядок непереонределенной системы принимается равным 4: три декартовы координаты и систематическая ошибка в приемной аппаратуре потребителя.

Использование произвольного начального приближения влечет опасность значительного количества итераций, и, что еще более важно, спуска в точку того локального минимума, который не соответствует истинному положению потребителя. Обе ети трудности преодолены в работе отысканием улучшенного начального приближения. Это сделано на основе специальной линеаризации задачи с опорой на геометрические представления'. Получен весьма компактный алгоритм, предаачепный для многократной работы в аппаратуре потребителя в условиях реального времени.

Во второй из рассмотренных проблем космической навигации получены линеаризованные вариации динамических характеристик движения, вызванные мгновенным изменением фазовых переменных (здесь: скоростей). Применяется методика варьировании констант интегрирования динамической системы, позволяющая получать формулы, достаточно медленно накапливающие ошибки. Эти формулы могут аффек-

ттпшо использоваться при прпближеппой оптимизации механических систем.

Указапное исследование представляет собой анализ отклонения возмущенной траектории от невозмущетгой при движении точки по эллиптической орбите в центральном поле. Оно носит чисто аналитагческий характер, его результаты представлены в виде сводок формул (дифференциальных поправок), позволяющих относительно просто определять интересующие нас динамические величины в произвольный момент времени.

В последующих разделах первой главы дается общая характеристика задачи оптимизации в сложных механических системах и отдельно рассматривается взаимодействие расчетной и оптимизационной частей.

Общая характеристика включает связь с динамикой системы, анализ пошлин сложной вычислимости минимизируемой величины, описание типичных свойств целевой функции и допустимого множества в задачах проектирования. Так, поведение целевой функции в задачах механихи обычно характеризуется ограниченностью, непрерывностью, ограниченностью константы Липшица. Разрывы днфферешшруемостп как праг вило имеют место на гиперповерхностях, размерность которых меньше размерности пространства варьируемых параметров. Обычно они евдаазы с возможными переключениями в технических системах или с явным ила скрытым минимаксным характером оптимизируемых величин. Не является типичной унимодальность, весьма вероятна оврамеья структура гиперповерхностей уровня.

Выделение расчетной и собственно оптимизационной частей (блоков) задачи оптимизации продиктовано как возможностью применять конкретную схему оптимизации к различный (хотя бы однотипным) задачам, так п разделением программных средств расчета и выпошгения ептимизадионных процедур. При атом задачей расчетного блока является вы-

числение целевой функции Г(х) в фиксированной точке допустимого множества X, а задачей оотимизациоплого блока • определение очередной точки допустимого множества г = (яь а5,ж„) для вычисления в ней целевой функции.

Анализируются специальная организация взаимодействия втих блоков, понятие практической точности. Рассматриваются ограничения, накладываемые на оптимизацию расчетНой частью. В частности, это сверхбольшое время однократного расчета целевой функции; изменение ее значения в процессе оптимизации, близкое к точности ее расчета; недостаточная обоснованность выбора целевой функции и ограничений; неустойчивость к изменению параметров расчетной части.

Во второй главе, занимающей центральное место в работе, исследуются особенности процесса решения сложных задач оптимизации.

Глава, начинается с ввода понятия структуры решения задачи оптимизации. Структура состоит в разделении хода решения на отдельные процедуры и наборы процедур, (шаги, этапы, стадии, вмешательства в предопределенный ход событий и др.), для которых важны последовательность действий, логический выбор, передача информации. Так, скажем, в качестве стадий вводятся начальные, основные и финальные шаги. Они соответствуют тому, что сначала грубыми методами быстро снижается значение целевой функции, потом продолжается спуск с учетом возможной смены области унимодальности и, наконец, скуси в унимодальной области. Стадии допускают их изолированное использование, в частности, усеченную оптимизацию, состоящую только из двух начальных стадий (типичный пример - невысокая методическая точность модели), или даже только первой из них (например, при жестком лимите времени на оптимизацию).

