Оценки количества рациональных точек на выпуклых кривых и поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЕТРОВ ФЕДОР ВЛАДИМИРОВИЧ

ОЦЕНКИ КОЛИЧЕСТВА РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК НА ВЫПУКЛЫХ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЯХ

01 01 01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2007

003161559

Работа выполнена в лаборатории теории представлений и вычислительной математики Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Научный — доктор физико-математических

руководитель наук, профессор Вершик А М.

Официальные — доктор физико-математических оппоненты наук С-криганов М М.

— кандидат физико-математических наук, доцент Подкорытов А. Н. Ведущая — Московский

организация государственный университет

Защита, состоится НОЯБРЯ 2007 года

в ¿!> час. на заседании Диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, ауд. 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ РАН

Автореферат разослан 2007

года.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук ^ Ш^п Зайцев А. Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе изучаются асимптотические вопросы геометрии чисел Ее тематика тесно примыкает к знаменитой проблеме шара об оценке остаточного члена в асимптотике количества целых точек в большом шаре в евклидовом пространстве Исследуется вопрос о количестве точек решетки, которые могут принадлежать данной строго выпуклой поверхности

В размерности 2 этот вопрос впервые рассматривался в работе Ярника [1], где получена оценка вида сч2/3 на количество целых точек на плоскости, являющихся вершинами выпуклого многоугольника периметра I Ярником также была вычислена асимптотически точная константа С = З(27г)-1/3 В 1963 году Эндрюс [13] обобщил результат Ярника на случай большей размерности, доказав, что объем V выпуклого многогранника в R® с N целыми вершинами не меньше чем C{d) N& Отсюда при d — 2 получаем оценку С • 511/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник площади S Из изопериметрического неравенства видно, что эта оценка сильнее, чем С /2/3

Пусть 7 — фиксированная ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости, Г — ограниченная строго выпуклая поверхность в Положим

Ш = #(7 л iz2), кп(Г) = #(Г n izd)

Приведенные результаты Ярника и Эндрюса можно переформулировать следующим образом

ш<с /V3(7) n2/3,Mr)<cd уЗй(Г)

(здесь через 1(-у) обозначена длина кривой I, через V(Г) — объем выпуклой оболочки поверхности Г) Оценкам на величины ^п(т); *»(Г) при различных ограничениях на 7, Г посвящен

ряд работ [3, 12, 4, 11, 5, 2] В диссертации устанавливается ряд новых оценок

В работах Вершика и Барани [б, 7] обсуждаются вопросы о предельных формах многоугольников с вершинами на мелкой сетке Ответы на эти вопросы выявляют связь с аффинной геометрией

В главе 1 развивается связь целочисленных многогранников с аффинной геометрией в произвольной размерности

В главе 2 дается (отрицательное) решение вопроса А М Вершика о существовании «универсальной кривой Яр-ника»

Таким образом, тематика работы актуальна

Цель работы состоит в исследовании возможного поведения количества точек мелкой сетки на строго выпуклых кривых и поверхностях.

Основные результаты работы.

Обозначим через Ьп множество узлов решетки (¿2) Положим Сп = иДля произвольного множества А с через кп(А.) обозначим количество элементов множества А П Ьп, а через Кп{А) - количество элементов множества А П £п

Зафиксируем на плоскости ограниченную строго выпуклую кривую 7 В пространстве Е^, (1^2. зафиксируем ограниченное строго выпуклое тело Ф с границей дФ

- Доказано, что кп{7) = о(п2/3)

- Доказано, что для любого положительного сходящегося ряда X) ап найдется сколь угодно быстро растущая последовательность натуральных чисел дп и ограниченная строго выпуклая поверхность Г С К"2 такие, что кдп(Т) ^

- Доказано что если аффинная площадь поверхности аз(Ф) тела Ф положительна, то

при достаточно больших п > по(Ф) Для строго выпуклых

тел с нулевой аффинной площадью поверхности кп{8Ф) = о(П )

