Оценки функционалов от стохастических процессов и случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НЛЦЮИАЛЬИА АКАДБМШ НАУК УКРАПШ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

МОКЛЯЧУК Михайло Павлович

ОЦШКИ ФУНКЦЮНАЛИЗ В1Д СТОХАСТИЧНИХ ПРОЦЕС1В ТА ВИПАДКОВИХ ПОЛ1В

01.01,05 — теор1я имов!рпост! та

математнчна статистика

Автореферат

дисортацГ» па одобуття паукового ступеня доятора фюпко-математпчннх паук

Киш — 1995

Диссртад)ею с рукопис.

Робота викскала у КиТаському ушьерс.итет'| шеш Тараса Шевпемгя. Оф'|ц'|йи» опоиснтв - доктор ф'юню-м&тсиатичннх

наук, старший иауховня

CIlinpoGiTHl!»

КИОИОВ П.С.

до* тор тсхшчнях нays, лрофесор ИОНОВ Ю.Д.

дох тор ф'ти1ггиате»!атичних наук, старший пауюанй

CniBpOÖ'lTHHS

СВИЦУК A.B.

Пров!д»а оргалша/у* - 1 лети тут приладив? иатсыатлж* та мехлшвн НАМ УкраТни

Эахмст в1д5удетьм -¿а.- . 1995 р. о 15 годи Iii иапас1даян)

спец)алЬовано1 ради Д 01.66.01 при 1истнтут1 математики HAH Укранш оа адрссо»: 252601, Knie, вул. ТЬрещм«1вська 3, юнферош-иад. 3 двеертащею ноипа оаиабомитигь у 6i6aioTen> шетитуту.

Автореферат роо¡слано " /( " ¿^S/WX 1995р.

Вчеиии сек ре тар спещалгаовано? ради

ГУСАК Д.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальшсть теми. Задач] оцшювагшя лйншшх функцюшиив в1д певщомих опачень стохастнчтгх процссш та випадкових полш с природами уоагальпенняы оадач екстраноляци, штериоляци та фшьтроци сто-хастичних процсав та випадкових иол!в. Вони мають як самоспйний -гс-орстнчний так i пиачнии прикладний ¡нтерес. Taxi оадач! ииннкають при роов'яоувашп важливих проблей теорп автоматичг.1й1 о'регулювання, ста-тистичио") оптики i рад)офк>ики, иетсоролопТ;. аСтрономп, охеанографи, статист ич)югг>дромехашки. Постановка оадач екстраноляци та штерпо-якц'п для стацюиарннх випадкових поапдошюстей, ix гоометрнчиа штер-претацш та оведення до оадач TeopiT функцш наложить A.M. Колмогорову. Проси методи роов'яоуиаиия оадач! екстраиоляци нкаиаио в роботах Дж. Дуба та A.M. Лглома. Загальна Teopis прогнооування стацюнар-пих nponecii) о непсреряшш параметрам penминута в роботах II. Шнера, М.Г. Крсйна, С). Хаииера, К. Kapyuciia, Г. Крамера. II. Biiiep оапропо-пунав метод роон'яоупання оадач прогнооування, а кий бапусться на ш-тсГралышх piünainiflx Вшсра-Хопфа. Чагалын реоультати теорп екстраноляци некторних стацкшарних випадкових нроцесчв внерше були сфор-иульоваш в робо-ri U.M. ft&cyxiua. Падал мшш роониток Teopis таких процест одержала в роботах IO.A. 1'ооанова, II. Hinepa, II. Macani, Р.Ф. MaTBetaa, Е.Г. [Радищева, Г. Калл1анпура, В. Мандрекара, А. Макагопа, М. Саяеха, Л.Г, Miaiii, Г. Hicj.fi. Л.М. Яглом ропробнп сфсктишшй метод" роов'яоування оадач прогнопування стац'юнарннх процсшн о рацюпаль-HORi спектральном матрицею.

Першими роботами о теори випадкових поли) с роботи A.M. Обухова, A.M. Яглома, Пнин Цое-пея, М.С. Шпекера, М.С. Фортус. Задач! статистики ьипадкових полш доапджу вались у робо тах X. Хелсона та Д. Лоудепслсгера, Г. КаллЫшура та В. Мандрекара, Г1.С. Кпонова, Г. Ко-реолюгли та Ф. Лоубатона, Ю.Д. Попова. Значннй вклад у роовиток теорп йнпадкопнх пошв Biiic М.Й. Ядрснко,

Класична Teopifl штерполяцн, екстраполяцн.та фшь'трацп стохастич-них процсав та вмпадкових iiojmb баоуеться на принущепш, що спект-pajibui щшьиост! upoiiecie та noJiin шдош. На практищ, одпак, повна шформафя про ежчтральш щшыюсп у б'шьпюс-п випадкЬ цеможлипа. 1Цоб ладолати це ускладнення, онаходять парамстричш чи пепараметри-чт ОЦШ1Л1 спектральных прльностой або тдбирають щ1льпост1, виходячи о шших м]ркувань. IIoriM оастосовують класичну теорш оцшювання, вважаючи, що вибраш тим чи шшим способом спектралын прлыюст} 6 ¡стинними. ТЪлий шдхщ, як похаоали К. С. Вастола та Г. В. Пур на кон-кретнихснриоадах, може приовести до оначного росту величипи нохибки оцшки. Тому дощлыю шукати оц'шки, як! с оптимальними одпочаспо для

Bcix щшыюстсй о делкого класуыожливих сисктралышх нильностсй. Так! оц'шки напивають м'инмакспими, оскшми вопи мнпмгоують максимально оначення величини иохибки.

За ocTaiuii роки оначно npic штерсс- до о а дач м'нймаксноТ ¡нтсрпо-ллцн, екстралоляц» та фмътрацн стацюларпих процеав та випадкових пол!в. J1. Брейман, С.Т. Чен, С.А. Кассам, П.Д! Х>бер, Г.В. Пур, К.С. Вастола, С. Всрду доапджували оадачгф'мьтрацп та екстраподяцп для cuouiajii.iiHX класш г.псктральпих гцшьностен. Г.К. Голубев, M.G. ГНнскер, A.I). Куржансхпй, Н.Ф. Кириченко, А.Г. Наконсчлий, Ю.Б. Кор«6очк1я, О.М. Kypxin вивчали проблема uiiiiuaxcuoi екстралоллнп, ¡нтерпо.тяц» та фмьтраци для pinimx моделей стохастичних процеав. Огляд реоультат!в п мМмаягипТ ofifinfun шформацм пробили у свш час С.А. Кассам та Г.В. Пур (ТИИЗР, 1985, т.73, N 3. с. 51 110).

Сл*1Д особливо вщгшачити г.татт'| У. Рренандсра, М.С. Йов1тса Та Д.Л. Джексона, в яних вперше оапропошшано м'цпмахсиий шдх'|д до оа-дач ежстраполяцн та фш.трацп стазцоипрмих процогЛв та Тх лшшних ¡иу ретворсиь. У статт! У. 1"рснаидера дослщжуеться падача оптимального ouiiiK)BaniL8 лппйпого функционала в1д стшионарного сгохастичного про-цесу. Проблема сформульовгша як гра двох гравшн о нульовою сумою. Покапало, що найГнльшо оначгння похибки та найм<мгш сприлтливий про-цос л ио начаться власним оначгпиям та шдиовщш»" .масло» функцию оператора у пльбертовому npoc ropi.

У статтях Ю, Франка проблема мЫмаксно? схстраноляц!! доопджсиа ,оа допоиогою мстодш субдифереищального числення. Таким шдхщ дас можлив!сть онаходити ршнянля, ню випначають найменш спркятлив) гпо-ктральш одльпост! для р'швомшГтшх класш пвльнопей.

