Оценки точности приближённых решений и их применение в задачах математической теории волноводов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ



На правах рукописи

ПАНИН АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧ

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ РЕШЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВ

Специальность 01.01.03 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва —2009

003462560

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А. Н. Боголюбов доктор физико-математических наук, профессор М. Л. Гольдман, доктор физико-математических наук, профессор А. С. Ильинский Институт Прикладной Математики Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится «ту» [ на заседании Диссертационного совета Д

2009 г. иШчгсов 1.002.10 при Московском

государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, ауд. № С-тРг.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 'т » ШСл^ КЩ 2009 г.

Учёный секретарь ?

Диссертационного Совета Д 501.002.10

доктор физико-математических наук _Ю. В. Грац

Общая характеристика работы

Актуальность. С ростом возможностей вычислительной техники, позволивших решить весьма сложные краевые задачи математической физики, все более ощущается отсутствие простых алгоритмов, позволяющих получить оценки точности приближённого решения. Например, в настоящее время существуют ориентированные на широкую аудиторию коммерческие комплексы программ, такие как PDE Toolbox в HatLab'e и FEMLab, реализующие алгоритм метода конечных элементов для всех основных линейных краевых задач в ограниченных областях размерности от 1 до 3, однако в этих программах не встроено вообще никакого механизма оценки точности полученного приближённого решения и пользователю не остается ничего другого, как сгустить сетку и визуально оценить скорость сходимости, хотя достоверность такой оценки никак не обосновала. Сходимость проекционных методов для линейных задач математической физики была строго доказана в 1960-70-х годах, однако в теоретических работах по численным методам обычно ограничиваются доказательством самого факта сходимости и нахождению её порядка.

Большинство известных алгоритмов оценки погрешности применимо только к краевым задачам для уравнения Пуассона или, более общо, к задачам с положительно определёнными операторами, но, к сожалению, ни один из них пока не реализован в виде общедоступных комплексов программ. Вероятно, наиболее простым в реализации будет алгоритм, основанный на апостериорных оценках, полученных недавно С. И. Репиным (2000 г. и далее) и не требующих вычисления каких-либо общих констант, кроме оценки сверху константы в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса. Однако имеются принципиальные препятствия для перенесения этого метода па задачи с пезиакоопределёп-ными операторами и, в частности, на задачи для уравнения Гельмгольца. Известные оценки для отклонения приближённого решения для всех основных уравнений математической физики были суммированы в работах М. Накао (2001—2007 гг.); в настоящей диссертации на их основе получены улучшенные оценки, построен и реализован алгоритм для оценки точности вычисления собственных значений оператора Лапласа и построен значительно более сложный алгоритм оценки точности решения для уравнения Гельмгольца, где коэффициент к2 может быть переменным. Предложенные алгоритмы пригодны не только для метода конечных элементов, но и дот любого проекционного метода, для которого можно ввести аналог шага сетки.

Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных функций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интерес-

но и практически ценно так называемое явление суперсходимости (superconvergence phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме. В диссертации объединены эти два подхода и для некоторого класса ОДУ предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в наперёд заданных точках.

Полученные в диссертации оценки точности вычислении собственных значений позволяют для широкого класса волноводов со сложной геометрией решить вопрос о существовании ловушечных мод прямым расчетом. Теоретические исследования волно-ведущих систем ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Дальнейшее активное развитие этой области математической физики в нашей стране связано с именами Г. В. Кпсунько, П. Е. Крас-нушкина, Е. И. Моисеева, А. Г. Свешникова, Р. В. Хохлова, В. П. Шестопапова и ряда других учёных. Из зарубежных специалистов можно назвать Ф. Реллиха, Д. Джонса, П. Вериера, П. Экспера.

Введём некоторые термины. Полубесконачнпй трубой или просто трубой будем на,-зывать множество вида Г = fi х К+, где П — ограниченная односвязная область в R1 и ли К2. Волноаедущей системой V назовём связную область в R2 или R3, вне некоторого шара (круга) представляющую собой объединение конечного числа непересекающихся труб.

Задача о возбуждении такой системы гармоническим током /(i)e~"*,t в скалярном приближении имеет вид

Ли + кгд{х)и = /, < u\i)V = О, _ условия излучения,

где функции / и q— 1 финитны, а аргумент х обозначает вектор всех пространственных координат. Также важно исследовать наличие ловушечных мод, то есть таких функций и ф 0, что

/ q\ufdx < со, / |Vu|2dr < оо

Jn J п

и

( Ли + k7q[x)u = О, { , „ {1)

t и lev = 0.

Значения к2, при которых такое ненулевое решение и существует, называются собственными значениями, а и — собственными функциями спектральной задачи (1). Эта тема восходит к работам Реллиха, который указал на возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях. Джонсом введено ио-

нятие непрерывного спектра и получен ряд результатов относительно его непустоты, а также относительно наличия собственных значений. Оказалось, что непрерывный спектр волновода образуют частоты, для которых к2 6 [A¡; +00). Здесь А^ — наименьшее собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечениях ÍÍ полу-бескопечпих труб:

Дхи +А и = О, Ч)п = О,

и 0.

Квадратные корни из этих собственных значений, то есть числа %/Ai, %/Аз,..., получили название частот отсечки, потому что при переходе частоты возбуждения регулярного и локально нерегулярного волновода через каждую из них добавляется новая мода распространяющихся в волноводе волн. Кроме того, при гармоническом возбуждении регулярного волновода на частотах, равных частотам отсечки, за исключением случая, когда возбуждение ортогонально соответствующей собственной функции сечения, в волноводе не устанавливается режим гармонических колебаний, а происходит росл' амплитуды поля пропорционально \fi. Если же частота возбуждения отлична от частоты отсечки, то устанавливается гармоническое поле, то есть распространяющиеся волны. Поскольку нормальным режимом работы волновода как передатчика энергии (информации) является не резонансный режим, а распространение волн, то именно последний случай представляет наибольший практический интерес. Чтобы гарантировать отсутствие резонансного режима в регулярном волноводе при данной частоте возбуждения, достаточно доказать се отличие от всех частот отсечки. Таким образом, если для первых N собственных значений сечения {Ai}^ найдены интервалы [A¡; А,] (то есть ноказано, что А,- € [Aj; A¡]), причём для данного к верно к2 < А^ и ни при каком i = 1 , ...,JV к2 0 [А;;А,], то можно гарантировать (и в этом состоит одна из целей диссертации), что к не совпадает ни с одной из резонансных частот и, следовательно, режима резонанса в регулярном волноводе па данной частоте не будет.

Резонансное множество регулярного волновода исчерпывается частотами отсечки, а в нерегулярных (деформированных или со вставкой, то есть при q ф 1) волноводах могут существовать упомянутые выше ловушечные моды. С конца 80-х — начала 90-х годов начинается серия работ, посвященных наличию ловушечных мод у изогнутых волноводов постоянного сечения, само появление которых оказалось некоторой неожиданностью. Так, в статье Экснсра и Шсбы это показано для плоского (двумерного) волновода с достаточно гладкой границей, а в диссертации Крейцирика — для двумерной полосы, которая изогнута в пространстве.

В то же время дня широкого класса двумерных и трёхмерных волноводов, в том числе с негладкой границей, а также волнонедущих систем с резонатором доказать су-

шествование ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, можно конструктивно, в чем состоит одна из целей диссертации.

Цель работы. Таким образом, в процессе приближённого решения задач математической физики большое значение имеет проблема точности полученного результата. Построение методов оценки его отклонения от точного решения, их применение к изучению свойств волноведущих систем, а также разработка метода, доставляющего значение решения в выбранных точках с нулевой погрешностью, и является целью настоящей диссертации.

Научная новизна. В диссертации предложены:

• Метод вычисления гарантированных двусторонних оценок собственных значений оператора Лапласа в выпуклой многоугольной области.

• Метод прямого численного исследования ловушечных мод волноведущих систем.

• Метод нахождения тех частот из заданного интервала, на которых в данном регулярном волноводе гарантирован гармонический режим колебаний (излучения).

• Метод вычисления оценки погрешности приближённого решения, полученного проекционным методом, для уравнения Гельмгольца (в L2- и Н1-нормах).

• Способ построения для определённого класса ОДУ проекционного метода, позволяющего вычислить значение точного решения в наперёд заданных точках.

