Параметры смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины

Кислова, Светлана Юрьевна

Параметры смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Кислова, Светлана Юрьевна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Параметры смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины»

Автореферат диссертации на тему "Параметры смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины"

На правах рукописи

КИСЛОВА СВЕТЛАНА ЮРЬЕВНА

ПАРАМЕТРЫ СМЕШАННЫХ ФОРМ ДЕФОРМИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ КРИВИЗНЫ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

0 0 ДПР 20СЗ

Саратов - 2009

003466394

Работа выполнена в лаборатории «Вычислительная механика деформирования и разрушения» Исследовательского центра проблем энергетики Учреждения Российской академии наук Казанского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Шлянников Валерий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Кузнецов Вадим Викторович

доктор физико-математических наук, профессор Голованов Александр Иванович

Ведущая организация: Институт машиноведения РАН

им. А.А. Благонравова (г. Москва)

Защита состоится « /У» ¿¿¿¿и? 2009 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, д.77, корп.1, ауд.319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета

С авторефератом можно ознакомиться на сайте www.sstu.ru

Автореферат разослан « -2- » ¿ХУь/^С^ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Попов В.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Обзор литературы показывает, что в последнее время специалисты уделяют особое внимание задачам о наклонных трещинах, которые в механике разрушения относятся к разделу смешанных форм деформирования. Смешанными формами разрушения принято называть ситуации, когда наклонные трещины развиваются не в направлении их исходной ориентации. Влияние вида нагружения реализуется через зону пластической деформации в области вершины трещины, что предполагает проведение исследований в упругопластической постановке. В этой связи актуальной становится разработка параметров и критериев механики трещин при сложном напряженном состоянии, основанных на упругопластическэм анализе области вершины трещины при соответствующем учете граничных условий. Также в последнее время в России и за рубежом обсуждается проблема эффектов стеснения. Параметр стеснения представляет собой корректирующую функцию полей напряженно-деформированного состояния (НДС). Долгое время считалось, что напряжения и перемещения в области вершины трещины с достаточной точностью можно описать на основе одночленного асимптотического представления типа Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР). Однако, однопараметрический подход ХРР-типа в определении НДС отражает не полную картину происходящего и может содержать существенные погрешности. В связи с этим возникает необходимость моделировать состояние в вершине наклонной трещины с конечным радиусом кривизны с учетом членов высоких порядков на основе двухчленного или трехчленного разложения параметров НДС в ряд по радиусу.

Целью диссертационной работы являются разработка и обоснование модели НДС наклонных трещин с конечным радиусом кривизны в упругопла-стическом материале и проведение анализа эффектов стеснения в полном диапазоне смешанных форм деформирования для плоской задачи.

Цель исследования определяет следующие задачи:

• разработка методики определения параметров смешанных форм деформирования в нелинейной области вершины трещины с конечным радиусом кривизны и оценка влияния радиуса кривизны вершины трещины на поведение параметров смешанных форм разрушения;

• проведение комплексного анализа структуры полей параметров НДС для непосредственного учета смешанных форм деформирования через члены второго порядка с учетом радиуса кривизны вершины трещины;

• обоснование понятия параметра стеснения и установление взаимосвязи между параметрами смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны.

Научная новизна работы состоит в:

• разработке и численном обосновании модели состояния наклонных трещин в нелинейной области вершины трещины с конечным радиусом кривизны;

• разработке методики и комплекса программ исследования количественных и качественных характеристик области вершины трещины с учетом членов высоких порядков для полного диапазона смешанных форм деформирования;

• количественной оценке влияния вида нагружения в сочетании с ориентацией трещины и пластических свойств материала на поля НДС и параметры смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны;

• установлении характера изменения напряжений второго члена разложения, показателя степени и амплитудного коэффициента в зависимости от смешанных форм деформирования.

