Оценка параметров взаимодействия колебательных систем по временным рядам наблюдаемых тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Методы оценки связи между колебательными 16 системами

1.1. Введение

1.2. Классическое представление о связи и связанности

1.3. Слабая и сильная связь в автоколебательных системах. 31 Основные виды синхронизации

1.4. Систематизация методов анализа взаимодействия по 35 временным рядам

1.5. Непосредственный анализ по временным рядам

1.5.1. Взаимная корреляция

1.5.2. Взаимный спектр

1.5.3. Нелинейная корреляция

1.5.4. Методы, основанные на теории информации

1.5.5. Методы оценки взаимодействия при известной структуре 50 уравнений

1.5.6. Методы оценки синхронности в восстановленном 52 пространстве состояний

1.5.7. Биспектр (бикогерентность)

1.5.8. Методы анализа фазовой синхронизации

1.5.9. Анализ следования событий

1.6. Опосредованный анализ через построение динамической 69 модели

1.6.1. Причинность по Грейнджеру

1.6.2. Анализ фазовой динамики

1.7. Сопоставление методов оценок связи на эталонных примерах 74 1.7.1. Случай отсутствия связи

1.7.2. Случай симметричной связи

1.7.2.1. Связанные автономные консервативные осцилляторы

1.7.2.2. Связанные неавтономные диссипативные осцилляторы

1.7.3. Случай однонаправленной связи

1.7.3.1. Связанные системы Ресслера

1.7.3.2. Связанные системы Ван-дер-Поля

1.7.3.3. Связанные стохастические системы

1.7.4. Основные результаты 99 1.8. Выводы

Глава 2 Методы диагностики слабой связи по временным рядам

2.1. Введение

2.2. Диагностика слабой связи, основанная на прогнозе фазовой 102 динамики по коротким рядам

2.2.1. Методика исследование пределов применимости метода

2.2.2. Виляние свойств шума

2.2.3. Влияние индивидуальной нелинейности осциллятора

2.2.4. Влияние величины связи между осцилляторами

2.2.5. Связанные осцилляторы Ван-дер-Поля

2.2.6. Результаты по исследованию пределов применимости 120 метода

3.2. Оценка связи по сигналам с отведений электроэнцефалограмм 142 методом фазовой динамики

3.3. Выявление синхронизации между основными процессами 145 кардио-респираторной системы человека

3.3.1. Описание эксперимента и экспериментальных данных 146

3.3.2. Предварительная обработка экспериментальных данных 150

3.3.3. Определение синхронизации между основными процессами 151 кардио-респираторной системы по многоканальным данным

3.3.3.1. Случай произвольного дыхания 153

3.3.3.2. Случай дыхания с постоянной частотой 157

3.3.3.3. Случай линейно изменяющейся частоты дыхания 160

3.3.3.4. Сравнение качества синхронизации при произвольном и 163 вынужденном дыхании

3.3.4. Определение синхронизации между основными процессами 166 кардио-респираторной системы по скалярному ряду вариабельности сердечного ритма

3.3.4.1. Способы выделения фазы процессов из вариабельности 166 сердечного ритма

3.3.4.2. Выявление синхронизации между колебательными 174 процессами кардио-респираторной системы по унивариантным данным

3.4. Выводы 178

Приложение Статистические характеристики индексов 181 интенсивности связи, основанных на анализе условных вероятностей переключений

Заключение 185

Благодарности 189

Список литературы 190

Введение

Задача диагностики по временным реализациям экспериментально наблюдаемых величин наличия, направленности • и интенсивности взаимодействия между источниками сложных сигналов (включая хаотические) междисциплинарна. Она важна для физики, биологии, геофизики, медицины, техники. Так, например, анализ записей колебаний различных элементов механизма может указать на источник вибраций, а умение выявлять взаимодействия между различными областями мозга по многоканальным записям электроэнцефалограмм позволяет определить положение очагов патологической активности у пациентов, страдающих эпилепсией [1].

Разнообразие специфических ситуаций и трудностей решения задачи анализа связи в типичных для практики условиях дефицита данных, нестационарности и наличия шумов определили существование множества подходов. Они развивались в рамках спектрального анализа, теории информации, нелинейной динамики [33]. Наряду с традиционными подходами к анализу связи в последние годы все больше используются методы реконструкции модельных уравнений по временным рядам -дискретным последовательностям значений наблюдаемых величин. Именно в таком виде представляется информация на выходе большинства современных измерительных и диагностических приборов, использующих аналого-цифровые преобразователи и реализующих цифровую обработку.

Для успешного решения конкретных задач анализа связей по экспериментальным рядам требуется знание границ применимости и специфики того или иного подхода. Так, недавно был предложен чувствительный к слабой связи метод, основанный на моделировании динамики фаз колебательных систем в виде системы двух нелинейных стохастических уравнений первого порядка [112]. Он перспективен для сигналов с хорошо определенными фазами колебаний (т.е. с ярко выраженным основным ритмом), а использованная в методике упомянутая простая структура модели, включающая тригонометрические многочлены, по физическому смыслу переменных относится к специфическому классу систем, для которых пригодно понятие фазы. В исходном варианте метод применим только для очень длинных стационарных рядов (порядка 10005000 характерных периодов) и слабой связи. Это исключает его использование для анализа нестационарных сигналов, типичных в физиологии (длительность квазистационарного участка ЭЭГ не превышает 10 секунд, что, например, составляет не более 100 периодов для альфа-ритма [121] ) и других областях. Этот метод был развит на случай более коротких рядов (допускаются длины от 50 характерных периодов и выше) [114], однако, область его применимости еще не исследована. Значительное развитие идеологической, экспериментальной и измерительной базы радиофизики в вопросах изучения сложных колебательных явлений делает целесообразным использование для изучения перечисленных вопросов радиофизических объектов. Поэтому в работе исследуются радиофизические объекты - эталонные колебательные модели и лабораторные макеты генераторов со сложной динамикой, в которых можно выбирать различные колебательные режимы.

