Модельные подпространства пространств Харди: неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

БАРАНОВ Антон Дмитриевич

МОДЕЛЬНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ (НЕРАВЕНСТВА БЕРНШТЕЙНА, СИСТЕМЫ ВОСПРОИЗВОДЯЩИХ ЯДЕР, ТЕОРЕМЫ ТИПА БЕРЛИНГА-МАЛЬЯВЕНА)

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 (1ЮН 2011

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2011

4848094

Работа выполнена на кафедре математического анализа математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

научный консультант

доктор физико-математических наук, профессор В.П. ХАВИН

официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Власов

доктор физико-математических наук, профессор Н.К. Никольский

доктор физико-математических наук, профессор Б.Н. Хабибуллин

ведущая организация

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 27 2011 г. в 15 часов 00 минут

на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В.А. Стеклова.

Автореферат разослан « _____2011г.

Ученый секретарь (/чкк/

диссертационного совета, /ТлУ^'

доктор физико-математических наук А. Ю. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства Kq определяют равенством К@ = Я2 © 0Я2, где Я2 -пространство Харди в единичном круге Ш> (или в верхней полуплоскости С+), а 0 - внутренняя функция. Согласно классической теореме А. Верлинга подпространства Kq и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в Я2.

Становление теории модельных пространств относится к 1960-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории - функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор сжатия Т такой, что последовательность {Тп}п>0 поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора "кратного сдвига" на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I — Т*Т - оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с подпространством Kq в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное (под) пространство.

Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах X. Шапиро, А. Шилдса, Н.К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве Я2 (соответственно в Нр). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д. Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кона. Модельные пространства связаны с теорией гильбертовых пространств целых функций JI. де Бранжа, имеющей важнейшие приложения в спектральной теории одномерных операторов Шре-дингера и двумерных канонических систем. А именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными пространствами в <С+, порожденными мероморфными внутренними функциями).

Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций.

Значительные результаты в этой области были получены Н.К. Никольским, А.В. Александровым, В.И. Васюниным, A.JI. Вольбер-гом, С.Р. Треилем, К.М. Дьяконовым, А.Г. Полторацким. В работах

A.JI. Вольберга-С.Р. Трепля и А.Б. Александрова были получены важные результаты по поставленной в 1982 году У. Коном и до сих пор полностью не решенной задаче об описании вложений карлесо-новского типа для модельных пространств. Эта задача представляет особый интерес в свете недавних работ Д. Сарасона об усеченных операторах Теплица. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств были получены в серии работ К.М. Дьяконова (отметим, что очень частным случаем модельных пространств являются пространства рациональных функций с. фиксированными полюсами, в которых неравенства Бернштейна изучались М.Б. Левиным,

B.Н. Русаком, П. БорвейЕЮм и Т. Эрдейи и др.). В работе Н.К. Никольского, С.В. Хрущева и Б.С. Павлова были получены основополагающие результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.

В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В.П. Хавина (в соавторстве с Дж. Машреги и Ф.Л. Назаровым) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме Берлинга-Мальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории Берлинга-Мальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему Берлинга-Мальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены приложения к проблемам полноты собственных функций операторов Шредингера.

Цель работы. Целью диссертации является исследование теоретико-функциональных и геометрических свойств модельных подпространств пространства Харди и пространств целых функций де Бранжа, а именно: исследование граничного поведения

производных элементов модельного подпространства; доказательство весовых оценок для производных; доказательство новых теорем вложения карлесоновского типа; получение критериев компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам Шаттена-фон Неймана; исследование геометрических свойств систем воспроизводящих ядер в модельных пространствах и их устойчивости; описание допустимых мажорант для модельных подпространств, доказательство новых теорем типа Берлинга-Мальявена, исследование зависимости класса допустимых мажорант от распределения нулей порождающей целой (или мероморфной) функции.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.

1. Доказаны существенно новые весовые неравенства типа Берн-штейна, то есть весовые оценки производных для элементов модельных подпространств, и в частности, для пространств ме-роморфных функций с фиксированными полюсами; установлена оптимальность участвующих весов.

2. Выяснена связь неравенств Бернштейна в модельных подпространствах с теоремой П. Кусиса о внутренне-компактных подпространствах. Решена задача К.М. Дьяконова о необходимости условия ограниченности производной внутренней функции для справедливости неравенства Бернштейна в модельных подпространствах в Я1.

3. Доказаны новые варианты теорем вложения карлесоновского типа для модельных подпространств. Найдены критерии компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам Шаттена-фон Неймана.

4. Доказаны неравенства типа Бернштейна для элементов пространств де Бранжа-Ровняка. Впервые рассмотрена задача о вложениях пространств де Бранжа-Ровняка.

5. Доказаны теоремы об устойчивости базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных подпространствах относительно малых возмущений, найдены качественно оптимальные условия устойчивости.

6. Исследованы критерии полноты системы воспроизводящих ядер (множества единственности для модельных подпространств). Получены результаты об устойчивости свойства полноты и критерии

полноты в терминах некоторой плотности.

7. Доказаны теоремы типа Берлинга-Мальявена для модельных подпространств, получены новые описания допустимых мажорант, доказано существование минимальных мажорант.

8. Исследована зависимость класса допустимых мажорант от распределения нулей порождающей внутренней функции, для некоторых типовых распределений (степенное распределение в полосе и полу полосе), найдены как необходимые, так и достаточные условия допустимости.

9. Получены геометрические критерии существования минимальной мажоранты и плотности полиномов в пространствах де Бранжа, обобщающие результаты Н.А. Ахиезера и В.П. Гурария.

10. Исследована связь допустимых мажорант со структурой подпространств в пространствах де Бранжа. Доказано, что любое подпространство может быть получено с помощью мажорирования. Полностью описаны подпространства, получаемые мажорированием на вещественной прямой, на мнимой оси и на лучах.

Методы исследования. Общая черта вышеперечисленных исследований заключается в том, что рассматриваемые задачи естественным образом сводятся к вопросам теории сингулярных интегральных операторов, в частности, операторов Кальдерона-Зигмунда и их модификаций (в том числе весовых). Помимо методов теории сингулярных интегралов в работе существенно используются результаты и техника теории целых функций (функции вполне регулярного роста, различные варианты принципа Фрагмена-Линделефа), а также теории квазианалитических классов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании модельных подпространств пространства Харди и пространств целых функций де Бранжа, а также действующих в них операторов; в частности, при изучении мер Карлесона и задач интерполяции в модельных подпространствах, при исследовании усеченных операторов Теплица на модельных подпространствах, при исследовании геометрических свойств воспроизводящих ядер и их применении к вопросам полноты и базисности собственных функций дифференциальных операторов.

Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на международных конференциях: "American Mathematical Society

Meeting" (Майнц, 2005), "Spaces of Analytic Functions and Their Operators" (Марсель, 2006), "Modern Complex Analysis and Operator Theory and Applications" (Эль-Эскориал, Испания, 2009), "Operator Theory and Harmonic Analysis" (Обервольфах, 2010), "St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2006, 2008), на Зимней математической школе в Воронеже

(2009), а также на ряде семинаров по анализу и теории функций: на семинаре по комплексному анализу под руководством академика РАН А.А. Гончара, член-корр. РАН Е.М. Чирки и проф. А.И. Ап-текарева в Математическом институте РАН (2007), на семинаре в С.-Петербургском отделении Математического института РАН (2003-2010), на семинаре по многомерному комплексному анализу (семинар Витушкина) в Московском государственном университете

(2010), на семинаре под руководством проф. Б.Н. Хабибуллина в Башкирском государственном университете (Уфа, 2010), на семинаре по теории функций и комплексному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.В. Напалкова в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2010), а также в университете Париж 6, в университетах Марселя, Бордо, в Королевском техническом университете (Стокгольм) и в Венском техническом университете.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из этих работ статьи [1]-[15] опубликованы в журналах из списка ВАК (6 статей в российских журналах и 9 статей в ведущих зарубежных журналах). Из совместных работ [8, 10, 11, 13, 14, 15) в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 9 глав. Общий объем работы - 295 страниц, библиография включает 140 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации получены новые результаты, относящиеся к теоретико-функциональным и геометрическим свойствам модельных пространств. Можно выделить следующие основные направления исследований: весовые неравенства Бернштейна для модельных пространств; приложения неравенств Бернштейна к теоремам вло-

жения карлесоновского типа; геометрические свойства систем воспроизводящих ядер (полнота, описание базисов Рисса и их устойчивость); допустимые мажоранты для модельных пространств, теоремы типа Берлинга-Мальявена.

Между вышеназванными задачами имеется целый ряд внутренних связей. Неравенства Бернштейна используются при доказательстве теорем вложения и результатов об устойчивости базисов, а задача о допустимых мажорантах тесно связана с вопросами единственности и полноты систем воспроизводящих ядер.

Введение. Во Введении приведены основные определения и начальные сведения по теории модельных пространств и пространств де Бранжа, после чего дан подробный обзор результатов по исследуемой тематике, и сформулированы все основные результаты диссертации.

Символом Нр, 1 < р < оо, будем обозначать стандартное пространство Харди в единичном круге D. Ограниченную аналитическую в Ю> функцию 0 называют внутренней, если |0| = 1 те-п.в. на Т в смысле некасательных граничных значений (т - нормированная мера Лебега на единичной окружности Т). Каждой внутренней функции © мы сопоставим инвариантное подпространство оператора обратного сдвига

Ке = Kl = H2e QH2.

Ввиду выдающейся роли, которую подпространства Kq играют в функциональной модели Надя-Фойаша, мы, следуя Н.К. Никольскому, называем подпространство Kq модельным, подпространством пространства Харди (или просто модельным пространством). Мы также рассматриваем £р-шкалу модельных подпространств Kq = Нр П ОЩ пространства Яр, 1 < р < оо, где Щ = {/ е Нр : /(0) = 0} = zHp.

Отметим, что в том случае, когда 0 = 5- произведение Бляшке с различными нулями zn с кратностями тп, пространство Крв имеет простое геометрическое описание: оно совпадает с замыканием в Нр (или, что равносильно, в Lp(T,m)) линейной оболочки простых дробей с полюсами соответствующих кратностей в точках 1 /гп. В частности, если В - конечное произведение Бляшке, то Крв есть пространство рациональных функций с фиксированными полюсами вне замкнутого круга.

