Теоремы вложения для пространства Бесова с весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

3 п 1 * я 7

33

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТНЕНШЙ УНИВЕРСИТЕТ Ш. АЛЬ-ЗДРАШ

На правах рукописи

ИСИН Майрам Естаевич

ТЕОРЕМЫ ЗДОЕЕШЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА . БЕСОВА С БЕСОМ •

01.01.01 - (латекатичэскпЗ анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физпко-матештическшс наук

АЛМА-АТА, 1932

Работа выполнена в Казахском Ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Алъ-Фарабп

Научные руководителе:: - член-корреспондент АН РК, доктор - - физтсо-матешктческях наук, проФесссгс М.О.Отелбаев - доктор физяко-'/лтематическшс наук, - в.н.с. К.Т.Мынбаез

Официальные оппоненты:- доктор физико-математических наук, . профессор М.Д.Раназанов,

кандидат фЕгзЕко->а.те,,.;ат1г,?есккх наук, • доцент К.Ж.Науркзбаев

Ведущая организация:- Математический институт с Вычислительным

центром Республики Тадкикистан

Защита состоится " гЗмЛа^Л 199§г. в /5" час. на заседании Регионального специализированного совета К.058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата наук в. Казахском государственном университете им. Алъ-Шараби по адресу: 480012, г.Алма-Ата, ул.Масанчи, 39/47.

С диссертацией монно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ т. Аль-Фараби,

Автореферат разослан «/? "^¿и^г 1992г. .

Ученый секретарь Регионального . специализированного совета,

кандидат физико-тыатематсческих

наук, доцэнт -А.А.Бедельбаев

ЙИБЛИО) -'л А

ОЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность те.уи. Теоремы влокения весовых пространств, кооме самостоятельного интереса с точки зрения теории функций, имеют многочисленные и эффективные применения в спектральном анализе дифференциальных операторов. Спектральная теория; дифференциальных операторов является одним из важных направлений современной математики, интерес к которой в значительной степени стимулируется задачами механики и «физики.

Оценки аппроксимативных характеристик оператора вложения . используются также при приближенном решении краевых задач методом конечных разностей.

Цель -работы состоит в получении двусторонних оценок нормн оператора -влоазния весового пространства Бесова в пространство. Лебега, критерия ограниченного, а-такте компактного

оценок функций распределения аппроксимативных характеристик оператора вложения.

Методика исследования. В работе применяется методика М.О.Отелбаеза, позволявшая получить локальную оценку при ми-

так, чтобы получилась точная по порядку оценка норма оператора вложения и аппроксимативных характеристик.

транства Соболева в пространство Лебега на весовне пространства типа Бесова в тех же терминах и обозначениях. Одновременно подтвердилась применимость методики М.О.Отаябаева.

Теоретическая и тактическая ценность. Работа-носит теоретический характер. Все перечисленные результаты язляют-

влоаения пространства

нималышх условиях на вес V- , а затем перейти к глобальной

Научная новизна. Полученные результата обобщает соответствующе теоремы М.О.Отелбаева Дяя влоаения весового прос-

ся новыми. Они могут наЁгк применение в спектральной теории операторов.

Аггробаигя т>аботы. Результаты работы докидывались на IX Республиканской мегвузовскои научной конференции до математике z механике (Алма-Ата, 1989), РеслуйЛЕкакской "научной йонферззации "Теория приближения и влокенпя фузаионалкгнх пространств" (Караганда, 1991), Республиканской научно-практической конференции, посвященной IOC—летшо со дня рождения первого казахского профессора-математика А.А.Ермекова (Джезказган, 1992), на научет-теоретическом семинаре под руководством члена-корреспондента АН РК М.О.Отелбаеза (Караганда, 1990, 1992), на научно-теоретическом семинаре под руководством профессора А.А.Генсыкбаева (Алма-Ата, КазТУ, 1992), на -научно-теоретическом семинаре под руководством Н.Т.Темпргалп-ева (Алма-Ата, КазГУ, 1992), на научно-теоретическом семинаре под руководством профессора К.Х.Еойматова (Душанбе, 1С,' с БЦ, 1992), на научно-теоретическом семинаре под руководством члена-корреспондента Ш РК Н.К.Ешева (Алма-Ата, 1ЯШ АН РК, 1992), на научно-теоретическом семинаре под руководством доцента, к.®. - м.н. Е.С.С&аглова (Караганда, KapI7, 1992).

