Оценки операторов дифференцирования и вложения в пространствах де Бранжа и коинвариантных подпространствах оператора сдвига тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение 2

Глава 1. Весовые неравенства Бернштейна для модельных подпространств 14

1.1 Коинвариантные подпространства оператора сдвига 14

1.2 Обобщенное неравенство Бернштейна 18

1.3 Вспомогательные оценки воспроизводящих ядер 20

1.4 Весовое неравенство Бернштейна для случая 0' £ Vх 24

1.5 Неравенство Бернштейна для однокомпонентных внутренних функций 26

1.6 Неравенство Бернштейна для нулей, отделенных от вещественной прямой 28

Глава 2. Дифференцирование в пространствах де Бранжа 32

2.1 Предварительные сведения о пространствах ИР(Е) 32

2.2 Равномерно-симметричное распределение нулей 37

2.3 Достаточное условие ограниченности оператора V 45

2.4 Условия разделенности нулей 49

2.5 Случай интерполяционной последовательности 53

2.6 Оператор дифференцирования и теорема вложения 60

2.7 Компактность оператора дифференцирования 66

Глава 3. Теоремы вложения для модельных подпространств 69

3.1 Теоремы вложения как следствия весовых неравенств Бернштейна

3.2 Изометрические вложения пространств де Бранжа и модельных подпространств 79

3.3 Устойчивость мер де Бранжа - Кларка. Примеры 82

3.4 Устойчивость мер де Бранжа - Кларка. Достаточные условия 86

3.5 Возмущения базисов из воспроизводящих ядер 90

Оценки нормы производной через норму функции в различных функциональных пространствах - одна из классических тем теории функций. Оценки такого рода часто называют неравенствами (типа) Бернштейна. Они имеют многочисленные приложения в различных областях математического анализа, и им посвящена обширная литература. В настоящей работе рассматриваются неравенства Бернштейна для Х^-норм в некоторых пространствах целых или мероморфных функций. Классическим результатом в этом направлении, послужившим основой для многочисленных обобщений, является неравенство С.Н. Бернштейна для пространства Пэли-Винера Р\\~1 - пространства целых функций экспоненциального типа не выше а, сужение которых на вещественную прямую К. принадлежит Z7(R).

Теорема А [13]. Пусть 1 < р < сю. Тогда для всякой функции F 6 PW% п < 4Пр

Следующее красивое и глубокое обобщение теоремы А для случая р = оо было получено Б.Я. Левиным.

Теорема В [9]. Пусть Е - целая функция класса Полиа (см. определение в § 2.1), и пусть F - целая функция экспоненциального типа такая, что max[|F(z)|, |F(z)|] < \E(z)\, C+, (1) где C+ - верхняя полуплоскость. Тогда max[|F'(z)|,|F'(2)|] < \E'{z)\, z e C+.

Пусть теперь целая функция Е удовлетворяет неравенству

ВД|>|ВД|, 2 е С+. (2)

Обозначим через T-i°°{E) множество целых функций F, для которых имеет место оценка (1) (наделенное нормой ||F|j^i00 = Ц^/ЕЦх«,^), Е) становится банаховым пространством). Из теоремы В немедленно вытекает (см. [4]), что оператор V : F ы> F' ограничен на Н°°(Е) тогда и только тогда, когда функция ^ ограничена в верхней полуплоскости.

В диссертационной работе рассматривается аналогичная задача для L1'-норм. А именно, пусть НР(Е) обозначает пространство целых функций Fтаких, что F/E и F*/Е принадлежат классу Харди НР(С+) (здесь F*(z) = F(z)) с нормой Ц^Цв.р = В настоящей работе найдены условия, необходимые и достаточные для ограниченности оператора V в пространстве W{E), 1 < р < оо. При этом, эти условия существенно зависят от показателя р, и, в отличие от случая р = оо, условие ~ £ üP°(C+) не является необходимым в общем случае; однако, оно становится необходимым и достаточным при дополнительных предположениях о нулях функции Е. Отметим, что пространства W(E) включают в себя как частный случай пространства Пэли - Винера PW% (при E(z) = ехр(—iaz)).

