Оценивание параметров нелинейных временных рядов в случайной среде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

, Хуссейн Салем М. Кейбах

и .-і

УДК 519.21

ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ НЕЛІНІЙНИХ ЧАСОВИХ РЯДІВ У ВИПАДКОВОМУ СЕРЕДОВИЩІ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ-2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної статистики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Анісімов Володимир Владиславович,

Київський університет імені Тараса Шевченка, ф-т кібернетики, завідуючий кафедрою прикладної статистики

Козаченко Юрій Васильович,

Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний ф-т, завідуючий кафедрою теорії ймовірностей та математичної статистики

2. кандидат фізико-математичних наук Гасаненко Віталій Олексійович,

Інститут Математики НАН України, старший науковий співробітник

Офіційні опоненти: 1. доктор фізико-математичних наук, професор

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. академіка

В.М.Глушкова НАН України, м. Київ

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127, м.Київ - 127, проспект акад. Глушкова.б, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет, ауд. 42.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58, к. 10).

Автореферат розісланий

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

М.П. Моклячук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТКА РОБОТИ

Актуальність теми. Прикладні задачі аналізу стохастичних систем і загальні теоретичні задачі статистики стимулюють дослідження у галузі статистичного оцінювання параметрів різних класів стохастичних систем. При аналізуванні властивостей статистичних оцінок параметрів, побудованих за спостереженнями в стохастичних системах, виникають деякі некласичві задачі, оскільки в загальному випадку самі спостереження є неоднорідними в часі, а також не є незалежними.

Класичні результати, що стосуються статистичного аналізу даних, головним чином присвячені незалежним спостереженням або використовують мартингальну техніку (див. роботи Барндорфа-Нільсена і Соеренсена (Bamdorff-Nielsen, Sorensen, (1994)); Біббі і Соеренсена (Bibby, S0rencen, (1995)); Ібрагімова і Хасьмінського (Ibragimov, Has’minskii, (1981)); Jlin-цера і Ширяєва (Liptser, Shiryaev, (1977)); Праказа Pao (Prakasa Rao, 1987)). Ці результати не можуть'бути безпосередньо застосовані у випадках, коли спостереження будуються на траєкторіях стохастичних систем. Ряд результатів в галузі статистичного оцінювання параметрів по траєкторних спостереженнях на процесах, що перемикаються, одержано Анісімовим (1995). Деякі некласичні моделі для стохастичних процесів були проаналізовані з використанням прямих методів Кутоянцем (1984).

Дисертація присвячена асимптотичному аналізу статистичних оцінок параметрів для нелінійних часових рядів у некласичній ситуації —■ спостереження будуються на траєкторіях стохастичних систем. Вивчаються властивості оцінок, отриманих за допомогою методу найменших квадратів, методу максимальної вірогідності та методу моментів. Запропоновано новий підхід, що базується на представленні оцінки у вигляді розв’язку деякого стохастичного рівняння (або у вигляді множини екстремумів деякої випадкової функції) і на результатах про асимптотичну поведінку розв’язків стохастичних рівнянь загального вигляду та множин екстремумів випадкових функцій.

Зв’язок роботи о науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до плану наукових досліджень кафедри прикладної статистики факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка:

1) держбюджетна тема Міністерства освіти N 97064 “Аналітичне та апроксимативне моделювання стохастичних еволюційних систем (мережі обслуговування, динамічні системи, міграційні та гіллясті процеси тощо) і їх статистичний аналіз”

2) тема Міністерства у справах науки і технологій N 97549 “Розробка методів та програмно-алгоритмічного забезпечення моделювання стоха-стичних еволюційних систем складної ієрархічної структури з метою аналізу апроксимації та статистичного оцінювання основних функціоналів якості та надійності функціонування”

Мета роботи. Метою дисертаційної роботи є:

1. Вивчити асимптотичні властивості розв’язків стохастичних рівнянь загального вигляду, а також асимптотичні властивості екстремальних точок стохастичних функцій.

2. Розглянути застосування вказаних загальних теоретичних результатів до:

а) вивчення асимптотичних властивостей оцінок методу найменших квадратів для нелінійних часових рядів, побудованих за спостереженнями на траєкторіях стохастичних систем в стаціонарних та перехідних умовах, а також під впливом ергодичного випадкового середовища;

б) вивчення асимптотичних властивостей оцінок параметрів, побудованих за спостереженнями на траєкторіях стохастичних систем в стаціонарних та перехідних умовах для методу моментів та методу максимальної вірогідності.

