Осесимметричные обобщенные аналитические функции в теории динамических процессов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ОД

2 0Ц[ . - 7 На правах рукописи

ПИВЕНЬ Владимир Федотович

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы 01.0t.03 - математическая физика

Авторе ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Орловском государственном педагогическом институте

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лйфанов И„К.

доктор физико-математических наук Виасоз В.И.

доктор физико-математических наук Черняев А.П.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится " 2/| " ИруСл^'О^_1994 года

.16" 1

часов на заседании специализированного совета

Д002.32.01 при Вычислительном центре РАН по адресу: П7967, г.Москва, ул.Вавилова, 40

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им. В.А.Стеклова,

Автореферат разослан " 10 " (ХТМр^ 1994гч

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физ.-ыагг.наук <\ Е.Д.Терентьев

- 3 -

ОБЩАЯ ШАГОРКСТШ РАБОТЫ

Актуальность темы. Различной природы стационарные и нестационарные физические процессы в гидродинамике, фильтрации, теплопроводности и электродинамике описываются линейным динамическим законом и уравнением неразрывности, которые в безразмерных величинах имеют вид

У=Ш, , (0.1)

где V - оператор Гамильтона, V и Ц' - скорооть и квазипотенциал скорости процесса; коэффициент К характеризует свойотва среды, в которой протекает процесс. В случав однородной среды постоянная скалярная величина, для неоднородной среды - функция координат, для анизотропной среды - оимметричный тензор второго ранга.

Среди многообразия явлений особое место занимают двумерные ди-наыичеокие процессы в слое, характерные тем, что для их описания наряду с можно использовать другую скалярную функцию V . Для двумерных процессов в тонком изотропном неоднородном слое переменной толщины Н , расположенной на криволинейной поверхности, имеем из (0.1) в изотермических координатах 5= , £ этой поверхности систему уравнений

Ц>-3. Ик

р ' т*- р ' (0.2)

где - проводимость слоя.

1) Голубева О.В. Двумерные динамические процессы в анизотропных средах//1Ш. 1980. Т.Н. ВыпД. C.I66-I7I. .

2) Радыгин В .М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. 1983. 160с.

Если слой расположен на плоскости, где выбраны декартовы оои координат % , £ , то уравнения (0.2) описывают процессы в плоскости [¡> .

Когда слой анизотропен, то иэ (0.1) следуют описывающие в изотермических координатах , уравнения двумерных процессов

где К^ =1.2) -компоненты тензора К . Уравнения (0.3)

определенными преобразованиями приводятся^ виду (0.2)^»2) . .

Среди двумерных процессов особое место занимают процессы в слоях проводимости.

Р=Г«,*) (0.4)

- положительная гармоническая функция, П - целое число), для которых разрабатывается полная теория функций, удовлетворяющих уравнениям (0.2). Воспользуемся связывающими плоскости

и £ конформными преобразованиями Ъ~ ) С = ) в сочетании с формулами перехода ^^К При П—0 и чег-ных значениях Л уравнения (0.2) сводятся;, к уравнениям Коши-Ри-мана. При нечетных Л уравнения (0.2) принимают каноническую фор-«У3)

Граница области процесса о в плоскости £ переходит в

3) Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1971. 452с.

4) ШЬкШл А. (knefaZ£?e¿ (Ш,1яМ% ¿¿ттекгк, ра1лп1ш-1 ■ ётц Ц ЫЕ, »тег.¿ос. 1353.4.53. £20-33.

линию ¿¡=0 , и процесс Суда* развиваться в полуплоокооти Е(1т220),

Уравнения (0.5) можно рассматривать как уравнения двумэрных процессов в слое проводимости либо осесимметричных процес-

сов. Наглядной физической интерпретацией уравнений (0.5) являются ооесимметричные течения идеальной несжимаемой жидкости, основные понятия которых позволят рационально строить теорию функций, удовлетворяющих этим уравнениям. В терминах гидродинамики ^ и V потенциал окорости и функция тока течения; У и ЯГ - проекции скорости течения на ортогональные оси X »У , ось X является осью симметрии, ^ - кратчайшее расстояние какой-либо точки в полуплоокооти, проходящей через X , до этой оси ( ).

В отличие от плоскопараллельного случая для процессов в слое следуя2) введем комплексный потенциал в виде

относительно которого в полуплоскости 2 (ХтИ^О) систему уравнений (0.5) запишем следующим образом

7>г 2(г-1) ^--ах^ад ' • (о.б)

Отметим, что при таком определении комплексного потенциала связанная с ним комплексно сопряженная скорость процеосаУ^НУ будет удовлетворять уравнению того же вида (О.б).

Комплексный потенциал V есть функция сопряженных координат Е=Х+ , ) а в нестационарном случае и времени I , которое играет роль параметра. Для краткости записи вместо W(2,Z)t) условимся писать » а в стационарном случае . Не нарушая общности, будем излагать далее теорию

функций "Мг) , которая распространяю также на функция .

Непрерывную функцию комплексного переменного 2 , удовлетворяющую в некоторой области полуплоскости 2 (Ьп^^О ) уравнению (0.6), назовем осзсшметричяой обобщенной аналитической -функцией в этой области.

Кратко проанализируем развитие теории функций, определяемых уравнениями (0.2) и более общего вида эллиптическими системами уравнений, которая является обобщением теории аналитических функций. Идея построения теории функций, удовлетворяющих общей эллиптической системе уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, подобно теории аналитических функций, вноказана впервые Е.Пикароы в 1891 г. Эха идея была, развита 1.Барсом и А.Гельбартом, которые ввели понятия £ - дифференцирования и

£ - интегрирования для класса функций, удовлетворяющих определенной системе уравнений, названных 2 - монотонными функциями. Аналогичные операции дифференцирования и интегрирования ввел ранее Е.Бельтраыи для функций, описывающих осесимыетричные течения идеальной жидкости. А.Вайнштейн ^ разработал теорию обобщенного осесимметричного потенциала. '

В дальнейшем развивалось параллельно ряд направлений обобщения основных положений теории аналитических функций на широкий класс функций, удовлетворяющих различным эллиптическим системам уравнений. Развитием первоначальных идей явилось создание Л.Берсом теории псевдоаналитических функций, при построении которой за исходные ■> принимаются так называемые обобщенные или порождающие пары

5) вегб I/. ТЬеогч о| 'р&ш^аашМес. fu.nd.ions.

