Оценка статистических характеристик ошибок наблюдений в анализе данных отраекториях движения небесных тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

?Т6 Ой - й 08

. 1336

анкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Ш А П О Р Е В Сергей Дмитриевич

Оценка статистических характеристик ошибок наблюдений в анализе данных о траекториях движения небесных тел

(01.03.01 - астрометрия и небесная механика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Институте теоретической астрономии Российской Академии Наук (г.Санкт-Петербург) Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН В.К.Абалакин

доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Гребеников

доктор физико-математических наук

В.В.Карюкин

Ведущее учреждение -Институт космических исследований РАН

Защита диссертации состоится ^[1996 года

в 4ЛГ часов Оь минут на заседании Диссертационного Совета Д 063.57.39 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г.Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9, геологический факультет, ауд. 88. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета. Автореферат разослан

года

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник И.В.Петровская ^^

Общая характеристика работы

Актуальность решаемой проблемы

Среди короткопериодических комет имеется ряд объектов, считающихся утерянными. Эти небесные тела наблюдались либо в одном, либо в нескольких изолированных появлениях, разделенных значительными промежутками времени. Утери комет, довольно частые в прошлом, случаются даже теперь, поэтому со времени последнего наблюденного появления утерянного небесного тела может пройти период от одного до нескольких десятков его оборотов вокруг Солнца.

Основной причиной утери короткопериодических комет является неточность окончательной орбиты, определяемой по наблюдениям одного появления. Поэтому перевычисление орбит этих комет по качественно новой методике, базирующейся на более общей модели наблюдений и использующей статистические характеристики ошибок астрономических наблюдений, является одним из важнейших направлений в кометной астрономии. Актуальность и своевременность поставленной в работе проблемы следует из того, что ее успешное решение позволит решить и следующие связанные с ней задачи:

1. Повысить точность и надежность самой орбиты и улучшить представление наблюдений в рассматриваемом появлении.

2. Вычислить более точную эфемериду, реально обеспечивающую поиск и нахождение небесного объекта в ближайшем появлении. Необходимость поисков в ближайшем появлении диктуется тем, что чем раньше потеряна комета, тем меньше шансов найти ее вновь.

3. Уточнить качественную картину эволюции кометной орбиты на протяженных интервалах времени длиной в несколько столетий.

4. Установить в каждом конкретном случае точные причины утери и переоткрытия небесных объектов и отождествить хотя бы некоторые из них с другими небесными телами, наблюдавшимися в прошлом или открытыми впоследствии.

5. В ряде случаев, когда влияние негравитационных эффектов неощутимо, создать непрерывные численные теории движения небесных объектов, объединяющие все имеющиеся появления.

6. Проводить статистическую обработку наблюдений не только комет, а целого ряда астрономических объектов, например, больших планет, избранных малых планет с целыо анализа качества их наблюдений,выделения и учета различных видов ошибок.

Научная новизна работы заключается:

1. В использовании наиболее общей модели астрономически наблюдений, предполагающей, что исходная выборка состоит из смес наблюдений, имеющих несколько разных законов распределение Ошибки наблюдений содержат аномальную, систематическую случайную составляющую и не являются независимыми.

2. В разработке принципиально нового критерия отбраковки грубы ошибок (аномальных наблюдений), основанного на концепци стационарного пуассоновского процесса.

3. В создании трех различных способов оценки вторы статистических моментов случайной составляющей ошибок наблюдений.

4. В исследовании путем статистического моделировани асимптотического поведения оценок корреляционной функции тре процессов авторегрессии - скользящего среднего, полученны статистическими методами бутстрепа и складного ножа.

5. В разработке методики исправления орбитальных параметра методами максимального правдоподобия и максимума апостериорпо вероятности для вектора состояния переменной размерност* учитывающей корреляционную зависимость элементов орбиты межд собой и статистические характеристики случайных и систематически ошибок наблюдений.

Практическая ценность работы.

В результате проведенного исследования получены следующк практические результаты:

1. Рассмотрены причины утери и возможных переоткрыти периодических комет, наблюдавшихся в одном появлении. Подроби проанализированы факторы, влияющие на точность окончательно орбиты, определенной по наблюдениям одного появления.

2. Реализована концепция непрерывной статистической обработк позиционных наблюдений небесных тел. Это осуществлено путе последовательного применения ряда ранговых и параметрически статистических критериев к исходной выборке. Концепция включает, частности, классификацию ошибок астрономических наблюдений, и обнаружение различными статистическими методами и определен} первых и вторых статистических моментов этих ошибок. Рассмотрен:

причины, порождающие разные виды ошибок, и даны рекомендации, когда учет каких-либо из них становится необходимым.

3. Применен новый способ выделения и аппроксимации систематических ошибок. В отличие от существующих способов выделения систематических ошибок разных видов в отдельности способ использует интегральную информацию о процессе. Влияние всевозможных систематических ошибок учитывается единообразным способом путем их аппроксимации методами группового учета аргументов. Отличительная особенность этих методов - построение ими несмещенных моделей оптимальной сложности, обладающими хорошими прогнозными характеристиками.

4. Реализован новый подход к оценке точечных характеристик малых выборок. Для эмпирической функции плотности распределения ошибок наблюдений в таких выборках строились оценки "ядерного" типа, причем, кроме основной информации, содержащейся в самой выборке, привлекалась дополнительная априорная информация определенного вида. На основе эмпирической функции распределения рассчитывались оценки математического ожидания и дисперсии. Под об ная процедура позволяет повысить точность оценок определяемых статистик.

5. Разработана эффективная методика построения неравноотстоящей сетки узлов сопряжений кубического сплайна в задаче нелинейной регрессии.

6. Получены аналитические выражения и построены оценки смещения корреляционной функции для различных значений запаздывания от первого до четвертого порядка. Для оценки точности корреляционной функции случайных ошибок наблюдений рассчитаны четыре типа доверительных интервалов. Основным из них является процентильный интервал, построенный на основе эмпирической функции распределения этой статистики.

7. Разработанная методика исправления орбит применена к двум короткопериодическим кометам и одному астероиду, наблюдавшимся в нескольких изолированных появлениях. Установлено, что эффект учета статистических характеристик ошибок наблюдений повышает точность и надежность орбиты, определяемой по одному появлению. Получены исправленные орбиты кометы 1844 I в трех ее появлениях, кометы 1930 VI в четырех появлениях и построена численная теория движения малой планеты 473 за период 1901-1994 г.г.

8. Создан комплекс программ, реализующий предложенную методику в полном объеме и насчитывающий около двухсот подпрограмм на языке ФОРТРАН-77 для ЭВМ РС. Комплекс разделен на восемь

независимых модулей, способных работать самостоятельно осуществляющих расчеты для разных составных частей общей задачи.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Принятая в работе концепция непрерывной статистическ обработки позиционных наблюдений небесных тел, включающая в себя рамках используемой модели наблюдений этапы классификац наблюдений, обнаружение и выделение различных видов ошибок оценку их статистических характеристик.

2. Теоретическая разработка и практическая реализация ново метода отбраковки грубых ошибок наблюдений.

3. Получение аналитических оценок корреляционной функц: ошибок наблюдений методом неортогонального проектирована методика оценки корреляционной функции этим методом, а так; методами базовых и эмпирических характеристик; исследован несмещенности, состоятельности и оценка точности используем статистики в численном эксперименте.

4. Методика исправления орбитальных параметров метод I максимального правдоподобия с учетом статистических характерист ошибок наблюдений и результаты ее применения к трем появлени; кометы 1844 I и четырем появлениям кометы 1930 VI, а так; численная теория движения малой планеты 473 на интервале 1901-19 г.г.