Концептуальной особенностью данного исследования явля-

ется использование апостериорной информации, т.е. той, ко-. торая получается в ходе решения задачи. В качестве такой информации предлагаются свойства одномерных функций

F(Xi) = F(xlt , 5i+1)...f„), (б)

образованных закреплением в целевой функции всех переменных, кроме одной- Используется следующий рабочий список в тих свойств:

а) монотонность (с указанием типа: возрастание/убывание);

б) граничный характер минимума (с указанием типа: правый/левый);

в) выпуклость вниз j

г) неуштмодальность (осцилляционность с (7) указанием количества обнаруженных минимумов);

д) силышй/нормальяый/слабый тип параметра;

е) константа Лигазща (оценка снизу) .

Выявление этих свойств производите! по япформагопх, полученной на итерационных шагах. В качестве базового метода применяются модификации покоординатной минимизации. Выбор втого метода обосновывается пе столько возможной недифференцируемостью, сколько его соответствием предлагаемой организации процесса оптимизации и определенной вычислительной экономичностью для случая большого количества оптимизируемых параметров.

В добавление к итерациям для получения апостериорной информации используется система тестовых точек "крест", представляющая собой дискретные наборы точек иа взаимо-лерпеядикулярпых и пересекающихся в одной точке отрезках. Указанная система используется для определения улучшей-ной начальной точки и верификации информации, полученной на итерациях.

С математической точки зрения свойства из списка (7) не могут быть выявлены на Основе расчетов функции F(z) а конечном количестве точек. Использование такой апостериор-

ной информации может давать лишь гипотезы о свойствах из списка {?). Алгоритм работы с этой информацией должен учитывать возможное нарушение гипотез.

Поясним использование гипотез на двух примерах.

1. Пусть расчет целевой функции F(x) а точках вида

(¿1, ,... ¿,-_I, х?, ,...хп ) е X

ае противоречит монотонному убыванию функции F(*i) в (6). Тогда с процессе оптимизации переменим аг< временно полагается равной своему максимально возможному значению.

При получении дополнительной информации о поведении функции >"(=.) происходит либо рост доверия к выдвинутой гипотезе, либо отказ от нее и переход к варьированию перемешай о

2. Пусть числовая информация позволяет выдвинуть гипотезу о незначительности изменения функции F(x) в зависимости от переменной г,-. Тогда эта переменная временно исключается из процесса оптимизации.

Основой работы алгоритма является вмешательство в некоторый естественный ход итерационного процесса. Оно носит характер адаптационных процедур с ввристикой и оправдывается количеством ймешательств: отдельные неудачи компенсируются существенно большим количеством удач.

Для обоснования ©того перейдем к исследованию характера экстремума в задачах механики.

При оптимизации механических систем со значительным количеством оптимизируемых параметров (несколько десятков и более) в' поведении минимизируемой величины начинают проявляться определенные статистические закономерности. В разделах 2.3-2.5 работы последовательно изучаются такие связанные с вероятностью свойства задачи как расположение экстремума на граничной поверхности малой размерности; возможность относительно устойчивого деле-

ния параметров па группы по влиянию па изменение целевой функции; декомпозиция в пространстве оптимизируемых параметров.

Опять обратимся к виду задачи оптимизации (1)(2). При нахождении экстремума х' в вершине множества X, т.е. в точке, удовлетворяющей условиям:

¥>,-(*) = о, j=T7»-; det{^}¿0,

экстремум принято называть угловым. При выполнении для точки г* условий

V»í(í) = 0, j = n'<n; г (8)

где величина (п - п') Maná как член натурального ряда, назовем экстремум квазиутловым.

Выдвинем предположение о том, что в задачах механики с достаточно большим количеством оптимизируею-а параметров (см.разд.2.?) типичен штснпо квазнугяовой экстремум, т.е. точка я" с большей вероятностью находится на граничной поверхности малой размерности. Подчеркнем, что, ьотя вто предположение и сближает рассматриваемый класс задач с задачами линейного программирования, оно не является обоснованием для применения методов линеаризации.

Обоснуем это предположение рассмотрением модельных задач.

