Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах

Гриценко, Светлана Александровна

Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Гриценко, Светлана Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах»

Автореферат диссертации на тему "Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах"

0046163

На правах рукописи

ГРИЦЕНКО Светлана Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСЕЙ В АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2010

- 9 ЛЕН 2010

004616310

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Мейрманов Анварбек Мукатович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Радкевич Евгений Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Петрова Анна Георгиевна

Ведущая организация:

Владимирский государственный гуманитарный университет.

Защита состоится 21 декабря 2010 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан

ноября 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.01

Прядиев В. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тема исследований подпадает под пункт б: рациональное природопользование перечня "Приоритетных направлений науки РФ" и пункты а) 8: технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом, б) 16: технология оценки ресурсов и прогнозирования состояния литосферы и биосферы, в) 21: технологии снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф.

В работе исследуются три начально-краевые задачи, описывающие на микроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта, и выводятся усредненные уравнения для третьей начально-краевой задачи. Впервые усредненные уравнения с математическим уровнем строгости были получены в работах Де Джорджи Е. и Спаньоло С.1, Бахвалова Н. С.2, и вскоре других авторов. Теории усреднения дифференциальных операторов посвящена монография Жикова В. В., Козлова С. М., Олейник О. А.3. Задачи усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях с различными краевыми условиями исследованы в монографии Олейник О. А., Иосифьяна Г. А., Шамаева А. С.4. Имеется еще целый ряд монографий, посвященных усреднению многомерных сильно неоднородных сред. Это книги Марченко В. А., Хруслова Е. Я.5, Бенсусана А., Лионса Ж.-Л., Папаниколау Д.6, Санчес-Паленсии Э.7, Пятницкого А. Л., Чечкина Г. А.,

'De Giorgy Е., Spagnolo S. Sulla convergenza delli mtegrali dell energía pet operatori elliptici del secondo ordine// Boll. Uiiione Mat. Ital. - 1973. V. 8. - P. 391-411.

2Бахвалов H. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллируювсши коэффициентами// Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 221, № 3. - С. 516-519.

3Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1993.

4Олейник О. А., Иосифьян Г. Д., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: Иэд-во МГУ, 1990.

5Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Наукова думка, 1974.

6Bsnsoussan A., Lions J.-L-, Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: North Holland, 1978.

7Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория вибраций. - М.: Мир, 1984.

Шамаева А. С.8 и другие.

Метод асимптотических разложений остается главным орудием теории усреднения в настоящее время. Однако в задачах, имеющих более сложную структуру, чем стандартная модель усреднения, оказывается полезным другой метод — метод двухмасштабной сходимости.

Идея двухмасштабной сходимости впервые была введена в 1989 г. Нгу-етсенгом Г. в работе9 и в дальнейшем разрабатывалась в работах Allaire G.10. Свое дальнейшее развитие метод двухмасштабной сходимости получил в работах Жикова В. В. (см., например,11), Мейрманова А. М. (см., например,12), Arbogast Т., Douglas J., Hornung U.13 и других авторов.

Настоящая диссертация близка по теме к моделям диффузии Пятницкого A., Maruszc-Paloka Е., Bourgeat A., Gipouloux О. (см. работы 14,15,16) В отличие от перечисленных работ в данной диссертации изучаются модели, в которые помимо конвективного уравнения диффузии входит система уравнений Стокса, описывающих динамику вязкой слабосжимаемой жидкости. Особенностью исследуемых в диссертации моделей является то, что все они представляют собой нелинейную систему из уравнений Стокса, в которые кроме скорости и давления входит еще концентрация примеси как неизвестная величина, и конвективного уравнения диффузии, в которое входит скорость жидкости.

8Пятницкий А. Д., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. - Новосибирск: Тамара Рожковская, Белая'серия в математике и физике, 2007. - Т. 3.

"Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization// SLAM J. Math. Anal. - 1989. V. 20. - P. 608-623.

10Allaire G. Homogenization and two-scale convergence //SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. - P. 14821518.

иЖиков В. В. 05 одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Матем. сб. - 2000. Т.191. №7. С.31 - 72.

"Мейрманов А. М. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмо-акустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48, №3. - С. 645 - 667.

"Arbogast Т., Douglas J., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory// SIAM J. Math. Anal. - 1990. - V.21, №4. - P. 823-836.