Пубдгкашэд. Основные результаты диссертации опубликованы в работах —5]

.Структура ¥. объем дисое-ртацш. Диссертация состоит из • введения и двух глав, содерхапщх 6 параграфов. Пзлогена на 73 отранидах машинописного текста. Библиография содержит 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ -РАБОТЫ

Бо введении обосновывается: актуальность' теш диссертации, проведен краткий обзор работ, имещгпс отношение к этой теме, определена цель диссертационной работа, и кратко изложено ее содержание.

Глава I посвшена изучению вложения пространства Вр(Д^) в пространство .

3 §1 рассматриваются свойства пространства Еесова.Здесь приведены необходимые определения и некоторые вспомогательный утверждения, которые используются при изложении основных результатов работы. ^

Пусть-О. - открытое подмножество Л"' , (£I),

{¿а 4 со) {¿а<оо оС, £ - векторы

па. '

из Гь соответственно с целыми .иеотрицагельнша и положительными дробными компонентами. Вр^Сл.,!?)- пополнениеСсСО.) по норме

Н; = +1,

где ф = (¡\и.Гв яди\се) ' «>' ■

а"-

0<£^ к э $ - целое неотрицательное число,

= X П)+ ¿а) г 1=0 - * .

Г^ств и -оператор вложения весового пространства Бесова Вр,в(и.,#) в пространство Лебега /.^(Л) Результаты получены при 9~р в изотропном случае, т.е.

г.~ • • -= ^пГ ^ . Весовое пространства Еесова ■

в это.ч случае обозначается уже через

Дли формулировки результатов необходимы некоторые обозначения.

ОсМ

— куб о центром в точке , с ребрами, равными С, Параллельными координатным осям.

0.и,х)= Яг": = - прямоугольник

-с центром веточке хе {£."' и ребрами длины с1и..с1л>0 .

1 п.

. Для непустого компакта '• € с XI величину

«¿М/ау) = ¡>4{м$еРМ: и-еСГ(л)

Оа<( 2 ]1 ( и. = < в. окрестности в |(2)

назовем емкостью е относительно Л. . Емкость пустого множества по определении равна нулю'.

Пусть £,у>0 достаточно малы,

— множество всех многочленов 14 степени не больше по ху , (;=р.) . , .удовлбтворйЕСГЕх неравейст-

:, Введем функции .. "Л

Н.О.Отелбаева. Назовем £ у - уменьшенной нормой йуШхги - на прямоугольнике величщу

= (еи{и1Ш))<г}):

- 7 - . ■

где интеграл, входяцпй в определений гор«®, считается равннм + оо , еолз мкеа&етво, по которому берется интеграл,- пересекается с мзоиеетвон . Из- теоремы Лебега о дифференцировании интеграла слегает, что при почти всех ле.0. и

Отсша внтекае^ что функщтя

* I

1= ыср{1>0 : ^у(й(сЫ)} (4)

при 1>0 определена почти вокду в-О., то ерт£, ее область

!

определения, в качестве которой мы берем

= {»«Л : о < * оо }

является множество;.! полней мера вXI. . "Зункцяя используется в промежуточных выкладках, окончательные результаты

*

даются в терминах более проотоЯ с£уекют .

£ - уменьшенной нормой функция 1У ва прямоугольнике

называется число

ш<ы

+• <

где, по отделению, интеграл тзавен +• ©о , если

Как и . функция

{¿>0 : (в) с областью определения отза-

делена почти всюду а £1. , есла В>0.

Вв§а получена локальная оценка, соответствуязая вложению

ее помояьп доказываются верхние оценки норма оператора аяогения ВрСО,0) в /^.(Х!) и функций распределения аппроксимативных характеристик.

Лемма 1.2.Х.'Л^с?ь £.у>0 достаточно мала, ,

оо - Тогда при всех и. б С0°°Ш.), справедливо неравенство.

В §3 излагается осноздае результата главы I, а именно: двустороннее опенки нормы оператора вложения Е ввсоеого пространства

в /.а,(Л) и критерий компактности оператора £ . Под двусторонней оценкой есгош 1Е1 понимается оценка вида . сн ^ ЙЕН -где - функционал, принкмащий значения из (О, , а числа С,, 0 не зависят от .