В цервой из них положим, что минимизируемая функция с удовлетворительной для качественных выводов точностью представ има в виде полинома

F(e) = 0,®" +... -tOiS-fa«, (9)

где а =* (ai,o3,...,a„) е Л суть случайный вектор с известной плотностью распределения р(в) . Ясно, что если вещественные корни производной от полинома (9) ив попадают в

заданный отрезок (р, ^. То функция Р(х) монотонна в в том отрезке. В соответствии с этим имеем

= Нз) монотон.в [р,«1 } = / р(а)¿а, (10)

где А1*" - множество тех точек о € Л, которые влекут событие "корни производной <р [р, ql В работе приводятся утверждения о множестве Л+ и вероятности Р[м]. Они касаются характера границ множества А"1"; возможности вычислять вероятность па основе рассмотрения только полупространства;

свойств симметрии вероятности (например, - -Pti.il) и

др. .

Приведем следующие следствия доказанных утверждений, важные для вычислений: а). Если плотность распределения р(о) симметрична относительно 0, то для А - куба, можно всегда считать его размер единичным, б) В этих же условиях всегда можно полагать ах > 0 (либо один из любых других ко&ффгашентоа в;).

Формула (10) позволяет вычислять искомые вероятности, перенося, правда, основную тяжесть на определение множества А+, Для п = 2 ситуация рассмотрена-аналитически; при п > 2 применен метод Монте-Карло. Полученные численные результаты показывают значительную вероятность монотонности в отрезках типичной длины и с типичным расположением относительно математического ожидания величины коэффициентов <л (у нас вто-0). Так, при равномерном распределении величины а в кубе для отрезка [0,1/2] при п « 3,6,7,9 соответственно, имеем вероятность монотонности .716; .701; .095; .694 . В аналогичных условиях для отрезка (1,2) - .909; .844; .802; .774 .

Вторая модельная задача связана с вероятностью нахождения экстремума на грани определенной, мерности. Пусть допустимое множество является п —мерным кубом, а поверхности уровня в окрестности втого куба можно представить в виде сфер. Также будем считать, что положение указанно-

го куба X фиксировало, а единственная точка безусловного экстремума х" находится с заданной плотностью вероятности в одной из точек некоторого фиксированного множества А. При помощи геометрических рассуждений строится множество тех точек х*, поверхности уровня вокруг которых прежде всего коснутся точки куба X па грани размерности к. Если множество А также есть куб с тем же цеп-гром, что а X, и с параллельными ему гранями, то для равномерного распределения вероятность того, что экстремум будет на грани размерности к, есть:

Рк = <7*/(1-/'Г*, (И)

где величина ц равна отношение сторон кубов X и А.

Формула (11) имеет такой же вид, что и вероятность успеха в к испытаниях из'» в схеме Бернулли. Это позволяет для ее анализа при достаточно больших п (скажем, больше 10) воспользоваться известным распределением Пуассона, и, не приводя численным результатов, утверждать, что имеют место большие значения вероятностей для малых ц и £.

Для множества А в виде шара вокруг куба X получены разложения по величине ^ с точностью до ц3 включительно. Для равновеликих куба и шара А они приводят к отличию соответствующих вероятностей не более чем на 0.05 для /1 = 0.1 и на 0.006 для р. - 0.01.

Конкретными классами задач, для которых на практике обычно выполнено свойство квазиуглового экстремума, являются задачи оптимизации конструкций по критериям прочности, виброизоляцьи, ударостойкости, удовлетворения требований на перемещения и пр.

Перейдем к формализации одной из основных адаптационных процедур - разделению всего списка параметров »1, ..., хп па три грушш по степени влияния на изменение целевой функции Р(х). Рассмотрим точку {х° 6 X, выберем достаточно малую величину в и вычислим аналог частных

производных:

ii = \F{? + »ti)-F{zB)\l*t (12)

где с,- - орт направления Zi, i — l,n.

Лроранжируем величины 4 : da > du > da > ... > dka. Введем положительные числа: 0 < в, ß < 1, которые назовем квотой на количество сильных параметров и уровнем отличия слабых параметров от сильных. Определим целые числа:

Р\ = Ent (an), pi = = max {г : <f« < ß d^ }. (13)

imTZ

Параметры хц, гц,Xfy, назовем сильными в точке Xs,

и параметры Xty,....... - слабыми в точке хБ. Остальные

параметры - Xkp,+i, ..., xt^-i - назовем нормальными в этой же точке хв.