Что касается приложений результатов работы, то их область ближе к биофизике, физиологии и медицинской диагностике. Так, большой интерес в медицинской практике вызывает функционирование и взаимодействие отделов сердечно-сосудистой и дыхательной систем человека. Среди наиболее значимых процессов можно выделить собственно сам процесс сокращения сердечной мышцы (с частотой около 1 Гц), процесс, связанный с медленной барорефлекторной регуляцией артериального давления (около 0.1 Гц) и процесс дыхания (около 0.25 Гц). Существует ряд работ, посвященных изучению взаимодействия (синхронизации) процессов сердцебиения и дыхания [153, 154]. Исследованию возможности синхронизации процесса медленной барорефлекторной регуляции с дыханием уделено меньшее внимание. В большинстве работ синхронизация анализируется при постоянном или спонтанном дыхании (которое выступает в роли ведущей системы), что, строго говоря, не является убедительным доказательством взаимодействия, т.к. может наблюдаться случайное совпадение или кратность частот колебательных процессов. Поэтому данная проблема остается открытой и требует дополнительных исследований.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и биофизики.

Целью диссертационной работы является систематизация, модернизация и исследование пределов применимости методов определения взаимодействия сложных колебательных систем по временным рядам, а также приложение этих подходов к анализу физиологических данных. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• систематизация известных подходов оценки параметров взаимодействия между системами по временным рядам,

• сопоставление на эталонных примерах методов, опирающихся на разные подходы, к выявлению взаимодействия между колебательными системами,

• исследование пределов применимости на эталонных радиофизических моделях и демонстрация работоспособности на реальных генераторах метода определения слабого взаимодействия между системами, использующего прогностическую модель фазовой динамики связанных осцилляторов, по коротким зашумленным рядам,

• разработка и модернизация подходов определения слабого взаимодействия между системами с переключениями,

• приложение метода выявления связи по временным рядам, базирующегося на построении прогностической модели фазовой динамики, к анализу электроэнцефалограмм больных эпилепсией,

• исследование фазовой и частотной синхронизации основных колебательных процессов сердечно-сосудистой и дыхательной систем человека.

Научная новизна

1. На эталонных радиофизических примерах проиллюстрированы количественные характеристики связи, опирающиеся на различные подходы к выявлению взаимодействия между колебательными системами (по анализу следования событий во временных рядах, анализу в пространстве состояний и построении прогностической модели фазовой динамики). Показана их способность отражать изменение во времени направленности передачи энергии (в общем случае, информации) между симметрично связанными системами в режиме биений.

2. При однонаправленном воздействии и наличии задержки в канале связи показана обратная зависимость между коэффициентом фазовой диффузии и величиной задержки для обеспечения работоспособности подхода, основанного на положении максимума функции взаимной корреляции.

3. Исследованы пределы применимости метода определения слабой связи, основанного на построении модели фазовой динамики связанных осцилляторов. Теоретически метод был обоснован для линейных несвязанных осцилляторов в присутствии шума с нормальным распределением. В результате систематического исследования были определены количественные соотношения между допустимым уровнем связи, нелинейности и линейной компоненты возвращающей силы, для которых метод сохраняет свою работоспособность. Также показано его некритичность к спектральным и вероятностным свойствам шумов. Продемонстрирована возможность выявления направленности и интенсивности воздействия между реальными нелинейными генераторами, находящимися в хаотическом режиме.

4. Разработаны и модернизированы оценки определения слабого взаимодействия между системами с переключением. Получены формулы на 95% доверительный интервал оценок. Проведено их сопоставление на эталонных системах.

Достоверность полученных результатов обуславливается воспроизводимостью всех численных результатов, их совпадением с теоретическими, а также соответствием экспериментальных исследований и численного анализа. Достоверность экспериментальных результатов обеспечена применением стандартной измерительной аппаратуры. Практическая значимость

1. Критический обзор и результаты сопоставления методов оценки связи имеют методическое значение и могут быть использованы в исследовательской практике и спецкурсах для студентов.

2. Проведены численные исследования сложного поведения модели генератора с кусочно-линейной аппроксимацией характеристики нелинейного элемента (диода). Построена детальная картина бифуркационных множеств в пространстве управляющих параметров диссипация в системе - емкостная составляющая импеданса диода.

3. Результаты оценки взаимодействия локальных областей мозга по внутричерепным записям электроэнцефалограмм человека, содержащих фрагменты эпилептического припадка, с помощью прогностической модели фазовой динамики связанных систем дополняют данные исследований традиционными методами и расширяют возможности диагностики.

4. Экспериментально показана возможность синхронизации процесса медленной регуляции артериального давления дыханием при различных режимах дыхания, причем длительность участков захвата в среднем выше для случая вынужденного дыхания (дыхания по заданному ритму).

5. Подготовлен программный продукт, расширяющий возможности кардиологических исследований (свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960 «Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека (Синхро)» ).

Апробация работы и публикации:

Материалы диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ, семинарах кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии факультета нано- и биомедицинских технологий, а также на следующих конференциях и школах: XII, XIII Научная школа "Нелинейные волны 2006" (Нижний Новгород, 2004, 2006), Всероссийский конкурс инновационных проектов "Живые системы" (Киров, 2005), VII Всероссийская научная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2005), The International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics (NWP) 2005" (Нижний Новгород, 2005), IV Всероссийский симпозиум с международным участием "Медленные колебательные процессы в организме человека: теория и практическое применение" (Новокузнецк, 2005), IV Международная конференция "Идентификация систем и проблемы управления (SICPRO 2005)" (Москва, 2005), Всероссийский конкурс среди учащейся молодежи ВУЗов РФ на лучшие научные работы по естественным наукам (Саратов, 2004), Итоговая конференция Всероссийского конкурса на лучшие научные работы студентов по естественным, техническим наукам (проекты в области высоких технологий) и инновационным научно-образовательным проектам (Москва, 2004), Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 2002, 2003, 2004, 2005), VII Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС'04)" (Саратов, 2004), XXIV annual conference "Dynamics Days 2004" (Palma de Mallorca, Spain, 2004); VI научно-практическая конференция "Системный анализ в проектировании и управлении" (Санкт-Петербург, 2004), 11th International School-Conference Foundations & Advances in Nonlinear Science (Minsk, Belarus, 2003), XXIII annual conference "Dynamics Days 2003" (Palma de Mallorca, Spain, 2003); Международная конференция "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations (Synchro 2002)" (Саратов,

2002), VI Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур (XAOC'Ol)" (Саратов, 2001).

Результаты диссертации использовались при выполнении НИР, поддержанных грантами НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» CRDF № REC-006, РФФИ №№ 03-02-17593, 02-02-17578, 05-02-16305, Президиума Российской Академии Наук № 23, Министерства Образования РФ.

Личный вклад соискателя выразился в участии и проведении всего объема экспериментальных работ, проведении компьютерного моделирования с помощью, в основном, разработанного им комплексом программ и анализа полученных данных. Физическая интерпретация результатов проводилась совместно с научными руководителями и соавторами опубликованных работ.

