Основные двумерные краевые задачи теории упругости и термоупругости изотропного и анизотропного тела и методы их решения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Рг0 ЛП

На правах рукописи

'' г С,

ПРУСОВ Иван Алексеевич

ОСНОВНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕРШУПЕУГОСШ ИЗОТРОПНОГО И АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА И МЕТОДЕ! ИХ РЕШЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

НАУЧНЫЙ ДОКЛАД на соискание ученой степени доктора йизико-математмческкх наук

ШНСК - 1993

Работа выполнена в Белорусском Государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Победря Б.Е. доктор физико-математических наук Добрушкин В.А. доктор физико-математических наук, профессор Юрчук Н.И.

Ведущая организация: институт математики АН Беларуси

Защита состоится декабря 1993 года в часов

на заседании специализированного Совета Д 056.02.05 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, в Белорусской государственной.' политехнической академии по адресу:.220027, г.Минск, ''* пр.Ф.Скорины, 65, главный корпус к.201

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белору государственной политехнической академии

Автореферат разослан 1993 года

Ученый секретарь

доцент Чепелев Н.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цель и задачи исследования. Математическая теория упругости относится к важнейшим направлениям науки и техники и представляет собой составную часть' механики деформируемого твердого тела. Предметом ее исследований являются изотропные и анизотропные тела. А главной задачей исследования является разработка общих математических методов определения напряжений внутри таких тел в зависимости от их размеров, формы, температуры, силовой нагрузки и других факторов. Эти величина являются исходными для установления критерия прочности, несущей способности, устоззивошв«», и „.друрзк характеристик как отдельно рассматриваемых элементов конструкций типа стеркней, пластин, оболочек, трехмерных тел и др., так д конструкций, состоящи из таких элементов.

Для трехмерных изотропных и анизотропных тел, находящихся б равновесии в состоянии плоской деформации или в обобщенном плоском напряженном состоянии, наиболее эффективными являются математические методы, основанные на теории функций комплексного переменного. Аналогичные методы применяются таюке в-теории изгиба тонких пластин, теории фильтрации жидкости в пористых средах и теории температурных полей.

Большой вклад в развитие этого направления теории уругосги внесли: Н.'Л.Мусхелипвила, В.И.Моссаковсюй, В.З.Пансвк, А.. З.Анд-рейкив, А.Н.Гузь, А.А.Каминский, Г.Любовиц, Н.О.?Лорозов, В.Ковиц-кий, В.А.Осадчук, Н.К.Миронвнко, В.З.Партон, Б.Е.Победря, М.П. Саврук, А.Ф.Улитко, Н.П.Сшейшман, Г.П.Черепанов, Д.И.Шерман и др.

Существенный вклад в развитие математических методов статической теории упругости анизотропного тела своими трудами внесли: С.Г.Лехницкий, Г.Н.Савин, Л.А.Галин, Д.В.Грилицкий, Я.С.Космода-мианский, С.А.Колоеров, Г.Л.Мартынович, А.И.Уздалев и др.

В основу теории упругости изотропных и анизотропных тел положены линейные зависимости между компонентами тензоров напряжений и деформаций. Теория, в основу которой положены соотношения Дюгамеля-Неймана, называется теорией температурных напряжений (для краткости такую теорию иногда называют термоупругостью). • По терминологии В.Новацкого теория температурных напряжений представляет упрощенный вариант более общей теории - термоупругости. Упрощение заключается в

пренебрежении в уравнении теплопроводности членом, связанным дилотацией.

Анализируя известные методы решений, можно сказать, ч1 решения ряда классов задач теории упругости и термоупругос является не самыми эффективными и, вследствие этого, сложными, таким методам, в частности, относятся:.

Метод Фурье для областей, ограниченных прямой или системс параллельных прямых.

Метод решения граничных задач для гармонических функцй определенных в канонических областях (ограниченных прямо! окружностью, эллипсом) или в областях, отображаемых на круг п] помощи рациональных функций.

Метода решения , задач тармоупругости изотропного тела д: аналогичных областей, а также задач теории упругости термоупругости анизотропного тела.

Научную новизну исследования составляют:

Новый катод решения задачи термоупругости для указанных выи изотропных областей, основанный на использовании преобразован! Фурье без использования формул обращения (согласно этому метод используется представление основных величин в комплексной форме а преобразования Фурье совершаются только над граничны* условиями).

Новое представление общих формул для температурных полей температурных напряжений в указанных выше областях изотропно1 тела.

Представление общих формул теории уругости и термоупругос! для анизотропной полуплоскости и анизотропной плоскости разрезом на отрезках прямой.

Все эти представления общих формул позволяют о максимальнс эффективностью получать решения большого класса задач дг температурных полей, теории упругости и термоупрутост изотропного и анизотропного тела, а также решения краевых зада для гармонических функций, физическое содержние которых мажа быть самой различной природы. '* ■

Суть метода преобазований Фурье без испольования форму обращения изложена в статье [5] и книге [2]. Все остальное книгах [1], [3] и статьях [6] - [8]. Новый метод решения краевы задач для гармонических функций успешно попользуется в монографи

4], посвященной теории фильтрации жидкости в пористых грунтах.

Апробация исследования. Изложение вше идеи и метода экладывались на Всесоюзных и Республиканских конференциях. О эвом представляли общих формул тврмоупругосги изотропного тела эложено на Всесоюзной конференции по тепловым напряжениям £анев, 1968). Доклад апробирован на научных семинарах проф. зеровича Э.И., проф. Чигарева A.B., проф. Юрчука Н.И. }«■'•

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ

■ Общие Формулы стационарного температурного поля для изотропных областей, ограниченных прямой или окружностью

1.1. Oösyie формулы температурного поля в произвольной одкосвязной области • ~

Пусть темпетатура Т однородного изотропного тела в любой >чке занимаемой им области является стационарной и зависит )лько от координат х и у. Тогда, как известно, при отсутствии зточников тепла внутри тела температура Т(х,у) является 1рмонической функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа

+ 0 В области Б (1.1)

1,8 5 - область, принадлежащая координатной плоскости Оху, ■раниченная простым гладким котуром I.

Следовательно, выражение Т можно представить в виде

Т.- йе ®0(г),-. г € £ (1.2)

[е.. ,Ф0(2) . - произвольная голоморфная функция комплексного |ременного- г х + 1у. При атом плотности потока ■ тепла' и • г в' любой ' точке 2 на ' элементарных отрезках,' перпендикулярных ¡ям координат х и у, определяются соотношениями " }

где к коэффициент теплопроводности. Аналогичная величина дуге АВ € '3 определяется таким соотношнием:

= . п..

где п - нормаль к дуге в точке г, направленная вправо отношению к направлению, ведущему от точки А к В.

Между плотностями (1.3) и (1.4) существует связь

% " Яг 003 а + % а (1 ■

где а - угол между осью х и направлением нормали п, отс которого ведется • противоположено ходу стрелки часов. Применяя формулу

_ Одв = - к 1т се0(г):? (1.

мото найти поток тепла С3д£ через дугу АВ, где символ [0(2)1^ обозначает приращение выражения функции Сд(г) на значении л , точек А и В.

Если в некоторой точке г = € Б имеется линей стационарный по времени источник тепла с мощностью о0, отнесен к единице длины линейного источника, то в окрестности точки функция имеет вид

©0(г) = Шд 1п(г - г0) + (1.

где т0 = - Од/гтск; - голоморфная функция. Предполагав

при этом, что линия источника перпендикулярна к плоскости Оооу.

В случае, когда 3 - конечная односвязная область и внутри отсутствуют источники тепла, Фд(2) - голоморфная функция всюд области Б . Если же 5 - бесконечная односвязная облас ограниченная контуром I, то при таком же условии Са определяется выражением

Ф0(г) = т* 1п(г - + ' (1.

