Оценки пространственных производных решений квазилинейных параболических уравнений с малой вязкостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

62 11/31

Оценки пространственных производных решений квазилинейный параболических уравнений

Представелено на соискание ученой степени РнБ по завершении диссертационного исследования на математическом факультете университета Хериот-Ватт. Сентябрь 2001 года.

с малой вязкостью

Бирюк Андрей Эдуардович

¿¡// а

Estimates for Spatial Derivatives of Solutions for Quasilinear Parabolic Equations with Small Viscosity

by

Andrei Biryuk

Submitted for the Degree of Doctor of Philosophy at Heriot-Watt University on Completion of Research in the Department of Mathematics September 2001

Оглавление

Декларация

Благодарности ¡V

1 Скалярный закон сохранения 1

1.1 Введение ..................................................................1

1.2 Общие свойства слабых решений ......................................3

1.3 Понятие энтропии........................................................7

1.4 Явное решение............................................................10

1.5 Безвязкий предел........................................................25

2 Одномерное уравнение Бюргерса 32

2.1 Введение ..................................................................32

2.2 Оценки сверху............................................................35

2.3 Оценки снизу..............................................................37

2.4 Поведение коэффициентов Фурье......................................40

3 Многомерный случай 42

3.1 Введение ..................................................................42

3.2 Оценки сверху............................................................44

3.3 Оценки снизу..............................................................46

3.3.1 Условие вырожденности ........................................46

3.3.2 Основная идея....................................................49

3.3.3 Технические детали..............................................51

3.4 Коэффициенты Фурье....................................................57

3.5 Оценки снизу для пространственных производных решений системы Навье - Стокса........................................................61

4 О нелинейном уравнении Шрёдингера 64

4.1 Введение ..................................................................64

4.2 Оценки снизу I............................................................65

4.3 Оценки снизу II..........................................................70

4.4 Оценки сверху............................................................73

Приложение А. Некоторые технические неравенства 78

А.1 Две оценки для точных констант в интерполяционном неравенстве 78

А.2 Интерполяционное неравенство для комплекснозначных функций 80

Литература 83

Декларация

Я, Бирюк Андрей Эдуардович, декларирую, что представленная диссертация выполнена мною лично (за исключением случаев, где явно указанны первоисточники) на факультете математики в университете Хэриот - Ватт в 1998-2001 гг.

Подпись соискателя:___дата: ЧИ7АУ 2.0®

Благодарности

Хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Сергею Борисовичу Куксину за его внимание, вдохновение и великодушную помощь, не только математического характера.

Я бы хотел выразить благодарность Армену Ширикяну и Даниелу Джеф-ферсону за долгие полезные обсуждения и помощь в обустройстве моей жизни в Шотландии.

Я также благодарен всем моим друзьям за то, что они сделали меня лучше.

Глава 1

Скалярный закон сохранения

1.1 Введение

В этой главе изучается задача Коши для одномерного закона сохранения

ди д/(и)

д t дх

= 0, (1.1.1)

где / : К —> К. — С1-гладкая функция. Впоследствии мы сделаем некоторые дополнительные предположения.

Задача Коши состоит в нахождении решения и уравнения (1.1.1) для произвольного начального условия 'ц(0,ж) = <р(х). Мы отметим, что задача Коши для этого уравнения, вообще говоря, неразрешима в классе непрерывных функций, даже если начальное состояние р и функция тока / являются бесконечно гладкими функциями. По этой причине рассматривают слабые решения в смысле соответствующего интегрального тождества.

Мы предполагаем, что <£>(•) принадлежит пространству L^R). Обозначим

(fi+= ess sup ip , </?_ = essinf cp. (1-1-2)

Определение 1.1.1. Мы говорим, что измеримая ограниченная в каждой полосе [0, Т}хШ функция и = u(t, х) является слабым решением закона сохранения (1.1.1) с начальным условием

и(0,х) = ф) Е Loo (К),

если для любой гладкой финитной функции w(t,x) выполнено следующее интегральное тождество

/>+оо л+оо г+оо

/ / (wtu + wxf(u))dxdt+ / w(0,x)<p(x)dx = 0. (1.1.3)

J 0 J— оо J—оо

Однако, такой подход ведет к неединственности решения задачи Коши (см., например, [31]). Необходимо наложить некоторые дополнительные условия, которые обеспечат единственность. Мы рассмотрим вязкие решения, энтропийные решения и решения в смысле вариационного принципа Лакса - Олейник.

t

Для гладких решений понятие слабого решения совпадает с понятием сильного (поточечного) решения закона сохранения (1.1.1).

