Оценки параметров специальных марковских процессов и медико-биологические применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.;. Ц

ГЛАВА I. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

СПЕЦИАЛЬНОГО ВВДА МАРКОВСКОГО НОРМАЛЬНОГО

СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА.

1.1. Оценка параметров корреляционной функции процесса Дуба. ^О

1.2. Оценка параметров корреляционной функции комплексного марковского нормального стационарного процесса. 2-5*

1.3. Оценка параметров корреляционной функции вида 3(г) = ¿Хехр{-/ып-иг} в слу чае различного числа повторностей.ЗЦ

1.4. Линеаризация оценок . .чо

1.5. Оценка параметров корреляционной функции комплексного марковского нормального стационарного процесса в непрерывном времени.

1.6. Связь пространственного и временного описания случайного процесса.

Результаты главы I .6!

ГЛАВА П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА ТЕЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ

ЗАБОЛЕВАНИЙ

2.1. Математическое моделирование хронического гломерулонефрита (ХГН) и инфаркта миокарда.

2.1.1. Модификация кривой саногенеза. Критические точки

2.1.2. Инфаркты миокарда (факторный анализ).

2.2. Исследование процесса гликогенолиза.

Результаты главы П.

Современный этап развития медицины характеризуется проникновением методов математической статистики и вычислительной техники в эту область человеческих знаний. При математическом исследовании медико-биологических процессов актуальны как нахождение новых методик (и модификация старых) при обработке наблюдений, так и теоретические построения, на которых основана интерпретация результатов. Для иллюстрации быстроты прогрессирования заболеваний и оценки результативности различных методов лечения в последние годы все шире применяются данные о выживании больных.

Настоящая работа посвящена оценке параметров кривых выживания (кривых саногенеза) для ряда заболеваний. В диссертации разработана методика построения оценок параметров для специальных типов марковских процессов в условиях дефицита выборочных данных по динамике с привлечением статических признаков. Кроме того, в работе дается согласование временного и пространственного описания случайного процесса путем параметризации. На основании полученных результатов в прикладной части диссертации приведено математическое моделирование течения некоторых заболеваний. Задачу моделирования мы исследовали как с точки зрения случайных процессов, так и с точки зрения детерминистического анализа регуляций в системе "орган - организм".

В качестве основных исходных данных, для решаемой нами задачи, брались показания, снимаемые с больных по ряду признаков в сматривали как изменение во времени вероятности дожития некоего индивида, характеристики течения заболевания которого являются процессе заболевания, и кривые саногенеза которые мы расусредненными для данной группы больных. Кривую саногенеза интерпретировали как распад саногенетических (защитных) факторов организма. Основное предположение заключается в том, что динамика саногенеза описывается двумерным марковским нормальным процессом. Показания, снимаемые с больных, обрабатывались в каждый фиксированный момент времени по методу главных компонент (факторный анализ). В качестве реализаций процесса рассматривались изменяющиеся во времени значения первого и второго факторов. Эти факторы являются наиболее информативными признаками о взаимосвязях характеристик данной болезни. Для этих реализаций строились корреляционные функции 4). Основная задача заключалась в оценке параметров этих функций, с учетом конкретизации изучаемого процесса. Кроме того, использование факторного анализа давало возможность интерпретировать оцениваемые параметры. Кривую саногенеза S(i){S(ij функция одного переменного, t - длительность болезни) рассматривали как корреляционную функцию при фиксированном 3 . Для стационарного процесса при j = О

S(t) = ü(z) ; Г.- t-j , при 6 ф о SM=R(z) .

Таким образом, функция Sit) определяется линеиными связями между значениями наиболее информативных признаков в момент t ив момент 0 .

Оценки параметров аналитического вида кривых саногенеза строились для комплексного нормального марковского процесса, поскольку рассмотрение двумерного действительного равносильно комплексному одномерному случайному процессу. Причем реализации рассматриваемого нами двумерного нормального процесса, являщиеся первым и вторым факторами метода главных компонент, обладают таким же свойством ортогональности как и вещественная и мнимая части комплексного случайного процесса.

