Оценка влияния учета поперечных сдвигов на решения контактных задач со свободной границей для цилиндрических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Экспресс-алгоритм учета поперечных деформаций в кирхгофовских вариантах теории оболочек.

1.1. Основные соотношения нелинейной теории жесткогибких оболочек.

1.2. Содержание экспресс-алгоритма.

1.3. Теория пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди.

1.3.1. Вывод уравнении равновесия.

1.3.2. Полу деформационный вариант граничных величин.

1.4. Учет поперечных деформаций в уравнениях равновесия цилиндрических оболочек.

1.4-1■ Вывод уравнений равновесия.

1.4-2. Полудеформационный вариант граничных величин для замкнутой цилиндрической оболочки.

1.5. Уравнения равновесия цилиндрических оболочек по полубезмоментной теории, уточненные путем учета поперечных деформаций.

2. Многопролетная цилиндрическая оболочка как балка, свободно лежащая на системе опор.

2.1. Задача со свободной границей для многопролетной балки (классическая теория).

2.2. Задача со свободной границей для многопролетной балки (теория Тимошенко).

2.3. Теорема о трех моментах для балки, изгибающейся по теории Тимошенко.

2.4. Теорема единственности решения контактной задачи для балки Тимошенко, лежащей на системе упруго податливых опор.

2.5. Метод перебора вариантов для расчета реакций упруго податливых опор.

2.5.1. МПВ для классической теории.

2.5.2. МПВ для теории Тимошенко.

2.6. Численный эксперимент в задаче о многопролетной балке.

3. Расчет рационального профиля и реакций консольных элементов для тяжелой цилиндрической оболочки.

3.1. Определение рационального профиля консольного элемента (классическая теория).

3.2. Определение рационального профиля консольного элемента (теория типа Тимошенко).

3.3. Расчет удельных реакций опоры с консольными элементами переменной толщины классическая теория).

3.4. Расчет удельных реакций опоры с консольными элементами переменной толщины по теории типа Тимошенко.

3.5. Численный эксперимент.

4. Многопролетная цилиндрическая оболочка, подкрепленная системой надопорных колец жесткости.

4.1. Случай свободно надетых колец классическая теория).

4.2. Случай жестко закрепленных колец жесткости.

4.3. Расчет параметров НДС в многопролетной цилиндрической оболочке по теории типа Тимошенко.

4.4. Численный эксперимент в задаче о цилиндрической оболочке, подкрепленной кольцами жесткости.

В работе [33] предложена нелинейная теория жесткогибких оболочек, уточняющая квазпкирхгофовскую теорию К.Ф.Черныха [65] за счет учета вариаций параметров поперечного обжатия и (в линейном приближении) поперечных сдвигов по схеме С.П.Тимошенко. Ниже эту уточненную модель нелинейной механики оболочек для краткости будем называть теорией типа Черныха- Тимошенко. Напомним, что под жесткогибкими понимают оболочки, изготовленные из жесткого сжимаемого материала и допускающие конечные перемещения за счет конечных углов поворота при относительно малых деформациях [32]. Альтернативу таким оболочкам составляют мягкогибкие, т.е. изготовленные из мягкого несжимаемого материала и допускающие конечные перемещения как за счет конечных углов поворота, так и за счет конечных деформаций. Именно для расчета мягкогибких оболочек была разработана квазикирхгофов-ская нелинейная теория К.Ф.Черныха, основанная на предположении о нарушении геометрической гипотезы Кирхгофа об отсутствии поперечного обжатия.

Уравнения нелинейной теории типа Черныха-Тимошенко автору работы [33] удалось преобразовать путем использования приведенных усилий и моментов к виду, формально идентичному уравнениям линейной кирхгофовской теории, что позволило сформулировать быстрый алгоритм уточнения линейных и частично линеаризированных кирхгофовских вариантов теории оболочек путем учета поперечных деформаций (сдвигов и обжатия). Этот т.н. экспресс-алгоритм лежит в основе построения моделей, исследование которых составляет содержание данной работы.