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, трех глав одного приложения, заключения и списка литературы и содержит 210 страниц текста, включая 61 иллюстрацию, 3 таблицы и список литературы из 193 наименований.

3.4. Выводы

В третьей главе рассмотрены приложения методов оценки связи между колебательными системами в некоторых физиологических задачах.

Метод моделирования фазовой динамики применен для анализа взаимодействия между отделом в левой височной части коры и левой частью гиппокампа по внутричерепным ЭЭГ записям в период припадка. Полученные результаты о выявлении преимущественного значимого воздействия одного отдела мозга на другой согласуются с оценками медицинских и физиологических специалистов. Продемонстрирована устойчивость результатов к варьированию параметров методики в широких пределах. Это обстоятельство позволяет надеяться на то, что методика окажется полезной как дополнительный инструмент для локализации эпилептического фокуса.

Показано возможность фазовой и частотной синхронизации дыхание здорового человека с основным сердечным ритмом и ритмом медленной регуляции кровяного давления. Фазы ритмов могут быть захвачены с различными соотношениями mm, причем для всех испытуемых наблюдалось несколько различных порядков синхронизации в пределах одного измерения.

Зависимости качества синхронизации от интенсивности респираторной синусовой аритмии и мэйеровской синусовой аритмии обнаружено не было.

В экспериментах с заданной частотой дыхания (постоянной или линейно меняющейся) синхронизация между основными процессами, определяющими динамику ССС, была выше, чем в случае произвольного дыхания. При частоте дыхания 0.1 Гц наблюдается резонансное увеличение амплитуды ВСР и захват частоты процесса медленной регуляции сердечного ритма /у. При линейно изменяющейся частоте дыхания наблюдается явление захвата частоты fv частотой дыхания fr при различных соотношениях частот fjfr (1/2, 1/3 и 2/5).

Также показано, что мгновенные фазы и мгновенные частоты основных ритмов ССС для здоровых людей могут быть определены из временного ряда интервалов между последовательными ударами сердца (R-R интервалов). Причем фазы и частоты, выделенных из ряда R-R интервалов ритмов, полученные с помощью методов, использующих полосовую фильтрацию, разложение на эмпирические моды и вейвлетное преобразование, достаточно близки. Выделение ритмических составляющих ВСР оказывается возможным благодаря хорошо выраженному различию их частот.

Существование фазовой и частотной синхронизации 1:1 между временными рядами дыхания и выделенного из ВСР респираторного ритма наблюдается у всех испытуемых, как при произвольном дыхании, так и при дыхании с постоянной частотой. Фазы и частоты более низкочастотного ритма с собственной частотой вблизи 0.1 Гц, выделенные из ряда R-R интервалов и из ряда кровяного давления, демонстрируют между собой большее отличие, чем респираторные колебания в исследуемых сигналах. Однако, при использовании вейвлетного преобразования было получено наиболее близкое совпадение фаз и частот ритма с собственной частотой вблизи 0.1 Гц, выделенного из ряда R-R интервалов и из ряда кровяного давления.

На основе анализа лишь рядов R-R интервалов показано существование синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и ритмом с собственной частотой около 0.1 Гц. Результаты исследования синхронизации между ритмами кардио-респираторной системы по унивариантным данным в виде ряда R-R интервалов качественно совпадают с результатами, полученными нами при исследовании синхронизации по бивариантным данным, т.е. по одновременно снимаемым записям ЭКГ, дыхания и кровяного давления.

Заключение

Задача диагностики по временным реализациям экспериментально наблюдаемых величин преимущественного направления и интенсивности воздействия (связи) между источниками сложных сигналов имеет широкую практическую значимость во многих областях физики, физиологии и медицины. Использование того или иного метода для решения такой задачи требует знания границ его применимости. Исследование пределов работоспособности целесообразно проводить на эталонных сигналах, взятых с систем, о наличии и характере связи (или ее отсутствии) которых можно говорить на основании здравого смысла или из физических соображений. В качестве таковых использовались математические модели осцилляторов (с шумами и без) или лабораторные макеты генераторов в различных колебательных режимах. Задавались ситуации заведомого отсутствия связи, однонаправленной и симметричной связи. В последнем случае реализовывались как синфазные и противофазные колебательные моды, так и режим биений, когда имело место периодическое изменение направления передачи энергии между связанными системами. Показано, что характеристики связи, полученные из анализа положения максимума функции взаимной корреляции, анализа следования событий во временных рядах, анализа распределения ближайших соседей в пространстве состояний и анализа модели фазовой динамики, в отличие от коэффициентов связи в уравнениях, отражают изменение во времени направления передачи энергии.

Определение направленности воздействия по положению максимума функции взаимной корреляции сигналов динамических хаотических или зашумленных колебательных систем с задержкой в канале связи возможно с учетом обратной зависимости между этой задержкой и коэффициентом фазовой диффузии.

Предложены интервальные оценки связанности между системами с переключениями в случае сравнительно коротких временных рядов: модифицирован известный подход, основанный на анализе следования событий, и предложен новый метод, основанный на анализе условных вероятностей переключений. Обе оценки позволяют контролировать статистическую значимость получаемых выводов. В численных экспериментах обнаружено, что в зависимости от ситуации более чувствительным к слабой связи может оказаться как один, так и другой подход. При более сильной связи анализ следования событий дает иногда ошибочные выводы о направлении воздействия, в то время как вероятность ошибки, полученная при анализе условных вероятностей, остается малой величиной.

На радиофизических эталонных системах проведено исследование пределов применимости метода оценки слабой связи, основанного на анализе модели фазовой динамики связанных осцилляторов. Показана его некритичность к разным спектральным и вероятностным свойствам шумов, присутствующих в системах, а также применимость к осцилляторам с нелинейностью до 60% и уровнем связи до 20% от линейной компоненты возвращающей силы. С позиций оценок уровней шумов и характера нелинейности, представленных в типичных радиофизических системах, полученные результаты позволяют говорить о возможности использования метода к анализу связи между реальными объектами. В качестве примера был собран макет двух генераторов с кусочно-линейной аппроксимацией характеристики нелинейного элемента (диода) с регулируемой связью. Выбор такого объекта связан с тем, что в ходе проведенных численных расчетов было продемонстрировано, что отдельный генератор демонстрирует широкий набор периодических и хаотических колебательных режимов. Продемонстрирована возможность выявления слабого взаимодействия между связанными генераторами, находящимися как в периодическом, так и в хаотическом режимах, на основе модели динамики фаз связанных осцилляторов по экспериментальным данным.