Рассмотрим также модельные пространства в верхней полуплоскости, определяемые как

К% = ЯР(С+)П©Яр(С+),

где НР(С+), 1 < р < оо, - пространство Харди, а 0 - внутренняя функция в полуплоскости. В случае, когда © - произведение Бляшке, пространство Kq также совпадает с //-замыканием дробей с фиксированными полюсами. С другой стороны, если 0(г) = exp(iaz), а > 0, то пространство Kq по существу совпадает с пространством Пэли-Винера. PW% (пространством целых функций экспоненциального типа не выше а, сужение которых на вещественную прямую принадлежит LP(R)), а именно Kq = exp(iaz/2)PW^T

Особый интерес представляет случай, когда функция 0 меро-морфна во всей комплексной плоскости С. В этом случае, модельное пространство Kq канонически изоморфно некоторому пространству де Вранжа Н(Е) (где Е - целая функция класса Эрмита-Билера НВ).Теория пространств Н{Е), построенная Л. де Бранжем, имеет важные приложения в математической физике. В то же время, как показали исследования Ю.И. Любарского, К. Сейпа и X. Ортега-Серда, Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого, М. Кальтенбека и X. Во-рачека, пространства де Бранжа представляют большой интерес с точки зрения теории функций.

Глава 2. Неравенства Бернштейна для модельных пространств. Неравенства Бернштейна для рациональных функций изучались в работах Е.ГТ. Долженко, В.И. Данченко, А.А. Пекарского, В.В. Пеллера и многих других авторов для различных норм (Харди-Соболева, Харди-Бесова, ВМОА). Как правило, рассматриваются оценки вида ||/||х < зКп)||/||у> / G гДе Т^-п - пространство всех правильных рациональных функций со степенью знаменателя не выше те и с полюсами в {\z\ > 1}, X и Y - некоторые нормированные пространства аналитических в круге функций, а ф - некоторая возрастающая (часто степенная) функция. Таким образом, для данной пары функциональных пространств X и Y представляет интерес зависимость нормы оператора дифференцирования, действующего из (Лп, || ■ ||х) в У, от степени п. Подобные неравенства оказываются важным инструментом при решении обратных задач наилучших рациональных приближений.

В диссертации рассмотрены оценки производных в модельных подпространствах пространства Харди в круге и в полуплоскости,

и, в частности, в пространствах Kg, где В - произведение Бляшке, то есть для функций, допускающих аппроксимацию рациональными функциями с фиксированными полюсами. При этом интересен случай бесконечных произведений Бляшке, и поэтому необходимо получить оценки, зависящие не от степени рациональной функции, а от некоторых характеристик распределения нулей.

Одно из первых неравенств такого рода было получено М.Б. Левиным1 (другие доказательства и обобщения были предложены в работах В.Н. Русака, П. Борвейна и Т. Эрдейи2, В.Н. Дубинина и С.И. Калмыкова3). Пусть © - внутренняя функция в круге. Если для некоторой точки £ £ Т функция в имеет в точке £ конечную угловую производную 0' (Q, то для всякой функции / € Kq1 производная /'(С) существует в смысле некасательных граничных значений

1/'(01 < l©'(ONI/IUo. (1)

Другое близкое к нашей теме направление - неравенства Бернштейна для целых функций экспоненциального типа. Классическим результатом в этом направлении является неравенство Бернштейна для пространства Пэли-Винера: ||/'||р < а|[/||р, / € PW£, 1 < р < оо. Это неравенство послужило основой для многочисленных обобщений в работах Б.Я. Левина, Ю.А. Брудного и Е.А. Горина, К. Рахмана и Г. Шмайссера, В. Тотика и других.

Для модельных пространств Kq в верхней полуплоскости неравенства Бернштейна были исследованы К.М. Дьяконовым, показавшим, что дифференцирование ограничено как оператор из Kq в Ьр(К) при 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда в' 6 Я°°(С+)4, и компактно тогда и только тогда, когда 0' S Co(R)5. При этом

II/'IIp < с(р) ■ Нв'Иоо • ||/||р, (2)

В диссертации получены оценки, сходные с неравенством (2), но применимые к более общим (произвольным) внутренним функциям.

JM.B. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области, Докл. АН СССР 15 (1974), 3, 831-834.

2Р. Borwein, Т. Erdelyi, Sharp extensions of Bernstein's inequality to rational spaces, Matkematika 43 (1996), 2, 413-423.

3B.H. Дубинин, С.И. Калмыков, Принцип мажорации для мероморфных функций, Матем, сб. 198 (2007), 12, 37-46.

4К.М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Яр, Зап. наунн. семин. ЛОМИ 190 (1991), 81-100.

8К.М. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspa^es I: Boundedness and compactness, J. Punct. Anal. 192 (2002), 364-386.

Поскольку производная внутренней функции может, вообще говоря, не принадлежать даже классу Неванлинны, необходимо рассматривать весовые неравенства для производных. Преимущество весовых оценок состоит в том, что вес способен компенсировать возможный рост элементов пространства Kq и их производных около границы.

Воспроизводящее ядро пространства Kq в круге, отвечающее точке Л € В, имеет вид k\{z) = Вес, участвующий в

неравенстве Бернштейна для Kq, зависит от нормы ядра в Lq (то есть, фактически, от нормы функционала / i-» f 6 Kq).

Положим

_ p"

Мы считаем = oo и и>Р,п(0 = О, как только С, 6 Т и

k"+l £ L4\ таким образом, взвешенный оператор дифференцирования j^n\z)wPtXl{z) корректно определен для всех / € Kq, г £ D, Сформулируем основной результат Главы 2:

Теорема 2.1.1. Пусть ц - мера Карлесона в круге, 1 < р < оо. Тогда оператор

(WK*) = /(n)(*H,»00

имеет слабый тип (р,р) как оператор, действующий из Kq в Lp(p), и ограничен как оператор из Kq в Ьг(/л) для всякого г > р; более того, существует константа С — С (ft, р, г, п) такая, что

ll/(n4,nllL"(H) <C\\f\\r, f ^ Kq. (3)

Неравенство (1) представляет собой предельный случай теоремы 2.1.1 (горд(£) —» ]©'(() при р —• оо). В §2.5 построены примеры, показывающие, что вес wPi„(z) в неравенстве Бернштейна из теоремы 2.1.1 в определенном смысле оптимален. Он тесно связан с нормой функционала вычисления производной в точке z, а также с геометрическими свойствами множеств уровня функции 0. Для г € (0,1) положим f2(Q,e) = {z е 1 : |©(г)| < е} и de(Q = dist (С, П(0, г)), С € Т. Тогда d"(C) < Щ,п{(), С € Т (мы пишем g <h, если g < Ch для некоторой положительной константы С и всех допустимых значений переменных). Таким образом, как следствие теоремы 2.1.1 мы получаем, что на границе рост производных функций из Kq контролируется расстоянием до множества уровня.

Следствие 2.1.2. Пусть £ € (0,1), 1 < р < оо. Тогда ||/(п) -<£||р < C(p,n,£)\\f\\p, jeKl.

Существенную роль в изложении играют однокомпонентные внутренние функции, то есть такие внутренние функции 0, что множество Щ@,£) связно для некоторого £ 6 (0,1). В этом случае справедлива оценка, аналогичная неравенству М.Б. Левина (1):

Следствие 2.1.4. Пусть 0 - однокомпонентная внутренняя функция, 1 < р < оо. Тогда

/ |/(")(г)|р (i - |e(l)|)p"w ~ c(@>P>n>eWFP, feKl,

для всякой меры Карлесона у,, и, в частности,

||/W.|0'|-"||P<C(©,p,n)||/||p, /6Я|.

Доказательство теоремы 2.1.1 основано на теоремах об ограниченности некоторых сингулярных интегральных операторов в пространствах Lp{jj), связанных с мерами Карлесона. Эти результаты (теоремы 2.2.1 и 2.2.2) представляют, на наш взгляд, самостоятельный интерес.

Глава 3. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств в С+. В Главе 3 рассмотрен еще один тип неравенств Бернштейна для модельных пространств, отличных от неравенств из Главы 2. А именно, рассмотрены неравенства вида ||/'|в'|_а||р < С||/||Р, / 6 Kq. В §3.1 устанавливается следующая теорема:

Теорема 3.1.1. Пусть © - мероморфная внутренняя функция татя, что ©' € Ь°°{Щ, l<p<oou5s(0,1/2). Тогда

/l//(0lpl©'(0|-p+4+eA<Ctf-1||e'||i+e||/||j) feKpe, (4) J R

где константа С зависит только от р. Показатель р — \ в неравенстве (4) точен.

Одной из мотиваций для изучения именно таких весов служит для нас их роль в теореме К.М. Дьяконова об ограниченности и компактности оператора дифференцирования в Kq. Очевидно, неравенство (4) существенно сильнее неравенства (2), поскольку возможно,

что infR |0'| = 0 или даже G' 6 Со (К). Неравенство (4) представляет интерес даже для случая пространств Кq, порожденных конечными произведениями Бляшке, т.е. для рациональных функций с фиксированными полюсами. В §3.2 получены близкие оценки для случая произведений Бляшке с нулями, отделенными от вещественной оси (теорема 3.2.1).

Параграф 3.3 посвящен свойствам оператора дифференцирования в модельных подпространствах в Я1. Основной результат параграфа отвечает на поставленный К.М. Дьяконовым6 вопрос о необходимости условия 0' € L°°(R) для справедливости неравенства Берн-штейна в пространстве Kq и для вложения Kq С L°°(R).

Теорема 3.3.3. Существует такое произведение Бляшке В, что Л'д С K'jf и оператор дифференцирования V : / н-► /' ограничен из KlB eLl{U), но В' R).

В §3.4 рассмотрена связь ограниченности и компактности операторов дифференцирования с теоремой П. Кусиса-П.Д. Лакса о внутренней компактности. Показано, что теорема Кусиса непосредственно следует из компактности оператора дифференцирования в модельных пространствах. Также найдена интерпретация ограниченности оператора дифференцирования в терминах операторов сдвига (теорема 3.4.3).

Глава 4. Теоремы вложения карлесоновского типа для модельных пространств. В 1982 году У. Кон7 поставил следующую задачу: для данных внутренней функции 0 и показателя р > 1 описать борелевские меры ц в замкнутом круге D U Т такие, что пространство Kq вложено в Ьр(ц) или такие, что вложение компактно. Вложениям модельных пространств посвящены работы У. Кона, А.Л. Вольберга и С.Р. Треиля, А.Б. Александрова, Д. Сарасона, А.Л. Вольберга и Ф.Л. Назарова, Дж. Симы и А. Мейтсона, Несмотря на целый ряд интересных частичных результатов, вопрос остается открытым. Вложение Kq С Lp{fi) равносильно оценке

II/IIlpm < С||/||Р) / € К'в.

Множество мер /л с вышеуказанным свойством мы обозначим через

сР{в).

6К, М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Зап. научн. семин. ЛОМИ 190 (1991), 81-100.

7В. Cohn, Carleson measures for functions orthogonal to invariant subspaces, Pacific J. Math. 103 (1982), 2, 347-364.