Целью исследований представленной работы является учет поперечных деформаций в моделях цилиндрических оболочек с использованием экспресс-алгоритма и оценка влияния названных деформаций на решение контактных задач со свободной границей, ассоциированных с проблемой надежности и долговечности магистральных нефте-, газотрубопроводов в области их контакта с опорами и кольцами жесткости.

Поясним более подробно сформулированную цель исследований. В работе рассматриваются задачи, связанные с расчетом длинных многоопорных цилиндрических оболочек. Естественной является следующая очередность выполнения расчетов. Сначала вычисляются интегральные значения реакций опор при рассмотрении оболочки как длинной неразрезной многоопорной балки кольцевого сечения (ЛЗатем определяются удельные реакции подкладной плиты при рассмотрении опор, как деформируемых штампов, действующих на цилиндрическую оболочку с силами Дг, г Е 1 : п — 1. Здесь можно рассматривать опору в виде призматического тела с консольными элементами переменной толщины. Логичным представляется также выбор профиля консольных элементов, исходя из тех или иных критериев. При этом могут быть рассмотрены обратные задачи по отысканию профиля опоры, обеспечивающего заданное (например, равномерное) распределение контактных реакций подкладной плиты. И, наконец, рассматривается длинная подкрепленная в надопорных сечениях кольцами жесткости оболочка под действием локальных нагрузок в месте контакта кольца и подкладной плиты.

В целях избежания концентрации монтажных напряжений оболочка не закрепляется жестко на опорах, а кольцо не крепится жестко к оболочке (не приваривается). В результате появляется необходимость в постановке и решении с учетом поперечных сдвигов трех контактных задач со свободной границей: а) задача нахождения множества активных опор и их реакций (Яг, г 6 1 : п — 1), действующих на оболочку как балку, свободно лежащую на системе опор;

Р) задача вычисления контактных реакций несущей поверхности опоры при свободном взаимодействии с нею цилиндрической оболочки и расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) в последней;

7) расчет НДС в длинной цилиндрической оболочке, свободно лежащей на системе опор и подкрепленной в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости при известном распределении давления на кольцо (см. задачу (/3)).

Целью работы являлось исследование влияния учета поперечных сдвигов на: - распределение реакций Я{ в задаче (а); - форму консольного элемента опоры при известном распределении удельных контактных реакций (задача, обратная к (/3)); - НДС в цилиндрической оболочке, лежащей на системе опор и подкрепленной в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости, испытывающими действие заданной нагрузки.

Контактные задачи (а) - (7) даже в случае малых деформаций обладают существенной (неустранимой) нелинейностью и относятся к области конструктивно-нелинейной механики.

Для решения контактных задач со свободной границей предложен, апробирован и обоснован т.н. метод обобщенной реакции [4448]. '

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и двух приложений.

В разделе 1 приведены необходимые соотношения нелинейной теории типа Черныха-Тимошенко и на их основе сформулирован экспресс-алгоритм учета поперечных деформаций в кирхгофовских вариантах теории оболочек. Затем с использованием названного алгоритма выведена система полевых уравнений теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди. а из них получены уравнения равновесия цилиндрической оболочки. Здесь же выведен т.н. полудеформационный вариант граничных величин для торцевого края цилиндрической оболочки. В конце раздела получены уравнения равновесия полубезмоментной теории цилиндрических оболочек, и, как следствие, - уравнение изгиба кольца, учитывающее поперечные сдвиги.

