Методы усреднения задач диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Зимин Решат Нариманович

МЕТОДЫ УСРЕДНЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ И КОНВЕКЦИИ ПРИМЕСЕЙ В ПОРОУПРУГИХ

СРЕДАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 АПР 2013

Белгород - 2013

005057745

005057745

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и механики ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель:

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова», механико - математический факультет

Защита диссертации состоится 23 апреля 2013 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан » ьихЦ^Т^и 2013 года

Ученый секретарь Гриценко Светлана

доктор физико-математических наук, профессор

Мейрманов Анварбек Мукатович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики НИУ «Высшая школа экономики»

Данилов Владимир Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа ФГАОУ ВПО НИУ «БелГУ» Пенкин Олег Михайлович

диссертационного совета Д 212.015.08

Александровна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность работы. Диссертация посвящена методам усреднения математических моделей диффузии-конвекции примесей в жидкости, движущейся в пороупругой среде. Задача о движении жидкости в пористой среде рассматривалась многими авторами, в числе ключевых отметим работы М. Био, К. фон Терцаги, Р. Барриджа и Дж. Келлера, Э. Санчес-Паленсии, Т. Леви, A.M. Мейрманова, A.JI. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева, Дж. Бьюкенена, Ж. Лина, М. Бакингема, Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича, Л. Паоли, Т. Леви, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хьюберта. Попытки учесть упругие свойства твердого скелета при диффузии и конвекции примесей в пористой среде ранее не предпринимались. Между тем такие процессы возникают в практических приложениях, таких как фильтрация примесей из подземных захоронений или фильтрация примесей из водоемов в грунт, засоление почв и т.п. Данная тематика включена в:

пункт 6 - рациональное природопользование - перечня Приоритетных направлений науки РФ;

пункт 8 - технологии атомной энергетики, ядерного топливного цикла, безопасного обращения с радиоактивными отходами и отработавшим ядерным топливом,

пункт 34 - технологии экологически безопасной разработки месторождений и добычи полезных ископаемых - перечня Критических Технологий РФ.

Все это показывает, что задачи, рассматриваемые в диссертации, весьма актуальны.

Цель работы.

1. Исследование разрешимости начальпо-краевых задач, моделирующих процесс диффузии и конвекции примесей в пороупругой среде на микроскопическом уровне.

2. Строгий вывод макроскопических математических моделей диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах с помощью методов теории усреднения.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1) исследование разрешимости начально-краевых задач, описывающих процесс диффузии-конвекции примесей в пороупругой среде на мик-

роскопическом уровне;

2) строгое усреднение математических моделей диффузии и конвекции примесей, описывающих физический процесс на микроскопическом уровне.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории нелинейных начально-краевых задач, в теории усреднения дифференциальных уравнений, а также при математическом моделировании процессов фильтрации жидкостей в пористых средах.

Методы исследования. Основными методами исследования являются классические и современные методы дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики, комплексного и функционального анализа. В частности, для построения приближенных решений дифференциальных уравнений использовались метод Галерки-на и теорема Шаудера о неподвижной точке, для доказательства сходимости приближенных решений дифференциальных уравнений к точному решению - метод априорных оценок, методы компактности (как известные в литературе, так и доказанные автором диссертации в соавторстве с научным руководителем). При выводе усредненных уравнений использовался метод двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга и Г. Аллэира.

Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на VIII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», которая проводилась в рамках Российско-Болгарского симпозиума (Нальчик-Хабез, 2010); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2010); на международной конференции, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010) и на международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород, 2011).

Публикации.Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] - [7]. Публикации [3] - [7] выполнены в изданиях из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. Статьи [1] - [2], [4] - [7] выполнены совместно с научным руководителем A.M. Мейрмановым. В

совместных с A.M. Мейрмановым статьях научному руководителю принадлежат постановка задач и выбор методик исследования, а соискателю

- реализация указанных методик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации составляет 138 страницы, список библиографии - 111 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор используемой литературы, изложены актуальность темы, цель работы, методы исследования, научная новизна, публикации по теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, апробация работы, значимость, структура и содержание работы.

Уравнения пороупругости, полученные К. фон Терцаги1 и М. Био2 долгое время являлись общепринятыми и служили основой для решения практических задач пороупругости. Эти уравнения учитывают перемещение не только жидкости в порах, но и твердого скелета. Предлагаемые К. фон Терцаги и М. Био модели называют феноменологическими: в них постулируются свойства смеси твердой и жидкой компонент. Позже, ряд авторов (Р. Барридж и Дж. Келлер3, Э. Санчес-Паленсия4, Т. Леви) предложили вывод уравнений пороупругости на основе основных законов механики сплошных сред и методов усреднения. Это было вполне естественно, сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели ,с помощью теории усреднения (усредненные уравнения).

Так, совместное движение в области описывалось ими базовой математической моделью, которая содержала динамические уравнения Стокса для жидкости в поровом пространстве, динамические уравнения Ламе

1 Terzaghi К. Die Berechnung der Durchlassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungsercheinungen// Sitzung berichte. Akademie der Wissenschaften, Wien Mathematiesch-Naturwissenschaftliche Klasse, - 1923. - V. 132. - № IIa. - P. 104-124.