Геометрическое условие на меру р., достаточное для вложения пространства Kq в Lp(fx), принадлежит A.JI. Вольбергу и С.Р. Тре-илю8: вложение Kq С LP{p) имеет место, если найдется £ 6 (0,1) такое, что д(5(/)) < С|7"| для всех квадратов Карлесона S(I), удовлетворяющих условию

s(/)nfi(e,<o ф<ь.

Таким образом, достаточно проверить условие Карлесона только для квадратов, пересекающих множество уровня. Обозначим через С(0) класс мер, удовлетворяющих условию теоремы Вольберга-Треиля для некоторого е 6 (0,1).

Особый интерес представляет случай, когда р, = ап5\п - дискретная мера; тогда вложение равносильно свойству Бесселя для системы воспроизводящих ядер {&ап}- С другой стороны, если ц = wm, где w £ Ь2(Т), то проблема вложения оказывается связанной со свойствами усеченного оператора Теплица Awf = Pq(w/). В настоящее время происходит интенсивное изучение усеченных операторов Теплица, инициированное работой Д. Сарасона.

Мы используем подход к теоремам вложения, основанный на неравенствах Бернштейна для пространств Kq, полученных в Главе 2. Этот подход позволил получить существенно новые теоремы вложения, обобщающие теорему Вольберга-Треиля и результаты Кона, а также результаты о компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам Шаттена-фон Неймана. Теорема вложения 4.1.1 дает наиболее общее из известных на данный момент условие, достаточное для ограниченности или компактности вложения.

Обобщенным квадратом Карлесона со стороной длины h в единичном круге будем называть множество вида

S(h,0,(t>0,h) = {ре1ф : h0 - < р< h0, Фо<Ф<Фо + Ь),

l1x

где ho 6 (0,1], ф0 £ R и 0 < h < 2irho. Мы будем обозначать через J(S) внешнюю сторону квадрата S, то есть J(S) = {hoe^ : фо < ф <

Фо + h).

Пусть {■S'jtjigfj - последовательность квадратов в ID), пусть Д обозначает внешнюю сторону квадрата S^, и пусть 6jk обозначает меру

8А.Л. Вольберг, С.Р. Треиль, Теоремы вложения для инвариантных подпространств оператора обратного сдвига, Зап. паучн. семин. ЛОМИ 149 (1986), 38-51.

Лебега на дуге Jk. Предположим, что 1 < г < р, а квадраты Sk удовлетворяют следующим двум условиям: мера J2k является мерой Карлесона, и

sup|Jfc| ■ \\w;l\\vLq{Jk) < оо, (5)

где uv(z) = гУгл(г) = !1^г1!г''"+1 г Vr + l/r' = 1> - вес из теоремы 2.1.1. Иначе говоря, последовательность квадратов {Sk} достаточно редкая, а их размеры контролируются неравенством (5).

Теорема 4.1.1. Пусть семейство квадратов {SfcjjteN удовлетворяет вышеуказанным условиям, и пусть р - борелевская мера на {JkSk. Тогда

(г) если fi(Sk) < C\Jk\, то р е Ср(&);

(и) если, к тому же, p{Sk) = o(|Jfc|), к —» оо, то вложение Kq С Lp(p) компактно.

. Заметим, что, как и в теореме Вольберга-Треиля, мы рассматриваем меры с условием Карлесона для специальною класса достаточно больших квадратов. Однако квадраты в теореме 4.1.1 могут быть существенно больше, чем в теореме Вольберга-Треиля. В частности, если р € С(0), то р = /^i + Д2> где мера удовлетворяет условиям теоремы 4.1.1 (г) для всех р > 1 и г 6 (1,р) (при некотором выборе семейства квадратов {5^}), в то время, как р2 - обычная мера Карлесона (предложение 4.2.3).

Одно из следствий теоремы 4.1.1 - геометрическое условие, достаточное для компактности вложения, аналогичное теореме Вольберга-Треиля. В случае однокомпонентных функций это условие оказывается также и необходимым. Данная теорема отвечает на вопрос, заданный в 2003 году Дж. Симой и А. Мейтсоном.

Теорема 4.1.2. Пусть 1 < р < оо, пусть р - борелевская мера на Б) и пусть £ £ (0,1). Тогда условие (г) влечет за собой условие (гг), где

(г) для всякого rj > 0 найдется б > 0 такое, что p(S(I))/\I\ < г], как только |/| < <5 и S(I) П П(©,е) ф 0;

(гг) вложение пространства Kq в Lv{p) компактно. Если внутренняя функция 0 однокомпонентнал, то верно и обратное: из условия (И) следует (г).

В §4.4—§4.5 исследована принадлежность оператора вложения Jp \ Kq —* L2(p), Jpf = /, идеалам Шаттена-фон Неймана Sr.

Мы дадим полное описание таких мер ц для случая однокомпо-нентной внутренней функций © и г > 1. Для £ 6 (0,1) мы рассмотрим разбиение типа Уитни множества Т \ ст(0) (где а(0) -спектр внутренней функции 0) в объединение дуг Д со свойством dist fi(0,e)) х |/jt|. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1.3. Пусть ц - борелевская л<ера такая, что supp /х с (Jj. S(Ik). Предположим, что для некоторого г > О

= (в)

Тогда J^ G 5, и ||JM||Sr < 9Яг(м).

Через Rn>m мы обозначим элементы стандартного диадического разбиения круга. Имеет место следующее необходимое условие, аналогичное теореме Д. Люкинга для классических пространств Харди и Бергмана.

Теорема 4.1.4. Пусть е € (0,1). Ec.au J^ € Sr, г > 1, то

£ (2>(Яп,т))г/2 < оо. (7)

Для однокомпонентных внутренних функций верны утверждения, обратные теоремам 4.1.4 и 4.1.5; в этом случае получено полное описание вложений класса ST, г > 1, обобщающее результаты О.Г. Парфенова о вложениях пространств Пэли-Винера.

Теорема 4.1.5. Пусть © - однокомпонентная внутренняя функция, и пусть ft - борелевская мера на Ои (Т\<т(0)). Тогда оператор вложения Jp принадлежит идеалу Sr, г > 1, в том и только в том случае, когда мера ц удовлетворяет условиям (6) и (7) для всякого £6(0,1).

В Главе 5 результаты Глав 2 и 4 распространены на несколько более широкий класс пространств аналитических функций, а именно на пространства де Бранжа-Ровняка 'Н(Ъ) (где Ь - функция из единичного шара пространства Н°°). Доказаны неравенства Бернштей-на для пространств l~i(b), н впервые рассмотрена задача о вложениях карлесоновского типа для Н(Ь).

Глава 6. Устойчивость базисов Рисса из воспроизводящих ядер. Исследование свойств полноты и минимальности, описание базисов Рисса и фреймов для систем функций специальною вида (и, в частности, для систем воспроизводящих ядер в различных функциональных пространствах) является классической задачей анализа. Однако для изучения геометрических свойств воспроизводящих ядер модельных пространств имеются особые причины. Первая из них связана с тем, что данная задача представляет собой очень естественное обобщение классической задачи гармонического анализа о свойствах систем экспонент в пространстве L2(0,a) (преобразование Фурье сопоставляет системе комплексных экспонент {ел} = {егА"'} систему воспроизводящих ядер пространства Пэли-Винера). Таким образом, задачи о системах воспроизводящих ядер в модельных пространствах включают в себя как частный случай знаменитую проблему Пэли и Винера о негармонических рядах Фурье, описание фреймов из экспонент и полноту систем экспонент, Вторая важная мотивация для изучения свойств семейств воспроизводящих ядер модельных пространств связана с приложениями к исследованию спектральных задач для операторов Шредингера9.

В этой главе мы рассматриваем модельные пространства в верхней полуплоскости (все результаты переносятся и на случай пространств в круге). Символом к\ будем обозначать нормированное воспроизводящее ядро пространства Kq, т.е. к\ = ^д/Н^лНг-

Полное описание базисов Рисса из экспонент было найдено Н.К. Никольским, B.C. Павловым и С.В. Хрущевым10. Ими рассмотрен также случай общих модельных пространств, и найдено описание базисов Рисса при дополнительном предположении

sup |©(An)| < 1. (8)

п

В этом случае система {к\п } будет базисом Рисса в Kq тогда и только тогда, когда последовательность Л = {Ап} удовлетворяет интерполяционному условию Карлесона, и оператор Теплица Tq^- (где - произведение Бляшке с нулями {А„}) обратим. Описание базисов

9С. Remling, Schrodinger operators and de Branges spaces, J. Fund. Anal. 196 (2002), 2, 323-394; N. Makarov, A. Poltoratski, Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle, Perspectives in analysis, Math. Phys. Stud. 27, Springer, Berlin, 2005, 185-252.

10S.V. Hruscev, N.K. Nikolskii, B.S. Pavlov, Unconditional bases of exponentials and of reproducing kernels, Lecture Notes in Math. 864 (1981), 214-335.

из воспроизводящих ядер в общем случае остается открытым вопросом. Более того, неизвестно даже, в любом ли модельном пространстве есть базис Рисса из воспроизводящих ядер (вопрос, связанный с возможностью аппроксимации произвольной внутренней функции интерполяционными произведениями Бляшке).

Результаты об устойчивости базисов Рисса из экспонент восходят к работам Пэли и Винера, М.И. Кадеца и др. Для воспроизводящих ядер модельных пространств устойчивость базисов из ядер при малых возмущения "частот" А„ рассматривалась в работах Э. Фрикена и У. Кона. Так Фрикен11 показал, что при условии (8) базисы Рисса устойчивы при возмущениях, малых в псевдогиперболической метрике p(z,w) = jfz§lf

У. Коном были получены результаты другого рода, относящиеся к возмущению ортогональных базисов де Бранжа-Кларка {A;tji}, tn 6 R. В статье12 показано, что для однокомпонентной функции © базисы де Бранжа-Кларка устойчивы относительно возмущений, малых по отношению к изменению аргумента функции 0.

В Главе 6 мы применим неравенства Бернштейна из Главы 2 к доказательству новых результатов об устойчивости базисов Рисса из воспроизводящих ядер. Пусть {/сдп} - базис Рисса в Kq. Мы рассматриваем следующую задачу: для каких малых возмущений точек А„ система тоже будет базисом Рисса? В даль-

нейшем мы будем рассматривать возмущения, остающиеся внутри некоторых окрестностей точек Ап. Через (u,v) обозначим интервал с концами и и и; S(u,v) обозначает меру Лебега на интервале (u,v). Пусть множество G = |Jn Gn С С+ UK, где Ап е Gn, удовлетворяет следующим условиям:

(i) существуют положительные константы с и С, такие, что c<||fc,j2/||*Aja<C, zn е Gn]

(и) для всех zn е Gn мера v = YLn будет мерой Карлесона,

и, к тому же, константы Карлесона таких мер ограничены равномерно по п и z„. Следует отметить, что для Ап € С+ всегда найдутся нетривиальные множества G„, удовлетворяющие условиям (г')-(и).

