Оценивание функционалов на решениях векторных дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

6 О»

^ ^^ "ЦЦ? На правах рукописи

ХАФИЗОВА Ильгиза Наильевна

ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ НА РЕШЕНИЯХ ВЕКТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

01.01.07- вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена на факультете Прикладной математики-Процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор КИРИН.Н.Е.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МАТВЕЕВ Н.М., кандидат физико-математических наук, профессор КУЗЮТИН В.Ф.

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

Защита состоится "ЗР" 1997 г. в " /У "часов

на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, д. 33, ауд.66.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу : Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9, библиотека СПбГУ.

Автореферат разослан " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К-063.57.16, доктор физико-математических наук, профессор

ГОРЬКОВОЙ В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Классические методы численного анализа - приближенного вычисления интегралов, производных и значений функций - составляют основу математического обеспечения современных ЭВМ. Соответствующие формулы вычислений рассчитаны на широкие классы функций и потому не всегда эффективны в применении к заведомо узкому классу функций, определенному тем или иным физическим явлением или процессом, данные о котором подлежат численной обработке. Кроме того, исходные численные данные могут быть результатом дорогостоящего или уникального эксперимента, не допускающего многократного повторения. Это означает, что из полученных данных следует извлечь максимальную информацию или с максимально возможной точностью определить необходимые характеристики наблюдаемого процесса.

В работе акцент сделан, прежде всего, на постановку универсальной задачи оценивания функционалов на решениях линейных дифференциальных векторных включений. Выбор численных значений структурных параметров этих включений призван отразить конкретный класс функций, порождаемых условиями эксперимента. Поскольку большой класс исследуемых явлений может быть представлен в форме дифференциальных и интегральных связей, то становится очевидной актуальность постановки и разработки методов решения задач о точных оценках функционалов на множестве функций, входящих в упомянутые связи.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в разработке методов построения оптимальных по точности квадратурных формул на множествах функций, генерируемых решениями векторных дифференциальных включений.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В качестве основных инструментов исследования использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория и численные методы выпуклого

программирования, теория управляемых линейных систем, методы вычислительной математики.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Описан общий способ вывода сопряженных задач построения оптимальных по минимуму оценки квадратурных формул на классах функций, представленных системой векторных дифференциальных включений.

Разработан алгоритм точного оценивания интегралов в классе функций, определенных линейным дифференциальным включением второго порядка с произвольно заданными переменными коэффициентами.

ПРАКТИЧЕКАЯ ЦЕННОСТЬ. Автоматизация проведения экспериментов и способов регистрации его результатов позволяют получить за короткое время большой объем информации. Для получения из этой информации необходимых характеристик изучаемого явления требуется дальнейшая обработка результатов наблюдения. Таким оператором обработки будет специальная квадратурная формула с минимальной оценкой погрешности в заданном классе помех. Разработанные в диссертации методы позволяют получать такие оптимальные квадратурные формулы.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения работы докладывались на семинарах кафедры информационных систем СПбГУ, на XXVI конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ СПбГУ "Управление динамическими системами"(1996 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и применения" СПбГТУ (1996 г.)

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-3]

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы из 42 наименований. Объем работы составляет 87 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится краткий обзор литературы по тематике диссертации, показана актуальность темы исследования, представлены существующие подходы к решению задач об оптимальных квадратурных формулах, примыкающие к рассматриваемой постановке. Приводятся основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе рассматривается задача оптимизации коэффициентов квадратурной формулы открытого и замкнутого типа с фиксированными узлами методом введения сопряженной переменной.