2Biot M. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid 11 Journal of Applied Physics. - 1955. - V. 26. - P.182-185. :

3Burridge R., Keller J. B. Poroelasticity equations derived from microstructure// J. Acoust. Soc. Am.

- 1981. - V. 70,- № 4,- P. 1140- 1146.

4Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. - Berlin: Springer. Lecture Notes in Physics. - V. 129, 1980.

для твердой компоненты и условие непрерывности нормальных напряжений на общей границе «поровое пространство - твердый скелет». Все уравнения понимаются в смысле теории распределений (как соответствующие интегральные тождества).

Приведенная выше задача является сильно нелинейной и содержит еще одну неизвестную величину - общую границу «поровое пространство - твердый скелет». Главным постулатом здесь является то, что твердая и жидкая компоненты не смешиваются. Таким образом, неизвестная (свободная) граница является поверхностью контактного разрыва, которая определяется из задачи Коши для характеристической функции порового пространства.

Для упрощения данной системы естественной была идея линеаризации исходной системы.

Различные частные случаи линеаризации рассматривались многими авторами: Дж. Бьюкенен - Р. Гильберт - Ж. Лин, М. Бакингем, Р. Бар-ридж - Дж. Келлер, Т. Клопиу - Ж. Ферри - Р. Гилберт - А. Мике-лич - JI. Паоли, Т. Леви, Г. Нгуетсенг, Ж. Санчес-Хьюберт, Э. Санчес-Паленсия. Систематическое изучение описанной задачи можно найти в работе A.M. Мейрманова5, где в зависимости от значения безразмерных параметров получаются различные типы физических процессов:

- очень медленных по времени процессов, таких как фильтрация жидкости;

- быстропротекающие процессы, такие как акустика или гидравлический удар;

- различные типы сплошных сред (сжимаемые или несжимаемые; по-роуругие среды или абсолютно твердый скелет и т.д.).

Таким образом, у нас есть набор приближенных моделей, от простых до весьма сложных. Выбор той или иной модели зависит только от наших практических потребностей. Основная идея состоит в том, чтобы найти наиболее адекватные и правильные математические модели на микроскопическом уровне для каждого из рассмотренных физических процессов, которые базируются на основных принципах механики сплошных сред, и выполнить предельный переход по малому параметру усреднения.

Выбор модели на микроскопическом уровне должен основываться на

5 Мейрманов A.M. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсеига в задачах фильтрации и сей-смоакустики в упругих пористых средах// Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48. -№ 3. - С. 645-667

определении теоретически малых параметров и безразмерных критериев, описывающих процесс (медленный или быстропротекающий, сжимаемая или несжимаемая среда и т.д).

Подчеркнем, что все наши результаты основаны на методе двухмас-штабной сходимости Нгуетсенга6.

Общие вопросы теории усреднения дифференциальных операторов рассматриваются в монографиях многих исследователей: В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник7; O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна, A.C. Ша-маева8; В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова; А. Бенсусана, Ж.Л. Лионса, Д. Папаниколау; Э. Санчес-Паленсии; Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко;

A.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева9 и других авторов.

Если рассматривать только процесс диффузии, то такие модели достаточно хорошо и полно были изучены и описаны в монографиях

B.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник7; Э. Санчес-Паленсии4.

Очень интересной с физической и математической точек зрения является задача о совместном определении распределения концентрации примеси при ее диффузии и конвекции, и поля скоростей несущей жидкости. Такая задача возникает, если определение поля скоростей зависит от содержания примеси в жидкости. Соответствующие модели динамики вязкой жидкости известны (смотри, например, работу Л. В. Овсянникова10)

и для них либо коэффициент вязкости зависит от концентрации, либо концентрация линейным образом входит в массовую силу (объемное расширение), либо и то и другое. Возможно также появление концентрации в уравнении неразрывности. Все зависит от способа упрощения (линеаризации) исходных нелинейных уравнений. До последнего времени какие-либо результаты по моделям совместного определения распределения концентрации примеси и поля скоростей несущей жидкости отсутствовали. Только в последнее время появились работы Св.А. Гриценко, в которых в уравнениях динамики жидкости в абсолютно твердом

6Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale convergence// Int. J. Pure and Appl. Math. - 2002. - V. 2. - № 1(2002). - P. 35- 86.

7 Jikov V. V., Kozlov S. A/., and Oleinik O. A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals. - New York: Springer-Verlag, 1994

8 Олейник O.A., Иосифъян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: изд-во МГУ., 1990

9Пятницкий А.Д., Чечкин Г.А., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. - Новосибирск: Тамара Рожковская. Белая серия в математике и физике. - Т.З, 2007

10 Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. Часть I, II. - Новосибирск: Новосибирский Государственный Университет, 1976

пористом грунте вязкость жидкости зависела от концентрации примеси. Модели, в которых поле скоростей несущей жидкости зависит и от концентрации примеси и от динамики упругого скелета грунта, до настоящего времени не изучались.