У статт! М. Tiuriryuii вперше дослужена оадача мйпмассно? ¡нтор-поляци. Для модсл! "с оабрудиеиня" сташонарних ноондовностсй о пай дений мппмаксно- робастний штсриолятор о» пропуском спостерсжень в одшй точщ. Покапало, що такий штерподятор с класичнвм для спектрально! щшьност], яка виойачас шпшахеннй прогноо стацюнарноТ по-сл)довпост) па один крох. С.А. Кассам пхаоав на воасмопв'яоок тако! оадач! та оадач1 персв'фки гшотео. Bin доаидив оадачу длл "смуговоГ модеш стацюларних поондовностей. Та*а модель пключас модель "с-оабруднения" як частювий випадок.

В дашй^иссртацтшй робот» доапджуються оада'и оцшювання лтш них функцюналт в!д нев1домих оначевь стохастичних процеав та випадкових полш. Користуючись класичними методами екстраполяцн, ¡нтерполяцн та ф!льтрацп стацюларних процеав, виведеш формули для об-числення спсктральвих характеристик та серсдиьоквадратиЧних похибок оптималыгах оц'шох функгноы{и1)В. За дономогою мотод1п субдиферен-фадьного числоння оваядеп! наймеши сприятлив'1 спектральгп ирльпост!

та мЫыаксга (робаств!) спектральш характеристики онтималышх оц'шок дм р'юних клаав слектралышх щш.постей.

Мета роботв. Рооробита методи роов'яоування оадач оц'шюванна дшшиих фупкц'юиал'|в В1Д нев1доиих оначеш. стохастичних процеав та випадкових noflin. Встацовнти иаймсшл сприятлив! спектральш щмьност) та uiuiuaxcni (робастш) спектральш характеристики оптимальпих оциюк функшоиал1В для ркших кдаав спсктраяышх тмьиостей. Знанти вигляд наямешп сприятливих для оцпиовання функ'юншпв стохастичних nponecin та нкиадхових nonia.

Методи досл!джен ь. Внкористаш ociiouiii положения тсорн стацю-нарннх стохастичних npouecin та одноруких ¡потрпмних ца сфер) ннп.чд-копих no.iiii, пл.чгтмiior.'ii (iiicp.ii<jpin у пльбертоиих просторах, истоди опухло! oiimuinaun та субдифереицжного ч и слеш и.

Ноукова ноокзнй. У диг.ертацн роов'япаш оадач! оптимального дш)й)юго оцп|ц>н<М11]я фуикцюшипв тд нев'|Доиих ииачеш. стохастичних процепв та випадкових полш. Винедеш форыули для обчислснпя величии герсдиьокпадратичиих иохибок та спектральиих характеристик опти-цалышх оцшок функцюшиив. Доапджеш оадач! екстраполяцн, штерио-дацП та ф!льтраци стохастичних процесш та пипадконнх пол1в. На основ! цях рсчультат'ш встанонлет найменш афиятлиш сиентральш щшлшст! та мппыаксш спектральш характеристики оптимальных оцшок лшжннх функцшшипв для ршних моделей стохастичних процеав та випадкових uoniB. .Чнайдено вигляд стохастичних процеав та випадкових иолш, як! е вахшенш сирнятлиш для оцпповалня функцюиалш.

Праятичие та теоретично оиачення. роботи. Теоретачпе она-чеиия робот и иоляга£ в тому, що poopoôneni истода роов'яоуаания oar дач ищшоьаннз лппйннх фун&цюналш 61Д аевщоыих оничснь стохастичних процеав та випадкових псшв. Практично оначення роботи полагав » тому, що роороблеи! методи иожуть бути впкористаш дяя роов'яоурашгя проблем, що вшшкають в статисто4iiiiï ра/уофюшу таоптшу, гояографи, метеорологи, Teopiî рои uici папаши обрао'ш, теорП автоматичного регу-люв&ппа. <

Лпробацш робота. Результат« роботи доповщались на Miwnapo-даах В'шьнюських конференция о Teopiî ймов!рностец та математичшн статистики (Вшыше, 1981, 198S, 1989), Всесв5тшх конгресах товариства иатематичлоТ статистики та ймов!рпост1 iu. Вернулл! (Ткшкепт, 1986; Чапел Xîjui, 1994), Радяпсько - Я попсы их сямпошумах о теор» mioeip-ностей та математичноТ статистики (T6iaici, 1982; Kbïb, 1991), Всесо-юоних конференциях "Перспективт методи ялапувапня та аналшу схс-перимевтш при доапдженш випадкових nonie та процесс!в% (Севастополь, 1985; Гродно, 1988; Петрооаводськ, 1991), Донецьких конференцию "Йиов5ря$сп$ модел) прочее!» в у правя! mil та лад1йпостГ (1991, 1993),

л

Всссокюшв nuoai-ccMinapi "Статистичний та дискрстний аналга данях та скспертне оцшюваноя" (Одеса, 1991), Мшнародшн конфсренпн "Ево-люцшш стохастичш спстеми у ф)оиц| та б)алог|Г (Кацивсл!, 1991), М1Ж-яародшй конферешш "Мстоди роопюнавання омш у випадкових лроцс-. с ах та иолях" (Ки?в, 1902), Ухра1исьхо-угорсьхш жонфсропцп "Нов-! ва-црямки у теорп ймов'фиостен та математнчшй статистиц'Г (Мукачсве, 1992), М1жнародшй конфсреншТ, ирисиячсшй М.Г. Чсботарьоиу (Кашшь, 1994)^М)жнародшй «онференц!?, npHCBSMcniii пам'ят»-Пшса ГЫ1» швц>, 199')), на ссмшарах о теорп ймсдарностей -га математичноТ статистики у КиТвському, Стенфордському утверситетах, Кшвсьеому ггол'|те-хшчпому ¡пг.титут!, ¡пститут» математики МЛН Украш.и.

' Публ1кацп. OcnoBiii реоультати опублиопаш у роботах [1 - .30].

Об'си i структура роботи. Робота складасться oi вегупу та шести роодшш i мае об'см 319 с. машннонису. Список лператури мктить 281 н&ймгнупання.

Omict роботи

Перший ропд!л "Оц'шхи фувщюнал'т в'|д стацюнарних носл'|до»но-стей" MicTHTb 5 нараграфт. У и. 1. "Максимально опачення всличиаи похибхи" доыпджуеться падача оптимального лшшного оцшювання фунх-цюнашв = ¿~=оя(ЯШ)» Л/vi = Sn=oа0'К0) В1Д певдомих оначень послщовпост! ((j) а класу Н стацюнарних поопдовностсй, що оадоволь-1 няють умови М{(j) = 0, Mjf(j'))3 < Р, па результатами сиостережень »') при j < 0. Доведено, що фун*Ц)Я = М|Л£ — на множив!

Эх£, дс С - клас у rix лппйиих оцшох, мае адлову точку. При цьому

min max Л) = max min Д({, 4) = Ри*, лес <62 лес

де I/1- мажеимальне власне оначення компактного оператора, яхий виоиа-чаеться поыпдовшетю a{j). Наймспш слриятливою в waci Е для оптимального оцщювалня функцюнала А( е посл1Довн5сть одностороннього рухомого середпього. Bona вионачастьсл власниы вектором оператора.

У п. 2. "Ехстраполящя фунхцюнал!в В1Д стадюнарннх пооидовио-стей" роов'яоана оадача оц'шюваппя функцкшал!в Л£, Лм( в~1Д невщомих оначень стащонарноТ поондовноеп f(fc) оаданими сиостережень посл!до-впост! ((к) + г)(к) при к < 0, де T)(fc) — нехорельована о ((к) иосл'|довшс.тъ о ортогональнимипначеннями. Якшоспсктралънаирльшсть /(А) посладо-bhocti ((j) вЗдома, -то середяьокпадратнчяу нахибху та спектральну характеристику онтимальпоТ оценки можпа обчиглити оа формулами

Д(М/),/) = mi'! = ÜHrfli3 -

ke'-K/H-"3)

. h(f) = Л (е'л) - r (eiX) сГ1 (*-*) , г (clA)

4=0

де а = {a(/:):i = 0,],,,.}, Л - оператор у простор! /3, uto оаднсться матрицею г» елг'мсн гнми Л» у = а(А 4- )); A;, j = 0,1,...