Сильные параметры - ато те компоненты вектора х, изменение которых приводит к наиболее резкому изменению целевой функции F{x). Слабые, наоборот, незначительно изменяют ее. В сложных задачах механики такие параметры (скажем, при выборе а = 0.1 - 0.25, ß = 0.05 - 0.1), как правило, существуют, и их немалая часть не будет зависеть от точки хв, т.е. будет сильными/слабыми на всем допустимом множестве.

Указанный прием имеет достаточно глубокие корни в методах оптимизации, во он не применялся систематически для исключения параметров из итерационного процесса. Кроме того, в представленной работе он модифицируется в нескольких направлениях. Вместо (12) используется одна из следующих, более удобных на практике формул:

d. = + eife.) - IsI^T, (14)

(здесь Is tt Ii - характерные размеры множества X в целом и тк> координатным направлениям х;); или

di - max F(ae) - min F(x), (15)

teAi

(здесь A¡ - дискретный набор точек па соответствующем отрезке системы тестовых точек"крест"). Формула (14) но сути проводит нормировку пространства, а (15) частично учитывает глобальную (не точечную, как а (14)(12)) "силу" параметра.

Правило определения границ групп параметров (13) также дополняется другим способом - промежуток [¿41, (¿ы | разбивается на три части, левая из которых соответствует сильным параметрам, средняя - нормальным, правая - слабым. Оба правила используются совместно.

В работе проводится анализ введенных определений, указываются признаки глобально сильного и глобально слабого параметра. Отдельный пудагт с рядом утверждений посвящен взаимосвязи между способами опенки параметров.

Для квазиуглового экстремума и введения сильных/слабых параметров даны теоретические оценки эффективности использования этих приемов в процессе оптимизации. Эти оценки основаны на сравнении со стандартным использованием метода покоординатной минимизации и показывают (для типичных в механике ситуаций) уменьшение количества вычислений целевой функции в 3-7 раз для каждого приема в от-дельпости. Оценки па реальных задачах дают примерно ту. же картину - оС,± приема в совокупности позволяли получать" уменьшение времени в несколько десятков раз. Подчеркнем, что это не весь итог проделанной работы, так как затрагивает только два (во основных) адаптационных приема.

Третьим из указанных адаптационных приемов является декомпозиция задачи оптимизация.

Пусть в задаче (1)(2) функция Р(х) уримодальна и список оптимизируемых параметров х — (г(, «з, ..., х») может быть разбит на две части X] — (»), х}, ...,зт) я хц - (гта+1, хт+2, х%) так, что: 1) множество допустимых значепий имеет вид X = X/ * Хц\ «/ € Л/ С /Г", хц £ Хц С ; 2) решение исходной задачи оптими-

зации г* — (х) ,x*tJ ) может быть получено как решение двух отдельные; задач:

а) х) - arg min F(xj, х'п), WIt е Хц,

*,<iXj

б) х*и - arg min F{x',, xtI), V4 6 Xj. (16)

Хи^хп

Тогда говорят, что разбиение X = Xr* Хц является строгой декомпозицией исходной задачи оптимизации.

Допустим теперь, что для решений задачи (16) условие г* к (хi, ) не имеет места, но выполнено:

|F(x*)-F(x},aJr)| < г, (17)

где S - некоторое число > 0. Тогда будем говорить, что разбиение X — Xj* Хц является нестрогой декомпозицией с уровнем соответствия S.

При малой величине i считается, что наборы параметров я/ в Хц "слабо влияют друг на друга" в процессе оптимизации, или, что функция F(s) "слабо связана" по соответствующим наборам параметров.

При неудовлетворенности нестрогой декомпозицией с неравенством (17) может быть организован итерационный процесс:

xf = arg min F(xt, , xfj = argmin F(xf, xu), {18 ) xjeXj *ije*n

который сходится к точке минимума ва условиях, аналогичных сходимости метода покоординатной минимизации. Этот процесс, в частности, может быть использовав для достижения требуемого уровни соответствия 6. - Такое соединение декомпозиции с итерационный процессом делает ее общим приемом решения задачи оптимизации. Однако, практический успех все равно будет зависеть от эффективности разделения оптимизируемого вектора на части.