В частности, рассматривается задача о построении формулы

1р(*)ЯОА«£*,/(О^ЛЯ> 0)

О 1-1

в которой - узлы квадратурной формулы, кг искомые коэффициенты квадратурной формулы (1), минимизирующие ее максимальную погрешность Я(/,к) на классе 4И)(£АГ) функций /(■), удовлетворяющих включению:

~Г= (2)

т о

Методом введения сопряженной переменной получено следующее представление погрешности квадратурной формулы (1)

*(/,*) = М'ЖОА, (3)

о

где функция \|/ (?) является решением следующей граничной задачи

(4)

\|/ ^ (+0) = у(Г - 0) = 0, (5)

\|/о>(',-0)=1|/(Л(',+0), (6) V и, +0) - V<"~1) (I, - 0) = (- 1)т-' к,. (7)

В случае формулы замкнутого типа граничная задача (4)-(7) имеет измененные условия

v <-'>(+<) ) = -*„ y^]){T-Q) = kN. (8)

Из формулы (3) по неравенству (2) следует оценка1

Теперь задачу об оптимальной квадратурной формуле (1) будем понимать как задачу поиска коэффициентов из условия

т

min [\y2{t,k)dt . (9)

* о

Для построения формул открытого (п. 1.1) и замкнутого типа (п. 1.2) намечены способы решения сопряженной задачи (9) и приведены иллюстрации точного и приближенного решения сопряженных задач для случаев m — 1,2. Дается оценка погрешности для составных квадратурных формул.

Основные результаты главы содержатся в п. 1.3, где дается общая постановка задачи оценивания функционалов на решениях линейных дифференциальных включений. Рассматривается задача о построении формулы:

Д/WpW« 00)

О 1=1

где p(t) = (p1,p2,.-.,pv)' - заданная непрерывная весовая вектор-

функция, 0 = t] <t2 <...<tN_l <tN =T - заданные узлы, kt = (кп,ка,...,киУ - искомые коэффициенты квадратурной суммы SN (/). Определены множества F(0, Т) и F(0, Т) вектор-функций /(t) и f (t) образованных соответственно линейными комбинациями

1 Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. "Наука", 1967,

Никольский С.М. Квадратурные формулы. "Наука", 1974.

f(t) = G{t)u{t) и f(t) = G(t)u(t) (II)

r

компонент вектор-функций u(t) = (и,(f),...,и„(/)) , являющихся решениями векторного дифференциального уравнения

¿(и) з £ ^">(0 - В§ (0, и(/> = ~ (12)

<=о а/

В (11) G(íf) и <j(í) - матрицы размерности /, хл и v хи

соответственно, где = l{t¡), a A¡ к В - заданные постоянные матрицы размерности пхп и пх s соответственно, с = ^ (0 - неизвестная s-

мерная вектор-функция, стесненная ограничением :

M^sfew^f^- (13)

V¡=1 о /

Считаем, что значения /(/, ) вычисляются с погрешностью 8 = (sд}, т.е. погрешность формулы (10) представляется в виде

RN(fJ,k,e) = J(f)-S„(f), (14)

где

»1 М

Далее строится оценка погрешности (14) на множестве решений включений (12)-(13)

|Лд,(/,/Ле)| 5 sup|^(/,/,A:,e)|S RN(к)

и,г

и рассматривается задача о выборе коэффициентов k¡ = (кп,...,кц)г, i — \,N из условия минимума этой оценки:

к = ъх& ттК^к). (15)

Данная задача сводится к сопряженной задаче, которая является задачей об условном экстремуме. Для этого вводится сопряженое уравнение для представления погрешности (14) при связях (И), (12). Получено следующее представление погрешности

Ян и,7м = /V тт* - ¿А/е,,

О /=1

где функция \|/ (•) должна быть решением следующей граничной задачи:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (17)-(20)

•ц/(т_1)(/( + 0)-у -0) = (-1)"-1 А/ 1 = 2,N-1

Получена следующая точная оценка для погрешности (14):

I I & 0

)[;;; = о^, ц = =2,ы-\,

В случае det Ат -Ф- 0 граничные и промежуточные условия упрощаются:

\|/(Л(+0) = уо>(Г-0) = 0, у = 0,пг- 2,

^»(г-о^иг^сх"'.

V + 0) ■- Vш(А - 0) = 0, ,] = 0^2,

Таким образом исходная задача (15) сводиться к задаче: найти

тт у (-Д)).