1353. а

'6) Берс Л. Математические вопрооы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: р. 1961. 208с.

И.Н. Векуа последовательно разработана теория обобщенных аналитических функций, для которых установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши» классифицированы особые точки, а такке получены другие результаты. Г.Н.Полояий систематически развил теориюр-аяа-литических и (р, ^-аналитических функций, для которых введены операции дифференцирования и интегрирования, найдены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, дана классификация особых точек, построена теория вычетов, получены интегральные представления этих функций, а также ряд других результатов. Между классами функций, рассмотренных Л.Берсом, И.Н.Векуа и Р.Н.Положим, существует определенная

СВЯЗЬ

Понятие интегрирования было расширено А.И.Маркушевичем,

Г.И.Петровским, М.А.Лукомской на эллиптическую систему уравнений о переменными коэффициентами. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, Л.К.Вол-ковыский многие геометрические и аналитические свойства решений уравнений Коши-Риыана обобщили на весьма широкий класо линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа. Б.В.Боярский получил ряд результатов для эллиптических систем уравнений с 2.П (П>1) искомыми функциями. В работах С.Б.Бергмана, А..В.Бицадзе, И.Н.Векуа, Я.Б.Лопатикского и других авторов проведены обобщения на случай эллиптических уравнений второго и высших порядков.

.Все известные обобщения теории аналитических функций естественным образом связаны как с определенными проблемами анализа и геометрии, гак и с практически важными задачами механики и физики.

7) Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. Г988. 509с.

8) Полояий Г.Н. Теория"и применение р -аналитических и аналитических функций. Киев: Наукова думка. 1973. 423с.

Последнее в значительной пере стимулировало развитие теории функций, удовлетворяющих разнообразным эллиптическим системам уравнений. Следует отметить среди прикладных работы по гидродинамике идеальной жидкости Л.Берса, М.¿.Лаврентьева, Б.В.Шабата, И.ИЛани-люка, по теории упругости И.Н.Векуа, Г.Н.Положего, А.А.Капшивого, В.С.Чемериса, А.Я.Александрова, Ю.И.Соловьева, по теории фильтрации О.В.Голубевой, К.Н.Быстрова, Ю.А.Гладышева, М.И.Хмельника, А.П.Черняева.

Однако, в указанных выше исследованиях построение полностью завершенной теории функций и их практическое применение свяэано с одной из принципиальных трудностей: нахождением фундаментальных per шений уравнений, определяющих эти функции. Так, для уравнений (0.2) доказано существование этих решений, но они не найдены для произвольных выражений Р . В случае, когда Р определяется равенством (О.А), уравнения (0.2) принимают канонический вид (0.5), для которых фундаментальные решения известны. Уникальность этого случая состоит в том, что для него удается построить полную теорию функций подобно аналитическим функциям.

Для введенных и изученных в работе функций можно проследить связь с соответствующими положениями р -аналитических функций. Вти функции можно отнеоти к присоединенным, р -аналитический функциям . Однако, отличительной особенностью развиваемой в работе теории функций является то, что она отроится как математический аппарат двумерных процессов в неоднородных слоях. Нелыо работы является исследование новых актуальных граничных задач фильтрации в неоднородных средах и гидродинамики идеальной неожи-маемой жидкости ва основе полно разработанной теории осеоимметрич-. ных обобщенных аналитических функций, дающей ряд методов решения 8тих вадач.

йэдчная новизна. Создана теория осеоимметричных обобщении аналитических функций, которая представляет собой усложненный аналог теории аналитических функций и систематически последовательно обобщает все ее основные положения. Теория этих функций разработана исходя из физических представлений гидродинамики, что обусловило рациональное построение теории и позволило выяснить физический смысл ее основных положений. Зга теория является развитием теории р -аналитических функций для широкого кладса р - характеристик вида (ОЛ). Она дает ряд методов исследования граничных задач, возможности которых, их эффективность продемонстрированы на решенных в конечном виде актуальных задачах. Именно, исследованы новые граничные задачи двумерной и пространственной фильтрации в широком диапазоне неоднородных сред, а также стационарные и нестационарные задачи пространственного обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Теоретическая и практическая значимость. Исследованные в работе новые актуальные двумерные и трехмерные граничные задачи представляют собой вклад в развитие теории фильтрации и гидродинамики идеальной жидкости. Разработанная теория является развитием теории и практики р -аналитических функций для широкого класса р - характеристик, описывающих двумерные динамические процессы различной физической природы в неоднородных средах,-

Достоверность результатов работы обеспечивается систематической строгостью проведенного математического исследования в рамках моделей, используемых в теории фильтрации и классической гидродинамики.

Апробация работы. По мера получения основных результатов к в завершенном виде диссертация докладывалась на гидродинамическом семинаре при № РАН и подсекции гидродинамики Московского общеотва •

испытателей природы при ИГУ (рук.академик П.Я.Кочнна, профессор О.В.Голубвва). Диссертация доложена и обсуждена на объединенном заседании семинара Вычислительного центра РАН (рук.профессор Ю.Д.Шмыглевский, профессор Б.ВЛальцев, доктор физ.-мат.наук Е.Д.Терентьев, доктор физ.-мат.наук Л.В.Шуршалов), на семинаре отдела уравнений с частными производными Математического института им.В.А.Стеклова РАН (рук.член-корреспондент РАН А.В.Бицадзе), в М1У на гидродинамическом семинаре иехмата (рук.профессор Н.Р.Сибга-туллин, доктор физ.-ыат.наук А.Г.Петров) и семинаре по методам математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики (рук.профессор В.И.Дмитриев), на семинаре по проблемам нестационарной аэродинамики Гос. НВД ЦАГИ (рук.профессор С.М.Бело-церковский), на семинаре по метода« математической физики ЗВИА им.проф.Н.Е.Жуковского (рук.профессор И.К.Лифанов), на объединенной заседании семинара HBJM при Казанском университете (рук. профессор Н.Б.Ильинский, доктор физ.-мат.наук А.В.Костерин, доктор физ.-мат.наук Е.Г.Шешуков), на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного Казанского университета (рук.профессор Л.А.Аксентьев)j на семинаре по краевым задача« математической физики Киевского университета (рук. чл.корр.УАН А.Ф.Улитко)„ Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения"(Казаяь, 1991г.), на Лобачевских чтениях, посвященных 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Казань, 1992 г.), и на ежегодных научных конференциях Орловского пединститута.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [14 - 57]. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе-' ния, б глав, объединенных в 2 части (гл.1-4 - часть I, гл„ 5,6 -часть II), и заключения. Общий объем работы составляют 326 отра-

ниц машштегписяого текста и 59 иллюотраций. Список литературы содержит lift, наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЬ'РШИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование темы диссертации, ее актуальность. Указывается цель работы и отмечается научная новизна, практическая в теоретическая значимость полученных в ней результатов, их достоверность.