с

1<а % » - qA/Z%k, q^.- поток тепла через контур L; 0^(г) -зломорфная функция; zk произвольная точка, расположенная внутри гатура I.

1.2. Общие формулы температурного поля в полосе к

При решении основных граничных задач для стационарного )мпературного поля Т в полуплоскости и полосе обычно зпользувтся уравнение (1.1) с применением преобразований Оурьэ та соотношения (1.2), используя метода теории функций эмплексного переменного. Нике дается предложенное автором в зботе [1] представление основных формул для температурного поля виде

Fq(z) + sF0(2) - Т + i г) (1.9)

F(z) + s?(2) = (Т + i г,) (1.10)

дх

P(s) - ëF(z) ~ - 1 й- (Г + i 77) (1.11)

дх

¡э Т = Т(г,у) - температура; г] = г\(х,у) - вспомогательная тмоничэская функция; Fg(z) - произвольная аналитическая функция аргументом z - х + iy, определенным в областях S~ (-h « у « 0) S+ (0 « у « h); F(s) - dPQ/ds; s = + 1. Два последних из этих »отношений получаются дифференцированием (1.9) по х и у. Верхний нижний контура области S~ будут обозначены L (у = 0) и L.

i = -h). " __ _ __

Полагая, что Fa(z) =>?0(z), 7(2) = F(z), на основании (1.9) >иходим к заключению

Т = Re [Fq(z) + s Fq(z)], 7] = lm [FQ(z) - PQ(z)] (1.12) 'сюда следует, что T и tj - гармонические функции, гармонически юопряяенкыэ между собой, как функции, неудовлетворяющие 1ЛОВИЯМ Коши-Римана:

„ &Q ЗТ „ _ ац ..

дх ду дх ду

Поэтому граничные условия на контуре L области S~ для эч функций можно задавать независимым образом. Так, если задано, ч

Г - ij {х) на Ij, - tz(x) на Ig , где Lj - час

контура I, Lg «* X - L - остальная часть L, f^fx) - задает функции, то мокко считать, что

т) = 0 на L« и = 0 на 1о (1.1

1 ду г

На теплоизолированных участках контура Ь долкно выполнять условие -- = 0. 0У

Ери таких условиях функция Т (z) долкна удовлетвори граничным условиям на L

t 1 .1

"(Г) - - -. x i2(;r) Нэ L2 •

где i'! (x) - производная по ~ функции f. (~); Г~(г) и I^Cx) предельные значения на L функции ?(г) со стороны областей £Г и Б случае, когда на I» полоса теплоизолирована, функция F( на этом контуре долина удовлетворять условии

in [?(£) - e?.(t)3 = 0 (1.:

где t - аг - 1h, х = а? + ih, h - ширина полосы.

Если выражение функции Гц(с) найдено, то согласно (1.2) (1.12) функция Og(s) о точностью до мнимой постоянн определяется выражением

C0(Z) = PQ(Z) + Е?0(2) <1.1

При наличии линейного источника мопиостью qQ в точ z - z0 € S" функция F(z) в'окрестности точек zQ и zQ имеет в

Р(2) =• Шд/(2-20) + для г => г0 е й

(1.17)

?(3) = ет0/(2-20) +• г* (г) для 3 => 20 е

з 1*^(2) - голоморфные функции в областях Ги^; Шд = -Од/4%к.

Формулы (1.9) - (1.11) применимы как для полуплоскости, так для полосы. Применяя их, можно получить решения многих мшчных задач' значительно более простым способом, чем любым д"им методом.

Решения ряда задач, основанные на примнении этих формул, держатся в книгах автора С13, ГЗ], 44]. Рассмотрим в качестве таера следующую задачу для темгортурного поля в полуплоскости

(У «О).

I "

Пусть контур состоит из участков I (|х| « а), Ьд (х « -а) ^ (г > а), где Ь0 и Ь1 - теплоизолированные участки контура Ь, на Ь температура изменяется по закону параболы Т = С0(1 - На бесконечности области температура Т » Тш =

И пусть требуется найти значения Т на X - Ьд + Ь^. Для решения задачи воспользуемся формулами (1.9) и (1.11). чагая е=1, получим граничные условия для функции Р(2)

Р5(т) + р+(г) = Т0(1 - г2/а2) на ь',

(1.13)

?~(т) - Р+(г) = 0 на гГ.

Решение этой ктзаезой задачи будем искать в виде

?0(2) - Тд Е1 - г2/&2 + Сд г-А0(г)]/2 (1.19)

0 0 1 /о

э Хд(г) = ( яг/а - 1) , Сд - произвольная вещественная зтоянная. Учитывая, что •

Х5(аг) = - х£(г) = - 1 ( а2 - х2)172 /а на ь'

Х5(х) - У?(х) = ( х2 - а2)1/2 /а на ь" (1.20)

Х5(х) = Х*-(х) = - ( г2 - а2)1/2 /а на Ьд

легко убедиться, что условия (1.18) выполняются при произвольно

значении Сд. Но так как функция ?0(г) должна стремиться некоторой константе при !г! ■» » , то с0 = 1. Учитывая это получим выражение Т - Т(г) на Ь0:

Т(а?) * Т0 [1 - ^ + 1§! ((§)2 - 1)1/2] (1.21

Отсюда следует , что на бесконечности температура Т = Тт = Тд.

1.3. Общие формулы для темпертурного поля в области, ограниченной окружностью

Поедполоким, что изотропное тело занимает в плэсост комплексного премекнзго г = х ■>■ 1у = г е~с одну из облаете: £Г ( \г\ » Я) или Б1" ( |2| « К), ограниченную окружностью I радиусом г - й. К будем считать, что тзмпратура Т = Т(г,6 является гармонической функцией в такой области. В этом случа< для решения граничных задач можно воспользоваться таким формулам! Ш:

?0(2) + е?0( Т,2/г ) = Т + 1т? (1.26

?(2) + е(3)2 Г( й2/г ) = ' - | й- (т + 1т)) (1.27

в

?(г) - в(Ъг ?( й2/2 ) = е-10 (Т + 11]) (1.23

дт

где 1(2) = --Р0(2), е - + 1; т](г,е) - вспомогательна!

йг

гармоническая функций, Рд(г) - произвольная аналитическая функци; аргумента г, определнная в областях и £Г.Две последние из этиз формул получены дифференцированием соотношения (1.26) по 8 и г.

Плотности потока тепла qг и qg на элементарных отрезках, проходягцих через точку г, принадлежащую области, занимаемо}

■елом, и перпендикулярных координатным линиям гиб, определяются ^отношениями

а„ = - к —, = (1.29)

дг г дЭ

'читывая затем (1.27) и U.28), получаем

о0 - + к 1m [ е19 (f¥(z) + еф2 Р( R2/3 )) ]

(1.30)

qr - - к Re ( е19((Р(л) - еф2 P(Rz/z)) ]

Поток тепла на дуга АВ, целиком расположенной в области ела, определяется по фора^пе

Qab = - k im i 7n(z) + sFq(E2/z) (1.31)

Из (1.26) следует, что Т и т? в области тела определяются ыразкениями

- и 2

Т = Re.С Fq(z) 4-s?q( —) ],

(1.32)

- ч 2

г) = im £ Р0(2) -e?q(|-) ]

это значит, что Т ж т) - гармонические, но гармонически эсопряженные функции. Некому на контуре L граничные условия для toc можно задавать незавсамым образом. Так, если для Т заданы словия

Т = f. (9) на L', ^ = fP(9) на l", (1.33)

1 дг

цэ L - часть контура I, X - L - Ь - остальная, его часть; ^(9) - заданные функции, та можно считать, что

т) = 0 на ь' = 0 ка L (1.34)

дг

На теплоизолированных участках контура температура долзк удовлетворять условию: вТ/дт =» 0.