Цри наличии такой оценки конечность СрСО.,-^) необходима и достаточна для ограниченности Е и, следовательно, такая опенка сильнее .утвергдения об ограниченности Е ... -

Те опе?.:а1.3.1. Пусть и - оператор елогения \ 6 р< оа , 1>0 ~ *р + ¿>0

Тогда

ВСЯ «"£«¿«,(-0.) о;

Теолега ГЗ^СТусть С - оператор вложения Ор (¿¿^^¿^СО), 4*р«ф<оо , 1>оу +

Тогда для компактности' оператора £ необходимо ж достаточно выполнение условий

А), (8)

^^«оо.лчасм-0 О)

В главе П изучаютоя й— числа и поперечники по Колмогорову вложения весового пространства Вр(Д,«*) з пространство

§1 посвяязн необходимы;.! определениям, понятия!.! и некоторым известным утверждениям. Приведем необходимые определения.

Рассмотрим банаховы пространства и Ва , влше-йй в В& . Пусть МК(В2) - множество всех подпространств

МсВа размерности не выше К , пространст-

%6 линейных непрерывных операторов из В} в В^ . Размерностью скт К оператора К* ЩД) будем называть размерность его области значений.

Пусть £ - оператор вложения В( в В^ . Обозначим через е£к(В{,В2) множество операторов К€ ^(В<,Вг)размерности яё выше К , К = 0,1,к-М аппроксимативным числом ( а - числом) влокения В, с* в* называется число

ак=С= ^{«Е-Кй^ ^ : К* ^(ВьВг)} (и»

Чйсло *

йазывается К-м поперечником по Колмогорову вложения и^1-*

Функции распределения СО - чисел и поперечников по Колмогорову определяются равенствами

^"Уил^^ТЛ Л>ог1чМ12)

{К:ЛК>Л} .

Аппроксимативные характеристики ,'

ваются по

ММ

с помощью следулцеЯ формула

восстанавлп-

X

{л>0 : М.Ш* к} (13)

I (й

Из (13) вытекает, что вместо-оценки п-к , о=1,2,, достаточно заниматься оценкой их функций распределения. Пусть нами получена низняя оценка вида

Ч1Л)±М(Л) 1Ае(рХ1 } (14)

где непрерывна, неотрши.тельна и монотонно убывает на

. Тогда при любом к из области значений функции ^

Ь-к = ^ * 0 < М * к} о: у (Д)Л к}= «/-1*5

Аналогично, из вершей оценки

V* е (0,1.3 (15)

вытекает верхняя оценка вида , где ^ то-

же является непрерывной, неотрицательной и монотонно убывающей функцией на .

Оценка УСЯ) , 1=*,* (16)

называется точной, если существуют числа Су, ( та^

кие, что Ц(СГЛ)4 Ч'(Л)^ Ц(СеЛ) Л € (0,Лв 3

Семейство кубов { 0 } называется конечнократннм кратности 1 < °° , если любая течка 2 е Я.*" содержится не более чем в 1 кубах из этого семейства. Это семейство называется конечноразделишм с показателем разделимости , если

его можно разбить на Ч подсемейств'

и,} ,

каздое из которых состоит из непересекавдихся кубов.

Семейство \-Q-i • называется аккуратный

покрытием множества -О. , если при

В §2 подучены оценки сверху функций распределения ап-проксимативнвх характеристик влсшения Вр в /.^(-О-) .

Для решения этого вопроса оценим сверху

14,*, хде.В134

(соответственно / )- множество сугений йункций из ОрСИ,*}

■ - IT -

(соответственно из ) на кубе Q(d,x) с нормой

Пункции из 5L (Л^) и La(£±) считается продсдгенвнш!

—i Рг (X) »

нулем зне SL . £ - опетзатотз влогеям пространства

В .

Фстадулировки утверздениЗ усложнены из-за геланжя внпн-сать прзйлЕЕащиЗ аппарат.

ДеммаЯ.2.1. Ibera , ¿-.Vgf0** P*fé<>°*

Тогда найдется число Св>0 , не зазисяцее от К , ас , тзеоз, что -

dK(Bmc+¿n±UF(i+K) , K=0,f,2>1... (В)

причем подпространство (г* • , <í¿m, Сг1х>л. к t которое достигается оценка '

г -54.

межет быть получено таз: ч(м) пежроеы вепереоекптппдтся кубами

i>=V¡ü — гзжегрогаяо)

/•со

и в качестве Ir возьыеа гднеЗное пространство гусэтЕо-по-jbjhomesjühkx функшгЗ на сад , С7ЯЗН2Я ЕОГОЭШС SS Si-i-Q.iiLffX?'), , ямявеся аногстшеваыг сте-

пени

по х^ , /=<Л.