ГЕриводатеи обзор известных исследований по различным направлениям обобщения основных положений- теории аналитических функций на пшрикгй класс функций, удовлетворяющих разнообразного вида эл-лиитачесжж системам уравнений.

Введение заключается кратким изложением основного содержания работа по главам. В 1-4 главах развивается теория осестшетричных обобщенных аналитических'функций. В 5 и б главах показываются возможности и эффективность этой теории в ревении новых граничных задач гидродинамики идеальной жидкости и фильтрации, которые представляют практический, а также общетеоретический интерес при изучении различной природы физических процессов.

I. В первой главе указываются принципиально важные свойства осеоиммэтричных обобщенных аналитических функций W(Z) , являющихся отражением физической сути описываемых ими процессов. Эти функции обладают свойствами однозначности и непрерывности, для них имеет место принцип суперпозиции;

Для функций W(Z) справедливо утверждение, аналогичное теореме Лиувилля для аналитических функций. Согласно этого утверждения функции W(Z) определяются особыми точками, которые являются математическими моделями источников физических процессов. Принципиальную значимость в'построении теории этих функций имеют особые

ючки логарифмического хила.

Уравнение (0.6) конформно ковариангно. Среди конформных преобразований представляв! интерес доказанное в работе и примененное

к исследованию граничных задач преобразование инверсии для функции Y/Шотносительно полуокружности (в пространстве сферы) радиуса CL , опиоанной из начала координат. Это преобразование состоит в sou, что, если Vo(Z) удовлетворяет уравнению (0.6), то его же решением будет функция

jr^r|wfr)+wp)-w„(|r)]<ir .В л р *

В (I.I) значения р и (Г определяются видом функции : если

особые точки WotZ) лежат в области 2)i(|Zl>0l) и при|2Н0 , то р-0 . (Г>-П ; если ее особые точки лежат в области ЗЫ|2К Я) и IWoiZjI^Od?!"11"1) при|г|—°° « и ргоо , (Г<П+1 01=1,2,3,,..).

Указывается связь осесимметричных обобщенных аналитических функций с квазиконформным отображением.

Для функции W(Z) • однозначной и непрерывной в односвязной области 9) полуплоскости ¿(1т2*0) f вводятся операции дифференцирования и интегрирования. J-

Полагаем, что функция W(Z) имеет непрерывные частные производные по DC. и У . _ производной этой функции называется предел разностного отношения

В. о■

Д2-0 ДХ-*0 А х-илу

йу-0

Показывается, что для существования в любой точке 3) предела (1.2), обозначаемого как dsklffl/Jz или Wgt?? • равного

„(г ■ -^-^эТ+г^ПГ"

(1.3)

и независящего от способа стремления Д2 к нулю, необходимо и достаточно, чтобы ~\лГ(2) была ооесимметричной обобщенной аналитической функцией в .

Сопоставляя определение 2 ~ производной (1.3) с уравнениями (0.5), замечаем, что она имеет определенный физический смыол. Именно, 2 - производная от комплексного" потенциала про-

цесса равна его комплексно сопряженной скорооти V (\Л/а(Н)=.'У) • 2 - производная от W(H) определяет V.-процесса. Обратная задача нахождения ^(¡0 по известной V решается на оонове2 -интегрирования. 2 - интеграл от ЛдЛи) вдоль кусочно-гладкого контура С . лежащего в области 2) , обозначаемый как определим следующим образом

с с .

с с '

- переменная интегрирования, Н.С^б'З) .

Указываются .основные свойства ^ - интеграла. В частнооти, показывается, что 2 - интеграл не зависит от вида контура С и полностью определяется положением его начальной (Н0) и конечной (1) точек.

Если записать 2 - интеграл (1.4) для комплексно сопряженной

окорости V течения, то получим раскрывающее его гидродинамический смысл равенство

ЦЫл-Г-^ . ц.5,

где Г и П есть циркуляция и поток вектора скорости жидкости, вычисленные для контура С . Причем, Г и П определяются соответственно разностью значений в точках 20 и И контура С потенциала скорости: и функции тока:П=

X - интеграл от позволяет с точностью до обобщенной

комплексной постоянной"\МГнаходить функцию :

2

Последнее равенство является обобщением на функции W(Z) формулы Ньютона-Лейбница для аналитических функций. При этом . есть первообразная

функции Щ1) {Щ[?)=Ш1)).

Таким образом, как это следует на (1Л) и (1.6), ^ - интегрирование можно рассматривать с двух точек зрения: I) как процесс суммирования по определенному правилу» 2) как действие, обратное 2 ~ Дифференцировании.

Записывая (1.6) для комплексно сопряженной скоростиV— течения и учитывая (1.5), раскрываем гидродинамический смысл обобщенной формулы Ньютона-Лейбница. Именно, эта формула позволяет по заданной скорости V* течения находить его комплексный потенциал \tf\l) > который определяется циркуляцией Г и потоком П , вычисленных для дикого куоочно-гладкого контура С • соединяющего точки 2в и 2 .

Для кусочно-гладкого замкнутого контура С (точки Ее и Е

контура совпадают), целиком лежащем в одноовязной области Э • из формулы (1.6) имеем равенство

ЫгЬ=0 , (1.7)

С .

которое является обобщением на случай функций W(Z) теоремы Коши

для аналитических функций. Суть обобщенной теоремы Коши состоит в том, что, если W(2) является осесимметричной обобщенной аналитической функцией в односвязной области 2) , то 2 - интеграл от W(Z) по замкнутому кусочно-гладкому контуру С^'оЗ равен нулю.