На основании (1.2) и (1.32) следует, что комплексн потенциал температуры Т определяется выражением

r 2 •

<s0(z) = Р0(2) + eF0(|-) (1.3!

В случае, когда в некоторой точке s - Zq области те. имеется линейный источник мощности qQ, то функция F(s) окрестности точек zQ и z = а = R2/2q имеет вид

Р(2) = _Jj£g- + FA(2) ДЛЯ Z Zq

s m.-,

'(s) = g-r-й- + дая z ~ а

(l.i

где ?А(г) - голоморфная функция в окрестности указанных точек; Шд = - а0/4т&.

При решении конкретных задач необходимо учитывать поведени функции Т и плотностей потоков аг и в нуле и на бесконечности Так, если тело занимает область Б" и по условию задачи можк считать, что функция Т принимает конечные значения во все

ОоЛаСТл! о , ТО ЛЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЭТОГО УСЛОВИЯ Необходимо, Ч70С

функция принимала конечные значения при ¡¿I и £ =» С

Если же тело занимает область 5+ и в первую очередь определен;! подлежит функция при условии, что Т, qг и а^ являлис

конечными величинами при г 0, то для этого необходимо, чтоб коэффициенты разложения функции ?(г) в окрестности нуля и точк

\г\ = <х> :

У (г) = А0 + к^ + А2з2 + ... для г * О

(1.37

« В0 + В^г + В2/22 + ... для г «> <» удовлетворяли (как следует из (1.26) и (1.27)) соотношениям

В0 =0, В1 = 0. (1.33

Все остальные коэффициенты в (1.37) могут быть любыми.

Применяя приведенные выше формулы, мокно получить решения многих граничных задач для областей, ограниченных орухкостью. В простейших случаях решения удается найти в конечной форме, а при более сложных граничных условиях - в квадратурах (в интегральной • форме).

1.4. Общие формулы для стационарного температурного поля в. бесконечной односвязной области, отображаемой на внешность круга

Приведенное выше представление общих формул температурного поля в области, ограниченной окрухностьа, легко обобщается .для областей, отображаемых на круг при помощи рапиональнгых функций. Вудем считать, для определенности, что изотропное тело занимает .. ."блгсгь 5~ на пло-скост;! ксмпл-хского гереуткнг-го г = .г - 1» ,

z «• и({) — известная рациональная функция,-конформно отображающая збласть Б" на область 3 ($ > 1) плоскости комплексного теременного 5 = се*3. При этом по-преанему будем считать, что температура 7 - гармоническая функция в Б", прэдставимая в виде ? - Не Сд(2), где Од(г) - голоморфная функция.

Поскольку 2 «(?), то ™ можно представить в таком виде:

? = Й9 Сд(о(|)) = Ке 01 (?) (5 € Ю (1.45)

ля нахождения выражения этой функции в зависимости от заданных словий на контуре Ъ области Б" мохно воспользоваться формулами

Р0(5) + еР0(1/1) = Т + Щ, (1.46)

Р(6) + -о Р(1 /¡) - — (Т * 1-П) (1.47)

9 ? 39

?(£) - Р(1/ё ) - е~19 + 1т]) (1.48)

Р дР

где s = + 1; F(U = --Fq(?); ?0(i) - голоморфная фуккцж

¿С

определенная з областях D" и D+ (|g| « 1); т](р,8) -вспомогательная гармоническая функция. _ Соотношения (1.47) (1.48) получаются дифференцированием (1.46) по 8 и р.

Плотности потоков тепла qQ и qg на элементарных отрезке криволинейных координат 9 = const к о » const определяйте соотношениями

С -----а -----(1.45

iu'(5)l op "a lu'(5)lp <ЭЭ

Так как Гд(1/£) - (1/?), то на основании (1.45) и (1.' точностью ло г.снимой постоянной следует

С' = (?) — £ -<->(-) (1. оС

* и1 х-;

Кз (1.43) следует, что 1 к т; - гармонически несопрякеккы функции. По этой причине граничные условия для них на Ь ьюяв задавать неззнсимо, считая, напиимеи, что» ©ели для Т на и заденз условия

? = 1\ (8) = (о) на Ъл, ^ = х„(8) = ф (0) на т (1-51 1 1 2о Л ' * 16

где Ь< - часть контура X, ь0 - X - X, - остальная его часть; о = е^®, то. мокно считать, что

Т) - 0 на I, н на (1.52)

1 да *

На теплоизолированных участках контура -- = -- = 0.

йр йп

Если всюду на X заданы значения Т ° Ф] (о), то полагая е = -1, согласно формуле (1.46) функция 1д(£) дол&на удовлетворять условии

?о(о) - ?£(ст) = 'а. (о) (1.53)

О 1

Рвш'экиэ этой гранично;! задачи с учетом того, что на бесконечности температура принимает конечное значение Т - Т «о, определется выражение

1 ф,(Т)(1Х

г0<е> - - ГГ. -Г -г + со • (1-54)

и 2%1 ^ т - £ и

где с0 - комплексная постоянная. Можно считать с0 = 0, поскольку она не влияет на значение температуры Т.

При заданных всюду на Ь значениях qn = Ор, задача решается аналогичным образом, применяя формулу (1.48) и читая е = 1. Если да на I заданы смешанные условия вида (1.51), то для решения задачи следует воспользоваться формулами (1.47) и (1.48), считая 5 = 1.

Решение всякой конкретной задачи зависит.такие от зыражния отображающей функции а = ш(£). В случае, когда I - эллипс с полуосями а и Ъ, направленными по осям координат х и у, функция и(?) определяется выражением

о(£) - + ш/£), где Я - (а + Ъ)/2, т - (а - Ь)/(а + Ь). (1.55)

2. Общие формулы термоупругости изотропного тела

2.1. Общие формулы гермоупругости для произвольной области

Будем предполгать, что изотропное тело занимает на плоскости комплексного переменного г - х + 1у конечную односвязную область Б, ограниченную замкнутм гладким контуром Ь, и находится в состоянии плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния, а его температура Т = Т(г,у) является гармонической функцией и определяется выражением Т =» Не Фй(г). В этом случае, как показано в работе [1], компоненты напряжений и смещений определяются по формулам

ах + .а = 2[Ф(г) + ФЩ], (2.1)

су - ах + ZlXzy = 2ÍZ ® (2) + 0(s)], (2.2)

2uíu 4- lv) = ж со(2) - sOÜT - (2) + (2.3)

где ш(г) - f C(z)áz, <px(z) = Г V(z)áz, = f QQ(z)dz,

x - 3 - ¿v, ñ = Eoq • в случаэ плоской деформации,

эе= (3-г')/(1+v), 6=Eoq/(1+v) для плоского напряженного состояния;

ц = E/2(1 +г>) - модуль сдвига; Е и v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона; Ф(2) и ©(2) - аналитические функции, опредлекные в области S; Ф'(■£) = á<p(z)/áz.

Эти формулы совместно с приведенными выие общими формулами для температурноно поля являются основополагающими при решении основных граничных задач термоупругости для различных областей. Они отличаются от общеизвестных формул отсутствием б (2.1) и (2.2) слагаемых, звисящих от температуры. По этой ричпке применение их позволяет проводить исследования температурных напряжений с максимальной эффективностью к ггк: минимальных математических трудностях.