В качестве практического приложения анализа модели фазовой динамики в работе проводилась оценка связанности по сигналам с отведений человеческих электроэнцефалограмм, содержащих фрагменты эпилептического припадка. Полученные результаты о преимущественном направлении воздействия согласуются с представлениями нейрофизиологов. Таким образом, методика выявления связи между системами, основанная на построении модели фазовой динамики, может рассматриваться как дополнительный инструмент при решении задач локализации патологических очагов в головном мозге.

Проведено исследование возможности выявления фазовой и частотной синхронизации для здоровых людей между основными процессами кардио-респираторной системы: дыханием имеющем в среднем частоту 0.25 Гц, процессом, связанным с сокращением сердечной мышцы (около 1 Гц) и процессом, отражающим медленную регуляцию артериального давления, в среднем с частотой около 0.1 Гц. Показано, что фазы и частоты колебаний могут быть захвачены, причем для всех испытуемых наблюдалось несколько различных порядков синхронизации в пределах одного измерения. В экспериментах с заданной (постоянной) частотой дыхания длительность временных участков синхронизации между дыханием и процессом медленной регуляции артериального давления была в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания. Также показано, что мгновенные фазы и мгновенные частоты основных колебательных процессов кардио-респираторной системы для здоровых людей могут быть определены из временного ряда интервалов между последовательными ударами сердца (R-R интервалов). На основе анализа лишь рядов R-R интервалов показано существование синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом, а также между дыханием и ритмом с собственной частотой около 0.1 Гц. Результаты исследования синхронизации между основными процессами кардио-респираторной системы по одноканальным данным в виде ряда R-R интервалов качественно совпадают с результатами, полученными в работе при исследовании возможности синхронизации по многоканальным данным, т.е. по одновременно снимаемым записям ЭКГ, дыхания и кровяного давления.

Благодарности

Выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям профессору Борису Петровичу Безручко и старшему научному сотруднику Дмитрию Алексеевичу Смирнову за постоянное внимание, многочисленные полезные советы и участие в выполнении и оформлении работы. Выражаю свою признательность старшим научным сотрудникам Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН Владимиру Ивановичу Пономаренко, Евгению Петровичу Селезневу и Михаилу Дмитриевичу Прохорову за ценные замечания и помощь в осуществлении экспериментов, а также сотрудникам кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии СГУ Тарасу Диканеву, Анатолию Караваеву, Илье Сысоеву за оказание помощи и поддержки при выполнении работы.

1. Chaos in brain? // Edited by K. Lehnertz, J. Arnhold, P. Grassberger, C.E. Elger. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2000.

2. E. V. Appleton. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Cambridge Phil Soc. (Math. andPhys. Sci.). 1922.V. 21. P.231.

3. J. F. Heagy, T. L. Caroll, and L. M. Pecora. Synchronous chaos in coupled oscillator systems //Phys. Rev. E. 1994. V. 50. pp. 1874-1885.

4. D. W. Peterman, M. Ye, and P. E. Wigen. High frequency synchronization of chaos И Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. pp. 1740-1742.

5. E. Rosa Jr., W. B. Pardo, С. M. Ticos, J. A. Walkenstein, and M. Monti. Phase synchronization of chaos in a plasma discharge tube // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10. No. 11. pp. 2551-2563.

6. L. Fabiny, P. Colet, and R. Roy. Coherence and phase dynamics of spatially coupled solid-state lasers II Phys. Rev. A. 1993. V. 47. pp.4287-4296.

7. T. Heil, In. Fischer, W. Elsasser, J. Mulet, and C. R. Mirasso Chaos Synchronization and Spontaneous Symmetry-Breaking in Symmetrically Delay-Coupled Semiconductor Lasers // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. pp. 795-798.

8. L. Kocarev and U. Parlitz. General approach for chaotic synchronization with applications to communication II Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74 pp. 50285031.

9. T. L. Carroll and L. M. Pecora. Cascading synchronized chaotic systems // Physica D. 1993. V. 67 pp. 126-140.

10. W. Wang, В. T. Anderson, R. K. Kaufmann, and R. B. Myneni The relation between the North atlantic oscillation and SSTs in the North atlantic basin. // Journal of climate. 2004. V.l 7. p. 4752-4759.

11. П.Коновалов И.Б., Мольков Я.И., Фейгин A.M. Механизмы сложного динамического поведения мезосферной фотохимической системы //

12. Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Нелинейная динамика -синхронизация и ха-ос, 1997, В. 2. СС. 119-142.

13. Feigin A.M., Konovalov I.B., and Molkov Y.I. Toward an understanding of the nonlinear nature of atmospheric photochemistry: essential dynamic model of the mesospheric photochemical system // J. Geophys. Research, 1998, V. 103, No. D19. pp. 25447-25460.

14. Гренджер К., Хатанака M. Спектральный анализ временных рядов в экономике, (перевод с английского). -М.: Статистика. 1972.

15. J. J. Ting Causalities of the Taiwan stock market // Physica A. 2003. V324. pp. 285-295.

16. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, and J. Kurths. Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2001.

17. C. Schafer, M.G. Rosenblum, H.Abel, and J. Kurths Synchronization in the human cardio respiratory system. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. N.l. pp. 857870.

18. M. G. Rosenblum, L. Cimponeriu, A. Bezerianos, A. Patzak, R. Mrowka Identification of coupling direction: application to cardiorespiratory interaction // Phys. Rev. E. 2002. V.65. P.041909.

19. B. И. Калинин и Г. M. Герштейн. Введение в радиофизику. — М.: Гос. издат. Технико-теоретической литературы. 1957. 660 с.

20. Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны: Учебное пособие для вузов. М.: Издательство физико-математической литературы. 2001.-416 с.

21. Г. Пейн Физика колебаний и волн (пер. с англ. А.А.Колоколова). / Под.ред. Г. В. Скроцкого. -М.: «Мир». 1979. 392 с.

22. С. П. Кузнецов. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума. Известия вузов Радиофизика, 1985, т.28, №8, с.991-1007.

23. J. Lu and J. Cao Adaptive complete synchronization of two identical or different chaotic (hyperchaotic) systems with fully unknown parameters // Chaos. 2005. V. 15.043901.

24. D. Huang and R. Guo Identifying parameter by identical synchronization between different systems // Chaos. 2004. V. 14. pp. 152-159.

25. П. С. Ланда Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы.- М.: Наука. ГРФМЛ, 1980.- 360 с.

