Оценки скорости сходимости в бакстеровских теоремах и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

«■>

Міністерство освіти України Київський університет ім. Тараса Шевченка

На правах рукопису ВОВК Лілія Борисівна

УДК 519.21

ОЦІНКИ ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ В БАКСТЕРОВИХ

ТЕОРЕМАХ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.05 — теорія імовірностей та математична статистика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ 1994

Дисертацію £ рукопкс.

Робота виконана на кафедрі теорії імовірностей та математичної статистики Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор КОЗАЧЕНКО Ю. В.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор БУЛДИГІН В. В.,

кандидат фізико-математичних наук

енджиргли м. в.

Провідна організація: Донецький державний університет. Захист відбудеться

год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 01.01.14 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою:

252127 Київ 127, проспект Академіка Глушкова, 6.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Автереферат розісланий 199^р.

Учений секретар л

спеціалізованої вченої ради у/' КУРЧЕНКО О. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність те?ли

Дисертація присвячена доведенню теорем типу Леві - Бакстера для супергауссових та псевдогауссових випадкогих векторів та процесів і використанню таких теорем для оцінювання параметрів випадкових процесів.

Дослідження поведінки різних варіацій випадкових процесів, зокрема так звані теореми типу Леві - Бакстера, викликає зараз все зростаючий інтерес. Перші роОоти в цьому напрямку наложать П.ЛевІ та Г. Бакстеру, Вони досліджували збіжність до константи квадратичних варіацій Ороуиовського та гауссового процесів. У подальшому ці результати поширювали на різні варіації різних класів процесів та полів Є. Г. Рладишев, Е.Жене 1 Р.Клейн, Ю. М, Рижов, 0.0. Курченко, Т.Кавада, С. Берман та інші. 'Таким чином, на протязі останніх трьох десятиріч була сформована теорія, що вивчає граничну поведінку варіацій деяких класів випадкових процесів та полів. Ця теорія продовжує розвиватись, поширюючись на нові класи процесів та типи збіжності. Ю. В. Козаченко, В.В.Булдигін, С. І. Островський, 0. П. Бес-клінська в своїх працях ввели поняття субгауссових. типу субгаус-■ сових та передгауссових випадкових векторів, процесів та полів і довели теореми Леві -. Бакстера для цих класів об’ ектів. У першому розділі дисертації запроваджені та досліджені нові класи -випадкових об'єктів - сулергауссові та псевдогзусссві величини, вектори та процеси. Для векторів та процесів доведені бакстерові теореми, досліджено швидкість збіжності в них і одержані оцінки деяких параметрів процесів. . ,

Бакстерові теореми широко використовуються при. вирішенні різних проблем статистики, зокрема проблеми оцінювання моменту розладки випадкового процесу. До останнього часу для оцінювання моменту розладки здебільшого, використовувались методи максимальної вірогідності, Байеса, послідовного статистичного аналізу, фільтра-, ці я Калмана,- деякі нелараметричні статистичні. методи. Оцінки будувались за спостережуваними реалізаціями процесу. У другому розділі цієї роботи побудовано оцінку моменту розладки дифузійного процесу методом бакстерових сум, причому процес спостерігається . лише в дискретні момента чесу.

Мета роботи ’

1. Дослідити властивості нових класів випадкових об’єктів -супергауссових та псевдогауссових випадкових величин, векторів та процесів.

2. Дослідити збіжність бакстсрових сум для псевдогауссових

випадкових процесів. .

3. Побудувати методом бакстсрових сум оцінку, та вірогідний інтервал для моменту розладки дифузійного процесу типу Орнштейна -Уленбека.

Методи д іЛІДЖОННЯ

У роботі застосовано методи теорії випадкових процесів, зокрема гауссових та субгауссових, а також розроблені нові методи для дослідження супергауссових та псевдогауссових процесів. При побудові оцінок використовувався метод бакстерових сум.

Наукова новизна

1. Досліджено властивості нових класів випадкових об’єктів -супергауссових та псевдогауссових випадкових величин, векторів та процесів.

2. Доведено теорему Леві - Бакстера для квадратичної, варити псевдогауссового випадкового процесу.

3. Довожено теорему Леві - Бакстера для зваженої квадратичної

варіації псевдогауссового випадкового процесу. •

4. Побудовано методом бакстерових сум оцінку та вірогідний інтервал для моменту розладки дифузійного процесу типу ОріглтеЯна -Уленбека.

Теоретична та практична цінність .