- Доказано, что если аз(Ф) > 0, то

Кп{дФ)^С{<1) аа{Ф) п^1

при достаточно больших п > щ(Ф) Для строго выпуклых тел с нулевой аффинной площадью поверхности кп(дФ) = о(псг_1)

- Доказано, что

ЪттН^^дФ)/^'2 < оо

при

1ш1ш£кп^/Ьёп < оо

- Доказано, что для произвольной последовательности векторов сдвигов {хге} найдется такое натуральное п, что кп(7 + х„)<С (1о§п)1/б ^

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми

Методы исследования. В работе применяются различные методы асимптотического анализа в сочетании с методами геометрии, теории чисел и комбинаторики

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования вопросов о возможном количестве целых точек на кривых и поверхностях и в других асимптотических задачах геометрии чисел

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМИ РАН по теории представлений и динамическим системам, на семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ по ортогональным рядам, на конференции "Эйлер и современная комбинаторика"

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [21] и [22]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 9 параграфов (нумерация параграфов сквозная) изложена на 68 стр Список литературы включает 22 названия

Содержание работы

Глава 1 посвящена оценкам возможного количества рациональных точек на ограниченной строго выпуклой кривой или поверхности при всех достаточно больших знаменателях координат

Будем писать А <Ссг В, если выполняется неравенство А^С(с1) В с некоторой константой С(с?), зависящей только от размерности д, Через будем обозначать (¿-мерный объем (меру Лебега) множества Р с

В параграфе 1 приводится определение и доказываются некоторые свойства аффинной площади поверхности выпуклого тела в

Если КсМ!1 — выпуклый компакт с достаточно гладкой границей, то его аффинная площадь поверхности ае(К) определяется как

ав(К)= [ к^Чц, Jдк

где к - гауссова кривизна, ¡л — мера Лебега ({(1 — 1)-мерная мера Хаусдорфа) на дК

Название обусловлено тем, что аффинная площадь поверхности не меняется при аффинных преобразованиях К0' с определителем 1 Это обстоятельство помогает установить неравенство

ав{К)4£.У{К)& (ц)

в.

Если К — выпуклый компакт в В^, будем называть К-шапочкой пересечение К и некоторого (аффинного) полупространства в К^

Мы используем следующее определение аффинной площади поверхности произвольного выпуклого тела [14]

Для I > О определим плавающее тело Кг как множество точек х € К, не принадлежащих ни одной шапочке объема меньшего чем I Множество ^ есть выпуклый, непустой при достаточно малых t, компакт Предел

будем называть аффинной площадью поверхности ав(К) выпуклого тела К Оказывается, что этот предел существует для всех выпуклых тел Для гладких тел он совпадает (с точностью до множителя, зависящего только от размерности) с уже определенной ранее иным образом аффинной площадью поверхности (см [14])

Мы используем также следующую лемму о покрытии шапочками ([16], лемма 4).

ЛЕММА 1 1 Для достаточно малого е < ео(й) • У(К) существует такое покрытие границы дК выпуклого компакта К С Ж4* шапочками Нг, Щ, , Нп, что

(г) объем У(Нг) каждой шапочки не сильно больше е

а

(и) найдутся попарно непересекающиеся подмножества

Сг С Нг такие, что У(Сг) ~>£

<2

С помощью этой леммы устанавливается предложение 12, Поверхность выпуклого тела К можно покрыть конечным числом шапочек Нг так, что

саа'(К),

где аз'(К) — аз(К), если ав(К) > 0 и аа'(К) — любое положительное число, если аа{К) = 0

В параграфе 2 с помощью понятия аффинной площади поверхности доказывается важное для дальнейшего неравенство для объема выпуклой оболочки семейства выпуклых множеств, каждое из которых отделимо от выпуклой оболочки остальных

ЛЕММА 2 2 Пусть К С К^ — выпуклый компакт, выпуклые компакты, С К, г = 1, 2, ,п, таковы, что ни один компакт не пересекается с выпуклой оболочкой остальных Обозначим Уъ = У(РХ), V = У {К) Тогда

В параграфе 3 даются оценки на количество точек с данным знаменателем и на количество точек со знаменателями не более данного, лежащих на данной кривой или поверхности Приведем заключительный результат Теорема 3 3.