В разделе 2 рассматривается длинная многоопорная цилиндрическая оболочка как балка кольцевого поперечного сечения, свободно лежащая на системе упруго податливых опор, причем множество активных из них заранее неизвестно (контактная задача со свободной границей для дискретной области взаимодействия). Расчет контактных реакций и, соответственно, множества активных опор проводился с учетом поперечных сдвигов методом обобщенной реакции и методом перебора вариантов. Последний метод основан на выполненном соискателем доказательстве теоремы единственности решения соответствующей конструктивно-нелинейной задачи. Решения, полученные названными методами, проверялись с использованием балочных теорем о трех моментах как по классической теории балок, так и по теории Тимошенко. (Уравнения составляющие теорему о трех моментах для балки Тимошенко получены соискателем). При неучете поперечных сдвигов решение контролировалось оболочечным аналогом теоремы о трех моментах [41].

В разделе 3 с учетом поперечных сдвитов решена обратная контактная задача по отысканию т.н. рационального профиля (В-щю-филя) консольного элемента опоры, равномерно воспринимающей давление тяжелой цилиндрической оболочки, в предположении односвязности области контакта. Далее решением прямой контактной задачи со свободной границей для тяжелой цилиндрической оболочки и опоры с консольными элементами ^-профиля подтверждена правильность решения обратной задачи.

В разделе 4 рассматривается цилиндрическая оболочка, подкрепленная в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости. Внешняя нагрузка имитируется реакциями рациональной опоры (см. раздел 3), равномерно распределенными по части дуги кольца жесткости. Задача решена как в рамках классической теории, так и с использованием теории типа Тимошенко. Расчет контактных взаимодействии выполнен методом обобщенной реакции. Прогиб, усилия и поперечные сдвиги вычисляются в двойных тригонометрических рядах, а для расчета моментов, для которых соответствующие ряды не сходятся, используется конечно-разностная аппроксимация и сплайн-сглаживание.

В Приложении I коротко изложено содержание метода обобщенной реакции и пояснен характер его сходимости для контактных задач со свободной границей в случае краевых задач, имеющих положительно определенные операторы.

В Приложении II с целью подтверждения механизма влияния поперечных сдвигов, подмеченного в разделе 4, решена с учетом поперечных сдвигов задача об изгибе цилиндрической панели под действием нормальной нагрузки, в том числе - сосредоточенной.

Научная новизна. Перечисленные ниже теоретические результаты являются новыми.

1. Уравнения квадратичной теории цилиндрических оболочек, учитывающие поперечные сдвиги и обжатие.

2. Полудеформационный вариант граничных величин для края (прямой срез) замкнутой цилиндрической оболочки, соответствующий квадратичной теории.

3. Учитывающее поперечные сдвиги уравнение изгиба кругового кольца в виде очень короткой цилиндрической оболочки.

4. Метод перебора вариантов для определения реакций опор в контактной задаче со свободной границей для балки Тимошенко, лежащей на системе упруго податливых опор.

5. Обобщение теоремы Клапейрона о трех моментах на случай учета поперечных сдвигов по модели Тимошенко.

Впервые решены задачи по:

- отысканию множества активных опор и их реакций для балки Тимошенко, свободно лежащей на системе упруго податливых опор (Путем численного эксперимента выявлены случаи, когда множество активных опор для балки Тимошенко шире соответствующего множества для балки Бернуллп.);

- вычислению удельных реакций в задаче со свободной границей для тяжелой цилиндрической оболочки и опоры с консольными элементами Д-профиля, согласующихся с решением обратной задачи;

- определению НДС в длинной многоопорной цилиндрической оболочке, подкрепленной в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости. (При учете поперечных сдвигов получен принципиальный результат: графики изгибающих моментов от изменения кривизны срединной поверхности и от тангенциального изменения поперечных сдвигов находятся в противофазе в области максимальных абсолютных значений и относительное снижение моментов за счет учета поперечных сдвигов на порядок превосходит погрешность гипотез Кирхгофа по критерию Новожилова-Финкельштейна.)

Объем работы. Работа имеет 94 страницы основного текста и 10 страниц приложения, содержит 21 рисунок, 2 таблицы и список литературы в 82 наименования.