Особый интерес представляет случай р — 2; при этом пространства 'Нг{Е) суть гильбертовы пространства целых функций, введенные Л. де Бранжем [26]. Пространства де Бранжа имеют важные приложения в теории дифференциальных операторов и математической физике. В то же время имеется ряд работ, где пространства де Бранжа рассматриваются с точки зрения "чистой" теории функций [34, 35].

Другое обобщение теоремы А связано с так называемыми модельными подпространствами - коинвариантными подпространствами оператора сдвига. Пусть в - внутренняя функция в верхней полуплоскости то есть ограниченная аналитическая в С+ функция, граничные значения которой почти везде равны по модулю единице. Каждой внутренней функции О соответствует подпространство Kq = Нр П ОНр - коинвариантное подпространство оператора сдвига в классе Харди Нр в верхней полуплоскости, 1 < р < ос. Подпространства Kq играют исключительно важную роль в современном анализе, как в теории функций так и в теории операторов. С подпространствами Kq и их многомерными и бесконечномерными обобщениями связана функциональная модель Секефальви-Надя - Фойаша для операторов сжатия [12] (поэтому эти подпространства иногда называют модельными).

Если О = В - произведение Бляшке с нулями {zn}, то модельное подпространство К'в совпадает при 1 < р < оо с замыканием в пространстве D'(Ж) правильных рациональных дробей с полюсами в множестве {zn} в нижней полуплоскости. С коинвариантными подпространствами тесно связано также пространство Пэли - Винера PW$. А именно, если O(-z) = exp(iaz), а > 0, то Kq = PW% П Нр.

Рассмотрим оператор дифференцирования D : / > /', / £ Kq. В работах K.M. Дьяконова [6, 28] было получено описание внутренних функций О, для которых оператор D ограничен как оператор из Kq в Lp(R), то есть имеет место неравенство Бернштейна (для некасательных граничных значений)

С(р,6)11/11,, fehl-, (3) а также изучены условия компактности оператора D и его включения в идеалы

Шаттена - фон Неймана [28, 29].

Теорема С [6]. Пусть 1 < р < оо. Следующие утверждения равносильны:

1. Оператор D : Kq —>- ЬР(Ш) ограничен;

2. &' е L°°(К) (#°°(С+)).

При этом найдется такая константа С = С(р), что ll/'ll,<C||0'll=c||/IU /€Ä|.

Условие В' € L°° влечет, что внутренняя функция в мероморфна на всей плоскости С; из известных свойств псевдопродолжимости элементов модельного подпространства следует, что всякая / Е Kq - мероморфна.

Для случая р = оо более сильное неравенство было получено М.Б. Левиным [10]. А именно, для всякой мероморфной внутренней функции 0 fl/7©1loo < ll/lloo, feKg. (4)

Для случая, когда 0 - конечное произведение Бляшке, неравенство (4) было доказано в работах П. Борвейна и Т. Эрдейи [19, 20], а также К. Ли, Р.Н. Мохапатры и P.C. Родригеса [32]. Отметим, что другие весовые оценки для производных в модельных подпространствах были получены в работах [24, 27].

В настоящей работа получены аналоги весового неравенства Бернштейна (4) для ¿/-норм. Нас интересуют неравенства вида u;||p<C(p,0,u;)||/||p, /€Ä|, (5) где вес w связан с функцией © (например w = I©'!"0). В частности, если ©' € L°°, то неравенство (5) имеет место для w = |0'|~а, где а < 1 — При этом показатель 1 — ^ в определенном смысле точный. В то же время мы получим варианты весовых неравенств вида (5) и для случая, когда 0' ^ L00, а оператор D не ограничен.

Отметим, что имеется тесная связь между пространствами целых функций W(E) и коинвариантными подпространствами оператора сдвига, порожденными мероморфными внутренними функциями. А именно, в силу условия (2) функция 0Е = Е* /Е - внутренняя, и W(E) = Е ■ Kq ; более того, всякая мероморфная внутренняя функция представима в виде отношения Е* /Е, где целая функция Е удовлетворяет условию (2). Но, несмотря на тесную связь пространств W(E) и Kq , имеется существенная разница между поведением операторов V я D. Хотя ограниченность оператора V налагает в целом более жесткие ограничения на распределение нулей функции Е, он может быть ограничен и в том случае, когда в пространстве Kq не выполнено неравенство (3).