Если и является кусочно гладким слабым решением, то из интегрального тождества (1.1.3) получаем, что и удовлетворяет условию Ранкина - Гюгонио

([31])

s[u] = [/] • (1.1.4)

Более того, кусочно гладкая функция и удовлетворяет интегральному тождеству (1.1.3) тогда и только тогда, когда и удовлетворяет условию скачка (1.1.4) на линиях разрыва и удовлетворяет уравнению (1.1.1) во всех остальных точках. Здесь [ ] обозначает скачок поперек линии разрыва, as — скорость распространения разрыва (иными словами, шока). Если линия разрыва дана посредством уравнения х = x(t), то s = j.

Рассмотрим векторное поле (и, /). Условие (1.1.1) означает бездивергентность векторного поля: div(u, /) = ut + fx = 0. Условие (1.1.3) означает бездивергентность поля (и, /) в обобщённом смысле.

Условие Ранкина - Гюгонио (1.1.4) выражает факт, что нормальная к линии разрыва компонента поля (и,./') не изменяется при переходе через линию разрыва, т.е. непрерывна в окрестности линии разрыва.

Эта глава построена следующим образом. В разделе 1.2, не делая никаких дополнительных предположений, мы обсуждаем общие свойства слабых решений скалярного закона сохранения. (Мы предполагаем лишь, что функция состояния / € С1 и начальное состояние ip G Lто.) В разделе 1.3 для случая выпуклой функции состояния / мы обсудим понятие энтропийного условия по Олейник. Условие энтропии обеспечивает единственность слабого решения. Мы кратко обсудим, почему неравенство, данное О. А. Олейник, получило название энтропийного условия. В разделе 1.4 мы приводим явную конструкцию для слабого решения скалярного закона сохранения, полученную в 50-х годах О. А. Олейник и П. Лак-сом. Мы приводим элегантное доказательство Лакса ([23]) того, что построенная функция действительно является слабым решением скалярного закона сохранения, дополняя это доказательство некоторыми деталями. Отметим, что наши предположения на функцию состояния слабее, чем предположения Лакса в работе ([23]). Мы предполагаем строгую выпуклость функции состояния /. Это означает, что / 6 С1 и /' является возрастающей функцией и, следовательно, /' — взаимно однозначная между областью определения и областью значений функция. Мы отметим, что Лаке тоже называл свои предположения "строгая выпуклость функции состояния /". Однако, в наших терминах его условие является условием равномерной выпуклости на каждом ограниченном интервале. (Равномерная выпуклость означает, что / G С1 и существует е > 0 такое, что функция f'(x)—£x является возрастающей. Для С2-гладких функций это условие эквивалентно неравенству /" ^ е.) Например, случай, когда f(u) = и4, попадает под наши предположения, тогда как он не покрыт работой Лакса [23]. Даны некоторые применения явной конструкции слабого решения. В разделе 1.5 мы

рассматриваем безвязкий предел (метод исчезающей вязкости) в периодическом случае и скорость сходимости к пределу. В этом разделе мы не предполагаем выпуклости /.

Результаты этой главы будут использованы в следующей главе. За дополнительной информацией о теории уравнений консервативных законов сохранения можно обратиться к [4].

В заключении данного введения мы отметим, что случай вогнутой функции состояния сводится к случаю выпуклой функции состояния следующей заменой: /(*) = -/(-*)> и(г,х) = -й(Ь,х).

1.2 Общие свойства слабых решений

Мы начинаем этот раздел с леммы, которая предоставляет эквивалентное определение понятия слабого решения. Мы будем использовать его позже.

Лемма 1.2.1. Пусть функция и(Ь,х) является измеримой и ограниченной в каждой полосе [О, Т] х М. Тогда интегральное тождество (1.1.3) выполняется для каждой гладкой финитной пробной функции и>(1,х) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия.