Формулируя обобщенную теорему Копи для комплексно сопряженной скорости V течения, согласно (1.5) л (1.7). можно утверждать, что она выражает потенциальность течения (Г=0 ) и отсутотвие объемного расхода жидкости (П=0 ) в односвязной области, где нет вихрей и источников (стоков). Условие односвязности области сЭ в обобщенной теореме Коши принципиально важно, поскольку, если область Э , например, двусвязна (имеет "дырку"), то 2 - интеграл по охватывающему "дырку" контуру не обязательно равен нулю, ибо в "дырке" могут находиться вихри, источники (стоки).

Обобщенная теорема Копи для ГП+i -овязной' области имеет вид

Со (1-8>

где Со и С» (т)= 1,2,... Ш ) внешний и внутренние кусочно-гладкие контуры, ограничивающие область $) , которые проходятся в одном и том же направлении.

Справедливо утверадение, являющееся обратным по отношению к обобщенной теореме Коши и его можно рассматривать как обобщение теоремы Морера для аналитических функций. Обобщенная теорема Море-ра состоит в следующем: если функция V/(2) непрерывна в одно-

связной области 3> и для любого кусочно-гладкого замкнутого контура Се Я) удовлетворяет равенству (1.7), то ^¡Ш есть ооесим-метричная обобщенная аналитическая функция в 3 .С гидродинамической точки зрения теорема Ыорера утверждает, что, если выполняется равенство (1.7), то Л\Г(Н) есть комплексный потенциал течения в области, где нет вихрей и источников (стоков). Равенство (1.7) является основой для другого определения осесимметричной обобщенной аналитической функции, эквивалентного ее определению оогласно уравнения (0.6), либо которое можно дать используя понятие 2 - производной (1.3). .

Формулы-(1.3) и (1.6) используютоя для-построения комплексных потенциалов процессов. Шенно, многократное применение диф-

ференцирования и 2 - интегрирования известного комплексного потенциала процесса позволяет находить другие комплексные потенциалы процессов той же самой природы.

Введение операций 2 - дифференцирования (1.3) и 2- интегрирования (1.6) представляет собой распространение на осесимметрич-ные обобщенные аналитические функции понятий дифференцирования и интегрирования, предложенных в работах

2. Во второй главе отыскиваются комплексные потенциалы процессов, определяемые изолированными особыми точками осееышетричных обобщенных аналитических функций. Принципиально значимы фундаментальные решения уравнений (0.6), описывающие кольцевого вида источник (сток), вихрь и образованный на их основе вихреисточник, которые имеют логарифмические особенности в полуплоскости 2 (Ъп2>0).

Путем взаимного сближения вдоль оои X вихреисточников, образующих пару, что представляет собой 2 - дифференцирование ' комплексного потенциала вихреисточника, находим широкий класс оое-симметричных обобщенных аналитических функций с полюсами в конечных

- 17 -

точках полуплоскооти £ (Х»у

Обозначим через (Акомплексный потенциал внхре-источника

где и - вещественные постоянные, и

нормированные комплексные потенциалы источника-мощности и

вихря интенсивности , которые выражалтся через полные вл-

липтические интегралы первого, второго и третьего рода.

Выполняя П -кратное 2 - дифференцирование (2.1), получаем отрицательные формальные степени

, (2.2)

которые имеют в точке 2С полюсы П -го порядка и соответствуют аналитическим функциям П ( 1,2,3...).

Тогда комплексные потенциалы

м К!)

= (2.3)

описывают мультиполи порядка 2/1 (П=1,2Д...) о моментами Лп, которые с точки зрения гидродинамики являютоя аналогом мультиполей плоскопараллеиьных течений.

Из (2.1)-(2.3) при П=1 и , £=31*10! имеем ком-

плексный потенциал диполя о мемеатом М.1 , ориентированным под углом 0i к оси X , т.е.

" .— (2 Л)

- 18 -

Е>(£) и - полные эллиптические = интегралы модуля к .

Если мулхтиполи располагаются в начале координат, то, полагая в (2.1) и (2»2) Рг(2^0)=0 , <¿=1 , получаем в полярных координатах Г ,9 описывающие их отепени

гТг^Г"!(п=1,2Л-). (2.5)

Используя П -кратное - интегрирование (1.6) обобщенной комплексной постоянной 2р/(2-?) , находим положительные формальные степени

1 2^/(2-1) } — (И) , ^(-тС1--» . I

и

которые имеют полюсы П -го порядка в бесконечности и являются . аналогом аналитических функций(2-2„)п (Л-0,1,2,.'..).

Степени (2.6) опиоывают процессы, которые в гидродинамике можно трактовать как комплексные потенциалы течений от мультиполей Порядка

2п , расположенных в бесконечности.

Степени (2.6) при «¿=1,^=0 и 2„=0 принимают наиболее простой вид

В работе получены также положительные я отрицательные формата-

9) Гладышев О.А. Краевые эадачи гидродинамики и метод функций формальных переменных // Специальные вопррсы теоретической гидродинамики. Тула: 1976. Вып.З. С.15-74.

ныв атегени, представление в иэотермичэоких криволинейных координатах полуплоскости И (Тщ 2^0).

Найденные степени ?""(«/.,(П=0*1,±2,...) образуют. полный класс осесимметричных обобщенных аналитических функций, являющихся базой для исследования двумерных процессов. Именно, каждая из этих атепеней выражает собой комплексный потенциал, который может моделировать определенного вида процессы. Кроме того, на основе степеней разработаны метод обобщенного интеграла Коии и метод разложения в обобщенный ряд Лорана, позволяющие решать в конечном виде граничные задачи.

3. Б третьей главе на основе второй формулы Грина получается выражение потенциала скорости и функции тока процесоа через их значения на границы области. Показывается, что- эти функции представит через обобщенные потенциалы объёмного, проотого и двойного слоев.