Усреднение конвективного уравнения диффузии с заданным полем скоростей можно найти в работах: Г. Аллэира, В. Панкратова, М. Гонча-ренко, Ж.-Л. Лионса, Г. Папаниколау, А. Боургета, Е. Марусик-Палока, А. Пятницкого, Ю. Хорнунга, В. Джагера, В.В. Жикова, С.М. Козлова, O.A. Олейник, A.M. Мейрманова и других авторов.

Глава 1 содержит предварительные теоретические сведения, а также результаты, полученные в ходе проведения исследования, такие как принцип компактности для периодических структур, способы продолжения функций из одной области в другую и некоторые граничные свойства функции, заданной на периодическом множестве.

В Главе 2 рассматривается математическая модель конвекции-диффузии в абсолютно твердом скелете. В качестве основной модели на микроскопическом уровне мы рассмотрим модель Mi, которая состоит из системы уравнений Стокса, описывающих движение сжимаемой вязкой жидкости в поровом пространстве и уравнения неразрывности. Рассматриваемая система дополняется конвективным уравнением диффузии для примеси в жидкости и замыкается начальными и граничными условиями. При этом считается, что и динамическая вязкость, и плотность жидкости зависят от концентрации примеси.

p(cs)F = 0, ж 6 Щ, t > 0, (1)

дпе

+ = 0,, ж £ fif, t > О,

at 1 J

дс£

— + ve ■ Vc£ = aDAcE, xeflf,t> 0, at 1

vs(x,t) = o, x e Гг, t> o, Vc£(x,t) • n(x) = 0, X e r£, t > 0, сг(ж,0) = со(ж), x € Щ,

pe{x, о) = о, же Щ,

dt

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

(2)

где ve{x,t) = (vf(x,t),v2(x,t),vs(x,t)) - вектор скорости жидкости, pe(x,t) - давление жидкости, ce(x,t) - концентрация примеси, Ю)(х,'и) - симметрическая часть градиента вектора v (тензор напряжений), I -единичная матрица,

p{c£) = x£{v)(ef + Sce(x,t)),

<5 - положительная постоянная, п - единичный вектор внешней нормали к Гг, ад - коэффициент диффузии, с/ - безразмерная скорость звука в жидкости, ац - безразмерная динамическая вязкость, пропорциональная

Е2:

ац = e2ni{c£), 0 < fit < fi\{ce) < fi'1, fit = const.

Более того, для контроля за членом V • v в (1) мы предположим, что а„ не зависит от е:

а» = Щ = const > 0.

Для упрощения доказательства, мы будем считать, что безразмерный коэффициент диффузии ар так же не зависит от е:

qd = Dq = const > 0.

Всюду ниже в этой главе будем считать, что cq(x) и F(x,t) измеримые функции,

0 < с0(х) < 1, / \F(x, t)\2dxdt < F2 < оо, JQT

fii{c£) ^ fi! e c2[0, oo), и vq, c2, Dq, fi„, S положительные константы.

Основные результаты Главы 2 сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 2.1 Задача (1) - (7) имеет по крайней мере одно обобщенное решение {г»£, ре, с6}.

Теорема 2.2 Пусть тройка функций {v£, рЕ, сЕ} является обобщенным решением задачи (1) - (7). Тогда:

I) из последовательности параметров {е > 0} можно выделить подпоследовательность такую, что при е —> 0 последовательности {w£}, {V-i)e}, {р£} сходятся слабо в L2((0, Г); L2(fl)) к функциям v, V-v, р соответственно, а последовательность {с£} сходится слабо в и сильно в ¿2((0,Г); ¿2(^)) к функции с;

II) тройка предельных функций {и, р, с} является обобщенным решением задачи диффузии - конвекции для сжимаемой жидкости в абсолютно твердом скелете, которая состоит из динамических уравнений

„ = -±- + § с^р^ (8)

цг (с) т

, и0 дР (а\

Я = р + (9)

| + = О (10)

для скорости v и давления р сжимаемой жидкости, и конвективного уравнения диффузии

+ Ус = £>0У-(В(с)Ус) (И)

для концентрации примеси с, в области Г2 при í > 0, усредненных граничных

г(х,Ь)-п(х)=0, (12)

V с(х, ¿) • п(х) = 0 (13)

на границе 5 при Ь> 0, и начальных условий

р(х, 0) = 0, с(х, 0) = со(х) х€П. (14)

В (8) - (Ц)

т = (х)у = ^х(у)<1у

пористость, постоянные матрицы ^ и ' - симметричные и положительно определенные, п - единичный вектор внешней нормали к границе S.

Теорема 2.3 I7ycmb{v(k\ p^k\ с®} обобщенное решение задачи (1) - (7) с c?j = к. Тогда:

I) существует подпоследовательность кп^> оо такая, что последовательности сходятся слабо в L2((0, Т); к функциям , соответственно, а последовательность сходится слабо в L2((О, Т); W^ii)) и сильно в ¿г((0,Т); L2{£1)) к функции с'00';

II) тройка предельных функций {г/°°\ рс^00'} является обобщенным решением задачи конвекции-диффузии несжимаемой жидкости в

абсолютно твердом скелете, которая состоит из системы уравнений

фильтрации Дарси с переменной вязкостью

^ =^))В(Л("^(00, + (^ + <5с(00))^' (15)

V • и(оо) = 0 (16)

для скорости г/00) и давления рнесжимаемой жидкости в области при Ь > О, конвективного уравнения диффузии (11) с полем скоростей {г/00)} для концентрации примеси с'00', граничных условий (12) и (13), и начального условия (Ц) для концентрации примеси.