UE. Fricain, Bases of reproducing kernels in model spaces, J. Oper. Theory 46 (2001), 3, 517-543.

12W.S. Cohn, Carleson measures and operators on star-invariant subspa-ces, J. Oper. Theory 15 (1986), 1, 181-202.

Теперь мы сформулируем основной результат об устойчивости, применимый к произвольной внутренней функции © и последовательности Л.

Теорема 6.1.1. Пусть система нормированных воспроизводящих ядер {&а„} - базис Рисса в Kq, р € (1,2), 1 /р + Ijq = 1. Тогда для всякого семейства окрестностей G = (JnGn, удовлетворяющего условиям (г)-(и), найдется такое число £ > 0, что система {fc^n} - базис Рисса в Kq для любого набощ цп € Gn, удовлетворяющего условию

трпи / ii^ii^i^i <е- (9)

В частных случаях величина в формуле (9), измеряющая малость возмущения, сводится к белее простым геометрическим характеристикам (например, к евклидову или псевдогиперболическому расстоянию). Эта величина существенно зависят от свойств функции © и плотности ее спектра вблизи от рассматриваемых точек. Чем дальше от спектра мы находимся, тем большие возмущения допустимы. Мы полагаем, что функция расстояния в левой части неравенства (9) содержит в себе всю существенную информацию о геометрических свойствах внутренней функции © и является качественно оптимальной (мы не затрагиваем здесь количественные аспекты задачи, т.е. поиск точных констант, как в теореме Кадеца об 1/4).

Приведем ряд следствий теоремы 6.1.1, основанных на оценках норм воспроизводящих ядер из §2.3.

Следствие 6.1.2. Пусть ~ базис Рисса в Kq, и пусть а >

1/3. Тогда найдется такое число £ = £(а,А), что система {kMll} будет базисом для любой последовательности {р,п}, удовлетворяющей условию

p(\n,Mn)<£(l-\Q(\n)\)a. (10)

При условии (8) вышеупомянутая теорема Фрикена об устойчивости в псевдогиперболической метрике немедленно вытекает из следствия 6.1.2.

Следствие 6.1.3. Пусть © - однокомпонентная функция, а {А:дп} - базис Рисса в Kq. Тогда найдется такое число е > 0, что из неравенства

|А„ - Цп\ < = 4те1т А„(1 - (©(An)!)'1 (11)

следует, что система {кЙп} также будет базисом Рисса в Kq.

В частности, из условия (11) вытекает, что в случае одноком-понентной внутренней функции базисы из воспроизводящих ядер устойчивы относительно возмущений, малых в псевдогиперболической метрике.

Теорема 6.1.5. Пусть tn 6 R и пусть {fctn} - базис Рисса (соответственно, фрейм) в Kq . Тогда найдется такое число £> О, что система - базис Рисса (соответственно, фрейм) в Кв,

как только выполнено неравенство

J [|Q'(t)\ + \Q'(t)\~4^(t))dt<£,

<t„.«n>

где do(t) — dist (i,cr(©)), a cr(@) - спектр внутренней функции 0.

Как показано в §6.4, условие однокомпонентности существенно, и теорема Кона не может быть распространена на случай произвольных (даже мероморфных) внутренних функций. Теорема 6.1.5 представляет собой аналог теоремы Кона, справедливый для произвольных модельных пространств и совпадающий с ней в случае однокомпонентной функции.

В §6.5 рассматривается задача о справедливости гипотезы Фейх-тингера для систем воспроизводящих ядер в модельных пространствах. X. Фейхтингер задал следующий вопрос: верно ли, что всякая последовательность Бесселя {hn} в гильбертовом пространстве (т.е. система удовлетворяющая оценке |(/, /гп)н|2 < -^II/Uhi / € Н, для некоторой положительной константы В) представима как объединение конечного числа последовательностей Рисса (т.е. базисов Рисса в своей линейной оболочке) ?

Этот вопрос вызывает большой интерес и является в настоящее время объектом интенсивных исследований. В работах П. Касаззы, Р. Вершинина и др. было показано, что гипотеза Фейхтингера равносильна знаменитой гипотезе Кадисона-Зингера о чистых состояниях, а также многим другим важным проблемам анализа. Естественным классом систем функций для проверки гипотезы Фейхтингера

служат системы нормированных воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах аналитических функций. Этот частный случай гипотезы Фейхтингера был введен в рассмотрение Н.К. Никольским, как в абстрактной постановке, так и применительно к модельным пространствам.

К.М. Дьяконов показал, что гипотеза Фейхтингера для воспроизводящих ядер модельных подпространств справедлива при условии (8). Используя этот результат и теоремы об устойчивости базисов из ядер пз Главы 6, мы доказываем, что гипотеза Фейхтингера верна в модельных пространствах, порожденных однокомпонентными внутренними функциями.

Теорема 6.5.2. Пусть © - однокомпонентная внутренняя функция в В. Тогда всякая последовательность Бесселя нормированных воспроизводящих ядер {^а,,} в пространстве Kq представима как объединение конечного числа последовательностей Рисса.

Простым частным случаем теоремы 6.5.2 является утверждение о справедливости гипотезы Фейхтингера для всякой последовательности Бесселя из нормированных экспонент {елп/||ел11 Ц2} в L2(—a, а) (следствие 6.5.3).

Глава 7. Теоремы типа Берлинга-Мальявена для модельных пространств. В диссертации рассмотрен один из аспектов принципа неопределенности в гармоническом анализе, а именно, теоремы типа Берлинга-Мальявена о допустимых мажорантах (или мультипликаторах) для модельных пространств в Я2 = Я2(С+) (в этой части мы постоянно работаем в верхней полуплоскости С+). Глава 7 посвящена развитию методов и усилению результатов работ В.П. Хавина и Дж. Машреги13 о допустимых мажорантах.

Неотрицательную заданную на R функцию w будем называть допустимой мажорантой для пространства Kq, если найдется ненулевая функция / 6 Kq такая, что |/(.т)| < w(х) почти везде на К. Множество всех допустимых мажорант для Kq мы будем обозначать Adm(0). Необходимое условие допустимости мажоранты w -сходимость логарифмического интеграла

СЫ) = Г l0gy~[{x)dx < 00, (12)

./R 1 + X2

13V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of Я2. Part I: slow winding of the generating inner function. Can. J. Math. 55 (2003), 6, 12311263; Part II: fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1264-1301.

где log+1 — max(log t, 0). В дальнейшем мы всегда предполагаем, что выполнено условие Q = — log w е Ь^П), где П - мера Пуассона на

R, dH(t) = тг-1(1 + г2)-1Л.

Одна из классических задач гармонического анализа - описание допустимых мажорант для пространства Пэли-Винера PWa, то есть для Ь"-функцнй с ограниченным спектром в интервале (—а,а). Ее частичное решение дает знаменитая теорема Берлинга-Мальявена о мультипликаторе: если функция w удовлетворяет условию (12), а функция Q липшицева на R, то w допустима для всякого пространства PWa, а > 0. Это - глубокий результат, и в настоящее время известно несколько его доказательств.

Новый подход к теореме Берлинга-Мальявена, основанный на изучении преобразования Гильберта функции П, был недавно предложен в работах В.П. Хавина и Дж. Машреги. В сочетании с последующими результатами Ф.Л. Назарова этот подход приводит к новому (и, вероятно, самому короткому из известных) доказательству теоремы Берлинга-Мальявена. Это доказательство использует только методы вещественного анализа.

В работе В.П. Хавина и Дж. Машреги14 найдено полное описание допустимых мажорант для данного пространства Kq . В диссертации получено заметное упрощение этого результата (символ g обозначает преобразование Гильберта функции g 6 L1 (П)):

Теорема 7.1.1. Неотрицательная функция w такая, что П 6 ЬХ(П), принадлежит классу Adm(Q) тогда и только тогда, когда существует неотрицательная функция т € L°°(R) такая, что тли € £2(R), logт € ^(П) и

arg 0 + 2Q = 21og то + 2irk + 7 п.в. на R, (13)

где 7 € R, а к - измеримая целочисленная функция на К.

Чтобы применять теорему 7.1.1, необходимо иметь описание функций /, допускающих представление (13). Нами получено условие, достаточное для такого представления. Для этого выделим класс почти возрастающих функций, впервые возникший в работе15.

14V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part I: slow winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1231—

1263.

16V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of Я2. Part II: fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 12641301.

Обозначим через Osc(/, I) колебание функции / на множестве /, т.е. Osc(f,I) = sup,ite/(/(s) - /(f)). Абсолютно непрерывную функцию / будем называть почти возрастающей, если найдется такая строго возрастающая последовательность {dn}, что f(dn+i)—f(dn) х 1, п £ Z, для некоторой константы С > 0 выполнено Osc(/,/п) < С1, п 6 Z, и

1/'(*) -/'(01 <й < с

UnUi,,

при почти всех х £ 1п и для всех п £ Z. Здесь In = (dn,dn+ j), а символ |/| обозначает длину интервала I.

Свойство "почти возрастания" означает, что функция / мало отличается от достаточно регулярной возрастающей функции. Следующая теорема дает условие: на функцию /, достаточное для представимости (с точностью до ступенчатой функции) как преобразование Гильберта логарифма ограниченной функции.

Теорема 7.2.1. Пусть функция / почти возрастающая. Тогда / представима как / = 21ogm + 2irk + 7 п.в. на К, где т £ L°°(R) Г) Ь1(Щ, т > 0, log то £ 1Х(П); 7 € К, а к - измеримая целочисленная функция.

Теорема 7.2.1 была доказана в работе13 при дополнительных ограничениях на длины интервалов \In\ = dn+j — dn, а именно, что система интервалов "короткая" в смысле теории Берлинга-Мальявена. Теорема 7.2.1 показывает, что это условие можно исключить.

Допустимую для Kq мажоранту w будем называть минимальной, если для всякой мажоранты w\ £ Adm(©) такой, что w\ < Cw п.в. на К справедлива двусторонняя оценка W\ х w, то есть сги < Wj < Cw п.в. для некоторой константы с > 0. Одно из интересных следствий представления (13) заключается в том, что у любого модельного пространства есть минимальные мажоранты.

Следствие 7.4.3. Для всякой внутренней функции © существует минимальная мажоранта w £ Adm(©).

Как видно из доказательства, минимальные мажоранты могут иметь много вещественных нулей. Естественно задать следующий

16V.P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part II: fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 12641301.

вопрос: у каких модельных пространств есть "строго положительные" (т.е. отделенные от нуля на любом ограниченном промежутке) минимальные мажоранты? В том случае, когда © - мероморфная внутренняя функция, имеет место следующая дихотомия.