Лкщо ж спех'/ральна щип.н/аh f(\) пси»дома, ¡/¡юте тюнпченп мно--ж una Т> можлипмх щш.ппг.тей, то паглосоиунгп. мппмаксний тдх!д до оадач ошпюнанги фуикп'юиял1п. !)au¡cih того гцоб шукяти оц'тку, яка була б оптимальною для доякоУ шсктралмшУ iihjimioc.tí, шукають оцшку, uto M¡n¡MÍoyc величину соредньокиадратично! похибки одггачасно для iir.ix спектральних щш.ностей in ааданого хл:и-.у V .

Спсхтрплмт пилыи'сть /"(А) ныэипасться панмеиш сприятливою в жлас) Р для оптимально? екг.траиоляцн фуикцюнала Л(, якщо никонукться сшвтдиошсипн: .

д {hin, П = max Д(Л(/), /) = ,nax min Д(Л, /). /«Р /еР

Споктразьна характеристика (г'А) оц'шки функц'юпала Л£ нанииа-еться ыпнмаксною (po6acTiiox>), якщо пиконуються умопи:

Л° (<?,х) €//р = П + min шах Д(Л,/) ~ max Д(Л0,/). '

' ' J^ J V Л€»1> /ег. /€Р

Нанмешн сприятлина снектральна щ'|льн)сть /°(Л) € Р та мппма--еенз (робастнл) шок траль г/а характеристика Л° (с,л) € П-р утворюють с!длову точку фунхцп Д(Л,/), HepiBiiocxi адлово? точки пиконуються, коли Л° - Л(/°) та Л(/°) е //р, до — роав'япок оадач! tía умовннй екстремум Д(А(/°),/°) = тах/€р Д(Л(/°),/). Ця оадача ешнвалентна такт пада<и на бсоумопшш екгтромум Др(/) = А(/) + I £*) inf, де 'Ч/ I шднкаторнафункщя множини V. Лкщо ми пнайшлп роон'яоок

f° uicf оадач!, то мппмакспу спсктральну характеристику можна обчи-слити оа вкапаиимп формулами оа умовя, що Л(/°) € //р. Користуючись ЦИЫ11 сшвтдношсннями, можиа вионапитп ианменш сприятлши спектра-льш пйльност! для вонкретиих хлаыв спсктралышх ирлъностей. У п. 2 опайдкн! наймепш сприятлив! одлыгост] та мш'шакеш спектралып характеристики оптималышх ошяок функд'юнап'т Л{, AnÍ для м<южини 1>п спсктралышх щшьностей о обмеженою дисперс!сю, для множили Т>р Щ1ль-аостей о фасованный моментами, для миожини Р", яка описус. "смугову" модель ста1ропарних*посл!довностей;га для множили V¡„ яка описус модель VoKMiy" в npocTopi L¡ v

У п. 3. "Стохастичш посл!довност! авторсгросЛ та шторполягдя" flfäiMi^-ypTbCji оадача оптимального ninifinoin оцтюпапия функц!онаяа

Así н»Д стацгонарнсм лослщояногп ((j) ол далими сностережгиь ({j) при j € Z \ {0,1,..., /V). Користуючись класичним методом A.M. Колмогорова, ниведеш формул» для отчисления спектрально? характеристики /»(/) та середньоквадратичноТ похибки Д(/) оптимально! ohíhkh функцюиали Л sí оа умови, що снектральна щш.нкть вщома та виконуеться умова мпималыгость Якию спектральна инльшсть нев1дома, и роте вионачопа множима можливих ннльносте.й, то методами опуидоТ оптимшади онш-дешнайменш сприятлиш щшмшг.п та мппмакеш спсктральт характер'и-стики оц'шок. Для миожини спемральних (Ц)льиостей

справджуеться таке твердження.

Теорема. Исх:ш ¡юемщояшеть «(0), о( 1),,.., а( N) с i puro шхштияид. Или-менш слрнлтллвою слелгралыюю шш.шотю в клан Т>,7 для оптимально! Ьпериолят фучиц'юнапл Así f uúju.iiicrt. nocjiÍMOhiiorii лвторегргеп порядку N а коеф'щкнтши Фур'с г* = г_* = Ра{к)а~*Щ. Miiiiuiunm снехтральна характеристика /•(/») =

Лналопчш твердження доведен) для миожини РJ, сиектральних ийль-востей о обмеженнями па момент и та для множили n¡¡~.

У п. 4 "Ьггерполящя функшонал!» в)д сташонарпих ногл'щовностен* доанджуетьел олдача оишюнання функцюнала Asi HÍ;t нешдомкх оначень CTíU(iüiiapHoi посшдовсосп í(j) оа данимк спостережень носледовност» Ш) + »»(л) при i € Z \ {0,1

Покапано, що сисктральну характеристику та середньокв*драти*шу иохвбку оптимально! ощнки Así можва обчислити оа формулами:

41,g) = (AN (е'х)/(А) - CN (с'*))(/(А) + г(А)Г»

Д(/.9) = <B.vc,c) + {RNa,a>,

дс с = B^r'D^a, опрратори B/v, D/v, Rn оадаються «оеф'щкитами ФурЧ фушецш (IW + g(V)-\ДА)(/(А) + p(A)j-', АА)я(А)(/(А) +fl(A))-'.

Знайдеш píbiibiuu для вионаченнл найыенш енриятливнх вдльностсй для миожини Tfj х та для множив V P¡ х Р., Р^^ х Р,.,.

У и. 5 "Фшьтращя функцюшшв в1д стацюнарних иосл1довнрстсГ!" дооиджуеться оадача оптимального лппйного одтювання функцюнала Л£ = В1Д стацюнарпоГ посл5довност1 оа данимн спо-

стережень поаудовност] £(&) + i¡(k) при к < 0. Яыцо сиектралып щш>-HocTí /(A), ji(A) поопдовностеп í(fc), 'í(^) niflOMÍ, то

A(/,?) = (c3,a)-<Csb>C7sb)

M/,ff) = Л (eiA) - г, (eiA) «Г' (е"'л) , г, (eiA) = £<6',b)(fc)e-

kt=a

де с, = Ф'Фа, Ф, Я, С,, — оператори, що виопачамться коеф!цкнтами ip(k),il>(k),b(k) факториоацн щмыюстси /(А), д(Х), /(А) + р(А).

Доведено, то для множим и Г> - Щ х найменш сприятлив! прль-DocTi /°(А), i°(A) оадоволыиють ртняння

+ = e.lèiC.bHjk)«-'"!' = ^¿(С/ЬХ*)«

-«Al»

lr=0 k-0

Зиайдсн! сшпшдкошсчша для пионачення найменш спркятдивих щшь-ностсй /°{А), <j°(A) для множин V„xV„, »ir,xï>lfJ.

Другий р<юды1 "Оцшки функц'юналт uij\ стацюнарних нроцес5в" Mi-стать Л параграфн. У п. I. "Максимальш оначення похибок оцшок фун-шОонал!«" доопджусться падала онтииалыюго оцшювишш фулкцюшшп AÇ - J™ a(l)((t)dl, Art - la a(t)'I* "'А неп1домих иначсиь неперер-виого ciaiiioiiapiioio сюхагл ичпого ирацосу ((i) па даними спостережень {(<) при I < 0. Покапано, що максималым: в г.лна Е оначення величин» но-хпбхи онтималмюТоцшхн функцюннла Л( дор1вшое /V3, де иг - навбшыие власне ниаченни оператора у iipon opi /^(0, оо), я к ий пипначасться ядром К(х,у) = f™ а(х + «) «(у + и) du. Takу похибку дне процес рухомого се-реднього, то випнаЧасться нласною фуикцкю оператора.