На защиту выносятся:

• модель напряженно-деформированного состояния упрочняющегося материала в пластической области вершины трещины для полного диапазона смешанных форм деформирования с учетом членов высоких порядков;

• методика интерпретации и численные результаты решения задач МКЭ в пластической области вершины трещины для полярных распределений параметров НДС и амплитудных коэффициентов;

• сравнительная оценка параметров НДС, полученных по двухчленной численной модели и одночленной аналитической модели решения задач смешанных форм деформирования и оценка влияния кривизны вершины трещины на параметры смешанных форм деформирования и стеснения;

• установленная взаимосвязь между параметрами смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны.

Практическая значимость настоящей работы заключается в возможности учета эффектов стеснения при определении характеристик сопротивления материала разрушению при статическом деформировании в условиях смешанных форм нагружения, В результате выполненного исследования предоставлена возможность количественной оценки влияния угла исходной ориентации, радиуса кривизны и расстояния до вершины трещины на параметры НДС при двухосном нагружении в нелинейной области вершины трещины для полного диапазона смешанных форм деформирования.

Методы исследований. Аналитические и численные исследования выполнялись на основе деформационной теории пластичности, метода конечных элементов, модифицированного метода граничного слоя, методов математического и компьютерного моделирования и программирования.

Достоверность полученных результатов подтверждается установленным совпадением частных численных решений с аналитическими и экспериментальными данными, полученными другими авторами. Точность аналитических расчетов обеспечивалась строгими математическими постановками.

Реализация работы. Результаты работы представлены в тематике научных исследований лаборатории Вычислительной механики деформирования и разрушения Исследовательского центра проблем энергетики КазНЦ

РАН. Работа в течение трех лет поддерживалась грантами РФФИ №08-0809237 и ФАНИ № 02.516.11.6040, № 02.516.11.6025, № 02.516.11.0008.

Апробация работы. Результаты работы представлялись на аспирантских научных семинарах (Казань, ИЦПЭ КазНЦ РАН, 2005-2008 гг.), на Третьей межрегиональной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Информационные технологии, энергетика и экономика» (Смоленск, 2006 г.), на XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2007 г.), на II Всероссийской конференции «Безопасность и живучесть технических систем» (Красноярск, 2007 г.), на итоговых научных конференциях Казанского научного центра РАН (Казань, КазНЦ РАН, 2006-2008 гг.), на V и VI школах -семинарах молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова (Казань, ИЦПЭ КазНЦ РАН, 2006,2008 гг.), на Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения» (Москва, МАТИ, 2008г.), на XX Всероссийской межвузовской научно-технической конференции (Казань, КазВАКУ, 2008 г.), на 17-й Европейской конференции по разрушению «Multilevel approach to fracture of materials, components and structures» (Брно, Чехия, 2008 г.). В полном объеме диссертация докладывалась в Исследовательском центре проблем энергетики КазНЦ РАН, в Институте машиноведения РАН им.А.А.Благонравова, в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 14 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка использованной литературы. Материал изложен на 167 страницах, содержит 55 рисунков, 6 таблиц, список литературы состоит1 из 172 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается ее общая характеристика, определяются направления исследований, устанавливаются перспективы научного и практического значения решаемой задачи.

В первой главе дан анализ современного состояния по предмету и направлениям исследований, рассматриваемых в диссертации.

Одно из главных направлений развития механики разрушения, обеспечивающих ее практическое приложение, состоит в анализе и расчете параметров НДС в элементе конструкции или детали с трещиной. Становление и развитие этой дисциплины связано с именами выдающихся отечественных и зарубежных ученых А.Е. Андрейкина, В.В. Болотина, Д. Броека, А.Я. Кра-совского, H.A. Махутова, Н.Ф. Морозова, Н.И. Мусхелишвили, Дж. Нотта, Г.П. Никишкова, В.В. Панасюка, Ю.Н. Работнова, Р.В. Гольдштейна, Дж. Си, Г.П. Черепанова, Г.С. Писаренко, A.A. Шанявского, A.A. Лебедева, М.Л. Вильямса, Дж. Эфтиса, Дж. Райса, Дж. Хатчинсона и др. Наиболее типич-