Теорема 7.4.7. Пусть Е - целая функция нулевого экспоненциального типа из класса Эрмита-Билера "ИВ, и пусть 0 = Е*/Е. Следующие утверждения равносильны:

1. 1 /Е £ L2(R), или, что равносильно, функция, тождественно равная 1, принадлежит пространству де Бранжа ~Н(Е);

2. у пространства Kq есть положительная и непрерывная минимальная мажоранта.

Эта теорема была доказана В.П. Хавиным и Дж. Маш-регн при дополнительном предположении о сходимости ряда

1гп|-1 log |z„|. Новое и очень короткое доказательство теоремы 7.4.7 дано в §7.4.

Глава 8. Мажоранты мероморфных функций с фиксированными полюсами. Здесь подробно исследована зависимость допустимых мажорант от распределения нулей мероморфного произведения Бляшке (напомним, что в этом случае Kq - пространство мероморфных функций с фиксированными полюсами в нижней полуплоскости) . Первая часть главы посвящена случаю редких нулей и анализу условия 1 /Е 6 L2(R) из теоремы 7.4.7 (критерия существования минимальной мажоранты, отделенной от нуля на компактных подмножествах прямой). Также рассмотрена близкая задача: для каких функций Е € ИВ множество всех полиномов V содержится и всюду плотно в Н(Е) ?

Простые геометрические условия на нули функции Е, обеспечивающие плотность полиномов были получены Н.И. Ахиезером и В.П. Гурарием (для случая, когда функция Е Е ИВ симметрична, то есть E*(z) = E(—z)). Дальнейшие геометрические критерии плотности полиномов в пространствах де Бранжа были получены М. Кальтенбеком и X. Ворачеком.

Следующая теорема дает простые геометрические условия, обобщающие результаты Ахиезера и Гурария.

Теорема 8.1.1. Следующие утверждения равносильны:

(г) Множество Q С С- обладает там свойством, что для всякого канонического произведения Е рода нуль с нулями в множестве П илхеет место включение V С Ti(E);

limsup i—г—-:—г-р- < оо.

г€п,|х|-оо |j/|(l + log|a;|)

Если равносильные условия (г)-(гг) выполнены, то CIosще)Р = ЩЕ).

Следующая теорема дает еще одно условие, достаточное для плотности полиномов. Чтобы его сформулировать, введем величину, измеряющую приближение нулей гп = хп + гуп к вещественной прямой для произвольной функции Е 6 "ИВ- Для R > О положим

S(R)= £ Re^- = X]

[xn\>R

Fn I>R'z"

Теорема 8.1.2. Пусть Е - каноническое произведение рода нуль и mfn уп > 0. Если для некоторой константы А > 0 выполнено S(R) < AR-\ R> 0, то C\osEV = ЩЕ).

Близкие результаты были независимо получены М. Кальтенбе-ком и X. Ворачеком17, однако теорема 8.1.2 полностью их перекрывает. Отметим, что теоремы 8.1.1 и 8.1.2 в тексте диссертации содержат аналогичные результаты для симметричных функций Е, которые мы здесь не приводим.

Хорошее понимание структуры множества допустимых мажорант для модельных пространств, порожденных мероморфными функциями, было достигнуто в двух ситуациях. Первая из них - случай медленного роста аргумента функции © (случай редких нулей), рассмотренный выше. При этом может существовать положительная минимальная мажоранта. Второй хорошо изученный класс модельных пространств - пространства, для которых рост аргумента (фазовой функции) (р функции © почти линеен (т.е. ^ х 1). Этот класс включает пространства Пэли-Винера, и к нему применима классическая теория Берлинга-Мальявена.

Между этими двумя случаями имелся определенный зазор. В диссертации рассмотрен ряд промежуточных ситуаций и исследована зависимость класса допустимых мажорант Adт(В) от распределения нулей произведения Бляшке В.

17М. Kaltenback, Н. Woracek, Hermite-Biehler functions with zeros close to the imaginary axis, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 1, 245-255

Введем понятие односторонней мажоранты, которое естественно использовать в случае асимметрии нулей: будем говорить, что w £ Adm.|.(0) (соответственно, w 6 Adm_(©)), если найдется такая ненулевая функция / G Kq, что |/(ж)| < w{x) для почти всех х > О (соответственно, для почти всех х < 0).

Пусть фазовая функция мероморфного произведения Бляшке В удовлетворяет условию

т.е. <р имеет почти линейный рост на положительной полуоси и логарифмический рост на отрицательной полуоси. Условие (14) выполнено, в частности, если последовательность {zn} равномерно распределена в полуполосе [0, оо) х [5, М], М > 5 > 0.

Теорема 8.2.3. Пусть мероморфное произведение Бляшке В с фазовой функцией tp удовлетворяет условию (14). Пусть w - неотрицательная функция на [0, оо), a Q = — log 1. Если w е Adm+(5), то

2. Если функция w положительная, пев взрастающая и интеграл в формуле гт(15) сходится, то w € Adm+(B) и ги(|а;|) 6

3. Мажоранта w(t) = ехр(—A\t\~^) принадлежит классу Adm_(Bi) для всякого А > 0. В то же время, если 11\1/2 = o(£l{t)) при t —> —оо, то w £ Adm_(i?i).

Далее рассматривается класс произведений Бляшке со степенным ростом нулей. Для /3 > 1/2 обозначим через Bp произведение Бляшке с простыми нулями в точках zn = vP + i, п € N (если (3 < 1/2, то условие Бляшке не выполнено). Нас интересует возможная скорость убывания допустимых мажорант для Квв ■ А именно, для а 6 (0,1) положим wa(x) = ехр(—|ж|,3!) и

Аналогичным образом можно определить числа а+(/3) и а_(/?) (заменив класс Adm(S/3) на Adm+(B/3) или Adm_(B/j)). Следующая теорема показывает, что даже такая простая характеристика убывания ведет себя довольно неожиданным образом.

y'Wxl, ж>1, у'йхК1, ж<-1, (14)

(15)

Adm(B).

а(Р) = sup{a : € А<1т(В/э)}.

Теорема 8.2.4. а(/3) = а+(0) и

(l/A /3>2, f 1/0, /J >2,

<*+(/?)= Ь/2, 2/3</?<2, а_(/?) = 1/2, 1 < /? < 2,

[-1+1//?, 1/2 < /? < 2/3; (l, 1/2</?<1.

Интересная особенность предельного показателя а(/3) заключается в его постоянстве при (3 £ [2/3,2], хотя для /? > 1 нули редки, в то время как в случае (5 < 1 нули намного более часты (последовательность не является интерполяционной). Похожее явление можно наблюдать в задаче о полиномиальной аппроксимации на дискретных подмножествах вещественной прямой (см. §8.5). Эта задача оказывается тесно связанной с задачей о допустимых мажорантах.

В доказательстве вышеприведенных теорем используются общие критерии допустимости из Главы 7 и методы статей В.П. Хавина-Дж. Машреги в сочетании с некоторыми результатами о квазианалитичности.

Глава 9. Полнота систем воспроизводящих ядер. В Главе 9 рассматривается задача о полноте системы воспроизводящих ядер в Kq, а также о полноте системы, биортогональной к полной системе воспроизводящих ядер.

Значительный прогресс в задаче о полноте систем воспроизводящих ядер был достигнут недавно в работах Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого, где был получен критерий (в терминах инъ-ективности операторов Теплица) полноты систем воспроизводящих ядер в пространствах Ке. порожденных мероморфными внутренними функциями. Приведем следующий критерий полноты системы воспроизводящих ядер, являющийся (небольшим) обобщением теоремы, доказанной в статье18 для случая мероморфных внутренних функций. Отметим, что критерий полноты имеет почти тот же вид, что и критерий допустимости мажоранты в теореме 7.1.1.

Теорема 9.1.1. Пусть Л == {Ап} С С+ и пусть Вд - произведение Бляшке с нулями {Ап}. Тогда система <"С(Л) = {^А„} не полна в Kq тогда и только тогда, когда найдутся неотрицательная функция т 6 L2(R), logm € ^(П), измеримая целочисленная функция к и

1SN. Makarov, A. Poltoratski, Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle, Perspectives in analysis, Math. Phys. Stud. 27, Springer, Berlin, 2005, 185-252.

вещественное число 7 такие, что

arg © — arg Вд = 21og т + 2nk + 7 п.в. на К.

В частности, если © мероморфна и функция р — <рл почти возрастает, то система fC(A) не полна в Kq (здесь ip и - фазовые функции для В и Вд соответственно).

Аналогичные результаты (теорема 9.1.2) справедливы и для случая, когда часть точек лежит на R в предположении, что функция © аналитична в окрестностях этих точек.

Первое приложение теоремы 9.1.1 связано с устойчивостью свойства полноты. В случае систем экспонент результаты такого рода были получены Н. Левинсоном и Р. Редхеффером. Для систем ядер в общих модельных пространствах теорема об устойчивости была получена Э. Фрикеном19: если система {кцполна в Kq и

]Гп < со, то система {&а„} также полна в Kq. В диссер-

тации получено следующее обобщение этого результата.

Теорема 9.2.1. Пусть А = {An}, М — {fin}, где Ап,р,п £ С+, и предположим, что система К.(М) полна е Kq. Если для некоторого выбора аргументов </?д и <рм произведений Бляшке Вд и Вм выполнено (рь — (рм € L1 (П) и

{<Р\ - <рм)~ е (16)

то система 1С(А) также полна в Kq. Условие (16) выполнено, в частности, если

П<еЬ°°(Ш), где K{t) = J

■ Vn

t - цп

(17)

Очевидно, условие теоремы Фрикена равносильно тому, что |АП — Mn|/Im/in < 00, откуда немедленно вытекает ограниченность функции (17). Таким образом, теорема Фрикена (содержащая, в частности, известную теорему Редхеффера об устойчивости полноты экспонент) является частным случаем теоремы 9.2.1. Преимущество условия (17) в том, что оно учитывает распределение последовательности {дп}.

19Е. Fricain, Completude des noyaux reproduisarits dans les espaces modeles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52 ( 2002), 2, 661-686.

Следующая теорема дает критерии полноты системы К,(Т), Т С R, в терминах некоторых верхней и нижней плотностей. Идея состоит в том, чтобы сравнить плотность последовательности Т с плотностью некоторой канонической полной системы, а именно, носителя базиса де Бранжа-Кларка. Пусть 0 - мероморфная внутренняя функция с фазовой функцией ip. Пусть {к3п} - некоторый базис де Бранжа-Кларка, т.е. точки sn представляют собой решения уравнения </?(s„) = а + 27гп для некоторого а € [0, 2п).

Чтобы определить, будет ли вещественная последовательность Т = {tm} множеством единственности для Kq, рассмотрим следующие плотности. Для г е N положим

(аналогично определим D-{T,r) как инфимум того же самого выражения) , а затем положим

Плотности D+{T) и D-(T) были введены Ю.И. Любарским и К. Сейпом для специального класса так называемых весовых пространств Пэли-Винера; для стандартных пространств Пэли-Винера они совпадают с классическими плотностями Берлинга.