Далео в работе выделим анализ проблемы отыскания глобального минимума. Предлагается использование специальных, не очень обременительных в вычислительном отношении процедур, повышающих вероятность нахождения глобального, либо близкого к нему (по значению функции) локального минимума. Это может быть достигнуто случайным поиском в специальных подмножествах допустимого множества Используется гипотеза о том, что мультимодадьиость целевой функции связана с небольшим количеством параметров. Указанная гипотеза находится в соответствии с общими предположениями данной работы о сохранении тина поведения функции при смене подобласти допустимого множества. Приводятся специальные приемы работы с иультимодальными параметрами.

В разделе 2.6 на основе проведенного анализа предлагаются конкретные схемы для решения сложных задач оптимизации. Раздел является основным прикладным резучьтатоы работы.

Он начинается с описания базовой схемы процесса оптимизации, которая состоит из "главного хода" итераций; блока адаптации; сервисного блока; подключения специальны^ приемов борьоы со сложностью задачи; фиксации окружения собственно оптимизационной часта.

Адаптационный блок получает информацию в основном из текущих итераций, а также из системы тестовых расчетов "крест" и отдельных вычислений целевой функции. Выходом из блока являются указания обратно в "главный ход" об изменении естественного хода итераций.

Сервисный блок предназначен для организации диалогового режима решения и анализа проведенного хода решения.

Частью блока адаптации является специальная динамическая база апостериорных знаний. Опа состоит из п разделов, соответствующих п оптимизируемым параметрам, и 6 под-

разделов в каждом разделе, отражающих обобщенную информацию о свойствах списка (7). Подраздел состоит из записей, относящихся к указанному свойству данного параметра. Разработана структура этих записей, допускающая их числовую обработку и превращение в решающие правила (воздействия на текущие итерации). Одним из направлений такой адаптации является выделение и использование параметров со стабильными (т.е. не зависимыми от подобласти допустимого множества) свойствами монотонности, граничного характера экстремума, выпуклости вниз и др.

Отметим, что это именно база знаний, а не база данных, так как работа ведется с качественной информацией об объекта исследования. Правила вмешательств в ход итераций разрабатывались на основе моделирования поведения опытного исследователя при его работе в режиме диалога. Основными из них, как показал опыт решения конкретных задач, являются использование квазиуглового характера экстремума и работа с сильными параметрами.

С указанными приемами связано большинство адаптационных процедур. Они детализированы для каждой из стадий процесса, оптимизации и представлены на схемах, дополняющих базовую схему оптимизации. Другие адаптационные процедуры состоят в применении в специальных ситуациях квазиградиеятных шагов и одномерной квадратичной интерполяции; в изменении логики выбора длины шага па итерациях; в организации случайного поиска в подмножествах осуяьтимодальных параметров. Отметим, что все перечисленные процедуры могут работать в автоматизированном режиме. Лишь декомпозиция, а связи со значительной сложностью формализации разбиения вектора х на нодвекторы, используется только на основе решения пользователя.

В последнем разделе второй главы приводятся решения сложных задач, поставленных в разделах 1.1-1.6. Эти решения подтверждают перспективность предложенной методики.

В третьей главе работы исследование сло;кшх задач оптимизации выходит па проблемы, лежащие на стыке прикладной математики и системного анализа.

Рассматривается цепочка "модель-расчет-оптимизация-ис-пояьзование результатов", анализируется место задачи оптимизации в более общих струкутрах. Выявляется взаимосвязь окружения задачи с ее постановкой и методикой решения,

В результате возникает необходимость рассмотреть задачу оптимизации как задачу системного анализа. Направлениями этого исследования в данной работе являются теория сложных систем (разд.3.2); общая теория моделирова-штя(разд.З.З); теория принятия решений (разд.3.4). Отметим, что исследование опирается на написанные автором монографию и учебное пособие.

В дальнейшей части работы широко используется язык к уровень формализации системного анализа, отличающийся от математических дисциплин и находящийся сейчас еще в стадии своего становления.