26. Хованов Н. А., Хованова И.А. Методы анализа временных рядов. -Саратов: ИГУНЦ "Колледж", 2001. 120 с.

27. J. P. Lachaux, Е. Rodriguez, М. Le Van Quyen, A. Lutz, J. Martinerie, and F. J. Varela. Studying single-trials of phase-synchronous activity in brain // International Journal of Bifurcation and Chaos. Appl. Sci. Eng. 2000. V. 10. No. 10. pp. 2429-2439.

28. A. G. Rossberg, K. Batholome, and J. Timmer Data-driven optimal filtering for phase and frequency of noisy oscillations: Application to vortex flow metering И Phys. Rev. E. 2004. V. 69. 016216.

29. M. V. Quyen, J. Foucher, J.-P. Lachaux, E. Rodriguez, A. Lutz, J. Martinerie, R. J. Varela Comparison of Hilbert transform and wavelet methods for the analysis of neuronal synchrony // J. of Neuroscience Meth. 2001. V 111. pp. 83-98.

30. R. Quian Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, and P. Grassberger. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencephalographic signals. II Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 041903.

31. U. Parlitz, L. Junge, W. Lauterborn, and L. Kocarev. Experimental observation of phase synchronization // Phys. Rev. E. 1996. V. 54 pp. 21152117.

32. Z. Zheng and G. Hu. Generalized synchronization versus phase synchronization. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. pp. 7882-7885.

33. R. Brown, L. Cocarev A unifying definition of synchronization for dynamical systems. // arXiv:chao-dyn. 1999. V2. 9811013.

34. H. D. I. Abarbanel, R. Brown, J. J. Sidorovich, and L. S. Tsimring The analysis of observed chaotic data in physical systems. // Rev. Mod. Phys. 1993. V. 65. N. 4. pp. 1331-1392.

35. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж». 2005. -320 с.

36. Г. Дженкинс, Дж. Бокс Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир. 1974. - 242 С.

37. Р. Отнес, Л. Эноксон. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982.

38. E. Pereda, R. Quian Quiroga, J. Bhattacharya Nonlinear multivariate analysis of neurophysiological signals // Progress in Neurobiology. 2005. V. 77. pp. 1-37.

39. И. Н. Книпст, Е. А. Черемушкин Системные изменения корковой электрической активности и их роль в интегративных процессах головного мозга (синергетический подход). // УФН. 2001 №2. Т.32. СС. 29-57.

40. A. S. Gevins, R. Е. Schaffer A critical-review of electroencephalographic (EEG) correlates of higher cortical functions // CRC Crit. Rev. Bioeng. 1980.V. 4, pp. 113-164.

41. Л.Г. Горчаков и др. Специальные статистические методы. Методическое пособие. Саратов. 1974. 16 С.

42. Н. И. Вальвачев, М. И. Римжа Статистический метод в медицинской практике. -М.: «Беларусь». 1989. 112 С.

43. D.V. Ramana Reddy, A. Sen, G.L. Johnston Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation, // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1999. V. 129. N. 1-2. pp. 15-34.

44. At. Takamatsu, T. Fujii, and Is. Endo Time Delay Effect in a Living Coupled Oscillator System with the Plasmodium of Physarum polycephalum. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. pp. 2026-2029.

45. W. Horbelt, J. Timmer and H.U. Voss Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data. // Phys. Lett. A. 2002 V. 299. pp.513-521.

46. T. Ohiraand, R. Sawatari Delay estimation from noisy time series. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. R2077-R2080.

47. L. Cimponeriu, M. Rosenblum, and A. Pikovsy Estimation of delay in coupling from time series. II Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 046213.

48. J.R. Rosenberg, A.M. Amjad, P. Breeze, D.R. Brillinger, and D.M. Halliday The Fourier approach to the identification of functional coupling between neuronal spike trains. II Prog. Biophys. Mol. Biol. 1989 V. 53. pp 1-31.

49. Quian Quiroga R., Kraskov A., Kreuz Т., Grassberger P On the performance of different synchronization measures in real date: a case of study on EEG signals. // arXiv: nlin.CD/0109023. V.l. 2001.

50. Timmer J., Lauk M., Pfleger W Cross-spectral analysis of physiological tremor and muscle activity. I. Theory and application to unsynchronized EMG. // Chao-dyn/9$05011. 1998.

51. P. Grosse, M.J. Cassidy, P. Brown EEG-EMG, MEG-EMG and EMGEMG frequency analysis: physiological principles and clinical applications. // Journal of Clinical Neurophysiology. 2002. V. 113. pp. 1523-1531.

52. R. Dahlhaus Graphical interaction models for multivariate time series. // Metrica. 2000. V. 51. pp. 157-172.

53. J. P. Lachaux, et al. Estimating the time-course of coherence between single-trial brain signals: an introduction to wavelet coherence. // Neurophysiol. Clin. 2002. V. 32.

54. А. А. Короновский, A. E. Храмов Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит. 2003. - 176 С.

55. D. Maraun and J. Kurths Cross wavelet analysis: significance testing and pitfalls. // Nonlinear processes in geophysics. 2004. V. 11. pp. 505-514.

56. D. Lee Analysis of phase-locked oscillations in multi-channel single-unit spike activity with wavelet cross-spectrum. // Journal of neuroscience methods. 2002. V. 115. pp. 67-75.

57. R. Saab, M. J. McKeown, L. J. Myers, and R, Abu-Gharbieh A wavelet based approach for detection of coupling in EEG signals. // Proc. of 2-nd Int. IEEEEMBS. 2005. pp. 616-620.

58. D. Lee Coherent oscillations in neuronal activity of the supplementary motor area during a visuomotor Task. // Journal of Neuroscience. 2003. V. 23. pp. 6798-6809.

59. L. Hudgins, C. A. Friehe, and M. E. Mayer Wavelet transforms and atmospheric turbulence // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. pp. 3279-3282.

60. Айвазян С. А. Статистическое исследование зависимостей. — М.: Металлургия. 1968.-227с.

61. F. Н. Lopes da Silva, J. P. Pijn, P. Boeijinga Interdependence of EEG signals: linear vs nonlinear associations and the significance of time delays and phase shift. II Brain Topography. 1989. V. 2. pp. 9-18.

62. F. Wendling, F. Bartolomei, J. J. Bellanger, P. Chauvel Interpretation of independences in epileptic signals using macroscopic physiological model of the EEG. II Journal of Clinical Neurophysiology. 2001. V. 112. pp. 12011218.