Апробация диссертации.

По содержанию диссертации были сделаны доклады на Всесоюзн конференции "Динамика малых тел Солнечной системы", г. Ленингрг ИТА АН СССР, апрель 1987 г.; на Всесоюзной конференции "Трет Бредихинские чтения", г. Ленинград, ГАО АН СССР, сентябрь 1989 на 49-й научной конференции Латвийского государственно университета, г. Рига, февраль 1990 г.; на конференции "Физика динамика комет. Всехсвятскис чтения", г. Киев, КГУ, июнь 1990 г.; научной конференции "Компьютерные методы небесной механики", Санкт-Петербург, ИТА РАН, октябрь 1995 г.; на заседании отдела мал! планет, комет и спутников ИТА РАН, июнь 1995 г.; на заседай кафедры небесной механики С.-Петербургского государственнс университета, октябрь 1995 г.; на заседании астрометрического отде

ГАО РАН, ноябрь 1995 г.; на заседании теоретического отдела ИКИ РАН, декабрь 1995 г.; на заседании кафедры теории вероятностей Московского государственного авиационного института, январь 1996 г.; на заседании совета по небесной механике ГАИШ, январь 1996 г.

Публикации. Объем и структура диссертации.

Все основные результаты по теме диссертации опубликованы в 8 работах. Еще две статьи находятся в печати. Все работы выполнены автором самостоятельно, без соавторов. Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы 295 страниц машинописного текста, в том числе 35 таблиц и 22 рисунка; объем приложения 128 страниц. В списке литературы 240 наименований.

Содержание работы

1. Особенности и методика исследования движения комет с несколькими пропущенными появлениями

В нашу эпоху - эпоху начавшихся полетов космических аппаратов к малым телам Солнечной системы - резко возрос интерес к этим небесным объектам. Пристальное внимание к ним объясняется повышением качества наблюдений, появлением новых задач по динамике и физике комет и астероидов, осознанием особой роли этих объектов в решении вопросов происхождения и эволюции Солнечной системы. В четвертом издании кометного каталога Б.Марсдена [1] упомянуто свыше 700 комет, из них около полутора сотен периодических. Число же малых планет, занумерованных к концу 1995 г., достигло 6752.

К сожалению, 34 короткопериодические кометы, в том числе открытые совсем недавно, и один нумерованный астероид числятся утерянными. Эти объекты наблюдались либо в одном, либо в нескольких изолированных появлениях, разделенных значительными промежутками времени. В последнем случае кометы терялись, а затем случайно или в результате поисков вновь переоткрывались не один раз. Утеря наблюдаемых небесных объектов может быть объяснена как отдельным, гак и совместным действием нескольких причин, среди которых выделяются следующие: 1) неточность исходных систем элементов, используемых при вычислении эфемерид, 2) действие неучитываемых

негравитационных сил, 3) сближения с большими планетами, 4) колебания видимой яркости комет или неверная оценка их яркости на . предстоящее появление.

Самая главная причина - это неточно вычисленная первоначальная орбита. Точность и надежность исходной орбиты зависит, во-первых, от геометрических факторов, то есть длины дуги орбиты, охваченной наблюдениями, расположения этой дуги относительно перигелия, количества и распределения самих наблюдений на дуге; во-вторых, от полноты учитываемых возмущений, способа вычисления дифференциальных коэффициентов, в-третьих, от принятой модели наблюдений, детализирующей статистические характеристики ошибок астрономических позиционных наблюдений. Большинство используемых в настоящее время в астрономической практике методов исправления орбитальных параметров явно или неявно базируется на трех основных допущениях: одинаковом распределении всех случайных ошибок наблюдений, нормальности этого распределения, независимости и некоррелированности самих наблюдений.

Если наблюдения кометы отягщены лишь случайными ошибками, распределение которых нормально, то с ростом числа наблюдений точность оценок элементов орбиты должна увеличиваться. В этом случае получаемые методом наименьших квадратов оценки являются состоятельными, несмещенными и эффективными [2].

Совсем иная картина получится, если принять более общее, но и более правдоподобное предположение о распределении ошибок. Следует считать, что наблюдения содержат как случайные, так и систематические ошибки, распределение случайных ошибок принадлежит к некоторому классу распределений с конечными первыми и вторыми моментами и представляет в общем случае смесь нескольких распределений, в том числе, возможно, и нормального. Наблюдения могут быть зависимыми и коррелированными. В таких случаях при неучете указанных обстоятельств оценки параметров движения могут быть не только смещенными, но даже и несостоятельными [3].

Особую роль при этом играют неучтенные систематические ошибки. Происхождение их различно. В первую очередь, это ошибки позиционных наблюдений, во-вторых, редукционные погрешности, в-третьих, методические погрешности алгоритмов и методов, в-четвертых, погрешности принятой модели объекта. Очевидным выходом из положения является тщательный учет каждого из перечисленных факторов. Однако возможен и другой способ учета систематических погрешностей, применяющийся при моделировании и изучении сложных

систем. Здесь используется интегральная информация об объекте из-за невозможности или нецелесообразности разделения ее на составные части. В нашем случае все систематические ошибки независимо от их происхождения можно аппроксимировать подходящим набором функций от времени и таким образом учесть эффект их влияния.

Негравитационные эффекты в движении периодических комет уверенно определяются только при наличии по меньшей мере трех появлений. Во многих случаях, когда они не учитываются, это означает, что они либо неопределимы, либо слишком нерегулярны, либо пренебрежимо малы. Пока наиболее результативной является методика учета негравитационных сил, предложенная Б.Марсдсном [4]. Влияние неучтенных негравитационных сил на элементы орбиты исследовалось в ряде работ [5,6], в том числе и численным моделированием. Было показано, что действие этих сил на орбитальные параметры эквивалентно незначительному систематическому ходу в наблюдениях, а неопределенность в значении большой полуоси из-за их влияния оказывается в среднем порядка 0.0001 а.е.

Следующим важным фактором, определяющим как утерю комет, гак и их открытие, являются их сближения с большими планетами, особенно с Юпитером. Результаты исследования эволюций кометных орбит показывают, что в большинстве случаев незадолго до открытия, обычно за 1.5-2.5 оборота, комета имела тесное сближение с Юпитером [7]. Изменения орбиты, вызванные этими сближениями, зависят от числа сближений, минимального расстояния до планеты, конфигурации системы тел комета-планета и длительности пребывания кометы в среде действия планеты. К быстрому открытию или внезапной утере комет приводят главным образом захваты, результатом которых часто является полный поворот линии апсид и резкое увеличение или уменьшение перигельного расстояния.

Наконец, последним фактором, влияющим на переоткрытие комет, является яркость кометы в момент наблюдения. Как показывают статистические данные, лишь незначительная часть комет утеряна из-за действительного затухания и исчезновения [8]. Утере комет способствует резкое снижение видимого блеска или его неверная оценка в предстоящем появлении. Колебания яркости зависят от физических процессов испарения и потери вещества ядром кометы в окрестности перигелия. Эти процессы иногда протекают так бурно, что наблюдаются вспышки яркости с амплитудой, превышающей шесть звездных величин, то есть в 250 раз выше нормального уровня. В литературе зафиксированы 13 подобных вспышек, принадлежащих трем кометам:

Туттля-Джакобини-Кресака (1858 III), Холмса (1892 III) и Швассмана-Вахмана 1 (1908 IV) [9-11].