1. Для каждой гладкой пробной функции с компактным носителем в {{ > 0} х Е выполнено интегральное тождество

2. Функция (р(х) является слабым пределом и(Ь,х) при Ь —> 0, т.е. для любой гладкой функции д(ж) с компактным носителем существует множество 8 € [0, Г] лебеговой меры нуль такое, что

Для доказательства этой леммы нам нужна следующая вспомогательная лемма.

Лемма 1.2.2. Пусть имеются вещественное число А и вещественнозначные функции h(t) и p(t) из пространства Lliloc, определённые при t > 0. Предположим, что для любой С°°-гладкой функции g с ограниченным носителем выполняется следующее интегральное тождество:

(1.2.1)

(1.2.2)

(1.2.3)

Тогда для почти всех t ^ 0 выполнено равенство

Доказательство. Введём обозначение P(t) = А + /0'" р(т)с1т. Из того, что Р € Lltioc, следует, что функция P(t) абсолютно непрерывна, дифференцируема почти всюду и, более того, равенство P'(t) = p(t) выполнено для почти всех t (см. [15]). Следовательно, функция g(t)P(t) также является абсолютно непрерывной и тождество

i{g(t)P(t))=g'(t)P(t) + g(t)p(t) справедливо, когда выполнено равенство P'(t) = p{t). Из этого мы выводим, что

/

J о

g'(t)P(t)dt + g(t)p(t)dt + g(0)A= / ft(g(t)P(t))dt + д(0)Р(0) = 0.

Определим функцию h0(t) как h0(t) — h(t) - P(t). Подставляя h(t) = h0(t) + P(t) в тождество (1.2.3), мы получаем, что

|>+00

/ g'{t)h0{t)dt = 0

J о

для каждой гладкой финитной функции g(t).

Из этого мы заключаем, что h0(t) = 0 для почти всех t. Лемма доказана. □

Доказательство леммы 1.2.1. Для доказательства необходимости нам надо вывести (1.2.2) из (1.1.3), так как условие (1.2.1) уже содержится в (1.1.3). Чтобы вывести (1.2.2), мы рассмотрим соотношение (1.1.3) с пробной функцией w(t,x) = g{t)q{x). Тогда тождество(1.1.3) превращается в

Г- + 00 fOO г+оо

/+оо PCO г+оо

u(t,x)q(x)dxdt+ / g{t) / f(u(t,x))q'{x)dxdt+ -оо J 0 J— оо

/+оо

и(0, x)q(x)dx = 0 .

-оо

Теперь мы можем использовать лемму 1.2.2 с функциями

/+оо г+оо

u(t,x)q(x)dx, p(t) = / f(u(t,x))q'(x)dx

-оо J —оо

и А = f*™ u(0,x)q(x)dx. (Заметим, что как hit), так и p(t) — локально ограниченные функции, следовательно, они — локально Zq-функции.) Из леммы 1.2.2 мы получаем, что

h(t) = А + / p(r)dr для почти всех t.

J о

Следовательно, с точностью до множества лебеговой меры нуль, функция h{t)

является локально липшицевой функцией и ess lim h{t) = А. Мы получили (1.2.2).

t—»о

Докажем достаточность, т.е. выведем (1.1.3) из (1.2.1) и (1.2.2). Возьмём произвольную гладкую финитную функцию w(t,x). Пусть x(i) — С°°-гладкая невоз-растающая функция такая, что х(0 = 1 Для t € [0) 2] и х(1) = 0 Для £ > 1-Обозначим левую часть тождества (1.1.3) через I(w). Тогда мы имеем

I{w) = lim l((w(0,x) + (w(t,x) - w(0,x)))x{nt) + (1 - x(nt))w(t,x)) =

n—>00

= lim /(WO, x)x(nt))+ lim l((w(t, x)-w(0, x))x(nt))+ lim l((l~x(nt))w(t,x)).

71—»OO 4 П—>00 4 71—>00

(1.2.4)

В силу (1.2.1) третий предел равен нулю.

Рассмотрим функцию под знаком второго предела:

I((w{t, х) - го(0, x))x(nt)) =

/>+оо оо

— / wt(t,x)x(nt)u(t,x) + (w(t,x) - ги(0,ж))пх'(пгМ^ж)+

Jo У-оо

+ (wx(t,x) — wx(0,x))x(nt)f(u(t,x))dxdt = h + /2 + /3.