63. J. P. M. Pijn, P. С. M. Vijn, F, H, Lopes da Silva, W. Van Embe Boas, W. Blances The use of signal-analysis for the localization of epileptogenic focus: a new approach. II Adv. Epileptology. 1989. V. 17. pp. 272-276.

64. K. Pawelzik and H.G. Schuster. Generalized dimensions and entropies from a measured time series. // Phys. Rev. A. 1987. V. 35. pp. 481-484.

65. R. Quian Quiroga, J. Arnhold, K. Lehnertz and P. Grassberger. Kulback-Leibler and renormalized entropies: Applications to electroencephalograms of epilepsy patients. II Phys. Rev. E. 2000. V. 62 pp. 8380-8386.

66. J. A. Vastano and H. L. Swinney. Information transport in spatiotemporal systems. II Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. pp. 1773-1776.

67. A. Kraskov, H. Stogbauer, and P. Grassberger Estimating mutual information. II Phys. Rev. E. 2004. V. 69. 066138.

68. C. J. Cellucci, A. M. Albano, and P. E. Rapp Statistical validation of mutual information calculations: Comparison of alternative numerical algorithms. // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. 066208.

69. В. Pompe, P. Blidh, D. Hoyer, and M. Eiselt Using mutual information to measure coupling in the cardiorespiratory system. // IEEE Eng. Medical Biology. 1998. V. 17. pp. 32-39.

70. R. Steuer, L. Molgedey, W. Ebeling, and M. Jimenez-Montano Entropy and optimal partition for data analysis. // European Physical Journal. 2001. В19. pp. 265-269.V

71. M. Palus, V. Komarek, Z. Hrncic, and K. Sterbova Synchronization as adjustment of information rates: Detection from bivariate time series. // Phys. Rev. E. 2001. V.63. 046211.V

72. M. Palus, V. Komarek, T. Prochazka, Z. Hrncic, and K. Sterbova Synchronization and information flow in EEGs of epileptic patients. // IEEE Engin. Med. Biol. Mag. 2001. V. 20. pp. 65-71.

73. T. Schreiber Measuring information transfer. II Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85, pp. 461-464.

74. H. D. I. Abarbanel, N. F. Rulkov, and M. M. Suschik Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach. // Phys.Rev.E. 1996. V.53. N.5. pp. 4528-4535.

75. L. M. Pecora and Т. M. Carroll Synchronization in chaotic systems. // Phys.Rev.Lett. 1990. V.64. N.8. pp. 821-824.

76. R. Quian Quiroga, J. Arnhold, and P. Grassberger Learning driver-response relationships from synchronization patterns. // Phys.Rev.E. 2000. V.61. N.5. pp. 5142-5148.

77. K. Pyragas Weak and Strong synchronization of chaos. // Phys.Rev.E. 1996. V.54 N.5. pp. R4508-R4511.

78. L. M. Pecora, T.L. Carroll, and J.F. Heagy Statistics for mathematical properties of maps between time series embeddings. // Phys.Rev.E. 1995 V.52. pp. 3420-3439.

79. A. M. Albano, J. Muench, C. Schwartz, A. I. Mees, and P. E. Rapp Singular-value decomposition and the Grassberger-Procaccia algorithm. // Phys.Rev.A. 1994. V.38. pp. 3017-3026.

80. М. В. Kennel, R. Brown, and H. D. I. Abarbanel Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction. // Phys.Rev.A. 1992. V.45. pp. 3403-3411.

81. J. Arnhold, K. Lehnertz, P. Grassberger, and С. E. Elger. A robust method for detecting interdependences: Application to intracranially recorded EEG. // Physica D. 1999. 134. pp. 419-430.

82. A. Schmitz. Measuring statistical dependence and coupling of subsystems. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. pp. 7508-7511.

83. R. Quian Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, and P. Grassberger. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencephalographic signals. II Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 041903.

84. N. Rulkov, M. Sushchik and L. Tsimring Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems. // Phys.Rev.E. 1995. V.51. N.2. pp. 980-994.

85. S. J. Schiff, P. So, T. Chang, R. E. Burke, and T. Sauer Detecting dynamical interdependence and generalized synchrony through mutual prediction in a neural ensemble. II Phys.Rev.E. 1996. V.54. N.6. pp. 6708-6724.

86. U. Feldmann and J. Bhattacharya Predictability improvement as an asymmetrical measure of interdependence in bivariate time series. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. V. 14. N. 2. pp. 505514.

87. C. W. J. Granger Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods. // Econometrica. 1969. V. 37. No. 3. pp. 424-438.

88. X. Л. Никас, M. P. Рагувер Биспектральное оценивание применительно к цифровой обработке сигналов. // ТИИЭР. 1987. Т. 75. № 7. с. 5-30.

89. J. Jamsek, A. Stefanovska, P. V. McClintock, and I. A. Khovanov Time-phase bispectral analysis. II Phys. Rev. E. 2003. V. 68. 016201.

90. M. Arnold, H. Witte, and C. Schelenz Time-variant investigation of quadratic phase coupling caused be amplitude modulation inelectroencephalic burst-suppression patterns. // Journal of Clinical Monitorng and. Computering. 2002. V. 17. pp. 115-123.

91. J. Muthuswamy, D. L. Sherman, and N. V. Thakor Higher-order spectral analysis of burst patterns in EEG. // IEEE Trans. Biomedical Engineering. 1999. V. 46. pp. 92-99.

92. B. Ph. Van Milligen, E. Sanchez, T. Estrada, C. Hidalgo, B. Branas Wavelet bicoherence: a new turbulence analysis tool. // Phys. Plasmas. 1995. V. 2(8) 3017.

93. C. Tallon-Baudry, O. Bertrand, C. Fischer Oscillatory synchrony between human extrastriate areas during visual short-term memory maintenance. // Journal ofNeuroscience 2001. V. 21. pp. 1-5.

94. J. P. Lachaux, E. Rodriguez, J. Martinerie, F. Varela Measuring phase synchrony in brain signals // Human Brain Mapp. 1999. V. 8. pp. 194-208.

95. Mormann F, Lehnertz K, David P. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients. // Physica D. 2000. Vol. 144. pp. 358-369.

96. R. Quian Quiroga, T.Kreuz, P.Grassberger Event synchronization: a simple and fast method to measure synchronicity and time delay patterns // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. 041904.

97. V. S. Anishchenko, A. N. Silchenko, and I. A. Khovanov Synchronization of switching processes in coupled Lorenz systems // Phys.Rev.E. 1998. V. 57. pp. 316-322.

