Оценки моментов симметрических статистик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

^ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ В. И. РОМАНОВСКОГО

ИБРАГИМ09 Рустам Мгратозич ОЦЕНКИ МОМЕНТОВ СИММЕТРИЧЕСКИХ СТАТИСТИК

01.01 .С5 - Теория вероятостей и математическая статистика

АВ ГОРЕ ФЕР А Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Со

На правах рукописи УДК 519.21

Ташкент - 19Г7

Работа выполнена в Ташкентском Государственном Университете имени Мирэо /нугбека.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Ш. Шарахметов.

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Фармонов Ш. К., эндидат физико-математических наук, доцент Юлдашев И.

Ведущая организация: Институт Математики АН Украины.

Защита диссертации состоите" « 997 года в « й» час. на

заседании Объединенного О анализированного Совета Д.015.17.01 в Институте Математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 7000143, Ташкент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Ма". ематики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « » 1997 года

Ученый секретарь / г

(.специализированного Совета ]/ /Л

доктор физ.-мат. науг проф. ('(Ду • ' Ш. А. Хашмми.

АКТУАПЬНОСТЬ ТЕМЫ: Вс многих задачах теории вероятностей математической статистики, эконометрики и биометрика например, при измерена неравенства дохода в экономике и разнообразия видов в биологии возну е: необходимость в верхних и нижних оценках одинакового порядка для моментоь симметрических статистик. В случае линейных статистик (сумм независимых случайных величин) общий вид таких оценок был найден в работах А. Хинчина (А. Khintc'iine, 1923), Дж. Марцинкевича, А. Зигмунда (J. Marcinkiewicz, А. Zygmund, 1937», и X* П. Розенталя (Н. Р. Rosßnthsii, 1^70). Однако до настоящего времени значения точных констант в неравенствах, доказанных этими авторами, были известны лишь для неравенства Хинчина (см. U. Haagerup, 1982). Существует ряд работ, в той или иной мь^е касающихся уточнений пс; ядка роста верхних коне гант в неравенствах Розенталя для независимых симметрично распределенных и неотрицательных случайных величин (см., например, В. В. Сазонов, 1974, И. Ф. Пинелис, 1980, С. В. Нагаев, И. Ф. Пинелис, 1977). Точный порядок роста герхних констант в этих неравенствах был найден в работе В. Б. Джонсона, Г. Шехтмана, Дж. Зинна (W. В. Johnson, G. Schechtman, J. Zinn, 1985). Проблема определение точных констант ! неравенствах Розенталя т :сно связана с задачами вычисления экстремумов выпуклых функционалов на классе сумм независимых случайных величин, которые восходят к работе Ю. В. Прохорова, 1962. Эти задачи исследовались в работах И. Ф. Пине лиса, С. А. Утева, 1984 и С. А. Утева, 1985. Относительно двусторонних оценок одинакового порядка для нелинейного случая известны лишь работы Ш. Шарахметова, 1995-1996, в которых впервые быт доказаны аналоги неравенств Хинчина, Марцинкевича-Зигмунда и Розента. л для частного случая нелинейных статистик, а именно, для симметрических статистик второго порядка от независимых одинаково распределенных случайных величин.

В первой главе настоящей диссертации найдены явные выражения для точных констант в неравенствах Розенталя для независимых симметрично распределенных и неотрицательных случайных величин и решен ряд экстремальных задач в моментных неравенствах для сумм независимых случайных величин. Формулировка этих задач восходит к уже упоминавшимся работам Ю. В. Прохорова, И. Ф. Пинелиса, С. А. Утева, работам А. Маршалла, И Олкина, 1983, В. Геффдинга (\V. Hoeffding, 1956), С.-Г. Эссеена (С G. Esseen,'1975) и д . Вторая глава посвящена доказательству аналогов моментных неравенств Хинчина, Марцинкевича-Зигмунда и Розента-я для нелинейных симметрических статистик общего вида. В ¿той главе вышеупомянутые результаты Ш. Шарахметова обобщены в нескольких важных направлениях: вместо статистик второго порядка рассматриваются статистики произвольного порядка, опускается условие одинаковой распрег Dпенности исходных случайных ве 1ичин, исследуется случай, когда ядро симметрической статистики зависит от индексов суммирования. Более того, в г лаве 2 доказаны аналоги неравенств i зентапя, Хи, им и Марцинке1.1ча-3игму,.да для юговыборочных симметричь ких статистик с ядром, зависящим от индексов суммирования, от различно распределенных в каждой выборке случайных величин, что практически охватывпт все известные обобщения симметрических статистик. Отметим т-кже, что помимо аналогов неравенства Розенталя для симк трично распределена ч случайных вег. чин, в главе 2 получен

также аналог этого неравенства для неотрицательного случая. Глава 3 посвящена исследованию функций, не сохраняющих отношение мажорирования. Результаты этой главы применимы при исследовании некоторых так называемых «необоснованных» мер неравенства дохода, то есть мер, не удовлетворяющих обычно предполагаемому условию выпуклости по Шуру.