Величины 7i и /3 стремятся к нулю, когда п —> сю, так как носители подынтегральных выражений стягиваются к нулю, в то время как сами подынтегральные выражения остаются ограниченными. Для величины /2 выполнена оценка

/•ОО

|/2| ^ (-АТ+— Х_) / nx'(nt)dt max |u| max |w(i, x) - w(0, ж)|. Jo

Здесь введено обозначение X+ = sup {ж : (t, x) G suppw} и, соответственно, X_ = iiifj.x : (t, x) G supp w}. Следовательно, /2 стремится к нулю при п —> оо, так как j™nx'{nt)dt = 1 при всех п, но max^^i^^\w(t, х) - го(0,ж)| —> О, потому что w(t,x) — гладкая финитная функция.

Рассмотрим функцию под знаком первого предела в правой части (1.2.4):

/• + 00 г+оо

l(w(Q,x)x(nt)) = / / w(0 ,x)nx'(nt)u(t,x)dxdt+ J 0 J - 00

/• + 00 /" + 00 /•+00

+ / / wx(0,x)x(nt)f(u(t,x))dxdt+ / w(U,£ju(U,a;Jd:z Jo J-00 J-oo

/■+00 , />+oo /<+0O

/+00

ги(0,ж)и(0,ж)с£

-OO

> . 00 r+00 .

(/ w(0,x)u(t,x)dx - / iü(0,a;)M(0,a;)iia:Jnx/(ni)di+

J—00 J-00

—00

/>+оо Л+0О

+ / / wx(0,x)x{nt)f(u{t,x))dxdt = I1+I2.

Jo J-оо

Величина /2 стремится к нулю при п —> оо, так как носитель подынтегрального выражения стягивается к нулю, в то время как само подынтегральное выражение остается ограниченным. Для величины Д мы имеем оценку

Mil <

ад(0, x)«(i, х)^ - /Г «(О, x)u(0, nx'H

Li ([0,+00])

Здесь первый множитель в стремится к нулю при п —> оо в силу (1.2.2), тогда как второй всегда остается равным 1. □

Следующая лемма предоставляет определение функции тока решения скалярного закона сохранения. Для краткости в этой лемме мы пишем f(t,x) вместо f(u(t,x)).

Лемма 1.2.3. Предположим, что и является слабым решением закона сохранения (1.1.1) в смысле определения 1.1.1. Тогда существует единственная функция U(t,x) (функция тока), определённая на [0,-|-оо) х R, которая является локально абсолютно непрерывной по каждой переменной, такая, что

Ux = и почти всюду, (1.2.5)

Ut = — / почти всюду, (1.2.6)

U (0,0) = 0. (1.2.7)

Эта функция U является глобально липшицевой функцией в каждой полосе Пг = [0, Т] х R:

для каждой пары точек (ti,xi) и (¿2, жг) из П^ выполнено неравенство

\U(t2,x2) - U(ti,xi)\ ^ 1t2 - ti \ max / + \x2 - хх\т&xu. (1.2.8)

П71 П71

Кроме того, эта функция удовлетворяет соотношению

U(0,x) = (1-2-9)

./о

Доказательство. Докажем единственность. Напомним, что каждая локально абсолютно непрерывная функция ^(в) является дифференцируемой почти всюду, её производная принадлежит пространству с, и выполняется формула Ньютона - Лейбница:

Л(в2) - /1(вх) = /

Предположим, что £/1 и £/2 — две локально абсолютно непрерывные по каждой переменной функции, которые удовлетворяют условиям (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7). Тогда функция £/ = £/2 — £/2 удовлетворяет следующим условиям:

их = 0 почти всюду, (1.2.10)

Е/4 = 0 почти всюду, (1.2.11)

ЁГ(0,0) = 0. (1.2.12)

Из условия (1.2.10) следует, что почти для всех £ функция 11(1, х) не зависит от х. (Если некоторое условие выполнено при почти всех (£, ж), то при почти всех £ оно выполнено при почти всех х и наоборот.) Аналогично условие (1.2.11) влечёт, что для почти всех х функция С/(£,ж) не зависит от £. Поскольку V(£, х) является локально абсолютно непрерывной по каждой переменной функцией и,

следовательно, непрерывной по каждой переменной, мы заключаем, что (7 — константа. Эта константа является нулём в силу (1.2.12).