У п. 2 "Ехстрнишшшя фуккнюигипв В1Д стацюнариих процепв" онай-дтп яаимснш сприятлиш mbiuiocri та мпимаксн^робастш) спектраль-ni характеристики ou i имальиих оцшох фупкцттш>п Art. Для р'тних 1лас>в спектральних щ1лыюстей. Нокданно, гцо ирльшсть /°(А) € V, яка допусхае фахторилац!», ннимсшп гприятлива в клас! D для оптимально? екстраноляцо А(, якщо d'(t) - роов'яоок оадач! на умовний ехстремум

; ||Ad||' max, dlQe-^dtf £Т>.

де A - оператор у простор! ¿а[0,оо), я*И11 вионачасться функцкю a(t).

Доведено, що для множини спектральних щшьностей, яка описус "ему-гову" модель стохастичних npoiiecin, найменш сприятлина щтыпеть

»оо

ЛА) = xnax{t>(A), min{«(A), |с / (Ad°)(f)ei,Arft|a}}.

J о

Оиайдеп-! ствв'щнопнмтя, sni вионачають найменш сприятлив'1 спектра-льн! uùm»nocTÎ в xjiaci t>,, який описус модель "е-аабруднешш" стохастичних процепв, а також в класах V\t, V%$ шшьпостсй, як! описують модел! "6 - охолу" у просторах Lj та Lj падало? спектральиоТ Щ1ЛЬНОст).

У н. 3 "Ьггериоляци функшоналт в!д стацюиарних процесш" дооп-джусться садами оцшюналня функц'юиала Лт( оаданими спостережеиь*' пронесу ((I) + ?;(<) при ( € II \ |0,Т). Нивсден! формупи дал обчисаския середньок^адратично! похибхн та спектрально? характеристики оптимально! л>шэтю) оцшки функцюнала оа умови, що спектральв) пильност! /(А). »¡дом!. Нокаиано, идо пулыюст! /о(А), д»(Х) паймеиш спрн-ятлии! и клас5 Р/ х Р„ для оптимально) ¡птерпояяцп функцюнала Ат(.% ^кщо!и^)етворотня Фур'ефункц1Й (/о{А)+.9о(А))1°,/о(А)|/о(А)-)-ро(А)) \ /о(А)ро(А)(/о(А) + ди(А))-1 оадають оператора В°-, Еу, ям виопа-чають роов'яоок екстремальиоТ падач!

шах {Ота, В7,Ога) + (Нта, о) = (О'^о, (В^Г^а)*^.«, о). Одна а довсдених теорем така.

Теорема. Иехнй иуаьшеть /(А) «¿дома, лцлын'сть ¡¡»(Х) 6 Р£ / фуичОя (/(А) + йо(А))-1 ¡нтегрованл. Сяектральиа щшьшеть ¡¡¿шиенш сл-рмятлияа в хлап да* оптимально) ¡нтерподяппфункцюшищ Ат(, яйца

. д0{Х) = шах {0, ' ¡ЛТ(А)/(А) - Су(А)| - /(А)} ! пара (/(А),до(А)) пианлн&с раш'ятюк вхапапоГлжстреиальио; оадачк

Упайдеш епшшдпогнення, як! випначаютъ иаймеиш сприятдив) спек-тралып щшьпосп в клаеах х Р., Ргг, х Р),,.

У и. 4 "Ф|льтрац|я фуккцюиал1в в'|Д сташонарних пронес!в" досл!-джусться оадача оптимального липйпого оцшювання функцюнала Л£ .= /0°°а(4)((-<)Л п'щ стацюиарпого пронесу оа данный спостерсжет. процесу £(() 4- ч(1) при I < 0. Всгановлет фармули для обчислеияя величины серсдньоквадратичпоТ похибки та спектрально? характеристики оптимально? оцшки функцюнала. Днайцеш ппвшдношення, я*1 вионача-ють паймепш сприятлнв! спектралып ицлмюст! та мш!мадсн!(ро<~><и:'ТШ1 споктральт характеристики в класах Т>ч х Р", Р, х Р!г та Р^,, ц Т>иЛ-

Покапано, то при оадапш пилыю".Т1 д{\) € 2>)! наймеши шрнятлива щшьшеть /°(А) € Р0 мае вигляд

/°(А) = тах{0, (С,Ъ)(1)с-*х - у(А)}-

Лкщо ж в I дом а иильшеть /(А) € Р«, то нанменш .<™рия1чгш»а щ'шьшеть д°( А) 6 Р[! мае вигляд

5н(А) = пип{Я1(А), шах{51(А), а, - /(Л>}

1'омд'ш 111 "Функц'юнали в5д стац'ншарних шюндошюстей in гшнчсн-нями у пльбортопому простор'Г мктнть 4 параграф».

У п. 1. "Оитималыи оц'тки функн'юмал'т в'|Д п<н чпдонногтой" дос-л!джусгься садами оптимального jiiimnioro оц'шюнании фу1!кц|(шал'|в M - !»<«{>). í(»>. AnÍ - Е* «М-*). Ш)) BUI nnoiWJBirocTÎ Ш) о класу E стацюнарних послщомюсм.'й, iuo оадопольняиль умови MÍO') ~ 0, M|!íO)ll' í /', ча рооультатами ciiorTcpoiKí'iii. ((j ) при j <0, Користу-ючись илютиностями спектральних uip cTauioiiapiiiix поапдовностей ni пна'П'ннями у пльбертопому простор! та шдпросторш, нороджених регу-лирними иоглщонностями, доведено, що фумкщя Л((,Л) = М||И£ - Л£||2 nu мпожиш-Ех£ мае с!длову чпчку. При щ.ому

tniinnax Д((, Л) max min Д((, Л) = Piitaxi/J,

де v\ —- найбЬплт: влаг.не пначешш оператора у простор*! í3, икий ниона-ча«ться косф'щ'н.нгами aii j) р'Х) кладу функцп u(j).

У и. 2. "Ккстраиоляшя функц'юнал'т шд eranionapiinx поыйдовпо-стей" пинчаг.ться оад.чча ouiiitonaiiiut фунгп'кжалт Л(, Aní па результатами сностсрсжень {(./) + v(j), j < 0 стаптнарж/i посшдовност] í(j) на фош шуму 'i(j). Миведеш формули для обчислеинд величин середньоква-дратичннх нохибои та спектральних характеристик онтималышх лннй-UHX оцйюк функцюналм. '^найдош ашиндтшкшня для оисшачення най-мснш с.приитлипих ннлышелой для конкротних клаав можлппих спектральних вольностей.

Лом п. Снектральиа нилмисть /"(X) найменш сприятлива в клас! Vf для оптимально? ехстра^мяпифункпганала А(, якщо вона допуск ае ка.понгшу факториойдйю о косфщ)ситами <p°km — '■ J = 0,1,...}, ani виона-

чають роов'ягюк оадач*! на умовпий екстремум во и

X X - sup, ¡W « Ф'(А) -g е Vf.

к-lm=l

Покапано, що для множини V» щшьпоетей о обмеженою диснерскю коефЬненти факторно aijiï пильное!! /°(А) + g оадовольшноть р1'вяяння

ОО И ОО J

Якщо послщовшсть í(j) + rj(j) мае кратшеть M = 1, то компонент най-метн сприятливоТ одльносп мають вигляд

ÍOO во 1 I

i.o . J

З.чайдеи! сшвшдношешш для пионачеиня иайменш снрнятливих сальностей для множин V,, VI, Т>1,, Ри-

У и. 3. ^нтериаляцш функгиомнлш в!д стац'юиарних моЫдовностей" доонджуетьгл иадача оц'шюышня фуикц'юнала Аоа результатами сио-стерсжень посл!довност1 {0) + при ) € Z \ { 0,1,..., N } .

Пехай стацтларв) лосл!дов»юст1 (0), г/()) маюи. спек трал ьн> ииль-лост! /(А), ¿г(А). Ноомачимо череч К(/ + д) множину таких к € N. ню Л(А) + <7*(А) оадоволыдяють умояу мппмильностк~Тод1 ---:—

Д (/,<?) = ^ИВ^с*,с*)+(Н*/уа»,в*>], нк

Ш,д) = Лъ(са)/>(Х) -(\(е*х)1М\) + е*(Ь)Г\ к С К.