Еще одной темой диссертационной работы являются теоремы вложения карлесоновского типа для модельных подпространств. Во-первых, будет показано, что весовые неравенства Бернштейна могут служить инструментом для доказательства новых теорем вложения. В то же время исследование оператора дифференцирования в пространствах W{E) естественным образом приводит к теореме вложения для Kq и некоторой дискретной меры специального вида.

Задача описания таких мер fi. в замкнутой верхней полуплоскости С+, что для данной функции 0 имеет место вложение Kq С 1 < р < ос, была поставлена В. Коном [23]. Класс мер для которых имеет место вложение Kq С Lp(/J:) или, что равносильно, оценка

И/Ьм < СИ/IL / G Ä|, обозначим через Ср(0). В настоящее время класс Ср{&) полностью описан только для некоторых очень специальных классов внутренних функций, в частности, для так называемых однокомпонентных функций. В работе АЛ. Воль-берга и С.Р. Треиля [5] найдены условия, достаточные для вложения в общем случае: вложение Kq С ¿р(//) имеет место, если найдутся такие с 6 (0,1), С > 0, что ¡j,(S{x,h)) < Ch для всех квадратов S(x,h) = [ж,:с +- h] х [0, h] таких, что

S{x,h)n{z е с+ : |6(z)| < г} Ф%.

Иначе говоря, мера ß удовлетворяет условию Карлесона p(S(x,h)) < Ch для квадратов S(x, h) специального вида (класс таких мер обозначим через С(в)). Однако, как показано в работе A.B. Александрова [3], это условие является необходимым только для однокомпонентных внутренних функций. Другие результаты о вложениях модельных подпространств содержатся в работах A.B. Александрова [1, 18] В. Кона [24, 25]. В работе АЛ. Вольберга [40] описаны меры вида /и = vm, где т -мера Лебега на прямой, v £ L°°, для которых нормы || ■ ||XPW и || • ||р эквивалентны на пространстве А"@, 1 < р < оо.

Применение весовых неравенств Бернштейна даст нам новые примеры теорем вложения (а также теорем об эквивалентных нормах) для мер, сосредоточенных на прямой; в определенных ситуациях найденные условия оказываются точнее, чем теорема Вольберга - Треиля. В работе также рассматривается класс модельных подпространств, устойчивых относительно малых (в определенном смысле) возмущений ортогональных базисов из воспроизводящих ядер базисов де Бранжа - Кларка). Для этого класса внутренних функций получено описание мер \х на прямой, допускающих вложение Kq в L2(fi).

Теперь мы переходим к обзору работы по главам и сформулируем основные результаты. Работа состоит из трех глав, подразделенных на 18 параграфов. Внутри каждой главы ведется общая нумерация утверждений, включающая номер параграфа в главе и номер утверждения в данном параграфе (например, Теорема 6.4). При ссылке на утверждение из другой главы добавляется номер главы (Теорема 2.6.4). Формулируя основные результаты, мы указываем в скобках номер соответствующего утверждения в тексте диссертации.

Первая глава посвящена весовым оценкам //-норм производных в модельных подпространствах, аналогичных неравенству (4). При этом существенно используется техника, предложенная в работе [28] и сводящая задачу к исследованию некоторого сингулярного интегрального оператора (§1.2). Существенную роль играют также оценки воспроизводящих ядер и их производных, полученные в § 1.3; некоторые из них хорошо известны, а другие являются новыми.

Напомним, что мы рассматриваем только мероморфные внутренние функции. Иначе говоря, функция 0 с точностью до умножения на константу, равную по модулю единице, имеет вид Q(z) = exp(zaz)J3(z), где а > О, В - произведение Бляшке с нулями zn = хп + гуп такими, что lim \zn\ = оо.