14Marusii-Paloka E., Piatnitski A. Homogenization of a nonlinear convection-diffusion equation with rapidly oscilating coefficients and strong convection//' J. London Math. Soc. (2) 72. - 2005. - P. 371-409.

15Bourgeat A., Marusic'-Paloka E. A homogenized model of an underground waste repository including a disturbed zone//' Multiscale model, simul. - 2005. 3, 4. - P. 918-939.

16Bourgeat A., Gipouloux O., Maruitc-Paloka E. Filtration law for polymer flow through porous media//' Multiscale model, simul. - 2003. -1,3.- P.132-157.

Цель работы. Основной целью работы является доказательство теорем существования обобщенного решения трех начально-краевых задач, соответствующих трем моделям диффузии, вывод усредненных уравнений для одной из моделей, доказательство сходимости решения исходной системы уравнений к решению усредненной системы уравнений при стремлении малого параметра усреднения к нулю.

ды исследования нелинейных уравнений, такие как метод компактности . Для вывода усредненных уравнений используется метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Исследованы три новые нелинейные модели диффузии. Для каждой модели доказана теорема существования обобщенного решения. Получены усредненные уравнения для третьей модели.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Теорема 1 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с нулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М1;

2. Теорема 2 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии, названной в работе моделью М2;

3. Теорема 3 — о существовании обобщенного решения начально-краевой задачи для системы из нелинейных уравнений Стокса с ненулевой объемной вязкостью и конвективного уравнения диффузии с малой диффузией в твердом скелете, названной в работе моделью МЗ;

17Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука. 1967. - 736 с.

18Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: Мир, 1972. - 588 с.

4. Теорема 4 — о сходимости решений модели МЗ к усредненной системе уравнений, описывающей на макроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заг полняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта (малый параметр, характеризующий диффузию в твердом скелете, фиксирован).

5. Теорема 5 — о предельном переходе решения усредненной системы уравнений при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диффузию в твердом скелете, к решению усредненной системы с нулевой диффузией в твердом скелете.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории нелинейных начально-краевых задач, в теории усреднения дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании процессов диффузии примесей в подземных грунтах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Nonlinear Partial Differential Equation», г. Ялта, 2007 г.; на Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2009 г.; на VII международной конференции по дифференциальным уравнениям, численным методам их решения и математическому моделированию, Волгодонск, 2009 г.; на Международном Российско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Москва-Белгород, 2009 г.; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI», Воронеж, 2010 г.; на Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 2010 г.; на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солда-това А.П. и профессора Мейрманова A.M., Белгородский государственный университет, 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [10] из списка публикаций автора по теме диссертации. Из них статьи [2], [10] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных

результатов кандидатской диссертации. В совместных работах [1], [5], [7] результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, списка литературы из 61 наименования и изложена на 114 страницах.

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава содержит предварительные теоретические сведения, необходимые для изложения материала (в частности, основные результаты о разрешимости краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа, теоремы вложения, теоремы о компактности, метод двухмасштабной сходимости).

Во второй главе исследуется разрешимость трех начально-кривых задач для системы уравнений Стокса и конвективного уравнения диффузии. Рассматриваемая ограниченная область П С М3 с липшицевой границей Б = дП представляет собой объединение Г2/ (порового пространства) и Г23 (твердого скелета): П = Г = области П/ и П3 яв-

ляются связными и непересекающимися: = 0, Г также является

липшицевой поверхностью.

В §1 главы 2 доказывается корректность первой модели, названной в работе моделью М1. В ограниченной области П/ С К3 для скорости жидкости £), давления р(х, и концентрации примеси с(х,Ь) рассматривается система уравнений:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

9У

— = сНу(ам,Дс)Уу) - уР+ х£ П,, I е (0,Т),

+ = х € П/, Ь € (0,Т),

Ч-V ■ Vc = аг, Ас, х € П/, Ь £ (О, Г).

д£

(1)

(2)

(3)

Задача замыкается однородными краевыми условиями

у(а:,4) = 0, = 0 при х € 9П/, « 6 (О, Т), (4)

где п — единичный вектор внешней нормали к ЭГ2/, и начальными условиями

у(аг, 0) = у0(.г), р(х, 0) = 0, с{х, 0) = со(х), х Е 17/. (5)

Объемная вязкость жидкости не учитывается. Здесь и далее ат, а„, ад, ар, а о — безразмерные положительные постоянные.