Теорема 2.4 Пусть тройка р^х\ с(А'} является обобщенным решением задачи (1) - (7) с щ = Л. Тогда:

I) существует подпоследовательность \п —► 0 такая, что последовательности сходятся слабо в Ь2((0, Г); Хг(П)) к функ-цияму(°\ рсоответственно, а последовательность сходится слабо в Ь2((0,Г);И^(Г2)) и сильно в Ь2((0, Т); Ь2{П)) к функции с®;

II) тройка предельных функций с^0)} является обобщенным решением задачи диффузии-конвекции для слабосжимаемой жидкости в абсолютно твердом скелете, которая состоит из системы уравнений фильтрации Дарси с переменной вязкостью

У{0) = ^Р1)В(Л( - ^Р(0) + ^ + 5С(0))^> (1?)

? + = 0 (18)

для скорости v<^№> и давления рслабосжимаемой жидкости в области П приЬ > О, конвективного уравнения диффузии (11) с полем скоростей для концентрации с®, граничных условий (12) и (13), и начального условия (14)-

Глава 3 посвящена математическим моделям диффузии-конвекции в пороупругой среде. Мы рассмотрим две модели, описывающие процесс диффузии-конвекции в пороупругой среде, состоящие из системы уравнений Стокса, описывающей движение несжимаемой вязкой жидкости в поровом пространстве и системы уравнений Ламе, описывающей перемещение несжимаемого твердого скелета. Рассматриваемая система дополняется конвективным уравнением диффузии для примеси в жидкости

и замыкается начальными и краевыми условиями. При этом считается, что плотность жидкости зависит от концентрации примеси.

Математическая модель Мг, описывается в области Г2 следующей системой уравнений:

С/ 1П £

V • (х ероВ(х, + (1 - хе)АоЮ(а:,«;г) -р£1) +

р(с£)Р = О, ж е П, £ > 0, (19)

У-го£ = О ж 6 П, * > 0 (20)

^ + ^-УсЕ = Д0Асг,х6П),г>0, (21)

от от '

дополненной следующими условиями:

•ш£(ж,г) = 0 при ж € 5 = сЮ, (22)

Х£го£(ш,0) =0 при гей, (23)

[рЫх = 0, (24)

иа

дсе

— = 0 при ж е Г£ и 5, г > 0, (25)

дтг

с£(ж,0) = со(х), при ж е Щ, (26)

где 1ие{х,Ь) = (г«1£(ж,^,ги|(£с1^)!г[,з(а;^)) ~ перемещение сплошной среды, ре{ж, ¿) - давление в сплошной среде, с£(ж, £) - концентрация примеси, ©(ж, и) - симметрическая часть градиента вектора v (тензор напряжений), I - единичная матрица, х£(х) - характеристическая функция порового пространства,

р(с£) = х£иа?/ + <5с£(ж,г)),

До - безразмерная вязкость жидкости, Ао - безразмерная постоянная Ламэ, 6 - положительная постоянная, п - единичный вектор внешней нормали к Г£, Д) - коэффициент диффузии.

Математическая модель Мз, описывается в области аналогичной системой уравнений:

V • (х£МоВ(а;, —) + (1 - х£)А0В(^, +

р(у{с£))г = о, ж е п, г > о, (27)

V • we = О, X e ft, t > 0, (28)

dc£ ( dw£\

— = V • ( D0Vcs - ip{ce) —— ) xetff,t> 0, (29)

Л

J П

которая замыкается следующими условиями

го £(ж, t) = 0 при х е S = дП, t > 0, (30)

pedx = 0,t>0, (31)

n

дс£ dwе

D0— - ^(с£) • п = 0 при ж е Г£, i > 0, (32)

Х£ги£(ж,0) = 0 при ж eft, (33)

с£(ж, 0) = Cq(x), при х£Щ. (34)

Функция <р(с£) € С2(—оо, оо), такая что

Г -1/2, с£ < -1/2 ^з(с£) = ^ с£, 0 < с£ < 1 [ 3/2, с£ > 3/2.

Основные результаты Главы 3 сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 3.1 Пусть

F = F(x), sup (\F(x)\ + \VF(x)\) = F < оо.

хеП

Тогда модель Мг имеет хотя бы одно обобщенное решение. Теорема 3.2 Пусть

F = F(x,t), max|F(a:,f)| = F < оо.