Практическая ценность. Подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущей системе в случаях, когда это непосредственно не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в него стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой приме])— «изломанный» волноводе негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений.

Оценки погрешности для уравнения Гельмгольца позволяют охарактеризовать качество полученного приближённого решения, а также то, насколько оно больше удалено от точного, чем ортогональная проекция последнего па пробное пространство.

Предложенный проекционный метод, который можно считать вариантом обобщённого метода конечных элементов, позволяет вычислить значение точного решения ОДУ ш некоторого класса в любой наперёд заданной точке.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (в 2007 г.), Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа (в 2007 г.), и Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2006 и 2008 годах, на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета МГУ под рук. проф. А. Г. Свешникова и проф. А. С. Ильинского (в 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, списка литературы (69 наименований) и 18 рисунков; изложена на 90 страницах.

Содержание работы

В начале первой главы вводятся основные понятия, используемые в работе. Пусть П — произвольная ограниченная область в евклидовом пространстве К71, граница которой далее считается достаточно гладкой с тем, чтобы было возможно применять формулу Гаусса—Остроградского. Зададимся произвольным конечным набором функций {<Р\,..., носитель которых лежит в П, и образуем натянутую на них линейную оболочку йд,. Даже если эти функции бесконечно гладкие, произвольную функцию и из Ь2(С1) или //¿(Л) нельзя приблизить элементом из относительно норм этих пространств, поскольку и в том, и в другом пространстве имеются элементы, ортогональные ко веем функциям {</?[, ... Поэтому имеет смысл говорить лишь о близости и некоторого линейного подпространства Л'(П) пространства #¿(0). Очевидно, что для дальнейшего нужно, чтобы этому пространству принадлежали обобщенные решения основных краевых задач математической физики, рассматриваемых в П, а именно задачи Дирихле

{Си = —Ди + Ь(х) - Ум 4- с(х)и = /, г = (XI,... ,х„) е П, и\па = 0

и задачи па собственные значения для оператора Лапласа. Поэтому вполне естественно взять в качестве Х(й) линейное пространство, образованное функциями из 2), являющимися решениями однородных краевых задач Дирихле для уравнения Пуассона,

правые части которых принадлежат L2(ü). Тогда близость S% и Х(П) будем характеризовать наименьшей константой C(N), удовлетворяющей неравенству

inf ||V(v-ww)|| ^ C(7V)||Ät)|| Vw € Л-(П), (2)

где ||.|| обозначает норму в L2(Cl).

Константа C{N) для произвольного проекционного метода играет ту же роль, которую в нроекционно-разностных методах играет шаг сетки. Например, если П — прямоугольник и в качестве {<pj,..., ¡р^} используются кусочно билинейные конечные элементы на квадратной сетке тага h, то C(N) = В диссертации приведены и другие примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых па практике н удовлетворяющих условию (2). В частности, показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы C(N).

Для удобства обозначим через Рц проектор, ставящий каждой функции v € Hq(П) функцию, реализующую точную нижнюю грань в левой части формулы (2). Его существование легко обосновать, например с помощью теоремы Рисса. Тогда (2) принимает вид

(3)

Нетрудно показать, что нз требования (3) следует оценка

с(лО||?(и-я*и)||, (4)

верная для всех u е #o(fi). В то же время, можно показать, что выполняются неравенства

HV^-P^lls^CJArll для любой функции V из Х(П) и

для любой и 6 //¿(П), где Ср - константа в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса

INI ^ СрЦУшЦ,

верном при всяком w е НЦП). Существенно, что если для некоторого пространства S% удаётся доказать (2), то отсюда автоматически следует (4) и, следовательно, для дискретизации в любом таком подпространстве выполняются полученные в диссертации оценки.

В этой же главе поставлена и решена проблема вычисления двусторонней оценки собственных значений задачи «с весом» 0 < ро ^ р(х) ^ р\

Ли 4- Л pu = О,

= О,

использующая лишь свойство (4) пробного подпространства и не требующая предварительного вычисления каких-либо других величин. Полученная оценка имеет вид

A™1; Â"1 + + (C{N))2Pl

(5)

Здесь Am — оценка сверху ш-го собственного значения сверху проекционным методом в пространстве р\ = sup р, C(N) — константа из (2). Основная идея метода состоит в использовании для пробного функционального подпространства оценки (4) в сочетании с минимаксной характеризацпей собственных значений, предложенной Р. Курантом:

А^1 = inf sup (6) w.....vwo^.d D.ui^.....(Vu,Vu)

K?= bf sup (7)

1-де в обеих формулах {V'i, • ■ •, An-i} ~ наборы из (m — 1) функций, принадлежащих tf'(fi).

В процессе подготовки работы написана подпрограмма на MatLab'e, вычисляющая оценку сверху для С(Л') в случае аппроксимации задачи в выпуклой многоугольной области в пространстве кусочно линейных конечных элементов. Именно такое пространство используется в PDE Toolbox. На вход программы поступают данные о сетке, которые могут быть непосредственно экспортированы из PDE Toolbox'a в рабочее пространство MatLab'a. Результат использовался для вычисления оценок собственных значений конкретных областей, что было существенно использовапо ниже в главе 2. Эта подпрограмма может быть непосредственно встроена в PDE Toolbox и использована для оценки погрешности в других задачах, что представляет большой практический интерес.

В главе 2 полученные оценки были применены к задачам математической теории волноводов. Как уже было сказано выше, собственные значения {A,}gj поперечного ссчсння волновода определяют его основные свойства, а именно частоты отссчки на которых происходит добавление новой моды распространяющихся воли и которыми исчерпывается резонансное множество регулярного волновода, и непрерывный спектр к2 € [Аь+оо), на частотах ниже которого излучение не происходит. Вычислив или

оценив эти собственные значения, можно найти диапазоны частот одно-, двух-, трёхмо-дового режима и т. д. как интервалы, лежащие между частотами отссчки. Более того, к изолированным ловушечным модам (не вложенным в непрерывный спектр) применим уже упоминавшийся принцип минимакса. Применяя формулы (6)—(7) к задаче (1), можем записать:

• f ( Vm'V") т

¡ц = sup mf —.-Г- (в)

{1h,....<b:,--i}^Hj(v),*-W>i.....(<№«)

Mj = SUp mf —-r—, (9)

.....8%,virh....."im-1 (qu,u)

где ...,Tpm-i 6 Hq(V). Поэтому если первые M {М = 0,1,2,...) значений у., доставляемые формулой (8), оказались меньше Ai, то можно утверждать, что в волноводе существуют ловушечные моды, квадраты частот которых равны )i. Для численного моделирования важно, что приближённые собственные значения, вычисленные произвольным конформным проекционным методом согласно формуле (9), с необходимостью не меньше, соответствующих собственных значений непрерывной задачи: /у,., si fij при [ij < Х\. Отсюда следует, что нахождение М таких приближённых собственных значений что jij < А^ ^ Ai, гарантирует существование в волноведущей системе не менее М ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра. Поскольку, в свою очередь, А] может быть оценено снизу способом главы 1, во многих конкретных случаях оказывается возможным численно доказать существование таких ловушечных мод. С целью иллюстрации этого подхода в диссертации сначала рассмотрено несколько плоских волноводов, причем для того, чтобы триангуляция не нарушала конформность дискретных подпространств, вогнутый участок границы был заменён ломаной из касательных с достаточно большим числом звеньев. Далее метод был применён к конкретным трёхмерным волиоведущим системам сложной геометрии и для них установлено существование ловушечных мод. В частности, для резонатора с присоединённой к нему полубесконечной трубой наличие ловушечной моды теоретически обосновано для достаточно больших резонаторов. Поэтому для конкретных систем вопрос остаётся открытым, если собственное значение v задачи Дирихле для оператора Лапласа в полости резонатора не оказалось меньше Aj. В работе рассмотрено два таких случая. В обоих сечением полубесконечной трубы является правильный треугольник, двусторонние оценки собственных значений которого получены в главе 1. В частности, для первого собственного значения имеем 50,9760 < Ai < 52,6382. В первом случае резонатор имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами 1 х 1 х 0,5, для которого 59,2176 < vi = бя"2 < 59,2177. Как видно, этой оценки «не хватает». В то же время, взяв ббльшую расчётную подобласть, можно получить для pi оценку fi\ ^ 47,5330. Во втором случае резонатор имеет форму куба со стороной 1, поэтому существование первой ловушечной моды тривиально? v\ = Зж2 ~ 29,6088. Но v2 = бэт2, поэтому для второй

ловушечной моды требуется взять собственное значение большей подобласти, откуда имеем оценку ^2 ^ 50,8783 < А; = 50,9760. Приближенно вычисленные лозушечные моды для всех примеров изображены на рисунках, некоторые из которых приведены в данном автореферате.