Результати роботи можуть знайти застосування при вивченні різних властивостей випадкових процесів, оцінюванні деяких параметрів та вирішенні інших задач статистики випадкових процесів, а також у різних застосуваннях теорії випадкових процесів, зокрема в статистичній фізиці та радіотехніці, радіологи.

Апробація робота та публікації . .

Результати роботи доповідалися на семінарі "Прикладні задачі теорії випадкових еволюція" (Київ, 1990), на республіканській

з

школі молодих учених "Математичні методи в природознавстві: теоретичні та прикладні аспекти" (Алушта, 1990). на Київському міському семінарі по гауссовим випадковим . процесам (Київ, 1990-1992), на науково-технічній конференції пам'яті академіка М.Л.Кравчука (Київ, 1992), на міжнародній конференції "Методи детекції змін у випадкових процесах та полях" (Київ, 1992).

Основні результати дисертації опубліковані в роботах II - 4 1.

Структура тп оО* см роботи

Дисертація складається зі вступу, двох розділів, поділених на шість параграфів, . та списку літератури з 75 найменувань. Робота містить 119 сторінок друкованого тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, дасться огляд літератури по темі дисертації та наводиться анотація одержаних результатів. .

У першому розділі ро<Зоти вводяться нові класи випадкових об’єктів - супергаусоові та псевдогауссові випадкові величини, вектори та процеси, досліджуються їх властивості, а також доводяться теореми типу Леві - Бакстера для таких об'єктів.

у §і\ вводяться супергауссові випадкові величини та наводяться приклади.

Означення 1.1. випадкова величина І з Е{= 0 називається супергауссовою, якщо існує я > 0, таке, що для довільного а. € Ж виконується нерівність

|Еехр(Щ>| < ехр

Далі розглядаються деякі властивості простору супергаусоових величин Super(П), зокрема показано, що на відміну від субгауссових, супергауссові величини не макоруються гауссовими. а махорують їх.

У 53 вводяться поняття супергауссових (£ € Sqperifi, Sf1)) та -* •

псввдогауссовах (t € P3g(fltJ!n)) випадкових векторів, а також

матриць, що їх генерують. '

Ознанстя 2.1. Випадковий вектор і = Ц,. ц,.. сп)т нази-' ваеться суиергауссовим, якщо існус симетрична невід'ємно визначена матриця В (п»пі, така, що для довільного л с ІКП

/2 (ВХ. Л) }.

Будь-яку матрицы В, для якої виконана ця нерівність, називатимемо матрицею, що генерус. і.

Озтчеюы 2.3. Випадковий вектор £ = (І,. і2................ Сп>т назива-

ється псендогауссоїзим, генерованим матрицями Ь, і Вг. якщо він одночасно є субгауссоиим, генерованим матрицею В,, 1 супергауссовим, генерованим матрицею В„.

Доведені деякі властивості простору БирегШ, к"). . Далі для суОгауссових та супергауссолих випадкових векторів доведені леми, що містять односторонні ексіюнчнційш нерівності для сум квадратів елементів.

Лет 2.3. Нехай і = ([,........... іп)т<;5иЬ(а.1к’п), -

матриця, що його гене'руе. Тоді для довільного 0 < з < 1 справедлива нерівність ' '

де

Е ехр

3 п Г- о

)П )

п к=і

п п

■1/2

11 <с>г

Ь- к=1 J=1

\/г

Лема 2.4. Нехай [ = Ц,,.... 'п)т(£ирег(0.1):п), 1^ -

матриця, що його генерує. Тоді для довільного'О: < -з < 1' -справедлива нерівність” .'

Е ехр

^7 - Ф Ь ехР{

п к=1 *

8г/4),

Д0

L к=1 J=1 J

візуючись на ЦИХ лемах, ДЛЯ послідовностей ПСОБДОГОУССОВИХ випадкових векторів <(tk , К=1......рп), П>1 ) досліджуються

достатні умови збіжності

І«Л

к~\

С J - 0. п - а>, де С - деяка

невипадковя константа, | • Ju - норма в просторі Орліча, породженім

функцією u(x) = exp i | х І > - 1. Далі для сум квадратів елементів псевдогауссового вектора доведено таку нерівність про ймовірність великих відхилень:

Лема 2.7. Нехай £ =({,. Е2........ £п)т - псевдогауссовий вектор,

генерований матрицями В, 1 Вг . Тоді для довільного х > 2 справедлива нерівність .