3. Розглянути також застосування отриманих результатів до аналізу асимптотичних властивостей розв’язків детермінованих рівнянь при випадкових помилках в обчисленнях.

Методи дослідженя. В роботі використані методи теорії ймовірностей, математичного аналізу, стохастичних процесів, статистичного оцінювання параметрів та асимптотичні методи.

Наукова новизна роботи. В роботі запропоновано новий підхід до статистичного оцінювання параметрів для спостережень, які побудовані на траєкторіях стохастичних систем. Оцінка представляється як розв’язок (множина розв’язків) деякого стохастичного рівняння або як множина екстремумів деякої випадкової функції, де функція зображується деяким адитивним функціоналом на траєкторії системи.

Базуючись на нових асимптотичних результатах для розв’язків стохастичних рівнянь і для множин екстремумів випадкових функцій вивчені асимптотичні властивості статистичних оцінок параметрів, побудованих за допомогою методу найменших квадратів, методу моментів та методу максимальної вірогідності для нелінійних часових рядів в стаціонарних та перехідних умовах.

з

Одержані гауссівські та некласичні граничні закони. Досліджені також застосування отриманих результатів до аналізу розв’язків детермінованих рівнянь при випадкових помилках в обчисленнях.

Теоретична та практична цінність роботи. Дисертаційна робота, в основному, носить теоретичний характер. Одержані результати дають можливість здійснювати статистичний аналіз для нестаціонарних даних та перехідних умов і можуть бути ефективно використані в екологічних та медичних дослідженнях, моделях забруднення, в аналізі статистичних даних складних технічних систем і т.і.

Матеріал дисертації може бути використаний при читанні спеціальних курсів статистики випадкових процесів і аналізу часових рядів на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету та на кафедрі прикладної статистики факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок автора. Всі основні результати, включені в дисертацію, є новими і отримані автором самостійно. В спільних публікаціях науковому керівнику належить вибір теми досліджень і постановки задач. Доведення основних результатів і їх застосування до конкретних статистичних моделей одержані автором самостійно.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на Третій Укра-Їно-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики, Київ, червень 1999, на міжнародній конференції “Сучасні математичні методи дослідження телекомунікаційних мереж”, Мінськ, червень 1999, а також на семінарах кафедри прикладної статистики факультету кібернетики, кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка та департаменті індустріальної інженерії Білкентського університету, Анкара, Туреччина.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 наукових робіт.

Структура та об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох глав, висновків, списку літератури та додатку. Загальний об’єм роботи складає 120 сторінок, список літератури нараховує 46 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається короткий огляд результатів, які пов’язані з тематикою дисертації, та дається стислий опис основних результатів роботи.

Перша глава має вступний характер. Вона містить опис різних класів часових рядів і різних моделей для їх аналізу. Основна увага приділяється нелінійним часовим рядам. Розглядаються деякі спеціальні класи нелінійних моделей для аналізу параметрів трендів, вивчаються рекурентні алгоритми для чисельного підрахунку параметрів.

У другій главі “Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних рівнянь” в другому і третьому розділах вивчаються асимптотичні властивості розв’язків стохастичних рівнянь загального вигляду. Спочатку дамо деякі необхідні для подальшого викладу означення.

Означення 1 Будемо казати, що функція д(9), 9 Є 0 задовольняє

умові відокремлення Б, якщо існує таке 5 > 0, що для довільного у Є 1¥, І2/| < 5, рівняння д(в) = у має єдиний розв’язок і розв’язок 90 рівняння д(в0) = 0 є внутрішньою точкою області 0 (якщо функція д{9) випадкова, то це означає, що умова Б задовольняється з ймовірністю одиниця).

Нехай тепер /п(0),і >0,0 Є 0,п > 0 - послідовність неперервних випадкових функцій із значеннями в Лг, де 0 - деяка обмежена область в Хг. Розглянемо стохастичне рівняння

. т=о а)

і позначимо множину всіх можливих розв’язків через {<?„}.

Теорема 11). Припустимо, що послідовність функцій /п(&) її-збігається в кожній множині К С 0 до функції /о(в) (випадкової чи неви-падкової), яка задовольняє умові Б, і точка 9$ є розв’язком граничного рівняння: /о(£?о) = 0.