От-

Тогда модель Мз имеет хотя бы одно обобщенное решение. Теорема 3.3 Пусть выполнены условия Теоремы 3.1. Тогда:

1) последовательности {г«£}, {Уго£}, {ve}, {Vv£}, {ре}, {с£} и {Vc£} сходятся слабо в к функциям w, Vw, v = En^(dw/dt), Vv = V(Eqe {dw/dt)), p, с и Vc соответственно;

2) предельные функции являются решением усредненной системы уравнений в области ftp, которая состоит из уравнения неразрывности

V • го = 0, (35)

усредненного уравнения баланса

V • Р + т(в1 + <5с)Г = 0, (36)

где

дш Г*

Р= + : Ю>(х,— ) + 9?2 : Ю(х,го)+ / - г) : Щх, и>(х, т))(1т, № J о

и усредненного конвективного уравнения диффузии

т|£ + . ус = у • (ДВ(с)Ус), (37)

дополненной граничными

■из(х,Ь)=0, (38)

й-0- <39>

на внешней границе 5 = 80. при Ь > 0, начальными условиями

ги(х, 0) = О, (40)

с{х,0) = тсо{х), (41)

в области Г2 и условием нормировки

/ р{х,Ь)йх = 0, (42)

где в (38) - (42) п - единичный вектор внешней нормали к границе Б,

™ =

тензор симметричный и положительно определенный, а постоянная матрица В^ - симметричная и положительно определенная. Теорема 3.4 Пусть выполнены условия Теоремы 3.2. Тогда:

1) последовательности {и>£}; {Уго£}, {г/}, {Уи£}, {р£}, с£ и Ус£ сходятся слабо в Ьг(^т) к функциям го, Уго, V = Еп» (дга/дЬ), V« = ^(Кщ^д-ш/дЬ)), р, с и Ус соответственно;

2) предельные функции являются решением усредненной системы уравнений в области 0.т, состоящей из уравнения неразрывности

V • ю = 0, (43)

усредненного уравнения баланса

V • Р + m(gf + Sip (с)) F = 0, (44)

где тензор Р определяется как и в предыдущей теореме и усредненного конвективного уравнения диффузии

л

m= V • (A,B(c)Vc) _ у • (</>(c)B(c,v) (45)

Система уравнений (43) - (45) замыкается начальными и граничными условиями (38) - (41), и условием нормировки (42).

Если область Yj симметрична относительно поворотов на угол 7г/2 вокруг главных осей декартовой системы координат, то тогда матрица приводима к диагональному виду.

Более того, согласно Теореме 3.4 система (43) - (45) примет вид

V • Р + т(д/ + 5c)F = 0, (46)

V • w = 0, (47)

дс

m— + ÀVc ■ V = AV • (A)Vc) (48)

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А. М. Мейрманову за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Meirmanov A.M., Zimin R. Some compactness result for periodic structures and its application to the homogenization of a diffusion-convection equation// Electronic Journal of Differential Equations. - 2011. - № 115. Vol. 2011. - P. 1-11.

[2] Meirmanov A., Zimin R. Mathematical models of a diffusion-convection in porous media// Electronic Journal of Differential Equations. - 2012. - № 105 - Vol. 2012. - P. 1-16.

[3] Зимин P.H. О продолжении функций, заданных на периодических множествах// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2010. - № 17 (88). - Вып. 20. - С. 65-72.

[4] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н. Об одном принципе компактности для периодических структур// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2011. - № 5 (100). Вып. 22. - С. 47-53.

[5] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Гальцев О.В., Гальцева O.A. Корректная разрешимость задачи о нелинейной диффузии в несжимаемой пороупругой среде на микроскопическом уровне// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2012. - № 5 (124). Вып. 26. -

С. 116-128.

[6] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Гальцев О.В., Гальцева O.A. О разрешимости задачи диффузии-конвекции в пороупругой среде на микроскопическом уровне// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2012. - № 11 (130). Вып. 27. - С. 38-47.

[7] Мейрманов A.M., Зимин Р.Н., Гальцев О.В., Гальцева O.A. Математические модели диффузии в пороупругих средах// Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. - 2012. - № 17 (136). Вып. 28. - С. 77-90.

Подписано в печать 20.03.2013. Гарнитура Times New Roman. Формат 60 х 84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 100. Оригинал-макет тиражирован в ИД «Белгород» НИУ «БелГУ» 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Белгородский государственный национальный исследовательский университет

см о

со 8

чг— iri

О о

правах рукописи

Зимин Решат Нариманович

!

Методы усреднения задач диффузии и конвекции примесей в пороупругих

средах

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени I

00 кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

^ сЗ доктор физико-математических наук,

N

профессор Мейрманов A.M.