Пусть аз есть аффинная площадь поверхности выпуклой оболочки ограниченной строго выпуклой поверхности ГсК^ В случае (1 = 2 обозначим через а1 аффинную длину данной ограниченной строго выпуклой кривой 7 При д, > 2 для всех достаточно больших п > Ы{Г) выполняется оценка

при й^З найдутся сколь угодно большие п, для которых

При (1 = 2 для ограниченной строго выпуклой кривой найдутся сколь угодно большие натуральные п, для которых

Кп{Т)СпА'х ав'

&„(Г) -Сп^-2 аз'

КЬ) С^оёп а1'

(3 3)

Здесь as1 обозначает as, если as > 0 и любое положительное число, если as = О, аналогично для al

Аналогично доказывается, что при любом достаточно большом значении п выполняется оценка

kn(T)<as' -rf^, d

где as' имеет тот же смысл, что и в теореме 3 3.

В параграфе 4 обсуждается вопрос о точности полученных оценок Оказывается, что оценки точны для единичной сферы при достаточно больших размерностях

ТЕОРЕМА 4 1 Для единичной сферы с центром в нуле Г = §d~l имеют место следующие оценки снизу

Кп( S^W-1 (41)

d

при d ^ 2 и

fcn(Si_1)»n<,~2 (4 2)

d

при d ^ 5

Открытым остается вопрос о возможном росте А^(Г) при d= 2, 3, 4,

В параграфе 5 затрагивается вопрос о других последовательностях мелких решеток

Рассмотрим следующий вопрос Пусть задана последовательность натуральных индексов Si < 32 < Насколько быстро может расти последовательность k(sn, 7) с ростом п (здесь мы переобозначили кт(7) —»■ к(т,7) во избежание двойных индексов)? Оказывается что ответ зависит не только от скорости роста последовательности {sre}, но и от ее арифметических свойств

Предъявим две квадратично растущие последовательности, для которых ответ на вопрос о максимально возможном росте величины k(sn, 7) существенно различается

Сначала рассмотрим последовательность s„ — п2 Кривая 7 = {(t,t2), — 1 ^ 1} показывает, что k(sn,7) может расти как минимум линейно по п

Теперь рассмотрим множество чисел вида 2к т, где m < 2к (то есть тех, для которых наибольший нечетный делитель меньше, чем максимальная делящая число степень двойки) Пронумеруем их. 2 = Si < S2 < . Тогда sn есть число порядка п2, но для любой строго выпуклой кривой 7 оказывается, что

liminf A(sn,7) --57ч < о°

logn п2'г

Этот пример показывает, что ответ на вопрос о возможном количестве точек мелких сеток на кривой зависит не только от размеров сеток, но и от их взаиморасположения Поэтому естественно рассматривать не только сетки Ln = ^Z2, но и сдвинутые сетки L'n — х„ + -Z2, где х„ — некоторый вектор сдвига (выбираемый, вообще говоря, произвольно).