Основные цели работы - нахождение точных констант в неравенствах Розенталя "пя сумм независимых симметрично распределенных и неотрицательных случайных величин (линейных симметрических статистик), решение ряда экстремальных задач в моментных неравенствах для сумм независимых случайных величин, показате.пьстео аналогов моментнь" неравенств Хинчина, Марцинкевича-Зигмунда и Розенталя для нелинейных симметрических статистик, обобщен, « ряда результатов теории мажоризации на случай функций, не сохраняющих отношение мажорирования.

Метоьлка исслепования. В работе используются методы и результаты линейного и выпуклого функционального анализа, в частности, экстремальной теории линейных и выпуклых функционалов от вероятностных мер, мартингальный метод, методы теории мажоризации.

Научна 1 новизна. В первой глаье настоящей диссертации найдены явные выражения для точных констант в неравенствах Розенталя для независимых симметрично распределенных и неотрицательны) случайных вег.ичин, решен ряд экстремальных задач в моментных неравенствах для сумм независимых случайных величин и доказаны некоторое уточнения неравенств Розенталя. Во второй главе получены аналоги моментных неравенств Хинчина, Марцинкев ича-Зигмунда и Розенталя для нелинейных симметрических статистик. В третьей главе получена характеризация широкого класса функций, которые не сохраняют отношение мажорирования, но имеют экстремумы в тех же' точках, что и выпуклые по Шуру (сохраняющие отношение мажорирования) функции.

тео^атическая и практическая значимость. Резут аты диссертации могут найти применение при исследовании ряда проблем теории вероятностей и математической статистики, например, при иг учении предельного поведения линейных и нелинейных статистик, функционалов от оценок Пар^на-Розенблатта для плотности вероятности, а также в многомерном стохастическом интегрировании, гармоническом анализе, теории операторов, квантовой механики, в теории измерения неравенства дохода и разнообразия видов и др.

Апробация. Результаты, полученные в настоящей диссертации, [докладывались на научной конференции молодых иатематик' и физиков, посвященной 75-летию ТашГУ, IV Ферганском Международном Коллоквиуме по теории вероятностей и математической статистике, научной конференции Института Математики АН Республики Узбекистан, посвященной памяти В. И. Романовского, 2-й научной конференции молодых ученых ТашГУ, посвященной 660-летию Амира Темура, научной

конференции "Основы теории и практики перехода к рыночной экономике" ТашГЭУ, на егммнаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ, на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте Математики АН РУз.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора

11-6].

Структура и объем диссертации. Рьбота состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем работа 127 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

■ Глазная цель главы 1 настоящей диссертации - найти явные выражения для констант в моментных неравенствах Розенталя для независимых симметрично распределенных и неотрицательных случайных величин (с.в.) и доказать новые уточнения этих неравенств.

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство с нормой J • J . Всюду в дальнейшем выражение Jfj, для случайной величины (с.в,) f , принимающей значения в Н и для 0<г< о» бунет обозначать IE |f|7'* .

Для с.в. f,с конечным f-м моментом, 0<s<t< ос .положим

/-t

" . .* " . . ' 1/1 M(s.t.n,V=max(rZ \f,\t) , ) .

X. П. Розенталем (H. P. Rosenthal, 1970) доказаны следующие неравенства:

Mtl.t.n.Q «5 JSJ, A(t)M(1,t,n,£) (1)

для bc-x независимых неотрицательных вещес-веннозначных с.в. f,,...,{"„ с конечным f-м моментом, 1 < t< <*> ;

M(2,t,n,V <. |S„J, й B(t}M(2.t,n,V (2)

для всех независимых симметрично распределенных с.в. f ...,f„ с конечным f-м моментом, 2<t< » .

В. Б. Джонсоном, Г. Шехтманом и Дж. Зинном (W. В. Johnson, G. Schech.man, J. Zin,., 1985) было показано, что точные константы А*Ш и В*it) в неравенствах Розенталя (1) и (2) имеют порядок ,юста t/ln t при t >.

Основньн л ре*ультатами главы 1 являются следующие теоремы 1.12 115 доказанные в параграфе 1.5.

Теоремами 1.12и 1.1L даются явные выражения для констант А*Ш, B'ftl.

Теорема 1.12. Точная константа в неравенстве (1) имеет вид

А*М=2,Л. 1<t<2,

А*Ш=\6\,, Г>2, где в. - пуассоновскаяс.в. с параметром 1 .