Доказывается обобщенная формула Коши

с

1аД2) ,2б2>, О . ,22 5,0.«

которая позволяет найти ооесимметричную обобщенную аналитическую функцию \\/(2) через её значение на границе С области 2) полуплоскости ? (ХмЪ^О). Стоящий слева в формуле (3.1) интеграл есть обобщенный интеграл Коии, ядра которого выражаются через нормированные (Мг^ЗГ2) комплексные потенциалы Ш! и ИГ/ диполей (2 Л) о моментами вдоль (9\-0 ) и перпендикулярно (8г=Я/2 ) оси X :

я имеет вил

.а^-^И-ии)!.,

Подобное равенствам (3.2) получено выражение этих ядер через нормированные комплексные потенциалы диполей с моментами, ориентированными по касательной и нормали к линия С •

Иные, отличные от рпзэнств (3.2) и (3.3), представления для ядер обобщенного интеграла Коши найдены в работах 5,6,7,8,10,II) для функций, удовлетворяющих различного вида эллиптическим системам уравнений, в том числе вида (0.2).

Представление ядер в вэда (3.3) позволяет раскрыть физическое содержание обобщенного интеграла Коши. Именно, обобщенный интеграл Коши еотъ наложение комплексных потенциалов диполей, непрерывно . распределенных вдоль линии С , моменты которых ориентированы вдоль и перпендикулярно оси X (либо по касательной и нормали к линии С ).

Обобщенная формула Копи (3.1) записывается в работе и для мяогосвязной области. .

Из обобщенной формулы Коши вытекает ряд важных следствий: обобщенная теорема о среднем, принцип максимума модуля и правило дифференцирования осесимметричной обобщенной аналитической функции,

10) Александров А.Я., Соловьев D.H. Пространственные задачи теории упругооти. М.: Наука, 1978. 464с.

11) Данилюк И.И. Обобщенная формула Коши для ооеоимметричных полей // Сибирский мат.журнал. 1963. Т.4, » I. С.48-85.

- 21 -

представленной этой формулой.

Если в стоящем в формуле (3.1) интеграле в качестве IV (О рассматривать непрерывную на линии С функцию, то этот интеграл называется обобщенным интегралом типа Коши. Тогда формула (3.1) позволяет найти осесимметричную обобщенную аналитическую функцию по заданной на линии С непрерывной функции Вводится понятие предельного значения обобщенного интеграла типа Коши, получаются обобщенные формула Сохоцкого и выясняется га физический смысл.

Найденные обобщенные интегралы Коши и типа Коши составляют суть метода решения граничных задач и служат для обоснования других методов, указываемых в работе.

В четвертой главе развивается метод решения граничных задач, опирающийся на применение принципа суперпозиции к полученным

-у «11

формальным степеням

Составленный из положительных степеней формальный полином ГЛ -ой степени определяет функцию

±2ип.ь.№ ,

являющийся комплексным потевциалом процеоса.

.. В работах Л.Берса, А.Гелбарта, И.Н.Векуа, Г.Н.Положего показывается возможность представлен^ в виде обобщенных рядов по полной совокупности решений широкого класса эллиптических сиотеы уравнений, к которым относятся уравнения (0.6), подобно разложениям в ряды Тейлора и Лорана аналитических функций. Полной оиотемой решений уравнений (0.6) являются степени ¿'"[«С, Д (¡1=0,-1,-2,...)» на оонове которых получаются разложения функций в обобщенные ряды Тейлора и Лорана. Пусть ]а/(?) есть осесимыетричная обобщенная аналитическая

функция в круге радиуса О. о центром в точке Z0 (IZ-HC| < а ) полуплоокооти í (Im?>0J . Тогда в этом круге функция W(Z) представила обобщенным рядом Тейлора

где коэффициенты J.п, fin определяются из равенств

«í-o- 2 jW(He-Zo) = Wl?o) ,. n![^-2/W(Z.-£Í|=VgW(Ze) (П= 1,2,3,...) ,

получающихся П -кратным 21 ~ дифференцированием этого ряда.

Фиэичеокий смысл обобщенного ряда (4.1) ооотоит в том, что он выражает комплексный потенциал процесса в круге (X как на-

ложение комплексных потенциалов мультиполей в бесконечности.

На основе обобщенного ряда (4.1), составленного из формальных отепеней (2.7), получаются функции W(Z) » являющиеся аналогом аналитических функций: экспоненциальной, некоторых тригонометрических и гиперболических функций. Найденные функции используются при решении граничных задач.

EoihW(2) является осе симметричной обобщенной аналитической функцией в-кольце ) полуплоокости Z Цж?> 0 ) ,

то в нем она представима обобщенным рядом Лорана

' « _tn>

¥(Z , (4.2)

где коэффициенты <Ln, Д, , иопользуя (3.1), находем в виде

oLn- =\Щ^МЮоЬ, -Ц0+{г0£)Щ de. ,

;')(г контур произвольной окружности о цен*ром в точке 2„ , лежачий внутри данного кольца.

С физической точки зрения обобщенный ряд (4.2) определяет комплексный потенциал процесса в кольце ( С(< |Z-Z«U ê ) представляющий собой наложение комплексных потенциалов Мультиполей, имеющих особые точки в центре кольца z0 и в бесконечности.

Ипользуя разложение в обобщенный ряд (*к2), иоследуется поведение функции W(?) в окрестности ее изолированных оообых точек. На основании этого разложения изолированные оообые точки функции

W(.Z) подобно тому, как это делается для аналитических функций,

»

можно разделить на три класса: устранимая особая точка, полюс, ¡существенно особая точка.

Разложения в обобщенные ряды (4.1) и (4.2) составляют содержание метода решения двумерных граничных задач.

Вводится понятие вычета функции W(Z) относительно её изолированной особой точки 10 , под которым понимаем £ - интеграл от WlZ) по замкнутому контуру. С , охватывающему эту точку, т.е.

Briffe С

Используя формулу (1.8), доказывается основная теорема о вычетах, согласно которой вычет функции W(Z) относительно системы изолированных особых точек ( 1,2, ..ЛП), охватываемых контуром Со » равен сумме вычетов этой функции) вычисленных для каждой такой точки, т.е.

■ с. 9=1 G

здэо* Ci) сЧ>— 1,2,.,., m )-замкнутые непересекающиеся между собой контуры, окружающий îôtlkH 2v ( V=l,2,...m)»

Формулируя основную теорему о вычетах для комплексно оопряжен-ной скорости V течения, ей можно дать согласно (Г.5) и (4.3) гидродинамическую интерпретацию. Именно, циркуляция Г и поток П скорости жидкости, вычисленные для контура Со • равны соответственно сумме заданных интенсивностей вихрей Д/ и источников (стоков) Л.-д (Г=^Г»> • П=<Е1П^), расположенных в точках Zv = J)2>6j...)« охватываемых этим контуром.