Обычно оценка параметров марковских нормальных процессов производится по наблюдениям на одной реализации. В случае оценивания кривых саногенеза как правило дается небольшое число точек на реализации, но есть возможность использовать дополнительную информацию (повторности). Под повторностями понимаются наблюдения, принадлежащие различным реализациям одного процесса и рассматриваемые в фиксированные одинаковые моменты времени. Поставленная задача решается нами в дискретном и непрерывном времени. Согласование дискретного случая и непрерывного также является проблемой. В диссертации предлагаются условия такого, согласования.

Основный результаты выносимые на защиту:

1. Построены оценки параметров корреляционной функции марковского нормального комплексного процесса с повторностями в следующих случаях а) число 1ю*зторностей в каждой точке реализации одно и тоже; б) число/ гсовторностей меняется.

В непрерывном случае введение повторностей сопоставлялось с конструкцией функционального анализа - расширением дифференциальных операторов П порядка. Полученные оценки применялись для диагностики и прогнозировании таких заболеваний как гломерулонеф-рит и инфаркт миокарда!

2. Указан способ линеаризации оценок параметров, полученных в пункте I. Условия линеаризации являются одновременно условиями согласования непрерывного и дискретного случаев.

3. Модификацирован аналитический вид кривых саногенеза за счет введения понятия критических периодов и критических точек исследуемого процесса. Величина является дискриминантом быстроты прогрессирования заболевания и несет в себе суммарную информацию об оцениваемых параметрах.

4. Исследована система уравнений, первое из которых - уравнение Колмогорова-Феллера (для переходных плотностей вероятности), а второе - информационное уравнение (для ковариационных функций). В теории случайных процессов обычно рассматривается первое из них. Система анализируется для нормального, бэта и гамма-распределений. То есть, если известно, что решением уравнения Колмогорова- является один из перечисленных выше законов, то, составляя и решая информационное уравнение, мы имеем возможность найти ковариационную функцию. Переходная плотность вероятности дает пространственное, а ковариационная функция ~ временное описание случайного процесса.

5. В работе согласовано временное и пространственное описание случайного процесса путем параметризации.

Практическая ценность определяется тем, что полученные оценки параметров корреляционной функции марковского процесса могут быть использованы для прогнозирования и диагностики некоторых заболеваний.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции слушателей ВМА. им.Кирова, на П Всесоюзном съезде нефрологов, на Всесоюзной конференции по классификации и анализу данных, на научном семинаре в институте математики и кибернетики АН Литовской ССР (г.Вильнюс), на школе-семинаре по теории вероятности (г.Ленинград, 1982 г.), на Всесоюзной конференции по применению математических методов и ЭВМ в биологии и медицине.

Работа состоит из введения, двух глав, приложения, заключения и списка литературы. Объем работы страниц машинописного текста, I таблиц, О рисунков, библиография содержит наименований.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В ГРУППЕ КОНТРОЛЯ Проверка выработанной методики проведена на 161 больном

Заключение

Настоящая диссертационная работа возникла на основе рассмотрения кривых выживания и задач, связанных с оценками параметров этих кривых. Сложность в нахождении таких оценок состояла в том, что в отличие от обычных задач, предполагающих наличие множества точек на реализации, в данной задаче имеется сугубо ограниченное число точек, но зато в каждой из них имеются повторности. Исходя из теоретических и црактических соображений в работе построены оценки параметров, включающих как реализации, так и повторности. С целью практического использования полученные результаты были линеаризованы. В работе одновременно рассматриваются уравнения Колмогорова (решениями которых будет переходная плотность вероятности случайного процесса) и уравнения, функция Грина которых -ковариационная функция этого процесса. В заключительной главе . показано, как это реально используется для диагностики и прогнозирования течения некоторых заболеваний.

Итак, в диссертации получены следующие результаты:

1. Построены новые оценки параметров комплексного процесса Дуба в непрерывном и дискретном виде. В оценки по реализациям (предложенные Арато, Колмогоровым, Синаем [ 6 1 ) введены повторности.

2. Введены условия, позволяющие линеаризовать оценки параметров процесса Дуба, имеющего кроме точек на реализации повторности (в дискретном времени).

3. Путем параметризации согласовано пространственное и временное описание случайного процесса. Как уже отмечалось[33; 22], пространственному описанию случайного процесса соответствует уравнение Феллера-Колмогорова, временному - информационное уравнение, записанное в форме Эйлера-Лагранжа. Эти уравнения и их решения выписаны в работе на примере нормального, бета и гамма-распределений.

