Осреднение уравнений с особенностями в коэффициентах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

Г Г П п -» I • Л •.

На правах рукописи УДК 516.9

Иванова Ольга Александровна

ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

. Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор кафедры вычислительной математики Г.П. Панасенко.

Официальные оппоненты: доктор . физико-математических наук

профессор С.Ю. Доброхотов, кандидат физико-математических наук старший иаучиый сотрудник Кукаркин А. Б.

Ведущая организация — МИН Г имени Губкина.

Защита состоится на заседании специализированного совета НИВЦ МГУ по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук по адресу: Москва, Ленинские горы, НИВЦ.

24 декабря 1993 г. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан 24 ноября 1993 г.

с<

Ученый секретарь специализированного совета^^р

кандидат физико-математических наук ^аиН^ М.Н. Киоса

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теш. В современной технике широко используются композиционные материалы с тонкими фольговыми Еключения. Стационарные тепловые и электростатические поля в таких материалах могут быть описаны при помогли элиптических уравнений с периодическими коэффициентами, имеющими особенности типа 6-функций на гиперповерхностях меньшей размерной. Численное решение таких задач вызывает существенные трудности, связанные с быстрой осцилляцией коэффициентов и наличием б-обраэной особенности. Поэтому построение осредненной модели такой задачи является важной практической задачей.

Математическое моделирование процессов в составных телах, одна из частей которых в пределе имеет разметность меньшую, чем размерность объемлющего пространства (сочетание

трехмерных тел и тонких пластинок, оболочек, стержней и т.д) и сделана из другого материала, является важной прикладной проблемой, ввиду того, что такие тела широко используются как в технике, так и в быту. Несмотря на широкое применение,таких тел, только недавно такие задачи стали изучаться с теоретической точки зрения на математическом уровне строгости.. Одной из таких несомненно актуальных задач является задача о влиянии малого очень хорошо проводящего дефекта на стационарный тепловой процесс в однородном материале. Другой интересной задачей является изучение стационарного теплового процесса в составном теле, одна часть которого представляет из себя тонкий искривленный стержень с

большим коэффициентом теплопроводности. Непосредственное численное решение таких задачи вызывает существенные трудности, связанные с большим перепадом теплопроводимости и малостью дефекта или малой толщиной полоски. Поэтому построение асимптотического разложения решения таких задач по степеням малого параметра е - толщины включения и большого параметра ш - коэффициента теплопроводности (диэлектрической постоянной) является интересной и актуальной задачей, имеющей практическое применение.

Целью диссертационной работы является: -осреднение стационарного процесса теплопроводности, рассматриваемого в композиционном материале, содержащем фольговые включения.

-изучение влияния заделки малого хорошо проводящего'дефекта в границу однородного материала ка стационарный тепловой процесс в этом теле.

-изучение стационарного теплового процесса при заделке тонкой искривленной хорошо проводящей полоски в границу области с характерным размером порядка единицы .

Методика исследования. Б работе применялись : методика осреднения, разработанная в работах Н.С.Бахвалова, методика исследования решений задач о заделке, развитая в работах Г.П.Панасенко и Назарова С.А., методы функционального и математического анализа, а также методы теории эллиптических уравнений.

Научная новизна .Результаты работы является новыми. Стационарные тепловые процессы в периодических средах, моделируемые эллиптическими уравнениями с ограниченными

коэффициентами хорошо изучены и описаны в работах разных звторов . Тогда как тепловой процесс в периодической среде , имеющей фольговые, очень хорошо проводящие и очень тонкие включения , моделируемый эллиптическим уравнением с коэффициентами, имеющими особенность типа б - функции, рассматривается впервые в работах автора.

Задачи о мелкой заделке являются новым классом задач,которые стали изучаться только недавно. Во второй главе диссертации впервые решена задача о елиянии малого дефекта на границе тела на распределение температуры при помощи построения полного асимптотического разложения. В третьей главе впервые изучена задача о мелкой заделке искривленной хорошо проводящей полоски для уравнения Лапласа при помощи построения полного асимптотического разложения решения такой задачи.

Приложения. Результаты диссертации имеют

непосредственное приложение в теории композитов, электротехнике, механике фильтрационных процессов и математической физике.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается математической строгостью и обоснованностью вычислений и рассуждений, что гарантирует достоверность полученных результатов и выводов.