Аналогично тому, как это делается в теории аналитических функ-. ций, для функций на основе овойства единственности и обобщенной теоремы Коши вводится аналитическое продолжение и обобщенный принцип симметрии, которые дают используемый в работе метод графического анализа и построения процессов.

Подводя итоги первой части работы, можно оказать, что развитая теория осесимметричных обобщенных аналитических функций является усложненным аналогом всех основных положений теории аналитических функций. Эта теория дает целый ряд указанных.выше нетодов решения в конечном виде граничных задач обширного круга линейных динамических процессов, описываемых уравнениями, которые приводятся к канонической форме (0.5). Она представляет собой вклад в развитие теории к практики р -аналитических функций для широкого класса р -характеристик (0.4). Разработанная теория позволяет исследовать двумерные процессы в неоднородных слоях приводимости (0.4) и пространственные осесимметричные процессы. Она является ооновой для изучения плоскопараллельных процессов в неоднородных природных слоях постоянной толщины (Н- 1 ) с коэффициентом проницаемости (0.4), а также может быть использована в исследовании описываемых уравнениями (0.3) двумерных процессов в анизотропных слоях.

Возможности развитой теории раскрываются во второй части работы на решенных в конечном виде новых проблемах классической

- 25 -

гидродинамики и теории фильтрации.

5. Пятая глава посвящена постановке и исследованию стационарных 'я нестационарных краевых зада? обтекания идеальной несжимаемой »вдкостью тел, размеры которых постоянны, либо могут изменяться под воздействием различных факторов, в частности, в;результате обледенения (обгорания) или его деформации.

При стационарном обтекании произвольным осесимметричным потоком тел, поверхности которых моделируются поверхностями вращения второго порядка, решение предотазляется обобщенный степенным рядом, и его можно рассматривать как частный случай решения (6.2) при Кг=0 (см.п.б). Когда обтекаемое тело есть шар, то это решение выражается квадратурами.

Для•исследования осесимметричного обтекания произвольных тел вращения применяется метод дискретных и непрерывно распределенных особенностей. В частности, использование кольцевого диполя позволяет по найденному аналитическому решению провести численный расчет широкого класса профилей тел в поступательном потоке.

Указывается принципиальный путь решения несимметричной краевой задачи нестационарного обтекания произвольным потоком тел переменных размеров. Для тела с поверхностью вращения второго порядка,.; размеры которого изменяются так, что в любой момент времени оно подобно самому себе, решение задачи представляется обобщенным степенным рядом, коэффициенты которого зависят о® времени. В частности, если поверхность тела моделируется сферой переменного радиус са СЦ1) , то это решение выражаетоя квадратурами. Именно, пуоть К(2,4)есть комплексный потенциал осеошметричвого.течения в безграничной пространстве, особые точки которого в любой момент времени I расположены от начала координат на расотоянии большем, чем (Ш) в удовлетворяет при |2|-»0 -условию|\\Г0(2,4)1=0(121) •

Если в поток поместить сферу переменного радиуса £Ш) с центром в начале координат, то комплексный, потенциал VI возмущенного течения имеет вид

. 1 _ _

Последнее слагаемое в решении (5.1) есть комплексный потенциал точечного источника ( Otlij'O ) либо стока ( (ШКО) переменной мощности Ct(-t) , расположенного в центре сферы.

В качестве практического приложения решения (5.1) подробно исследуется обтокание сферы переменного радиуса поступательным потоком, скорость которого на бесконечности, вообще говоря, изменяется со временем, что представляет собой модель, например, обтекания на начальной стадии расширения газового пузыря при подводном взрыве.

Действительная часть полученного решения задачи для тел с нестационарными поверхностями второго порядка допускает обобщение на случай-обтекания трехмерным потоком. В частности, когда тело

есть шар-радиуса Olli) , то потенциал скорости течения имеет вид

® < _

Если сфера постоянного радиуса ( Ct=U ) расположена в отаг-ционарном потоке, то из (5.1) и (5.2) следуют выражения теорем Бутлера и Вейса.

б. В шестой глава решаются в конечном виде двумерные и пространственные граничные задачи в неоднородных средах.

Задача двумерной фильтрации в неоднородном олоа ставится следующим образом. Пусть фильтрация происходит в слое толщины ( - гармоническая функция), разделенном.границей Г' на об-

ласти' И , коэффициенты проницаемоотей сред которых К^ и Кг . На Г' выполняются известные условия непрерывности давления и расхода кидкости, которые для потенциала скорооти ^ имеют вид

• КЦ^г' ' («.!)

Необходимо найти удовлетворяющее условиям (6.1) решение уравнений (0.2) или комплексные потенциалы

описывающие течения в областях и <2)а .

В работе показывается, что задача (0.2),(6.1) конформно кова-риантна. Эта задача конформными преобразованиями 2 = Р("С) (^-ЪпРк?

) сводится к канонической задаче в слое толщины Н-^] для уравнений (0.5) с условиями (6.1) на границе Р , в которую переходит граница Г .

. Пусть границей Г областей 2)1 и 3)г в слое толщины Н=£) является кривая второго порядка ссаб1 ). Полагаем, что в

отсутствии этой границы течение описывает комплексный потенциал

, особые точки которого располагаются произвольно относительно кривой .

Тогда течения в областях 2)1 и 2)г описывают комплексные потенциалы

ДОС) , ,

п=1 1 (6 2)

где действительные части формальных степеней допуокают представления

ReZ'icFLnfcjPnW > EftZTc)=Mn(?)P„(« /

вещественные коэффициенты о6п определяются из разложения

В частности, когда Г eon полуокружность или пряные параллельные координатным осям X и Y , решение (6.2) представляется квадратурами. Пусть • где Woi и Wo2. имеют особые точки в областях 2)i и 2)г* Если границей Г является полуокружность z.= aew, е« [од] и I Woi 1= O(izi) при | zk о■ lWo2| = 01lZr2) пм12К°° 1 *о точения в областях 3i(|Z|>Ci)H а)Д|21<а) определяют комплексные потенциалы

Wi=Wc(2)^[|i|j \т%>{fr)d?+Jr^HaPD'flRj з

i Л (б'5)

оо о

Hjtrtj^mjtnj) (j-1,2) -

Когда Г : ЭС=с1=тЫ , то фильтрацию в областях S)j(X>dy и a>a(3C<i/) описывают комплексные потенциалы

Если Г : Const » го комплексные потенциалы можно выразить интегралами от ооесимметричных обобщенных аналитических функций, являющихся аналогами аналитических функций Sinu,2 и COS¿2.