!«£-«

к=і

> X

< (/х/2 +■ 3-/е) exp С 1 - х/2 1,

де U - константа, ще залежить від В, 1 В~. ■

П 1 2

У §3 вводяться класи супергауссових (£ € Super(0, К[0,Т1)) та

псевдогауссових (£ і Psg(fi,R10,TJ)) випадкових процесів та даються означення функцій, що їх генерують.

Означення 3.2. Процес £(t), t ( to, TJ називається сударгаус-совим, генерованим невід’ємно визначеною функцією B(t,s), якщо для ДОВІЛЬНИХ t,........ t € ГО.Т 3 вектор (£ itt )............... е.

супергауссовкм, генерованим матрицею ))£ J=1.

Означення 3.4. Випадковий процес [(і), t і 10.ТJ називається псевдогауссовим, генерованим функціями В, (t,s) l B2(ti3), якщо він

одночасно в субгауссовим, генерованим функцією -В, (ї,,з), і супергауссовим, генерованим'функцією В? (t,s). '

со

Доведено, ЩО процес ВИГЛЯДУ t (t) = ^ tk rk(t). t € 10. ТІ. де

k=1

, К > 1 - незалежні супергауссові випадкові величини, fk (t),

. <*> ' '

tctO.T). tel - детерміновані функції, такі, що ^ < 1°*

k = 1

буде супергоуссовим. генерованим ФУНКЦІЄЮ 00

В(t. з) = хг Uk)fk(t)Ik(a). Основним результатом е така теорема

к= .

типу Леві - Бакстора.

Теорема 3.1. Нехай t (t), t с (О.Т] - исевдогауссовий процес, генерований функціями 13, (t.а) 1 0= < t, <...< t =

* I с. О, П 1 «П Р^. п

= Т - стандартна послідовність поділів, Д£( tk ) - t(, Г1) -

V >n '

- № того, щоб j £ (ЛЦ,Г1>2 - G I - °>

’ k-0 u

n - со, достатньо виконання таких умов:

I

pn-1 pn-’

I І [лві<ч.п'Ь.п)і2 <o* n-u>-1 ^ l-2:

k=0 J=0

Vі

- C, n-». 1 = 1.2. .

k=0

де ДК^А,) = r'(xkf,,xJM)- I(xkt1.Xj)- r(xk> xJfl)+ f(Xk, Xj>. Далі показано, що випадковий процес

t(t)=. •>|(t)+ t(t). t€C0.T], (1)

¿і г) 1 с - незалежні, г/ - гэуссовий з Ет)<t) = О, с - субгаусссвий, бу.’.е псевдогауссовим, 1 для нього доведено аналогічну теорему. У виг,лику, коли т,( t) - процес Орнштейна - УлонСека, тобто стаціонарний гауссоьий процес з кореляційно» функцією г(t)- exp ( - a|t|), t(t) - строго субгауссовий процес, ггри деяких додаткових умовах

*V

доведено збіжність (Аік п)? до 2«Т у нормі простору Орліча,

кіО ’

породженого ФУНКЦІЄЮ и(х) = ехр (|х|) - -1.

У §4 доведено теореми типу Лопі -- Цакстора для зважених варіацій псевдогауса . их випадкових процесів. Основним результатом с

Теоремі 4.1. Нехай t (t>. t (. (0,11 - псевдогауссоний процес, генерований функціями ії( (г.а) 1 13.,(t,з), t n- J/pn. J= О...............pn -

ПОСЛІДОВНІСТЬ ПОДІЛІВ (0,1 і, X -- 1/рп- Для ТОГО, щоб Рп~' tt

J }г ■ С I - 0, ті - ™, де /з f К. достатньо виконання

k.:0 гп . U

таких умов:

V 1 «V’ ЛВ,(t ,t , ,

r-» г-* і k.n* J.n

I z

k=0 3-0 V дв. (t. ,t. )

і k, n k.n

L 7?p

k-0 n

0, n - 1 = 1.2;

с, n - ®, 1 = t,i

Аналогічну теорему доведено для процесу вигляду (І). де n 1 С - незалежні, T)(t) - гауссовий процес баксторового типу, с(t) -строго субгауссовий випадковий процес. У випадку. коли кореляційна ФУНКЦІЯ процесу t) ЮС ВИГЛЯД Ґ( t) = 1 - nltlP-~V + <р( t ) I 11

де 0 < v < 1, e > 0, (p(t) с С2((-1,1 ]), ц, > 0, побудовано консистентну оцінку та вірогідний інтервал для ц. Доведено таку теорему.