Определение 1. Функции у(х,1), р(х, £) и с(х. £) называются обобщенным решением задачи (1)-(5) в области Qf х (0,Т), если

1) др/дЬ € х (О, Г)), v € (П, х (0,Г)),

с б ¿оо (П/ х (О, Г)) П ^"(П/ х (О, Т));

¿У почти всюду в области П/ х (О, Т) выполнено уравнение неразрывности

— + ОрС^уу = 0;

др т

3) функции V, р и с удовлетворяют интегральным тождествам

гТ

[ [ (ату V : Ур+рсИур+Р-^) йхсИ — - [ у0{х)-(р(х, 0) ¿х,

Jo Ja} ог Уп/

1о 1 сЬсса = - со{х)ф{х,0)(1х

для произвольной гладкой вектор-функции <р(х, Ь), равной нулю на границе <90/ и при í = Т, и для произвольной гладкой функции ф(х, Ь), равной нулю при í = Т.

Заметим, что условие Неймана уже включено в интегральное тождество. Здесь использовано обозначение

3 3 г» <Л Г7 Т7 ^

Уу

г=1 1=1 ■'

г=1

С помощью результатов о разрешимости краевых задач в гельдеров-ских классах функций, результатов о разрешимости краевых задач для

и И*

параболических уравнений в пространствах ^'"(Пт) и теоремы

вложения пространства И^П) в пространство Ьд(Г1), принципа максимума для линейных параболических уравнений, теорем о компактности, теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается теорема 1.

Теорема 1 Пусть граница 9П/ ограниченной связной области Я/ С К3 является липшицевой поверхностью, /о^/^ |рГ|2<£г<й = Р2 < оо, 1п} = V2 < оо, а начальное распределение концентрации примеси

Со удовлетворяет условиям: со(х) £ ¿^(Пу), 0 < со(х) ^ С < 1. Пусть, кроме того,

ц{с) е С2[0, оо), < 0<ц,< ц{с) <

Тогда на произвольном интервале времени (О, Г) у задачи (1)-(5) существует по крайней мере одно обобщенное решение v, р и с такое, что

(Кф.о^с, [ [ |Ус|2<*ссгг < м, +а'|у!!) *)++£ <£>') ** (

^ М{Р2 + У2), где постоянная М зависит только от /л» и ар.

В §2 главы 2 исследуется разрешимость второй модели, названной в работе М2: Эу

аТ— = (Иу(а„ц(с)Х7у + (с^сКуу - р)1) + />Р, х 6 П/, 4 £ (О, Г), (6) 9х>

^ + «р(Ну V = О, 16П/, « е(0,т), (7)

у(х,г) = 0 при х 6 3%, у(х, 0) = 0, р(з7,0) = 0, при а: 6 П/, (8)

дс

— + уУс = алАс, ® еП/,«е(0,Т), (9)

дс(х О

^ ■ = 0 при х 6 <ЭП/, с(х, 0) = со(х), при х € Л!/. (10)

В отличие от первой, вторая модель содержит в уравнениях Стокса. дополнительное слагаемое, соответствующее объемной вязкости. Объемная

вязкость обычно учитывается в моделях для сжимаемой жидкости, а кроме того, наличие объемной вязкости позволяет упростить получение априорных оценок на давление. Предполагается, что граница дQ.f ограниченной связной области Г2/ е К3 является липшицевой поверхностью, ц(с) € С2[0, +оо), И^+оо) < г/о"1, 0 < ц> < м(с) < ц,"1, 0 < со(г) < 1, ф) € /0Т |рГ|2 ¿х йЬ = F^ < оо. На основе теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается теорема 2.

Теорема 2 Задача (6)-(10) имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки:

тах [ (а,-М2 + —ря) ¿х + Г [ (аи{сНуу)2 + ам|Уу|2) ¿х Л < МР2, °<*<ТЛ\ аР JJoJn,^ >

О < с{х, г) ^ 1, [ [ |Ус|2 йх а ^ М.

Jо Ja¡

где М - постоянная, зависящая только от щ и Т.