Здесь удалось доказать следующую оценку, намного более слабую, чем С logn для не сдвинутых сеток

Пусть L'n — множество узлов некоторой сетки с шагом 1 /п (вообще говоря, 0 ^ Ь'п), 7 — ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости. Обозначим

теорема 5 1в этих обозначениях

limmf /ffl <00

log1/6n-v^

Глава 2 посвящена исследованию вопроса о возможном количестве рациональных точек на кривой для последовательности знаменателей, стремящейся к бесконечности

В параграфе 6 вводится необходимая терминология Ключевым понятием является обобщенная аффинная длина ломаной

Будем обозначать через S(F) удвоенную площадь многоугольника F через х х у будем обозначать псевдоскалярное произведение векторов х и у (т.е ориентированную площадь параллелограмма, построенного на этих векторах)

Зафиксируем на плоскости треугольник ABC, ориентированный так что S = S(ABC) — +АС х С В Введем следующие понятия

1 An = Ап(ABC) — угол с вершиной в начале координат, образованный лучами, сонаправленными с АС и С В (величина этого угла есть 7Г — Z.ACB). Угол будем рассматривать как множество векторов хе®2, которые, будучи отложенными из начала координат, лежат в Ап

2 Определим обхват [х] вектора х (относительно треугольника ABC) формулой

[х] = (xxCB + ACxx)/S

Обхват — линейная функция вектора х 6 К2

Строго выпуклую ломаную вида АС\Сч CkB будем называть (АВ, С)-ломаной, если все ее вершины лежат в треугольнике ABC Если при этом промежуточные вершины Сг (г = 1, ,к) лежат на сетке Ьп = (т^)2, будем называть такую ломаную {АВ, С, п)-ломаной

Пусть (АВ,С)-ломаная 7 = АС\С% CkB вписана в (АВ, С)-ломаную 71 = AD\D2 D^+iB (т.е. точки Сг лежат на соответствующих отрезках А Д+i (г = 1, , к)) Будем называть обобщенной аффинной длиной ломаной 7 относительно 7i величину

к

Ы7 7i) = £ВДA-hCU!)1'8 (Со = А, Ск+Х = В), 1=0

а обобщенной аффинной длиной ломаной 7 величину ¿л(7) = supU(7 71),

71

где верхняя грань берется по всем (АВ, С)-ломаным 71, описанным около 7

В параграфе 7 доказывается лемма о распределении целых точек на поверхности ab — cd = const, необходимая для дальнейшего

ЛЕММА 7 1 Рассмотрим пары векторов (х^хг), xi,X2 € AnfiZ2, для которых-х.1 ххг — т, где О ^mgZ - некоторая константаКаждой такой паре сопоставим специальную точку ([xi], [хг]) € [0, оо)2 Тогда специальные точки распределены равномерно в первом квадранте в следующем смысле для любой ограниченной области Q, С (0, оо)2 с кусочно-гладкой границей количество специальных точек в области NU (с учетом кратности) есть (при N —> оо)

c(m)SN2S(Q,) + o(JV2),

где с(т) — константа, зависящая от т (а именно, с(т) = (2^(2))-1{т(ш)/т; а(гп) — сумма натуральных делителей числа т)

Эта лемма не является новой, но мы приводим новое простое и элементарное доказательство

В параграфе 8 доказывается, что количество кп(7) точек со знаменателем п на данной ограниченной строго выпуклой кривой 7 на плоскости есть о(п2/3). Это основной результат работы

В параграфе 9 доказывается, что для любого положительного сходящегося ряда Ylan найдется сколь угодно быстро растущая последовательность натуральных чисел qn и ограниченная строго выпуклая поверхность Г с M.d, d'^2, такие, что

*^Можно говорить и о 2 х 2-матрицах с целыми элементами и определителем т, однако в нашей ситуации б}дут фигурировать именно треугольники заданной площади

Каждая из глав завершается списком вопросов, ответы на которые автору не известны.

Список литературы

[1] Jarnik V Ubcr die Gitterpunkte auf konvcxcn Kurvcn Math, Z„ 24, 500-518 (1926)

[2] Plagne A A uniform version of Jarnik's theorem Acta Anth , 57, No 3, 255-267 (1999)

[3] Swmnerton-Dyer H P F The number of latticc points on a convcx curvc J. Number Theory, 6, 128-135 (1974).