98. У. Сюсань Семейство схемы Чуа. // ТИИЭР. 1987. Т.75. №8. С.55-65.

99. С. Sims Macroeconomics and reality. // Econometrica. 1980. V. 48. pp. 49.

100. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов Статистическое моделирование по временным рядам. Учебно-методическое пособие. Сратов.: ГосУНЦ «Колледж». 2000. - 23 с.

101. J. Andersson Testing for Granger causality in the presence of measurement errors. 2004. // http://www.nhh.no/for/dp/20Q4/index.htm

102. Y. Chen , G. Rangarajan , J. Feng and M. Ding Analyzing multiple nonlinear time series with extended Granger causality // Phys. Lett. A. 2004. V. 324. pp. 26-35.

103. N. Ancona, D. Marinazzo, and S. Dtramaglia Radial basis approach to nonlinear Granger causality of time series. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 056221.

104. W. Wang, В. T. Anderson, R. K. Kaufmann, and R. B. Myneni The relation between the North Atlantic oscillation and SSTs in the North Atlantic basin. II Journal of climate. 2004. V. 17. pp. 4752-4759.

105. K. J. Blinowska, R. Kus, and M. Kamiriski Granger causality and information flow in multivariate processes. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 050902.

106. L. A. Baccala and K. Sameshima Partial directed coherence: a new concept in neural structure determination. // Biological Cybernetic. 2001. V. 84. pp. 463-474.

107. Rosenblum M.G. and Pikovsky A.S. Detecting direction of coupling in interacting oscillators II Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 045202.

108. Pikovsky A. S., Rosenblum M. G., and Kurths J. // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2000. Vol. 10. No. 10. pp. 2291-2305.

109. D. A. Smirnov and B. P. Bezruchko Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series. // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. 046209.

110. D. A. Smirnov, R. G. Andrzejak Detection of weak directional coupling: phase-dynamics approach versus state-space approach // Phys. Rev. E. 2005. V. 71.036207.

111. Б. П. Безручко, M. Д. Прохоров, E. П. Селезнев Нелинейный электрический маятник. Саратов: ГосУНЦ «Колледж». 1999. - 33 с.

112. J. Fell, P. Klaver, Н. Elfadil, С. Schaller, С. Е. Elger, G. Fernandez Rhinal-hippocampal theta coherence during declarative memory formation: interaction with gamma synchronization? // Europian Journal of Neuroscience. 2003. V. 17. pp. 1082-1088.

113. W. J. Freeman, L. Rogers Fine temporal resolution of analytic phase reveals episodic synchronization by state transitions in gamma EEGs // Journal of Neurophysiology. 2002. V. 87. pp. 937-945.

114. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во Саратовского ун-та, 1999.-368 с.

115. А. Я. Каплан Нестационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // УФН. 1998. Том 29, № 3. С. 35-55.

116. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, and J. Kurth Phase Synchronization of Chaotic Oscillators II Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. pp. 1804-1807.

117. B. Bezruchko, V. Ponomarenko, M. G. Rosenblum, and A. S. Pikovsky Characterizing direction of coupling from experimental observations // Chaos. 2003. V. 13, No. l.pp. 179-184.

118. T. Kiemel and A. H. Cohen, J. Estimation of coupling strength in regenerated lamprey spinal cords based on a stochastic phase model // Journal of Computational Neuroscience. 1998 V. 5. pp. 267-284.

119. Т. Kiemel, К. М. Gormley, L. Guan, Т. L. Williams, and A. H. Cohen Estimating the strength and direction of functional coupling in the lamprey spinal cord II Journal of Computational Neuroscience. 2003. V. 15. pp. 233245.

120. А. С. Пиковский, M. И. Рабинович Простой автогенератор со стохастическим поведением // ДАН СССР. 1978. Т. 239, N2. С. 301

121. С. В. Кияшко, А. С. Пиковский, М. И. Рабинович Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведение //Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25. С. 336.

122. Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль Физика работы полупроводниковых приборов в схемах СВЧ. Саратов: Издательство Саратовского университета. 1999. - 376 с.

123. А. В. Андрушкевич, А. А. Кипчатов Хаос и периодичность в генераторе на туннельном диоде // Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33, N4. С. 431.

124. А. В. Андрушкевич, А. А. Кипчатов, JI. В. Красичков; А. А. Короновский Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора на туннельном диоде // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, N 1,2. СС. 93-103.

125. А. А. Корорновский, В. И. Пономаренко Модель генератора с туннельным диодом. Учебно-методическое пособие. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж». 1999. 18с.

126. А. А. Кипчатов, С. В. Подин Применение методики адаптивной фильтрации для определения периода колебаний потоковых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, N2,3. С. 72.

127. А. А. Кипчатов Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура // Изв. Вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33. N2. С. 182.

128. S. Malpas. Neural influences on cardiovascular variability: possibilities and pitfalls II Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 2002. V. 282. pp. 6-20.

129. J.L. Perez Velazquez Brain, behavior and mathematics: Are we using the right approaches? // Physica D. 2005. V. 212. pp. 161-182.

130. L. Glass, M. C. Mackey. From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life (Princeton University Press, Princeton, 1988).

131. L. Glass. Synchronization and rhythmic processes in physiology // Nature. 2001. V. 410. pp. 277-284.

132. A. Stefanovska, M. Bracic. Physics of the human cardiovascular system. // Contemp. Phys. 1999. V.40, pp.31-55.

133. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P. V. E. McClintock Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. II. Application to heart-rate-variability data // Phys. Rev.E. 2002. V.65. 036212.

134. S. Malpas. Neural influences on cardiovascular variability: possibilities and pitfalls II Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 2002. V. 282. pp. 6-20.

135. R. W. De Boer, J. M. Karemaker, J. Stracker. Hemodynamic fluctuations and baroreflex sensitivity in humans: a beat-to-beat model // Am. J; Physiol. Heart Circ. Physiol. 1987. V. 253. pp. 680-689.

136. R. W. De Boer, J. M. Karemaker, J. Stracker. Relationships between short-term blood pressure fluctuations and heart variability in resting subjects. I: A spectral analysis approach // Med. Biol. Eng. Comput. 1985, V. 23, pp. 352358.

137. J. B. Madwed, P. Albrecht, R. G. Mark, R. J. Cohen. Low-frequency oscillation in arterial pressure and heart-rate: a simple computer model // Am. J. Physiol. 1989. V. 256. pp. 1573-1579.

138. A. H. Флейшман Медленные колебания гемодинамики. Теория, практическое применение в клинической медицине и профилактике. (Монография) Новосибирск: Наука. 1999. - 266 с.