Теорела 4.3. Статисгика ц

1 У (ЛЧ,п)2 "= * fa і"v

е консистентною г

оцінкою для и. Лпя довільного рівня значущості р при рп > 8х

f ип+ ь_ - /дГ bf + /5^ . .

р I----------------------< и <--------------------------j ? 1 - р. де Хр - корінь

рівняння (Ух/2 + зУе) ехр ( 1 - х/2 ) = р: я, b+, b_, D4, D_ -деякі константа.

У другому розділі теореми типу Лаві - Бакстера застосовані для оцінювання моменту розладкг випадкового пронесу.

У 55 наведено деякі твердження, що будуть далі використані для оцінювання моменту розладки випадкового процесу. Має місце така лема.

Лела 6.1. Нехай і............ { - незалежні гауссові випадкові

і п*ш

. Eij « 0. ** =4 3 = 1.................rum. En.m= £ її - £ І

величини «Справедлива нерівність

г 0

Іг.

k=t

k=n+ 1

£ exp

2 -ЕЕ

n.m n.m

/2

1/2

де О. -

$ exp I f exp ^

n

к.

80,

(Ябг )c

(SO, Г 30?

j (1 - 80г)

-і/г

k=1

ХІТ ш

к

Utr'

иг

І(ТШ

г К

k=n+ 1 n+in

к

к=И

1/2

°? + 6г ~ 1’

2

г

з > 0, шах(зз,, зо2) < 1.

Аналогічіт нерівність мап місце 1 для доцільного гауссовою

БЄК""-ра £ = (£,, (?.............. £n)r.

J §6 поОудовьмо консистентну оцінку та вірогідний інтервал для моменту розладки ьшвдкового процесу типу Орнштойна - УленЛжа. Розглядається випадковий процес xt, t і (0. І), що задасться

СТОХаСТИЧНИМ ДИ'1»;рі.‘НЦ1аЛЬНИМ рівнянням •

£/Xt •- «Х/А » b(t)>t*( t).

. [ ь , I •: «

Де W(L> - І.ШЮриишсіій процес, L>< t)- { , 0< 9< 1, a< 0,

I b?, t > о

а початково» умовою x.( ~ N((J, t>^/2|a|). Момент о, коли відсівається зміна "ш'ічіиоиьиості шуму" b(t), називається моментом розладки. Побудовано консистентну оцінку е па спостереженнями процесе

у моменти часу t-J/N, Пона мау вигляд

е = argjnax ly(v)|. де у(у) - випадковий процес, який а спеціаль-V , ■

ним чином зважено» кигідратичиою варіацією проносу xt. У випадку.

коли існує с, таке, що 0 < є < і» •: 1 -є. побудовано вірогідний ін~

•торнші для параметрі ч. Він мім вигляд

- 2х()

У і 10,,- 0 ] ^ 7,— } ї 1-І], ДО X ... -U ’ /г1ПЦ. КрІМ ТОГО, ДО-

I Ы е|Ь^ч;-,і )

СЛІДЖЄНО ШВИДКІСТЬ ЗБІЖНОСТІ 9М ДО 0.

Teopv.Kn 6.1. Для довільного v < 1/2 існують константа М > О 1

випадкове натуральна число UQ, такі, що з імовірністю 1 для всіх

N > N0

|ви-в| і М П Л

На закінчення автор висловлює глибоку вдячність своєму науко-• вому керівникорі простору Юрію Васильовичу Козаченку за підтримку та увагу до роботи. .

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ ПРАЦЯХ:

1. Вовк Л. Б. Оптимальные оденки бакстеровских параметров стационарных гауссовских случайных процессов //Исследование методов решения экстремальных задач. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушковя АН УССР, 1990. - С. 58 - 64.

2. Вовк Л.Б., Козаченко Ю.В. Про швидкість збіжності в теоремах Леві - Бакстера для деяких класів випадкових процесів // Теорія імовірностей та математична статистика. - 1992. - Вип.

46. - С. 25 - 36.

3. Вовк Л. Б. Теорема Леви - Бакстера для псевдогауссовских случайных процессов /' Доповіді науково-технічної конференції пам'яті М.II.Кразчука: Тез. докл. - Київ: Київський політехнічний інститут, 1992. - С. 38.

4. Вовк Л.Б. 00 оценивании момента разладки для одного типа случайных процессов // Мекдунар. конф. "Метода распознавания изменений в случайных процессах и полях", Киев, 29 сект. - 2 окт. 1992 г.: Тез. докл. - Киев, 1992. - С. 15<