Теорема 1.1 J. Точная константа в неравенстве (2) имеет вид

В'Ш = <1 +2,/2ГШ+и/2Ш'/31'л, 2<t<4.

B'(tJ [в,-в2[,. t*4.

«D

где Г(а)= | x° 'e'dx, в,, в2 - независимые пуассоновские с.в. с параметром 0,5.

о

Следствие 1.2. Um А 41)In t/t = Um B*(t)ln t/t = 1/e .

f-rOn -

В главе 1 показано, что утверждения теоремы 1.12 в случае любого fb 1 , и теоремы 1.13 в случае t2z3 остаются в »иле, если рассматриваемые с.в. принимают значения в произвольном гильбертовом пространстве Н .

Величины (А*(т)Г • (В*итЦ}"', m&N , имеют простой комбинаторный смысл: (А *(т)Г •=Р„, где Рт - число различных разбиений множества, состоящего из т элементов (т-е число Белла); (B*f2m))2m=Q}r„ , где Qlm - число разбиений мно). ства, состоящего v.i 2т элементов, на части, мощности которых суть четные числа.

Теоремы 1.14 и 1.15 содержат уточнения неравенств Розен!аля (1) и (2).

тео^ема 1.14. Пусть {,,■ .,(„ - независимые с.в. с ..онечным /-м моментом, 7<f<oo , принимающие значения в произвольном сепарабепьном -ильбертовом пространстве Н . Точные константы во всех .иоментных неравенствах

|S„|r й A,(t) M(s,t,n.{). (3)

где Kt<2, 0<s£t-1 или .'2:2, 0<s<J , имеют вид A,*(t)= \ J, (с -пуассоновская с.в. J параметром 1 ).

Теорема 1.15. Пусть {,,...,(„ - независимые симметрично распределенные с.в. с коневым i-м моменте,и, < са , принимающие знаи°ния в произвольном

сепараОельном гильбертовом пространстве Н. Точные кокет анты во всех моментных неравенствах

|Sj iS B.fl) Mfr.t.r.fj, (4)

где 3&г<4, 0<з£Г-2 или /Й4, 0<э<:2 , имеют вид В,*Ш= \0, - (0,, 02 -независимые пуассоновские с.в. с параметром 0,5 ).

Следует отметить, что неравенства Розенталя ¡¡5„||, £ А*Ш МИ,1,п,{) и £ В'!^ М12,Ьп,1) являются наилучшими среди всех неравенств (3) и (4) в случаях Г>2 и Г>4 соответственно. Однако, как показано в конце главы 1, неравенства (3) и (4) могут быть г.учат, чем неравенства Розенталя в случаях КК2 в теореме 1.14 и ЗйГ<4 в теореме 1.15.

Доказательство основных теорем 1.12-1.15 в значительной мере опирается на результаты параграфов 1.2-1.4, которые представляют и самостоятельный интерес.

Параграф 1.2 лосвпщен изучению экстремальных свойств сумм независимых случайных величин с фиксированной суммой «хвостов» распределений. Результаты этого параграфа обобщают и уточняют результаты работ Ю. В. Прохорова, 1962, И. Ф. Пинелиса, С. А. Утеоа, 1984, С. А. Утева, 1985.

В параграфе 1.3 приведены условия вогнутости по Шуру некоторых функционалов, заданных на суммах независимых дискретных с. в.

Параграф 1.4 посвящен вычислений экстремумов функционалов, заданных на суммах независимых симметрично распределенных и неотрицательных случайных величин, принимающих значения в сепарабельном гильбертовом пространстве Н.

Пусть £■„...,£, - независимые с.в. с конечным Г-м моментом, принимающие значения в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с нормой 5 • Ц , 0<5</<оо. Зафиксируем величины ¿>,5:0, а' й Ь,, /'= 1,...п , А, Ь,,

М > О . Положим

Л1,(п.з,1,э,Ь.Н) = {а.п):ЕШ' = а', £|£Г-6„ '= >....."} -

М21п,5,Х,а,Ь,Н) = 1({,п):Е\Ъ\'^а1 /= /.....п),

л л

/- I /.г

и2[5,1,А,0,Н) = ((£п): &Е\фшё.О„ УЕЩ'^А} ,

(Ля, 1,М,Н) = (<Ц,г>1: пп 1, тэхЦУЕ\!\Т, ¿ЕЩЧ^М}.