Помимо вспышек, характерной особенностью многих комет является повышение видимой яркости при приближении к перигелию [12]. Самый свежий пример - увеличение яркости кометы Швассмана-Вахмана 3 (1930 VI) в октябре-ноябре 1995 г. Открытая в конце декабря 1994 г. как объект 22" и остававшаяся довольно слабой до перигелия, в октябре 1995 г. комета имела уже величину около 6.п0.

2. Статистическая обработка астрономических наблюдений

С учетом особенностей исследования небесных тел, наблюдавшихся в одном или нескольких изолированных появлениях, описанных выше, во второй главе проводится статистическая обработка наблюдений, включающая следующие этапы:

1. Отбраковка грубых (аномальных) наблюдений.

2. Выделение групп наблюдений с одинаковыми законами распределения внутри каждой группы.

3. Проверка выделенных групп наблюдений на нормальность.

4. Обнаружение и аппроксимация систематических ошибок.

5. Проверка однородности ряда средних и дисперсий выделенных групп наблюдений с одинаковым законом распределения внутри групп.

6. Обработка групп малой выборки.

Для оценки статистических характеристик ошибок наблюдений необходимо знать ошибки наблюдений как функцию времени

где Н(?,) - измеренные значения, z(t¡) - истинные значения измеряемой функции на моменты . Ясно, что истинные значения почти всегда неизвестны. Если говорить о наблюдениях небесных тел, в частности короткопериодических комет, то роль функции играют измеренные

сферические координаты - прямое восхождение и склонение, отнесенные к экватору и эклиптике определенной даты. Функция Z(0 в этом случае

неизвестна, и ее значения на моменты I. заменяют вычисленными

I

положениями небесного тела, полученными на основе предварительной орбиты. Таким образом, ошибки наблюдений имеют вид

*(0 = Л(0-Йе(0- (2.2)

Эти величины называются в астрономической практике (О-С). Далее вектор ошибок представляется в виде

где Х1 (?) - случайная составляющая ошибок наблюдений, Хг (?) -

вектор систематических ошибок, Хз (?) - грубые ошибки наблюдений.

Вектор Хз(?) удаляется из наблюдений. По двум оставшимся

компонентам Х\ (?) и Хг (?) оцениваются математические ожидания и корреляционные функции ошибок наблюдений, причем принято, что

М(дг,(?)) = 0, М(х2 (?)) = //(?), КХ1 (?,,?,) * О,КХ2 (?, Л) * О, КХ1Х2 (?.,?,) = 0.

Таким образом в качестве вероятностных характеристик ошибок наблюдений были взяты следующие функции М (х(?)) ==//(?) -математическое ожидание систематической составляющей, Кх (? ) = Кх (?.,?4) + Кх (?. ,?Л) - корреляционная функция,

равная сумме аналогичных функций случайной и систематической составляющих ошибок наблюдений.

Грубые ошибки, составляющие по обобщенным показателям, относящимся к разным областям знания, от одного до десяти процентов выборочных данных, выделялись и удалялись из исходных выборок новым критерием отбраковки грубых ошибок. Этот критерий основан на концепции стационарного пуассоновского процесса и использует информацию как об абсолютных величинах самих наблюдений, так и об их моментах.

Пусть на интервале Длиной Г имеется П наблюдений и Ш

из них содержат грубую ошибку. Так как эти ошибки по своей сути в совокупности наблюдений должны появляться совершенно случайно, то их моменты представляют собой случайную последовательность, являясь стационарным пуассоновским процессом. Действительно, процесс возникновения грубо ошибочных наблюдений удовлетворяет всем основным свойствам пуассоновского процесса.

1. Вероятность появления на малом промежутке времени А? двух и более грубых ошибок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления на А? одной такой ошибки.

2. Вероятность наступления ошибки в интервале + не зависит от того, что произошло до момента Г, в частности, она не зависит от времени возникновения предыдущей ошибки.

3. Вероятностная интенсивность возникновения грубых ошибок не изменяется со временем.

Выполнение третьего условия строго не обязательно для того,

чтобы число событий, попадающих на участок было

распределено по закону Пуассона, для этого достаточно первого и второго условия, вероятностная же интенсивность может быть функцией времени

Практическое использование предлагаемого критерия основано на свойстве структуры пуассоновского процесса при фиксированном числе событий в данном интервале; именно, при фиксированном числе Ж события пуассоновского процесса независимо и равномерно распределены по рассматриваемому периоду наблюдений.

Алгоритм критерия отбраковки грубых ошибок построен следующим образом. Моменты выбранных предположительно ошибочных наблюдений проверяются на соответствие равномерному распределению в принятом интервале с помощью известного критерия Колмогорова, статистикой которого является величина

Если нулевая гипотеза, которая в данном случае может быть сформулирована в виде

= Р(дг),

где ^(Х) = |—, С = Т, X 6 [О, Г] , отвергается с заданным уровнем о С

значимости, то из совокупности предположительно ошибочных наблюдений удаляется меньшее по модулю наблюдение, и процесс повторяется.

Поскольку ТП - количество грубых ошибок в наблюдениях небесных объектов может быть малым, то распределение статистики Колмогорова рассчитывалось не по асимптотическим, а по рекуррентным формулам, взятым из работы [13]. Многолетняя эксплуатация критерия показала его высокую практическую эффективность. Метод неоднократно сравнивался по результатам работы с известным критерием Граббса-Смирнова, результаты опубликованы в работах автора.

После выделения грубых ошибок из исходной выборки оставшиеся наблюдения тем не менее представляют собой разнородный материал. Эта разнородность в самом общем случае проявляется в том, что наблюдения, выполненные на разных обсерваториях, разными авторами при различных условиях, могут иметь различные законы распределения, го есть принадлежать к разным генеральным совокупностям. Таким образом, прежде всего наблюдения нужно перегруппировать так, чтобы □ни имели одинаковые статистические характеристики.

Эта задача в наиболее общем виде может быть сформулирована как проверка гипотезы о тождественности законов распределения каждой из первоначальных групп наблюдений. Для проверки этой гипотезы были использованы ранговые критерии Уилкоксона для двух выборок и Краскела-Уоллиса для нескольких [14]. Ранговые критерии были выбраны потому, что наблюдения небесных тел, выполненные в прошлом I в начале нынешнего века, очень неоднородны, подвержены большим колебаниям и могут достигать больших абсолютных значений, не будучи три этом ошибочными. Ранговые критерии, используя информацию о шаке и взаимном расположении наблюдений различных групп, ггнорируют информацию об абсолютных величинах наблюдений, что *ожет служить дополнительной гарантией исключения влияния штбочных наблюдений.

После проверки исходной выборки описанными критериями тблюдения, первоначально разбитые на группы по месту их проведения 'но обсерваториям), будут перегруппированы и отнесены к нескольким говым группам с одинаковыми законами распределения внутри каждой 13 них.

Так как при астрономических наблюдениях ошибки возникают по :хеме суммы большого числа слагаемых, равномерно пренебрегаемых в феделе, то вполне естественное предположение о нормальном >аспределении ошибок наблюдений следует проверить на практике с юмощью критериев соответствия. Часто применяются тесты, ущественно использующие особенности нормального распределения, [апример, асимметрию и эксцесс.

В данной работе применен более совершенный критерий проверки юрмальности, предложенный К.Саркади в работе [15]. Суть этого :ритерия заключается в следующем. Первоначально не делается никаких ¡редположений о параметрах ¡Л и О"2 исследуемого на отклонение от ормального распределения. Затем несколькими функциональными реобразованиями элементы исходной выборки преобразуются в систему лучайных величин, подчиняющихся равномерному распределению на

отрезке [0,1]. Для проверки согласия эмпирического распределения преобразованных статистик теоретическому равномерному распределению вновь применен критерий Колмогорова, использованный в процедуре отбраковки грубых ошибок.