Это задача выпуклого программирования, которую можно решать методами выпуклого программирования. В п.1.3 установлена теорема о существовании решения сопряженной граничной задачи как эквивалента ограниченности оцениваемого функционала.

Теорема 1.3.1 Пусть с1е! Для того, чтобы погрешность (14)

формулы (10) на парах вектор-функций (/(•)>/(•)) е -Р(0, Г) х Р'(0, Т) при

условиях (12), (13) была ограничена необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты к - ,кы) формулы (10) были решением системы линейных алгебраических уравнений:

Ч>^(Т,г) = -¿А;?"-1'(Г-*„£,). (21)

¡=1

Здесь \|7(£,г(-)) - решение неоднородного уравнения (16) с нулевыми начальными условиями, = р'(/)С(?), Ч^/.С) - матричное решение уравнения (16) с начальными условиями:

4/<л (0, (?) = 0, у = 0,т - 2; Ч""-!)(0) = (-1)<"-1) . Указывается общее условие (разрешаемость дифференциального включения относительно старшей производной), при котором сопряженная задача эквивалентна исходной задаче об оптимальной формуле

Теорема 1.3.2 Пусть №Ат 0. Решение задачи (15) существует тогда и только тогда, когда существует решение системы (21) относительно коэффициентов {к1}.

В п. 1.4 рассматривается задача о точной верхней и нижней оценках : к+ = ас^гтаЛ^к),

к' = а^тт Я.~м{к\ к

где

Задачи (22) являются задачами поиска указанных экстремумов по к функций (23) при связях (16)-(20). Если воспользоваться представлением функции у(-) связи (16)-(20) сведутся к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов к = {ка}. В такой форме в решении задач (22) удобно применить прямые методы выпуклого программирования. Здесь дается метод построения общего решения сопряженной граничной задачи, с помощью которого далее указан способ вычисления градиента выпуклого функционала сопряженной задачи.

В п.1.5 рассмотрена общая схема , описанная в п.1.3, в задаче построения оптимальной по коэффициентам квадратурной формулы на

классе функций /(•) е Щ (ОД), удовлетворяющих ограничениям |/<0ф4„ / = /„,/„...,/р, 0</о </,<..,<1р=т.

Построена соответствующая сопряженная задача, которую можно решать численно, аппроксимируя искомую сопряженную функцию сплайнами. Такой подход в решении сопряженных задач подробно рассмотрен в следующей главе.

В п. 1.6 рассмотрена задача построения квадратурной формулы (1) на классе ,0,1) с учетом использования приближенных значений ^

функции /(-) в узлах , причем известны оценки

±{7-АО)'*?.

Полная погрешность квадратурной формулы имеет вид:

Задача минимизации оценки (24) решается методом множителей Лагранжа, что приводит в случае m — 1 к решению системы с трехдиагональной

J -

матрицей относительно переменных j'y, где у]. j ~ 1 ,N.

Вторая глава посвящена задаче оценивания интегралов на классе функций, удовлетворяющих линейному дифференциальному включению второго порядка:

ил=f (/(о J)+<7(0/(0=m • (25)

Здесь p(t) Ф 0, q(t) - заданные функции (/?(■) еСО)(0,1), <?(•) еС(0Д)), Е, = % (/) - неизвестная функция стесненная ограничением

%{t)\2=(f{t)d^yi <1. (26)

Далее исследуется оценка погрешности квадратурной формулы (1) на множестве решений включения (25), (26) и рассматривается задача типа (15) . Эта задача методом введения сопряженной переменной сводится к задаче: найти

minjH0||2> (27)

"I ' ■ '' .V

где ц/ (?) должна быть решением следующей граничной задачи:

¿(Ч> (0) = ¿(rf)*) +<?(0ц/ (0 = -Р(0 Для любого /, ? * , (28)

Ч/(Л(0)=у ">(!) = О, J = ÔX (29)