Вводится базовый понятийный аппарат сложных систем. Например, сама система .записывается как

Й={ {М}, {*(М)Ь Ф(ЛГ,х(М)) }, (19)

где { М} - перечень всех элементов, составляющих систему; (г(Л/)} - совокупность всех связей в системе; Ф - функция системы; й - рассматриваемая система. Фигурные скобки означают перечень, круглые - зависимость. Лля совокупностей {М} и {х} имеет'место по крайней мере топология слабоструктурировашшх множеств, т.е. могут быть введены операции разбиения, объединения, пересечения, дополнения, идентификации по признаку, прямого произведение; может быть задано отображение. Отметим, что, как правило, не введены понятия нормы, окрестности, непрерывности.

Далее вводятся попятил структуры, декомпозиция, иерархии, модуля. Новым является предложенный автором так называемый стратовый подход к сложной системе.

Традиционно система понимается в смысле определения (19) как совокупность влементов со связями между ними. Структура же представляет собой разделение системы на относительно устойчивые группы влементов. Однако, разделять систему можно по различным признакам, что порождает различные структуры одной и той же системы (скажем, функциональную, алгоритмическую, информационную и др.). Особенно вто важно в сложной системе. Естественно, различные структуры связаны друг с другом, они могут базироваться на одни и те жа элементы и т.д.. Рассматриваемые в совокупности, они представляют собой различные срезы (страты) одного и того же целого." _

Обозначим страты системы К через Р,(К), л = 175 . Формально образованный объект { } обладает свойствами структуры, так как имеются часта, связь между ними и др. признаки структуры. Именно этот объект (совокупность стратов - т.е. структур с указанием связи между ними) и заменяет в формальном отношении систему К. Обратное отображение 8? —► {РД8?)} назовем расслоением системы.

Система - ето набор стратов в том смысле, что можно рассматривать не саму систему (как принято рассматривать не систему, а модули), а набор ее основных стратов. Такой взгляд одновременно упрощает подход к сложной системе и преодолевает односторонность взгляда при опоре на только одно ее разбиение (структуру).

На основе понятия стратов .удобно рассмотреть вмешаг чельство в функционирование системы. Именно страты позволяют, сделав изменение в одной из структур, увидеть, каг кие вто последстиия вызовет в другой структуре. Вводятся понятия целенаправленной системы, анализируется разбиение глобальной пели на подцели. Отдельно рассматриваются автоматизированные системы.

В следующем разделе работы С общей точки зрения иг.слр-дуется проблема создания (выбора) и анализа модели.

Моделированием называется формальная фиксация тег особенностей реальной системы, которые важны для целей рассмотрения. Выделяется три тина моделей - вербальные, натурные, знаковые. Определяются общие а конкретные, т.е. полностью наполненные информацией модели. В духе подхода Р.Кал.'лана вводится знаковая запись модели; отдельно записывается модель с управлением; рассматривается обпдаЙ подход к имитационному моделированию. Как создание связной совокупности моделей понимается моделирования сложных систем.

Заключительный раздел третьей главы посвящен проблеме принятия решений.

Вводятся множество альтернатив (вариантов решений) { х } и принцип выбора Ф , позволяющий сравнивать альтернативы друт с другом.

Задача принятия решений ставится как обобщение задачи оптимизация! и имеет вид:

({*>. Ф) — Х\ (20)

где х' -одна (или более) выбранная альтернатива.

Существенным фактором является формализованный или неформализованный вид пршпщпа выбора Ф. Во втором случае выбор па множестве альтернатив обычно производится человеком (экспертом) с неполным осознанием причин и приемов действий. В зависимости от фиксации или не фиксации (вариативности) { х } иф рассматриваются различные варианты задачи (20). Сравнение альтернат™ производится либо на основе их отображения в Я1, либо (в общей случае) задание системы бинарных отношений.