Систематические ошибки обнаруживаются с помощью критерия Аббе [16], который проверяет гипотезу о равенстве средних

Я0:Мг, = Мх2 =...= Мхп,

против альтернативы

Нх-\Мхм - Мх,\ >0,1 = 1,п-1.

Если с помощью критерия Аббе выявлено наличие систематического сдвига в наблюдениях, то эта систематическая погрешность должна быть выделена, учтена и удалена из наблюдений. Систематические ошибки представляются в виде тренда, то есть кривой регрессии с одним аргументом - временем, и аппроксимируются функциями двух видов -полиномами и отрезками гармонического ряда с некратными периодами. Несколько необычен лишь способ нахождения коэффициентов полиномов, коэффициентов и частот гармоник. Все они находятся методом группового учета аргументов (МГУА), предложенного в начале семидесятых годов в работах А.Ивахнеико [17].

Метод группового учета аргументов - метод структурного моделирования сложных систем, основанный на принципе самоорганизации моделей. Согласно этому принципу осуществляется целенаправленный перебор постепенно усложняющихся структур моделей и их отбор по ряду целесообразных эвристических критериев. Все критерии перебора усложняющихся моделей являются внешними, то есть основанными на некоторой дополнительной инфор м ации, например, на новых наблюдательных данных, не учитывавшихся при оценивании моделей.

Если первый принцип - принцип самоорганизации устанавливает существование минимума ряда критериев, обладающих свойствами внешнего дополнения, то второй принцип - принцип массовой селекции обеспечивает практическую реализацию построения все усложняющейся модели в процессе поиска минимума выбранного критерия самоорганизации. В качестве критериев внешнего дополнения можно использовать, например, критерий регулярности, минимизирующий среднеквадратическую ошибку на точках проверочной последовательности, или критерий несмещенности, минимизирующий смещение коэффициентов получаемой модели.

В реализованном автором методе роль функции, аппроксимирующей систематическую составляющую ошибок наблюдений, играл многочлен достаточно высокой степени и отрезок гармонического

ряда, то есть систематическая составляющая Хг (?) представлялась в виде

6 Г 20 i

хг (tj) = z £+ I(К + сл sin(OJ.+

i=i Lt=o (2.5)

+dл cosfí>ftíy)],

где коэффициенты ü¡k ,b¡k , C¡t , d^ и СО [t оценивались по исходному ряду наблюдений X(t~),j=\,n по принципам МГУА. Описание

вычислительных программ и результаты выделения систематических ошибок из наблюдений некоторых короткопериодических комет даны в работах автора.

Для проверки однородности наблюдательного материала, распределенного по группам с одинаковыми законами распределения ошибок наблюдений внутри каждой из них, все эти группы подвергались проверке на равенство их средних и дисперсий. Проверка производилась с помощью известных критериев Фишера и Бартлетта для дисперсий и Стыодента и Крамера для средних [2]. Все перечисленные критерии основываются на нормальности проверяемой выборки, поэтому их применение к группам с отличным от нормального закона распределения не совсем правомерно. Информация, полученная для таких групп в результате этой проверки, носит, таким образом, лишь вспомогательный характер.

Наконец, последним этапом статистической обработки астрономических наблюдений является оценка математического ожидания и дисперсии в малых выборках. Все это делается потому, что описанные статистические тесты могут надежно работать лишь с выборками достаточно большого объема. Поскольку в математической статистике отсутствует определение объема выборки, начиная с которого она считалась бы малой, приходится определять этот объем эмпирически. В работе к малым относились все выборки с числом наблюдений в них меньше шести.

Точечные оценки матожидания и дисперсии определялись на основе эмпирической функции плотности вероятности, оценка которой в свою очередь строилась методом прямоугольных вкладов [18]. Его отличительной чертой является: 1) использование дополнительной, кроме

самой выборки, априорной информации о случайной величине, 2 индивидуальный подход к каждой отдельной реализации выборки, 3 равномерное "размазывание" информации, полученной от отдельно реализации выборки, на конечном интервале фиксированной длины.

Оценка плотности распределения представлялась в виде

/•(*) = «0/0 (*) + ^ !>,(*), (2.6) П 1-1

где /Дх) - априорная компонента, у/,{х) - эмпирическая компонента вклад каждого элемента выборки, СС0 - константа, определяющая степей учета каждой компоненты. На основе функции /' (х) стандартны

Л Л

способом находились оценки Шх и О х для каждой малой выборю Цель этих действий - повысить точность и достоверность оценс матожидания и дисперсии при малом числе наблюдений.

Итак, статистическая обработка исходных выборок начинается обнаружения и удаления всех грубо ошибочных наблюдений. Общи подход к наблюдательному материалу подразумевает отказ с предположений о нормальности, однородности и некоррелированное! выборки. Напротив, предполагается, что исходная выборка состоит ^ смеси нескольких распределений, имеющих, может быть, однотипну функцию распределения, но с разными числовыми значениям параметров.

Как показывает вычислительная практика автора, базирующаяся \ статистической обработке более пяти десятков выборок наблюдени короткопериодических комет, наблюдения по разным сферически координатам одного и того же небесного объекта часто объединяются различные генеральные совокупности, то есть имеют разные закон распределения, ошибки астрономических наблюдений имеют нормальнс распределение менее чем в десяти процентах от всех случае: распределение ошибок достаточно близко к нормальному лишь ¡и выборок большого объема, но функция плотности распределения име( значительно более тяжелые хвосты. Систематические ошибки наблюдениях присутствуют практически всегда, обнаруживаются выделяются уверенно. Точность наблюдений, выполненных на различнь: обсерваториях, сравниваемая по однородности ряда дисперсий, пример? одинакова. Редко, в основном в наблюдениях комет XIX ве! встречаются обсерватории, обеспечивающие в целом худшую точное: наблюдений.

3. Оценивание вероятностных характеристик ошибок наблюдений

Третья глава работы посвящена разработке трех независимых методов оценки второго смешанного статистического момента корреляционной функции ошибок в рамках принятой модели наблюдений, то есть оценок Kx {tt,tk) и KXi{tittk) из формулы (2.4). Оценки корреляционной функции находились методами:

1. неортогонального проектирования,

2. базовых характеристик,

3. эмпирических характеристик.

Предполагается, что выборка, по которой оценивается корреляционная функция, представляет собой стационарный случайный

процесс. Предположение о стационарности x{t) опирается на анализ физической сущности причин, порождающих случайные ошибки [19]. Предположение об эргодичности x(t) относительно корреляционной функции проверялось из условия lim Ку (lAT) = О после оценки

Кх (у А Г). В большинстве случаев это условие выполнялось.

Основная идея метода проекций заключается в разложении либо оцениваемой характеристики, то есть в данном случае корреляционной функции Кх (Т), либо реализации случайного процесса x(t) в конечный ряд по различным системам ортогональных или неортогональных на отрезке разложения функций. В качестве таких функций выбраны уже применявшиеся при аппроксимации систематических ошибок многочлены степени tl и системы гармонических функций с некратными периодами.