+0)=\|/(/<-0)> (30)

¥'(/,+0)-v'(i/-0) = -^-, / = Щ (31)

Приближенное решение граничной задачи (28)-(31) строится в виде:

« pit)

где N(t) = max/, sv(t) - кубический интерполяционный эрмитов сплайн i,<i

дефекта 2 с узлами на равномерной сетке. В результате пришли к вариационной задаче о минимизации функционала:

J(sv,k)=)(L(sJ + p{í,k))2dí +

о

[V м pit,) У V ы pit,)) J

Теперь задачу (27) можно решать методом штрафных функций, по которому при достаточно малых s > 0 необходимо найти

min Je (sv,k), Jt (sv ,k) - s| (4/ |f + J(sv ,к). (32)

Из условия минимума функционала (32)

= = (зз)

дац db^ dkj

(здесь йц, - параметры сплайна sv (/), a k¡ - коэффициенты

квадратурной суммы) получим систему линейных уравнений относительно искомых параметров сплайна и коэффициентов kj.

В п. 2.2 приводится численный метод решения полученной линейной системы. Использование кубических сплайнов в аппроксимации сопряженной переменной и выделение функции скачков ее производной позволяет разбить шаг метода на решение стандартных задач с использованием метода прогонки и метода сопряженных градиентов. Указаны условия существования решения сопряженной задачи после регуляризации задачи (32). Предложенный метод спуска по группам

переменных дает минимизирующую последовательность {а^А*'1

для функции

С{.а,Ь,к) = Jг{Sv,k) + J±(al +6х2) + £*Л. (34)

Дается обоснование сходимости предложенного алгоритма (теоремы 2.2.1 и 2.2.2).2

Теорема 2.2.1 Последовательность |а(0,йс" Д'"},, = } сходится к точке [а'минимума функции <7(а,6,к).

Теорема 2.2.2 Решения задач (34) при со —>■ +0 сходятся к нормальному решению задачи (32).

Блок-схема алгоритма и расчетные формулы коэффициентов системы приведены в Приложении 1.

В п.2.3 рассмотрена задача двустороннего оценивания интеграла (1), когда /(■) является частным решением дифференциального включения (25),

(25) и £=/(/,), / = МГ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Поставлена универсальная задача оценивания функционалов на векторных дифференциальных включениях, в которой выделена задача построения априорной оптимальной формулы оценивания, использующей часть численных значений исходных данных и апостериорного (алгоритмического) оценивания по всем данным.

2. Построены соответствующие сопряженные задачи оценивания (в общей форме) и выведены условия существования конечных точных оценок.

3. Разработаны общие алгоритмы точного оценивания по квадратурным суммам интегралов функций класса Дот)(1;0,1).

4. Разработаны алгоритмы точного оценивания интегралов на классе функций, определенных линейным дифференциальным включением

1 Тихонов А.Н., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач, М-, 1979.

второго порядка с произвольно заданными переменными коэффициентами.

5. Разработан алгоритм точного одностороннего оценивания интеграла в

классе ¿/"'(^ОД) по значениям функции в узлах квадратурной суммы. Принципиально решена задача об оптимальной квадратурной формуле (с фиксированными узлами) на пересечении классов

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Кирин Н.Е., Хафизова И.Н. Оптимальные квадратурные формулы на решениях дифференциальных включений второго порядка. - Деп. В ВИНИТИ 03.04.96, №1082-В96. -12 с.

2. Хафизова И.Н. Численный метод построения оптимальной кваратурной формулы на решениях дифференциального включения второго порядка. - В сб. Вестник Хакасского государственного университета им. Н.Ф.Катанова, выпуск 1, серия Математика информатика, Абакан, 1996 г. - С. 54-56.

3. Хафизова И.Н. Оптимальные квадратурные формулы на решениях дифференциальных включений.-В сб. СПбГТУ "Дифференциальные уравнения и применения " , Первая международная научно-практическая конференция, С.-Петербург, 1996 г. - С. 220.