[4] Bombien E, Pila J The number of integral points on arcs and ovals Duke Math J , 59, 337-357 (1989)

[5] Grekos G Sur lc nombrc dc points cntiers d'une courbc convexc Bull Sci Matli (2), 112, 235-254 (1988)

[6] Вершик A M Предельная форма выпуклых многоугольников Функц. анализ и его прил , 28, 13-20 (1994)

[7] Barany I The limit shape of convex latticc polygons Discrete Comput Gcom , 13, 279-295 (1995)

[8] Фавар Ж Курс локальной дифференциальной геометрии ИЛ, М , 1961.

[9] Eshn А, McMullen С Mixing, counting and cquidistribution in Lie groups Dulcc Math J , 71, 181-209 (1993).

[10] Хинчин А Я Цепные дроби Физматгиз, М 1961

[11] P'tla J Rational points on a subanalytic surfacc Ann Inst Fourier (Grenoble), 55, no. 5, 1501-1516 (2005)

[12] Schmzdt W M Integer points on curvcs and surfaces Monatsh Math., 99, no. 1, 45-72 (1985)

[13] Andrews G E A lower bound for the volume of strictly convcx bodies with many boundary latticc points Trans Amer Math Soc 270-279 (1963)

[14] Werner E A general gcomctric construction for affinc surfacc area Studia Math , 132, no 3, 227-238 (1999)

[15] Gruber P M Bairc categories m convexity Handbook of convcx geometry, Vol A, B, 1327-1346, North-Holland, Amsterdam (1993)

[16] Barany I The technique of M-rcgions and cap covcrmgs a survey. Ill International Conference m "Stochastic Geometry, Convcx Bodies and Empirical Measures Part II (2000)

[17] Davydov Yu, Vershik A M. Rearrangements convcxcs des marches alcatoircs. Ann Inst H Pomcarc Probab Statist, 34, no 1, 73-95 (1998)

[18] Мороз Б 3 Распределение целых точек на многомерных гиперболоидах и конусах Зап Научн Сем. ЛОМИ, 1, 84113 (1966)

[19] Barany I, Vershik А М On the number of convcx latticc polytopcs. Gcom Funct Anal, 2, no 4, 381-393 (1992).

[20] Barany I, barman D G The convcx hull of the integer points in a large ball, Math Annalen, 312, 167-181 (1998).

Публикации автора по теме диссертации

[21] Петров Ф В О количестве рациональных точек на строго выпуклой кривой Функц анал прил , 40, вып 1, 30-42 (2006)

[22] Петров Ф. В Оценки количества рациональных точек на выпуклых кривых и поверхностях Зап Научн Сем. ПО-МИ 344, 174-189 (2007)

Подписано в печать 21 09 2007 Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис» Печать ризографическая Заказ № 2/2109 П л 1 0 Уч -изд л 1 0 Тираж 100 экз

ЗАО «КопиСервис» Адрес 197376, Санкт-Петербург, ул Проф Попова, д 3 тел (812) 327 5098

§0. Введение

Глава 1. Асимптотические оценки количества рациональных точек при произвольных знаменателях.

§1. Предварительные сведения: аффинная площадь поверхности

§2. Оценка объема выпуклой оболочки "сильно не пересекающихся" множеств.

§3. Оценки количества рациональных точек на поверхности

§4. О точности оценок теоремы 3.2.

§5. Другие последовательности мелких сеток.

Глава 2. Несуществование выпуклой кривой с максимально возможным числом рациональных точек.

§6. Определения и обозначения. Основные технические леммы.

§7. О распределении целых точек на поверхности ab — cd=const.

§8. Основная часть.

§9. О возможном количестве точек на выпуклой поверхности 61 Список литературы.

Актуальность темы. Работа относится к асимптотической геометрии чисел. В самом общем контексте речь идет об оценке количества точек решетки, принадлежащих данному множеству. Сюда относится, например, проблема круга (в старшей размерности — проблема шара) об оценке остаточного члена R(N) в равенстве у) eZ2:x2 + y4 N2} = irN2 + R{N).