Поскольку x(tj),j=\,n — OKa& единственная реализация

временного ряда, то оценка корреляционной функции может быть найдена осреднением по времени, то есть

Косвенный метод вычисления корреляционной функции путем двукратного быстрого преобразования Фурье относится к методу базовых характеристик. В этом методе оцениваемая характеристика вычисляется

(3.1)

где Т - весь интервал наблюдений. Зная форму представления подынтегральной функции, можно получить и оценку

по выборке не непосредственно, а через другую, так называемую базовую характеристику, в качестве которой берется спектральная плотность мощности (гх (/) стационарного эргодического процесса [20].

а

Процедура вычисления оценки Кх{т) заключается в следующем. Сначала прямым преобразованием Фурье дискретного временного ряда

у = 1,П получается оценка спектральной плотности мощности

Л Л

затем производится обратное преобразование над дающее оценку корреляционной функции.

Некоторые полезные замечания и рекомендации по применению двойного быстрого преобразования Фурье, а также алгоритм вычисления Кх О'ДТ) изложены в статьях автора.

Самый распространенный из методов оценки Кх (т) - метод эмпирических характеристик-основан на идее представления измеряемой характеристики некоторой функцией от элементов выборки. Для Кх (т) случайного стационарного эргодического дискретного процесса х(Г), ] = 1,11 эмпирической характеристикой является функция

КхиЫ) = 12(хЦАТ) - тх)(хЦАТ + уЛГ) - тх),

1=1 --(3.2)

у = 0, и -1,

где N - число выборок из реализации за весь интервал наблюдений Т, П - число наблюдений, АТ - интервал между соседними наблюдениями.

Для применения метода эмпирических характеристик необходимо иметь N реализаций случайного процесса. В нашем случае исходная выборка лишь одна, поэтому встает необходимость конструирования "новых" выборок. Процесс создания таких выборок моделировался с помощью статистических методов складного ножа и бугстрепа.

Метод "джекнайф" (]асккшГе - большой складной нож) известен статистикам с 1949 г, когда он был опубликован М.Кенуем [21] сначала как средство борьбы со смещением оценок. Как впоследствии выяснилось, метод представляет собой дальнейшее развитие идей метода перепроверки. Фиктивные выборки в этом методе создаются последовательным отбрасыванием по порядку сначала одного, затем двух и т.д. элементов исходной выборки; таким образом, конструируются по схеме без возвращения выборки меньшего объема, чем исходная.

Весьма похожий процесс происходит и в методе, получившим название бутстреп. Этот метод предложен и развит Б.Эфроном [22]. Бутстреп при конструировании фиктивных выборок идет дальше, обобщая процедуру метода складного ножа. Его основная идея состоит в имитации процесса получения многих выборок того же объема, что и исходная. Фиктивные выборки создаются путем случайного выбора по схеме с возвращением порядкового номера текущего элемента фиктивной выборки из множества {1,2,...,п}. Таким образом, в выборках бутстрепа один элемент выборки может встречаться несколько раз, а другой ни разу. Здесь, как и в методе складного ножа, в фиктивную выборку не привносится никаких "чужеродных" элементов. Основная идея методов складного ножа и бутстрепа, часто встречающая чисто психологическое возражение - это идея управления выборкой и ее своеобразного "ремонта". При традиционном подходе каждое наблюдение было уникальным и непременно использовалось при вычислении данной статистики. Необходимость и полезность жертвовать частью выборки ради повышения адекватности моделей сейчас является общепризнанным и часто употребляемым принципом при проведении статистических вычислений.

Теоретические вопросы поведения статистик, построенных методами складного ножа и бутстрепа, особенно последним, разработаны слабо. Доказано, например, что для оценки математического ожидания бутстреп-методом справедливы аналоги закона больших чисел и центральной предельной теоремы [22]. Для корреляционной функции подобных результатов нет, поэтому весьма ценно исследование поведения этой статистики, проведенное в данной работе численными методами.

Для выяснения свойств оценок корреляционной функции, полученной методами неортогоиального проектирования, базовых и эмпирических характеристик, а также, в первую очередь, для оценки пригодности методов бутстрепа и складного ножа по вычислению Кх (г) был поставлен и проведен обширный статистический эксперимент. Моделировались с помощью рекуррентных разностных уравнений три простейших процесса авторегрессии - скользящего среднего (АРСС) с тремя типовыми корреляционными функциями [23].

Р

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Итак, по формулам (3.3)-(3.5) моделировались три случайных процесса АРСС достаточной длины (30,40,50,75,100,200 и 300 единиц). Поскольку для каждого процесса вид теоретической корреляционной

функции известен, то вычисленная оценка по полученному ряду

может быть сравнена с этой теоретической функцией. Всего рассмотрено более пятидесяти вариантов теоретических выборок. По всем трем моделям в зависимости от объема обрабатываемой выборки получены почти аналогичные результаты.

Численные расчеты показали, что оценки

по методу

проекций ведут себя как состоятельные оценки Кх (т) , причем для первой модели они несмещены, для второй и третьей модели выявляется небольшое положительное смещение. Объем выборки не оказывает заметного влияния на характер приближения оценки к ее теоретическому значению.

Качественно аналогичную картину дает и метод базовых характеристик. Можно с большой определенностью утверждать, что методом базовых характеристик уверенно восстанавливается Кх (т) по выборкам объема 30-50 единиц, а именно такой объем наблюдений чаще

всего имеет место в астрономической практике. Оценки ^х(^) состоятельны и смещены для всех трех моделей, для первой смещение отрицательно, для второй и третьей - положительно.

Перейдем теперь к обсуждению результатов применения методов бутстрепа и складного ножа. В численном эксперименте обоими методами строилось 1000 фиктивных выборок, по которым оценивалась корреляционная функция. Затем результаты усреднялись.

Проведенный статистический эксперимент показал, что характер

л

оценок

Кх(т)

, полученных методом складного ножа и бутстреп-

методом, значительно различаются. Оценки по бутстреп-методу

демонстрируют значительно большую изменчивость элементов корреляционной функции для различных запаздываний Т. Тем не менее, общий вид и особенности Кх (т) восстанавливаются хорошо обоими методами. Это видно на рисунках 3.1 и 3.2, где приведены усредненные по всем 1000 фиктивным выборкам значения нормированной корреляционной функции в зависимости от объема исходной выборки. Анализ графиков показывает, что даже по небольшому числу наблюдений

Рис. 3.1 Графики нормированной корреляционной функции

II модели, полученные методом бутстрепа в численном

эксперименте.

Рис. 3.2 Графики нормированной корреляционной функции II модели, полученные методом складного ножа в

численном эксперименте.

(П «50) оценка является вполне удовлетворительной в

пределах интервала корреляции Г . С увеличением запаздывания Т влияние погрешностей растет. Эффект объема выборки также заметен, при п < 50 корреляционная функция для Т > Тк0№ определяется

л

неуверенно. В целом оценки по обоим методам смещены в

отрицательную сторону.

Помимо оценки исследуемых статистик, методы бутстрепа и складного ножа позволяют вычислить и смещение этих статистик. Это смещение оценивается по эмпирическому распределению изучаемой статистики. Автором получены аналитические оценки смещения от второго до четвертого порядка.

К сожалению, результаты численного эксперимента дали во всех случаях очень завышенную оценку смещения первого, а тем более второго и последующих порядков. Например, для первого элемента корреляционной функции - дисперсии смещение в среднем было около 0.25-0.35 от абсолютной величины самой оценки 1)х. Кроме того, величина смещения определялась крайне неуверенно, изменяясь в отдельных случаях в очень широких пределах. Вследствие этого все оценки Кх (т) не исправлялись за смещение.