ным случаем возникновения смешанных форм деформирования и разрушения является отсутствие симметрии приложенной нагрузки по отношению к геометрии тела и схемы расположения в нем исходной трещины. Во многих элементах конструкций встречаются именно наклонные трещины, которые в свою очередь обусловливают возникновение зон пластической деформации в области вершины трещины, что свидетельствует об актуальности проведения исследований в физически нелинейной постановке. Классической моделью аналитического исследования состояния в пластической области вершины трещины в деформационно-упрочняющемся материале является одночленная модель Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР). Из литературы известно, что воздействие геометрии тела с трещиной и условий его нагружения в основном реализуется через второй и третий члены разложений. Решение задачи с использованием членов высоких порядков рассматривалось в работах Ли и Ванга, Шарма и Араваса, О'Доуда и Ши, Бетегона и Хенкока, Никиш-кова, Янга и Чао, Чао и Жу. Анализ смешанных форм деформирования при плоской деформации (ПД) для математического разреза выполнен впервые в 1973 году Ши. Им введены дополнительные параметры, характеризующие вид смешанных форм для упругого Мс и упругопластиЧеского Мр деформирования в области вершины трещины.

Анализ литературных данных показал, что: существующие аналитические методы решения не применимы для определения параметров смешанных форм деформирования в нелинейной области вершины трещины с конечным радиусом кривизны и не могут быть использованы для непосредственного учета вида нагружения; однопараметрический подход ХРР-типа в определении напряженно-деформированного состояния отражает не полную картину происходящего и может содержать существенные погрешности, в связи с чем возникает необходимость моделировать состояние в вершине наклонной трещины с конечным радиусом кривизны с учетом членов высоких порядков на основе двухчленного разложения параметров НДС в ряд по радиусу.

На основе литературного анализа была сформулирована цель и поставлены задачи исследования.

Во второй главе сформулирована модель НДС в пластической области вершины наклонной трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков и разработан алгоритм нахождения элементов ее структуры. Порядок расчетов в настоящей работе основан на том, что численно рассчитаны распределения всех компонент полных напряжений в окрестности вершины трещины, имеющей конечный радиус кривизны для различных видов смешанных форм деформирования. Найденная по этим распределениям угловая координата максимума окружных напряжений т00 принималась искомым направлением роста трещины в', согласно критерию максимальных нормальных напряжений. При этом структура модели НДС в пластической области вершины трещины построена на сочетании аналитической и численной составляющих полного решения. Общий алгоритм решения по-

ставленных в работе задач представлен в виде блок-схемы (рис. 1). За основу модели принята известная в литературе методология доопределения аналитического решения ХРР-типа слагаемыми высоких порядков, имеющих смысл параметра стеснения. Под стеснением понимается дополнительный параметр корректировки полей НДС. Для задач смешанных форм деформирования удержание более чем первых двух слагаемых в разложениях параметров НДС невозможно из-за проблематичности построения аналитического решения по определению угловых функций распределений компонент напряжений. В этой связи полное решение плоской задачи представлено в виде двухчленного разложения: напряжения:

гк 1С я™

?(о)

{е,п,мр)=?-^к^{е,п,мр) (2)

в = 4

деформации:

3/а0

(3)

ае0

а.г

л/п+1 У

ик

(4)

с еР{в, п, м;) = Г"/п+1 У ^{в, п,М„)+ г1'"« п,М'РУ

В вышеуказанных соотношениях о

г," - точное решение полей на-

пряжений и деформаций, полученное МКЭ на основе модифицированного метода граничного слоя; сг0, е0 - напряжение и деформация текучести; г,9 -полярные координаты; аналитическое решение для задач смешанных форм деформирования типа математического разреза с нулевым радиусом кривизны; п - показатель деформационного упрочнения; Крм - упругопласти-ческий коэффициент интенсивности напряжений; Мр- пластический параметр смешанности для трещины с нулевым радиусом кривизны; второй член разложения или, так называемый, параметр стеснения; Л и Л - амплитудный коэффициент и показатель степени второго члена; а^', ¡?]0> и г,*'1, ё^-безразмерные угловые функции компонент напряжений и деформаций первого и второго членов разложения, соответственно; М'р- пластический параметр смешанности для трещины с конечным радиусом кривизны.