Ловушечная мода. Пример 6, симметричная мода. Д = 106,262. А1 > 106,810.

Ловушечная мода. Пример 6, антисимметричная мода. /¿2 = 106,718, А1 > 106,810.

Подводя итог, отмечаем, что использовались двусторонние (для установления факта существования ловушечных мод — нижние) оценки (5) собственных значений поперечного сечения волновода и верхние оценки (9) собственных значений подобластей волновода.

В главе 3 для краевой задачи в ограниченной области О

| С.ци = — Ли - к?(х)и = /, х s (xi,... ,х„) € П, ^

\ «|ан = О,

где / 6 fj2(tt), 0 < к2 ^ k?(z) £ L°°(i1), предложен способ вычисления оценок погрешности приближённого решения проекционным методом, пробное пространство которого удовлетворяет условию (2). В диссертации сформулированы явные алгоритмы вычисления оценки погрешности.

Для изложения результатов потребуется ввести некоторые обозначения. Пусть C(N) и Ср — константы, введенные выше; пусть, далее, оператор А ставит в соответствие произвольной функции и 6 Яр(П) обобщённое решение Ли £ краевой задачи

Дирихле для оператора Лапласа

J Д(Ли) = -к2{х)и(х),

\ (Ли)и = 0. Пусть матрицы G и D определяются так:

G = {Gjj} = Vftb - (**(*)<*,

Потребуются также константы: операторная норма \\РмАР//\§о\\ц1, равная наибольшему собственному значению задачи

(D - G)v = AD и,

а также М = (ттд_ CI<-,. 3,la4.GfcADs |А|)-1. Отметим, что в последних двух случаях возникли обобщённые задачи на собственные значения, в которые вошла матрица Грама D базиса (y>i}iLi пробного пространства Sfj в смысле скалярного произведения (V.,V.), поскольку базис не является ортонормированным. Пусть ещё

Сс = sup fc2(x), L{N) = ^||Р«ЛРя|ао||н,Сс>

— {C{N))2{L2 М + Сс), r(N) - . (")

q = + {MC(N)L)2, ,3=1 + CPML.

Тогда можно получить следующие оценки погрешности приближённого решения (где / — правая часть, и — точное решение, V —приближенное):

««-•/и^дати/п,

где предполагается (это проверяется в процессе расчёта), что в < 1.

Более того, константа а показывает, во сколько раз приближённое решение V более удалено от точного решения г/, чем наилучшее приближение последнего в подпространстве поскольку верна оценка

Для построения другой оценки величины ||У (и — и)|| использовалась техника усреднения градиента. Прежде подпространство С было расширено до вц С Я'(П). Далее каждая компонента Уи проектировалась на Бц. Полученная вектор-функция была обозначена Vv. Затем, после вычисления ¿2-иорм

= - У и || =

£|№112

вычислялась оценка погрешности

||у(и - и)ц ^ сдодеи + или + (С(М))3/з2сст||/ц,

которая в разных случаях может оказаться как более, так н менее точной, чем первая из оценок (12).

В главе 4 описан метод построения специального проекционного метода для краевой задачи для ОДУ 2-го порядка

1и = -и" + Ых)и' + с{х)и = /, а; 6 (0; 1),

(13)

и(0) = и(1) = 0.

где / е ¿2(0;1), с е ¿°°(0;1), а Ь(х) «кусочно-!^», что означает, что отрезок [0;1] можно разбить на конечное число отрезков х^-п], на каждом из которых ¡)(.т) принадлежит М^х^х^). Непрерывности Ь на всём [0;1] не требуется. Ограничений на знаки коэффициентов тоже пет.

К задаче (13) применяется метод Гачёркина—Петрова, т. е. решение ищется в виде линейной комбинации пробных функций {<Л»}£11> а условие ортогональности невязки поверочным функциям {Фт}т=г записывается в виде

/ (у'ф'т + Ь(х)ь'фт + с(х)ифт)с1х = / /фтс1х, Jo J о

где тп = 1,..., М, V — 1,пФп ~~ приближённое решение.

Основная идея состоит в использовании в качестве поверочных функций проекционного метода функций, удовлетворяющих однородному сопряжённому уравнению. Точнее, пусть дано множество точек 0 = а;о < Х\ < ... < х^-1 < Хц = 1, в которых мы хотим знать решение без погрешности. В это множество необходимо включить точки разрыва коэффициента 6(1). Предположим, что на каждом интервале г = 1,..., А^, однородная краевая задача Дирихле для оператора V

Ь'ф{х) = О,

(14)

11>(хп-\) = Ф(х„) = О

имеет только тривиальное решение, т. е. число 0 не является собственным значением этих операторов пи на одном из этих отрезков. (Это равносильно однозначной разрешимости задачи для оператора А. Бели это условие не выполняется, можно добиться его выполнения, разбив отрезки, где оно нарушается, новыми точками.) Тогда однозначно разрешимы и краевые задачи

' Ь*ф£\х) = О, №(**-!) = 1, . = о

= О,

(*„_!)= о,

Поверочные функции выбирались следующим образом, обобщающим обычные для традиционного метода конечных элементов кусочно аффинные функции. Пусть для п= 1,... - 1

1Ф'пНх) при X е [хп-1\хп],

Ф*1ЛХ) "РИ X 6 [хп; £„+,], (15)

О при остальных х.

Доказана следующая теорема: Пусть:

1. дифференциальная задача (13) в обобщенной постановке однозначно разрешима;

2. задачи (14) для всех отрезков [г„_1;я;„], п = 1,... , Л?, имеют только тривиальное решение;

3. пробные функции принадлежат Л^[0;1] (отметим, что поверочные принадлежат этому пространству по построению);

4. существуют линейные комбинации ^\(х) = ¿¿"^»(я) пробных функций, удовлетворяющие условиям = <5т„, т, п = 1,..., N - 1 (отсюда, в частности, следует линейная независимость как системы указанных линейных комбинаций, так и исходной системы функций {<¿>„(2:)});

5. СЛАУ метода Галёркина с выбранными функциями {^„(х)}^,1 и {■фт(х)}^{, построенными по формуле (15), однозначно разрешима.

Тогда верны равенства

ь(хп) = и(хп), н — 0,..., А^,

то есть приближённое решение совпадает с точным в выбранных точках.

Более того, согласно другой доказанной в главе теореме, если к рассмотренной выше системе пробных и поверочных функций добавить ещё по равному количеству новых функций, то указанные равенства не нарушатся (конечно, при условии, что система линейных уравнений метода Гапёркипа останется однозначно разрешимой).

В качестве иллюстрации приведены графики решений одномерного уравнения Гельм-гольца стандартным методом конечных элементов и предлагаемым методом. Видно, что уже при использовании грубой сетки этот проекционный метод, в отличие от стандартного, правильно передает амплитуду и длину волны решения.

Для сравнения приведены фрагменты графиков решений при одном и том же числе узлов N = 1000. Задача решалась на отрезке [0; 1], для наглядности на графиках представлен отрезок [ОД; 0,2]. График с кружочками представляет приближённое решение, без них — точное; кружочками отмечены значения приближённого решения в узлах сетки. На втором графике (решение предлагаемым методом) обе кривые практически совпадают.

Одномерное уравнение Гельмгольца, решение кусочно аффинными элементами

Одномерное уравнение Гельмгольца, решение предложенным методом

В другом примере, рассмотренном в диссертации, продемонстрирована работа метода в случае разрывного коэффициента Ъ при первой производной.

Заключение

Приведём основные результаты работы.

• Получен способ двусторонней оценки собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа в двумерной области. Предложено его распространение па задачу «с весом».

• Построены оценки частот ловушечных мод волноведущих систем.