,-Г /-1

Через и^Л.А.О^.Н) и и4(5,!,А,0,,Н) обозначим подмножества О ,{$,1.А,йг,Н1 и ¿(я, 1,А,й,) соответственно, состоящие из одинаково распределенных с.в. Пусть М,11г>,5,Ъа,Ь,Н), 1=1,2, иь(зХА,Ог.Н). ¡=1,2,3,4, и,($ХМ,Н) -подмножества М,(п,М,а,Ь,Н) . ¡=1,2, и,Ш.А.О,,Н> , ¡=1,2,3,4 , и<5,1,М,Н) соответственно, состоящие из неотрицательных с.в., М2/1п,5,Ьа,1),Н1 , /'= 1,2 , 11^,(3,(,А,П^ ,Щ , /'= 1,2,3,4 , и/я, - их подмножества, состоящие из симметрично

распределенных с.в. Пусть в(АМ,) - пуассоновская с.в. с параметром (О^'/А)*'"1,

e,(A,Ds) , в2(А,ОгI - независимые пуассоновские с.в. с параметром 'AtD/ZA)*"'", U,(a,,b,,s,t),...,UJan,bn,s,1) - независимые с.в. с распределением

Рта.b,s,t)-0) = 1-(а'/ЬГ1"1, Рта,Ь,s,tl = (bW)") = lo'/Ы""" ,

V,(a„b,,s,t)....,VJan,bn,s,t) - независимые с.в. с распределением

PtV(a,b,s,t) = 0/ = J - (а'/ЬГ"" ,

PfVfa,b,s,t) = lb/a'iш'') = P(V(a,b,s,t)=-(b/a')'""') = 'Л(а'/ЬГ"" . Обозначим

F,(a,b,n,s,t)=E(£ Ujai,b,,s,tl)'.

G,(a,b,n,t) = t (bj-a,1) + /¿а/ ,

F2(a,b,n,s,t) = E\ Z V,(a„b,,s,t) \ /- t

G2<a,b,n.t)=t(b,-a,'J + E\ ¿a,f,|'.

i- J i-l

Положим Л)„ = n0(A,DJ = min ( n£N: An1' ') .

Доказательство основных результатов главы 1 диссертации существенно использует следующие теоремы 1.9 и 1.10, которые являются обобщениями результатов работ О. В. Прохорова, 1962, И. Ф. Пинелиса, С. А. Утева, 1984, С. А. Утева, 1985.

Теорема 1.9. Если 1<t<2, 0<s£t-1 или fS2, 0<s< 1 , то

sup ЕЗп' = F,(a,b,n,s,t), к =7,2, 15)

l{,nlBM,„ln,s,t,a,l>, К)

sup ESn' = (A/D;)"""E0'(A,D1), к =1,2,3,4

(6)

t(,n)eUJS,t,A,D,R)

inf ESn' = G,(a,b,n,t) .

K,nieMnin.s,i,a,b,u

(7)

inf ESn' = A + D,'(n0'Vs-n0' .

18)

({,n)(EU,Js,t.A,D,K

Если 1 <t<2, 1<s<t или t>2, t-1<s<t, то

sup ES„' = G,(a,b,n,t), к =1,2, (9)

if,nl€M,Jn,s, t,a,b, El

inf ESn' = F,ta,b,n,s,t>, 110)

((,n)SM„tn.s,t.a.b,K

"о

inf ES„' = E ( l V, ID, n„ '* ,An0',s,t) )' . 111)

<{,n)eU,,ls,t.A.D„ 1С

Если 1 <t<2 , s= / , то

sup ESn' = A+D,', к - 1,2,3,4 . <12i

i(.meu„n,t,A.D„m

Если t> 1, s= 1 , то

mf £S„' = max (A, D,') . (13)

((.n)e.U,,(1,t,A,D„W

Соотношения (7), (8), (13) для ?>2 , s= 1 являются следствиями леммы 9.3 в работе Утева, 1985, и ее доказательства.

Следующая теорема обобщает теорему 5 вышеупомянутой работы.

Теорема 1.10. Если 2<t<4, 0<s^t-2 или /2:4, 0<s<.2 , то

sup E\S„\'= F2(a,b,n,s,t!, k=1,2, (14)

({.nieM2,(n,s.t,a,b,Ri

Если 3<,t<4, 0<s£t-2 или ti-4, 0<sz2 . то

sup E\Sn |' = (A/D;)v<b"E\e,(A,D,)-e2<A.DJ k= 1,2.3,4, (I b)

tf,ni€Uu(s,t.A,D„K

inf £|S„|' G3(a,b,n,t). (16)

t[,n)EM2,ln.s.t,a,b,KI

Если 2<t<4 , 2£s<t или Г&4 , t-2^s<t, то

sup E\Sn |' = G2(a,b,n,s,t) , k = 1,2, (1V)

if, n) € M±t(n,c, t,a,b, К

Если 3<t<4, 2<,s<t или t>4 , t-2^s<t , то

inf £|S„|' - FJa,b,n,s,I) . <181

(l,nlEMlt(ii,s,t,3,b. HI

inf £ | S„ |' = E j £ V,(D,n0'", An0',s,t) | П9)