При изучении процесса гликогенолиза было показано, что количество гликогена в клетке распределено по бета-закону. А динамическая картина изменения количества гликогена во времени (ковариационная функция) выражается через эллиптические функции.

4. Получено уточнение аналитического вида кривой саногенеза за счет введения критических периодов процесса. Операция двойного обращения приводит нас к ступенчатой функции, которая состоит из промежутков распада и постоянства. Полученная функция будет кусочной корреляционной функцией. В главе П выписана оценка коэффициента корреляции, в случае когда наблюдения берутся на промежутке постоянства.

1. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физматгиз, 1963, 500 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М., "Мир", 1976, 755 с.

3. Андрухович П.Ф. Применение метода главных компонент в практических исследованиях. М., МГУ, 1973, 123 с.

4. Арато М. Вычисление доверительных границ для параметра "затухания" комплексного стационарного гауссовского марковского процесса. Теория вероятностей и ее применения. T.I3, № 2, 1968, с.326-339.

5. Арато М. Оценка параметров стационарного гауссовского марковского процесса. ДАН СССР, т.145, вып.5, 1962, с.13-16.

6. Арато М., Колмогоров А.Н., Синай Я.Г, Об оценке параметров комплексного стационарного гауссовского марковского процесса. ДАН СССР, т.146, вып.4, 1962, с.747-751.

7. Ардашев В.Н., Трунин В.М., Корников В.В., Гизлер H.H. Клиническая картина осложненных форм инфаркта миокарда по данным многомерного математического анализа. Тезисы докладов итоговой научной конференции слушателей BMA им. Кирова. Л., 1979, с.3-4.

8. Ахиезер H.H. Элементы теории эллиптических функций. М., "Наука", 1970, 304 с.

9. Ахиезер H.H., Глазман Н.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., "Наука", 1966, 543 с.

10. Барт А.Г., Бондаренко Б.Б., Бойко В.Н. Математический анализ течения хронического гломерулонефрита. В кн.: Гломерулонеф-рит, под ред. Рябова С.Н., Л., "Медицина", 1980, с.213-225.

11. Барт А.Г., Бондаренко Б.Б., Гизлер H.H., Калинин О.М. Методы оценки параметров кривой выживания при различных вариантах течения хронического гломерулонефрита. Тезисы П Всесоюзного съезда нефроголов. Баку, 1980, с.88-89.

12. Барт А.Г. Регуляризация обращений операторов в медико-биологических задачах (Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук), Ленинград, 1981, 16 с.

13. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. М., ИШ1, 1958, 381 с.

14. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, М., "Наука", 1983, 415 с.

15. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М., "Мир", 1980, 536 с.

16. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М., "Наука", 1975, 316 с.

17. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.Н. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М., "Наука", 1979, 424 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., "Технико-теоретическая литература", 1954, 491 с.

19. Гантмахер Ф.О., Крейн М.Т. Осцилляционные матрицы и ядра ималые колебания механических систем. М., "Технико-теоретическая литература", 1950, 359 с.

20. Гизлер H.H. Лагранжево-гамильтонова трактовка диффузионного процесса Дуба, копись деп. в ВИНИТИ. 3.02.81, № 482-81, 1981, 8с.

21. Гирсанов И.В. 0 преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. Теория вероятностей и ее применение. Т.5, № 3, i960, с.314-330.

22. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М., "Наука", 1965, 654 с.

23. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Физматгиз, 1961, 406 с.

24. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып.1. М., "Шр", 1971, 316 с. Вып.2. М., "Мир", 1972, 287 с.

25. Докторов Б.З. 0 некоторых оценках многомерного нормального распределения. Теория вероятностей и ее применения. T.I4, № 3, 1969, с.552-554.

26. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИИЯ, 1956, 605 с.

27. Ермаков С.М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М., "Наука", 1971, 327 с.

28. Захаров И.А. Генетические карты высших организмов. М., "Наука", 1979, 158 с.

29. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М., ИИЛ, 1968, 394 с.