Для оценки точности исследуемой статистики Ку (т) по ее эмпирическому распределению, даваемому методами бутстрепа и складного ножа, строились несколько типов доверительных интервалов:стандартный интервал, основанный на нормальной теории, цроцентильный интервал, а также два интервала на основе процентильного с использованием стабилизирующих и нормализующих относительно дисперсии преобразований [22]. Величины этих интервалов, полученных на основе эмпирического бутстреп-распределения для второй модели АРСС, приведены в таблице 3.1. Интервалы, построенные по эмпирическому распределению, смоделированному методом складного ножа, значительно уже приведенных и примерно равны по величине стандартному нормальному интервалу. Кроме того, интервалы по методу складного ножа почти симметричны, тогда как интервалы в таблице 3.1 обнаруживают заметную асимметрию. Это свидетельствует о несимметричности исходных бутстреп-выборок. По мнению автора величины доверительных интерва-

Таблица 3.1 Оценка доверительных интервалов 15-ти первых элементов корреляционной функци бутстреп-

методом Объем выборки 50 единиц. а)стандартный интервал:

г 0 . \ 2 | 3 • 4 5 6 7 .8 | 9 10 И 12 13 ' ] 14

еерхк, граи 9 74 8.26 5.15 2.42. "0.21 ' -1 01 -1.09 -0 78 -0.46 -0.37 -0.38 * ' -Й.29 ■ -0.01 *; 4 I 0.49 1.05

:Кг(г) 8 07 6,5& 3 69 [ ¡.10 -0.85' »1 яо -2.06 -1 84 •1.72 4,82 -1 96 -1.95 -155 -0.86 -0.15

ЦИЖП. П'аи 6.40 4.90 2.23 | #,22 -1.91 -2 79 -3.03. •2Ш -2.98 | -3,27 -3.54 -3/4 -3.06 •2.22'! -1.35

б)интервал по методу процентилей:

лсрхр. гран. 16.28 11,13 • 7.09 ' 2.74 0.23 -0Ш -0.85 -0.31 -0.61 : -0,76 -0 84 -0 51 0 003 060 1.04

: 8.07 650 3.69 110 -0 85 -1.90 -2.06 -1,81 -1.72 -ш -1.96 -1 §> -1.55 -0 86 \ -0 15

пижи. 4 16 ; : 1-75 -0 04 -2:27 -3.98 -3.95 1 -3 34 -3,57, -3 92 -3 69 -2 М | -1 67

в)интервал по методу процентилей с коррекцией смещения и стабилизацией дисперсии:

гршС 20.23 1385 9.00 367 0.08 -0.97 -1,00 '•0.81 -0.77 -085 •0.97 -0.76 -0.12 06« 1.04-

Щт) 8.07 658 . 3.69 1-10 -0.85 «1.90 -2.06 . -1.84 -1.72 »1.82 -1.96, »1 -1.55 ЛЗ 86 -0.15

ЛИЖП. 4.66 2.13 023 -2.43 -4.25 -4 67 -4.22 4-29 -4.57 »159 -3.84 -2 64 | -1.67

г)иитервал по методу процентилей с коррекцией смещения и не семенной дисперсией:

ВгрКН. граи 20.23 1<Ш 9.00 Ш ■0.08 -0.97 -1.00 "-0 81 -0.77 ►0.85 -0.97 -0.7(1 -0.12 0.60 1.04

ж»: 8.07 3.09 1.10 -0 85 ■1 Й0 -2.06 4 Ь4 | -1.72 „ -1 82 -1.96 -1 95 ' -1.55 -0.86 -0.15

нижи, грлн. 4.66- " г «в 2.13 <Ш -2.43 -1.25 ' -4.90.. - 85 | -4.22 -4 29 -4.57:- -4,59 -3 84 <-2.73 | -1.67'

лов из таблицы 3.1 могут служить гарантированными оценками величин доверительных интервалов для корреляционной функции.

4. Улучшение орбитальных параметров движения небесных тел с учетом статистических характеристик ошибок наблюдений

В четвертой главе основное внимание уделено практической реализации двух методов исправления орбитальных параметров небесных тел - методу максимального правдоподобия и методу максимума апостериорной вероятности. Эти методы используют оценки первых и вторых статистических моментов систематических и случайных ошибок астрономических наблюдений, которые определяются во второй и третьей главах работы. Используемая модель наблюдений позволяет повысить точность определения орбит путем учета дополнительной статистической информации, объективно содержащейся в наблюдениях и не учитываемой ранее традиционными методами. Модель движения исследуемых небесных объектов описывалась системой дифференциальных уравнений, учитывающей возмущения от восьми планет (Меркурий-Нептун). Численное интегрирование уравнений движения проводилось методом Эверхарта с двойной точностью с постоянным шагом АТ= 1" [24].

Задача определения поправок элементов орбиты приводит к необходимости вычисления производных от сферических координат (X и 8 по всем исправляемым элементам. Учитывая, что исследуемые объекты имели тесные сближения с Землей, дифференциальные коэффициенты вычислялись численно с учетом возмущений методом двенадцатикратного интегрирования по методике, весьма сходной с примененной Г.Ситарским в работе [25].

Как известно, поправки к любому набору шести орбитальных параметров, получаемые методом наименьших квадратов, имеют вид

АЁ = (А"А)'1А1х, (4.1)

где А - матрица дифференциальных коэффициентов, X - матрица-столбец (О-С) наблюдений. При учете статистических свойств систематических и случайных ошибок наблюдений те же поправки, определяемые методом максимального правдоподобия, равны [26]

&Е = (А'К-хАу А'К-'х, (4.2)

-де К - корреляционная матрица ошибок наблюдений, то есть матрица, саждая строка которой представляет сумму функций Кх _ и Кх ^ из

[2А). Матрица К в нашем случае представляется блочно-диагональной матрицей, каждый блок которой описывает корреляционные связи 5шибок отдельных групп наблюдений с одинаковыми законами заспределекия. В методе максимума апостериорной вероятности юправки к орбитальным элементам выражаются следующим образом:

АЁ = АЕ + + А'КГ'А)" ATK-l{x- АЬЕ), (4.3)

•де АЕ - априорная оценка поправок, Кх - априорная оценка сорреляционной матрицы. Свойства оценок, получаемых по формулам '4.1)-(4.3), подробно изучены и хорошо известны. При исправлении )рбитальных параметров по одному изолированному появлению с учетом )бстоятельств, изложенных в первой главе, предпочтительнее юльзоваться оценками (4.2) и (4.3).

Исследовано движение и исправлены орбитальные параметры трех гебесных объектов: двух короткопериодических комет семейства Опитера - кометы Швассмана-Вахмана 3 (1930 VI), кометы де Вико-Звифта (1844 I) и малой планеты 473 (Molli). Первая из этих комет таблюдалась в четырех изолированных появлениях 1930,1979,1990 и 1995 г.г. Средний период обращения этой кометы около 5.5 лет, верительное расстояние чуть больше 1.0 а.е., а с 1968 г. даже меньше 1.0 i.e., что указывает на наличие негравитационных эффектов в се щижении. Между первым и вторым появлением пропущено восемь юзвращений к Солнцу, между вторым и третьим - одно возвращение. За 1ериод 1930-1995 г.г. комета трижды сближалась с Юпитером, особенно -есным и продолжительным было ее сближение в ноябре 1965 г. до 1инимальн0го расстояния 0.28 а.е.

Исправления орбитальн ых параметров методом наименьших свадратов и попытки объединения появлений кометы предпринимались «югими авторами, в последней по времени работе [27] даются юдробные ссылки. Во всех четырех наблюденных появлениях комета габлюдалась достаточно долго, наблюдательный материал обширен. Эсобенно много наблюдений в 1930 г., хотя они как раз наименее ■очные.