Если 2<t<4 , s = 2 , TO

sup r.S„' - A + (2ТШ + Л/2)/п1/31Юг', k= J,2,3,4 . (20)

Если гг:4 , s~2 , то

:nf Ej S„|' = A + (n0**E| rc,| '-no' ^IDj . (21)

{(,nieu/:j2,t,A,o,.iV

Полагай Ar=7, n = 2, t = 3, s=1 в (16) и *=7, n = 2, t-3, s=2 с (17), получаем, что для всех независимых с.в. X и У с ояияакоаым симметричным распределением и конечным третьим моментом спргведл'лзы следующие неравенства, константы в которых оптимальны:

2Е\Х\3 + 2(Е\Х\)3 И £|X+/|J <! 2Е\Х\3 + 2!ЕХг)3/2 . <22)

2Е\Х\3 + 2'Е\Х\)3 <, £|Х-У|3 <; 2Е\Х\3 + 2(EX1f} . <23)

Неравенстве (22) и правое неравенство (23) были доказаны С.-Г. Зссееном (C.-G. Esscen, 1975) при более слабом условии ЕХ = 0. Интересно отметить, что в отличие от левого неравенства (22) точная нижняя граница для £]Х+К|3 при условии ЕХ=0 имеет иид 2Е\Х\Л + t,5(£\X\f3 ■ Теорема 1.10 дополняет также результаты Д. Дж. Дойли (D. J. Daley, 1977).

Нетрудно показать, что соотношения (5), (6), (9), (12) при f S 1 -и соотношения (14), (15), (17), (20) при t^3 остаются справедливыми и в случае, коша рассматриваемые с. в. принимают значения в произвольном гильбертовом пространстве Н.

Перейдем теперь к изложению основных резупьтатов главы 2 дисссртациш.. Как отмечалось выше, в работах Ш. Шарахметова, 1995-1996, впервые йьвад получены аналоги неравенств Розенталя, Хинчина и Марцинкевича-Зипмукда да» симметрических статистик второго, порядка от независимых «щим&жшэ распределенных с.в., то есть статистик вида

Т„ = I Yt/,IXi„XiJ .

Главная цель главы 2 - доказать аналоги неравенств Роэеихатда, Жимчмкв «ч

Марцинкевича-Зигмунда для симметрических статистик произвольного порядка (>т предположения сб одинаковой распределенности с.в. Х,,...,Хп , симметрических статистик, ядро которых зависит от индексов суммирования, а также для мнсговы6ороиных статистик. Такие обобщения требуют привлечения ряда новых идей, отличных от тех, которые использовались в вышеупомянутых работах Ш. Шарахметова. Наиболее общие результаты этой главы содержатся о параграфах 2.1 и 2.5. Параграф 2.4 содержит аналоги неразснствРоэенталя, Хинчина и Марцинкевича-Зиг^унда для симметрических статистик произвольного порядка с переменным ядром от независимых различно распределенных случайных величин.

Пусть Х,,...,Хп - независимые, «з обязательно одинаково распределенные с.в., принимающие знгчгния в некотором измеримом пространств;: (if, А), 1 <, т < п, t^i .

Пусть F(;,mj - класс функций Yi....., 7 <.it<n , , r^s ,

k,r,s= 1 ,...,m, уловпетеоряющих успселям

E\ Yi,.....LfXi,.....X,J\'<°° ,

Yi,.....iJXi......XiJ = Yi.,(Xi„„..,.Xi.,J Saj,.t

для всех 1 <*i,<i2<... <ln<,r> и всех перестановок г мкожастня (1,2,.,.,т} .

Через Gft,m) будем обозначать подмножество Fit.mi , оэсгюяцее из функций У , для которых

E<Yi„...,iJXi„...,XiJ/Xi.„,...,Xi^J = 0 (п.н.)

для всех 7 </,</><... <im<,n и всех перестановок п множества {1,2,...,т/ .

Пусть G'!t,m) - подмножество G(t,m), состоящее из функций Y, для которых

с.в. Yi,.....iJXi„...,XiJ условно симметрично распределены на ст-алгебре

o(XiM,,....Xir,„J для всех 1 <i,<i2<...<im^n и всех перестановок гт множества {1,2,...,т) (говорят, что с.в. X условно симметрично распределена на сг-апгебре если для любого aSO PfX>a/JH = Р(Х<-a/&J) . Для Y€F(t,rn) положим

Т„.т = I Yi,.....iJXi„Xt,...,XiJ .

l£i,<...<imZn

Для 1 </,</г<... <im£n будем писать Y(i,.....ij = Yi,...../„(Xi,.....XiJ .