Одним из основных результатов главы 1 является следующая теорема, обобщающая и количественно уточняющая теорему К. М. Дьяконова (теорема

Теорема 1. (1.4.1) Пусть 1 < р < ос, В' € Тогда найдется константа С = С(р) такая, что для всякого а Е (0,1/2]

Неравенство (6) сильнее неравенства (3) для JV-норм без веса, так как, может быть, inf|0'| = 0, и даже lim |0'(i)| = 0. Отметим, что неравенство

R ji|-+oo

6) представляет интерес даже для пространств Äq, порожденных конечными произведениями Бляшке, то есть для пространств рациональных дробей с фиксированными полюсами.

Показатель р— | - точный в том смысле, что для р 6 (1, оо) найдется такая внутренняя функция О, что левая часть неравенства (6) не допускает оценки

П—ЮО

С). б) сверху через \\f\\p при а < 0. Однако, для некоторых специальных классов внутренних функций показатель р — | может быть увеличен. Будем говорить, что внутренняя функция 0 - однокомпонентная, если найдется такое е £ (0,1), что множество {z £ С+ : |0(z)| < в} связно [24]. В § 1.5 доказана следующая оценка (при этом существенно используется найденная A.B. Александровым [1] характеризация однокомпонентных внутренних функций):

Теорема 2. (1.5.1) Пусть В - однокомпонентное бесконечное произведение Бляшке, В' £ L°°, 1 < р < оо. Тогда для всякого а £ (0,1] ж

В заключение § 1.4 обсуждается критерий компактности оператора дифференцирования [28]: оператор D : Kq —I/, 1 < р < оо, компактен тогда и только тогда, когда lim |0'(i)| = 0. Здесь же приведено новое доказательство t\—»00 достаточности последнего условия, опирающееся на теорему 1.

Пусть теперь функция 0 удовлетворяет условию inf уп > 0, более слабому, п чем условие 0' £ L00. В § 1.6 показано, что в этом случае также имеет место весовое неравенство Бернштейна.

Теорема 3. (1.6.2) Пусть inf уп = М > 0, 1 < р < оо, а £ (0,1/2]. Положим п t) = [|e'(t)p + |e'(f)rM-1

Тогда найдется такая константа С = С(р), что

I \f{t)Yrv{t)dt < + l)\\f\\>, f £ KVQ. R

Слагаемое |0'|p, входящее в w~l, вообще говоря, нельзя заменить на |0'|а, а < р, то есть показатель р - точный. Условие теоремы 3 нельзя ослабить: в работе предъявлен пример мероморфного произведения Бляшке с нулями, приближающимися к вещественной прямой, такого, что неравенство \\f'w1/p\\P < С||/||р, / £ Ä|>, не имеет места для весов w вида |0'|~а или

0'|a + |e?]-\ a,ß > 0.

В главе 2 изучаются свойства оператора дифференцирования в пространствах де Бранжа и их D' - аналогах ИР(Е). При этом существенно используется факторизация Адамара целых функций экспоненциального типа, а также интерполяционное условие Карлесона и теорема Шапиро - Шилдса о безусловных базисах из ядер Коши. Всюду далее предполагается, что 1 < р < оо.

Из ограниченности оператора дифференцирования Р : ^ и ^ в НР(Е) вытекает, что Е - функция экспоненциального типа. В дальнейшем постоянно используется факторизация целых функций экспоненциального типа, удовлетворяющих неравенству (2). В этом случае

Е(г) = е-^+^П (\ - (7) / п 4 ' где а > О, Ъ £ М, с £ С, и гп = хп + гуп £ <С+ удовлетворяют условию Бляшке

Е^/Ы2 < ооп

В § 2.2 изучается структура функций Е таких, что оператор V ограничен в НР(Е). В частности, получено следующее необходимое условие.

Теорема 2. (2.2.5) Пусть оператор V ограничен в НР(Е). Тогда для всякого Ь>0 + гН)бН°°( С+). (8)

Идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть действие оператора дифференцирования на специальным образом выбранные пробные функции, после чего используются известные свойства двойственности пространств Нр. Важную роль в доказательстве играет лемма о поведении внутренней функции вдоль прямых, параллельных вещественной прямой.