Тоді з ймовірністю, що прямує до одиниці, розв’язок рівняння (1) існує і послідовність множин {$„} збігається за ймовірністю до 9о, тобто

Ш —► 00.

2). Припустимо далі, що 90 - невипадкова точка та існують /3 > 0 і така невипадкова послідовність —>• оо, що для будь-якого Ь > 0 по-

слідовність випадкових функцій і^/П(0О +II-збігається в області {М < Ь} до деякої (випадкової) функції щ(и), яка задовольняє умові Б, і точка Ко є розв’язком граничного рівняння щ(к0) - - 0.

Тоді існує розв ’язок 9„ рівняння (І) такий, що послідовність vn{en ~ *о) ^ «о-

Зауважимо, що якщо функція щ(и) може бути представлена у вигляді £о + Gou, де £0 і - векторна і матрична (можливо залежні) випадкові величини, і матриця Gо є невиродженою з ймовірністю одиниця, то послідовність vn(0n — вq) слабко збігається до величини —Gq Чо-

Зауважимо також, що асимптотична поведінка розв’язків стохастичних рівнянь з деякими застосуваннями в статистиці розглядалась в Anisimov, Kaibah (1998).

Результат Теореми 1 справедливий тільки для деякого розв’язку (не довільного), який належить дуже близькому околу (порядку Ofa"1)) точки д0. В наступному розділі даються умови глобальної збіжності, що гарантують збіжність послідовності Vn(9n — #о) ДЛЯ будь-якого розв’язку 0п.

Теорема 2 Припустимо, що виконуються умови теореми 1 і існує cq > 0 таке, що для будь-якої послідовності 5„ > 0 з властивостями: 8п -+ 0, vnSn —> оо,

lim lim inf Р{ inf { v^\fn(e0 + —)| : L <\u\< vnSn } > c0 } = 1.

L-too n-*oo 1 1 nl' 1 yn — і i — j j

Тоді для будь-якого розв’язку дп рівняння (1) послідовність vn{6n — 0q) слабко збігається до єдиного розв’язку Kq граничного рівняння, тобто vn{Qn ~ 0о) ко-

Умови теореми носять досить загальний характер. У випадку, коли /„(0) = fn{9) + Vn(9), де jn{&) - деяка детермінована функція, даються певні достатні умови. Розглянуто два приклади, що ілюструють наведені теореми.

В наступному розділі 2.4 як один із можливих напрямків застосування результатів Теореми 1 розглядається поведінка наближено обчислених розв’язків детермінованих рівнянь при випадкових помилках в обчисленнях. Розглянемо наступну модель:

припустимо, що нам необхідно знайти розв’язок детермінованого рівняння

т=о, (2)

де f(9) - деяка неперервна функція, в Є 0 С W, і 0 - деяка обмежена область, але в дійсності ми спостерігаємо функцію f{9) з випадковими помилками вигляду: г*(0) = /(в) + 6,(0), 1 <к <п, де {&(#), 0 Є 0},

k > 1 - сумісно незалежні сімейства неперервних випадкових функцій. Тоді функція }(в) апроксимується усередненою функцією

Ш =4 £>*(*)•

'* *=і

Ми вивчаємо асимптотичну поведінку розв’язків рівняння

/„(*)= 0. (3)

Позначимо через в0 розв’язок рівняння (2) і через {#„} - множину можливих розвязків рівняння (3). Покладемо

ч»(<0 =4 £&(*)■ (4)

П 4=1

Теорема 3 Нехай сімейства випадкових величин {£*(0), 0 Є 0} є незалежними (для різних к), однаково розподіленими і

1. Е£і(0)=О, 0Є©Сігг;

2. для будь-якого є > 0 і будь-якої компактної множини К С 0

lim limsupР{Д[/(с,?]„(-),К) > є} = 0, (5)

С-++0 ті—f оо

де Аи(с,/(•),!{) - модуль неперервності функції/(•) иа множині К;

3. функція j{9) задовольняє умові S.

Тоді з ймовірністю, що прямує до одиниці, множина 9п є непорожньою і {0„} -£-> 90.

Зауважимо, що якщо lim ЕДц(с,^(-),К) = 0 для будь-якої компактної

с—f+0

множини if С 0, то умова (5) виконується.