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.7. Если Yi,...../„,: if'-*R, 1<,it-£,n. /', ^',, r-As , k,r,s= 1,...,m,

- неотрицательные функции, принадлежащие классу Fit,ml , t> 1, то

max max £ ' E ( £ EfYfi,.....¡J/X^.....\Ч'^

< ЬТ <

* n.m —

<Blt,ml max max £ E( £ EiY(i„...,iJ/

k"0m (s/,<...</;sm 1<,i),<... <ijt<n /,: Sfij„...Jt, .....(24>

Теорема 2.8. Если V7,.....i , r^s, k,r,s= 1,...,m,

функции, принадлежащие классу G(t,m) , tl:2, то

A(t,m) max max £ E ( £ ...../J/J^ .....\ 11* <

*.o.m <y(¿m / <,¡¡,<...<¡¡,<.11 /,: s*j„...,jk,

Й £|raJ« £

< B{t,m) max max £ E ( £ ElY'd,...../J/

/£„<...<i,sm 1 <.¡¡,<...<¡¡,^11 ¡,: S?ii....,jt, \.....• <25>

Теорема 2.9. Если У/,.....i„: , 1 , , r*s, k,r,s= 1,...,rn,

■ функции, принадлежащие классу G(t,m), /fe / , то

£ ( £ у3Ch.....и f2 ^ £\ тп,тI •

1ni,<...<i„£n

при t^2,

¿KJ' £ Blt,m) El £ Vfl,...../J Л*

при f >/. Если функции V7.....1 ¿¡„¿п, r*s, k,r,s= 1,...,m,

функции, принадлежащие классу G'(l,ml , f>0 , то

X .....U^sflr^l'

/£/,<... <l,„Sn

E j 7"„ m |' 'Ж m) Ei l Y*(i,.....ij Г

при t>0, причем ß(t,rn)=1 для 0< f ä ? .

Теоремы 2.7-2.9 для симметрических статистик произвольного порядка о г независимых одинаково распределенных с.в. и симметрических статистик второго порядка с ядром, ззвисящим от индексов суммирования, от независимых различно распределенных с.в. содержатся в параграфах 2.2 и 2.3. В параграфе 2.2 приведен также пример, показывающий, что, вообще говоря, каждый член в выражении, участвующем в аналоге неравенства Розенталя для симметрических статистик, является существенным.

Как следствие теорем 2.7-2.9, в параграфе 2.4 получены аналоги неравенств Хинчииа, Марцинкезича-Зигмунда и Розеитапя для полилинейных форм.

Параграф 2.5 содержит аналоги неравенств Розеитапя и Марцимкэвича-Зигмунда для многовыборочных статистик, что практически охватывает все известные обобщения симметрических статистик.

В параграфе 2.6 доказан ряд моментных неравенств для ¿/-статистик, являющихся следствиями полученных в предыдущих параграфах результатов для симметрических статистик. Здесь же приведены примеры, в которых эти неравенства применяются для оценивания моментов конкретных ¿/-статистик.

Параграф 2.7 посвящен изучению порядка роста точных констант в доказанных моментных неравенств для симметрических статистик. Здесь построены примеры, показывающие, что точные верхние константы в аналогах неравенств (24), (25) для норм (то есть оценках, которые получаются возведением этих неравенств в степень 1/1) растут не медленнее, чем (t/In tjm при Г-»оо.

Глава 3 настоящей диссертации посвящена исследованию функций, не сохраняющих отношение мажорирования. Хотя эта глава непосредственно не связана с симметрическими статистиками, она включена в диссертацию, поскольку, на наш взгляд, параграфы 3.1-3.3 хорошо дополняют параграф 1.3, который также связан с теорией мажоризации, и могут быть использованы при обобщени i результатов, содержащихся в нем. Кроме того, результаты этой главы применимы при исследовании некоторых так называемых «необоснованных» мер неравенства дохода, то есть мер, не удовлетворяющих обычно предполагаемому условию выпуклости по Шуру.

Многие математические неравенства можно представить в виде

<p(s/n,s/n,...,s/n) < ф!у,,у2.....yj < <t>ls,0,...,0), (26)

где s=E". ,у, , <p:A->R -некоторая функция, А ЯП?. Мощным инструментом для доказательства неравенств подобного типа является теория мажоризации, подробно итоженная в книге А. Маршалла и И. Олкина, 1983.

Извсстно, st о

(s/n,s/n,...,s/n! 1 (у „уr—.yj -f (s,0,...,0) (271

где -t - отношение мажорирования, у,г:О, /'= 1,...,п , = s .