При затруднениях со сравнением сложных альтернатив целиком, рекомендуется разложение альтернатив иа свойства: X ~ (Хь Ха> •••> Хь) (декомпозиция). В этом случае вместо альтернативы х рассматриваются и сравниваются Ь ее свойств XI > ! - 1>£. Это порождает проблему композиции -

как, выполнил сравнение свойств, выделить наилучшую альтернативу. Легко видеть аналогию втой задачи с проблемой мпогокритериальности. Основные пути ее решения соответствуют приемам в этой области оптимизации. Отличие состоит в том, что свойства альтернативы могут быть качественными. И, хотя, рекомендуется доводить декомпозицию до числа, проблема работы с качественными свойствами остается и обсуждается в работе. В частности, вводится условное пространство свойств на основе ранжирования свойств альтернатив, и на нем выделяется аналог множества Парето.

Глава заканчивается описанием процедуры принятия ре-тений и рассмотрением типовых схем действий.

Пусть определен некоторый порядок действий. Пусть также известна требуемая информация и определены информационные потоки. Наконец, пусть известны технические средства и кадры для выполнения действий. Эта тройка стратов (алгоритмический, информационный и "техника-кадры") называется операционной моделью. Ее примеры чрезвычайно разнообразны -технологическая цепочека, программное средство, инструкция и многое другое. Лля целей данной работы - это методика решения задач оптимизации, которая, являясь сложной системой, потребовала всестороннего рассмотрения и анализа.

В заключении приведены основные результаты, получен-

ные в диссертационной работе-.

1. Предложен подход к решению задач оптимизации в механических системах, нацеленный на задачи с большим (десятки и более) количеством оптимизируемых параметров и значительным процессорным временем на однократное вычисление минимизируемой величины.

Подход позволяет существенно экономить количество вычислений минимизируемой величины и тем самым значительно расширяет класс задач, где возможно практическое приме-

пение оптимизационного поиска. В целом подход может быть охарактеризован как комплекс мер по специальной организации процесса оптимизации.

2. Подход основан па формулировке задачи оптимизации как задачи математического программирования и на ее решении итеративными методами. Считается, что для задачи выполнен ряд свойств, характерных для механических систем. Проанализированы и использованы такие малоизученные свойства как нахождение точки экстремума на маломерной поверхности допустимого множества (каазиугяовой экстремум) и возможность относительно стабильного разделения параметров па группы по в л шил но па изменение минимизируемой величины (сильные и слабые параметры).

Указанные свойства исследованы на ряде модельных задач и показаны на примере конкретных механических систем. В качестве базового допустимого шюисестпа рассмотрен конечномерный параллелепипед.

3. Основой алгоритмической реализации выбрано использование апостериорной информации о свойствах параметров в механических системах. Указанная информация извлекает-" ся из текущих итераций и лишь изредка (для контроля) из специальных тестовых расчетов, Она представляет соб<эй гипотезы о поведешш минимизируемой величины как одномерной функции на координатных направлениях. Среди этих гипотез (свойств) ведущее место занимают квазнуглопой экстремум и выделение сильных параметров.

На основе гипотез вводятся адаптационные процедуры, которые представляют собой вмешательство в некоторый естественный ход итераций.

4. Адаптационные процедуры как правило резко ускоряют итерационный процесс и позволяют существенно сокращать количество вычислений целевой функции до достижения ее фиксированного значения. При использовании неверной гипотезы, вообще говоря, может происходить некоторое замед-

ленпе процесса оптимизации, одам» в условиях множественности гипотез (их шесть для каждого параметра) работает статистический фактор, когда отсутствие или нарушение выдвинутой гипотезы для одного параметра компенсируется ее выполнением для ряда других.

Естественно, такая ситуация характерна именно для значительного количества оптимизируемых параметров. При отсутствии гипотез и соответствующих адаптационных процедур итерационный процесс представляет собой один из вариантов метода покоординатной минимизации.

Б. Предложенный подход реализован в виде алгоритмических схем оптимизации. Процесс оптимизации разделен па стадии, допускающие их изолированное применение.

Эффективность подхода проиллюстрирована на оптимизации конкретных сложных механических систем. Указаны типичные массы задач механики, в которых рекомендуется использование предложенного подхода.

8. Дополнительными методическими результатами работы являются:

- Общий анализ проблемы оптимизации в сложных механических системах, включающий взаимодействие с расчетной частью, исследование практической точности, указание места оптимизации в более общих структурах.