Лемма. (2.2.2) Пусть 0 < < /¿2, в - внутренняя функция, х £ Ж. Тогда гг 1 — |Э(ж + г'/г-2)1 % - 1 - |6(ж +«7*1)1 - 2АГ где С\, Сг - абсолютные положительные константы.

В заключение параграфа обсуждается связь условия теоремы 4 со свойствами симметрии распределения нулей. Показано, что нули функции Е удовлетворяют некоторому равномерному аналогу условия Линделефа для нулей целой функции экспоненциального типа.

Из результатов Б.Я. Левина [4, 9] следует, что оператор V ограничен в И°°(Е) в том и только в том случае, когда е я-(С+). (9)

Для р 6 (1,оо) условие (9) (в отличие от (8)) не необходимо, однако, как показано в § 2.3, оно остается необходимым и достаточным при дополнительных предположениях о функции Е.

Теорема 5. (2.3.1) Пусть Е - целая функция вида (7) и а + т£уп > 0. Следуп ющие утверждения равносильны:

1. оператор Т> ограничен на 'Нр (Е);

При этом ||Х>|| < С Ц^Цоо? где С > 0 - абсолютная константа.

Необходимость условия (9) легко выводится из теоремы 4, а достаточность -из теоремы Дьяконова, так как условие (9) влечет, что в модельном подпространстве Кф имеет место неравенство Бернштейна. Еще одно доказательство приведено для гильбертова случая р = 2; оно использует некоторые свойства матрицы оператора V в двух специальным образом выбранных ортогональных базисах из воспроизводящих ядер.

Следующие параграфы посвящены анализу ситуации, когда нули ,гп функции Е неограниченно приближаются к вещественной прямой. В § 2.4 показано, что нули, близкие к вещественной прямой, должны быть достаточно редкими: р—1 1

УпХ < ос. (10) к^п

Положим П(е) = {г : 0 < ^ < е}. Из неравенства (10) следует, что найдется такое с > 0, что ¡пГ^, |.х'/. — хп\ > 0 при условии, что г^, гп €Е П(е).

В §2.5 оператор V исследуется при дополнительном предположении, что последовательность удовлетворяет интерполяционному условию Карлесона т:^. Вь > 0, где В к — Ппфк • Это предположение позволяет воспользоваться теоремой Шапиро-Шилдса о том, что семейство у11~1^р(г — образует безусловный базис в ■ В этом случае задача сводится к исследованию некоторого оператора в напоминающего дискретное преобразование Гильберта.

Теорема 6. (2.5.1) Пусть Е - целая функция вида (7) с а = 0, и последовательность гк удовлетворяет условию Карлесона. Положим Еь(г) = Е(г)/(г — Следующие утверждения равносильны: 1. оператор V ограничен в %Р(Е);

2. вир к

Е1

-¡^(¿к) < с»; и матрица (А^), где Ац = 0 и \ 1-1 /Р , (11) \У1 / ¿1 - 2к задает ограниченный оператор в (>р (Ж).

Иначе говоря, речь идет об ограниченности оператора, заданного матрицей а1к = - 2к)~1, I ф к, ац = 0, в пространстве £р({у1~р}) = {(ск)к& : у\~р\ск\р < ос}. Для последовательностей гк, близких к периодическим, закеж. дача сводится к дискретному условию Макенхаупта (Ар).

Следствие. (2.5.4) Пусть вирук < со, и 0 < — хк) < 8ир(я:£+1 ~хк) < к& кех оо. Тогда оператор Т> ограничен в НР(Е) тогда и только тогда, когда последовательность {у\Гр} удовлетворяет условию (Ар).

В заключение параграфа § 2.5 приводится еще одно условие, достаточное для ограниченности оператора, заданного матрицей Ац, при р = 2. Оно получено с помощью изучения матрицы АА* (этот классический прием позволяет доказать ограниченность обычного преобразования Гильберта и теорему Шапиро - Шилдса).