• Вместе эти оценки применены к численному обоснованию существования в волно-ведущей системе ловушечных мод, лежащих ниже границы непрерывного спектра.

• Полученные оценки также применены к нахождению частот, на которых в данном регулярном волноводе гарантируется режим распространения гармонических колебаний поля.

• Для уравнения Гельмгольца в ограниченной области разработан метод оценки погрешности приближённого решения, полученного проекционным методом.

• Для одного класса ОДУ предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в узлах сетки, которые могут быть выбраны произвольно.

• Для вычисления аппроксимационпых свойств дискретных подпространств, необходимых для практического применения оценок собственных значений, написана подпрограмма па языке MatLab, которая может быть встроена в пакет инструментов PDE Toolbox и использована для оценки погрешности приближённых решений краевых задач, получаемых с помощью программ этого пакета.

Основные публикации

1. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Панин А. А. Временная асимптотика поля, возбуждаемого в волноводе гармоническим током. // Журнал вычисл. мат. и мат. физики. 2005. Т. 45. № 12. С. 2219-2231.

2. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Панин А. А. Принцип предельной амплитуды для волновода. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2006. № 5. С. 9—13.

3. Панин А. А. О проблеме суперсходимости алгоритмов метода конечных элементов. // Журнал вычисл. мат. и маг. физики. 2008. Т. 48. № 12. С. 2180-2185.

4. Боголюбов А. Н., Панин А. А. Об оценке погрешности приближённого решения эллиптических уравнений с нскоэрцитивной билинейной формой. // Вычислительные методы и программирование. 2009. Т. 10. С. 34—48.

5. Панин Л. А. Временная асимптотика поля, возбуждаемого в волноводе гармоническим током. // Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов—2006», секция «Физика». М.: Физический факультет МГУ, 2006. Т. 1, С. 133-135.

6. Боголюбов А. Я., Малых М. Д., Панин А. А., Свешников А. Г. О спектральных свойствах краевой задачи для оператора Лапласа. // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И. Г. Петровского. Сб. тезисов. Москва, 2007. С. 44.

7. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Панин А. А., Свешников А. Г. О спектре краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа. // Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-лстию со дня рождения акад. И. Н. Векуа. Сб. тсзисов. Новосибирск, 2007. С. 98-99.

8. Панин А. А. Об эффективности одного класса апостериорных оценок. // Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов—2008», секция «Физика». М.: Физический факультет МГУ, 2008. С. 76-78.

Подписано к печати i2.0P. 09 Тираж КО Заказ 20

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

1 Аппроксимационные свойства конечномерных функциональных подпространств и двусторонние оценки собственных значений

1.1 Свойства конечномерных подпространств

1.1.1 Некоторые обозначения.•.

1.1.2 Оценка аппроксимации.

1.1.3 Примеры пространств, удовлетворяющих оценке.

1.2 Двусторонние оценки собственных значений.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Первое собственное значение.

1.2.3 Остальные собственные значения.

1.2.4 Задача «с весом».

1.2.5 Примеры.

1.2.6 Квадрат.

1.2.7 Треугольники

1.2.8 Отрезок с непостоянным р.

2 Численное исследование спектральных свойств волноведущих систем

2.1 Ловушечные моды локально нерегулярных волноводов.

2.1.1 Плоский случай.

2.1.2 Трехмерный случай.

2.2 Временная асимптотика поля в регулярном волноводе.

3 Оценки погрешности приближённого решения эллиптического уравнения с некоэрцитивной билинейной формой

3.1 Постановка и дискретизация задачи.

3.2 Алгоритм вычисления приближённого решения и оценки погрешности

3.3 Обоснование алгоритма.

3.3.1 Проектор Рс.

3.3.2 Операторы А и [I - Л]^1.

3.3.3 Леммы

3.3.4 Основные теоремы.

3.4 Оценка погрешности в случае уравнения Гельмгольца.

3.4.1 Основная идея.

3.4.2 Вывод модифицированных оценок.

3.4.3 Алгоритм вычисления приближённого решения и модифицированных оценок погрешности для уравнения Гельмгольца

3.4.4 Тестовые расчёты.

4 Суперсходимость проекционных методов для одномерной задачи Дирихле

4.1 О понятии суперсходимости

4.2 Рассматриваемая дифференциальная задача.

4.3 Основной результат главы.

4.4 Некоторые замечания о применении полученных результатов.

4.5 Численные примеры.

4.5.1 Уравнение Гельмгольца.

4.5.2 Уравнение с членом первого порядка и разрывным коэффициентом

А Доказательство теоремы 1.

Настоящая диссертация посвящена вопросам оценок точности приближённых решений задач математической физики и их применению в теории волповедущих систем.

С ростом возможностей вычислительной техники, позволивших решить весьма сложные краевые задачи математической физики, все более ощущается отсутствие простых алгоритмов, позволяющих получить оценки точности приближенного решения. Например, в настоящее время существуют ориентированные на широкую аудиторию коммерческие комплексы программ, такие как PDE Toolbox в MatLab'c и FEMLab, реализующие алгоритм метода конечных элементов для всех основных линейных краевых задач в ограниченных областях размерности от 1 до 3, однако в этих программах не встроено вообще никакого механизма оценки точности полученного приближённого решения и пользователю не остается ничего другого, как сгустить сетку и визуально оценить скорость сходимости, хотя достоверность такой оценки никак не обоснована. Сходимость проекционных методов для линейных задач математической физики была строго доказана в 1960-70-х годах [1], однако в теоретических работах по численным методам обычно ограничиваются доказательством самого факта сходимости и нахождению её порядка.

Большинство известных алгоритмов оценки погрешности применимо только к краевым задачам для уравнения Пуассона или, более общо, к задачам с положительно определёнными операторами [2], [3], [4], [5], по, к сожалению, пи один из них пока не реализован в виде общедоступных комплексов программ. Вероятно, наиболее; простым в реализации будет алгоритм, основанный на апостериорных оценках, полученных недавно С. PI. Репиным [б], [7] (см. также обзор [8]) и не требующий вычисления каких-либо общих констант, кроме оценки сверху константы в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса. Однако имеются принципиальные препятствия для перенесения этого метода на задачи с незнакоопределёнными операторами и, в частности, на задачи для уравнения Гельм-гольца. Известные оценки для отклонения приближённого решения для всех основных уравнений математической физики были суммированы в работах М. Накао (см. [9], [10], [11]); в настоящей диссертации на их основе получены улучшенные оценки, построен и реализован алгоритм для оценки точности вычисления собственных значений оператора Лапласа и построен значительно более сложный алгоритм оценки точности решения для уравнения Гсльмгольца, где коэффициент к2 может быть переменным. Предложенные алгоритмы пригодны не только для метода конечных элементов, но и для любого проекционного метода, для которого можно ввести аналог тага сетки.

С целью изложения результатов диссертации с единых позиций в начале первой главы вводятся основные понятия, используемые в работе. Пусть £2 — произвольная ограниченная область в евклидовом пространстве К", граница которой далее считается достаточно гладкой с тем, чтобы было возможно применять формулу Гаусса— Остроградского. Зададимся произвольным конечным набором функций {(¿>1;., д»}, носитель которых лежит в Q. и образуем натянутую па них линейную оболочку Даже если эти функции бесконечно гладкие, произвольную функцию v из L2(íl) или //¿(Q) нельзя приблизить элементом из относительно норм этих пространств, поскольку и в том, и в другом пространстве имеются элементы, ортогональные ко веем функциям . ,</?дг}. Поэтому имеет смысл говорить лишь о близости S'y и некоторого линейного подпространства Х(Г2) пространства ií¿(íl). Очевидно, что для дальнейшего нужно, чтобы этому пространству принадлежали обобщенные решения основных краевых задач математической физики, рассматриваемых в Г2, а именно задачи Дирихле

Си, = — Аи + Ь(х) ■ Vii + с(х)и = /, х = (xi,., хп) £ Г2, и\ап = О и задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Поэтому вполне естес твенно взять в качестве А"(Г2) линейное пространство, образованное функциями из являющимися решениями однородных краевых задач Дирихле для уравнения Пуассона, правые части которых принадлежат L2(íl). Тогда близость и X(Q.) будем характеризовать наименьшей константой C(N), удовлетворяющей неравенству inf ||V(w - ^v)h ^ C(jV)||Ai;|| Vu e X(Í2), (1) vn£S°n где ||.|| обозначает норму в L2(Q).