Теорема 4 Припустимо, що мають місце умови теореми З, а також виконуються наступні умови:

1. для деякого (3 > 0

h~p{f{eо + he) - f{90)) -+ А(е)е

при h -> +0 рівномірно в області {е : |е| = 1} (тут А(е) - деяка матриця, що можливо залежить від величини вектора е);

2. для деякого 7, 1/2 < 7 < 1,

П *=1

де £ - випадковий вектор зі стійким розподілом з параметром І/7;

3. для кожного Ь > О

• і—^ •

^Ііт Р{ {єир |дп(^)|: |и| < Ьп~ е } > є} = О,

де ^

?«(и) = “Г £(&(0О + и) - &(0о));

П 4=1

4- для кожного у Є 71г існує і єдиний розв’язок рівняння

л(я)ІиР~1ц = ^

Тоді існує така підпослідовність розв ’язків в„ рівняння (1), що

п^ф^-во) ^7о, де 70 - єдиний розв’язок рівняння

А(щ)Н^+С = о.

Розглянуті також умови глобальної збіжності.

Для деяких особливих типів помилок даються більш конкретні умови для перевірки умови 3 Теореми 4. Розглянуті деякі приклади.

В главі 3 “Асимптотичні оцінки параметрів нелінійних часових рядів” розглядаються асимптотичні властивості оцінок параметрів нелінійних часових рядів із залежними спостереженнями, побудованими на траєкторіях стохастичних систем в стаціонарних та перехідних умовах.

В розділі 3.2 спочатку наведені загальні теореми про збіжність до граничної точки (конзистентність) і збіжність нормованих відхилень для екстремальних точок випадкових функцій, отримані Анісімовим та Анісімо-вим і Сейлхамер (1994).

Також даються деякі необхідні для подальшого викладу означення збіжності (за ймовірністю та слабкої) послідовності випадкових множин Єп до деякої (випадкової або невипадкової) точки д0. Ці типи збіжності позначаються як <?„ до і Єп =£■ 7о.

В наступних двох розділах розглядаються застосування вказаних загальних результатів до аналізу асимптотичної поведінки оцінок методу найменших квадратів, побудованих за спостереженнями на траєкторії деякої системи в стаціонарних та перехідних умовах.

Розділ 3.3 ілюструє підхід, що застосовується, для випадку незалежних однаково розподілених спостережень.

Дані мають вигляд уь = д{9о) + 0 < к < п. Доведено, що якщо

к~Р(д(&о + }іг) — д(во)) -» а(-г), при /і —> +0, то клас граничних розподілів може бути представлений як а_1(іУ(0,(?2)), де о_1(-) - обернена функція.

В наступному розділі розглядається більш загальна модель, коли спостереження побудовані на траєкторії деякої системи. Припустимо, що ми маємо (випадкову чи невипадкову) послідовність х„к,к > 0 із значеннями в просторі X, які відповідають послідовним станам системи. Нехай також задано функції д(9,х), 9 Є ©,£ Є X і сімейства випадкових векторів £/с(я)і к > 0. Припустимо, що розподіли не залежать від індексу к > 0, і ці величини не залежать від послідовності хпк,к > 0. Дані мають вигляд:

Упк - 9{во,х„к) + &(£«*), к = 0,1,..., п.

Припустимо, що хпк задовольняє умові усереднення А: існує неперервна функція х(і) така, що для будь-якої неперервної обмеженої функції /{х),х Є X

^ / /Ии))с1и. (6)

п*=0

Зауважимо, що умова А в основному орієнтована на нестаціонарні ситуації. Наприклад, можна перевірити її у випадку, коли послідовність хпк утворює рекурентний процес напівмарківського типу, введений В.В. Ані-сімовим.

Теорема 5 Нехай функція д(9,х) є рівномірно неперервною в ©хХ, для будь-якого х Є X д(9,х) ф д{90,х) при 6 ф 90,

ВД = 0, ЕадЬМ* = Я(*)а,

виконується умова А і зир £'||^1(а:)2|| < С < оо. Тоді {вп}-^-+9о-

*єх

Припустимо далі, що функція д(9,х) диференційовна по 9 і позначимо для простоти V*д{9,х) = д'д(9,х).

Введемо матриці

<22=[ 9е{во,х(и)Уд'в(0о,х(и))<Іи,

J о

дд(0о,ф))*Я(х(и))2д'$(0о,х(и))с1и. ; (7)

4о

Теорема 6 Нехай виконується умова А, функція д'д(9,х) є рівномірно неперервною в (9, х), і задовольняється умова Ліндеберга наступним чином:

Ііт 8ирЕ|(6.(я)||2х(||£і(а;)|| > Ь) = 0. і-юогЄх

Тоді існує послідовність вп точок локального мінімуму Р„(0) така,

що

^Фп-9о)^<3-2ВЛҐ(0,1).