В §3 главы 2 исследуется разрешимость третьей начально-краевой задачи, названной моделью МЗ. Третья модель содержит вспомогательное предположение о наличии малой диффузии в твердом скелете. Это предположение вызвано тем, что в дальнейшем для усреднения модели задачу необходимо рассматривать во всей области П, объединяющей поровое пространство и твердый скелет. Поэтому все функции продолжаются из области Г2/ в П. Скорость V и давление р, равные нулю на границе ЗП/, естественно продолжаются нулем. Концентрацию, для которой на границе задано однородное условие Неймана, тоже можно было бы продолжить, используя известные методы продолжения, но при этом теряется ограниченность производной дс/дЬ, необходимая в дальнейшем для предельного перехода. Поэтому вводится предположение о наличии малой диффузии в твердом скелете, характеризующейся параметром Л > 0. В дальнейшем, уже после усреднения, предельный переход при А -* 0 позволяет избавиться от малой диффузии в твердом скелете.

[ 0, а: € . { 0, ж € П„

Положим V = < Аналогично, р = <

V, 16% ( р, X 6 Г2/.

Уравнение диффузии записывается в виде: дс

— + V • Ус = ((Ха0 + Л(1 - х)) V«:, х 6 П, Ь € (О, Т). Здесь _ характеристическая функция в П:

/ о, х е

^ 1, х е

Задача теперь рассматривается во всей области П с границей 5 = <9П:

= (а„Шу V - р)][) + рГ, хеП, ¿€(0,Т), (11)

■^ + apdivv = 0, х € П, t € (О, Т), (12)

v(x,i) = 0 при х е S, (13)

v(x, 0) = 0, р(х, 0) — 0 при х £ С2, (14)

дс

- + v.Vc = div((aDx + A(l-x))Vc), х G П, t е (О,Г), (15)

^г^ = 0 при х € 5, (16) on

с(х, 0) = с0(х) при ®бП. (17)

В предположении /i(c) G С2[0,оо), |м|[о!х) < ^о"1' 0 < Ц) < /i(c) < j/q 0 < cq{x) < 1, со (ж) G Ьоо(П), /Пт ¡pF\2dxdt = F2 < оо, 0 < a^ < fj"1, 0 < a„ < г/ц-1, 0 < ap < г^1, S — липшицева поверхность, доказывается существование обобщенного решения начально-краевой задачи при фиксированном А:

Теорема 3 Задача (11)-(17) имеет, обобщенное решение и для него справедливы оценки:

шах / fa7|v|2 + —p*\dx + av [ [(divv)2dxdt+

о<t<Tja\ of ) Jo Ja

[ [ |Vv|2 dx dt < Мафо, T)F2, Jo Jci

0 < c(x,t) 1,

max [ c2dx+ f [ (aDX + A(1 - х))|Ус|2оЬ ^ М{щ, T)F2. °<t<T JП Jo Jn

В третьей главе проводится усреднение для третьей модели методом двухмасштабной сходимости Нгуетсенга.

Поскольку задача усреднения практически невыполнима для совершенно произвольной области, обычно вводятся упрощающие предположения относительно геометрии области. В данном случае это предположение о периодичности порового пространства.

Пусть область О = (О, I)3 с границей 5 есть периодическое повторение элементарной ячейки У€ — еУ, где У = (О, I)3, 1/е — целое число, так что П всегда содержит целое число элементарных ячеек УЕ. Пусть области У5 (твердая часть У) и У/ (жидкая часть У) таковы, что У/ и У и 7 = У, где 7 — 9У/ Р| дУа. Поровое пространство Щ есть периодическое повторение элементарной ячейки еУ/, твердый скелет есть периодическое повторение элементарной ячейки £У3, граница Г£ = дПу Р| дЩ — периодическое повторение в О границы £7, причем Щ и — связны, а Г£ — связная липшицева поверхность.

После введения упрощающего предположения о периодичности пространства в математической модели появляется малый параметр е, равный отношению среднего размера пор I к размеру Ь рассматриваемой области: е = 1/Ь. Этот параметр входит как в коэффициенты дифференциальных уравнений, так и в геометрию области определения дифференциальных уравнений. Поэтому вторым естественным упрощением модели, сохраняющим основные свойства задачи, являются различные пределы модели при е —> 0.