Константа C(N) для произвольного проекционного метода играет ту же роль, которую в проекционно-разпостных методах играет шаг сетки. Например, если Í2 — прямоугольник и в качестве {9?!,., (¿>дг} используются кусочно билинейные конечные элементы на квадратной сетке шага h, то C(N) = К В диссертации приведены и другие примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых на практике и удовлетворяющих условию (1). В частности, показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть пепользовапы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы C{N).

Для удобства обозначим через Рдг проектор, ставящий каждой функции V € функцию, реализующую точную нижнюю грань в левой части формулы (1). Его существование легко обосновать, например с помощью теоремы Рисса. Тогда (1) принимает вид

М«-Ра,«)ИС(Л0||Д1;||. (2)

Нетрудно показать, что из требования (2) следует оценка и ~ Рми\\ < С(ЛГ)||У(и - II, (3) верная для всех и € 11^(0,). Существенно, что константа С(Ы) в (1)—(3) мала: в случае, когда — пространство конечных элементов, она имеет порядок характерного размера сетки. Это и делает возможным применение пространства для аппроксимации дифференциальных задач. Приведены примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых па практике и удовлетворяющих условию (1). Показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы С(Л^). Существенно, что если для некоторого пространства ЛдГ удаётся доказать (1), то отсюда автоматически следует (3) и, следовательно, для дискретизации в любом таком подпространстве выполняются полученные в диссертации оценки.

В этой же главе поставлена и решена проблема вычисления двусторонней оценки собственных значений задачи «с весом» 0 < ро ^ р(х) ^ р\

Г Аи + Хри = О, 1 и\эи = О, использующая лишь свойство (3) пробного подпространства и не требующая предварительного вычисления каких-либо других величин. Полученная оценка имеет вид

А"1 G

А"*; А"1 + 2 С(ЛГ) vWAm + (0(N)YPl

4)

Здесь \т — оценка сверху т-го собственного значения сверху проекционным методом в пространстве р\ — sup р. C(N) — константа из (1). Основная идея метода состоит в использовании для пробного функционального подпространства оценки (3) в сочетании с минимаксной характеризацней собственных значений, предложенной Р. Курантом:

А"1 = inf sup TFT^X (5) и

А"1 = inf sup (6) где и обеих формулах [i/ji,. ,ipm-i} — наборы из (та — 1) функций, принадлежащих

В процессе подготовки работы была написана подпрограмма на MatLab'e, вычисляющая оценку сверху для C(N) в случае аппроксимации задачи в выпуклой многоугольной области в пространстве кусочно линейных конечных элементов. Именно такое пространство используется в PDE Toolbox. IIa вход программы поступают данные о сетке, которые могут быть непосредственно экспортированы из PDE Toolbox'a в рабочее пространство MatLab'a. Эта подпрограмма может быть непосредственно встроена в PDE Toolbox и использована для оценки погрешности в других задачах, что представляет большой практический интерес. В диссертации результаты вычислений с её помощью использовались для оценок собственных значений конкретных областей, что было существенно использовано ниже в главе 2, посвященной численному исследованию спектральных свойств волповедущих систем.

Теоретические исследования волноведущих систем ведутся довольно давно. Pix начало положено классическими работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [12|— [14]. Дальнейшее активное развитие этой области математической физики в пашей стране связано с именами Г. В. Кисунько [15], П. Е. Краснушкина, Е. И. Моисеева [16|, А. Г. Свешникова [17]—[19], Р. В. Хохлова [20], В. П. Шестопалова [21] и ряда других учёных. Из зарубежных специалистов можно назвать Ф. Реллиха |22], Д. Джонса [23], П. Вернера [24]—[26], П. Экспера [27]. При этом исследовались как спектральные свойства соответствующего эллиптического уравнения [23] и распространение гармонических волн [14], так и сложные переходные процессы, связанные с начальными условиями [20] или резонансом [24]—[26] (см. также [28], [29]). Теория волноводов оказалась очень важной для самых разных разделов физики. Часть авторов занималась исследованиями в этой области, исходя из нужд электродинамики, других интересовали задачи акустики. Сходные проблемы возникали в теории волн на поверхности воды [30], [31].

Введём некоторые термины. Полубсскоиечной трубой или просто трубой будем называть множество вида Т — i2xM+, где О. — ограниченная односвязная область в 1R1 или R2. Волиоведущей системой V назовём связную область в М2 или 1R3, вне некоторого шара (круга) представляющую собой объединение конечного числа непересекающихся труб.

Задача о возбуждении такой системы гармоническим током /(х)е'lojt в скалярном приближении имеет вид где функции / и д— 1 финитны, а аргумент х обозначает вектор всех пространственных

7) координат.

Характерная особенность задами (7) в том, что сё решение далеко не всегда принадо лежит Ь2 или 1^2; поскольку в режиме излучения волны распространяются на бесконечность без затухания. В связи с этим в [32] используется пространство И^/ос Функций, принадлежащих И^1 на каждом компакте, вложенном в волновод, а в [33) этими же авторами предложено удобное развитие понятия обобщённого решения.

Исследование свойств соответствующей спектральной задачи

Г Ли + к2а(х)и = О, (8) Ыаи = 0 было начато Ф. Реллихом и Д. Джонсом в 1940—50-х годах. Джонсом введено понятие непрерывного спектра как множества тех точек к2, для которых решение задачи (8), понимаемое в классическом смысле, существует, но его энергия неограничена. Физически это соответствует излучению бегущих волн в полубесконечные трубы. Из результатов Джонса следует, что непрерывный спектр волновода образуют частоты, для которых А;2 е [Л 1;+оо). Здесь А1 — наименьшее собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечениях полубесконечпых труб: иф 0,

А ±и + \и = 0, и\;)п = 0.

Квадратные корни из этих собственных значений, то есть числа ,получили название частот отсечки, потому что при переходе частоты возбуждения регулярного и локально нерегулярного волновода через каждую из них добавляется новая мода распространяющихся в волноводе волн [19]. Кроме того, при гармоническом возбуждении регулярного волновода па частотах, равных частотам отсечки, за исключением случая, когда возбуждение ортогонально соответствующей собственной функции сечения, в волноводе не устанавливается режим гармонических колебаний, а происходит рост амплитуды поля пропорционально \Д [24], |28], [29]. Если же частота возбуждения отлична от частоты отсечки, то устанавливается гармоническое поле, то есть распространяющиеся волны. Поскольку нормальным режимом работы волновода как передатчика энергии (информации) является не резонансный режим, а распространение волн, то именно последний случай представляет наибольший практический интерес. Чтобы гарантировать отсутствие резонансного режима в регулярном волноводе при данной частоте возбуждения, достаточно доказать её отличие от всех частот отсечки. Таким образом, если для первых N собственных значений сечения {Аг}^ найдены интервалы [А,; Аг] (то есть показано, что А, € [А,; Аг]), причём для данного к верно к2 < Ад и пи при каком г = 1,., N к2 ф [At; Л,], то можно гарантировать (и в этом состоит одна из целей диссертации), что к не совпадает ни с одной из резонансных частот и, следовательно, режима резонанса в регулярном волноводе на данной частоте не будет.

Резонансное множество регулярного волновода исчерпывается частотами отсечки, а в нерегулярных (деформированных или со вставкой, то есть при q ф 1) волноводах могут существовать так называемые ловушечные моды, представляющие собой решения с ограниченной энергией (т. е. такие, для которых fS} q\u\2dx < оо и fS} |V?i|2rf.T < оо) задачи (8). Некоторое время считалось, что оператор Лапласа в неограниченном области вообще не может иметь собственных функций с ограниченной энергией и его спектр полностью непрерывен. Такая уверенность основывалось на том факте, что это утверждение верно для простых областей: прямых цилиндров, конусов и всего пространства. Однако Ф. Реллнх [22] указал па возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях. Его пример представлял собой резонатор, соединённый с бесконечным цилиндром. С темой собственных значений связаны и работы Ф. Урселла [30], [31], которому мы обязаны термином «trapping mode». Он теоретически показал п подтвердил экспериментально наличие ловушечиых мод колебаний поверхности воды в канале с. наклонным дном. Д. Джонс доказал аналогичное утверждение для случая плоского дна с локальным выступом-«горбом», а также для канала с погружённым в него цилиндром произвольного сечения |23|, § 6.