Розглядається частковий випадок, коли д(9,х) — (д{9),/(х)) і д(9) і /(аг) - деякі векторнозпачні функції. Доведено, що при виконанні умови

Ііт к~^(д(во + гЬ) - д{90)) = а(г),

Л*Ч+0 ,

клас граничних розподілів представляється як а-1(С), де вектор £ має багатовимірний нормальний розподіл.

Також розглядається випадок, коли спостереження проводяться у (випадкових чи детермінованих) точках £п0 < іп1 < г„2 < — < де і/„ -. р ,

число спостережень 1 Уп —> оо при п —>■ оо.

В розділі 3.5 предметом розгляду є аналіз розв’язку рівняння методу найменших квадратів. Припустимо, що дані мають вигляд:

Упк = д(Оо,хпк) +&(£„*),& = 0,1,...,п, і послідовність хпк задовольняє умові усереднення А (див. (6)). Позначимо

Ф°(0) = !й *?ед(в,х{и)У(д(в,х(и)) - д{Є0,х(и)))<іи.

Теорема 7 Нехай функція '7дд(9, х) - рівномірно неперервна в 0 х X, функція Фо(0) задовольняє умові відокремлення Б, і для будь-якого х Є X Е£і(:г) = 0, Е£і(а;)£і(а:)* — й(х)2, виконується умова А і вир ||Л(а;)2|| <

хЄ.Х

С < оо. Тоді {#„} в0.

Розглянемо поведінку відхилень.

Теорема 8 Нехай виконуються умови Теореми 1, і задовольняється умова Ліндеберга. Тоді існує послідовність 9„ точок локального мінімума Р„(9) така, що

М^п-Оо)^Я~2вМ(о,і), де матриці С$і В задаються співвідношеннями (7).

Ці теореми показують, що обидва підходи, які базуються на аналізі екстремальних точок і на аналізі розв’язків стохастичних рівнянь, дають в основному подібні результати для оцінок, але при цьому умови можуть бути дещо різними.

Розділ 3.6 присвячений розгляду випадку, коли спостереження керуються деяким випадковим середовищем.

Припустимо, що задано деяку випадкову послідовність £*, к > 0 із значеннями у просторі X, які відповідають станам середовища. Нехай також х(і), і > 0 - деяка неперервна функція із значеннями в метричному просторі X, яка відповідає траєкторії системи, що спостерігається. Ми проводимо спостереження в моменти часу' к > 0. Позначимо хпк —

^пк),к> 0.

Припустимо, що дані мають вигляд:

Упк = 5($0і Я-пАї Ск) “Ь £к(Хпку Ск)> ^ ~ 1> •••! Я

І ДЛЯ ВСІХ ІЄХ,2£2

Е£к{х,г) = 0, Е&(ж, *)&(*, 2)* = Е(х,г)2.

Припустимо, що середовище ^ задовольняє умові ергодичності

Е: існує така ймовірнісна міра я (А), А Є Дг, що для довільної неперервної

обмеженої функції Н(г), г Є Я, при п-їоо

1 п г

-£>(&)-£>/_&(* м«ь).

п к=о

Тоді при деяких регулярних умовах доводиться, що {#„} -£-)• в0 і додатково доводиться, що якщо функція д(9, х, г) диференційовна по в, то існує послідовність в„ точок локального мінімуму Р„(в) така, що

^{вп-в0)^$-2ВЩО,1), (8)

де § і В - деякі матриці.

Зауважимо, що умова ергодичності Е задовольняється для таких широких класів випадкових послідовностей як ергодичні марківські процеси та стаціонарні процеси.

В Главі 4 розглядаються інші застосування результатів Глав 2 і 3. В розділах 4.1-4.2 ми застосовуємо результати про поведінку розв’язків сто-хастичних рівнянь (Теорема 1) до задач статистичного оцінювання параметрів і вивчаємо властивості оцінок методу моментів* побудованих за

траєкторними спостереженнями в перехідних умовах та в ергодичному випадку. В розділі 4.3 ми розглядаємо властивості оцінок методу максимальної вірогідності, побудованих за траєкторними спостереженнями в перехідних умовах. Метод вивчення базується на результатах Глави 2, зокрема Теоремі про поведінку екстремальних точок.