Tecne;aI.2JL Пусть t^e^fíi), т

-jr — у + ¿ > О . oaírrespres зшзгтеоргзздЕгв па-

аркн»" jQ^s в=ст=Л

губами с t1^, {Х*"}< оо . Топг стзестЕттт чтага C,,t¿>0 такгв, что прг гпбда Л>0 "

- 12 -

4и> (Ц ^ с<д'

При этой подпространство

размерности

(Нин Ц) £ , на котором достигается оценка

(21)

может быть получено еле лущим образом: Для каадого куба Ч. , 1*>1 , введем подпространство

из двмшГСЯЛ.ТГокрнтие {¿Н | разобьем на семейства { С : 1*1} . » состояние из непересекащих-

Г (¿Т1 1

кубов и построим аккуратное покрытие '{-О. •' ,

у = ^ , множества -О. :

Лаг)=-п.п0.аг}\илш, 14,

ся

»»4

Исходная нумерация кубов ч , , пороадает со_ _

ответствупдую нумерации элементов аккуратного поирытия ЛА , Ь><

Далее, обозначил •

где — оператор, продолкавдий функцию £ , заданнув в XI, нулем вне Л . За искомое подпространство (г(Л) возьмем их птвдув сумму

Аналогичное утверждение гыеет место и для Я--чисел.

- -

СледствпеДДЗД'ри условиях и обозначениях теоремн1Щддя . либого Л>0 имеет место оценка

^(0,2) * т(Л) , 1«Ч,2, Величина т. (Л) оценивается интегралом, кагор ыЯ более удобен для вычисления. Справедлива

Теотэе.ча Д^З. Пусть ¿еа(^) , °°

5н - ^ О . Тогда существуют числа Сл,С{>01

зависящие только о? р , С , ч , такие, что при всех Л>0

Б §3 получены оценки сшхзу функций распределения ал-проксшгатизннх характеристик оператора владения. Справедливы следующие теорем:

Теоте:.а 1.3.1. Пусть (-О). *^Р* ^*2> .

Тогда при некоторых Св, С<>0 ^ Л>0

Л£ М) с,Г {л в .* >Л™}

Тесре.'.а5.3.2Лусть 2. 222

> ь+¿>0

Тогда при некоторшс С^, >О \/Л>0

А/4(СьХ)> ¿¡Л4* тлб{хеИ: .

В этом ге параграфе показана точность двусторонней есвзвг; ( Теоре.'.аЕЗЗ. Дусть 2), 5-^ ~•}" +¿>0

I. Если , го пря некоторых 'СьС^,<з,<^>0

VЛ>0 имеет место точная двусторонняя осеняа

* С,п*4 с Л : э- **"} я - у Й»

П. Анаяотнаг оэззха «пагедяга я

«г

ели

: CO

. Работа. автора по теме диссертации

Г. Ясин М.Е. 0 влоЕвЕПи весового пространства Ееоова в пространство Лебега. // Тез.докл. IX респ. кенвуз.науч. кон®., Алйа-Ата, 1983. - с. 20.

2. Псин М.Е. Теореш влсЕеняя и компактности для весовых пространств типа Бесова. Рукопись деп. в КазЕНЗНКИ 18.02.92,

S 3632 -Ка 92, Дел., 34 с. ' 1 ' '

3. йсин М.Е. Аппроксимативные характеристики оператора влакения весового пространства типа Бесова в пространство Лебега // Тез.дока.респ. науч.кое®. ' "Теория прибл. и влоЕ.'^функ. простр.", Караганда, 1991. - с.76. |

■ 4. йсин М.Е. Теореш вложения а компактности для веаовнх пространств типа Бесова // Тез .докл.респ.науч.-оракт.конф],, поев. 100-летив со дне рогд.перз.казахск.праЕессора-'.атеь-ати-Еа А.А.Ермекова, Двезказган, 1992. - с.44-46.

'5. йсин М.Е. Двусторонние оценки функций распределения аппроксимативных характеристик оператора влокения Bp (Л,^) в L^iO.) . Рукопись деп. в КазНИИНКЙ 11.09.92, Р 3835-Ка 92, Деп., 36 с.

ЙАЗЙУНДАЙАСЫ

Диссертаииялык замета Зесозт:ц сал«ахты кец!С71-Г1Н1Ц Лебег кещстхПне ен^лу олераторушц норка-сыкщ екх .такты багасы алыкци. Ешлу операгор&дщц тутвегягышц белгхл! дэлелдетц гэне енхлу оле-раторыкыч' аппр0кс№ат;1эт1к сыгсаттауаларьшыч ек1 жакти багасы ашкталда.