Оценка скорости сходимости распределения процесса отношения правдоподобия в случае разрывной плотности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМА'ШИ

Па 1гравах рутописп УДК 519. 21

МОСЯГИН Вячеспав Ев] ньевич

ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЦЕССА ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ 3 СЛУЧАЕ РАЗРЬШНОЙ ПЛОТНОСТИ

Специальность 01.01.05 -теория вероятностей и математическая сатистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени каичицата физикэ -математических наук

Новосибирск - 1990

Рас ^та выполнена в Институте математики СО АН СССР

Научный руководитель - Доктор физико-математических

наук, профессор А.Г.Саханенко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук , профессор Б.А.Рогозин

кандидат физико-математических наук А.Е.Шемякин

Ведущая организация - Институт проблем передачи

инфс^лации АН СССР

Защита состоится "_''_1990 г. в_

часов на заседании специализированного совета К 002.23.01 по присуждению ученей степени кандидата наук при Институте математики СО АН СССР <330090, Новосибирск - 90, Университетский проспект, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат1 разослан "__ " _1990г.

Учегчй секретарь специализированного совета

К 002.23.01 " ......

к.ф.-м.н. . у/^ Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛБЭТЬ

Актуальность те™. Радача оценивания неизвестных параметров является одной из основных задач математичес-' кой статистики. Среди хорошо известных методов оценивания обычно чаще других применяется метод максималы. ,го правдоподобия. Опыт показывает, что именно оцонкч максимального правдоподобия наиболее часто оказываются близкими, в некотором смысле, к оптим дьнкм.

После того. К1К оценка найдена, возникает вопрос о поведении ее распределения с ростом объема выборки. Этой задаче посвящено большое число работ, причем наи-болрэ часто рассматривался регулярный случай, в котором оценка максимального правдоподобия является ас.ит ттоти-чесди нормальной.

Если продельное распределение соответствующим образом нормированной оценки максимального правдоподобия известно, то естественно возникает вопрос о скорости сходимости к этому предельному распределению. В регулярном случае известен ряд ;~чбот на эту "ему (Дж.ГТфан-цагль (1973) , А.И.Саханенко и В.Е.Иосягин ^Ч"77))» в которых получена оценка скорости сходимости порядка

Значительно слояшее обстоит во^ое о нерегулярном случае, когда плотность, как функция от Т , им^ет коночное число разрывов первого рода в точках, зависящих от неизвестного параметра. В монографии К.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского (1979) показано, что то^да распредо-ление нормированной оценки максимаяьног правдоподобия сходится к распределению некоторого функционала от суммы независимых пуасс^новских процессов со сноссм. Нам неизвестны оценки скорости сходимости распределения нс"1-мировашю.. оценки максимального правдоподобия в кооЯ задаче.

Целт работы. Получениь оценки с: >рости сходимости распределения процесса отношения правдоподобия в опи-санпо?.: вшае нерегулярном слу ае и, как следстг *е. получение оценки скорости сходимости распределения норг.-иро-

ванной щенки максимального правдоподобия.

Методика исследования. В работе используется "метод одного вероятностного пространства" и идея, изложенная в работах А.А.Боровкова (1972 ) и А.И.Саханенко

(1974 ) , о том, как можно сравнивать распределение процессов, заданных на всей оси.

Научная новизна. Впервые получены оценки скорости сходимостл распределения процесса отношения правдоподобия и нормированной оценки максимального правдоподобия до* достаточно общего вида плотности с конечным числом скачков в точках, зависящих от неизвестного параметра.

Теоретическое и практическое значение. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут использоваться для оценки погрешности в практических задачах ,• где требуется заменить допредельное распределение статистик, являющихся функциями от отношения правдоподобия, предельными распределениями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на пятой Международной Вильнюсской конференции по теорйи вероятностей'и математической статистике ^ г. Вильнюс", 1989 ^ ' и заседаниях семинара по теории вероятностей" и математической статистике Института математики СО АН'СССР (^.Новосибирск, 1988-1990') .

Публикаггии. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [дЗ . - 141 .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,"двух глав, разбитых в общей сложности на 10 парг--рафов"и списка литературы из 27 наименований. Общий объем работы 86 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Пусть - выборка, состоящая из неза-

висимых случайных величин со значениями в К- , общее распррделение которых принадлежит семейству ^ Ру ?

0& ©^ , 17" ©С И конечный или бесконечный интервал. Прг ^положим, что все V* абсолютно непрерывны

относительно мери Лебега, а обозначает плотность

распределения Р^ относительно этой мор: . Будем в

дальнейшем препполагать, что плотность, как функции от X , газет рдррнш первого рода п точках ОС ,

Определим процесс

V

V с^у

. . . у VI

ратный логари'4л1у отношения правдоподобия от нормированного аргумента и пусть 0* обозначает оценку максимального правдоподобия, т.е. одну из точек, удовлетворяющих уравнению:

11ч 4 1 ' и 4 1 ' а 1*1-

Л

\ • . \ ' •• /1». Ч ' " /

0бо:к1' (нм -- 'Л С^-^") - нормированную с пенку мак-сималчгаго правдоподобия, в которой, очевидно, процесс •{ (и) достигает наибольшего значения.

Введем предельный процесс Сдля тоследователь-

VI

ности

УМ г

где (и.) ^ 1-1,.,. ,т - независимые стандартные пуассоновские процессы при Ц ^ О , доопределенные нулем при и<0 .

Определяй случайную величину и. соотношением:

^ -1-й.