Нехай хпк,к > 1 є траєкторією системи, {7*(а), а Є Ті}, к > 0 - параметричні сімейства випадкових величин. Припустимо, іцо існують перші моменти величин {7й(ог), а Є і як функції а вони належать до параметричного сімейства функцій {<7(0, а), в Є 0 С ТІ, а € ТІ} і Е7і(а) = д(во, а) = ^(а). Тоді оцінка методу моментів є розв’язком рівняння

п~1 X) 9{8> хпк) - п'1 £ ук = 0. (9)

Ь=1 к—\

При виконанні умови усереднення А доведено конзистентність оцінки. При додаткових припущеннях доведено, що граничний розподіл для відхилення має вигляд

де величина £ має стійкий розподіл і $(•),&(•) - деякі конкретні функції.

В розділі 4.3 даються аналогічні результати для оцінок, отриманих методом максимальної вірогідності. При дослідженні ми користуємось результатами Глави 2, Теоремою про поведінку екстремальних точок.

В додатку проводиться аналіз конкретних часових рядів, пов’язаних о продуктивністю вирощування пшениці в Лівії.

ВИСНОВКИ

1. Запропоновано новий підхід до статистичного оцінювання параметрів для спостережень на траєкторіях стохастичних систем. Оцінка представляється як розв’язок (множина розв’язків) деякого стохастичного рівняння або як множина екстремумів деякої випадкової функції, де функцією є деякий адитивний функціонал на траєкторії системи, побудований по спостереженнях.

2. Вивчені асимптотичні властивості розв’язків стохастичних рівнянь загального вигляду і також умови глобальної збіжності. Досліджені їх застосування до аналізу розв’язків рівнянь при випадкових помилках в обчисленнях.

3. Базуючись на запропонованому підході вивчені асимптотичні властивості оцінок, отриманих за допомогою методу найменших квадратів,

«о =

[і/Д

<5(0,

для нелінійних часових рядів в стаціонарних та перехідних умовах, а також під впливом ергодичного середовища, одержано також некласичні граничні закони. .

4. Базуючись на запропонованому підході вивчені також асимптотичні властивості оцінок методу моментів і методу максимальної вірогідності, побудованих за спостереженнями на траєкторіях стохастичних систем в стаціонарних та перехідних умовах.

5. Проведено аналіз конкретних часових рядів, пов’язаних о продуктивністю вирощування пшениці в Лівії.

Основні результати дисертації надруковані в наступних працях

1. Anisimov V.V. and Kaibah H.S. Asymptotic Behaviour of Solutions of Stochastic Equations and Application in Statistics // Istatistik, Journal of the Turkish Statistical Association. - 1998. - N 3. - P. 31-42.

2. Anisimov V.V. and Kaibah H.S. Asymptotic properties of non-linear time series parameters estimators // Вісник Київського університету. - 1998.' -N 3. - С. 109-122.

3. Kaibah H.S. Non-Linear Time Series // Вісник Київського університету. - 1999. - N 1. - С. 101-107.

4. Anisimov V.V. and Kaibah H.S. Asymptotic parameter estimation of non-linear time series in random environment // The Third Ukrainian-Scandi-navian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv, 1999. - P. 19.

5. Anisimov V.V. and Kaibah H.S. Asymptotic Properties of Least-Squared Method Estimators in Stochastic Systems // Материалы Международной Конференции “Современные математические методы исследования телекоммуникационных сетей”. Минск, 1999. С. 158-162.

Хуссейн Салем М. Кейбах. Оцінювання параметрів нелінійних часових рядов у випадковому середовищі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки статистичних оцінок параметрів нелінійних часових рядов, побудованих за спостереженнями на траєкторіях стохастичних систем у випадковому середовищі.

Запропоновано новий підхід, при якому оцінка представляється як розв’язок (множина розв’язків) деякого стохастичного рівняння або як мно-

жина екстремумів деякої випадкової функції (де функцією є адитивний функціонал на траєкторії системи, побудований по спостереженнях), і дослідження асимптотичних властивостей оцінки базується на результатах про асимптотичну поведінку розв’язків стохастичних рівнянь загального вигляду і множин екстремумів випадкових функцій.