Принцип Рэлея и его модификации позволили существенно уточнить результаты Реллиха. Было установлено, что локально расширенный волновод и цилиндрический волновод с заполнением £ ^ 1 обладают изолированными собственными значениями, лежащими ниже нижних границ их непрерывных спектров. Напротив, локально сжатый волновод и цилиндрический волновод с £ ^ 1 изолированными собственными значениями не обладают [34].

В 80—90-е годы выяснилось [27], что ловушечными модами обладают изогнутые вол-поводы даже постоянного сечения (подробнее см. [35]). Это было серьёзной неожиданностью для исследователей. Из названий цитированных статей нвегвуег, что указанные авторы подошли к волиоведущим системам со стороны квантовой механики. Объектом их исследования являлось поведение частицы в трубе с непроницаемыми стенками. Эта «труба» может быть и двумерной, т. к. можно создать систему, где частицы, например электроны, движутся в эффективно двумерной области. При этом, если потенциал V в полосе постоянен, можно считать его нулевым и стационарное уравнение Шрсдингсра где т — эффективная масса электрона в такой системе, приобретает вид уравнения Гельм гольца

А + к2)-ф = О, где о 2 тЕ

Интерес специалистов к подобным фактам очевиден: наличие связанных состояний в системе, где никаких классических «потенциальных ям» нет. Этой же тематикой интересуются и авторы работ [36]—[39]. В [38] предложен метод приближённого расчёта собственных частот и собственных мод коленообразного волновода методом сшивания частичных сумм рядов Фурье. В статье [36] описано нахождение первого собственного значения (частоты низшей ловушечной моды) методом релаксации. Очевидно, этот последний может быть применён к довольно общему классу геометрий волновода. Однако основной частью их результата было сравнение теории с экспериментом. Исследования, описанные в [37], могут служить замечательным примером применения принципа аналогий (см. [40], с. 17). Авторы, указывая на тот факт, что ТЕ-мода в электромагнитном волноводе описывается полностью аналогичной задачей, строят электромагнитную систему, проводят в ней измерения распределения полей Е и В с помощью детально разработанного метода, основанного на сдвиге резонансной частоты, а также измерения самой резонансной частоты. На основании теоретически предсказанной конфигурации волновой функции и измеренного распределения полей они подтверждают утверждение Wang'a о том, что зарегистрированное в опыте McEuen'a [41] изменение поперечной проводимости системы связано с тупнелированием электрона проводимости через область, где модуль иси-фупкции связанного в волноводе электрона достаточно велик. Также для рассматриваемого класса систем экспериментально выявлено наличие или отсутствие второй (антисимметричной) связанной моды в зависимости от геометрии системы.

В недавней работе [42] можно найти ещё один метод приближённого вычисления собственных значений и собственных мод областей Q, представляющих собой конечное число полутруб, соединённых с ограниченной областью. В его основе лежит разложение функции и, заданной в рассматриваемой области, по собственным функциям ограниченной части Q0. а также разложение следа и на сечениях, отделяющих fi о от полутруб, по собственным функциям сечений. При этом, вообще говоря, указанные собственные функции могут быть найдены лишь приближённо (что в прииципе может повлечь неконтролируемую ошибку в разложении). С другой стороны, существенным достоинством метода является его возможность отыскивать не только собственные значения, но и комплексные резопансы. Также комплексные резонансы могут быть приближённо найдены методом, описанным в [43]. Это чисто численный метод, основанный на замене бесконечных труб фиктивной границей с условием полного поглощения (perfectly matched layer, PML).

В то же время для широкого класса двумерных и трёхмерных волноводов, в том числе с негладкой границей, а также волноведущих систем с резонатором доказать существование ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, можно конструктивно, в чём состоит одна из целей диссертации. Таким образом, наши цели несколько отличны и от работ чисто теоретического плана, таких как [27], [44], и от работ, посвя-щённым собственно вычислительным методам [36]—[39], [42], [43]. Отличие от первых состоит в использовании для доказательства сущестованпя ловушечных мод численных методов. Отличие от работ второго типа состоит в получении и применении гарантированных оценок, необходимых для этого доказательства в случае каждой конкретной системы, поскольку лишь утверждения о сходимости метода в данном случае принципиально недостаточно.

Основной идеей, используемой в работе с этой целью, является вычисление двусторонних оценок собственных значений сечений полубесконечных труб по формуле (4) и оценок сверху собственных значений задачи (8), лежащих ниже непрерывного спектра. Последние могут быть записаны с помощью принципа мииимакса в виде ([45), т. 4, с. 91-92)

Уц, Уи)

13 = вир 1Ш —-;-Г— (9) и оценены но формулам

Ун, У и)

Ф „ —,-(10) ди, и) где ,., 1рт— I € #¿(10, — подпространство в Щ(У) (последнее условие мы будем называть требованием конформности проекционного метода). Если первые М (М = 0,1,2,.) значений ц, доставляемые формулой (9), оказались меньше Л!, то можно утверждать, что в волноводе существуют ловушечпые моды, квадраты частот которых равны ¡1. Для численного моделирования важно, что приближённые собственные значения, вычисленные произвольным конформным проекционным методом согласно формуле (Ю), с необходимостью пе меньше соответствующих собственных значений непрерывной задачи: ^ ¡х3 при < А]. Отсюда следует, что нахождение, М таких приближённых собственных значений {Д?}^, что Д., < Л] ^ Ль гарантирует существование в волноведущен системе не менее М ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра. Поскольку, в свою очередь, А; может быть оценено снизу по формуле (4), во многих конкретных случаях оказывается возможным численно доказать существование таких ловушечных мод. С целью иллюстрации этого подхода в диссертации сначала рассмотрено несколько плоских волноводов, причём для того, чтобы триангуляция не нарушала конформность дискретных подпространств, вогнутый участок границы был заменён ломаной из касательных с достаточно большим числом звеньев. Далее рассмотрено несколько примеров волноведущих систем сложной геометрии, для которых описанным выше методом установлено существование ловушечных мод.

Таким образом, подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущей системе в случаях, когда это не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в него стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. и. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармоиических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений, вычисляемых с помощью PDE Toolbox.

Так, для краевой задачи в ограниченной области Г2

Сии = -Аи - к2(х)и = /, .т ее (х1} ., хп) G и|гнг = О, где / G L2(Q.), О < A j' ^ к2(х) G L°°(Q), предложен способ вычисления оценок погрешности приближённого решения проекционным методом, пробное пространство которого удовлетворяет условию (1). В диссертации сформулированы явные алгоритмы вычисления оценки погрешности.

Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных функций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интересно и практически ценно гак называемое явление супереходимости (supereonvergeuce phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме. В диссертации (глава 4) объединены эти два подхода и предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в наперёд заданных точках для краевой задачи для некоторого класса ОДУ 2-го порядка

Lu = -и" + Ь(х)и' + с(х)и = /, х £ (0; 1), и(0) = и( 1) = 0. (12) где / G L2(0;1), с € L°°(0; 1), а Ь(х) «кусочно-И^», что означает, что отрезок [0; 1]

Таким образом, подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущсй системе в случаях, когда это не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в пего стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет пайти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений, вычисляемых с помощью PDE Toolbox.

Так, для краевой задачи в ограниченной области Q ии = - А и - к2(х)и = /, х = (xi., хп) е Q, ч\эп = О, где / G L2(Q), 0 < kf ^ к2(х) € L°°(Q), предложен способ вычисления оценок погрешности приближённого решения проекционным методом, пробное пространство которого удовлетворяет условию (1). В диссертации^сформулированы явные алгоритмы вычисления оценки погрешности.

Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Мелснка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных функций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интересно и практически ценно так называемое явление еуперсходимосги (superconvergence phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме. В диссертации (глава 4) объединены эти два подхода и предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в наперёд заданных точках для краевой задачи для некоторого класса ОДУ 2-го порядка

Lu = -и" + Ь(х)и' + с(х)и = /, х G (0; 1), u(0)=u(l) = 0. ^ где / 6 L2(0;1), с G L°°(0; 1), а Ь(х) «кусочно-W^», что означает, что отрезок [0; 1] можно разбить на конечное число отрезков [а;^.; х^+г], на каждом из которых Ь(х) принадлежит г)- Непрерывности Ъ на всём [0; 1] не требуется. Ограничений на знаки коэффициентов тоже пет.