139. A. C. Dornhorst, P. Howart, G. L. Leathart. Respiratory variations in blood pressure // Circulation. 1952. V. 6. pp. 553-558.

140. С. Т. M. Davies, J. M. M. Neilson. Sinus arrhythmia in man at rest // Journal of Applied Physiology. 1967. V. 22. pp. 947-955.

141. C. Keyl, M. Dambacher, A. Schneider, C. Passino, U. Wegenhorst, L. Bernardi. Cardiocirculatory coupling during sinusoidal baroreceptor stimulation and fixed-frequency breathing // Clinical Science. 2000. V. 99. pp. 113-124.

142. M.G. Rosenblum, J. Kurths, A. Pikovsky, C. Schafer, P. Tass, H.-H. Abel. Synchronization in noisy systems and cardiorespiratory interaction! // IEEE Eng. Med. Biol. Mag. 1998. V. 17, pp. 46-53.

143. M. Bracic-Lotric, A. Stefanovska. Synchronization and modulation in the human cardiorespiratory system. // Physica A. 2000. V. 283. pp. 451-461.

144. C. Schafer, M. G. Rosenblum, J. Kurths, H.-H. Abel. Heartbeat synchronized with ventilation. I I Nature. 1998. V. 392. pp. 239-240.

145. B. W. Hyndman, R. I. Kitney, В. M. Sayers. Spontaneous rhythms in physiological control systems. IINature. 1971. V. 233. pp. 339-341.

146. S. Rzeczinski, N. B. Janson, A. G. Balanov, P. V. E. McClintock. Regions of cardiorespiratory synchronization in humans under paced respiration // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. 051909.

147. A. Cevese, G. Gulli, E. Polati, L. Gottin, R. Grasso. Baroreflex and oscillation of heart period at 0.1 Hz studied by alpha-blockade and cross-spectral analysis in healthy humans II Journal of Physiology (London). 2001. V. 531. pp. 235-244.

148. N. В. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P. V. E. McClintock Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. I. Basic theory // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 036211.

149. A. Stefanovska, M. Hozic. Spatial synchronization in the human cardiovascular system // Prog. Theor. Phys. Suppl. 2000, V. 139, pp. 270282.

150. Публикации no материалам диссертации

151. Бодров M. Б. Сложная динамика генератора на диоде с N-образной характеристикой // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9. № 6. С. 147-153.

152. М. D. Prokhorov, V. I. Ponomarenko, V. I. Gridnev, M. В. Bodrov, and А. В. Bespyatov Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system. // Phys. Rev. E. 2003.V. 68. 041913

153. M. D. Prokhorov, V. I. Ponomarenko, V. I. Gridnev, M. B. Bodrov, and A. B. Bespyatov Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system. // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2003. C. 885-893.

154. В. И. Пономаренко, В. И. Гриднев, М. Д. Прохоров, А. Б. Беспятов, М. Б. Бодров, А. С. Караваев Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием. // Биомедицилские технологии и радиоэлектроника. 2004. № 8-9. С.40-51.

155. Смирнов Д. А., Бодров M. Б., Безручко Б. П. Оценка связанности между осцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода // Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т.12. №6. С. 79-92.

156. D. A. Smirnov, М. В. Bodrov, J. L. Perez Velazquez, R. A. Wennberg, B. P. Bezruchko Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: Limitations and application to EEG data// Chaos. 2005. 15. 024102.

157. M. Д. Прохоров, M. Б. Бодров, В. И. Пономаренко, В. И. Гриднев, А. Б. Беспятов Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательностям R-R-интервалов. II Биофизика. 2005. Т.50. Вып. 5. С. 914-919.

158. Bodrov М. The fine structure of the tunnel diode oscillator parametric plane // Chaos'01. The 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. Russia. Saratov. 2001. P. 20-21.

159. Бодров M. Меры идентичности двух сигналов. // Сборник материалов научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых 2002". Саратов.: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. С. 74-77.

160. М. D. Prokhorov, V. I. Ponomarenko, V. I. Gridnev, M. В. Bodrov, and А. В. Bespyatov Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system. //Dynamics Days 2003. Palma de Mallorca. Spain. 2003. P. 29.

161. Бодров M. Б. Определение связи между отведениями ЭЭГ на основе анализа фазовой динамики. // Сборник материалов научнойшколы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых -2003". Саратов.: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2003. С. 224-227.

162. Д. А. Смирнов, М. Б. Бодров, Б. П. Безручко Идентификация связи между нелинейными осцилляторами по хаотическим временным рядам. // «Идентификация систем и проблемы управления». Москва. 2005 год. С. 1875-1890.

163. А. В. Bespyatov, М. D. Prokhorov, V. I. Ponomarenko, V. I. Gridnev, M. В. Bodrov Detecting Synchronization Between Main Rhythms in the Human Cardiovascular System form Univariate Data. //Dynamics Days 2004. Palma de Mallorca. Spain. 2004. P. 56.

164. M. Б. Бодров, Д. А. Смирнов, Б. П. Безручко Моделирование фазовой динамики для выявление слабой связи по временным рядам: пределы применимости подхода. // 7 Международная школа «ХАОС'04». Россия. Саратов. 2004. С. 110-111.

165. Бодров М. Б. Оценка связанности между осцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики (пределы применимости метода) // Материалы научной школы конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых 2004». 2004. С. 159-162

166. В. С. Власкин, А. С. Караваев, М. Б. Бодров. Методы оценки параметров динамических моделей по временным рядам и их приложение в диагностике. // Материалы итоговой конференции

167. Всероссийского конкурса на лучшие научные работы студентов по естественным, техническим наукам (проекты в области высоких технологий) и инновационным научно-оброзовательным проектам. Москва. 2004. С. 352-353.

168. M. Б. Бодров, Д. А. Смирнов, Б. П. Безручко Определение направления связи между системами с переключениями по временным рядам. // Труды VII Всероссийской научной конференции

169. Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. 2005; С. 51-53.

170. И. А. Карпеев, А. С. Караваев, М. Б. Бодров Развитие методов динамического моделирования в приложении к анализу физиологических данных // Тезисы докладов всероссийского конкурса инновационных проектов "Живые системы", г. Киров, 2005, С. 126-130.

171. М. Б. Бодров, Д. А. Смирнов, Б. П. Безручко Эмпирические характеристики синхронизации и связанности для систем с переключением. // Тезисы докладов конференции для молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». Нижний Новгород. 2006. С. 23-25.