Достоверность результатов. Достоверность результатов работы обеспечивается использованием современных достижений в области механики деформируемого твердого тела, математической физики, численных методов и компьютерной алгебры, а также строгостью постановки задач и согласованием результатов решения задач, полученных различными способами (где это возможно). Теоретические результаты сравнивались с аналогичными результатами, опубликованными в отечественной и зарубежной литературе.

Теоретическое и прикладное значение. Работа содержит новые теоретические результаты, перечисленные в пункте "Научная новизна" (уравнения квадратичной теории цилиндрических оболочек, учитывающие поперечные сдвиги и обжатие; полудеформационные граничные величины, позволяющие рассматривать уравнения названной квадратичной теории как замкнутую систему; метод перебора вариантов для определения реакций дискретного упругого основания, несущего балку, изгибающуюся по теории Тимошенко; теорема о трех моментах для балки, изгибающейся по теории Тимошенко).

Совокупность задач со свободной границей (определение воздействий на длинную цилиндрическую оболочку, рассматриваемую как балку кольцевого сечения, свободно лежащую на системе опор: расчет удельных реакций опоры с консольными элементами: вычисление НДС в цилиндрической оболочке, подкрепленной в надо-порных сечениях кольцами жесткости), подсказанных проблемой надежности и долговечности магистральных продуктоводов, может быть использована в методиках прочностного анализа, составляющих основу комплексной методики исследования названной проблемы.

Вместе с тем, выявленный в ходе численного эксперимента механизм зависимости изгибающего момента от поперечных сдвигов получает устойчивое подтверждение при рассмотрении целого спектра задач изгиба пластин и оболочек. Сказанное позволяет предполагать, что этот результат имеет фундаментальный характер.

Апробация работы и публикации. Работа выполнена на кафедре математического моделирования и кибернетики (ММпК) Сыктывкарского госуниверситета. Основные результаты работы были доложены на:

- II, III и IV конференциях молодых ученых научной школы академика В.В.Новожилова (17-18 апреля 2003 года, 16-23 апреля 2004 года и 16-22 апреля 2005 года, С.-Петербург-Сыктывкар);

- V Всероссийской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформированного тела" (22-26 августа 2005 года, г. Саратов);

- международных молодежных научных конференциях "СЕВЕР-ГЕОЭКОТЕХ - 2004", "СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ - 2005" (17-19 марта 2004 года, 21-25 марта 2005 года, г. Ухта);

- XV Коми республиканской молодежной научной конференции (19-23 апреля 2004 года, г.Сыктывкар).

Полностью работы докладывались на кафедре ММиК Сыктывкарского госуниверситета (сентябрь 2005 года) и кафедре теоретической и прикладной механики Санкт - Петербургского госуниверситета (сентябрь 2005 года).

По теме диссертации автором опубликовано десять работ [23-27, 29-31, 38, 40]. Соответствующие программы и алгоритмы зарегистрированы в Отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП) Министерства образования и науки РФ [28, 39].

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №04-01-96025 "Уточненные нелинейные модели механики упругих оболочек, в контактных задачах со свободной границей" (2004-2007 г.г.).

Результаты, выносимые на защиту:

1. Уравнения нелинейной (квадратичной) теории цилиндрических оболочек средней длины, учитывающие поперечные сдвиги и обжатие.

2. Полудеформационные граничные величины для края круговой цилиндрической оболочки в виде прямого среза, при использовании которых уравнения квадратичной теории (см. п.1) образуют замкнутую систему.

3. Учитывающее поперечные сдвиги уравнение изгиба кругового кольца, основанное на построении с использованием экспресс-алгоритма соответствующей полубезмоментноы теории цилиндрических оболочек.

4. Метод перебора вариантов (основанный на теореме единственности решения соответствующей конструктивно-нелинейной задачи) для определения реакций дискретного упругого основания, несущего балку, изгибающуюся по теории Тимошенко.

5. Обобщение классической теоремы о трех моментах на случай балки, изгибающейся по теории Тимошенко.