К задаче (12) применяется метод Галёркина—Петрова, т. е. решение ищется в виде линейной комбинации пробных функций {ц>п}п=ъ а условие ортогональности невязки поверочным функциям {фт\т=1 записывается в виде (у'ф'т + Ь(х)у'ф„, + с(х)ифТп)(1х = [ /ф71 7о ио

4х, где т = 1,. V = 1'п(Рп — приближённое решение.

Основная идея состоит в использовании в качестве поверочных функций проекционного метода функций, удовлетворяющих однородному сопряжённому уравнению. Точнее, пусть дано множество точек 0 = ха < .г'1 < . < ждг-1 < .тдг = 1, в которых мы хотим знать решение без погрешности. В это множество необходимо включить точки разрыва коэффициента Ь(х). Предположим, что на каждом интервале (хп ]; хп). г = 1,., N однородная краевая задача Дирихле для оператора Ь*

Г Ь*ф{х) = о,

13)

11р(хп-1) = ФЫ = о имеет только тривиальное решение, т. е. число 0 не является собственным значением этих операторов ни па одном из этих отрезков. (Это равносильно однозначной разрешимости задачи для оператора Ь. Если это условие не выполняется, можно добиться его выполнения, разбив отрезки, где оно нарушается, новыми точками.) Тогда однозначно разрешимы и краевые задачи

Ь*ф^(х) = 0, = 1, Фп\хп) = 0

Ь*ф&(х) = 0, ф%\хп 0=0,

4'Ч^п) = 1.

Поверочные функции выбирались следующим образом, обобщающим обычные для традиционного метода конечных элементов кусочно аффинные функции. Пусть для г, = 1,.,АГ-1 ф^ (х) при х е [а М*) = (®) при X е [жп;.тпН], (14)

0 при остальных х.

Доказана следующая теорема:

Пусть:

1. дифференциальная задача (12) в обобщённой постановке однозначно разрешима;

2. задачи (13) для всех отрезков [ж„1; :еп], п = 1,., /V, имеют только тривиальное решение;

3. пробные функции принадлежат //р[0;1] (отметим, что поверочные принадлежат этому пространству по построению);

4. существуют линейные комбинации ¡р^{х) = ^{х) пробных функций, удовлетворяющие условиям (р^п(хп) = дП1П, т», п = 1,., N — 1 (отсюда, в частности, следует линейная независимость как системы указанных линейных комбинаций, так и исходной системы функций {(/?т(ж)});

5. СЛАУ метода Галёркина с выбранными функциями {</?т(£)}т=1 11 {"г/;т(-г')}т=11 построенными по формуле (14), однозначно разрешима.

Тогда верны равенства у(хп) = и(хп), п = 0, то есть приближённое решение совпадает с точным в выбранных точках.

Более того, согласно другой доказанной в главе теореме, если к рассмотренной выше системе пробных и поверочных функций добавить ещё по равному количеству новых функций, то указанные равенства не нарушатся (конечно, при условии, что система линейных уравнений метода Галёркина останется однозначно разрешимой).

В качестве иллюстрации приведены графики решений одномерного уравиепня типа Гельмгольца стандартным методом конечных элементов и предлагаемым методом. Видно, что уже при использовании грубой сетки этот проекционный метод, в отличие от стандартного, правильно передает амплитуду и длину волны решения.

Основные результаты работы, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

• построены алгоритмически несложные гарантированные двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа в выпуклой многоугольной области;

• построены оценки частот ловушечных мод волноведущих систем;

• полученные оценки использованы с целью численного доказательства существования ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, в 'тех случаях, когда этот факт не может быть выведен из известных теоретических результатов;

• эти оценки также использованы для нахождения частот, на которых реализуется режим распространения гармонических колебаний в волноводе;

• построен явный алгоритм вычисления гарантированных оценок погрешности приближённого решения проекционным методом краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка, оператор которой может не быть знакоопределённым (оценки погрешности в L2- и //¿-нормах);

• для некоторого класса ОДУ построен проекционный метод, позволяющий найти с пулевой погрешностью значение точного решения в узлах сетки;

• написана подпрограмма на языке Mat,Lab, которая может быть встроена в пакет инструментов PDE Toolbox и использована для оценки погрешности приближенных решений краевых задач, получаемых с помощью программ этого пакета.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Основные результаты первой главы изложены в |46] и |47|. Результаты второй главы изложены в |28|, |2У] и были доложены, вместе с тесно связанными с ними результатами первой главы, на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета МГУ под рук. проф. А. Г. Свешникова и проф. А. С. Ильинского в 2008 г. и на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, а также частично на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2006 году [48]. Результаты первой и второй главы более подробно будут изложены в статье, поданной в печать в журнал «Вычислительные методы и программирование». Результаты третьей главы опубликованы в [49], а также доложены па семинаре «Численные методы электродинамики» и частично на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2008 году [50]. Результаты четвёртой главы изложены в [51] и были доложены на научном семинаре кафедры математики физического факультета.

Основные результаты докладывались

• на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённой памяти И. Г. Петровского, в 2007 году;

• па Международной конференции «Дифференциальные уравнения^ теория функций и приложения», посвящённой 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа, в 2007 году;

• иа Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2006 и 2008 годах;

• на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета МГУ под рук. проф. А. Г. Свешникова и проф. А. С. Ильинского (в 2008 г.);

• на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ.

Заключение

В заключении приведём основные результаты работы.

• Получен способ двусторонней оценки собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа в двумерной области. Предложено его распространение на задачу «с весом».

• Построены оценки частот ловушечных мод волповедущих систем.

• Вместе эти оценки применены к численному обоснованию существования в волно-ведущей системе ловушечных мод, лежащих ниже границы непрерывного спектра.

• Полученные оценки также применены к нахождению частот, на которых в данном регулярном волноводе гарантируется режим распространения гармонических колебаний поля.

• Для уравнения Гельмгольца в ограниченной области разработан метод оценки погрешности приближённого решения, полученного проекционным методом.

• Для одного класса ОДУ предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в узлах сетки, которые могут быть выбраны произвольно.

• Для вычисления аиироксимациопиых свойств дискретных подпространств, необходимых для практического применения оценок собственных значений, написана подпрограмма на языке MatLab, которая может быть встроена в пакет инструментов PDE Toolbox и использована для оценки погрешности приближённых решений краевых задач, получаемых с помощью программ этого пакета.

При написании диссертации автор пользовался большой помощью проф. А. Г. Свешникова, проф. А. Н. Боголюбова, проф. О. Б. Арушаняпа и асс. М. Д. Малых, с которыми он неоднократно обсуждал содержание этой работы. Автор хотел бы выразить им искреннюю благодарность.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 06-01-00146).

1. Михлии С. Г. Прямые методы в математической физике. М.—JL: ГИТТЛ, 1950.

2. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционпо-сеточпые методы. М.: Наука, 1981.

3. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

4. Ainsworth Mark, Craig Alan. A posteriori error estimators in the finite element method. // Numer. Math., 1992. 60, No. 1. Pp. 429-463.

5. Ainsworth Mark, Oden J. Tinsley. A unified approach to a posteriori error estimation using element residual methods. // Numer. Math., 1993. 65, No. 1. Pp. 23—50.

6. Репин С. И., Фролов М. Е. Об апостериорных оценках точности приближенных решений краевых задач для уравнений эллиптического типа. // Журнал кычисл. мат. и мат. физики, 2002. 42, № 12. С. 1774—1787.

7. Репин С. И. Двусторонние оценки отклонения от точного решения для равномерно эллиптических уравнений. Труды Санкт-Петербургского математического общества, т. 9. Новосибирск: Научная книга, 2001. С. 148 —179.

8. Functional a posteriori error estimates for PDE's. Доступно по адресу http://www.pdmi.ras.ru/~repin/ApoPDE.pdf .

9. Nakao M. Т., Hashimoto K., Watanabe Y. A numerical method to verify the invertibility of linear elliptic operators with applications to nonlinear problems. // Computing, 2005. 75, No. 1. Pp. 1-14.