Этой проблематике, а также асимптотике количества рациональных точек в других областях, посвящено множество работ, использующих, как правило, методы аналитической теории чисел.

В диофантовой геометрии одним из основных является вопрос о количестве рациональных точек на алгебраических поверхностях.

В диссертации исследуется вопрос о возможном количестве рациональных точек на границе выпуклого тела. Тут имеется связь как с проблемой шара (поскольку остаточный член для количества точек внутри вообще говоря не меньше количества точек на границе), так и с диофантовой геометрией (для некоторых алгебраических поверхностей в вопросе о количестве целых точек оказывается существенным общее геометрическое свойство выпуклости).

В размерности 2 этот вопрос был впервые поставлен в работе Ярника [1], в которой получена оценка вида С • на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник периметра I. Ярником также была вычислена асимптотически точная константа С = 3(27г)1'/3. В 1963 году Эндрюс [13] обобщил результат Ярника на случай большей размерности, доказав, что объем V выпуклого многогранника в M.d с N целыми вершинами не меньше чем C(d) • iV^r. При d=2 получаем оценку С • 51/3 на количество целых точек на плоскости, образующих выпуклый многоугольник площади S. Из изопериметрического неравенства видно, что эта оценка сильнее, чем С • 12//3.

Пусть 7 — фиксированная ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости, Г — ограниченная строго выпуклая поверхность в Rd. Положим кп(7) := #(7 П ±Z2), кп{Г) := #(Г П ±Zd). Приведенные результаты Ярника и Эндрюса можно переформулировать следующим образом:

Ш < С ■ /^(7) • п2'\ кп(Г) < Cd ■ УЩт). здесь за /(7) обозначена длина кривой /, за V(r) — объем выпуклой оболочки поверхности Г). Оценкам на величину кп при различных ограничениях на Г посвящен ряд работ.

Свиннертон-Дайер [3] доказал, что для кривой 7, являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции с всюду ненулевой второй производной, при любом £ > 0 выполняется оценка kn{i) -n3/5+£. Шмидт [12] доказал ту же оценку для кривой у — f{x), х £ [0,1], являющейся графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции / такой, что f" существует, нестрого монотонна и обращается в 0 не более чем в одной точке.

Им же была высказана (не доказанная и не опровергнутая до сих пор) гипотеза о том, что показатель 3/5 можно уменьшить до 1/2 (как показывает пример функции г/ = £2, меньший чем 1/2 показатель невозможен). Им также получены оценки на количество целых точек на алгебраических и аналитических поверхностях.

Бомбьери и Пила [4] доказали, что если /6 (7^(0,1], |/'| < 1 и ф 0 на [0,1], то для любого е > 0 для кривой 7, являющейся графиком функции / , выполняется оценка где £j) —»0 при D —> оо. Для трансцендентной аналитической кривой 7 в [4] установлена оценка кп(7) ^ с(е) • п£ для любого е > 0. Пила [11] получил аналогичный результат для трансцендентной части полуаналитических поверхностей. В работе Грекоса [5] доказано, что fcra(7)^maX(2,2/(7)r-1/3-n2/3), где г есть минимальный радиус кривизны кривой 7. Отметим, что эта оценка (с другой константой вместо 2) слабее чем с • (S(7))1/3. В связи с оценкой

Ярника fcn(7) = 0(n2/3) возникает естественный вопрос: а существует ли универсальная кривая 7, для которой неравенство кп(7) ^ сп2/3 выполняется для бесконечного количества натуральных iV7 Этот вопрос сформулирован А. М. Вер-шиком, но впервые появляется в литературе, видимо, в работе Планя [2], в которой автор указывает, что был введен в проблематику Ж-М. Дезуйе (J.-M. Deshouillers) и Дж. Грекосом.