Пусть обозначает измеримое простран-

ство функций без разрывов второго рода, заданных на Я. а (1>т ^ - проекция этого пространства на интервал > т 1 • ^ любых , 1И 6 3) через обозначим расстояние Скорохода между проекциями на -!)_ функций

Х,1 :

1

\u\4T

где нижняя грань берется по всем строго монотонным, не-прьрывным функциям X , отображающим отрезок

на себя. Относительно <=э - алгёбры 3 будем предполагать, что она содержит все ^ - борелевские мно-

Обозначим Буквами С. бу-

дем обозначать положительные постоянные, зависящие только от 5 С*1 * ^ каждый раз, вообще говоря, разные.

Во ВЦЩЕШШ содержится общая постановка задачи, формулиру гея основные теоремы работы, а также приводят-

ся следующие ограничения на плотности

В1. При каждом 0 & (и) плотность ^ (X > б") , кале функция от X имеет разрывы первого рода в точках (9) причем (см. и)) все функции Р. ((О удовлетворяют условию Липшица с показателем 1

В окрестностях линий разрыва ^Л^, справедливы неравенства:

-ге. .

| ^~ ^ ¿С р-Х^ X>Х.(9) ,

В2. Функции ^ I = 1,... 1 \ГУ\ дотффвренцируеми,

строго монотонны на © -а их производные удовлетворяют условию Липшица с показателем . /

ВЗ. При п.в. X производная = — ^

существует в каждой из областей

ЭД - ^ ©: х^) < х <

и при некотором > 1 удовлетворяет условию:

■Ъ

^ < оо

мв Ч^«'

5

гц.о И - математическое ожидание но распре иИ1 опию

В4. Существует фуякция 5В) , удовлс: ¡юряющая

условиям: ^ ^

- * КММ* ^ М6К

£ ^пи, ^ , 1 >0

при всех е, е в;^ , V-1,..., т . 05. Для всех ^ С: (¿)

УП

1»1 '

"Б6. Если параметрическое множество © неограни-чсно, то добавляется еще условие V из монографии И.А.Ис1рр"имова и Р.З.Хасьминского 1979) .

Обозначим . 1.4

£

Г

ГЛАВА 1 самая значительная по объему.вся посвящена доказательству следующего утвержцения, имеющего ключевое значение в работе.

ТЮРЕМ 1. Если выполнены условия В1-В4, то процессы У(и) и V (10 можно определить на одном вероятностном

пространства так, что будет выполнено неравенство где Т = с.и\а .

\г

VI

Доказательство теоремы 1 базируется на "метопе одного вероятностного пространства", идея конкретной реализации которого в этом утверждении принадлежит I И.Саха-ненко.

Из теоремы 1, в частности, знтекает, что расстояние Леви - Прохорова между распределениями процесс з "Y,u

и V в пространств ( ) не превосходит

. Отсюда уже мо.тно получить оценку близости между распределениями проекций этих процессор на расширяющуюся последовательность интервалов ,Т„ 1

В §1 ГЛА.Ш 2 доказывается лемма, з которой объясняется как можно понимать близость распределений процессов заданных на всей оси. В этом утверждении реализуется идея упомянутых выше работ А.А.Еоровкова и А.И.Саханенко, Из леммы и теоремы 1 в §2 выводится

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия В1 - Б6. Тогда для любого измеримого множества А

«ММ- О-)

Заметим, что в этой теореме не исключается случай, когда C(jV,Y) = oo . Однако для широкого класса множеств со • Этот класс характеризуется тем, что £ - окрестность границы этих множеств в специально выбранной топологии, связанной с мятрк.сой о ,

. удовлетворяет условию Липшица относительно распределения процесса Y(u) при любом Т">0 (^так называемые лигшга-цевые множества^ »

В *;3 доказывается одна важная лемма о существовали плотности у случайной величины

Sup Y(u)-suP Y(u)

Зта лемма лежит в основе доказательства теоремы 3, в которой устанавливается равномерная липшкцевость семейства множеств

Наконец в §4 из теорем 2 и 3 выводится ТЕОРЕМА 4. Пусть выполнены условия В1 - В6. Тогда

■ХбК ' / \ I

Доказательство этого утверждения совсем просто. Нужно в ^2) пс-оэ*ить воспользоваться соотноше-

нием

и замети*-, что в силу теоремы 3 С-(^х^)6^

В §5 главы 1 и в §5 главы 2 обсуждаются аналоги теорем 1 и 2 при .»арушении условия (1) , т.е. когда возможно обращение в нуль чисел или . (Теоремы 1

и 2 че выполняются в этом случае, так как процесс У(и) будет иметь бесконечные скачки ^ . Показано, что сценка в у?ве тени; теоремы 4 будет иметь место и при отказе от ограниченля (х) .

В заключение отметим, что если условия В1 - В4 выполнены при 3 » "32. ч- 1/4, , то оценка скорости сходимости в доказанных теоремах имеет порядок

Автор выражает глубокую благопарность А.И.Саханенко "а постановку задачи, внимание к работе и ценнее замечания.

Работы автора по теме диссертации

1. О скорости сходимости распределения ОМП в нет тулярлом случае //У Международная Вильню екая конференция по теор. вероятн. и мат.статист., Вильнюс, июнь 1989 : Тез.докл.-Вильнюс, 1989.-Т.4.- С. 69 - 70.

2. Метод одногл вероятностного пространства для плотностей с разрывами /Тгаен.гос.ун-т.-Тюмень, 1990.- 27 с.-Ден. в ВИНИТИ 17.01.90, й 308 - В90.

3. О скорости сходимости распределения оценкг максимального правдоподобия: случай плотности с разрывами /лсмен.гсс. ун-т.- Тюмень, 1990.- 20 с.-Доп. в ВИНИТИ 17.01.90, № 30Э-В90.

4. О скорости сходимости распределения процесса максимального правдоподобия : случай разрывной плотности // Теория вероятностей и её применения,- 1990.- Т.ЗС,№ 3. -

С. 607 -609 .