Применяя (£.1) и (2.2), можно получить еще две известные формулы:

X - 1Y = - i[e(z) + + ЩТг)}1

í,:3 = Reiyj.z) - zi^iz) - z z S(s)(2-4)

%(2) = J Ul.. (Z) q2

также явно независящие от температуры. Здесь X к Y - проекции

дуги bij г. о no отношению к HamjcíBJiíн«1Ь; от точк*' п. к -D; "-q ~ момент этих напряжений относительно начала координат; символ E...Í? обозначает ггаиоащекие выражения в скобках нз значениях 2 в

л - - *

точках А и В.

Формулы (2.4) дают возможность найти особенности комплексных потенциалов в точках приложения сосредоточенной силы, пары сил и источника тепла. Так, если в точке 2 = е S имеется линейный источник тепла мощности Oq, то в окрестности этой точки функции 00(2), С(2) и С(г) определяются выражениями

е0(2) = гг,01п(2-20) + ©q (2) (2.5)

<¡>(z) - A0ln(z-2Q) + Фа(2)

(2.5)

Ф (z) = -A QzQ/(z-zQ) + <2¿(z)

де itiq = -ад/2тс1с, Ag = Pq0/2ití<.( 1+эе), Фд, - голоморфные

ункции.

При выводе этих формул следует считать, что дуга АВ в (2.4) окружность Lq малого радиуса с центром в точке zQ, а затем оложить X+iY=0, Мд=Ои использовать условие однозначности мещений и и и при однократном обходе точки zQ по окружности Lg. епгение этого вопроса путем использования других известных формул азызэет математические трудности.

Ка основании (2.Í) и (2.2) следует, что, если S - конечная цносвязная область, то температурное поле не еызкеээт напряжений теле, находящемся в обобщенном плоском напряженном состоянии зд действием внешней силовой нагрузки. 2сли же тело, занимающее зкую область, находится в состоянии плоской деформации, а {е'лняя нагрузка на контуре области отсутствует, то комонектк-эпряжекий отделяются соотношениями аг = о^ = О, = О,

vz ~ ^yz = az = - н , где otg - линейный коэффициент

>плового расширения. В этом легко убедиться, учитывая, что

е„„ = - Ча„ - Y(ar to,)l + cuT = О

Т-| ¿j Ju ¿j <J

что ax - oy - 0.

Следуя Мусхелишвили, приведенные выие общие формулы можно ©образовать к виду, наиболее удобному при тзешении основных 1аничЕых задач термоупругости для конкретных областей. Ниже «ведены представления общих формул в преобразованном виде для которых из таких областей.

2.2. Общие формулы трмоупругости для полуплоскости

• Считая, для определнности, что изотропное тело занимает ласть S~ (у « 0), представляющую собой нижнюю полуплосость на

* «

плоскости комплексного переменного 2 - х + 1у, найдем, чт< компоненты напряжений и смещений определяются по формулам

ах + оу = 2[Ф(г) + 0(2)], (2.6)

оу - 1т = в(2) - Ф(2) + (г - 2)^12), (2.7)

2ц — (и + 1и) = геф(г) - 0(г) - (г-г)?7"?!) + ¡30п(г) (2.3) ' ел; и

2и(и + IV) = ж ф(г) + ф(2) - (г - 2)5(2) + рЭ^(г) (2.9)

где ц, х, В ■ - величины, определенные выше; Яд (2) -комплексный потнциал температуры Т = Ие С:0(г), = / ф0(г) йз.

2.3. Общие формулы термоупругости для области, ограниченной окружностью

Если тело занимает область Б * (\г\ « й) или Б" (|2| > Н), ограниченную окружностью Ъ радиуса \г[ = Е, то компоненты напряжений ог, Од, т„д в полярных координатах к компоненты смещений и, у в декартовых координатах в занимаемой телом области определяются по формулам

аг + о0 = 2(0(2) + Ф(г)] (2.10)

Я2 9 й2 .

°Г + 1п;г8 = " Ф(Н /2) + '(1 - [5*27 - 2 ЕНзЛ (2.11)

д И2 о

2ц — (и + 1г>) = 12 С эе 0(2) + 0(^/2) -ез тг

- (1 - Й2/^) [ф(2) - 2 Ф'(2)] .+ рФА(г) } (2.12)

——

2ц(и + IV) = к ф(2) + ф(—) - (1 - СгФ(2) + (5Э0(2)] (2.13)

При этом между Ф(2) и Ф(2) существует зависимость

(2.14)

н2 н2 н2 н2 н2

0(2) = - ) + — 5'(—) + 2?(—) г 2 2 2 2'

шенщая место для г не принадлежащих области, занимаемой телом.

В случае, когда тело занимает область будем считать,

но функции Ф(г), Ф(2) и Фд(г) голоморфны в Б", а при Золыпих |г| представимы рядами

а „ а

Ф (2) = Г + - +

г

0(2) = Г +

+___

(2.15)

где

- 7 + V + 1ссс

(О у-о

1 + эе

2х

+ ЭЬ,),

гае

1 + а>

(2.16)

1 + 1У*)

[-:--0ЬА],

1 + зе

2тс

2ц;

Зи ди

£_ = (----; - вращение на бесконечности,

дх ду

- произвольная постоянная: ах , Оу , т^ - компоненты напряжений на бесконечности: (ХА, УА) - проекции главного вектора внешней агрузки на контуре Ь; Мд - главный момент нагрузки на Ь; Г0 - вещественная постоянная.

+

1

Выражения (2.16) можно получить, используя формулы (2.1; (2.3) и (2.4) для окружности достаточно большого радиуса z » const и требуя, чтобы при обходе по такой окружности смещеь и и и являлись однозначными величинами.

При этом из (2.14) следует, что функция Ф(з) голоморф всбду в области S+ (незанимаемой телом), кроме точки 2=0, окрестности которой она имеет вид

R2 Г

Ф(2) = -JT- + - + голокоофная функция (2.1

Z Z

В случае, когда тело занимает область S+, буде предполагать, что Ф(г), ®{z) и - голоморфны в s.

области. При этом согласно (2.14) функция Ф(г) тоже буд голоморфна в области S-. Но так как компоненты напряжений долхс принимать конечные значния в точке z = 0, то для еыполкэн; этого условия необходимо и достаточно, чтобы коаффициея' разложения функции Ф(£) для z » О к )z]

о

Ф(2) = Aq + АчЗ + a2s + ,для 3 * 0

(2.2Ï

.A(z) = Bq -i- Bj/s + В2/2л 4- ... для ls| « со

удовлетворяли соотношениям

В1 = 0, AQ + BQ = 0 (2.1£

В атом легко убедиться, используя формулу (2.11).

При ©q(z) = <f>¿(z) = 0 (2.10) - (2.13) превращаются известные формулы, полученные Н.И.Мусхелишвили [3], предствленны в несколько другом виде.

Таким образом, если тело занимает область S+ или S~, а er стационарный нагрев осутцествлятся только через бокову поверхность на контуре L, то упругое состояние тела определятс по формулам (2.10) - (2.14) с учетом (2.16) - (2.19). К ни следует присоединить формулу

о2 = v(or + ое) - ctg Е Т(г,0) (2.20

если тело находится в остоянии плоской деформации. Если тело находится в обобщенном плоском напряженном состоянии (пластинка постоянной толщины), то ри этом предполагается, что его торцевые плоские поверхности теплоизолированы и свободна от внштгах сил.