Теорема 9.2.5. Пусть 0 - мероморфная внутренняя функция такая, что 0' е L°°{R), и пусть {sn}, Т = {tm}, D+{T) и D-{T) me же, что и выше. Предположим также, что

Тогда Т не будет множеством единственности для Kq при D+(T) < 1 и будет лтожеством единственности для Kq при

Геометрически условие (18) означает, что последовательность {sn} либо достаточно редкая, либо обладает значительной симметрией. Отметим, что для справедливости первого утверждения в теореме 9.2.5 условие регулярности 0' 6 L°°(R) очень существенно. Можно построить пример мероморфной внутренней функции 0, удовлетворяющей условию (18), для которой однако существует систе-

D+(T,r) = sup#{?n : tm € [s„,sn+r)}

n

< ОО.

(18)

D.(T) > 1.

ма ядер К{Т) с D+(T) < 1, обладающая свойством сверхполноты (т.е. любая бесконечная подпоследовательность которой остается полной).

Еще одна задача о полноте, которую мы рассмотрим в §9.3, относится к полноте системы, биортогональкой к полной минимальной системе воспроизводящих ядер - вопрос, представляющий интерес с точки зрения задач спектрального синтеза в модельных пространствах. Р. Янг показал, что система, биортогональная к системе экспонент в L2(—а, а) (или, что то же самое, к системе воспроизводящих ядер пространства PWa), всегда полна. Этот результат был обобщен Э. Фрикеном на системы воспроизводящих ядер в модельном пространстве Kq при условии ©' е L°°(R).

Мы еще расширим класс модельных пространств, в которых система, биортогональная к полной и минимальной системе воспроизводящих ядер, всегда полна. Будем говорить, что в - внутренняя функция умеренного роста, если 0 мероморфна и |©'(0| < С(1 + \t])N, t 6 R, для некоторого N > 0.

Теорема 9.3.1. Пусть © - внутренняя функция умеренного роста и а — & £ L?(R) для всякого а с |а| = 1. Если система р„ € С+, полна и лшнималъна, то и биортогональная к ней система полна в Kq

В Главе 10 рассмотрена связь допустимых мажорант со структурой подпространств в пространствах де Бранжа Ti{E) (напомним, что один из основных результатов теории де Бранжа состоит в упорядоченности его подпространств, которые сами являются про-странсвами де Бранжа). Для множества D С С+ U R и функции m : D —» [0,оо) положим

Пт(ЩЕ)) = Chsn{B) { F € ЩЕ) : |F(*)|, \F(z)\ < m(2), * € D }

Основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 10.5.7. Пусть Н(Е) - пространство де Бранжа, a Ti(Ei) - его подпространство. Тогда найдется такая мажоранта тп, что

Пт(Н{Е)) = П(Е1).

Если при этом функция Ei/E не обращается в нуль на R, то можно выбрать мажоранту ш, заданную на Ж+ (теорема 10.5.1), а при условии mt ^ = 0 (где mt / - средний тип функции / класса Неванлинны) подпространство Ti(Ei) можно получить с помощью мажорирования на R (теорема 10.3.1).

Отметим также следствие 10.3.7: если заданная на R и отделенная от нуля на компактах функция m - допустимая мажоранта для PWa (например, допустимая мажоранта из теоремы Берлинга-Мальявена), то функции F 6 PWa, удовлетворяющие оценке |F| < m на М, всюду плотны в PWa.

Основные публикации по теме диссертации

[1| Весовые неравенства Бернштейпа и теоремы вложения для модельных подпространств, Алгебра и Анализ, 15 (2003), 138-168.

Об оценках Ьр-норм производных в пространствах целых функций, Записки научных семинаров ПОМИ, 303 (2003), 5-33.

Weighted Bernstein-type inequalities for shift-coinvariant subspaces and their applications to Carleson embeddings, Journal of Functional Analysis, 223 (2005), 1, 116-146.

Stability of bases and frames of reproducing kernels in model spaces, Annales de I'Institut Fourier (Grenoble), 55 (2005), 7, 2399-2422.

Внутренне-компактные подпространства и дифференцирование в модельных подпространствах, Записки научных семинаров ПОМИ, 327 (2005), 17-24.

Polynomials in the de Branges spaces of entire functions, Arkiv for Matematik, 44 (2006), 1, 16-38.

On L1-norms of meromorphic functions with fixed poles, Proceedings of American Mathematical Society, 134 (2006), 10, 3003-3012.

Допустимые мажоранты для модельных подпространств и аргументы внутренних функций, Функциональный анализ и его приложения, 40 (2006), 4, 2-21 (совместно с В.П. Хавиным).

Completeness and Riesz bases of reproducing kernels in model subspaces, International Mathematics Research Notices, vol. 2006, Article ID 81530, 34 pages, 2006.

Admissible majorants for meromorphic functions with fixed poles, Indiana University Mathematics Journal, 56 (2007), 4, 1595-1628 (совместно с В.П. Хавиным и А.А. Боричевым).

[11] Subspaces of de Branges spaces generated by majorants, Canadian Journal of Mathematics, 61 (2009), 3, 503-517 (совместно с X. Ворачеком).

[12] Вложения модельных подпространств класса Харди: компактность и идеалы Шаттена-фон Неймана, Известия РАН. Серия Математическая, 73 (2009), 6, 3-28.

[13] Weighted norm inequalities for de Branges-Rovnyak spaces and their applications, American Journal of Mathematics, 132 (2010), 1, 125-155 (совместно с Э. Фрикеном и Дж. Машреги).

[14] Majorization in de Branges spaces I. Representability of subspaces, Journal of Functional Analysis, 258 (2010), 8, 2601-2636 (совместно с X. Ворачеком).

[15] Majorization in de Branges spaces. III. Division by Blaschke products, Алгебра и анализ, 21 (2009), 6, 3-46 (совместно с X. Ворачеком).

[16] Изометрические вложения пространств Kq в верхней полуплоскости, Проблемы математического анализа, 21, Научная книга, Новосибирск, 2000, 27-68.

[17] Неравенства Бернштейна в пространствах де Бранжа и теоремы вложения, Труды С .-Петербургского математического общества, 9 (2001), 23-53.

Отпечатано в ООО «Издательство Алекс», Санкт-Петербург, 22-я линия, д.З Подписано в печать 19.04.2011 г.Усл. печ. л.4,5. Зак. №40т. Тираж 80.

Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства определяют как Ке = Н2 © &Н2, где Н2 - пространство Харди в единичном круге В (или в верхней полуплоскости С+), а в - внутренняя функция. Согласно классической теореме А. Берлинга подпространства К& и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в Н2. Теория пространств К@ играет выдающуюся роль в современной теории операторов в гильбертовом пространстве и в комплексном анализе.

Становление теории модельных пространств относится к 1960-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории - функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор сжатия Т (то есть оператор, удовлетворящий условию ||Т|| < 1) такой, что последовательность {Тп}п>о поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора "кратного сдвига" на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I — Т*Т - оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с некоторым подпространством К@ в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное {под) пространство.

Одновременно, в конце 1950-х - начале 1960-х годов, Л. де Бранж создал теорию гильбертовых пространств целых функций. Эта теория позволила решить одну из важнейших задач математической физики, а именно обратную спектральную задачу для одномерных операторов Шредингера и двумерных канонических систем. Теория пространств де Бранжа тесно связана с теорией модельных пространств (а именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными пространствами, порожденными мероморфными внутренними функциями).

Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах X. Шапиро, А. Шилдса, Н.К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве Н2 (соответственно в Нр). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д. Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кона.

Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций. Существенную роль в становлении теории модельных пространств сыграла монография Н.К. Никольского "Лекции об операторе сдвига", появившаяся в 1980 году. Значительные результаты в этой области были получены A.B. Александровым, В.И. Васюниным, A.JI. Вольбергом, С.Р. Треилем, K.M. Дьяконовым, А.Г. Полторацким. В работах Н.К. Никольского, C.B. Хрущева и B.C. Павлова были получены важные результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.

В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В.П. Хавина (в соавторстве с Дж. Машреги) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме Берлинга-Мальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории Берлинга-Мальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему Берлинга-Мальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены приложения к вопросам полноты собственных функций операторов Шредингера.

Несмотря на успешное и активное развитие теории модельных пространств, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач, является, например, описание мер Карлесона для модельных пространств, представляющее особый интерес в свете недавних работ Д. Сарасона об усеченных операторах Теплица.

Другие нерешенные вопросы связаны с геометрическими свойствами систем воспроизводящих ядер - нет полного описания базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельном пространстве (и даже неизвестно, всегда ли существует базис Рисса из ядер), представляют интерес явные и легко проверяемые критерии полноты (т.е. описание множеств единственности), вопросы полноты систем, биортогональных системам воспроизводящих ядер, и возможность спектрального синтеза. Отметим, что для широкого класса операторов Шредингера имеется канонический изоморфизм (преобразование Вейля-Титчмарша), сопоставляющее данной спектральной задаче некоторое модельное пространство К©, причем собственным функциям отвечают воспроизводящие ядра в К©. Таким образом, геометрические свойства систем воспроизводящих ядер представляют значительный интерес с точки зрения спектральной теории операторов Шредингера.

В диссертации получены новые результаты, относящиеся к теоретико-функциональным и геометрическим свойствам модельных пространств. Можно выделить следующие основные направления исследований: весовые неравенства Бернштейна для модельных пространств;

1. А. Б. Александров, Внутренние функции и связанные с ними пространства псевдо-продолжимых функций, Зап. научи, семин. ПОМИ170 (1989), 7-33.

2. А. Б. Александров, О существовании угловых граничных значений псевдопродол-жимых функций, Зап. научн. семин. ПОМИ 222 (1995), 5-17.

3. А. Б. Александров, Простое доказательство теоремы Вольберга-Треиля о вложении коинвариантных подпространств оператора сдвига, Зап. научн. семин. ПОМИ 217 (1994), 16-25.

4. А. Б. Александров, О теоремах вложения для коинвариантных подпространств оператора сдвига. И, Зап. научн. семин. ПОМИ 262 (1999), 5-48.

5. Н. И. Ахиезер, Об одном обобщении преобразования Фурье и теоремы Винер-Палей, Докл. АН СССР 96 (1954), 889-892.

6. Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов, М., Физматлит, 1961.

7. А. Д. Баранов, Изометрические вложения пространств К@ в верхней полуплоскости, Проблемы математического анализа 21, Научная книга, Новосибирск, 2000, 27-68.

8. Ю. С. Белов, Критерии допустимости мажорант для модельных подпространств с быстро растущим аргументом порождающей внутренней функции, Зап. научн. семин. ПОМИЪАЬ (2007), 55-84.