Чтобы говорить о предельном переходе при е —♦ 0, необходимо рассматривать все функции и последовательности в фиксированной области (Щ зависит от е). Поэтому все функции продолжаются из области Щ С Г2 в П, как это описано в §3 главы 2. Для продолженных функций получается следующая система уравнений:

ду£

ат~ = <ЦУ (с^(с£) + (а^у V£ - ре)I) + Е, (18)

-£- + ар = (19)

Эге

+ = сНУ ((Х£ао + Л(1 - Х£)) V4), х € П, 4 6 (О, Т);

дь

(20) (21) (22)

(23)

(24)

у-(:г,«) = 0, хвБ,

дп

уе(х,о) = о, ре(х,о) = о, хеа,

се(х, 0) = со(х), 0 < со (ж) < С ^ 1, хеП.

Здесь — х(я/£) ~ характеристическая функция Щ в П, х(у) ~ ха" рактеристическая функция У/ в У:

Таким образом, задача теперь рассматривается в области П, не зависящей от г, и можно переходить к предельному переходу при £ —* 0. При фиксированных г и Л рассматриваемая в периодическом пространстве модель совпадает с моделью МЗ, корректность которой доказана в главе 2. Вначале фиксируется параметр А и выводятся усредненные уравнения модели. Далее, уже после усреднения, выполняется предельный переход при Л —► 0.

Пусть выполнено следующее предположение: при £ —> 0

Для фиксированного положительного числа А справедлива теорема 4. Теорема 4 Решение Сд) задачи (18)-(24) сходится при е —» 0

к решению (у\,Рк,С\) усредненной системы:

а,, -» 0, аТ —> 0, Ш, 0 < /д < оо,

Ег-

—и/о, 0 < щ < оо, -» 0 < т]0 < оо, ао -* Аз, 0 < -Оо < оо.

/XI, 0 < /¿1 < оо,

+ Уа-УСа = (11у(В^УСа),

Зсд

где В^' и Вд' — симметричные и положительно определенные матрицы, вычисляемые по формулам:

(26)

¿=1

(%)>у1 + ^(¿ЫУ^ ®еО)у, (27)

¿=1

При этом уа уд, р^ рд слабо в х (О, Т)), Сд —> с\ сильно в Ь2(П х (О,Г)) и Сд —А с\ слабо в х (О,Г)).

Через и ® V обозначено тензорное произведение двух векторов, которое можно рассматривать как матрицу отображения, определяемого следующим образом: (и 0 у)^) = и(у • V/). (О) у означает О (у ) йу.

Функции у) определяются как решения периодических краевых

задач:

/цДуУ^-ЧуН®+ <* = (), сИуУлй = 0, у 6 У/, Уа^Ь- = О, а функции Сд'(ж, ¿, у) — как решения периодических краевых задач:

= х(у)£>0 -ь л(1 - хЫ), [ ф*у = 0.

И наконец, уже после усреднения, выполняется предельный переход при А —у 0, позволяющий избавиться от вспомогательного предположения о малой диффузии в твердом скелете.

Теорема 5 Пусть с\) есть решение системы (25) для фикси-

рованного А > 0. Тогда при А 0 функции уд,Ра, сх сходятся к решению (у, р, с) усредненной системы:

щдр др д = р+——, —+ т?0а1УУ = 0, г]о 31 <Э(

| + У-Ус = С11У(В<с)УС),

где матрица Вц определяется формулой (27) для А = 0. При этом v> —1 v! Р\ Р слабо в х (0, Т)), с,\ —> с сильно в Li(fl х (0,Г)) и сд -»• с слабо в х (0,Т)).

Полученная в результате усреднения модель представляет собой обобщенный закон фильтрации Дарси и усредненное конвективное уравнение диффузии, то есть является моделью, асимптотически близкой к фундаментальным моделям механики сплошных сред. Кроме того, усредненная модель свободна от быстро осциллирующих коэффициентов, что делает ее пригодной для численных расчетов.

Автор выражает глубокую благодарность и сердечную признательность научному руководителю профессору Мейрманову Анварбеку Мукатовичу.

Публикации по теме диссертации

1. Gritsenko S. A., Meirmanov A. M. Derivation of the equation cf admixture diffusion from underground wastes disposal trough homogenization of periodical structure: Proceedings of International conference "Nonlinear Partial Differential Equation", Yalta, Crimea, Ukrine, September 10-15,2007. - Donetsk, 2007. - P. 31-32.