Описанные во второй и третьей главах статистические методы ¡бработки были применены к наблюдениям этой кометы. Орбитальные

параметры в каждом появлении исправлялись стандартным методом наименьших квадратов и методами максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности с учетом статистических характеристик ошибок наблюдений. Практические расчеты показали, что из наблюдений уверенно выделяются аномальные наблюдения и систематические ошибки, корреляционные функции ошибок в большинстве случаев имеют экспоненциальный вид, причем все три используемых способа их оценки дают близкие результаты: интервалы корреляции оцениваются в 7 — 21'', составляя от четверти до трети периода наблюдений.

В результате применения предложенной методики удалось во всех четырех появлениях снизить расхождения в моменте прохождения через перигелий. Эти расхождения в появлении 1979 г. приведены в таблице 4.1. В первой строке таблицы указано, на основе какого появления выполнено интегрирование до 1979 г. Вторая строка дает расхождения е Т по системе элементов, исправленной методом наименьших квадратов I 1930 или 1990 г.г. и проинтегрированной до 1979 г., третья строка указывает это же расхождение в Т по орбите, исправленной методом максимального правдоподобия.

Таблица 4.1 (АТ дано в сутках)

1930—>1979 1990-М979

МНК: ЛТ=32.9338 -0.4086

ММП: ДТ=-0.1462 -0.3233

Как видно из таблицы, учет статистических характеристик ошибок наблюдений повышает надежность определяемых орбитальных элементе»! и увеличивает точность предсказания Т для очередного появления Исключительно большая разница в АТ в первом столбце таблицы 4.1 объясняется еще и тем, что более точная орбита 1930 г. позволила точнее предсказать параметры сближения кометы с Юпитером в 1968 г. и следовательно, полнее учесть его дифференциальные возмущения.

Среднеквадратические ошибки представления наблюдений I отдельных появлениях также, в большинстве случаев, уменьшились Например, в последнем появлении 1995 г. исходная орбита представлял; наблюдения с СГ = 3."35, а окончательная орбита с СГ = 1."21.

Аналогичные результаты получены при исследовании кометы д< Вико-Свифта (1844 I), наблюдавшейся в трех изолированны} появлениях 1844,1894 и 1965 г.г. Здесь между первым и вторь» появлением пропущено восемь возвращений к Солнцу, между вторым I третьим - десять возвращений. Как и комета 1930 VI, эта комета з;

териод 1844-1995 г.г. трижды сближалась с Юпитером; в 1885 г. на минимальное расстояние А . = 0.62 а.е., в 1897 г. на А . = 0.44 а.е. и

1 min ' min

j 1968 г. даже на Л = 0.16 а.е. Несмотря на осложняющие )бстоятельства, удалось увеличить точность предсказания Т в юявлениях 1894 и 1965 г.г. по орбитам предыдущих появлений. Наиболее надежной оказалась исправленная методом максимального фавдоподобия орбита 1965 г.; если расхождение в моменте прохождения герез перигелий в 1894 г. по орбите 1965 г., исправленной методом иименьших квадратов, составило —1? 1419, то после применения ¡писанной методики это расхождение уменьшилось до —0/2406.

Представление наблюдений во всех появлениях при этом осталось [а прежнем уровне, например в 1965 г. среднеквадратическая ошибка до г после улучшения составила около 2."5.

После 1968 г. комета переброшена Юпитером на орбиту с Q = 2.2 ..е., что является главной причиной ее утери и пропуска появлений 1973, 980, 1987 и 1995 г.г.

Для выявления возможностей методики необходим был объект, на [вижение которого не оказывают влияние негравитационные силы. В том случае неточность в определении исходной орбиты будет основной и лределяющей причиной, приводящей к расхождению истинного и фемеридного положения небесного тела и к утере его при :еблагоприятных обстоятельствах. Малая планета 473 (Nolli) до 1987 г. телилась в списке утерянных с момента открытия, хотя была открыта ще в 1901 г. Впоследствии по исправленной орбите были отождествлены аблюдения в девяти оппозициях с 1901 по 1994 г.г. При исследовании вижения этой малой планеты были поставлены две задачи: 1) родемонсгрировать преимущества предложенной методики уточнения рбиты и 2) на основе всех наблюдений построить численную теорию вижения этого небесного тела, объединяющую все оппозиции.

Первая задача решалась по 12 наблюдениям оппозиции 1994 г. По справленной орбите 1994 г. представлялся момент прохождения через еригелий в 1992 и 1901 г.г., результаты численного интегрирования равнивались с аналогичными моментами, полученными по кончательной орбите, объединяющей все девять оппозиций. Эти езультаты приведены в таблице 4.2, они однозначно свидетельствуют, то учет статистических характеристик ошибок наблюдений повышает очность определяемой орбиты и делает более надежной вычисляемую а основе этой орбиты эфемериду.

[О^иуа Ш1-Ш4 г .г,' ТТ992 02 09.3618 Т 1900 10 30 5435'

Таблица 4.2 (АТ_дановс^ткахч,

Орбита 1994 у, хщътщтщ МЩ.......■ | ; щЬттщят. ММП

1992 02 09.8733 1900 11 15.7705

1992 02 09.3544 V!" « 0.1--» 1900 10 30.5499 -<У>064

Для решения второй задачи использовались все 44 наблюдени: малой планеты, в результате получена орбита, представляющая эт1 наблюдения (кроме ошибочных) со среднеквадратичсской ошибко] <7— 4." 87. Эта ошибка все еще достаточно велика, поэтому требуете: дальнейшее усовершенствование численной теории при поступленш новых наблюдений в последующих оппозициях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результат! теоретического и практического характера:

1. Рассмотрены причины утери и возможных переоткрыти: периодических комет, наблюдавшихся в одном появлении. Подроби проанализированы факторы, влияющие на точность окончательных орби - главной причины утери этих небесных тел.

2. Реализована концепция непрерывной статистической обработк: позиционных наблюдений небесных тел. Это осуществлено путе; последовательного применения ряда ранговых и параметрически статистических критериев к исходной выборке, причем исходная модел наблюдений включает предположение о смеси наблюдений с разным: законами распределения, не обязательно нормальными, и предположени о коррелированности наблюдений. Концепция включает, в частност: классификацию ошибок астрономических наблюдений и их разделение н грубые, систематические и случайные. Рассмотрены причины порождающие эти ошибки, и даны рекомендации, когда учет каких-либ из них становится необходимым.

3. В рамках этой концепции теоретически разработан и практическ осуществлен новый метод отбраковки грубых ошибок (аномальны наблюдений) в выборке. Он основан на представлени последовательности грубо ошибочных наблюдений стационарны:

пуассоновским процессом. Это позволило реализовать эффективный рекуррентный алгоритм отбора аномальных наблюдений, причем теоретические предпосылки метода позволяют его применять при любом количестве в выборке грубо ошибочных наблюдений.

4. Реализован метод выделения и аппроксимации систематических ошибок. В отличие от существующих способов выделения систематических ошибок разных видов в отдельности метод использует интегральную информацию о процессе. Влияние всевозможных систематических ошибок учитывается единообразным способом путем их аппроксимации, многочленами и гармоническими функциями методами группового учета аргументов. Отличительная особенность этих методов -построение ими несмещенных моделей оптимальной с ложности, обладающих хорошими прогнозными характеристиками.