В работе А. Маршалла и И. Олкина приведен" необходимые и достаточные условия, при которых функция ф сохраняет упорядочение мажорирования иа А , то есть (х<у) « 1ф1х)£ф(у)) для исех х,уСА . Из (27) следует, что.при этих условиях, справедливы неравенства (26), если только (s/n,s/n,...,s/n), is,0,...,0) 6Е А .

Существует, однако, ряд функций ф , не сохраняющих упорядочение -с, для которых имеют место неравенства (26). Такова, например, функция

Ф(УиУг'Уз> - 4V? + 4уг3 + 4у33 + 1Су,у2у3 .

Глава 3 содержит некоторые методы доказательства неравенств типа (26) для широкого класса функций, не сохраняющих упорядочение •< , и их приложения. Полученные здесь результаты обобщают результаты вышеупомянутой работы А. Маршалла и И. Олкина.

Пусть s>0, п^2, А„-{хеа\- х,1>0, /'= 7.....п} ,

Ln = {Is,О,...,О), ls/2,s/2,0,...,О).....Is/In-1).....s/In- 1).Ol,ls/n,...,s/n)}, множество

матриц перестановок размера пхп .

Параграф 3.2 содержит достаточные условия того, чтобы экстремальные точки симметрической функции, заданной на симплексе А„ , принадлежали множеству 1„. Результаты этого параграфа позволяют свести задачу нахождения экстремумов широкого класса симме грических функций на Ап, к сравнению значений этих функций в точках .множества L„ .

Теорема 3.1. Пусть- ф:А„-»К - симметрическая функция, удовлетворяющая условию:

max ф(х„их„х3,...,х^ = max 1фЦ,0,ху...,xj,фtt/2,t/2,x^...,xj) (28) x,eio,t!

при всех фиксированных значениях переменных t,x3/...,x„ & О , таких, что '+ • Тогда

max ф(х) = max Ф(х), (29)

*£/)„ x&L,

min ф(х) = min ф(х). (30)

лёд, *1l„

Нетрудно понять, что условие (28) можно переформулировать следующим образом: пусть ( - отрезок, лежащий в Ап, с концами на границе Ап, параллельный

координатмой плоскости Ох,х2. Тогда наибольшее значение ф(х) на t достигается либо в середине f, либо на его конце.

Следствие 3.1. Пусть ф:А„ *Я - симметричес сая функция, такая, что функция ififx,) -ф(х1,1-х„х>.,.,хп1 монотонна по х, на отрезке t/2 x,£t при все* фиксированных значениях переменных Г,хэ,...,х„ Ь О . удовлетворяющих условию ' + £"/-3*/ s • Тогда для ф справедливы соотношения ;29> и (30).

Следствие 3.2. Пусть ф:А„-*R - симметрическая фунмия, непрерывная на А„ и непрерывно дифференцируемая внутри А„ Положим фш(х)=Зф/dxjx! . Если функция

сохраняет знак е области х,Т>х2, х,+х2+ =s при всех фиксированных

значениях х°р...,х°г а О, таких, что £"_.»*"» Ss, то для функции ф справедливы соотношения (29) и (30).

Следствие 3.2 позволяет получить простые доказательств ряда новых алгебраических неравенств. Имеет мес следующее

Следствие 3.3 Пусть . Для неотрицательных х,,*,*^.таких, что V" ,,х, - 7 , и с£R имеют место неравенства

min (1/(n-U\ 1/n}+c/rf) S Е" .V/+4Т/-Л ^ тх (1. t/n*+c/n"l,

min (1/(п-1). t/n + c/rfl £ EVi^+cTTi-»*/ ^ rnax (t.f/п+с/пГ).

Соотношение (27) означает, что векторы (s/n,s/n,...,s/n) и (s,0,...,0) являются соответственно наименьшим и наибольшим эпементами по ' ■юрядочению ч на симплексе A„={xGlT: -S, /= 1,...,п) . Однако, на А„ можно задать

и другие упорядочения з , для которых (s/n,s/n,...,s/n) s * (s,0„. 0}

при всех (у,,y2,...,yJ(zAn. Особый интерес представляют упорядочения, обладающие свойством: (х*у)-* (х-<у) для всех jr,y£/t„, тгк как класс функций, их сохраняющих, шире класса функций, сохраняющих упорядочение -с . В параграфе 3.3 приведено о. .ю такое упорядочение и характеризация функций, его сохраняющих.

Слрепер°ние 3.2. Пуст! г, у 6 Я" . Будем полагать хз'у, если разность у1Я-хш

не возрастает i.j /'-- ?.....п и £*,„,*,•=£"/.,у,- (здесь х ,„>... , -

компоненты векторов х и v , упорядоченные по невозрастанию).