6. С учетом поперечных сдвигов решена контактная задача со свободной границей для балки, лежащей на дискретном упругом основании (метод обобщенной реакции, метод перебора вариантов, теорема о трех моментах).

7.1. Решена задача по определению с учетом поперечных сдвигов рационального профиля (Л-профиля) опоры с консольными элементами, равномерно воспринимающей давление свободно несомой тяжелой цилиндрической оболочки (обратная задача).

7.2. Решена задача со свободной границей по определению с учетом поперечных сдвигов контактных реакций опоры с консольными элементами Л-профиля на давление незакрепленной тяжелой цилиндрической оболочки (прямая задача).

8. С учетом поперечных сдвигов решена контактная задача для длинной цилиндрической оболочки, подкрепленной в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости.

9. На основе численного эксперимента установлено, что при нагрузке, близкой к сосредоточенной:

- в области максимальных абсолютных значений графики изгибающих моментов от изменения кривизны срединной поверхности и от тангенциального изменения поперечных сдвигов (Мц) находятся в противофазе;

- отношение М^/МЦ может многократно (почти на порядок) превосходить оценку гипотез Кирхгофа по критерию Новожилова-Финкелыитейна.

В заключении - коротко о принятой системе нумерации. Материал разбит на разделы и подразделы. Формулы внутри одного раздела нумеруются двумя числами, разделенными точкой (Номер под-раздела.Номер формулы). Ссылки на формулы из других разделов состоят из трех чисел, разделенных соответственно точками (Номер раздела.Номер подраздела.Номер формулы).

Заключение

В данной работе с использованием экспресс-алгоритма уточнения линейных и частично линеаризированных кирхгофовских вариантов теории оболочек за счет учета поперечных деформаций исследованы модели цилиндрических оболочек и дана оценка влияния поперечных сдвигов на решение контактных задач со свободной границей, ассоциированных с проблемой надежности и долговечности магистральных трубопроводов в области их контакта с опорами и кольцами жесткости.

Перечислим еще раз полученные результаты.

1. Уравнения нелинейной (квадратичной) теории цилиндрических оболочек средней длины, учитывающие поперечные сдвиги и обжатие.

2. Полудеформацнонные граничные величины для края круговой цилиндрической оболочки в виде прямого среза, при использовании которых уравнения квадратичной: теории образуют замкнутую систему.

3. Учитывающее поперечные сдвиги уравнение изгиба кругового кольца, основанное на построении с использованием экспресс-алгоритма соответствующей полубезмоментной теории цилиндрических оболочек.

4. Метод перебора вариантов (основанный на теореме единственности решения соответствующей конструктивно-нелинейной задачи) для определения реакций дискретного упругого основания, несущего балку, изгибающуюся по теории Тимошенко.

5. Обобщение классической теоремы о трех моментах на случай балки, изгибающейся по теории Тимошенко.

6. С учетом поперечных сдвигов решена контактная задача со свободной границей для балки, лежащей на дискретном упругом основании (метод обобщенной реакции, метод перебора вариантов, теорема о трех моментах).

7. Решена задача по определению с учетом поперечных сдвигов рационального профиля (Д-профиля) опоры с консольными элементами, равномерно воспринимающей давление свободно несомой тяжелой цилиндрической оболочки (обратная задача).

8. Решена задача со свободной границей по определению с учетом поперечных сдвигов контактных реакций опоры с консольными элементами Л-профиля на давление незакрепеленной тяжелой цилиндрической оболочки (прямая задача).

9. С учетом поперечных сдвигов решена контактная задача для длинной цилиндрической оболочки, подкрепленной в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости.

10. На основе численного эксперимента установлено, что при нагрузке, близкой к сосредоточенной:

- в области максимальных абсолютных значений графики изгибающих моментов от изменения кривизны срединной поверхности и от тангенциального изменения поперечных сдвигов находятся в противофазе;

- отношение М^/М™ может многократно (почти на порядок) превосходить оценку гипотез Кирхгофа по критерию Новожилова - Финкельштейна.