2. Гриценко С. А. О диффузии и медленной конвекции примеси в сла-босжимаемой вязкой жидкости// Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2009. Т. 9, выпуск 2. - С. 19-24.

3. Гриценко С. А. О диффузии и медленной конвекции примеси в сла-босжимаемой вязкой жидкости// Материалы Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" и VII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". - Нальчик-Эльбрус.

- 2009. - С. 72-73.

4. Гриценко С. А. О задаче нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости// Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. - Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2009.

- С. 31-42.

5. Мейрманов А. М., Гриценко С. А. Усредненные модели диффузии и конвекции примесей в абсолютно твердых пористых средах// Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2009. - №13 (68). - Выпуск. 17/2. - С. 82-88.

6. Гриценко С. А. Усреднение в задачах нелинейной диффузии// Сибирские электронные математические известия. - 2010. - Т. 7. - С. 52-64. -http: //semr.math.nsc.ru/v7/p52-64.pdf

7. Гриценко С. А., Зимин Р. Н. Об одной вспомогательной задаче нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости/,/ Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. - 2010. - № 5 (76). - Выпуск 18. -С. 71-82.

8. Гриценко С. А. Об усредненной модели нелинейной диффузии// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXI". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронеж, гос. ун-та, 2010. - С. 72-73.

9. Гриценко С. А. Диффузия и фильтрация примесей в абсолютно твердых пористых средах// Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". - Нальчик-Хабез, 2010. - С. 72-75

10. Гриценко С. А. Разрешимость в целом задачи нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2010. - Т. 10, вып. 4. - С. 49-55.

Подписано в печать 15.11.2010. Гарнитура Times New Roman. Формат 60 х 84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 187. Оригинал-макет тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гриценко, Светлана Александровна

Обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения'.

Глава 2. Корректность математических моделей диффузии на микроскопическом уровне

§1. Математическая модель М1 — движение вязкой жидкости в отсутствие объемной вязкости

§2. Математическая модель М2 — движение вязкой жидкости с ненулевой объемной вязкостью.

§3. Математическая модель МЗ с малой диффузией и конвекцией в твердом скелете.

Глава 3. Усреднение математической модели МЗ

§4. Постановка задачи.

§5. Основные результаты.

§6. Доказательство теоремы 4.

§7. Доказательство теоремы 5.

Введение диссертация по математике, на тему "Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах"

В настоящей диссертации методами теории дифференциальных уравнений исследуются математические задачи, описывающие на микроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта, и их асимптотические пределы (усредненные уравнения).

Актуальность темы.

Тема исследований подпадает под пункт 6: рациональное природопользование перечня "Приоритетных направлений науки РФ"и пункты а) 8: технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом, б) 16: технология оценки ресурсов и прогнозирования состояния литосферы и биосферы, в) 21: технологии снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф.

Методика исследований. Основными методами исследования являются классические методы функционального анализа и теории уравнений в частных производных, в частности, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений (см. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. [1]). Кроме того, используются методы исследования нелинейных уравнений, такие как метод компактности (см. Лионе Ж.-Л. [2]). Для вывода усредненных уравнений используется метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга (см. ^ш^вег^ С. [3], [4]).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить следующие.

4. Теорема 4 — о сходимости решений модели МЗ к усредненной системе уравнений, описывающей на макроскопическом уровне диффузию и медленную конвекцию примесей в вязкой слабосжимаемой жидкости, заполняющей поры в абсолютно твердом скелете грунта.

5. Теорема 5 — о предельном переходе при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диффузию в твердом скелете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

- международной конференции «Nonlinear Partial Differential Equation», г. Ялта, 2007 г.;

- Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2009 г.;

- VII международной конференции по дифференциальным уравнениям, численным методам их решения и математическому моделированию, Волгодонск, 2009 г.;

- Международном Российско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Москва-Белгород, 2009 г.;

- Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXI», Воронеж, 2010 г.;

- Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 2010 г.;

- семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям под руководством профессора Солдатова А.П. и профессора Мейрманова A.M., Белгородский государственный университет, 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] -[10] из списка публикаций автора;по теме диссертации. Из них статьи [2], [10] опубликованы в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации. В совместных работах [1], [5] результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав, списка литературы из 61 наименования и изложена на 113 страницах.