Решение (6.2) опиоывает также осесимметричную фильтрацию в среде, границей Г раздела однородности которой является поверхность вращения второго порядка. В частности, (6.3) и (6.4) определяют комплексные потенциалы течений в случае сферической и плоской границы Г .

В работе репение (6.2) применяется к исследованию новых граничных задач, связанных с природоохранными мероприятиями и ¡работой скважины в сложных геологических условиях. Именно, рассматриваются двумерные задачи в слое толщины _ H=£j и пространственные осесим-аетричные задачи о промывании загрязненных областей грунтовыми водами. Определяются размеры очага загрязнения и даются рекомендации по его локализации. Исследуется работа скважины вблизи загрязненной области. Указываются допустимые значения дебитов скважин, работающей без загрязнения, в зависимости от-размеров и формы этой области и положения скважины.

Используя конформные преобразования формулы перехода рч-

ааются двумерные граничные задачи фильтрации в широком классе неоднородных олоав проводимости (0.4). В частности, иооледуется работа совершенных скважин и влияние на як дебит неоднородности слоев, задачи о промывании грунтовыми водами загрязненных областей в таких слоях.

Действительная' чаоть решения (6.2) обобщается на трехмерные течения, когда границами Г раздела областей однородности сред являются поверхности вращения второго порядка. Б частности, еолиГ есть сфера радиуса 0L , то течение вне и внутрй её ойисывают потенциалы скорости

А \

о 00

где функции ^(Г) и Чо2(Г) имеют особые точки вне и внутри сферы. Аналогичное действительной части решения (6.4) имеет место выражение для потенциала скорости трехмерного течения в случав плоской границы Г" .

Витание (6.5), а также для плоской границы Г , применяется дат исследования трехмерных течений а несовериенной скважине и изучения влияния неоднородности среды на её дебит.

Подводя, итоги второй части работы, можно сказать, что в ней на исследованных новых граничных задачах гидродинамики и фильтрации показаны возможности развитой теории осесимметричных обобщенных аналитических функций. Эффективность этой теории состоит в том, что она дает ряд методов решения граничных задач в конечном виде. Исследованные задачи далеко не полностью исчерпывают всех возможностей разработанной теории.

Найденные точные решения граничных задач могут служить тестовыми при создании и апробации численных методов исследования двумерных и пространственных процессов различной физической природы.

В заключения излагаются основные результаты работы, которые состоят в следующем.

Исследованы в конечном виде новые проблемы теории фильтрации

- 51 -

в неоднородных средах и гидродинамики идеальной жидкости.

1. Поставлены и решены двумерные граничные задачи фильтрации в широком диапазоне слоев переменной проводимости. Найденные решения применены к исследованию работы «оверлейных скважин и задачам о промываний загрязненных областей в таких слоях.

2. Поставлены пространственные граничные задачи фильтрации в неоднородной среде. Когда границами раздела областей однородности ореды являются поверхности вращения второго порядка, решение найдено для произвольных течений. Зто реявниэ применено к актуальны).' граничным задачам, которые связаны с природоохранными мероприятиями и работой несовершенных скважин без загрязнения в сложных геологических условиях.

3. Рассмотренные в теории фильтрации проблекы позволили 1№г,г-роить модели пространственного обтекания тел идеальной несжимаемой жидкостью, йленно, исследовано обтекание произвольным потоком ая-рокого класса осесимметричных тел, а также нестационарное обтекание тел переменного сечения.

Полученные точные решения задач могут служить тестовыми при создании численных методов исследования физических процессов.

4„ Исследование указанных проблей потребовало разработки теории функций, являющейся развитием р - аналитических функций для обширного класса р - характеристик. Эта теория представляет собой усложненный пожвнй аналог теории авалитвчвских функций. Развитая теория дает ряд-методов решения гранитных задач в конечном виде.

5. Эти методы значительно расширяют круг граничных задач, доступных аналитическому решений в конечной виде. Они применимы для вирокого класса линейных динамических процессов различной фиэичэо-кой природы в неоднородных средах, далеко выходящих за рамки рас-

смотренных в работе проблей.

Как одно из возможных направлений развития изложенной .теории является её применение к проблемам^ поставленным в статьях [1-13] списка работ:

1. Пивэнь В.Ф, Построение простейших фильтрационных течений, не следующих закону Дарси // Гидромеханика: Уч.записки Московского области, пединститута. М.: Йзд-во МОПИ. 1971. Т.299. Вып.1. С.1ТО-176.

2. Пивень В.Ф. О нелинейной фильтрации в неоднородном искривленном пласта переменной толщины // Гидромеханика: Сб.научн.трудов Московского' области, пединститута. М.: йзд-во МОПИ. 1973. Выл.2. С.94-99.

3. Пивень В.Ф. Применение метода С.А.Христиановича к построению течений в грунтах с законом фильтрации В.В.Соколовского // Гидромеханика: Сб.научн.трудов Московского области, пединститута. М.! йзд-во МОЛИ. 1975. Вт.2. С. 100-105.

4. Пивень В.Ф. Обтекание непроницаемого включения и каверны в грунтах с законом фильтрации В.В.Соколовского // Ридроивхаата: Сб.научн.трудов Московского области, пединститута. ).{.: Изд-во МОПИ. 1973. Вып.2. С.106-110.

5. Пивень В.Ф. Вытеснение несмешивающихся жидкостей при не-лияеЛной фильтрации // Гидромеханика: Сб.научн;трудов Московского области, пединститута. М.: 'Изд-во МОПИ. 1974. Вып.З. С.150-154.

6. Пивень В.Ф. Одномерная нелинейная фильтрация жидкостей различной вязкости // Гидромеханика: Сб.научн.трудов Московского области.пединститута.М.:Изд-во МОПИ. 1974. Вып.З. С.155-160.