Белгород - 2013

Оглавление

Введение................................................................................................3

Глава 1. Предварительные сведения............................................32

Глава 2. Математические модели диффузии и конвекции примесей в абсолютно твердом скелете............................................59

2.1 Постановка задачи и основные результаты.....................................59

2.2 Доказательство Теоремы 2.1............................................................66

2.3 Доказательство Теоремы 2.2............................................................75

2.4 Доказательство Теоремы 2.3............................................................84

2.5 Доказательство Теоремы 2.4............................................................86

Глава 3. Математические модели диффузии - конвекции

в пороупругой среде.............................................................................87

3.1 Постановка задачи..........................................................................83

3.2 Основные результаты.....................................................................90

3.3 Доказательство Теоремы 3.1...........................................................97

3.4 Доказательство Теоремы 3.2..........................................................112

3.5 Доказательство Теоремы 3.3..........................................................112

3.6 Доказательство Теоремы 3.4..........................................................121

Литература.......................................................................................125

Ч

Введение

Настоящая диссертация посвящена получению методами усреднения новых математических моделей, описывающих процессы диффузии и конвекции примесей в пороупругой среде. Такая среда состоит из твердого скелета, перфорированного порами, и жидкости в порах. В работе был получен набор математических моделей, учитывающих характеристики не только жидкости, несущей примеси, но и твердого скелета, а также влияние примеси на реологические свойства жидкости (зависимость вязкости или плотности жидкости от концентрации примеси).

Уравнения пороупругости, полученные К. фон Терцаги ([73]) и М. Био ([16], [17], [18]) долгое время являлись общепринятыми и служили основой для решения практических задач пороупругости. Эти уравнения учитывают перемещение не только жидкости в порах, но и твердого скелета. Предлагаемые К. фон Терцаги и М. Био модели называют феноменологическими: в них постулируются свойства смеси твердой и жидкой компонент. Позже, ряд авторов (Р. Барридж и Дж. Келлер [28], Э. Санчес-Паленсия [71], Т. Леви [55], [58]) предложили вывод уравнений пороупругости на основе основных законов механики сплошных сред и методов усреднения. Это было вполне естественно, сначала, описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью теории усреднения (усредненные уравнения).

Согласно [71], различные задачи механики сильно неоднородных сред и композитных материалов приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Требуется построить модель среды, ло-

кальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усредненные характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к дифференциальным уравнениям с резко изменяющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости и гидродинамике, в теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации и других задачах физики и механики. Непосредственное численное решение таких задач, как правило, затруднительно даже на современных ЭВМ. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты. Усредненные уравнения позволяют определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды. Это условие обеспечивается основным требованием, которому должны удовлетворять усредненные уравнения - близость решений соответствующих краевых задач для исходных и усредненных уравнений. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической, квазипериодической, случайной однородной и др.) Если масштаб неоднородности среды имеет порядок е, то среда описывается дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых в зависимости от характера микроструктуры среды является периодическими, квазипериодическими, реализацией однородного случайного поля и др. Требуется определить поведение при £ —» 0 ре-

шений краевой задачи для дифференциальных уравнений такого рода с быстро осциллирующими коэффициентами и построить усредненное уравнение, которому удовлетворяет предельная функция.

Для объяснения этого метода, рассмотрим ограниченную область С Я3, перфорированную порами. Поровое пространство (жидкая часть) Q,f заполнено вязкой жидкостью, а твердый скелет = у предполагается упругим телом. Совместное движение в описывается системой уравнений [106]

^(ру) + V • (ру <8> V - ХР/ + (1 - Х)Р5) = (0.0.1)

+ = 0, (0.0.2) которая содержит динамические уравнения Стокса для жидкости

¿V „ т _ йр „

в поровом пространстве Q,f при £ > 0, динамические уравнения Ламе для твердой компоненты

Р1Е = у ' + ^ + " ^ =

в при £ > 0 и условие непрерывности нормальных напряжений

(Р5 - Р/) • п = 0

на общей границе «поровое пространство - твердый скелет» Г(£), где п - единичный вектор нормали к Г(£). Здесь V • и - дивергенция вектора и, матрица а® Ъ действует на произвольный вектор с по следующему правилу

(а 0 6) • с = а(Ъ • с),

для любых векторов а, 6, х характеристическая функция порового пространства Q,f,¥fи¥s тензора напряжений в жидкой и твердой частях со-

ответственно, V - скорость среды, р - плотность среды, .Р - заданный вектор распределенных массовых сил. Все уравнения понимаются в смысле теории распределения (как соответствующие интегральные тождества).

Приведенная выше задача является сильно нелинейной и содержит еще одну неизвестную величину - общую границу «поровое пространство - твердый скелет». Главным постулатом здесь является то, что твердая и жидкая компоненты не смешиваются. Таким образом, неизвестная (свободная) граница Г(£) является поверхностью контактного разрыва [106], которая определяется из задачи Коши для характеристической функции х порового пространства Г2/:

во всей области при t > 0.

Очевидно, что математическая модель (0.0.1) - (0.0.3) трудна для непосредственного численного решения, так как функция х меняет свое значения с 0 на 1 на масштабе в несколько микрон. Для построения модели, описывающей наш процесс, мы используем схему, предложенную в [28], [71], и после линеаризуем исходную систему.

Для линеаризации модели аппроксимируем характеристическую функцию х порового пространства Qf ее значением в начальный момент времени

(0.0.3)

X - Хо(х)

и свободную границу ее начальным положением Го-Далее предположим, что

дт

в жидкои части,

(1р „ 9 др „ ди>

с1р _о др _ дт

&г г 8 дь г дг

в твердом скелете, где pf и р3 постоянные средние плотности жидкости в порах и твердого скелета соответственно, с/ и с3 - скорость звука в жидкости и в твердом скелете соответственно, и, что

Р/ = рЩх, у) + (г/ (V • у) - р) I, (0.0.4)

РЛ = ЛО(ж,го)-р! (0.0.5)

Здесь Ш>(х,и) - симметричная часть Чи, I - единичный тензор, ги - вектор перемещения среды, р - динамическая вязкость, р - объемная вязкость и Л - постоянная упругости Ламэ.