5. Применен новый подход к оценке точечных характеристик малых выборок. Для эмпирической функции плотности распределения ошибок наблюдений в таких выборках строились оценки "ядерного" типа, причем, кроме основной информации, содержащейся в самой выборке, привлекалась дополнительная априорная информация определенного вида. На основе эмпирической функции распределения рассчитывались оценки математического ожидания и дисперсии. Подобная процедура позволяет повысить точность оценок определяемых статистик.

6. Для оценки вторых моментов случайных составляющих ошибок наблюдений созданы три независимых метода. Первый из них - метод неортогонального проектирования, второй - метод базовых характеристик, третий - метод эмпирических характеристик. Все три метода относятся к классу непараметрических, то есть оценивают исследуемую статистику непосредственно по выборке, не требуя знания ее функционального вида. Для реализации метода эмпирических характеристик использована идея создания "фиктивных" выборок статистическими методами бутстреиа и складного ножа.

7. Методом статистического моделирования исследовано асимптотическое поведение оценок корреляционной функции для трех процессов авторегрессии - скользящего среднего, вычисленных тремя указанными методами. Результаты численного эксперимента свидетельствуют в пользу состоятельности полученных по всем трем методам оценок исследуемых статистик. Выяснено, что построенные оценки смещены, причем смещение имеет разные знаки у разных типов корреляционных функций и разных методов. При моделировании эмпирического распределения исследуемых статистик установлено, что это распределение, построенное бутстреп-методом, несимметрично и

смещено для нескольких первых значений корреляционной функции сторону больших значений статистики. Эмпирическое распределение построенное методом складного ножа, симметрично.

8. Решена вспомогательная задача интерполяции кубическим! сплайнами промежуточных значений функции, заданной н; равноотстоящей сетке узлов сопряжений. Разработана эффcктивнaJ методика деформации узлов сетки и нахождения распределени; неравноогстоящих узлов сопряжений, позволяющая повысить точност интерполяции и уменьшить время вычислений.

9. Построены оценки смещения исследуемых статистик от первое до четвертого порядка. Численные расчеты показали, что для все: используемых выборок разного объема (от 30 до 300 единиц) смещени первого, а тем более второго и последующих порядков, оказалось сильн завышенным и определяется неуверенно.

10. На основе эмпирических распределений, полученных методам! складного ножа и бутстрепа, построены несколько типов доверительны: интервалов. Основной из них - процентильный интервал - предоставляв сведения о точности оценок корреляционных функций. Величинь стандартного интервала, построенного по нормальной теории, 1 процентилыгого сравнимы по величине и не противоречат друг другу.

И. Создана методика исправления орбит небесных тел методам] максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятност для вектора состояния переменной размерности, учитывающа корреляционные зависимости элементов орбиты между собой статистические характеристики случайных и систематических ошибо: наблюдений.

12. Разработанная методика исправления орбит применена к дву! короткопериодическим кометам и одному астероиду, наблюдавшимся нескольких изолированных появлениях. Установлено, что эффект учет статистических характеристик ошибок наблюдений повышает точность надежность орбиты, определяемой по одному появлению. Получен! исправленные орбиты кометы 1844 I в трех ее появлениях, кометы 193 VI в четырех появлениях и построена численная теория движения мало планеты 473 за период 1901-1994 г.г.

13. Создан комплекс программ, реализующий предложенну! методику в полном объеме. Последний вариант комплекса содержи около двухсот подпрограмм на языке ФОРТРАН-77 для ЭВМ РС Комплекс разделен на восемь независимых модулей, способных работах самостоятельно и осуществляющих расчеты для разных составных чаете общей задачи.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1*. Шапорев С.Д. 1975. Определение окончательной орбиты кометы де Вико-Свифта (1844 I). ВИНИТИ N 1790-75, стр. 1-39.

2*. Шапорев С.Д. 1978. Комета де Вико-Свифта (1844 1=1894 IV = 1965 VII). Проблемы космической физики, вып.13, Киев, стр.71-81.

3*. Шапорев С.Д. 1981. Применение некоторых статистических методов анализа однородности результатов астрономических наблюдений. Бюлл. ИТА, т.XV, N 2(165), стр. 124-131.

4*. Шапорев С.Д. 1981. Новый критерий отбора грубых ошибок в астрономических наблюдениях. Определение координат небесных тел, изд. Латвийского гос. университета, Рига, стр. 104-112.

5*. Шапорев С.Д. 1982. Об одном способе выделения

систематических ошибок в астрономических наблюдениях. Бюлл. ИТА, т.XV, N4(167), стр.234-240.

6*. Шапорев С.Д. 1982. О полиномиальной аппроксимации временных рядов. Анализ движения небесных тел и их наблюдений, изд. Латвийского гос. университета, Рига, стр.28-36.

7*. Шапорев С.Д. 1986. Оценка вероятностных характеристик ошибок наблюдений короткопериодических комет. Анализ движения тел Солнечной системы и их наблюдения, изд. Латвийского гос. университета, Рига, стр.85-96.

8*. Шапорев С.Д. 1989. Применение двойного быстрого

преобразования Фурье к оценке корреляционной функции ошибок астрономических наблюдений. Труды вторых Бредихинских чтений, Циркуляр ВАГО N 46, Л., стр.24-27.

Цитируемая литература

1. Marsden B.G. 1982. Catalogue of Cometary Orbits, 4 th edition. IAU Central Bureau for Astronomical Telegrams, Cambridge, Mass.

2. Крамер Г. 1975. Математические методы статистики. М., Мир, 648 стр.

3. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. 1980. Определение и коррекция движения. М., 360 стр.

4. Marsden B.G. Comets and nongravitational forces.

1968. I., A.J. v.73, p.367-879;

1969. II., A.J., v.74, p.720-734;

1970. III., A.J., v.75, p.75-84;

1971. IV., A.J., v.76, p.1135-1151.

5. Belyaev N.A. and Ivanovskaya K.P. 1985. Influence nongravitational forces on the orbital evolution of short-period comets. In: Dynamics of Comets, eds. A.Carusi and

G.B. Valsecchi, Reidel, Dordrecht, p.371-379.

6. Муравьева И.Н. 1978. Исследование движения некоторых короткопериодических комет. Диссертация на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Казань, 201 стр.

7. Казимирчак-Полонская Е.И. 1961. Обзор исследований тесны: сближений короткопериодических комет с Юпитером (1770-1960). Труды ИТА, вып.VII, стр.19-190.

8. Kresak L. 1981. The lifetimes and disappearance of periodic comets. Bull. Astron. Inst. Gzechosl., v.32, p.321-339.

9. Kresak L. 1974. The outbursts of periodic comet Tuttle-Giakobir Kresak. Bull. Astron. Inst. Gzechosl., v.25, p.293-304.

10. Whipple F.L. 1980. Rotation and outbursts of comet P/Schwassmaun-Wachmann 1. A.J., v.85, p.305-313.

11. Whipple F.L. 1984. Comet P/Holmes 1892 III-A case of duplicity? Icarus, 60, p.522-531.

12. Всехсвятский С.К. 1966. Вспышки блеска и строение кометных ядер. Физика комет и метеоров, Киев, стр.32-50.

13. Birnbaum Z.W. 1952. Numerical tabulation of the distribution of Kolmogorov's statistic for finite sample size. J. of the Amer. Stat. Ass., v.47, p.425-441.

14. Холендер M., Вулф Д.A. 1983. Непараметрические методы статистики. М., Финансы и статистика, 519 стр.

15. Sarkadi К. 1960. On testing for normality. A Magyar Tud.