Заметим, что полученные в работе оценки влияния учета поперечных сдвигов на НДС по наиболее использ}'емой модели С.П.Тимошенко требуют дальнейшего уточнения с принятием других сдвиговых моделей. Это связано, прежде всего, с очевидным противоречием: поперечные сдвиги не обращаются в нуль на лицевых поверхностях, где предполагается отсутствие тангенциальной нагрузки. Названное противоречие исчезает, если учитывать поперечные сдвиги, например, по модели Д.И.Журавского. Однако, исследования с использованием такой модели выходят за рамки данной диссертационной работы.

1. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. Т. 14. №3. С. 337-344.

2. Артюхин Ю.П. Механика пластин и оболочек при контактных взаимодействиях. Диссерт. на соискание ученой степени д.ф.-м.н. Казань: Казанск. ун-т. 1979. 384 с.

3. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. Вып. 10. С. 159— 166.

4. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд-е 13-е стереотип. М.: Физматгиз, 1962. 856 с.

5. Власов В.З. Избранные труды. T.l. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 528 с.

6. Волъмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М., 1956. 419 с.

7. Волъмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

8. Галимов К.З. О формулировке геометрических граничных условий нелинейной теории оболочек в усилиях и моментах // Изв. Казан, филиала АН СССР. Серия физ.-мат. наук. 1958. Т. 12. С. 17-27.

9. Галимов К.З. Нелинейная теория оболочек типа Тимошенко // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. Вып. И. С. 92-126.

10. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №4. С. 156-166.

11. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформируемого тела в Казани // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. Вып. 12. С. 3-26.

12. Гольденвейзер А. Л. О теории изгиба пластинок Рейс-снера // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №4. С. 57-60.

13. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

14. Гольденвейзер А.Л. Алгоритм асимптотического построения линейной двухмерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ. 1994. Т. 58. Вып.6. С. 96-108.

15. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Модификация уточненной теории пластин для контактных задач // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1977. Т. 30. №3. С. 33-45.

16. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин п оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

17. Ермоленко А.В., Михайловский Е.И. Граничные условия для подкрепленного края в теории изгиба плоских пластин Кармана // Изв. РАН. МТТ. 1998. №3. С. 73-85.

18. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1982. 139 с.

19. Кабргщ С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 388 с.

20. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига // Изв. РАН. МТТ. 1996. №1. С.124-136.

21. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

22. Мальков В.М. Математическое моделирование в теории упругости. СПб.: СПбГУ, 1997. 205 с.

23. Миронов В. В. Об одном варианте уточнения уравнений изгиба пластин Кармана // Тр. 2 конф. молодых ученых научной школы акад. В.В.Новожилова "Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела". СПб: СПбГУ, 2003. Вып. 7. С. 250-256.

24. Миронов В. В. М-алгоритм учета трансверсальных деформаций в теории цилиндрических оболочек // Матер, докл. V юбилейной международной молодежной научной конференции 17-19 марта 2004 г. Ухта: Изд-во УГТУ, 2004. С.219-222.

25. Миронов В.В. Расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной системой шпангоутов // Матер, докл. XV Коми респу-бликанск. Молодежной научной конфер. 19-23 апреля 2004 г. Сыктывкар: КНЦ УрО РАН, 2004. С. 13-15.

26. Миронов В.В. Параллельное программирование в контактной задаче с многосвязной областью одностороннего взаимодействия // Матер, докл. XV Коми республиканец Молодежной научной конфер. 19-23 апреля 2004 г. Сыктывкар: КНЦ. УрО РАН, 2004. С 11-13.

27. Миронов В.В. Программа решения контактной задачи для круговой цилиндрической оболочки и системы свободно надетых колец жесткости. Свид. о регистрации в ОФАП Минобр-науки РФ №3269 от 12.03.2004.

28. Миронов В. В. Учет поперечных сдвигов в контактной задаче с дискретной областью взаимодействия // Матер, докл. VI международной молодежной научной конференции 21-25 марта 2005 г. Ухта: Изд-во УГТУ. С. 232-234.