Существование функции тока следует из обобщённого разложения Вейля: Предположим, что О, — ограниченная облает,ь в Кт с С1 -гладкой границей. Пусть и(х) 6 Ьд(С1,Шт), гдед ^ 1. Предположим, что для любой бездивергентной гладкой векторнозначной функции V с носителем, компактно вложенным в £1, мы имеем

[(и^)тс1х = 0. (1.2.13)

Тогда существует функция р е И^1^) такая, что и = Ур. (См. [28]).

Мы используем эту теорему с т = 2, и = (/и), (**) = (*), заметив, что для каждого бездивергентного гладкого финитного векторного поля существует гладкая финитная функция ги такая, что = В самом деле, положим

т(1,х) = и\йх - г>2<й. Выбрав первую точку интегрирования (А) достаточно далеко от носителя поля V, мы получаем, что ю также имеет ограниченный носитель, поскольку по теореме Стокса этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Теперь (1.2.13) следует из (1.1.3). Полагаем 11(Ь,х) — -р(Ь,х). Покажем, что функция £7 с точностью до множества лебеговой меры нуль является липшицевой функцией и выполняется (1.2.8). В самом деле, рассмотрим сглаживания II£ = 1/*тге, где 7г£(ж) = ) и 7Г — любая неотрицательная глад-

кая финитная функция в К2, интеграл от которой равен единице. Для каждого \]£ справедливо неравенство (1.2.8). Используя теорему Арцела - Асколи, мы получаем, что семейство IIе равномерно сходится к своему пределу при е —> 0. Следовательно, предел тоже удовлетворяет условию (1.2.8).

Равенство (1.2.9) следует из (1.2.8) и леммы 1.2.2 в силу единственности слабого предела. П

Лемма 1.2.4. Предположим, что функция С/(£,ж) принадлежит пространству Ыр([0, Т] х М) для каждого Т и соотношение

и1 + .пих) = 0 (1.2.14)

выполнено для почти всех (1,х) в {£ ^ 0} х К. Тогда функция и(£,ж) = ^С/(£,.х) является слабым решением скалярного закона сохранения (1.1.1) с начальными данными ср(х) = 1/х(0,х) в смысле интегрального тождества (1.1.3).

Доказательство. Возьмём любую гладкую финитную функцию го = го(/., х). Умножим (1.2.14) на гих и проинтегрируем по полуплоскости {£ ^ 0}. Интегрируя по частям, мы получаем (1.1.3). П

1.3 Понятие энтропии

Определение 1.3.1. Пусть и = и(Ь, х) — измеримое слабое решение скалярного закона сохранения (1.1.1) с/" ^ 0; определённое на [0, +оо) хЕ. Мы говорим, что

функция и удовлетворяет энтропийному условию, если для любой ограниченной области В существует невозрастающая функция К(Ь), определённая при Ь > О, такая, что для любой пары точек (¿, х\) и (£, х2) из области Б (Ь > 0) выполнено неравенство

ц^ха)-«^) (ол)

х2 — х\

Мы называем решения, удовлетворяющие энтропийному условию — энтропийными решениями.

Теорема 1.3.1. (Олейник, [26]). Предположим, что щ и и2 — два энтропийных слабых решения одной и той же задачи Коши для уравнения (1.1.1) с С2-гладкой / и /" ^ 0. Тогда щ{1,х) = щ(Ь,х) для почти всех (1,х) Е {Ь ^ 0}.

Замечание. В заметке [26] рассматривается более общий случай С2-гладкой функции / = /(£, х,и) такой, что ¡'¿и ^ 0 и /¿(¿, х, и) ограничено, когда и изменяется на ограниченном интервале, £ ^ 0 и х € М.

Мы приведём два предложения, которые описывают разные условия существования слабого энтропийного решения. Пример ниже показывает, что объединить эти два предложения нельзя.

Предложение. Предположим, что функция / в (1.1.1) является С2-гладкой и равномерно выпуклой, т.е. для некоторого положительного £ выполнено

/" > е > 0, (1.3.2)

а начальное состояние <р — ограниченная измеримая функция. Тогда существует слабое решение соответствующей задачи Коши такое, чт