Апробация работы.Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

-научных семинарах кафедры вычислительной математики

механико-математического факультета МГУ,

-12 -ой всесоюзной конференции молодых ученых

(Москва ,1990) ,

Публикации.По теме диссертации опубликованно три работы.

Структура и объем диссертации.Диссертация содержит 100 страниц рукописного текста и состоит из введения (12 стр.), трех глав и списка литературы. Библиография содержит 43' наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РА60ТЫ.

Во введении сделан краткий обзор по теме , обоснована актуальность выбранных задач. Стационарные тепловые процессы в периодических средах, моделируемые эллиптическими уравнениями с ограниченными коэффициентами, хорошо изучены и описаны в работах разных авторов . Тогда как тепловой процесс в периодической среде , имеющей фольговые, очень хорошо проводящие и очень тонкие включения , моделируемый, эллиптическим уравнением с быстроосциллируемыми коэффициентами, имеющими особенность типа О - функции, рассматривается впервые в работах автора. Решению этой задачи посвящена первая глава.

В работах Ciarlet P.G. изучались задачи о глубокой заделке тел для уравнений теории упругости в случае, когда константы Ламе заделываемого тела - величины порядка е , а

-I

толщина -'• порядка £ при помощи построения нулевого приближения. Термин " глубокая" означает, что глубина заделки - величина порядка единицы. Говорят, что построено нулевое приближение, если построенное решение отличается от точного решения на величину порядка 0(е). В работах Назарова С.А. были изучены задачи о мелкой заделке для уравнений теплопроводности в случае произвольной степенной зависимости между толщиной

заделываемого тела е и его коэффициентом теплопроводности е^ при помощи построения полного асимптотического разложения. Говорят, что построено полное асимптотическое разложение, если, полученное решение удовлетворяет исходной задаче точно. Термин "мелкая" заделка означает, что глубина заделки - величина порядка малого параметра е (порядка толщины заделываемого тела) . В работе Панасенко Г.П. было построено полное эсиштотическое разложение решения задачи линейной теории упругости при мелкой заделке тонкого прямого очень твердого тела при произвольных толщинах е и константах Ламе порядка ы заделываемого тела.

Первая глава посвящена осреднению и построению полного асимптотического разложения решения стационарной задачи теплопроводности (электростатики), когда каждая ячейка периодичности ( со стороной еТ ) содержит плоскую гиперповерхность размерности (в-1) , на которой коэффициент теплопроводности (диэлектрическая постоянная) обращается в бесконечность, то есть коэффициент теплопроводности (диэлектрическая постоянная) такой задачи имеет особенность . типа б- функции . Эта задача является предельной при фиксированном е для задачи теплопроводности в еТ периодической среде, каждая ячейка периодичности которой содержит тонкий прослой толщиной ец и коэффициентом теплопроводности .равный ц-1, при ц, стремящемся к нулю.. Это вытекает из результатов работ Сиионенко И.Б. и Санчес-Паленсии Э.

Во второй главе диссертации рассмотрена задача о заделке хорошо проводящего круга малого радиуса е ( е<<1 ) .имеющего

большой коэффициент теплопроводности ш ( ш>>1 ), в границу области с характерным размером порядка 1 и коэффициентом теплопроводности равным 1 . Строится полное асимптотическое разложение по степеням 6 , ш и ц, где ц=(-1п в/2п +с ,

приводятся оценки близости точного решения и частичных сумм асимптотического ряда. Говорят, что проводятся оценки близости точного решения и частичных сумм, если удается оценить сверху норму функции невязки между точным решением и частичной суммы асимптотического разложения и показать, что она стремиться к нулю.

В третьей главе диссертации рассмотрена задача о мелкой заделке хорошо проводящей искривленной полоски , имеющей большой коэффициент теплопроводности ш ( ш>>1 ) и малус толщину е(£<<1) в границу области с характерным размером порядка 1 и коэффициентом теплопроводности равным 1 Строится полное асимптотическое разложение по степеням в , ш и ц, где |л=(-1п е/2% +с , при этом зависимость между е и и может иметь произвольный характер. Выделяют три случая : при и стремящемся к бесконечности , а е , стремящемся к нулю, произведение е и ш стремиться 1) к нулю , 2) к бесконечности, 3) к некоторой константе эе .Рассмотрены все три случая , пр1 этом проводится обоснование оценок близости точного решения I частичных сумм асимптотического разложения.

