Оценка скорости сходимости распределения процесса отношения правдоподобия в случае разрывной плотности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТЮТ

Па правах рууописп удк 519. 21

МОСЯГИН Вячеслав Ев1 ньевич

ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИШСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЦЕССА ОТНОШЕНИИ ПРАВДОПОДОБИЯ В СЛУЧАЕ РАЗРЫВНОЙ | ПЛОТНОСТИ

Специальность 01.01.05 -теория вероятностей и математическая с~ат1!си!к&

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук

Чопсибирск - 199(1

Рас ^та выполнена в Институте математики СО АН СССР

Научный руководитель - Доктор физико-математических

наук, профессор АЛ'.Саханенко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

нау« , профессор Б.А.Рогозин

кандидат физ ико-математиче с ких наук А.Е.Шемякин

Ведущая организация - Институт проблем передачи

информации АН СССР

Защита состоится "_4_1990 г. в__

часов на заседании спаци&яивированного совета К 002.23.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Институте математики СО АН СССР G30090, Новосибирск - 90, Университетский проспект, 4

• G диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_" _1990г.

Учепй секретарь специализированного совета К 002.23.01

к.ф.-м.н. )Л/I .Ю.Л.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБЭТЬ

Актуальность теми. Задача оценивания не/звостных параметров является одной из основных задач математичес-' кой статистики. Среди хорошо известных методов оценивания обычно чаще других применяется метод максималы. ,го правдоподобия. Опыт покапывает, что именно оценки максимального правдоподобия наиболее часто оказываются близкими, в некотором смысле, к оптим льнкм.

После того К1К оценка найдена, возникает вопрос о поведении ее распределения с ростом объема выборки. Этой задаче посвящено большое число работ, причем наи-болрэ часто рассматривался регулярный случай, в котором оценка максимального правдоподобия является р.сит "готически нормальной.

Если предельное распределение соответствую.пем образом нормированной оценки максимального правдоподобия известно, то естественно возникает вопрос о скорости сходимости к этому предельному распределению. В регулярном случае известен ряд ^чбот на эту "ему Дж.ГТфан-цагль Ц973, А.Й.Саханенко и В.Е.Мосягин н

которых получена оценка скорости сходимости порядка

Значительно сложнее обстоит возрос о нерегулярном случае, когда плотность, как функция от У , имеет конечное число разрывов первого рода в точках, зависящих от неизвестного параметра. В монографии К.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского (1979) показано, что то~да распределение нормированной оценки макспмальног правдоподобия сходится к распределению некоторого функционала от суммы не:_ависимнх пуасс^новских процессов со сносом. Нам неизвестны оценку, скорости сходимости распределения нс-*-мировашго.. оценки максимального правдоподобия в кой задаче.

Целт роботы. Получениь оценки с: >рости сходимости распределения процесса отношения правдоподобия в описанном воте ¡кчегуля^ном слу ае и, как слецстг 'е. получен?« оценки скорости сходимости распределения нормщга-

ванной щенки максимального правдоподобия.

Методика исследования. В работе используется "метод одного вероятностного пространства" и идея, изложенная в работах А.А.Боровкова (1972 ) и А.И.Саханенко

(1974 ), о том, как можно сравнивать распределение процессов, заданных на всей оси.

Научная новизна. Впервые получены оценки скорости сходимостл распределения процесса отношения правдоподобия и нормированной оценки максимального правдоподобия доц достаточно общего вида плотности с конечным числом скачков в точках, зависящих от неизвестного параметра.

Теоретическое и практическое значение. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут использоваться для оценки погрешности в практических задачах,-где требуется заменить допредельное распределение статистик, являющихся функциями от отношения правдоподобия, предельными распределениями.

'Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на пятой Международной Вильнюсской конференции по теорйи веро).гностёй'и математической статистике (г. Вильнюс, 1989 ^ ' и заседаниях семинара по теории вероятностей" и математической статистике Института математики (X АН"СССР (^.Новосибирск, 1988-1990) .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (д] - [4] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения Гдвух глав, разбитых в общей сложности на 10 парг-фафов"!! списка литературы из 27 наименований. Общий объем работы 86 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Пусть 1 •• »} X п - выборка, состоящая из независимых случайных величин со значениями в R. , общее распррделение которых принадлежит семейству ^ -j

0С И конечный или бесконечный интервал. Предположим, что все V*- абсолютно непрерывны

относительно мери Лебега, a ^('£-,0) обозначает плотность распределения P^ относительно этой мор: . Будем в

дальнейшем предполагать, что плотность, как функция от X , /моет раярмпы первого рода н точках X ,

,, ,1 1Ф ... m

ое) -a со

Определим процесс

vw-vm-tv,^ ■

ратный логарифму отношения правдоподобия от нормиролун-ного аргумента и пусть Q* обозначает оценку максимального правдоподобия, т.е. одну ртэ точек, удовлетворяющих уравнению:

©I'i.

06o:ui:; (им - 'Л - нормированную спенку мак-

симального правдоподобия, в которой, очевидно, процесс. / (и) достигает наибольшего значения.

Введем предельный процесс C^*1*1 ^следователь-

ности

( \

где (и) ^ Vя 4. 5 уп - независимые стандартные пуассоноЕские процессы при U. О , доопределение нулем при U < О .

Определим случайную величину и. соотношением:

^ j U.