Лемв. Онектральш инлыюеп /"(X), у"(X) шшменш гнриятдиы а жл&с) Р/ х для оптимально! ¡ттртхляцпфуичцюиллл Ан(, яицо К(/ + / 0 га жоефщюгги ФурV фуннии

(/?(А) + Я(А) (/?(>) + ./?{*)Й(А) (/?(А) + Й(А))-'

оядяють апсрнторн В^, як! плпмьчадоть ропп'гю* палач/

тпх КР^в», (Ва/у)"1 В^а*) (Я** а*. в*)] «

(Л»)«*/*», ££

= £ 1<Р»« »*• Р»« «О + «01 •

нк

Миимаксма сиектральиа хара*1григтика дор^нчкус /И/",(.'") оа умоин, щи

МЛр°)6Яр.

Показано, 1цо компонента наймеиш спршгтяивпх ш'тыкигей 6 , ¡7° Е оадоводыиють ршняиня

+ «*.|Л»(е,А)вЦ(А)4 <?(<'Л)| = ОМ - .

Одна о доведен их теорем тала.

Теорема. Нехяй спсктрмьпн щии.чктъ /(А) вщома, пн'липетт. 0°(А) належать клису ТР3 I К(/ + </') /- 0. Сиектральна ирльшеть .у"(А) нанменш сириятлива в клас! ТУ°} дая оптимально/ ¿нтерполяцп 'фуинролала Лл|{, Я компонента аадовальияють р'шняння

д°к(X) = шах {0,аи|Л*( р,а)/*(А) - с.'А)| - /*(А)}

I плра (/{А),0и(А)) аичипчнс рагщ'ят/к елстргшшики оадач/. М'т'шнкспи гипхтральня характеристика оптимально/ оншки фуныцишлял Ац( - це фунния Н/,д").

Знлйден! наниенш спрнятлив) пОлиюг.т! и «лагах V* х Р,, Т>ц, * Рн«-У п. 4. пФтыр;щ1я фу»иц1онлл!в в!д стаиюнярних ноандЛвног.тгй" доонджусться падача оптимальною лнийного оцнионання функцюнала ~ ¿("У))» °л результат ими спостережень ноопдовност!

(О) + т)) "Р" } < 0- Якщо оОльногт! /(А), д(\) мдом! I допусхамть кл-ишпчщ факториоац!!, то виисдпн формули для обчислсння величины г.ергу дI[|.о«я л д ратичног чохибки та спектрально? характеристики /)(/, д) оптимально! опиши функшоиала. Я«то пнльносп /(А). д{А) шмндом!, то она-хпдять паймент гнриятяив! пюктрлльж щмьност! та мнпмакеш спект-рнлмп характеристики. Покапано, ню найменш гприятлив! снектральн! пмяъпост! я клна Р — 7>о х Т>£ опдовольняють ртняппя

м

к Ы

ЕЕ

)зО

1

А) =

ЕЕ Е(С£Ь™*) + ,(А)+

!)найден1 сшвв^ношепня для пппначення найменш сприятливих щ!ль-ностей в власах спектральпих нилыюетей Х>, х Рщ, Ум, х

Ропд!л 1У "Оцтки фупхплонал'ш «нд сгацюнарних процеав ¡о оначон-тмип у гш-бертовому иросторГ м'|стить 3 парпграфя.

У п. 1 "Ккпраполяшя фупкцкжал1в П1Д стншонариих процссЛа" тшп-чясться оадача оптимального ошиюпапня фунмионотв

Jo /о

тд стацюнарного пронесу {(*)• На основ! снектралышх влагтивостен ста-пшиарннх нропеав у пльбертович просторах вяпедеш формули для обчислсння величин ссркдньоквадратичних похибок та спектральних харахтс-рпг гик оптимальнее лпииних оншок фупяшонал)а п тому вппадку, коли В1Дома иильшеть пронесу. Якщо ж в!дама лише множима Т>( можливих щшьиосгей, то оастосовують мнпмаксний тдх!д до падач оцшюваиня фупкпюналт. Методами онуклш шпншшщн штйдеж нанмгшн г.нри-гглигн гпектраяьн! вдлмтсп ч,ч. мт!мя*сп1 снектряльт характеристики. Покапано, що кпеф'ипсити факторичацн найменш сприятливоТ пнльност'|

/°(А) £ T>J оадоиольяяють ршняшш М

EE I /"(а^-осо^Л

Й1Л»

V'm,(A) = 0„i(A) a"',.

Якщо регуляриий пронес ((£) маг. кратшсть M = 1, то комионснти пай-мснш сприятли!ю1 tumi.iiocTi мають вигляд

fn(А) = min |нг,(А).п1«х |»„(А>,о„, ^

•Чнайдсш наймсишсириятлиш щЬп.ноги в «ласах, щоописуютьмодсл! "г -• оабрудненшГ та "й - околу" стац'юиарних ироцоЫв.

У н. 2 "Ьггсрполяцм фуикцкшалт в1д стацкшарних нроцеав" досль джусться оадача оптимального оц'шювання фунхц'юналаАтС оа данный спостсрежепь пронесу ((f) + г;(() при ( € R' \ [0,7'], дс r/(t) нскорсльо-ваний о ((I) стацЬнарпий процес. Покапано, що для чиожипи Р^ х паймсиш сприятяив'| ирльност! f° е Щ,д° € V^ оадомльиають piaiuuiia

/?(*) + ffiw = «*.H*(A)yS(A) + ci(A)| = e«|/i*(A)/i(A) - Cj(A)|.

Якщо спектральна прлмпсть /(А) вщома, то спектральна т'шьшсть з°(А) иаймеиш спрнятлива в клап якщо TT компонентн падовольияють pin-пянпя

ff2(A) = max {o,a„j/l*(A)/*(A) - С£Г<А)| - Л(А)} .

Знайдеш наймешн сприятлгой щшьпосп в класах V, х PJ, хРц,.

У п. 3 "Фшьтращя фуикцкжал'ш шд сташопарних процест" доанд-жуеться оадача оптимального лшшного оцшетваиня функцюнала <4$ = {<*(<),f(~0) dt аа реоультатамк спостсрсжень f(i) + >){t),t < 0 ироцес) {(*) па. фош шуму Якщо слсктралын прльност! /(А), д(\) upouccin в)дом1 Гдоиусжають факторшшщ, то середньохвадратичну tioxiiösy та сиектральну характеристику оптимально? оц'шхи фуницюнала Л£иожна обчяслнти оа формулами:

м

мм = £ а*> - Е <с* Ь»ь ci ь-»>

м

hkp(f,g) = аи( е'л)'¿J - £ r'km{ciA) 6т;ДА).

т=1

Лема. Спектральм tum.Hocri /*'(А), ¡/°(А) шчшгшп гприятлив/ в еллс> Vf х Vt для оптимально! ф'мыр&ц'й фуняцюняла яшцо вопи допускают ь ниюн'гшу факторташю ч tonftiiiifiiтамн "1° «иона-чяиоть рооя 'яоох оадач/ на умении ексгрсиуц

ММ = Е

M

яир,

i(A) - Ф(А) Ф'(А> е ï>,; /(А) = D(A) D'(A) - Ф(А) *'(А) € Х>,.

Для множннн вольностей V — Т>о х Т>*. нанменш сприятлив! спект-ральи! ш1льлост1 оаповольвяють так! (нвняння:

40 M I fx> I»

со M

ЕЕ / (с{ь.4)(о^л

Якшо регулярна ппльшсть g(A) паф)ксояала i жратшсть M = 1 , то най-менш сприатлияа прльшстъ f°{ А) € Ло ма" внгляд

/Д(А) - max |о,а„, fj | (CJ Ь») (i)e",a dt ' - у„(А) J .

•Знайдсш пайменш сприятлш» ппльност! в к л асах "D,xVu, Т>к, *Vj$,. Роодш Y "Функи'юнали в!д одноруких ча часом ¡оотроппнх на сфер! вииадкових пол ¡в дискретного аргументу" шсткть 4 параграф».