Для того чтобы применить хорошо известный результат теории усреднения - метод двухмасштабной сходимости ([68]), мы должны рассматривать поровое пространство Qf специального вида.

Предположение 1. Пусть х(у) ~ 1-периодическая по переменной у функция такая, что х{у) = 1, У £ У/ С У, х{у) = 0, у е У3 = У\У/, где У - единичный куб Я3.

1) Множество У} является открытым и 7 = <9У/ П дУ8 - липшецева поверхность.

2) Пусть Уу есть периодическое повторение в Я3 элементарной ячейки £ У/. Уявляется СВЯЗНЫМ множеством с липшецевой границей ЗУр которая является периодическим повторением границы £7.

3) С Я3 - ограниченное множество с липшецевой границей 5 = дО, и Щ = ПпУ^ - поровое пространство, Щ = - твердый скелет, и Го = Ге = дЩ П дЩ - общая граница «твердое тело - поровое пространство».

Пусть £(ж) характеристическая функция области Q. х£(х) = С(х)х(х/£)

- характеристическая функция порового пространства Щ.

В безразмерных переменных

х w t „ F

х —, w —, i F —

L L т д

линеаризованная динамическая система примет вид

d2w

aTge— = V- Р +g£F, (0.0.6)

Quo

Р = хе Щх, —) + (1 - х>а B(z, ад) + (а, (V • v) - р) I, (0.0.7)

p + a£pS7-w = 0, (0.0.8)

где L - характерный размер физической области , г - характерное время физического процесса ид- ускорение свободного падения. В (0.0.6) - (0.0.8) £ = 1/L - безразмерный размер пор, _ L _ 2¡I _ 2А

ат О) 7 П' 7 П'

дт2 ^ тЬдри Lgp°

_ _ Qf _ Qs

а"~тЬдр^ apJ~Lgcf

«р = aP,fX£ + ®pAl ~ Xе), Qe = Qf Xе + Qs (1 - Xе),

где I - средний размер nop, Qf и qs - безразмерные плотности жидкости и твердого скелета соответственно, соотнесенные к плотности воды р°.

Различные частные случаи линеаризации системы (0.0.1) - (0.0.3) рассматривались многими авторами: Дж. Бьюкенен - Р. Гильберт - Ж. Лин [26, 36], М. Бакингем [27], Р. Барридж - Дж. Келлер [28], Т. Клопиу

- Ж. Ферри - Р. Гилберт - А. Микелич - JT. Паоли [30, 35, 67], Т. Jle-ви [55], Г. Нгуетсенг [69], Ж. Санчес-Хьюберт [70], Э. Санчес-Паленсия [71]. Систематическое изучение описанной задачи можно найти в работе А. М. Мейрманова [93]. В ней, в зависимости от значения безразмерного

параметра ат, система (0.0.6) - (0.0.8), как линеаризация (0.0.1), описывает различные типы физических процессов:

- для очень медленных по времени процессов, таких как фильтрация жидкости, ат ~ 0;

- для быстропротекающих процессов (коротких по времени), таких как акустика или гидравлический удар, ат ~ 1, или ат ~ оо.

Теоретически система (0.0.6) - (0.0.8) с соответствующими начальными и граничными условиями, одна из наиболее адекватных математических моделей, описывающих движение вязкой жидкости в перфорированном порами упругом скелете. Мы предполагаем, что все безразмерные параметры ат, а- являются переменными функциями, зависящими от малого параметра г, и находим все предельные режимы системы (0.0.6) - (0.0.8) при е —)■ 0. Понятно, что все предельные режимы будут зависеть от параметров ат, ад,---) или точнее, от их предельных значений при £ = 0.

Чтобы различать физические процессы и различные типы сплошных сред, рассмотрим следующие предельные значения безразмерных параметров

lim ar(e) = r0, lim а» (е) = НтаА(е) = Л0,

е\0 е\0 е\0

lim а£(е) = 40, lima£(e) = cs,o> lim = ¡Ii, lim — = Ai.

е\0 £г £\0 £г

Для процессов фильтрации tq = 0 и вместо системы уравнений (0.0.6) мы рассмотрим следующую систему

V- P + ££F = 0. (0.0.9)

Система (0.0.7) - (0.0.9) описывает медленное движение сжимаемой вязкой жидкости в порах. Из реальных экспериментов известно, что, как

правило, для такого движения скорость жидкости составляет около 6 -12 метров в год.