Рассмотрим ростейший пример, считая, что тело находится в • состоянии плоской деформации, занимает область Б", нагрузка на Ь и на бесконечности отсутствует, а температурное поле определяется функцией Ф0(2),удовлетворящей услова (2.15) на бесконечности. В этом случае согласно (2.11) получаем

<Г(1;) - =0 на Ь (2.21)

"ТА — 4-

где % = И е ; Ф (X) и Ф (^ - предельные значения функции Ф(г) на Ь со стороны областей 8_ и

Равенству (2.21) с учетом сказанного выше о нагрузке и соотношений (2.15) - (2.17) удовлетворим, полагая

Ф(2) ---— — (г е Б + Б+) (2.22)

(1 + зе)г

Применяя затем формулы (2.10), (2.11), (2.20), нвйдэм выражения напряжений ог, о0, тгд, а2 в области Б". Отсюда .».•следует, что температурное поле Т, для которого 0, не

оказывает влияния на значения напряжений аг, о0, тг0. В этом случае напряжения а2, согласно (2.20), определяются выражением а„ <= - аоЕТ(г,0), поскольку а = о0 = О всюду в области Б-. Если же тело занимает область Б и нагрузка на Ь отсутствует, то функция Ф(2) также должна удовлетвроять граничному условию (2.21). Удовлетворяя ему, находим Ф(г) - О для 2 е 3++ Б-. Следовательно, в этом случае ог = ад = тгд " всюду в области Б"1".

2.4. Общие формулы термоупругости для плоскости, разрезанной на отрезках прямой

Пусть изотропное тело заимает всю плоскость комплексного переменного 2 = х +\у, за исключением п отрезков Ь^ = а^Ь^ ' на оси у - 0. Обозначим эту область (плоскость с п разрезами)

¿ через . S, а объединение отрезков L^ - через I. Для нахождения "-.напряжений и смещений в згой области следует воспользоваться

фО Ел'УЛОтжТ

(2.23)

(2.24)

(2.25)

, 2а (u + iv) = a> <р(2) - ь>(2) - {z - z) Щ1) + ß ipÁ(z) (2.26)

их можно получить,- змнкв в (2.7) - (2.9) Ф(2) и <p(z) на - CJ(z) и - (J(z). Остальные функции сохраняются в прежнем виде. При £>q(2) = = О эти формулы превращаются в известные

формулы Н.К.Мусхелишвили.

Для нахождения выражения функция £>q(2) - комплексного потенциала те?.5пэратуры Т, следует восользобзться такими формулами ÍÍJ:

о„ + о„ = 2СФ(2) + S(2)J,

G,. - It = O(Z) 4- П(2) + (2 - 2) Ф (2)

ô -2а — (u + It) <= ae O(z) - П(2) - (a - z) WJz) + 8 ®n(s) -V ar u

Pc(2) + Qq(S) « T + in,

У

a

F(2) +■ Q (2) = — (T + in) (2.27)

dx

8

F(z) - Q(s) = - i —(T + ir¡)

где Fq(2) « S F(s) ds; QQ(z) = J Q(2) cte; F(2) и Q(z) -произвольные голоморфные функции в области S; tj = г](х,у) -вспомогательная гармоническая функция. Граничные условия для нес на крае разреза считаются нулевые:, аналогично (1.13). Выражен"»;? 'i'Q\Z ) ív':0!i2í0 hcliîtiî по формуле

00(2) = р0(2) + Од(2), Т = И9 8д(г). (2.28

При решении конкртных задач используются заданные условия н! бесконечности и на краях разреза для напряженного состояния ]

иягературного поля.

2.5. Общие формулы термоупругости для изотропной плоскости с разрезай: каокру;;:кости

Предоложим теперь, что тело занимает всю плоскость S 1мплексного пременного z = г'+ iy = ге10, разрезанную нз тах. In, - ctjfbjj окружности \z\ =■ R о направление!-: обхода ' точек а,^ и Ъ^ против поворота часовой стрелки. Кроя этих срезов fco стороны областей S4" (г « R) к S- (г » R) будем ¡означать Lt и LГТпи этом, как обычно, поедполагазтся.

Л. Л. * _" ,

'о точки z =s t € не принадлежат области S и S . В этом случае, полагая

о о О О О

5>(z) = П (—) + — Ф'(д-) + ^ 0(~) (2.29!

[йдем, что компоненты напрякэний к смещений определяются по рмулам, которые мокко получить из (2.10) - (2.13), заменив

н2 . • - . r r2 r2

—') и <р{~) на - Q(—— ) и -ш(—) соответствекнс. Зсэ

Z. Z Z 'Z

тельные обозначения отаются неизменны;«!.

- - -

спользоваться формулами

Fq(z) + s Q0(R2/z) = T + 1г|,

R о о id

Hz) + s(-r QfR Jz) ----(T + in) (2.30)

г г (59 '

R о ч о ô

F(z) - s Q(R/z) = e—9 gj (T-+ it])

e ©Q(a) = FQ(z) + s Q(R2/z), FQ(z).= f F(z) dr,

Q0(z) = J Q(z) dz, F(z) и Q(z) -

произвольные голоморфные функции в области 3; е - + 1; т] -вспомогательная гармоническая функция с нулевыми граничным! условиями на краях разрезов и Ь^4 (аналогично (1.13)).

При решении конкретных задач наряду с граничными условиям на краях разрза и на бесконечности, используются условш однозначности смещений и температуры Т = Т(г,9) при обходе каждой из дуг. Ь^.

2.6. Общие формулы термоупругости для бесконечной области с отверстием, отображаемой на внешность круга при помощи рациональной функции

Пусть тело занимает бесконечную область Б" на плоскости комплесного переменного г х + 1у, ограниченную гладки, замкнутым контуром Ь. И пусть г = ш(£) - соотношение, дающее конформное отображение облети Б- на область Б" ( £ » 1) I плоскости комплексного переменного £ = р 'е10. Будем считать, чзс координаты х я у точек на Ь .имеют непрерывные, производил по гуге 3 до второго порядка включительно. При этом условж

/ xi чи* () }1с)Имоо14о тзодиЛ'1и!мы контуо { ; с, { = а / 5 области и щ'(5) Н О в области £ 1.

В этом случае, используя формулы (2,1) - (2.3), моанс доказать, что компоненты напряжений ар, ав, Трд I

криволинейных коорднатах и компоненты смещений и, v I

декартовых координатах в рассматриваемой области определяют^ соотношениями

ор + о0 - 2ГФ(£) + Ф(£)] (2.31;

(о + 0) ы»(£) = «»(6) Ф(5) - (1/р2) ¿»(1/1) Ф(1/ё) + ''

(2.32]

+ Ги»(5) - (1/Р2) ы'(1/1)1 Ш.) ~ (р/5)2 М£) - «(!/£)3 ЗРИТ, '

д 1 2ц —(u + it») - Щэе о'(?) Ф(С) + -g ш'(1/?) 0(1/5) сВ оJ

- (?) - -„ я-с./?): - гм'-п - t,Ax'c): ~ •

+ Р Ы»(£) fflgCg)}

2u(u + iy) = зе <р(£) + m(l/|) -

- --------(2.34)

Ги(|) - u(l/g)] 0(5) + (ЗфА(5)

где ©0 (?•)".>+ s Т = Re 00tg)- (2-35)

У*(б) - f 00(5) d*, ?0(f) - функция, определяемая ка основании (1.41) - (1.44).

Полагая б этих ¡формулах ®q(£) = <fq<?) = g- получим формулы й.Н.Карццвадзе, представленные в несколько ином виде.

При использовании этих фор;,тул основной функцией, подлежащей нахождении в первую очередь, является функция со'(5) $(?)» р определенная в об определяется так:

. определенная в областях Dr и D4" (| ? | « 1). Ее выражение в D+

1

? Г " У Г s

(С € D+) (2.36)

w'(5) ф(5) = - Ш' (5) Ф(-) 4- -р tu(5) ©•(-) + U'(-) ®(-)3

п+

где Ф'(5) = d®/d?, и'(?) = dco/d?.