10. Nakao M. Т. Numerical verification methods for solutions of ordinary and partial differential equations. 11 Numer. Funct. Anal, and Optimiz., 2001. 22, No. 3. Pp. 321— 356.

11. Тихонов A. H., Самарский А. А. О возбуждении радиоволноводов. // ЖТФ, 1947. 17, № 11. С. 1283-1296.

12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О возбуждении радиоволноводов. // ЖТФ, 1947. 17, № 12. С. 1431-1440.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О представлении ноля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ. // ЖТФ, 1948. 18, № 7. С. 959-963.

14. Кисуиько Г. В. Электродинамика полых систем. М.—JL: Изд-во ВКАС, 1949.

15. Краснушкин П. Е., Моисеев Е. И. О возбуждении вынужденных колебаний в слоистом радиоволноводс. // ДАН СССР, 1982. 264, № 5. С. 1123-1127.

16. Свешников А. Г. Принцин излучения. // ДАН СССР, 1950. 73, № 5, С. 917-920.

17. Свешников А. Г. Принцип предельного поглощения для волновода. // ДАН СССР, 1951. 80, № 3, С. 345-347.

18. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

19. Хохлов Р. В. О нестационарных процессах в волноводе. // Вестник Московского университета. Сер. Физика. 1948. № 8. С. 49—62.

20. Шестопалов В. П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.22| Rellich F. Das Eigenwertproblem von Аи. + \и = 0 in Halbrohren. // Studies and essays presented to R. Courant. N—Y., 1948. Pp. 329-344.

21. Jones D. S. The eigenvalues of V2u + Xv, = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains. // Proc. Cambridge Philos. Soc., 1953. 49. P. 668-684.

22. Werner P. Resonance phenomena in cylindrical waveguides. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1987. 121, No. 1. Pp. 173—214.

23. Werner P. Aperiodic electromagnetic waves in cylindrical waveguides. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1987. 121, No. 1. Pp. 215—272.

24. Werner P. Resonanzphänomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. Aiigew. Math. Mech., 1987. 67, No. 4. Pp. 43-54.

25. Exner P., Seba P. Bound states in curved quantum waveguides. // Л. Math. Phys, 1989. 30, No. 11. Pp. 2574—2580.

26. Боголюбов A. H., Малых M. Д., Панин А. А. Временная асимптотика поля, возбуждаемого в волноводе гармоническим током. // Журнал вычисл. мат. и мат. физики, 2005. 45, № 12. С. 2219-2231.

27. Боголюбов А. Н., Малых М. Д., Панин А. А. Принцип предельной амплитуды для волновода. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006, № 5. С. 9-13.

28. Ursell, F. Trapping modes in the theory of surface waves. // Proc. Camb. phil. Soc., 1951. 47. Pp. 347-358.

29. Ursell F. Edge waves on a sloping beach. // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Scicnces. 214, No. 1116. Pp. 79—97.

30. Боголюбов A. H., Малых M. Д., Свешников А. Г. Явление резонанса в волноводе с неоднородным заполснием. // Журнал вычисл. мат. и мат. физики, 2002. 42, № 12. С. 1816-1830.

31. Goldstone J., Jaffe R. L. Bound stales in twisting tubes. // Phys. Rev. B, 1992. 45, No. 24. Pp. 14100-14107.

32. Carini John P., Londergan J. Т., Mullen Kieran, Murdock D. P. Bound states and resonances in waveguides and quantum wires. // Phys. Rev. В., 1992. 4G, No. 23. Pp. 15538-15541.

33. Carini John P., Londergan J. Т., Mullen Kieran, Murdock D. P. Multiple bound states in sharply bent waveguides. // Phys. Rev. B, 1993. 48, No. 7. Pp. 4503—4515.

34. Carini John P., Londergan J. Т., Murdock D. P., Trinkle Dallas, Yung C. S. Bound states in waveguides and bent quantum wires. I. Application to waveguide systems. // Phys. Rev. B, 1997. 55, No. 15, pp. 9842-9851.

35. Carini John P., Londergan J. T., Murdoch D. P., Trinkle Dallas, Yung C. S. Bound states in waveguides and bent quantum wires. II. Electrons in quantum wires. // Phys. Rev. B, 1997. 55, No. 15. Pp. 9852-9859.

36. Levitin M., Marietta M. A simple method of calculating eigenvalues and resonances in domains with infinite regular ends, http://arxiv.org/abs/math/0611237, pdf-файл по адресу http://arxiv.org/PScache/math/pdf/0611/0611237v2.pdf .

37. Stefan Hein, Thorsten Hohage, Werner Koch. On resonances in open systems. J. Fluid. Mech., 2004. 506. Pp. 255-284.

38. Krejcifik D. Guides d'ondes quantiques bidimensionnels. Thèse de Doctorat. Université de Toulon et du Var, Université Charles de Prague.

39. Рид Ad., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

40. Боголюбов А. Н., Панин А. А. Об оценке погрешности приближённого решения эллиптических уравнений е некоэрцитивпой билинейной формой. Вычислительные методы и программирование, 2009. 10. С. 34—48.

41. Панин А. А. Об эффективности одного класса апостериорных оценок. // Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов—2008», секция «Физика». М.: Физический факультет МГУ, 2008. С. 76-78.

42. Панин А. А. О проблеме суперсходимости алгоритмов метода конечных элементов. // Журнал вычнел. мат. и мат. физики, 2008. 48, № 12. С. 2180—2185.

43. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

44. Nakao М. Т., Yamamoto N., Kimura S. On the best constant in the error bound for the ^-projection into piecewise polynomial spaces. // J. Approx. Theory, 1998. 93, No 3. Pp. 491-500.

45. Natterer F. Berechenbare Fehlerschranken fur die Methode der Finiten Elemente. International Series of Numerical Mathematics. Birkhauser Verlag, Basel. 1975. V. 28. Pp. 109-121.

46. Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.

47. Courant В. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. 11 Bull. Amer. Math. Soc., 1943. 49. Pp. 1—23.

48. Babuska /., Banerjee U., Osborn J. E. Superconvergence in the generalized finite element method. Technical Report 0545. TICAM, University of Texas. Austin, Texas, 2004. Доступно по адресуhttp://www.ices.utexas.edu/research/reports/2005/0545.pdf.

49. Оганесян, JI. А., Руховец Л. А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей. // Журнал вычисл. мат. и мат. физики, 1969. 9, № 5. С. 1102—1120.

50. Тихонов А. Л., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах высокого порядка точности. // ДАН СССР, 1960. 131, № 3. С. 514-517.

51. Тихонов A. PI., Самарский А. А. Однородные разностные схемы высокого порядка точности на неравномерных сетках. // Журнал вычисл. мат. и мат. физики, 1961. 1, № 3. С. 425-440.

52. Макаров В. Л., Самарский А. А. Точные трёхточечпые разностные схемы для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и их реализация. // ДАН СССР, 1990. 312, № 4. С. 795-800.

53. Babuska I. M., Sauter S. A. Is the pollution effect of the FEM avoidable for the Hclmholtz equation considering high wave numbers? // SIAM J. Numer. Anal., 1997. 34, No 6. Pp. 2392-2423.

54. Babuska I., Caloz G., Osborn J. Special finite element methods for a class of second order elliptic problems with rough coefficients. // SIAM J. Numer. Anal., 1994. 31, No. 4. Pp. 945-981.

55. Melenk J. M, On generalized finite element methods. PhD thesis. University of Maryland at College Park. 1995. Доступно по адресу http://www.math.tuwien.ac.at/~melenk/publications/diss.ps.gz.

56. Melenk J. M., Babuska I. The partition of unity finite element method: Basic theory and applications. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1996. 139, No. 1—4. Pp. 289-314.

57. Babuska I., Melenk J. M. The partition of unity finite element method. // Int. J. Numer. Meth. Engng., 1997. 40, No. 4. Pp. 727-758.

58. Schultz M. Spline Analysis. London: Prentice-Hall, 1973.

59. Sauter S. A Refined Finite Element Convergence Theory for Highly Indefinite Hclmholtz Problems. // Computing, 2006. 78, No. 2. Pp. 101-115.