30. Калинин О.М. 0 единых математических трактовках в биологической систематике и динамике популяций и о связи диффузии с нелинейными уравнениями. Проблемы кибернетики, вып.25, с.107

31. Калинин О.М. Органическая форма, высшие таксономические категории и квантовая физика. Успехи биометрии и бионики.

32. Т.43, вып.5, 1976, с.3-11.

33. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределения. T.I, М., "Наука", 1966, 588 с.

34. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М., "Наука", 1976, 736 с.

35. Кислицин М.М. Многомерный статистический анализ временных рядов наблюдений состояния человека оператора в биотехнических системах управления (Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук), Ленинград, 1979, 14 с.

36. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей, М., "Наука", 1974, 119 с.

37. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М., "Мир", 1978, 560 с.

38. Крамер Г. Математические методы статистики. М., "Мир", 1975, 648 с.

39. Кузминчук Е.М., Петрова Т.Е., Гизлер H.H., Барт А.Г., Солнцев В.Н., Калинин О.М. Система анализа данных на ЭВМ и четверки в природе. Тезисы Всесоюзной конференции по теории классификаций и анализа данных. Ч.П. Новосибирск, 1981, с.72-73.

40. Кушев В.В.Механизмы генетической рекомбинации. Л., "Наука", 1971, 247 с.

41. Ле Корбюзье. Архитектура XX века. М., "Прогресс", 1970, 326 с.

42. Линник Ю.В. Статистические задачи с мешающими параметрами. М., "Наука", 1966, 252 с.

43. Линник Ю.Б. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории наблюдений. Изд.2-е. М., Шизматгиз,1962, 498 с.

44. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). М., "Наука", 1974, 696 с.

45. Лувсанцерен Ш. Оценки наибольшего правдоподобия и доверительные множества для неизвестных параметров стационарного гауссовского процесса марковского типа. ДАН СССР, т.ХСУШ, № 5, 1954, с.723-726.

46. Мешадкин Л.Д. Новые результаты в математической технике изучения хронических болезней. СЕРДИКА, Българского математи-ческо списание, т.6, 1980, с.391-396.

47. Моран П. Статистические процессы эволюционной теории. М., "Наука", 1973, 288 с.

48. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М., "Мир", 1982, 428 с.

49. Постников А,Г. Арифметическое моделирование случайных процессов. Труды математического института, т.57, М., 1960, 84 с.

50. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). М., "Наука", 1973, 494 с.

51. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М., "Наука", 1968, 548 с.

52. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М., Шизматгиз,1963, 284 с.

53. Товстик Т.М. Об оценке параметров корреляционной функции стационарного случайного процесса. "Кибернетика", № б, 1975, с.131-136.

54. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. В 2-х т. Т. 1-2. М., "Шр", 1964-1967.

55. Функциональный анализ. Под ред. КреЙна С.Г. М., "Наука", 1972, 544 с.

56. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М., "Мир", 1974, 575 с.

57. Ширяев А.Н. Вероятность. М., "Наука", 1980, 574 с.

58. Шмелев И. Канон. Ритм, пропорция, гармония. Архитектура, № 2, 1979, с.36-40.

59. Wooding R.A. The multivariate distribution of complex normal variables. Biometrika,v. 43, Parts 1,2, 1956, pp.212-215.

60. Blackman R.B., Tukey I.W.^The measurement of power spectra from the point of view of communication. Engineering, Dover, New York, 1958.

61. Culter S.I., Ederer P. Maximum utilization of theliftable method in analysing survival. J. Chron. Dis., v. 8, U 5, pp. 699-712.

62. УТВЕРЖДАЮ" главврач 20-ой>городВйой1. АКТ

63. О внедрении результатов математического моделирования течения инфаркта миокарда

64. Врач блока интенсивной терапии Минин П. П.1. Врач рдашев В.Н.1. УТВЕРЖДАЮ"

65. Проректор по научнрй работе 1-го Ленинградского ордена рудового Красного знамени• .у Г. . . . .й.1. Ж^Ч. . 1981 г1. Г.Е.Аркадьева/1. СПРАВКАо внедрении результатов математической трактовки процесса гликогенолиза

66. Доцент кафедры госпитальной тере

67. Зав.кафедрой госпитальной терапк профессор, засл.деятель наунки