Параграф § 2.6 посвящен критерию ограниченности оператора дифференцирования в общем случае: показано, что оператор V ограничен в 7~1Р(Е), р > 2, тогда и только тогда, когда имеет место вложение модельного подпространства в пространство Ьр(р), где мера р определена специальным образом.

Теорема 7. (2.6.3) Пусть Е - целая функция вида (7) с а = 0, 2 < р < оо. Следующие утверждения равносильны:

1. оператор V ограничен в ЦР(Е);

2. найдется е > 0 такое, что a) М{\хп - хк\, гп, гк Е П(ь)} > О/ b) для всех достаточно малых а > 0 имеет место вложение С Ьр(1ла), где мера определена равенством

V = ^ У к Р$хк+<Т',

8Х обозначает единичную нагрузку в точке х.

В § 2.7 обсуждается компактность оператора дифференцирования в пространствах НР(Е). Здесь предъявлен ряд примеров, показывающих, что оператор Т> может быть компактен в ИР{Е) и даже (при р = 2) может принадлежать всем классам Шаттена - фон Неймана. В частности, показано, что

E'(t) m

О достаточно для компактности, но не является необхоусловие lim t|-*x> димым даже в том случае, когда нули функции Е отделены от вещественной прямой.

В главе 3 получен ряд новых результатов о вложениях коинвариантных подпространств оператора сдвига. Основным инструментом при этом становятся весовые оценки из главы 1, а также ортогональные базисы из воспроизводящих ядер (базисы де Бранжа - Кларка).

В § 3.1 доказана следующая теорема вложения для мер, сосредоточенных на вещественной прямой, вытекающая из теоремы 1. Так же как в теореме Вольберга - Треиля в ней предполагается, что мера /( удовлетворяет условию Карлесона ц(1) < С\1\ для промежутков I специального вида (|/| обозначает длину промежутка /). однако, условие существенно зависит от р.

Теорема 8. (3.1.2) Пусть 0' £ Ь00, ц - борелевская мера на прямой М, 1 < р < оо, 1/р ■+ 1/д = 1. Предположим, что Ж = УкЬ, промежутки I& удовлетворяют условиям р,{1к) < и для некоторого <5 > 0. Тогда К@ С ^(ц).

Аналогичное утверждение верно и для внутренних функций, нули которых отделены от вещественной прямой. В этом случае условие (12) нужно заменить на

Если к тому же супремум в условиях (12)-(13) достаточно мал (меньше некоторой константы е;(<д,р,6) > 0) и X |Д|, то нормы || ■ ||хг>о») и || ■ ||р эквивалентны на К^.

В параграфе § 3.1 построены примеры, показывающие, что для некоторых классов внутренних функций теорема 8 описывает более широкий класс мер на прямой, чем теорема Вольберга - Треиля.

Дальнейшие приложения относятся к случаю р = 2 и связаны с возмущениями ортогональных базисов из воспроизводящих ядер.

В параграфе § 3.2 обсуждается теорема (Л. де Бранж [26], Д. Кларк [22]) об ортогональных базисах в пространстве где 0 - мероморфная внутренняя функция. Пусть |а| = 1, а С М - семейство всех решений уравнения 0(£) = а. Семейство воспроизводящих ядер образует ортогональный оо

12) оо.

13) базис в для всех а (кроме, может быть, одного), и

2 - о- V^ f с К2

Другими словами, вложение К\ С L2(p), где /х = 2тг ^ §tk/\0'(tk)\, изометk рично. Далее приводятся формулировки более общих результатов де Бранжа и Александрова об изометрических вложениях пространств Jv|, и объясняется различие между соответствующими результатами для круга и полуплоскости; для полноты изложения приведено краткое доказательство критерия существования исключительного значения а.