7. Пивень В.Ф. Нелинейная фильтрация не смешивающихся жидкостей в слоях, расположенных на различных стыкующихся поверхностях // Гидромеханика: Сб.трудов Московского области.пединститута. • М.: Изд-во МОПИ. 1974. Вып.З. С.161-165. '

8. Пивень В.Ф. О нелинейной фильтрации сжимаемой жидкости // Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испытат.природы. М.: Наука. 1974. С.40-42.

9. Пивень В.Ф. О продвижении границы раэдела нелинейно фильтрующейся одножвдкостной системы // Новые вопросы гидродинамики: Московское общеотво испытат.природы. И.: Наука, 1974. С.42-44.

• ГО. Пивеяь В.Ф, Пример продвижения границы раздела при нелинейной фильтрации // Новые вопросы гидродинамики: Мооковокое общеотво испытат .природы. М.: Наука, 1974. С.44-46.

II. Пивень В.Ф, Влияние нелинейных эффектов на вытеснение жидкостей при нелинейной-фильтрации // Гидромеханика: Сб.трудов Московского облаотя. пединститута. М.: Изд-во МОПИ. 1975. Вып.4. С .2 7-34.

. 12. Пивень В.Ф. Приближенные рсдення задачи о вытеснении жидкооти при нелинейной фильтрации // Гидромеханика: Сб.трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ. 1975. Вып.4. С.35-46.

13. Пивень В.Ф. Приближенной решение задачи о нелинейной, фильтрации к скважине // Избранные задачи гидродинамики: Московское общество испытат.природы. М.: Наука. 1$77. С.15-18.

14. Пивень В.Ф. О фильтрации в неоднородной пористой среде // Проблемы теоретической гидродинамики. Гула: Изд-во Тульско-; го пединститута. 1977. Вып.4. С.54-56.

15. Пивень В.Ф. Обобщение фильтрационной теоремы об окружности на течения в кусочно-неоднородной среде // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута.1978. С.48-51.

16. Пивень В.Ф. О плоскопараллельной фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута. 1979. С.39-43.

17. Пивень В.Ф. О фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Избранные вопросы динамики сплошных сред: Московское общество испытат.природы. М.: Наука. 1980. С.80-84.

18. Пивень В.Ф. Пространственная фильтрация в кусочно-неоднородной среде // Теоретические'основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута. 1980. C.II-I4.

19. Пивень В.Ф. К эадаче фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические ооновы гидродинамики. Тула. Изд-во Тульского пединститута, 1981. С.24-29.

20. Пивень В.Ф., Савков С.А. О нестационарной фильтрации жидкости в слое кусочно-переменной толщины // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1981.

С.30-33.

21. Пивень В.Ф. О течениях в кусочно-неоднородной пористой среде // Исследования по специальным задачам гидродинамики: Московское общество испыгат.природы. М.: Наука, 1982.. С.85-88..

22. Пивень В.Ф,- 0 фильтрации в неоднородной анизотропной среде // Движение растворимых примесей в фильтрационных потоках. Тула: Из-во Тульского пединститута. 1984. С.44-49.

23. Пивень В.Ф. Поступательное движение сфер^: переменного радиуса в идеальной жидкости Ц Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды: Московское общество испытат.природы. М.: Наука. 1985. С.7-ГО.

24. Пивень В.Ф., Алехин Е.И. К задаче о несовершенной окважи-не в кусочно-неоднородной среде // Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды: Московское общество испытат. природы. М.: Наука. 1985. С.11-17.

25. Пивень В.Ф. Точечный источник в неоднородной пористой среде Ц Некоторые модели сплошных сред и их приложения: Московское .общество испытат. природы, ы.: Наука. 1988. С.48-54.

26. Пивень В.Ф. Исследование пространственных течений в кусочно-однородной среде определенного вида // Теория гидродинамических моделей технических задач. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута. 1988. С.32-36.

27. Пивень В.Ф. Осе симметричные обобщенные аналитические функции. Орловский пединститут. Орел. 1990. 29с. Деп. в ВИНИТИ.' 29.03.90г., ft 1697 - В90.

28. Пивень В.Ф. Квазистационарная задача обтекания сферы переменного радиуса // Некоторые проблемы математики в задачах физики, механики, экономики. М.: Изд-во МФТИ. 1990. С.9Г-95.

• 29. Ливень В.Ф, К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл.АН СССР. 1990, T.3I3, К б. С.1424-1426.

' 30. Пивень В.Ф. Метод осесимметричных обобщенных аналитических функций в исследовании динамических процессов // ПШ1. 1991. Т.55. Вып.2. С.228-234.

31. Пивень В.Ф. Комплексные потенциалы осесимиетрпчных процессов с произвольно расположенными особенностями // Задачи динамически* процессов в сплошных средах. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута. 1991. С.44-48,

•32. Пивень В.Ф. Пространственны' краевые задачи теории фильтрации в структурно неоднородных средах Ц Краевые задачи теории фильтрации и их приложения. Тез.докл.Всес.научн.конф. Казань, 23-27 сентября 1991г. С.88-89.

33. Пивень В.Ф. Одно обобщение понятий дифференцирования а интегрирования функций, описывающих осесимметричные прсцессы//3а-дачи технической гидродинамики: Московское .общество испытат.природы. М.: Наука. 1991. С.88-94.

34. Пивень В.Ф. Обобщенная формула Коши для определенного вида канонических уравнений динамических процессов // Проблемы математики в задачах физики и техники. М.: Иад-во МФТИ, 1992. С.120-124.

35. Пивень В.Ф,,Толпекин С.И. Исследована двумерны* ЭйДач фильтрации в неоднородных слоях переменной толщины. Орловский пединститут. Орел.1992. 24с. Деп, в ВИНИТИ. 25.02.93г., № 464-В93.

36. Пивень В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях о прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка // Известия РАН. МНСГ. Ш I, 1993. С.120-128.

37. P^uoi'V.F. Tvrt-ctinwslonal f&w ¿л porous Mrttfa btiih oondu-disvibj' wrtf^ (UsecnUnuousty оdeng se&ond--order curue-s// FJ^nmnUa. m. v. гв, 1. p,до-м