29. Миронов В. В. Расчет оптимального сечения и реакций консольного элемента для тяжелой цилиндрической оболочки // Тр. 4 конф. молод, ученых научной школы акад.

30. B.В.Новожилова "Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела". СПб: СПбГУ, 2005. Вып. 9.1. C. 66-75.

31. Михайловский Е.И. Граничные условия подкрепленного края жесткогибкой оболочки в нелинейной теории типа Тимошенко-Рейсснсра // Изв. РАН. МТТ. 1995. №2. С. 109119.

32. Михайловский Е.И. Игнорирование гипотез Кирхгофа в нелинейной теории жесткогибких оболочек. В сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Тр. научной школы акад. В.В.Новожилова. СПб: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 212-238.

33. Михайловский Е.И. Лекции по вариационным методам механики упругих тел. Уч. пособие для вузов. Сыктывкар: Изд-во Сыкт. ун-та, 2002. 256с.

34. Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел. Уч. пособие для вузов. Сыктывкар: Изд-во Сыкт. ун-та, 2004. 324с.

35. Михайловский Е.И., Ермоленко A.B. Уточнение нелинейной квазикирхгофовской теории К.Ф.Черныха // Вестн. Сыктывкаре^ ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. Инф. 1999. Вып. 3. С. 203-222.

36. Михайловский Е.И., Ермоленко A.B., Миронов В.В. Элементы прикладного тензорного анализа в деформированных телах // Вестн. Сыктывкарск. ун-та. Сер.1. Мат. Мех. Инф. 2003. Вып. 5. С. 65-85.

37. Михайловский Е.И., Миронов В.В. Программа по расчету напряженно-деформированного состояния в балке, свободно лежащей на системе опор, в рамках теории Тимошенко. Свид. о регистр, в ОФАП Минобрнауки РФ №3761 от 12.06.2004.

38. Михайловский Е.И., Миронов В. В. Две контактные задачи со свободной границей для цилиндрической оболочки // Матер. V Российской конфер. с междунар. участием / Под ред. акад. Н.Ф.Морозова. Саратов: Изд-во Саратовск. ун-та, 2005. С. 213-218.

39. Михайловский Е.И., Никитенков В.Л. Аналог теоремы о трех моментах в теории оболочек // Прикл. механика. 1984. Т.20. т. С. 65-70.

40. Михайловский Е.И., Никитенков В.Л. К расчету и рациональному проектированию опор для тяжелых цилиндрических оболочек // Прикл. проблемы прочности и практичности. 1985. С. 120-125.

41. Михайловский Е.И., Никитенков В.Л., Тарасов В.Н. Определение реакций упруго податливых опор одностороннего действия под сосудами давления // Строит, мех-ка и расчет сооружений. 1986. №3. С. 54-58.

42. Михайловский Е.И., Тарасов В.II. Контактные задачи для гибких элементов конструкций // Проблемы нелиней, теории упругости. Калинин: Изд-во Калинин, политех, пн-та., 1989. С.100-108.

43. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Задача со свободной границей для оболочки, подкрепленной ребрами одностороннего действия //В сб.: В.В.Новожилов ученый, педагог, гражданин. Л.: Изд-во Ленпнгр. ун-та, 1990. С. 121-128.

44. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Метод решения контактных задач с неизвестной областью взаимодействия // Ново-жнловский сб. (к 80-летшо акад. В.В.Новожилова). СПб: Судостроение. 1992. С. 17 -26.

45. Михайловский Е.И. Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // РАН. ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 128-136.

46. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Некоторые задачи, методы и проблемы конструктивно-нелинейной механики. В сб.: Нелинейные проблемы мех-ки и физики деформир. тверд.тела. Тр. научн. школы акад. В.В.Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 131-160.

47. Михли-н С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

48. Му гитар и Х.М. Валимое К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткннгонздат. 1957. 433 с.

49. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгпз, 1958. 370 с.

50. Новоэюилов В.В., Фиикелъштеин В.М. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ. 1943. Т. 7. Вып. 5. С. 331-340.

51. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Д.: Политехника, 1991. 656 с.

52. Прочностной анализ и оптимизация элементов конструкции автоклавов строительной индустрии. Закл. отчет о НИР. Ру-ковод. работы: Б.И.Михайловский, В.Л.Никитенков. №г.р. 81071505. Сыктывкар. 1983. 282с.

53. Работное Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

54. Строительные нормы и правила. Расчет на прочность стальных трубопроводов. СНиП 2.04.12-86. М. 1986. 12 с.

55. Строительные нормы и правила. Магистральные трубопроводы. СНиП 2.05.06-85. М. 1986. 156 с.

56. Тимошенко С.П., Лесселъс Дж. Прикладная теория упругости. Л.: Гостехиздат, 1930. 392 с.

57. Тимошенко С.П. Воиновскии-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Фнзматгиз. 1963. 635 с.

58. Тимошенко С.П. Курс теории упругости, ч. II. Стержни и пластинки. Петроград: Изд-во пн-та инж. путей сообщения, 1916. Изд. 2-е. Киев: Наукова думка, 1972. 507 с.

59. Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Киев: Наукова думка, 1975. 564 с.

60. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Изд-во литерат. по строит-ву. 1970. 208 с.

61. Филиппов С.Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 196 с.I

62. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 1. Л.: Изд-во Ле-нингр, ун-та. 1962. 274 с.

63. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек // Изв. РАН. МТТ. 1980. №2. С.148-159.

64. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

65. Энциклопедия газовой промышленности. 4-е изд. Пер. с франц. Ред. пер. К.С.Басниев. М.: Акционерное общество "ТВАНТ", 1994. 884 с.

66. Donneil L.H. Stability of thin-walled tubes under torsion // NACA. Rept. 1933. №473.

67. Flügge W. Stressen in Shells. Berlin-Göttingen-Helclebcrg: Springer, 1960.

68. Hertz H. Uber die Berührung fester elastischer Körper // Journ. für reine und angew. Math. 1881. Bd.92. S. 156-171.

69. Kärman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau // Enzykl. der Math. Wissensch. 1910. Bd. 2. №2. S. 311-385.

70. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe // J. Reine Angew. Mech. 1850. Bd. 40. S. 51-58.

71. Marguerre K. Zur theoric der gekrümmten Platte grosser Formänderung // Jahrbuch der deutschen Luftfahrforschung. Berlin. 1939. S.413-418.

72. Mikhailovskii E.I., Yermolenko A.V. On nonlinear Theory of Rigid-Flexible Shells without the Kirchhof Hypoteses / Critical Rewiew of the Theories of Plates and Shells and New Application. Berlin: Springer, 2004. S.157-164.

73. Naghcli P.M. On the theory of thin elastic shells // Quarterly of Applied Mathematics. 1957. 14. №4. P. 369-380.

74. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // Journal of Mathematics and Physics. 1944. 23. №4. P. 184-191.

75. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Journal of Applied Mechanics. 1945. 12. JY*2. P. 69-77.

76. Reissener E. On bending of elastic plates // Quarterly of Applied Mathematics. 1947. 5. №1. P. 55-68.

77. Reissner E. On the variational theorem in Elasticity // Journal of Mathematics and Physics. 1950. 29. №2. P. 90-95

78. Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation // The International Journal of Solid and Structures. 1975. 11. №5. P. 569-573.

79. Truesdell C. The non-linear field theories of Mechanics. In. Encyclopedia of physics. Berlin-N. Y.: Springer-Verlag, 1965. V. III/3.

80. Yuan S.W., Ting L. On radial deflection of a cylinder subjected to equal and opposite concentrated radial loads // J. of Appled Mechanics. 1957. V. 24. №2. P 278-282.