У п. 1. 'Спектралыпш рооклад однор1днях оа часом юотронипх па сфер! внпадконих по л! в" покаоапо, то сгредньоквадратичпо псперервпе одпорвдпс оа часом гоотропне иа сфер« впиадкове поле ((j, ас), j С Z,xÇSn до il ус* ас роокллд

rxj fcim.n)

Е Е Z'JJIS'J*), '('J.J) = / (U.rjsLWm^ix),

trt.tO 1=1

де ¿¡„(j) ■- crauionapm поопдовиост! a хореляшйпимн функодямп bm{j). Користуючпсь власти постами спектрального роокладу поля, гшайдсш оптимально оц'шки коефиппп iB perpeciï. Встаноплепо, як наопдок, вигяяд неомндепоТ оц'жки неведомого матсматичпого cifo;iiBann* поля.

У п. 2. "Ежстраноллци функцкшал!» в!д винадховнх нал)»" роогдл-вуть оадача липйного оцшюваиня функиюнлл!»

i =<J jaO'S.

В1Д однородного оа часом (потропного на ефер> 5« виплдкового пода ((У, х) оа дяннмн спостерсжень иоле (Ц,х) при j < 0, х € !>т. Покапано, що серзд^квадрати'гнуиохибку таспектральну характеристику h{f) оптимально! оцшки функаюнала /)( мошна обчясляти па формулами

Д(/) = Д(Л(/);/) = £M¿>|H'm«Í«||!,= ¿ rf»),

mea mnO

b'J» = SÍ(A) - {/»íTd.KA) .

де dm(j) - «оефнреитн факторвоацн щшыюсп /*,( А), Л^, Q«, - опера-тори в простор! Ь, що вяоначаютьел посл>довв>стю a'm.

Вк&оатти формулам» можнь корвету ватясь лише тод), коля в ¡дома щшьшеть /(А) = {/„(А) : гп = 0,1,...} подл ((j,*). Лицо випначена лише множина Р/ можлипкх тшьностей, то оастосовують ыЫммсяпя (робастннй) П1дх»А Л" оадач оцшюваши.

Доведено, и ¡о оа певнвх умов наныеши спрвлтлнва в клее] Р*> еяект-р&льва щшьшеть мае компонент«

Звайден» найиешн спраггянв} спектраяьв! ш}льност> в клао Т>ь о мо~ ментнимя обмеженшшн, а такс* в хласад PJ, V,, Vu,

У п. 3. "]нтсрподяц1И фуптюнашв в!д вападкових пол>в* доопджус-тьел оадача оптимального л!шйного оцшювалшг функцюаала Л wí оа спо-стсреженнлмипоял((<г,х) + ff(k,x) пря А€ Z\{0,, я 6 5». Скорееi авшись спектральнвми влас.тввостлмп винадховнх пол!в, методом А.М.Колмогорова можна вивести Taxi формуле дад обчвгленнл похибки та спектрально} характеристики Д(/,р) опткмалыго? од1вжи фупк-стонала /!/»{:

SE Е í(BmW с!,, «L> + <»mAf'-«L. •'«)] -

raSM (al

£<*«oÜ)e

-»y*

m = 0,1,.

- 1Л -

timU,9) - И'т{А) - (Л'т{\)gm(X) «• <*(А)) UmW + ^(А))"'.

AvBm/v, Dm/v, Н,„л? - матриц!, ол»'исити »«их nuriKÄ'MdiTi.cj »(x.4j)inifHra-ми Фур'«:фунхц'ж{/«(А}+дж(А))"/„.(A)(/mtA)+iU(Air', /т(Х)дт(\) (/.»(А) -»- (/„(А))"', М(/ + м нож и hü тахих m 6 7,, ню /т(\) + 0,»(А) оадовольнякгть уыояу мЬпмалмюсп.

Лема. Ситрллмп uiijii.tiocri /"(А), j°(A) и/и'шгшп спрняглин! в V -Djx T>i для оптиммыю/ iurrpiiojtMitii фуммшои.хяя Ац(, я mito M(/-f jr) ?! 0 та хосфЫктн Фур'с фунши ((А) + (А)) ~', £(А) (Ц(А) + </?„{А))"', + «адлють очсрмориЪ*», R"'*, «'

ИНОНПЧЫОТЬ ршв'жю* CkCTpCUMII.IIoi ондлч! М»,»)

<f.*>iV,*T>, ^ fr?

miM 1*1

(loiaoiuio, шо компонента наимежн сприятливях ийльностей в xuhci Р - "Щ х 27J палопольнять pimuiiiu

Ь^П«,!!)

Ä<A) + ÄlA) = «-, X) К<А)у° (А) С(А)|,

/^А) + Л(А) = от, К(А)Д{А) - С£'(А)|. »=i

Доведена, як наслдок, тана теорема.

Теорема. Нгхли спсжтралыгл шмьшеть /(А) {/m(A) : т = 0,1,... } п/доиа, аОдьшеть э°(А) ~ {¡/¡¡.(А) : т = 0,1,...} належить «ласу 1У} j Mi/-f jf 0. Спрпральия шш.шеть д"(А) наймелш слриитлниа в jtaad для оптимально! ттгришяцн фунхцюн&да А»»шо Я комполенти оядоводы (яюгь р'пчтшя . ■ ' • •

i .V».») )

0,amJ £ И'т(А>/п»(А) - - /т(А) |

i нард (/(A),y^i А)) тыняч.ч- рочи'яоок екстреыальноГ Фунхт'я

h(f, 0°) с шпЫнкаюю гпкктр*.чыюю харнктгрисгпкою оптимально? оц'шки фунхц'юнлял /I.V4.

Знайдеш найменш спрпятлив1 инлъноетт в хласах PJ х Pt, i)^,

У ti. 4. "Фмирац'и фуипроиалш шд випадюних полт" доо/цджепа оадача лтшного оц'шювання фунхцюнала

AZ = Е /. a(j,x)((-j,x)mn(<lx) >=о Js"

оа давним спостерсжсш. поля {{j, х) ■+ rj(;*,x) при j < 0, х € S„, де (,{j,x), rj(j,x} — нскорсл(.овлш однор1дш оа часом ¡оотропш иипадков! поля на сфер> 5«, Яйцо иолмюст) д,,(л), /«(А) + дт(Л) допускать к&вошчи! фа*ториоацп, то похиОку та снехтральну характеристику h[f,g) оптимально! оц'шки фувкц'юнала <4i можна обчислити оа формулами

04 *( и» ,»> »

мм = Е Е <с«(»>. °»> - ю-м*-.. *«> .

m=0 tel •»

AÎ.(/,®> s a'w(A) - (A) MA).

ДС = C'm(a), Qm(g) опсратори в fipocropi lj.

Лема. Рсгуляри'1 riintr/auii.jii щш.ност/ /,»(А) та slî,(A) нялшенш сири-лтлия> в к л не j V — T>j для оптимально* фш.трыщ фуихпюшын Л(, якщо функцп 'РтеШ- V1',',,(j} ta b4n(j)% що оадають факторипацп, виинача-ють роов'жкж (задач! на умошшй скстремум

ГЧ. hltn.H)

m=0 (=1

Sm(A) = |&.(A)|3 € /я»(А) = (î»(A)f ' - |i»(A>|' G Vf

Для множили спектральных щмьлостся i>= х PJ »находимо *rn*i ршнавш! для яайыенш енриятливих споктралмшх пульиостей:

Л(А) + fi™(A) = £ ¡(c'tU0)(А>| ,

lai ;■■ ' "

Якщо регулярна 1Ц»лымсть 0m(A),m = 0,1,.., оаф)*сована, то наймсиш рилтлива щшьвкть /® € Х\» мае вигляд

Знайдеш найиснш епрнятяив! пвльиост! и «л ас ал Р«хРц, Р«, хР1ц. РоодЬ» У1 *0Ц)Н1Н фушщюиал!в в;д одпор1диих оа часом 1оотропиях па сфер! виладювкх полт неперервпого аргументу* мктпть 3 параграфа.