Вивчені асимптотичні властивості розв’язків стохастичних рівнянь загального вигляду, умови глобальної збіжності, а також асимптотичні вла-, стивостї множин екстремумів випадкових функцій. Базуючись на цих нових результатах вивчені асимптотичні властивості оцінок методу найменших квадратів для нелінійних часових рядів в стаціонарних та перехідних умовах, а також під впливом ергодичного середовища. Одержано класичні та некласичні граничні закони.

Вивчені також асимптотичні властивості оцінок методу моментів і методу максимальної вірогідності, побудованих за спостереженнями на траєкторіях стохастичних систем в стаціонарних та перехідних умовах.

Досліджені застосування отриманих результатів до аналізу розв’язків детермінованих рівнянь при випадкових помилках в обчисленнях.

Проведено аналіз конкретних часових рядів, пов’язаних з продуктивністю вирощування пшениці в Лівії.

Ключові слова: статистичне оцінювання параметрів, часові ряди, метод найменших квадратів, метод моментів, метод максимальної вірогідності, розв’язок стохастичного рівняння, множина екстремумів, асимптотичні результати.

Хуссейн Салем М. Кейбах. Оценивание параметров нелинейных временных рядов в случайной среде. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Работа посвящена исследованию асимптотического поведения статистических оценок параметров нелинейных временных рядов, построенных по наблюдениям на траекториях стохастических систем в случайной среде. Предложен новый подход, основанный на результатах об асимптотическом поведении решений стохастических уравнений общего вида и множеств экстремумов случайных функций. Изучены асимптотические свойства оценок метода наименьших квадратов, метода моментов и метода максимального правдоподобия для нелинейних временных рядов в

стационарных и переходных условиях, а также под влиянием эргодической среды.

Ключевые слова: статистическое оценивание параметров, временные ряды, метод наименьших квадратов, метод моментов, метод максимального правдоподобия, решение стохастического уравнения, множество экстремумов, асимптотические результаты.

Hussein Salem М. Kaibah, Estimation the parameters of non-linear time series in random environment. - Manuscript.

Thesis for the degree of Candidate of Science (Ph. D.) in Physics and Mathematics, on speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000,

The thesis is devoted to the investigation of the asymptotic behaviour of statistical parameters estimators for non-linear time series constructed by observations on trajectories of stochastic systems and possibly under the influence of a random environment.

In the thesis the new approaches and methods are developed to make statistical inference in such non-classical situations when observations are non homogeneous in time and also are not independent.

Asymptotic properties of parameters estimators are studied for different classes of statistical methods and for observations constructed on trajectories of stochastic systems in stationary and transient conditions.

The trajectories of stochastic systems under consideration are supposed to satisfy some conditions of averaging in transient conditions or ergodicity in stationary conditions.

The description of different classes of time series and different models for their analysis is given.

Some special classes of non-linear models for the analysis of parameters of trends in non-linear time series are considered and recurrent algorithms for numerical calculation of parameters are studied. .

A new approach in statistical parameter estimation for observations on trajectories of stochastic systems is suggested. It is based on the representation of estimator as a solution (set of solutions) of some stochastic equation (or as a point (set) of extreme of some random function), where the function is some additive functional on the trajectory of a system, and it is also based on the results about the asymptotic behaviour of solutions of stochastic equations and extreme sets of random functions.

Asymptotic properties of solutions of stochastic equations (conditions of consistency and the behaviour of deviations) are studied.

Conditions of global convergence of solutions are considered.

Asymptotic properties of points (sets) of extreme for general random functions are studied as well. .

Applications of these general results to the asymptotic analysis of least squares method estimators for non-linear time series basing on the suggested approach are investigated in stationary and transient conditions, and also under the influence of the ergodic environment. Classical and non-classical limit laws are also obtained.

Applications to the asymptotic analysis of method of moments and maximum likelihood method estimators constructed by the observations on trajectories of stochastic systems in transient and stationary conditions based on the suggested approach are considered as well.

Another applications to the analysis of solutions of deterministic equations under random errors at calculations are also studied.

The comparison of asymptotic results obtained by both approaches based on the analysis of extreme points of random functions and on the analysis of solutions of stochastic equations is also provided; their connection to analogous results and other techniques elaborated by now is described.

Analysis of concrete non-linear time series data concerning with the productivity of wheat in Libya is also provided.

Key words: statistical parameter estimator, time series, method of least squares, moments method’, maximum likelihood method, solution of stochastic equation, extreme set, asymptotic results.