9. Ю. С. Белов, Необходимые условия допустимости мажорант для некоторых модельных подпространств, Алгебра и анализ 20 (2008), 4, 1-26.

10. Ю. А. Брудный, Е. А. Горин, Изометрические представления и дифференциальные неравенства, Ярославль, 1981.

11. А. Л. Вольберг, С. Р. Треиль, Теоремы вложения для инвариантных подпространств оператора обратного сдвига, Зап. научн. семин. ЛОМИ 149 (1986), 38-51.

12. Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, М., Мир, 1984.

13. А. А. Гончар, Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций. В кн. Труды Международного конгресса математиков. 1966, М., 1968, 329-356.

14. Е. А. Горин, Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов, Вестник. Харьков, унив. сер. прикл. мат. и мех., (1980), 77-105.

15. К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций, М., ИЛ, 1963.

16. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, М., Наука, 1965.

17. В. П. Гурарий, Преобразование Фурье в L2{—оо, оо) с весом, Матем. сб. 58(100) (1962), 4, 439-452.

18. В. И. Данченко, Об одной интегральной оценке производной рациональной функции, Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), 2, 277-293.

19. JI. Н. Довбыш, Н. К. Никольский, В. Н. Судаков, Насколько хорошим может быть ненаследственно полное семейство? Зап. паучн. семин. ЛОМИ 73 (1977), 52-69.

20. Е. П. Долженко, Оценки производных рациональных функций, Изв. АН СССР. Сер. матем. 27 (1963), 1, 9-28.

21. В. Н. Дубинин, С. И. Калмыков, Принцип мажорации для мероморфных функций, Матем. сб. 198 (2007), 12, 37-46.

22. К. М. Дьяконов, Модули и аргументы аналитических функций из подпространств в Нр, инвариантных для оператора обратного сдвига, Сиб. мат. оюур. 31 (1990), 6, 64-79.

23. К. М. Дьяконов, Целые функции экспоненциального типа и модельные подпространства в Нр, Зап. паучн. семин. ЛОМИ 190 (1991), 81-100.

24. Б. Ерикке, В. П. Хавин, Следы гармонических функций и сравнение //-норм аналитических функций, Math. Nachr. 123 (1985), 225-254.

25. M. И. Кадец, Точное значение постоянной Палея-Винера, Докл. АН СССР 155 (1964), 1253-1254.

26. Б. И. Коренблюм, Квазианалитические классы функций в круге, Докл. АН СССР 164 (1965), 1, 36-39.

27. И. Ф. Красичков-Терновский, Интерпретация теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты, Матем. сб. 180 (1989), 3, 397-423.

28. П. Кусис, Введение в теорию пространств Нр, М., Мир, 1984.

29. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций. М., Гостехиздат, 1956.

30. М. Б. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области, Докл. АН СССР 15 (1974), 3, 831-834.

31. М. Б. Левин, Оценка производной от мероморфной функции на границе области, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып. 24, Харьков, 1975, 68-85.

32. В. Н. Логвиненко, Ю. Ф. Середа, Эквивалентные нормы в пространстве целых функций экспоненциального типа, Теория функций, функциональный анализ и их приложения 19, Харьков, 1973, 102-111.

33. Дж. Машреги, Ф. Л. Назаров, В. П. Хавин, Теорема Берлинга-Мальявена: седьмое доказательство, Алгебра и Анализ 17 (2005), 5, 3-68.

34. С. Н. Мергелян, Весовые приближения многочленами, Успехи мат. наук 11 (1956), 5, 107-152.

35. А. М. Минкин, Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент, Алгебра и анализ 3 (1991), 5, 109-134.

36. Н. К. Никольский, Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа, Труды МИАН им. Стеклова 120 (1974).

37. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, М., Наука, 1980.

38. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., Наука, 1969.

39. Б. С. Павлов, Базисность систем экспонент и условие Макенхоупта, Докл. АН СССР 247 (1979), 1, 37-40.

40. Б. П. Панеях, Некоторые неравенства для функций экспоненциального типа и априорные оценки для общих дифференциальных операторов, Успехи матем. наук 21 (1966), 3, 75-114.

41. О. Г. Парфенов, О свойствах операторов вложения некоторых классов аналитических функций, Алгебра и анализ 3 (1991), 2, 199-222.

42. О. Г. Парфенов, Весовые оценки преобразования Фурье, Зап. научн. семин. ПОМИ 222 (1995), 151-162.

43. А. А. Пекарский, Неравенства тира Бернштейна для произвольных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации, Матем. сб. 124(166) (1984), 4(8), 571-588.

44. В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля класса 6Р и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажорации операторов), Матем. сб. 113(155) (1980), 4(12), 538-581.

45. В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля и их прилоэ!сения, Ижевск, РХД, 2005.

46. А. Г. Полторацкий, Граничное поведение псевдопродолжимых функций, Алгебра и анализ 5 (1993), 2, 189-210.

47. В. Н. Русак, Рациональные функции как аппарат приближения, Минск, Изд. БГУ, 1979.

48. А. М. Седлецкий, Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации, М., ФМЛ, 2005.

49. Б. Секефальви-Надь, Ч. Фойаш, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, М., Мир, 1971.

50. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.

51. Б. Н. Хабибуллин, Полнота систем экспонент и множества единственности, Уфа, РИЦ БашГУ, 2008.

52. P. R. Ahern, D. N. Clark, Radial limits and invariant subspaces, Amer. J. Math. 921970), 332-342.

53. P. R. Ahern, D. N. Clark, Radial nth derivatives of Blaschke products, Math. Scand. 281971), 189-201.

54. A. B. Aleksandrov, On embedding theorems for coinvariant subspaces of the shift operator. I, Operator Theory: Advances and Applications 113 (2000), 45-64.

55. J. M. Anderson, J. Rovnyak, On generalized Schwarz-Pick estimates, Mathematika 53 (2006), 1, 161-168.

56. S. A. Avdonin, S. A. Ivanov, Families of Exponentials. The Method of Moments in Controllability Problems for Distributed Parameter Systems, N.Y., Cambridge Univ. Press, 1995.

57. Yu. S. Belov, T. Y. Mengestie, K. Seip, Discrete Hilbert transforms on sparse sequences, arXiv:0912.2899vl, to appear in Proc. bond. Math. Soc.

58. A. Beurling, P. Malliavin, On Fourier transforms of measures with compact support, Acta Math. 107 (1962), 291-309.

59. A. Beurling, P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math. 118 (1967), 79-93.61. 0. Blasco, H. Jarchow, A note on Carleson measures for Hardy spaces, Acta Sci. Math (Szeged), 71 (2005), 2, 371-389.

60. A. Borichev, M. Sodin, Weighted polynomial approximation and the Hamburger moment problem, Complex analysis and differential equations, Proceedings of the Marcus Wallenberg Symposium in Honor of Matts Essen, Uppsala University, 1998.

61. A. Borichev, M. Sodin, The Hamburger moment problem and weighted polynomial approximation on discrete subsets of the real line, J. Anal. Math. 76 (1998), 219-264.

62. P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer-Verlag, 1995.

63. P. Borwein, T. Erdelyi, Sharp extensions of Bernstein's inequality to rational spaces, Mathematika 43 (1996), 2, 413-423.

64. L. de Branges, Some Hilbert spaces of entire functions, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 5, 840-846.

65. L. de Branges, Some Hilbert spaces of entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 96 (1960), 259-295.

66. L. de Branges, J. Rovnyak, Canonical models in quantum scattering theory, 295-392. In: Perturbation theory and its application in quantum mecanics, Madison, 1965, ed. C.H.Wilcox, Wiley, N.Y., 1966.

67. L. de Branges, J. Rovnyak, Square Summable Power Series, Holt, Rinehart and Winston, N.Y., 1966.

68. L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice Hall, Englewood Cliffs (NJ), 1968.

69. P. G. Casazza, 0. Christensen, A. Lindner, R. Vershynin, Frames and the Feichtinger conjecture, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 1025-1033.

70. P. G. Casazza, J. C. Tremain, The Kadison-Singer problem in mathematics and engineering, Proc. Natl. Acad. Sei. USA 103 (2006), 2032-2039.

71. J. A. Cima, A. L. Matheson, On Carleson embeddings of star-invariant subspaces, Quaest. Math. 26 (2003), 3, 279-288.

72. J. A. Cima, W. T. Ross, The Backward Shift on the Hardy Space, Math. Surveys Monogr. 79, AMS, Providence, RI, 2000.

73. D. N. Clark, One-dimensional perturbations of restricted shifts, J. Anal. Math. 25 (1972), 169-191.

74. B. Cohn, Carleson measures for functions orthogonal to invariant subspaces, Pacific J. Math. 103 (1982), 2, 347-364.i

75. W. S. Cohn, Radial limits and star invariant subspaces of bounded mean oscillation, Amer. J. Math. 108 (1986), 3, 719-749.

76. W. S. Cohn, Carleson measures and operators on star-invariant subspaces, J. Oper. Theory 15 (1986), 1, 181-202.

77. W. S. Cohn, On fractional derivatives and star invariant subspaces, Michigan Math. J. 34 (1987), 3, 391-406.

78. K. M. Dyakonov, Moment problems for bounded functions, Comm. Anal. Geom. 2 (1994), 4, 533-562.

79. K. M. Dyakonov, Smooth functions in the range of a Hankel operator, Indiana Univ. Math. J. 43 (1994), 805-838.

80. K. M. Dyakonov, Embedding theorems for star-invariant subspaces generated by smooth inner functions, J. Fund. Anal. 157 (1998), 588-598.

81. K. M. Dyakonov, Continuous and compact embeddings between star-invariant subspaces, Oper. Theory Adv. Appl. 113 (2000), 65-76.

82. K. M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces I: Boundedness and compactness, J. Fund. Anal. 192 (2002), 364-386.

83. K. M. Dyakonov, Differentiation in star-invariant subspaces II: Schatten class criteria, J. Fund. Anal. 192 (2002), 387-409.

84. H. Dym, H. McKean, Gaussian Processes, Function Theory, and the Inverse Spectral Problem, Academic Press, New York, 1976.

85. J. P. Earl, On the interpolation of bounded sequences by bounded functions, J. Lond. Math. Soc. 2 (1970), 544-548.

86. E. Fricain, Bases of reproducing kernels in model spaces, J. Oper. Theory 46 (2001), 3 (suppl.), 517-543.

87. E. Fricain, Completude des noyaux reproduisants dans les espaces modeles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52 (2002), 2, 661-686.

88. E. Fricain, J. Mashreghi, Boundary behavior of functions of the de Branges spaces, Complex Anal. Oper. Theory, 2 (2008), 87-97.

89. E. Fricain, J. Mashreghi, Integral representation of the n-th derivative in de Branges-Rovnyak spaces and the norm convergence of its reproducing kernel, Annales de l'Institut Fourier, 58 (2008), 6, 2113-2135.