Отсюда следует, что если функции со'(С) Ф(С) и w(5) ©(£) голоморфны в D", то ш'(5) Ф(?) в D+ может иметь особенность типа полюса конечного порядка в точках, положение которых зависит от вида функции и(5). В случае, когда отображающая функция определяется соотношением z = и(£) = R(£ + m/£n), nm « 1, где n - целое полокительнов число, функция w(£) Ф(£) голоморфна всюду в D*", кроме точки 1-0, в которой ока может иметь полис не выла порядка n + 1 при условии, что компоненты напряжений оц, т™ на бесконечности постоянные величины.

Полагая, что контур L есть эллипс и что фуэкции Ф(г), ®(z), ®q(2) - голоморфны в S" и при больших z удовлетворяют условиям (2.15), найдем, что в D+ функция u'(£) определяется

выражением

W(?) Ф(£) = В(£) + голоморфная функция, (2.37)

где -

(шГ + Г')R b®

В(?)--~2- + — (2.38)

I I

Все остальные обозначения такие, как в параграфе 2. I области D" при больших | f i функция w (£) Ф(£) определяем тагам выражением:

и'(£) Ф(С) = Г R + аю /е + о(1/£2) (2.39;

При нулевой внешней нагрузке на L функция со' (£) Ф(£) должна удовлетворять граничному условию

ио'(а) Ф(а)]~ - Ы{а)' Ф(а)]+ = 0 на 7 (2.4Q

1 я

где а - в - значения £ на контуре ||| = 1. Знаками (+) ¡ (-) справа вверху при вадратных скобках обозначены предельны« выражения функции ш'(?) Ф(£) на 7 со стороны областей' D и D". Решение этой граничной задачи с учетом (2.37) - (2.39 следует записать в виде

ы'(£) Ф(£) = ГЛ + В(?) для £ е D~ + D+ ' (2.41

Используя затем формулы (2.31), (2.32), можно найт: компоненты напряжений Op, aQ, Значения oz при плоско:

деформации тела мокно найти по формуле

- <> '_ г* ^ ,-í ^ гГ\ с. 'I f Г? 'О

о

где Т = Т(р,0) - функция, определенная по формуле (2.35). "

3. О приложений преобразований Фурье в задачах термоупругости

3 начале 50-х годов появился новый метод решения граничных задач- математической фзики, основанный на использовании интегральных преобразований Фурье. Обычно он применяется для областей, ограниченных прямой или параллельными прямыми (если речь идет о двумерных областях). Суть его заключается в следующем. Применяя преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям и граничным условиям для искомой величины, находятся их изображения по Фурье. А затем по формулам обращения находятся сами оригиналы. Последний этап решения, как известно, представляет математические трудности.

В статье автора С1] предложен более эффективный метод, основанный на использовании преобразований Фурье только для граничных условий и ке требующий применения формул обращения. Применение этого метода к некоторым задачам изгиба пластин и плоской задаче теории упругости для полосы, лежащей на упругой полуплоскости, содержится в работе С2]. Ниже в качестве примера рассматривается стационарная задача - для температурного поля полосы.

Пусть температура Т = Т{х,у) - гармоническая в области S-(-h. у О), ограниченной прямыми L (у = 0) и Lj (у - -Ю-Предположим, что граничные условия заданы в виде

ST

Т = i(t) на L, — = 0 на L,, (3.1)

ду 1

где £(t) - вещественная функция, стремящаяся к нулю на ю , абсолютно интегрируемая на L и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном интервале (-1 « t « I).

В этом случае ее можно представить интгралами Фурье

«О !«>"•'

= f М<*>' 0lat ito. где F.(a):.« — Г F(t) e~iat eft'- " '

преобразование. Фурье функции f(t). Первую из этих формул можно представить в виде

f(t) - s fA<«) eiat da + S **H*) e"iat а»"-' (3.2)

О — ®

Используя затем формулы (1.9) и (1.11) при е » получаем

*5<t) - ig(t) - f(t) на L (3.3)

lm CFitj) + F(tj)] =0 на Ъх, (3.4)

d

где tj = x - ill, ij = x + lh; P(z) = —Pq(z).

dz

Поскольку T = Re tPg(z) F0(z)], то для нахождения температурь Т(х,у) в S" достаточно найти выражения функции F0(z).

Как легко видеть, условии (3.3) удовлетворим, полагая

?0(z) = fj(2) + <Pj(2) + ф2(2) для 2 е S , Fq(2) » - fg(^) + </>l(2) + (Р2'2' ДЛЯ Z € S+'

где

í, (2) - г P. (a) 9laz da, îo(s) - / ïA(-a) e~ia2 da, 1 5 * а о *■

<Pj(2) - j qj (a) da, = ¿ J-2>a'-^

a, Да) - ппоизвольнке функции вещественного аргумента. Учитывая затем, что

Р(2) = i J F. (a) a eiaz da + 1 J q1 (a)..a eiaz da'- ' о о

- i J q?(a) a &~la2 da (2 e S") о

F(s) - l.J F. (-a) a e~íaz da + i f q1 (a):a elaz da- ' > . о о l~ :

-Л J q2(a) a e-laZ (2 £ S+)

и используя условия (3.4), находим

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Ие ( X (0{(а) в1ах + 02(а) э"1аг) (За) - 0 (3.8)

где О, (а) л Сд (а) - выражения, звисящие линейным образом от 0}(а), и 1,*(±сс)- Для того, чтобы соотношение

(3.3) имело место для любых х необходимо и достаточно, чтобы

(а) = 0 и <32(а) - О. , (3.9)

Решив эти уравнения, найдем выражения функций , а,

следовательно, и выражение функции ?Q(z).

Поступая аналогичным обр^ом, можно получить решения многих других за дач твокоупругости для областей, огракгч-г":тцх параллельными прямы**!*! .

4. оошиэ Формулы теор/П-1 упругоети и термоу пиугостп для анизотропной полуплоскости и плоскости с разрезом на прямой

Анизотропные материалы и состоящие из них элементы конструкций имеют широкое применение в строительстве и технике. Поэтому исследование напряжнного состояния в таких телах является актуальной задачей теории упругости и термоупругости анизотропного тела. Большое внимание в ней уделено р'лвшю задач для анизотропных тел, находящихся в состоянии плоской деформации или в плоском напряженном состоянии. Наиболее сложными из них являются смешанные задачи (т.е. задачи со смешанными граничными условиями). К ним относятся также все контактные задачи (задачи о давлении абсолютно жестких тел на анизотропное тело). Математические трудности решения всякой конкретной задачи зависят как от сложности граничных условий, так и от формы области Б, занимаемой телом. В дальнейшем будем предполагать, что область Б представляет собой*полуплоскость Б" (у « 0), ограничнную прямой Ъ (у - О), или плоскость, разрезанную по отрезку I ( |х| « а) на вещественной оси. Вывод общих формул для таких областей и решения ряда граничных задач изложены в книге автора 133. Здесь будут приведены лишь основные формулы, необходимые для решения конкретных задач.

4.1. Общие формулы термоупругости квазиизотропного тела

Пусть трехмерное тело находится в состоянии плоской деформации, закон Гука для которого определяется соотношениями (соотношения Дюгаделя-Неймана)

ди

вхх "= а11°х + а12ву + а13°2 + Р11Т "

ди

9уу " а12°х + вггау + а23°г + ^22Т

= а13°Г + а23 °у + а33°2 + Рзэт = ^

ди ди

Ъл/ ~ Ч&ху дх душ

гдо з.* * - коэффициенты упругости; ¡3^ - температурные коэффицинты линейного расширения; Т(г,у) - температура тела, удовлетворяющая уравнению тплопроводкости

сг2Т ' ср1

-"41 ТЗ + ^2 —7 = 0 всюду в области тела (4.2)

. и мл - коэффициенты теплопроводности з направлениях,

1 1 ^»о " *

параллельных осям х и у.