Плань [2] доказал, что для некоторой экспоненциально убывающей к нулю последовательности ап для сколь угодно быстро растущей последовательности натуральных чисел qn существует кривая 7, для которой кдп (7) ^ ап ■ . Мы покажем, что в качестве последовательности ап можно взять последовательность членов любого (положительного) сходящегося ряда (§9).

В работах Вершика и Барани [6, 7] обсуждаются вопросы о предельных формах многоугольников с вершинами на мелкой сетке. Ответы на эти вопросы выявляют связь с аффинной геометрией. А именно, пусть /а(7) обозначает аффинную длину кривой 7 (интеграл по натуральному параметру от кубического корня из кривизны). Оказывается, что количество многоугольников с вершинами в узлах сетки Ln, лежащих в малой окрестности данной кривой 7, растет как ес1а^'п2/3, а количество вершин этих многоугольников — как с-1а(у)'П2//3 (замечательно, что это верно как для максимально возможного количества вершин, так и для количества вершин типичного многоугольника, различаются только константы). Многоугольники с вершинами в узлах сетки ЬП) содержащиеся в данном выпуклом многоугольнике, концентрируются около замкнутой выпуклой кривой, которая имеет максимально возможную аффинную длину [7]. Эта кривая составлена из кусков парабол, вписанных в углы многоугольника. Поэтому количество узлов сетки на такой кривой не превосходит CN1/2. Таким образом, типичная кривая не является универсальной. В главе 2 доказывается, что универсальной кривой Ярника не существует — это основной результат работы.

В двумерном случае ключевым моментом, позволяющим вычислить точные асимптотики и предельные формы целочисленных многоугольников является соответствие между выпуклыми многоугольниками и векторными разбиениями: каждый выпуклый многоугольник однозначно задается набором векторов своих сторон. К сожалению, подобной параметризации нет (или пока не найдено) в случае большей размерности. Для многогранников, являющихся суммами отрезков (зонотопов) соответствующая параметризация (набором этих отрезков) имеется, и соответствующие результаты получены [17]. Отметим, что соображения теории разбиений позволили также [19] доказать верхнюю оценку ехр(С^ • п <*+i>) на количество различных целочисленных многогранников диаметра не больше п (нижняя оценка с другой константой почти очевидна).

В главе 1 развивается связь целочисленных многогранников с аффинной геометрией в произвольной размерности. Там же дается (окончательный начиная с размерности 5) ответ на вопрос, заданный автору С. В. Конягиным, о поведении кп(7), А;П(Г) не при сколь угодно больших значениях п, а при всех достаточно больших п. Доказывается, что liminf kn(y) / logn < оо при d=2 и lim inf kn(j)/nd~2 < оо при d > 3. Последняя оценка точна для сферы при d ^ 5.

Таким образом, тематика диссертации актуальна.

Цель работы состоит в исследовании возможного поведения количества точек мелкой сетки на строго выпуклых кривых и поверхностях.

Основные результаты работы.

Обозначим через Ln множество узлов решетки Положим £n = U^=1Lm. Для произвольного множества Л CRd через кп(А) обозначим количество элементов множества А П Ln, а через Кп{А) - количество элементов множества АГ\Сп.

Зафиксируем на плоскости ограниченную строго выпуклую кривую 7. В пространстве Kri зафиксируем ограниченное строго выпуклое тело Ф с границей дФ.

- Доказано, что kn(j) = о(п2/3)

- Доказано, что для любого положительного сходящегося ряда найдется сколь угодно быстро растущая последовательность натуральных чисел и ограниченная строго выпуклая поверхность Г С Rd такие, что кЯп(Г) ^ ап •

- Доказано, что если аффинная площадь поверхности ав(Ф) d(d-1) тела Ф положительна, то кп(дФ) ^ C(d) • as(Ф) • п при достаточно больших п > п0(Ф). Для строго выпуклых тел с нулевой афd{d-1) финной площадью поверхности кп(дФ) = о(п ,J+1 ).