Математическая постановка задачи первого параграфа имееч следующий вид: найти такую,что для любого среУ^ верш интегральное тождество

]К0(|)(то,^)ООс1х4- Г я(|)и(х)<р(х)с1х + О

О

Е * -— *-55— Й =

=]" 1(х)ср(х)ах а

Через Ч^ ■обозначено замыкание множества Т-периодических функций из С°°(в) по норме

Ии112и) =Х (^,уц)(х)йх+Г и2(х )(3х + Уе Я *

ди(х,вс+1„»еТ) <Эи(х,ес+1_*еТ)> + е ) Г (1-*., с) * Б Ох

¿у е Эх^ * дхГ^

Отметим, что име'ет место интегрирование по гиперповерхности размерности в-1 ( в - размерность объемлющего постранства), где отсуствуют производные по направлению в, поэтому мы говорим об особенности типа 6-функции.

Здесь через й обозначен куб периодичности со стороной Т, состоящий из (Т/£)3-ячеек периодичности со стороной вТ Ячейка периодичности й| получается из ячейки периодичности Од при помощи паралельного переноста на вектор 1*е*Т.

вТ, 3=1,....б}

Гладкое (в-1)- мерное многообразие (предельный случай

тонкого прослоя), моделирующее фольговое включение, лежит

внутри ячейки Qq

Uq={ x=(x,xs)eRs xege, xs=s*C >,

P c_T

где g - область в R" .лежацая в (s-D-мерном кубе со стороной еТ, С - положительная константа .меньшая чем Т. Ï - целочисленный вектор из класса целочисленных векторов. I=(içRs! i=(i1.....is), ik=0,...Т/е-1}

Q= U Q? ={xçRB,Oi;xui;T, k=1, ,в), i€l - K

u= U w? 161 '

Основным .результатом первой главы является построение реккурентной цепочки задач для определения функций nP(|)h Vj(х), таких что асимптотическое разложение решения поставленной задачи вида

uœ(x)~2si+P 1 NPdjD^ix) ,

1,р>0 |а|=1 а е

где а - мультииндекс (а^ ,си,,.. .а^), ¡а|=1 - его длина,

s s 1 D°ч(х) =1 ... I

s Б ¿>1а1у

а =1 Oj =0 а1=0 ^a^-'^aj

№ 3

\Р 31 х«з

Т-периодические по Н £=(-,....5)) функции,решения

задачи на ячейке, VJÍx)- Т-периодические функции, решения

осредненной задачи, удовлетворяет интегральному тождеству

(1.1) точно. При этом для частичных сумм асимптотического

ряда (1.2) вида

к

К+1

Лх)Ле1+Р I нР(|)Ба7к(х)

1+р=0 |а|=1 а 8

имеет место оценка

¡и-и(к)|| Е«:Сопвг*ек+1

уЬ

Ь)

Математическая постановка задачи о влиянии заделки

мелкого хорошо проводящего дефекта в границу однородного

материала, рассматриваемая в главе 2, и задачи о мелкой

заделке протяженной тонкой полоске, рассматриваемая в главе 3,

имеет одинаковый вид. Необходимо найти гладкое решение

следующей задачи:

шДи(х)=ГС}(х/в) хе<Зе для главы 2

шЛи(х)=1а(Е) хе&8 для главы 3

А и(х)=1(х) хей|

с граничными условиями

<5и(х) Р _

^—=0 хес)у£1иас^1 или хеаг^изс^

и(х)=о хеао£0иэс^0 или х?<з.е£0иа(^0

и условиями сопряжения на линии соприкосновения двух сред или

[и (х)) =и+ (х)-и_ (X) =0

(Эи (х) <Эи_(х)

— - = О

дг дг

при этой

ôVx) ÔU (X)

u. (х) =lim u(x) _=lim

« с- I n » -r»v о î

О • дт rve+O ör

Здесь через Q£ обозначен круг, моделирующий дефект

Qe={(r,<p) | г«=е , <р€ (0,2ic)} , через ä6- тонкая хорошо проводящая полоска

£е={ (x1 ,X2>eR2, х^+хр2^ при х^о

через обозначена область, моделирующая однородный материал с обычными свойствами

Gp=Gp/Qg={ (г,ф)| г е(е,Й) , ф€(7с/2,3и/3) . Основным результатом второго параграфа является построение полного асимптотического разложения решения этой задачи вида

о» со 1+2к+1

1е1 I Айр^'Ч» ir'4>)€Q€

klpv v 'T'^ç

1=0 к=0 р=0 a=r/s

u°°(x)=

СО со 1+2к

1=0 к=1 р=0 р

(r,(p)eG|

и доказательство того факта, что частичные суммы данного ряда

специального вида приближают точное решение исходной задачи с

N■1+1 -N,-1, 1

точностью до 0(е )+0(ш ' в норме W^. Здесь (г,ф) -

полярные координаты.