Лу^ь А С 5*' - оимметричноо мйожс тво, тс "¡ть из . тношения xS/l следует, что хРЬ.А ппя рсех . Упорядочение з' на А обладает, очевидно, тем

свойством, что xi'xPi'x дня всех x(zA и PSJ^ . Посему, если функция ф сохраняет упорядочение -i' на симмзтрмчном множестве л1 , то она симметрическая

ка А . Тчким образом, если функция <Ь - симметрическая на симметричном ожестве А и сохраняет упорядочение ^ на множестве , то она

сохраняет упорядочение гг' и на А . Учитывая эте замечание, достаточно ограничится характеоизацией функций, сохраняющих отношение / на О. Пусть (е}"!т, - система единичных с ртов е й".

Теорема 3.2. П>^ть ф:1>-»& - непрерывная на границе 0 функция, удовлетворяющая условиям:

ь(Ъ*,.,1х,+Мп-к))е,+ £ Ф1х), * = 1,п-1,

ф(х, + <,...,х„+Л) й ф(х/

для всех А>0, хЕО такш, что £>,т,(хггЛ(п-к/)ъ+ 6£) . Тогра

у сохр?нкет упорядочениэ ^ на О .

Теорема 3.3. Пусть функция ф непрерывна на О и непрерывно дифференцируема внутри О, фщ1х;—дф/2хк(х) . Функция ф сохраняет упорядочение на О тогда и только тогда, когда

¡п-к)^.,ФтМ ^ * = К....П-1,

Ь О

для в( ох .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Ибрагимов Р. Характеризация дважды сунерстохастических матриц с помощью слабого суперм*жорирования. "Некоторые вопросы анализа алгебры". Ташкент, "Университет", 1994, стр. 32-37.

2. Ибрагимов Р., ШарахметоаШ. О Точной константе в неравенстве Розентапя. "Теория вероятностей и ее применения", 1997, т. 42, вып. 2, стр. 1-11.

3. Ибрь, имов Р. Уточнения констант в моментных неравенствах дпя сумм независимых ( случайных величин. "Тезисы научной конференции молодых математиков и физиков,

посвященной 76-летию ТашГУ", Ташкент, 1995, стр. 149.

4. Ибрагимов Р., Шарахметов Ш. О точной константе в неравенстве Розенталя. * Тезисы IV Ферганского Международного Коллоквиума по теории еероят юстей и чатематической статистике", Ташкент, 19^5, стр. 43-44.

Ь. Шаг хметов Ш., Ибрагимов Р. О константе в неравенстве Розенталя. Сборник научных докладов и трудов научной конференгм "Основы теории и практики перехода к рыночной экомомикв", Ташкест, 1995, стр. 131. '

С. Ибрагимов Р. Об г-независимых стационарных последовательностях. "Тез юы2-й научной конферсчции гълопых ученых ТашГУ, посвященной 660-летию Амира Тимура", Ташкент, 199ь, стр. 72.

СИММЕТРИК СТАТИСТИКА ДАР МСМИЕНТЛАРИ УЧУН БАХОЛАР ЦИС^АЧА МАЗМУНИ

□иссертацияда симметрии та'цсммотли тасодифий мулдорлар учуй Розентгль тенгсизлигида аник константалар топилган. Яхши маълум булган Хинчин, Марцинкееич-Эигмунд ва Роз~италь момек. тенгсизликларнимг умумий куринишдаги симметрик статистикалар учун аналоглар.. исботлакган. Мажоризация муносабатини сакламайдиган функциялар кенг синфнинг характеризацияси тек шири лган. Бундан тг'и^ари борликмас тасодифий микдорлар сумма лари учун 6*гр катор экстр -мал проблемалар ечилган, умумий результатларнииг хусусий куринишдаги статистикалар учун татбицгари олинган.

ESTiMATES FOB THE MOMENTS OF SYMMETRIC STATISTICS

ABSTRACT

The dissertation deals with the investigation of a number of problems of probability L..eory concerning two-sided moment Inequalities for linear and non-linear statistics. In the dissertation the explicit expi assion for the ^est possible constants in the Rosenthal's inequalities for symmetric and non-negative independent random vartebles was obtained. The analogues of the well-known Khintchine, Marcinkiewicz-Zygmund and Rosenthal's moment inequalities for symmetric statistics of general form were pi v,ved. Tlu characterization of the wiue class of functions non-preserving the majorization relation was investigated. A number of the extremal problems for sums of independent random variables was solved and the applications of general results for the statistics of special form were obtained as well.

По.пшсано в печать 25.о1/. 199? г.. фор.'ат 60x84'/.,, оперативная печать, Г,ум. ,а № 1 усл. п. л. 1 уч. изд. л., тираж О , заказ Кг 2.0& Отпечатано и типографии ТашГ'ГУ, Ташкент, Цузгородок, ул. Талабалар, 54.