В классической механике пытаются максимально упростить уравнения, используя при этом всевозможные упрощающие предположения. В частности, таким упрощающим предположением является несжимаемость среды. Известно, что мерой несжимаемости среды является скорость звука в ней. Несжимаемая среда имеет бесконечную скорость звука. В частности, для очень медленных по времени физических процессов поведение акустических волн не так важно и мы можем предполагать, что многие реальные жидкости несжимаемы. С другой стороны, согласно экспериментальным данным, скорость звука в твердом скелете в два - три раза больше, чем скорость звука в жидкости. Но в силу первого предположения имеем, что и упругий скелет является так же несжимаемым, и в конечном итоге получаем

С/,о = ОО, о = оо.

Таким образом, фильтрация несжимаемой жидкости в упругом твердом скелете описывается следующей системой

дии

V • (х£ ^ В(х, + (1 - Х>Л Щх, IV)-р I) + д£Г = 0, (0.0.10)

= (0.0.11)

Самым простейшим случаем является движение вязкой жидкости в абсолютно твердом скелете. Соответствующим упрощением системы (0.0.7) - (0.0.9) для случая сжимаемой жидкости, является система

^ + = (0.0.12)

V • (а„В(х,у) -р!) -\-efF = 0 (0.0.13)

для скорости у(х, £) и давления жидкости р(х, £) в области П/ при Ь > 0.

Движение несжимаемой вязкой жидкости в абсолютно твердом скелете описывается уравнением (0.0.13) и уравнением неразрывности

У-г> = 0. (0.0.14)

Заметим, что все упрощенные модели строго выводятся из системы уравнений (0.0.6) - (0.0.8) как асимптотические пределы при а>\ —У оо или ар,/ оо.

Теперь, после всех упрощений, мы можем перейти к пределу при £->0и получить желаемые усредненные модели. Но, в первую очередь, мы должны решить какие модели мы хотим получить. Все зависит от предельных значений то, ¡¿о, Ао и т. д., которые принимают безразмерные параметры.

Таким образом, у нас есть набор приближенных моделей, от простых до весьма сложных. Выбор той или иной модели зависит только от наших практических потребностей.

Основная идея состоит в том, чтобы найти наиболее адекватные и правильные математические модели на микроскопическом уровне для каждого из рассмотренных физических процессов, которые базируются на основных принципах механики сплошных сред, и выполнить предельный переход от микроскопического уровня к макроскопическому. Выбор модели на микроскопическом уровне должен основываться на определении теоретических малых параметров и безразмерных критериев, описывающих процесс (медленный или быстропротекающий, сжимаемая или несжимаемая среда и т.д).

Подчеркнем, что все наши результаты основаны на методе двухмас-штабной сходимости Нгуетсенга [59]. Очень часто в задачах для уравнений с частными производными необходим предельный переход при е 0

в интеграле

Iе = u£(x)v£(x)ip(x)dx. (0.0.15)

Jü

при этом последовательности {и£} и {г>е} сходятся только слабо в Z^^)-В частности, даже при специальном виде последовательности и£(х) = и{х/е) (усреднение периодических структур) приходилось использовать достаточно сложные математические конструкции.

Г. Нгуетсенг предложил НОВЫЙ ВИД СХОДИМОСТИ В 1/2(0), двухмас-штабная сходимость, где все функции вида и£(х) — и(х, х/е) образуют класс пробных функций, и перенес решение об определении предела произведения двух последовательностей в совершенно другую плоскость, где и нашел точный ответ.

Общие вопросы теории усреднения дифференциальных операторов рассматриваются в монографиях многих исследователей: В.В. Жико-ва, С.М. Козлова, O.A. Олейник [43], O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [107], В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [92], А. Бенсусана, Ж. - Л. Лионса, Д. Папаниколау [14], Ж. - Л. Лионса[49], Э. Санчес-Паленсии [71], Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко [77], А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [108] и других авторов.

Проблема описания диффузии и конвекции вредных примесей в подземных массивах является важной государственной задачей и ее решение требует наличия как можно более точных математических моделей.

Если рассматривать только диффузию, то такие модели достаточно хорошо и полно изучены и уже описаны в монографиях ([43], [71]). Поэтому мы не приводим соответствующую литературу, ее можно найти в указанных книгах.

Очень интересной с физической и математической точек зрения является задача о совместном определении распределения концентрации

примеси при ее диффузии и конвекции, и поля скоростей несущей жидкости. Такая задача возникает, если определение поля скоростей зависит от содержания примеси в жидкости. Соответствующие модели динамики вязкой жидкости известны [106], [111] и для них либо коэффициент вязкости зависит от концентрации примесей, либо концентрация примесей линейным образом входит в массовую силу (объемное расширение), либо и то и другое. Возможно также появление концентрации в уравнении неразрывности. Все зависит от способа упрощения (линеаризации) исходных нелинейных уравнений. До последнего времени какие-либо результаты по моделям совместного определения распределения концентрации примеси и поля скоростей несущей жидкости отсутствовали. Только в последнее время появились работы Св.А. Гриценко [78] - [80], в которых, в уравнениях динамики жидкости в абсолютно твердом пористом грунте, вязкость жидкости зависит от концентрации примеси. Модели в которых поле скоростей несущей жидкости зависит от концентрации примеси и от динамики упругого скелета грунта все еще не были изучены.

Диффузия