Основным результатом третьего параграфа является

построение трех различных асимптотических разложений решения

задачи о заделке искривленной хорошо проводящей полоски вида:

6*0) стремиться к нулю

со со 1+2к+2

Ь1 1 I хеа8

1=0 к=-1 р=-1

тР(х)= а)

со го 1+2к

2 в1 I -

1=0 к=-1+1 р=-1

ею стремиться к бесконечности

оо го 1+2к +1

к=1 1=-к р=0 К1Р

го го 1+2к

2ы1-к I в1 ^ мР(»цри)-

к=1 1=1-к р=0

к1рЧЛ/" б)

еш стремиться к константе

со со

зЛе1 5 "?{71р (в)+у1р <ч1'"2)> Х€йе

1=0 р=0

иот(х)=

со СО

2 с1"1 I "Р{и1р (х) - О

1-1 р=0

- Р*рк1р*^(х)+фа ,? >} хссЕ

где

?=(<Г1,?2)=(х1/е ,х2/е) ,г?2)=(в(ж1 )/е, (х2-Ф(х1))/е ) в - натуральный параметр длины криЕОй .задаваемой соотношением

2 1/?

з2=Ф(х1) при х1е(-е,В-8)в= /(1+Фх ) ^^сИ;

-8 1 3(х)=1п(1/!х! )/2% - 1п(1/Ю/21С

Важным результатом третьей главы является также обоснование

полученного асимптотического разложения, то есть получение

оценок близости точного решения и частичных сумм

асимптотического разложения. Получен следующий результат:для

м1 «1

функций- яевязок.б^ = и(х)- и^ (х), где и(х)- точное решение ^ 2 2

задачи, а №} (х)- частичные суммы асимптотических рядов а, б 2

и с специального вида, выполнена оценки е*ш стремиться к нулю

„1 ^ -1Ь

2 *2(с|иге) елш стремиться к бесконечности

„1 -Н. м,+1

ЦБ^(х)| ^0(Е(еи) )+0(е ),

2 )

е*и стремиться к константе

Н1 ^ V1

¡1 5Щх)|| <(е 1 ).

Оценки показывают, почему было необходимо

рассматривать три различные разложения для трех различных случаев стремления произведения толщины полоски и ее

коэффициента теплопроводности. В случае, когда ш*е=Ю, оценка для функции невязки содержит величину (ш) , которая также будет стремиться к нулю. Если бы мы применили разложение а) для случая б) 10*8=*», то частичные сумма асимптотического разложения не приближали бы точного решения.

Заключение.

-построено полное асимптотическое разложение решения стационарной задачи теплопроводности в композиционной материале, содержащем сверхпроводящие фольговые включения, построена осредненная модель такой среда;

-изучена задача о.влиянии малого хорошо проводящего дефекта в кусок однородного материала путем построения полного асимптотического разложения, полученное асимптотическое разложение обосновано, приведено нулевое приближение; -построены полные астлптотические разложения решения стационарной задачи теплопроводности в составном теле, одна часть которого представляет из себя тонкую изогнутую полоску с большим коэффициентом теплопроводности для трех возможных случаев соотношения малой толщины и большого коэффициента теплопроводности, асимптотические разложения обоснованы, приведены нулевые приближения.

В заключении звтор выражает глубокую^ благодарность своему научному руководителю,доктору физико-математических наук, профессору кафедры вычислительной математики Г.П.Панасенко за постановку интересных и актуальных задач и постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА.

1.Иванова O.A. Осреднение стационарной задачи теплопроводности в периодической среде, содержащей тонкие прослои с большой теплопроводностью. Деп. в ВИНИТИ 22.05.90 "H2797-BS0.

2.Иванова O.A. Передача тепла через тонкий прослой с большой теплопроводностью. "Численное моделирование в задачах механики." Сб. научных трудов.-М.:Изд-во Московского ун-та,1391.

3.Иванова O.A.K вопросу об осреднении интегральных тождеств. Вестник Московского Университета, сер.1, математика, механика, 1992, N2.