Пусть обозначает измеримое простран-

ство функций без разрывов второго рода, заданных на R. a ^ЗЦ.^ - проекция этого пространства на ин-

тервал \-Т,Т 1 • Дяя любых X-ХМ,7= Z(и) 6 D через 9 обозначим расстояние Скорохода между

проекциям на -i)T функций

г,г :

+ bup |u->^u)| I

\u\*T . J

где нижняя грань берется по всем строго монотонным, не-прьрывным функциям X , отображающим отрезок

на себя. Относительно ¿э - алгёбры 3 будем предполагать, что она содержит все ^у ~ борелевские мно-

Обозначим Буквами С бу-

дем обозначать положительные постоянные, зависящие только от С-ЬО каждый раз, вообще говоря, разные.

Во ВиДЕШШ содержится общая постановка задачи, формуляру тся основные теоремы работы, а также приводят-

сч следующие ограничения на плотность

В1. При каждом 9 £ © плотность ,

как функция от X имеет разрывы первого рода в точках Х^,..., причем ( см. и1») все функции Р ^

удовлетворяют условию Липшица с показателем 1

а>>о.

В окрестностях линий разрыва ^Л^, справедливы неравенства:

-ге

I*'

В2. Функции

^1 = 1,... ^ ИЛ дифференцируемы,

строго монотонны на <Э • а их производные удовлетворяют условию Липшица с показателем "31 . /

ВЗ. При п.в. X производная — ^ЗС

существует в каждой из областей ^

%ЭД- ^©: т^)<х<х^)^

и при некотором > 1 удовлетворяет условию:

м

в

л

оь < оо

гдо И - математическое ожидание но распределению

Р •

I ^ \

В-4. Существует фумэдия , удовле. .юряющая

условиям:

при всех 6 ©Дх^ М .

В5. Дня всех 9 £ ©

уп уп

X ^ I

• и 4 • » к 1

"В6. Если параметрическое множество © неограни-чено, то добавляется еще условие V из монографии И.А.Ибрр'чшова и Р.З.Хасьминскиго (197Э) . Обозначим

£ см

где

ГЛАВА 1 самая значительная по объему вся посвящена доказательству следующего утверждения, имеющего ключевой значение в работе.

ТЮРЕМ 1. Если выполнены условия В1-В4, то процессы У^) и V можно определить на одном вероятностном

пространства так, что будет выполнено неравенство де Г = •

г

Локазательетио теоремы 1 базируется на "методо одного вероятностного пространства", идея конкретной реализации которого в этом утверждении принадлежит ! И.Саха-ненко.

Из теоремы 1, в частности, вытекает, что расстояние Леви - Прохорова между распределениями процесс з \

и V в прост^анстз.а | не превосходит

С-^-^пИ . Отсюда ужа мо:шо получить оценку близости между распределениями проекций этих процессор на расширяющуюся последовательность интервалов [.-^итТ^! .

В §1 ГЛАВЫ 2 доказывается лемма, в которой объясняется как можно понимать близость распределений процессов заданных на всей оси. В этом утверждении реализуется идея упомянутых выше работ А.А.Боровкова и А.Н.Саханепко, Из леммы и теоремы 1 в §2 енбо.вдтся

НЮРЕМА 2. Пусть выполнены условия В1 - В6. Тогда для любого измеримого множества А

0.4.

va

Заметим, что в этой теореме не исключается случай, когда C(A\Y)-«> • Однако для широкого класса множеств со . Этот класс характеризуется тем, что £ - окрестность границы згих множеств в специально выбранной топологии, евязншой е метрикой »

. удовлетворяет условию Липшица относительно распределения процесса Y(u) при любом Т^О (^так называемые липши-цевые множества ^ .

В "¡3 доказывается одна важная леша о существовали плотности у случайной величины

5 = (xtv) = Sup Y(u) - sup Y(U) u<x uvx.

Зта лемма лежит в основе доказательства теоремы 3, в которой устанавливается равномерная липшицевость семейства множеств

Наконец в §4 из теорем 2 и 3 выводится ТЕОРЕМА 4. Пусть выполнены условия В1 - В6. Тогда

■ХсК ' ' Ч |

Доказательство етого утверждения совсем просто. НужЕО в ^2) пс"ожить /Ч- РЧ!^» воспользоваться соотноше-

нием

*

<Х

и заметит-, что в силу теоремы 3 ^(^х"^4)6^

В §5 главы 1 и в §5 главы 2 обсуждаются аналоги теорем I и 2 при .»арушении условия (д) , т.е. когда возможно обращение р. нуль чисел или • (Теоремы 1

и 2 не выполняются в этом случав, так как процесс У(и) будэг иметь бесконечные скачки ^ . Показано, что оценка и у?ве. тени; теоремы 4 будет иметь место и при отказе от ограничения (.1) .

В заключение отметим, что если условия В1 - В4 выполнены при "Ь "5 Ъ . "32. , то оценка скорости сходимости в доказанных теоремах имеет порядок

ооим.-

Автор выражает глубокую благодарность А.И.Саханенко ~а постановку задачи, внимание к работе и ценнее замечания

Работы автора по теме диссертации

1. О скорости сходимости распределения ОМП в не! тулярном случае //У Международная Вильню окая конференция по теор. вероятн. и мат.статист., Вильнюс, июнь 1989 : Тез.докл.-Вильнюс, 1989.-Т.4.- С. 69 - 70.

2. Метод одногл вероятностного пространства для плотностей с разрывами /Гимен.гос.ун-т.-Тюмень, 1390.- 27 с.-Ден, в ВИНИТИ 17.01.90, № 308 - В90.

3. О скорости сходимости распределения оценкг максижлыю-го правдоподобия: случай плотности с разрывами /.'юмен.гсс. ун-т.- Тюмень, 1990,- 20 с.-Доп. в ВИНИТИ 17.01.90, № 30Э-В90.

4. О скорости сходимости распределения процесса максимального правдоподобия : случай разрывной плотности // Теория вероятностей и её применения,- 1990.- Т.ЗТ,№ 3. -

с. 607 -609 .