У п. 1."Екстрапояашя фунжщапаЛ1-в с!д шгпадкоигос пол!»" доел ¡диен а задача ошнюшшия фуггхцюнал^в

Л( — Г ( а(и*)£Ц,х)тя(<1х)<Н АН = Г [ а(1,х)№,з)тл(<Ь)<И Jo Js. Л /з.

в!д одпор'|дпого оа часом кютроппего па сфср5 5„ ашадзового поля {(!,«) еа д&шши саостереаепь поля ((<,») при < <0, а б 5„. Яицо ггольноет! /»(А),ш = 0,1,... допуевають каношчи! фажториоацн, то серсдньоква-дратвчну похнбху оптимально! оцннш фунщюнола Л£ можпа обчиоштп оа формулою

Д(Л = Е = Е (Я^Ъ),

гягО псО

дз /1^,, <5« - операторы в простор! Ь)(0,оо). Спектральпа характеристика />(/) оптимально? овдшш обчислюсться оа формулою

Л ем а. Спектрально иуяьвкть /°(А) = : т = 0,1,... } нш'шеша

гярилтли&а о клао Р/ для оптни&дыюТ ехстраподяци фу аз ¡роима А{, лкщр поандовност! = {¿2,(0 : 0 < * < оо }, т = 0,1,... , гцо оададать «апошчиу факторшзая!» пцльпостей /£,(А), апоиачають роов'жю* оадата па уиовняй евстремум

Д(Л = Е ^»"Р. /(*) :т = 0.1...Д € V

Встапошжпо, п(0 юипопептл пайиенш сприятлпвих гщаьпостей в оас! Т>о оадовольпяють р)пшпшя

А(т,»)

1=1

Покапало, одо спектралъна иилътсть поля односторониього рухомого середа ього о компонентами _

I ./о

О

найиенш спршплина в клас! Р0 иа псиннх умов.

Знамдеш иайионш снришjhihí uiuii.nocri в класах V*, Z>„ Т>и, Vu. У и. 2. "hiicpiiuiuiiii* фувкц'кнкшв в>д винадкопих нолж* досл!джу-еться оадача оц'шкчкчшя фунхшональ Аг( в>Д нев1домих пиачень однородного иа ч.ком кютронного на сфер) 5» ьииадкового пол* ((i, г), Í € R', X 6 5'« оа дапими снос герсжень ноля ¿(t,x) + 4{t,x)при I 6 R'\ [0,7'J, X € SK, де r¡{t,x) - некорельоваие o ({t,xj однор>дне па часом ¡оотроине на сфер! 6'« кицадкоь»' ноле—Иивсден) thkí фориули для об-числения похибкн Д(/, д) та спектрально! характеристики h(/,g) оптимально) лжшшй одшки функцювала Ají :

т

A(/.í)= Е Е ({B».rct.,c,w) + (R»r«i,,aL)J)

«и«М 1=1

A'j/.ff) = (*!■(*)/«(*)- ^(А)Н/т<А) + 0„(А)Г\

дс М(/ + д) - множима таких m € Z, um /«(Л) + gm(A) иадовольнеють

уиовуышшалыюсп.с^*)^ (B~!,.D,»ra¡,)(<), ВгаГ. 1>™г> R»T операторы у простор» L-¡{ [О, Г] ).

Лема, Спскгральш ашльиост/ /'(A), e°(A) uümuchui сприятлив/ в Т> ~ Vf xVt для оигниалию! ¡тгриолмцифуишоиааа Ат(, яхщо M(f-rg) / в та аосфщкши Фур'е фунышй (/* 1А)+р£,(А))"\

/£(*>£(*) (ÄW+ÄW)"' оадлють oiiefUiTapu B^Jy, R«T, «i

висшачають рооя Wo* ежстремяльно/ оадяч;

ir E E KDU^.B-VDi.roD-fiRU«'». «!»}] =

= E Г + <R«T«i., ai,)}.

mÇM 1=1

Для мвожввй свея-граиышх щЬьностса Pj-x компоненти ианменш сприя i лявих щшьпостей оадолольняють [Пвияння

<Ц т,я)

ы te»

Теорема, //май слсжтральш аильного' /°(А) {/£(А) : т = 0,1,...}, «/'(А) = {Л(А) : го = 0,1,...} нллсжлть кллсу "Щ х Т? \ М(/° + <?) ф 0. Сасжтральш иОдыюгт! /°(А), д°(А) нлммрнш спрнятлит в «лап Ру х для онтимальяоГ мшииоУ ¡нтериаджщТ фунжщоналд *кшо вони алдовапьняютъ вгаокш р|(Ы«ння > «ионачають рооп'яоож екстргиалыю? оздач!. М'ш'шнжсиою <• нейтральною харажтеристижою оптимально»" одшжи фунжшоняд» е фуихци /»„(/,у).

Теорема, //елли спспрамыгя щ'щинкть /(А) •= {/«(А) : го = «ндома, оияьнкгь р°(А) = {р?„(А) : т = 0,1,...} иачежнть жлдгу Р^ ' М(/ + р°) ^ 0. Спсхгральна тмьикть д°(У) наниеиш еириятяивл в ждас/ Р^ для оптимально!" шшш" ¡итсршиинш фунхшоняла Лт(, мжщо П жом-ионенти падовадьнжють р|"вняши

{ *<«.•) 1 О.«», £ |Д'Ж(А)/Я1(А)-СТ(>)] -/«(»>

1 пара {/(А),0°(А)) вмпилчлл роов'яоож ежстрсилдмю! оадач/. Фунжцм /)(/, р") <• шшилжсною спптрнльнот характеристикою отгшллыкноц'шжч фунжцюнала •

Онайдеш пайменш спрнятлив! пнлмюст( в * ласах Р, х РЦ, х Ри,. У п. 3. "Ф!льтрац)» фушц'юналш В1Д яянадховнх шипя" доопджена оадачл л! и! иного оцпшвапна фунхнюпдла

оа даянии сностережень поля ({(,«) + »?('.*) при I < 0, х € 5,, де ((1,х), • исхорельоаат однор'щш оа часом ¡оотропш внпадхов! поля па сфер! 5„. Я кто вдлымст! /»(А), Зт(А) допусхають «апошчш фахторн-чан'и, то ссредньоквадраткчну нохибху та спсжтральну характеристику оптимально!" оцшхи фунжцюнала можна обчиглитя оа формулами

зь .

Д(= Е Е <*«<»>») - <<?•»(*>»

- *п—0 «=1 '

>«(/,?) = 3!»(А)- (А)6т(А).

1>г с'т(з) = С'п(г/)у (¿т(я)у - оператори в простор! 1^[0,оо).

Вк;имними формулами можна користуватись то;н, коли »¡дом! щт-ЛЫЮСП ;/т(А), Як|ЦО Ж В)ДОМ1 лише множини Р/, Т>8 можливих

пйльностей, то оастосонують мшшлхешш ШДХ1Д до оадач ошиюпапкя.

Для множим» снсжiральнях щмьностей Р0 х Р" »находимо та*) р»а-ияння для найменш сирнл ыминх спсктральних шЬшюстей:

-«m,»)

&(A) + eîL(A) = û», У |(^<7»)*2.)(А)| (7«,<л)'+->..,<*)+«>"'.

lo I

Hxnio регулярна щшыпсть gm(A) o<uJ)íxco»ana, то найменш снриятлива прлыпсть f° 6 мае нигляд

ÍMm.n) __а "J

0.«». Е |(«1Ы*1)(А)| — tfm(А) > .

Лкщо ж оадана регулярна иильшсть /т(А), го наймет» снриятлива щ1-льякть у oaci PJ мае внгляд

(A) a min I max |ftm, ' |(c¿,(7)*S.) (A>f-/»(*>.*«(A) J,««(A) J.

Знаядешнайменшспрнятлив»шммгоет» в класлх Т><хТ>ц, Рм, хVut•

Основш положения дисертацП опубликован!