- Описание положений прикладного системного анализа, имеющих отношение к оптимизации в задачах механики - понятийный аппарат и общий анализ сложных систем; основы моделирования и формальная запись модели; теория принятия решений, в т.ч. исследование декомпозиции и композиции альтернатив.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коваленко А.Н., 1988. САПР: мртсиюяогия и формали-эовачвые методы (уч.пос )// Л.: ЛТ У 92г.

2. Губанов В.Л., Захаров В.В., Коваленко А.Н., 1988. Введение в системный анализ// JI.: ЛГУ. 232с.

3. Kovalenlco A.N. 1994. Optimization technique with heuriatica к adaptation// Internat.Workshop on Math.Methods It Tools in ' Computer Simulation. Thee. Prepr.MM-94-Ql. S.P.St.Univ. p. 71-72.

4. Коваленко A.H. 1993. Улучшенное начальное приближение координат потребителя в задаче спутниковой навигации// Вестник СПбГУ. Сер.1. Вып.2. С. 113-118.

5. Коваленко А.Н., Королев B.C., 1993. Отклонения от номинальной орбиты, вызванные импульсным изменением скорости// Астероидная опасвость-93. Комплексная конф.с ие-ждунар.участ. (аинот.докл.). СПб, ИТА РАН. С. 97

в. Коваленко А.Н., Дубинко Т.Ю., 1993. Быстрый алгоритм определения координат потребителя системы спутниковой навигации// Компьютерные методы небесной механики. Всерос.конф.с ыеждунар.участ. (аинот.докл.). СПб, ИТА РАН. С. 41-43

7. Коваленко А.Н., Кузнецов H.A., Попков В.И., 1992. Методы оптимизации систем виброакустической изоляции машин и механизмов// Техническая акустика (Известия Восточно-Европейской Ассоциации акустиков). Т.1. Вьш.1. С.8-14.

8. Коваленко А.Н., Дубкнко Т.Ю., 1991. Определение координат потребителя в системе спутниковой навигации без предварительных сведений о местоположении потребителя// Труды XXY1 Циолковских чтений. Калуга. С. 31-36.

9. Коваленко А.Н., Азарьева C.B., 1988. Выбор узлов для многомерной интерполяции в задаче оптимального проектирования механических систем// Вестник СПбГУ. Сер.1. Вьш.2. С. 109-111.

10. Агапонова II.П., Ежкова H.A., Коваленко А.Н., 1988. К иерархической оптимизации механических систем ва примере совместного улучшения вибрационных и противоударных

характеристик// Дел. в ВИНИТИ 13.10.88. N. 7386-В 88. 14с

11. Коваленко А.Н., Пресняков В.А., 1986. Оптимизация механических систем// Алгоритмы и программы. N. 3. С.47

12. Коваленко А.Н., Пресняков В.А., 1985. Оптимальное проектирование механических систем со свободным параметром (ОМС). Прогр-документация на библ.программ. Per.N в ГОСФАП 50850000832 от 30.09.85. 78с

13. Коваленко А.Н., Попков В.И., 1983. Оптимизация характеристик вибрационной и противоударной защиты оборудования// Борьба с вибрацией машин и установок. Сб. JL: Знание. С. 6-13.

14. Коваленко А.Н., Пресняков В.А., 1979. Задачи оптимального проектирования динамических объектов, близкие к классу задач на угловой вкстремум.// Сб. Управление в динамических системах. Деав ВИНИТИ 24.07.79. N. 2794-79. С. 112-119.

15. Коваленко А.Н., Королев B.C., 197S. К обоснованию схемы поэтапной оптимизации// Сб. Вопросы механики и процессов управления. Вып.З. JI.: ЛГУ. С. 50-58.

16. Коваленко А.Н., Королев B.C., 1978. Оптимизация импульсных траекторий с помощью годографа скорости// Меж.вуз. сб. Проблемы механики управляемого движения. Сер. Иерарх.динамхистемы. Пермь. С. 95-102.

17. Ипьков В.К., Коваленко А.Н., Попков В.И., 1977. Об оптимизации сложных активных колебательных систем// Вопросы судостроения. Сер, Судовые внерг.установки. Вып.И. C.R-J4.