- Доказано, что если ав(Ф) > 0, то Кп(дФ) ^ C(d) • ай(Ф) • nd1 при достаточно больших п>по(Ф). Для строго выпуклых тел с нулевой аффинной площадью поверхности Кп(дФ) =

- Доказано, что liminf кп(дФ)/па~2 <оо при d^ 3 и lim inf fcn(7)/ log n < со.

- Доказано, что для произвольной последовательности векторов сдвигов {хп} найдется такое натуральное п, что kn^ + x^^C-ihgn)1^-^.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы для дальнейшего исследования проблематики возможного количества целых точек на кривых и поверхностях и других асимптотических задачах геометрии чисел.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ПОМ И РАН по теории представлений и динамическим системам, на семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ по ортогональным рядам, на международной конференции "Эйлер и современная комбинаторика" (Санкт-Петербург, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы

21] и [22].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 9 параграфов (нумерация параграфов сквозная), изложена на 68 стр. Список литературы включает 22 названия.

1. Jarnik V. Uber die Gitterpunkte auf konvexen Kurven. Math. Z., 24, 500-518 (1926).

2. Plagne A. A uniform version of Jarmk's theorem. Acta Arith., 57, No. 3, 255-267 (1999).

3. Swinnerton-Dyer H. P. F. The number of lattice points on a convex curve. J. Number Theory, 6, 128-135 (1974).

4. Bombieri E., Pila J. The number of integral points on arcs and ovals. Duke Math. J., 59, 337-357 (1989).

5. Grekos G. Sur le nombre de points entiers d'une courbe convexe Bull. Sci. Math. (2), 112, 235-254 (1988).

6. Вершик A. M. Предельная форма выпуклых многоугольников. Функц. анализ и его прил., 28, 13-20 (1994).

7. Barany I. The limit shape of convex lattice polygons. Discrete Comput. Geom., 13, 279-295 (1995).

8. Фаеар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. ИЛ, М., 1961.

9. Eskin A., McMullen С. Mixing, counting and equidistribution in Lie groups. Duke Math. J., 71, 181-209 (1993).

10. Хинчин А. Я. Цепные дроби. Физматгиз, M., 1961.

11. Pila J. Rational points on a subanalytic surface. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55, no. 5, 1501-1516. (2005)

12. Schmidt W. M. Integer points on curves and surfaces. Monatsh. Math., 99, no. 1, 45-72 (1985).

13. Andrews G. E. A lower bound for the volume of strictly convex bodies with many boundary lattice points. Trans. Amer. Math. Soc. 270-279 (1963).

14. Werner E. A general geometric construction for affine surface area. Studia Math., 132, no. 3, 227-238 (1999).

15. Gruber P. M. Baire categories in convexity. Handbook of convex geometry, Vol. A, B, 1327-1346, North-Holland, Amsterdam (1993).

16. Barany I. The technique of M-regions and cap coverings: a survey. Ill International Conference in "Stochastic Geometry, Convex Bodies and Empirical Measures Part II (2000).

17. Davydov Yu., Vershik A. M. Rearrangements convexes des marches aleatoires. Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 34, no. 1, 73-95 (1998).

18. Мороз Б.З. Распределение целых точек на многомерных гиперболоидах и конусах. Зап. Научн. Сем. ЛОМИ, 1, 84-113 (1966).

19. Barany I., Vershik А. М. On the number of convex lattice polytopes. Geom. Funct. Anal., 2, no. 4, 381-393 (1992).

20. Barany I., barman D. G. The convex hull of the integer points in a large ball, Math. Annalen, 312, 167-181 (1998).Публикации автора по теме диссертации

21. Петров Ф. В. О количестве рациональных точек на строго выпуклой кривой. Функц. анал. прил., 40, вып. 1, 30-42 (2006).

22. Петров Ф. В. Оценки количества рациональных точек на выпуклых кривых и поверхностях. Зап. Научн. Сем. ПОМИ. 344, 174-189 (2007).