9 у наступних роботах

1. Моклячук М.П л Об одной игре двух лиц с нулевой суммой и окс-траполяцип случайных последовательностей// Исследование операций а АСУ,- 1981. Пип. 17.- С. 122-127.

2. Моклячук М.П. Об одной оадаче теории игр и окстраноляции случайных процессов со »качениями в гильбертовом пространств« // Теория вероятностей и мат. статистика.- 1981- Вып. 24 - С. 107-114.

3. Моклячук М.П. Об одной антагонистической игре и прогцооиро-ванин стационарных последовательностей в гильбертовом пространстве // Теория вероятностей я мат. статистика.- 1981.-Вып. 25.- С. 99-106.

4. Моклячук М.П. Об оценке функционала от случайно^. последовательности// Теория вероятностей п ее примен.- 1982. - Вып. 3.-С. 216.

5. Моклячук М.П. О фильтрации преобраоований случайных процессов // 'Гео. докл. IV Вильнюс, междуиар, ковф. по теории вероятностей а мат. статистике.- Вильнюс, 1985 - С. 205-207.

6. Моклячук М.П. О минимаксной фильтрации случайных последовательностей// Тоо. докл. V Вильнюс, междупар. конф. по теории вероятностей и мат. статистике.- Вильпхк, 1989.- С. 68-70.

7. Моклячук М.П. О минимаксной фильтрации случайных последовательностей //Теория вероятностей и мат. статистика.- 1989.-Вып. 40 - С. 73- 80.

8. Моклячук М.П. Минимаксная окстраноляцня и процессы авторегрессии - скольоящего среднего// Теория вероятностей и мат. статистика.- 1989,- Вып. 41- С. 6Й-74.

9. Моклячук М.П. Минимаксная окстраиоляция случайных процессов для моделей с - оагряонения// Теория вероятностей и мат. статистика - 1990.- Вып. 42,- С. 95-103.

10. Моклячук М.П. Минимаксная фильтрация стационарных последовательностей с белым шумом// Теория вероятностей и мат. статистика - 1990,- Вып. 43,- С. 97-111.

11. Моклячук М.П. Минимаксная фильтрация .тянейкых преобрапо-ваний стационарных процессов// Теория вероятностей и мат. статистика. - 1991. - Вып. 44,- С. 96-105.

12. Мокдячук М.П. О линейной прогиоое случайных процессов в условиях неонр«уи».яеиности// Теория вероятностей я иат. сть-твстика.- 1991. Uûu. 45. С. 89-97.

13. Моклячук М.П. Робастная фильтрация случайных процессов// Ten. докл. VI Сов. - Японского симпоо. ио теории вероятностей н мат. статистике. Кие», 1991.- С. 100.

14. Мокдячук M.I1. Минимаксная фалътр&цнл линейных преобраоо-ванин стационарных последовательностей// Укр. иат. журиая.-1991.- 43, N 1.- С. 92-99. -—--______

16, Мокдячук М.П. Об окоршодяцая преобразований случайных процессов, вооиущсшшх белый шуиои// Укр. иат. кури.-1991.- 4», N 2.- С. 216- 223.

16. M ок л »чу к М.П. Miuiuataia екстраподящя однор'щних па чаши ¡оотрошшх винадкових пол!»// Аналитические вопросы стохастических систем. Киев, 1992. V.. 33 67. •

17. Моклячук М.П. Про оадачу uiuiuascuoî екстрадоаяцн векторпвх иоаидовностся, обурсццх биим шуиои// Теори йиовфиостек та иат. статистика.-- 1992,- Вип. 46.- С. 88-104.

18. Мохлячук М.П. Прооадачу ф>льтрацПвеяторяих воыпдовиосте.й// Теор1я ймовфпостей та мат. статистика.- 1692,- Вин. 47.- С, 104-118.

18. Мокдячук М.П. О минимаксной фильтрации векторных процессов// Укр. иат. журн.- 1993.- 48, N 3.- С. 389-397.

20. Мок ля чу к МЛ. Стсаастычп! посд!довност1 aBToperpeciï та шн1-иаксна штернолащя // Теори Йшшрцостея та иат. статистика- 1993 - Вии. 48.- С. 135-146.

21. Моклячук М.П. Miuiuaxcua ф1вьтраци однор!диих оа часом {оотрошшх випаджових пол ¡в ва сфер! // Tbopia àuo&ipaoCTeâ та иат. статистика.- 1993.- Ban. 49.- С. 193 -205.

22. Мокдячух М.П. Mimuacciia 1нтсрполяц!я одиор!днах оа чаусом ¡оо-трошш* внпадковнх шшв иа сфер! // Tfeopi* ииов'|рностев та иат. статвстижа.-- 1994.- Вип. 60.- С. 105-113.

23. Мокдячух М.П. Еастраполящя однор!дних оа часои Ьотропних ва сфер1 ввладковнх под)в// TeopU кмов1риостея та иат. статвстижа.- 1994.- Вип. 61.- С. 131-139.

24. Moklyacbuk М.Р. Estimation of Linear Functional of Stationary Stochastic Processes and a Two-Person Zero-Sum Game// Stanford University Technical Report.- 1981.- N 169.- 82 p.

25. Moklyachuk M.P. A problem of minitnax amcothing for homoge-

neoua isotropic on a sphere random fields// Random Operator» and Stochastic Equation«. - 1992. - Vol.1. No 2.- P. 191 201.

. 28. Moklyachuk M.I'. On stochastic equation« which describe one-tided moving average procettpes and minima* filtering// Random Oper»-torit and Stochastic Equations.- 1992- Vol.1. No 4 - P. 329-343.

27. Moklyachuk M.P. Minimax-robust interpolation of discrete time series// Evolutionary Stochastic Systems in Phyiics and Biology. V. S. Korolyuk (Ed.) Moscow/Utrecht. TVP/VSP.- 1993.- P. 336-347.

28. Moklyachuk M,P. Minima*robust interpolation of stationary stochastic processes// New Trends in Probability and Statistics. Proceedings of the second Ukrainian - Hungarian conference. M.Arato, M.l. Yadrcnko (Eds.) Moacmr/Utrecbt/Kiev. TVP/VSP/TBiMO.-1993.- P. 183-193.

29. Moklyachuk M.P. Minimax-robust estimation of linear transformation of stochastic proccs«es//56th Annual Meeting of the Institute of Mathematical Statistics and the American Statisticaf Association. Abstracts of papers. The IMS Bulletin. 1993.- Vol.22.- No 3.- P. 322.

30. Moklyachuk M.P. Minimax-robust estimation problem for homogeneous isotropic on a sphere random fields//3rd World Congress of the Bernoulli Society. Abstracts of papers. The IMS Bulletin. 1994-Vol.23.- No 2. - P. 240.

Моклячук М.П. Оценки функционал® от стохастических процессов и случайных нолей. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора финико - математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Институт матеыазики НАН Украины, Киев, 1995.

_[i диссертации 'положены результаты, опубликованные в 30 научных работах. Получены формулы для вычисления среднеквадрати-ческих ошибок и спектральных характеристик оптимальных оценок функционалов от стационарных случайных процессом и однородных иоотропных на сфере случайных нолей. Раиработанм методы получения соотношений для определения наименее благоприятных спектральных плотностей н минимаксных (робастных) спектральных характеристик оптимальных оценок функционален.

Moklyachuk M.P. Estimation of functional* of stochastic ргосеанеа and random field«. Ma»№cript. Dissertation for a degree of Doctor of Science in Physics and Mathematics in speciality 01.01.05 - Theory of Probability and Mathematical Statistics. Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, Kiev, 1995.

The dissertation contains rwults iron» the 30 published scientific paper в. Formulas are derived for calculation of the mean - tti. uut- error« and the spectral characttristics of the optimal estimate» of functional» of stochastic processes and random fielda. Methods are iiitrc luccd for deriving the relations for determining the least favourable spectra] densities and the miuiniax (robust) spectral characteristics of the optimal estimates of the functional^.

Ключов» слова: стохастичш пронеси, винадков) ноля, функцю-иали, оптимально оцшки, соектральт нцлыюст'!.