В § 3.3 рассматривается следующий естественный вопрос: верно ли что для последовательности {-Sfc}, удовлетворяющей условию Sk+i — Sk > 5 > 0 (то есть представимой как объединение последовательностей, более редких чем {tfc}), имеет место вложение Ji@ С L2(u), где и = Yh Построены примеры, к показывающие, что, вообще говоря, это неверно. Однако существуют внутренние функции, обладающие подобным свойством "устойчивости". В параграфе §3.4 показано, что им обладают, в частности, однокомпонентные функции, а также функции, отвечающие весовым пространствам Пэли - Винера, введенным Ю.И. Любарским и К. Сейпом [34]. Еще один пример устанавливает связь между свойством "устойчивости" и ограниченностью операторов, заданных матрицами вида (11): так, произведение Бляшке с нулями zn = п + iyn, п € Z, где sup„ уп < оо, обладает этим свойством в том и только в том случае, когда последовательность уп удовлетворяет условию Макенхаупта (А?).

Для "устойчивых" внутренних функций имеет место следующая теорема вложения.

Теорема 9. (3.4.5) Пусть @ - "устойчивая" внутренняя функция, //, - боре-левская мера на прямой, и

0'(£) \dp(t) < С 1 + 7 для всякого интервала I на прямой. Тогда С

Параграф §3.5 посвящен мерам вида V = ^ ^¿У!©'(•**;) задающим эквик валентную норму на пространстве . Пусть ^ - последовательность точек из теоремы де Бранжа; символ < > обозначает промежуток с концами ^ и В. Кон [23] показал, что для однокомпонентной функции в найдется такое е > 0, что нормы || • и ||-1|2 эквивалентны, если f \Q'(t)\dt < £ (условие

Sk,tk> близости, аналогичное известным теоремам Пэли - Винера и теореме Кадеца об 1/4). Следующая теорема дает условия, достаточные для того, чтобы мера V задавала эквивалентную норму на пространстве для функций в таких, что 0' G L°°.

Теорема 10. (3.5.2) Пусть В' <EL°°,Ö < 1/2. 1. Если sup / \&(t)\*dt < ос, к <Sk,tk> то Н * с||/|11' f 6

2. Найдется такое r(Q,5) > 0, что если sup / \Q'(t)\sdt < r(Q,S), то к <Sk,tk>

Построенные примеры показывают, что показатель 1/2 в теореме 10 нельзя, вообще говоря, заменить на больший. Аналогичные результаты получены для внутренних функций с нулями, отделенными от вещественной прямой.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.П. Хавину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Ю.И. Любарскому и K.M. Дьяконову за полезные обсуждения и замечания.

Основные обозначения

С+ - верхняя полуплоскость; ED - единичный круг: Т - единичная окружность;

Lp(Ж), £р (а также Lp(fi), где /./ - мера) - стандартные ¿/-пространства; • ||р - норма в пространстве £Р(М) или £р;

НР(С+) (или Нр) - класс Харди в верхней полуплоскости;

Со (К.) - пространство комплекснозначных непрерывных на М. функций /, таких, что lim |/(i)| = 0; i|—>-00 д, - мера Дирака в точке г.

Мы пишем / X д, если С ig < / < C^g для некоторых констант С\. С? > 0. Символ О обозначает конец доказательства.

1. А. Б. Александров, Простое доказательство теоремы Вольберга - Треи-ля о вложении коинвариантных подпространств оператора сдвига. - Зап. научн. семин. ПОМП, 217 (1994), 16-25.

2. А. Б. Александров, Изометрические вложения коинвариантных подпространств оператора сдвига. Зап. научн. семин. ПОМИ, 232 (1996), 5-15.

3. А. Б. Александров, О теоремах вложения для коинвариантных подпространств оператора сдвига. II. Зап. научн. семин. ПОМИ, 262 (1999), 5-48.

4. Ю. А. Брудный, Е. А. Горин, Изометрические представления и дифференциальные неравенства. Ярославль, 1981.

5. А. Л. Вольберг, С. Р. Треиль, Теоремы вложения для инвариантных подпространств оператора обратного сдвига. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 149 (1986), 38-51.

6. К. М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Нр. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 190 (1991), 81-100.

7. Б. Ерикке, В. П. Хавин, Следы гармонических функций и сравнение V-норм аналитических функций. Math. Nachr., 123 (1985), 225-254.

8. П. Кусис, Введение в теорию пространств Нр. М., Мир, 1984.

9. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций. М., Гостехиздат, 1956.

10. М. Б. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области. Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып. 24, Харьков, 1975, 68-85. М., Гостехиздат, 1956.

11. В. Н. Логвиненко, Ю. Ф. Середа, Эквивалентные нормы в пространстве целых функций экспоненциального типа. Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 19, Республиканский научный сборник, Харьков, 1973.

12. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига. М., Наука, 1980.

13. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1969.

14. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М., Мир, 1974.

15. P. R. Ahern, D. N. Clark, Radial limits and invariant subspaces. Amer. J. Math., 92, 2 (1970), 332-342.

16. P. R. Ahern, D. N. Clark, On functions orthogonal to invariant subspaces. -Acta Math., 124, 3-4 (1970), 191-204.

17. P. R. Ahern, D. N. Clark, On inner functions with Hp derivative. Michigan Math., 21 (1974), 115-127.

18. A. B. Aleksandrov, On embedding theorems for coinvariant subspaces of the shift operator. I. Operator Theory: Advances and Applications, 113 (2000), 45-64.

19. P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and Polynomial Inequalities. SpringerVerlag, 1995.

20. P. Borwein, T. Erdelyi, Sharp extensions of Bernstein's inequality to rational spaces. Mathematika, 43 (1996), 2, 413-423.

21. A. P. Calderon, Commutators of singular integral operators. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 53 (1965), 1092-1099.

22. D. N. Clark, One-dimensional perturbations of restricted shifts. J. Anal. Math., 25 (1972), 169-191.

23. W. S. Cohn, Carleson measures for functions orthogonal to invariant subspaces. Pacific J. Math., 103, 2 (1982), 347-364.

24. W. S. Cohn, Carleson measures and operators on star-invariant subspaces. -Journ. Oper. Theory, 15, 1 (1986), 181-202.

25. W. S. Cohn, Radial imbedding theorems for invariant subspaces. Complex Variables Theory Appl., 17, 1-2 (1991), 33-42.

26. L. de Branges, Hilbert spaces of entire functions. Prentice Hall, Englewood Cliffs (NJ), 1968.

27. К. M. Dyakonov, Smooth functions in the range of a Hankel operator. Indiana Univ. Math. J., 43 (1994), 805-838.

28. К. M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces I: Boundedness and compactness. J. Funct. Anal., 192, 2 (2002), 364-386.

29. K. M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces II: Schatten class criteria. J. Funct. Anal., 192, 2 (2002), 387-499.

30. V. Havin, B. Joricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis. Springer-Verlag, 1994.

31. R. Hunt, B. Muckenhoupt, R. Wheeden, Weighted norm inequalities for conjugate function and Hilbert transform. Trans. Amer. Math. Soc., 176 (1973), 227-251.

32. X. Li, R. N. Mohapatra, R. S. Rodriguez, Bernstein-type inequalities for rational functions with prescribed poles. J. London Math. Soc., 51, 2 (1995), 523-531.

33. Yu. I. Lyubarskii, K. Seip, Complete interpolation sequences for Paley Wiener spaces and Muckenhoupt's (Av) condition. - Rev. Mat. Iber., 13, 2 (1997), 361376.

34. Yu. I. Lyubarskii, K. Seip, Weighted Paley-Wiener spaces. J. Amer. Math. Soc., 15, 4 (2002), 979-1006.

35. J. Ortega-Cerda, K. Seip, Fourier frames. Ann. of Math. (2), 155, 3 (2002), 789-806.

36. S. Richter, C. Sundberg, A formula for the local Dirichle integral. Michigan Math. J., 38 (1991), 355-379.

37. D. Sarason, Nearly invariant subspaces of the backward shift. Operator Theory: Advances and Applications, 35 (1988), 281-493.

38. D. Sarason, Sub-Hardy Hilbert spaces in the unit disc. Wiley-Interscience, New-York, 1994.

39. E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton Univ. Press, Princeton, 1993.

40. A. L. Volberg, Thin and thick families of rational fractions. Lecture Notes in Math., 864 (1981), 440-480.