Исключив с,, в уравнениях (4.1), получаем

ди

с11°х + с12°у + а1Т =

ди

- с—о,, ->- сцт = —, (4.3)

1 ^ -о К 'V С. ,

ди ди оЬ ^ дх ду

а,

г

где о^- - Р33а1з/аззг а^ а^ - а^а-^/а.^ (I - 1, г).

В дальнейшем будем считать, что массовые силы отсутствуют, внешняя нагрузка не зависит от времени, а температура тела Т изменяется настолько медленно, что силам: инерции мохно пренебречь," коэфициенты. а^ и не зависят от координат и температуры. При этом -компоненты напрякний ах, о^, т^у долгий удовлетворять уравнениям равновесия

дх 8у дх ду

Этому требованию удовлетворим, полагая

д2и д2и д2и

дх ду

где и = и(х,у) - произвольная функция (функция напряжений), имеющая непрерывные частные производные до 4-го порядка.

Исключив в (4.3) компоненты перемещений и и и, получи/, уравнение (4.7)

а4!/ з% а4?/ д2т з2т

°22 5? + + сва' йг^г+ С11 ли + & + а1 ^ -с

Очевидно, что уравнение (4.2) булет выполняться, если положить

Т - Не Р0(!), (4.3)

где - произвольная аналитическая функция комплексного

аргумента £ » х +1Л0у (к0 » О), А0= к^/^. -Будэм считать, то , - известная функция. Тогда (4.7) мокно рассматривать

<ак неоднородное дифференциальное уравнение относительно функции /. Его общее решение можно представить в виде II - и0 + и^, ' 'де 00 - общее решение однородного уравнения

• с22 > <2с12 - а66). ¿¿ф *, °иу/ Г:Я ' (4-9) Г1 '- какое-либо частное решение уравнения (4.7). "

Очевидно, что уравнение (4.9) Судет выполняться, если

и0 " 2 - X + цу, (4.10

где (г) - произвольная функция, имеющая непрерывные производит до 4-го порядка включительно; ц - комплексное число удовлетворяющее уравнению . •

+ *2с12 * + °22 ° °Л - '(4.11,

Поскольку коэффициенты вгого уравнения вещественные величины, тс для реальных тел оно имеет две пары комплексно сопряженных корне!

Н = и ц - ' "(к » 1, 2).. " •

Для любого ортотроного тела - мнимые числа, . представшие I виде ^ = (у^ » 0). Ортотройное тело, для которого корн*

уравнения (4.11) - кратные,' в , дальнейшем называете? квазиизотропнда. В этом случае •будем считать, что «= IX, ^ - X <к = 1, 2)

. СЛУЧ1: КС-аТНЫХ,. го^у"""« ~£Г0ЛЗГВЯ и, — ;/■Г-Н гТСОт

усаёКс<н}1о (4.11) пйнкнл;аоТ ^_. ~- * -

с;1д.4 - (2с<2 + св5) X? т'с^'ЧС.- •'-."./'. т :- . (4.12)

Для существования кратных коэней этого, уравнения необходимо,

'" * -

чтобы коэффициенты упругости удовлетворяли.условию

2с12 + с66 = 2 ( с11с12-)1^2 . ' ' (4ЛЗ) Следовательно, в этом случае • ,..

X = + ( С22/СИ)1/4, (4.1

а уравнение (4.9) принимает вид г

9 а2 а2 ? ,

<* 5? * "о (4'15}

Уравнению (4.15) удовлетворим, полагая

, UQ = Re C(z - z) 9(2) - %(z) + x(z)J (4.16)

где- %(z) - J p(z) da, <p(z) - произвольная аналитичекая функция комплксного аргумента z - х + iXy » О). При этом согласно (4.6) и (4.16) компоненты напряжений определяются по формулам

+ а2ах - 2[®(z) + Ф~(z)l (а - 1/Д.), (4.17)

. Оу - iatjy = ®(z) - Ф(5) + (z - 2) Ф»(г) (4.18)

Выражение функции будем искать в виде

Uj - Be tag F*(£)]f g - г + IAqJ/, (4.19)

где Пд - произвольный вщественный коэфициент;

-2 J?*(g> = в0(5), • Re 0Q(S) = Т. полагая в (4.7) U « U^ с учетом (4.14), находим п~ = (а, Л.5 - ао)/Д(Хо),

u' i \J fTj'

\ ** • А. О

A(X0) = 022 - 2 ( cnc22)X/2 XI + cn^ '

но так как A(\) = c23 - 2 ( clicz2)1/2 Z + o^ X4- = 0,

то M^g)-можно, следуя А.К.Уздалеву, представить в виде

Д(Л,0) - (Х§ - А.2)2 си. (4.21)

Следовательно, компоненты напряжений ох, о^, т^ с учетом температурного поля определяются по формулам

7у + 2[Ф(г) + Ф(г) ] + Пд(1 - Я.§А2) Re. (4.22)

С7„ - i» Ф(2) - Ф(2) + (Z - 2) Ф'(г) 4

(4.23)

+ С пд(1 - Kq/Z.) ß/vQ(t)-

При этом компоненты смещений определяются по таким формулам

.9 _ ---.

2цд— (u + lau) - ае Ф(г) + Ф(г) - (z - z) Ф' (г)-+ - ———

+ ßjfflo«) + Р2®0<®)-- <4-24)

2Hq (и + lau) = se <p(z) + <p(z) - {z - z) $(z) +

+ PjV*«) + PtfftfJ) (4.25)

где

ЗА,*' + с^^/с^^

ж = —- > 2Цд= 1/(Л.2- C^/CjjJCJJ

Л. - с12/сп

(4.26)

Зо = di^/Xr.), ß. » i.u(G/ J- acuA.~)

^ •_/ i r^U 4 ¿ 1 '-í 1 (i и

3 случае плоского напряженного состояния в соотношениях (4.7) - (4.26) коэффициенты o^j следует заменить на а^.

Соотношения (4.22) - (4.26) являются основными' общими формулами термоупругого состояния квазиизотропного тела, заимающего одну из полуплоскостей: S~ (у < О) или S+ (у » 0), ограниченную прямой L (у - 0). Для определенности в дальнейшем будем считать, что тело занимает область S- и что на бесконечности компоненты напряжения ах, оу, х^у и температура Т являются постоянными величинами с™', о^ , i^y , Тш. .

Для . нахождения . функции ©q(ü. следует воспользоваться формулми (аналогично (1.9) - (1.11)):

F0(6) + е P0<¡).- Т + 1-п

(4.31)

- д

г<6> + ^Р(С) - — <т + 1tj)

дх

_ а

F(E) - s F(S) =■ - i — (Г + ltj)An, (4.31)

dy

где e » ± 1,. £q(5) - J F(£) <2£; fj ™ "П^.у) _ вспомогательная гармоническая функция (принцип ее задания на L - такой же, как в

§ 1.2).ьНа основании первой из этих формул следует, что

®0(5) - №0(Е) + s iQ(S)3 (4.32) '

Используя соотношения для плотностей потока тепла

ОТ <ЗТ

q_.- - k< —, q - - ко —(4.33) х 1 дх У гду

получим, соглсно (4.31), формулы

Qg ~ ~ L х \ ?) ~ -(i)*'

Чу = Ч х0 1111 №<5> + е

(4.34)

_ Заменяя_в (4.27) - (4J34) Ф(5) на - fi(z), <р(5) на -ui(z), ?q(?) на Qg(|), F(£) на Q(?), получим формулы для-лоскости с разрезом на прямой у => 0.