90. I. Gohberg, M. G. Krem, Theory and Applications of Volterra Operators in Hilbert Space, Translations of Mathematical Monographs, AMS. Providence, Rhode Island, 1970.

91. L. Golinskii, I. Mikhailova, Hilbert spaces of entire functions as a ./-theory subject, Oper. Theory Adv. Appl. 95 (1997), 205-251.

92. M. L. Gorbachuk, V. I. Gorbachuk, M.G. Krein's lectures on entire operators, Oper. Theory Adv. Appl. 97, Birkhäuser Verlag, Basel, 1997.

93. A. Hartmann, D. Sarason, K. Seip, Surjective Toeplitz operators, Acta Sei. Math. (Szeged) 70 (2004), 3-4, 609-621.

94. S. Hassi, H. S. V. de Snoo, H. Winkler, Boundary-value problems for two-dimensional canonical systems, Integr. Equ. Oper. Theory 36 (2000), 4, 445-479.

95. V. Havin, B. Jöricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

96. V. P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part I: slow winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1231-1263.

97. V. P. Havin, J. Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2. Part II: fast winding of the generating inner function, Can. J. Math. 55 (2003), 6, 1264-1301.

98. H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu, Theory of Bergman Spaces, Graduate Texts in Mathematics 199, Springer-Verlag, New York-Berlin, 2000.

99. S. V. Hruscev, N. K. Nikolskii, B. S. Pavlov, Unconditional bases of exponentials and of reproducing kernels, Lecture Notes in Math. 864 (1981), 214-335.

100. M. Kaltenbäck, H. Woracek, Hermite-Biehler functions with zeros close to the imaginary axis, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 1, 245-255.

101. M. Kaltenbäck, H. Woracek, De Branges spaces of exponential type: general theory of growth, Acta Sei. Math. (Szeged) 71 (2005), 1-2, 231-284.

102. P. Koosis, Interior compact spaces of functions on a half-line, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 583-615.

103. P. Koosis, The Logarithmic Integral I, Cambridge Stud. Adv. Math. 12, 1988.

104. P. Koosis, The Logarithmic Integral II, Cambridge Stud. Adv. Math. 21, 1992.

105. P. Koosis, Measures orthogonales extrémales pour l'approximation ponderée par des polynomes, C.R. Acad. Sci. Paris 311 (1990), 503-506.

106. P. Koosis, Leçons sur le Théorème de Beurling et Malliavin, Les Publications CRM, Montréal, 1996.

107. P. Koosis, Estimating polynomials and entire functions by using their logarithmic sums over complex sequences, St. Petersburg Math. J. 13 (2002), 5, 757-789.

108. P. D. Lax, Remarks on the preceding paper, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 617622.

109. B. Ya. Levin, Lectures on Entire Functions, Tïansl. Math. Monogr. Vol. 150, AMS, Providence, RI, 1996.

110. X. Li, R. N. Mohapatra, R. S. Rodriguez, Bernstein-type inequalities for rational functions with prescribed poles, J. London Math. Soc. 51 (1995), 2, 523-531.

111. D. H. Luecking, Trace ideal criteria for Toeplitz operators, J. Funct. Anal. 73 (1987), 2, 345-368.

112. Yu. I. Lyubarskii, K. Seip, Complete interpolation sequences for Paley-Wiener spaces and Muckenhoupt's (Ap) condition, Rev. Mat. Iber. 13 (1997), 2, 361-376.

113. Yu. I. Lyubarskii, K. Seip, Weighted Paley-Wiener spaces, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 4, 979-1006.

114. H. P. McKean, Some questions about Hardy functions, Linear and Complex Analysis Problem Book 3, Part I (V.P. Havin, N. K.Nikolski Eds.), Led. Notes Math. 1573 (1994), 157-158.

115. N. Makarov, A. Poltoratski, Meromorphic inner functions, Toeplitz kernels and the uncertainty principle, Perspectives in Analysis, Math. Phys. Stud. 27, Springer, Berlin, 2005, 185-252.

116. N. Makarov, A. Poltoratski, Beurling-Malliavin theory for Toeplitz kernels, Invent. Math. 180, 3 (2010), 443-480.

117. F. Nazarov, A. Volberg, The Bellman function, the two-weight Hilbert transform, and embeddings of the model spaces K&, J. Anal. Math. 87 (2002), 385-414.

118. N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: an Easy Reading. Vol. 1. Hardy, Hankel, and Toeplitz, Math. Surveys and Monographs, 92, AMS, Providence, RI, 2002.

119. N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: an Easy Reading. Vol. 2. Model Operators and Systems, Math. Surveys and Monographs, 93, AMS, Providence, RI, 2002.

120. J. Ortega-Cerdà, K. Seip, Fourier frames, Ann. of Math. (2), 155 (2002), 3, 789-806.

121. S. С. Power, Vanishing Carleson measures, Bull. bond. Math. Soc. 12 (1980), 3, 207-210.

122. Q. I. Rahman, G. Schmeisser, LP inequalities for entire functions of exponential type, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 1, 91-103.

123. Q. I. Rahman, Q. M. Tariq, On Bernstein's inequality for entire functions of exponential type, Comput. Methods Funct. Theory 7 (2007), 1, 167-184.

124. R. M. Redheffer, Completeness of sets of complex exponentials, Adv. Math. 24 (1977), 1, 1-62.

125. C. Remling, Schrodinger operators and de Branges spaces, J. Funct. Anal. 196 (2002), 2, 323-394.

126. D. Sarason, Sub-Hardy Hilbert Spaces in the Unit Disk, University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences 10, John Wiley & Sons Inc., New York, 1994.

127. D. Sarason, Algebraic properties of truncated Toeplitz operators, Oper. Matrices 1 (2007), 4, 491-526.

128. K. Seip, On the connection between exponential bases and certain related sequences in L2{-7Т,7г), J. Funct. Anal. 130 (1995), 1, 131-160.

129. K. Seip, Lnterpolation and Sampling in Spaces of Analytic Functions, Univ. Lect. Ser., Vol. 33, AMS, Providence, RI, 2004.

130. J. E. Shapiro, Relative angular derivatives, J. Operator Theory 46 (2001), 2, 265-280.

131. H. S. Shapiro, A. L. Shields, On some interpolation problems for analytic functions, Amer. J. Math. 83 (1961), 513-532.

132. C. Sundberg, Truncations of BMO functions, Lndiana Univ. Math. J. 33 (1984), 5, 749-771.

133. E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Lntegrals, Princeton Univ. Press, Princeton, 1993.

134. V. Totik, Derivatives of entire functions of higher order, J. Approx. Theory 64 (1991),2, 209-213.

135. A. L. Volberg, Thin and thick families of rational fractions, Lect. Notes in Math., 864 (1981), 440-480.

136. H. Woracek, De Branges spaces of entire functions closed under forming difference quotients, Lntegr. Equat. Oper. Theory 37 (2000), 2, 238-249.

137. R. M. Young, An Lntroduction to Nonharmonic Fourier Series, Academic Press, New-York, 1980.

138. R. M. Young, On complete biorthogonal systems, Proc. Amer. Math. Soc. 83 (1981),3, 537-540.Оглавление1 Введение 1

139. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств.1312.1 Исторический обзор.1312.2 Основные результаты Главы 2.15

140. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств в С+.19

141. Теоремы вложения для модельных пространств.22

142. Пространства де Бранжа-Ровняка.26

143. Теоремы типа Берлинга-Мальявена для модельных пространств.39

144. Мажоранты мероморфных функций с фиксированными полюсами.44

145. Полнота систем воспроизводящих ядер.49

146. Структура подпространств в пространствах де Бранжа.55111 Основные обозначения .58

147. Неравенства типа Бернштейна 6021 Основные результаты.60

148. Интегральные операторы и меры Карлесона.63

149. Оценки норм воспроизводящих ядер .70

150. Доказательство основных результатов .74

151. Неравенства Бернштейна для модельных подпространств в полуплоскости 75

152. Неравенства Бернштейна для модельных пространств в С+ 79

153. Внутренние функции с ограниченной производной.79

154. Внутренние функции с нулями, отделенными от Е.83

155. Неравенства Бернштейна и внутренне-компактные подпространства . 9734.1 Постановка задачи.9734.2 Вспомогательные утверждения .9834.3 Основные результаты.99

156. Теоремы вложения для модельных подпространств 10341 Основные результаты.103

157. Доказательство теоремы вложения.10643 Компактные вложения .111

158. Классы Sr. Достаточные условия.113

159. Необходимые условия включения J^ G ST .118

160. Пространства де Бранжа—Ровняка 122

161. Интегральные представления .122

162. Неравенства типа Бернштейна.125

163. Расстояния до множеств уровня.131

164. Теоремы вложения для пространств де Бранжа-Ровняка .133

165. Базисы из воспроизводящих ядер и их устойчивость 13861 Основные результаты.138

166. Предварительные сведения о базисах Рисса и фреймах .142

167. Доказательство основной теоремы и следствий.143

168. Возмущения базисов Кларка. Примеры неустойчивости.148

169. Гипотеза Фейхтингера для воспроизводящих ядер .152

170. Теоремы типа Берлинга—Мальявена 158

171. Параметризация множества допустимых мажорант.158

172. Почти возрастающие функции.16172.1 Формулировка основной теоремы.16172.2 Основная лемма.16372.3 Доказательство теоремы 7.2.1.166

173. Мажоранты мероморфных функций 178

174. Существование минимальных мажорант и плотность полиномов.17881.1 Основные результаты.17881.2 Общие критерии полноты полиномов.18181.3 Описание D-множеств и Ds-множеств.18581.4 Доказательство теоремы 8.1.2. Примеры.188

175. Мажоранты для произведения Бляшке с односторонними нулями.192

176. Доказательство теоремы о мажорантах из класса Adm+(ßi) .196

177. Мажорирование на отрицательной полуоси .20385 Степенной рост нулей.207и

178. Касательное приближение нулей.215

179. Полнота систем воспроизводящих ядер 220

180. Критерии полноты в терминах аргумента внутренней функции.220

181. Устойчивость полноты и критерии в терминах плотности.225

182. Полнота биортогональной системы.234

183. Базисы Рисса из воспроизводящих ядер.240

184. Структура подпространств в пространствах де Бранжа 249

185. Предварительные сведения о пространствах де Бранжа.249101.1 Средний тип и дивизоры.249101.2 Аксиоматическое описание пространств де Бранжа.250101.3 Структура подпространств пространства де Бранжа.253

186. Допустимые мажоранты в пространстве де Бранжа .257

187. Мажорирование на вещественной прямой .260

188. Мажорирование на множествах, близких к вещественной прямой.264

189. Мажорирование вдоль мнимой оси.269

190. Мажорирование на лучах, параллельных вещественной прямой.275

191. Оценки внутренних функций на горизонтальных лучах.278