4.2. Общие формулы термоупругости для анизотропной

полуплоскости и плоскости с прямолинейным разрезом СЗ]

Пусть аниотропное тело, находящееся в состоянии плоской реформации, занимает нижнюю полуплоскость S- (у < 0), ограничению прямой L (у = 0). Будем чситать, что оно обладает фямолинейной анизотропией, одно из главных направлений упругости гоорого перпендикулярно к области S"; массовые силы отсутствуют; сомпоненты напряжений ах, Оу, , i^y удовлетворяют урвнениям твновесия (4.5) и соотношениям Дюгамеля-Неймана

ди

а11ах + а12°у + а13аг + а16т2у + " & "

<зу .

а12°г + ^2°!/ + + + Р22Т ' ТТ " '

(4.35)

а13°х + *23Ру + азз°2 + в36хху + РЗЗТ = 0 - ег '

ди ди

а16°х + «26°^ 4 »36^ + Ч&ху ~ гРб6Т = ^ + ^ = Уху, (4.35) где Т(х,у) - функция, удовлетворяющая уравнению теплороводности

с^Т (Ат (З2!

л,.. —?-т 2X4 о - * Хоо —— 0 (4.36)

" (12^ <1г ^

Л.ч^ и а^, - вщественные коэффициенты (а^, ¡3^,

положительные).

Ислючая а2 в уравнениях (4.35), получаем

ди

С11 °т + с12°у + с\6^ху + а1Т = ^ '

ди

с\2°х + с22°у + с26^у + °2Т = ^ ■ С4-37*

<3и би

с16°2 + с26°у + с66тгу - 2а6Г = - ^ * ^

Исключая в этих соотношениях и, V, о учетом (4.6), имеем

а4и а4!! а4и э4и

¡по —7 — 2Сос —--(2с<с + С^е) —Я—о - 2с, с -тт + .

2<г дх4 2Ь 16 66 16 д^ЗуЗ -

С'

d4!! с^Т d2T с^Т (4.38)

+ е.. —г + <к> —7 + - + —гу = .<Э '

11 <2у4 л dir dx йу 1 dy* " ;

Этому уравнению удовлетворим, полагая (СЗ], стр.113),

и - 2 Ее С + + г^ Х0(£) + г0 Х(Ц1): Ь (4-39)

где и ) - ' произвольные аналитически а функции

комплексных аргументов- г^ - х + £ - х + Хду, . и А.д -'

корни уравнения

сиц4 - 2с16ц3 + <2с13 + с66) (х2 - 2с26ц + с22 = 0, : '

+ Щг7" + (Т - Ив б0(5));

Пд - праметр, который, следуя Уздалеву А.К., ксжно представить з виде

'а1 Х0 + 2 «5 4 °2 Од---, Г0 = ЕПд,

2с11 } > )

зчитая Т - Ие Е(^) + 5 Р0(£)); - произвольные

«ээффициэнты; к - индекс, по которому необходимо выполнить зуммирование. Производные функций (4.39) будем обозначать

——-9(3); —-0(2) (г = г,,)

йг

<3£ . и сг?

Для нахождения выражения Р(5) следует воспользоваться ©отношениями (3)

. ?~{х) + е Р+(х)'= Цх) на Ь, :'

' .......(4.40)

б Р+(х)Г» ЯдСх):., на Б,

сЯ г

1/2

да" . Г(х) = —, .ОоТх) - плотность потока тепла; е - + 1; Ох

ГА

аед « ( к) ] к22) ; и - коэффициенты теплопроводности в главных направлениях; ¿"(.г) и ?+(х) - предельные значены функции Р(€) на Ь со стороны областей в'и 2+ (у » 0).

Используя формулы (4.6), (4.39) и (4.37), находим

ах - 2 Ие ЕБк Ф<гк) + пк Ф(2^.) + П01, : •

Оу = 2 Ие СБ^ Ф(я) + пк + : ; (4.41)

^ху = - 2 Не (Бк ^ Ф(г) + пк рк Ф(гк) + ■ . (4.41)

ди

2 Яе СЗк рк Ф(як) + пк р^. Ф(гк) +03], : ■

дх

д1)

— = 2 Ее Ф(2к) + пк Чк Ф(гк) 4 П41

(4.42)

где р£ и qk - известные величины, зависящие от цк; 0к - функции, зависящие от Г0(£), Р(£) и , ?0(гк), выражение которых

можно найти, используя соотношения (4.40).

Распоряжаясь затем значениями параметров Бк и пк (к - 1, 2), получаем следующие соотношения

Ф~{х) - Ф+(х) = 1{х) на Ь ае Ф~(х) + Ф+(х) = д (г) на I, где [3] 1{х) = оу + Ч *ху -

(4.43)

д

4 <®> - Мо <и'- П " 1 (ЗЬ)Ь'-

г0(г) = + - (пд + пд), :;-' Яо(аг) » П3 + Пд - Т1 (04 + П4), ^:•

йк <Рк - V Як) " 1 .

ае -- , ^ - г-_ "' ■ . " .........(4.44)

и "¡с Як> "^

Здесь, как и в (4.41), (4.42),, по индексу к необходимо выполнить суммирование.

Доказано, что эе и ^ - вествэнныэ положительные вличивд; т) -комплексное число. Для случая ортотропного тела ц^ = 1 (7к » 0). При этом 1} - - 1/ (71Т2>1/2 .5

<7172>1/2 <7г+ Т2> + Т172 + с12/с11 ''

ае --туп-

^1^2' <71 + 72 > " 7!73 - с^/с,, "

(4.45)

1

■И° " <71 + 72) - 7172 ~ с12/с111 °11 '

В случае плоского напряженного состояния с^ следует зменить на а^.

Распоряжаясь значениями коэффициентов в выражениях П^, можно потребовать, чтобы на Ь выполнялось одно из условий:' Г0(х) - О или ч0(х) = О. При этом нахождение выражения Ф(гк) на основании соотношений (4.43) и заданных физических граничных условиях на Ь является весьма простой задачей.

Заменив в (4.41), (4.42) 0(5,.) и на -П(2-.) я ¡3(?),

ли' л.

получим общие формулы термоупругости для плоскости с разрезом на отрезках вещественной оси.

Более полное, изложение этого вопроса содержится в работе

[3].

По теме исседования автором опубликованы следующие работы,

составляющие основу данного научного доклада: Монографии -

1. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости. Минск, Изд-во БГУ, 1972.

2. Прусов И.А. Метод сопряжения в теории изгиба плит. Минск, Изд-во БГУ, 1975. 250 с.

3. Прусов И.А. Термоупругие анизотропные пластинки. Минск, Изд-во БГУ, 1978. 200 с.

4. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. Минск, Изд-во БГУ, 1987. 180 с.

Статьи -

5. Прусов И.А. Об одном решении первой и второй основных задач теории упругости для полосы, лежащей на упругой полуплоскости. Изв.АН СССР, сер."Механика и машиностроение19S4, J& 4.

6. Прусов И.А. Об одном новом представлении общих формул термоупругости для анизотропной полуплоскости и анизотропной плоскости с разрезами. Весц1 АН БССР, сер.ф!з.-мат. навук, 1976, J6 3.

7. Прусов И.А., Савенков A.B. .Представление общих формул упругости для спаянных анизотропных полуплоскостей с разрезами на линии спая. Дап. в ВИНИТИ, 1977, Л 1830-77.

8. Прусов И.А. О новом представлении общих формул термоупругости изотропного тела. Тез.докл.Всес.конф. по тепловым напряжениям, Канев, 1968.