В предложенной модели (1) первый член разложения (2) является аналитическим решением для задач смешанных форм деформирования типа

Исходные данные: а,т], Е, V, п, а

р = 0 аналитическое решение численное решение

р* О

двумерная интерпо-

полино-

шкк

Лагранжа

в:

критерий

а-1 ~двг дг

-2Г>ЦгдМ = дб )

Уравнение совместности

в1,{±я) = 0,»мМ=0 ¿з„{е~) „ ^

-2—- = 0 - Гр. условия

ав

ММГС и,, и>

— ЯШ

М- = —1ап-1

д>»(* = 0)

метод

Рунге-

Кугга

4-го

порядка

Г М,

стДб.и)

б* = в(сг,р,Т1^,г/а)

радиальные р аспр еделеиия

^ - 2 Сап'1 я в5"[р.г.е- о)

М'. = —Ьп"4 71

1, Г2

мкэ

в[*Г(г,е)-пр^и,)

угловые распределения

аев

в:

е*{г)

Определение показателя степени

Ц^аЛ)

Определение амплитудного коэффициента 2 члена разложения:

(г?,

Рис.1. Общий алгоритм расчета полей параметров НДС области вершины трещины с конечным радиусом кривизны

математического разреза с нулевым радиусом кривизны, в котором безразмерные угловые функции получены аналитически в результате решения нелинейного дифференциального уравнения совместности деформаций четвертого порядка по методу Рунге-Кутга. Второй член разложения (1) трактуется как параметр стеснения и именно он воспроизводит характер различий в поведении трещины в виде математического разреза и трещины с конечным радиусом кривизны в полном диапазоне смешанных форм упругопластиче-ского деформирования. В качестве точного решения в разложении (1) выступают стоящие в левой части поля напряжений а™, полученные МКЭ на основе модифицированного метода граничного слоя.

Угловые функции распределений компонент напряжений для второго члена разложения предлагается рассчитывать по формуле:

(5)

Стоящее в знаменателе формулы (5) произведение неизвестных пока величин Лг* является масштабным множителем, который подбирается из условия, что интенсивность напряжений ¿г'1' не превышает г,(1) = 1 в пределах -я <,в <л. С учетом найденной функции а"' амплитудный коэффициент А при втором члене асимптотического разложения напряжений определён по следующей формуле:

Л = (6)

Согласно принятому предположению, что угловая координата максимума окружных напряжений <т„ является направлением роста трещины в', показатель степени во втором члене разложения найден через компоненты напряжений для двух расстояний от вершины трещины ^ и г2, причем г7>г,:

л 1п|(аГ (7)

Совокупность уравнений (1)-(7) дает возможность определить безразмерные угловые распределения компонент параметров НДС и амплитудные коэффициенты второго члена исходя из двухчленной структуры асимптотического решения.

Объектом исследований являлась пластина, нагруженная системой взаимно-перпендикулярных нормальных напряжений и ослабленная внутренней сквозной центральной произвольно-ориентированной прямолинейной трещиной (рис.2а). На рис.2а а - исходный угол ориентации трещины, в'- направление роста трещины, а- полудлина трещины, коэффициент двухосности номинальных напряжений. В рамках аналитической части исследования поставленной задачи для первого слагаемого модели (1), относящегося к математическому разрезу, найдены угловые безразмерные распределения компонент напряжений э'р и деформаций г,,<0) (рис.За, 36). За счет последовательного перебора дискретных значений угла начального роста трещины в' в интервале от - 75° до 0' воспроизведен полный диапа-

-180 -90

0 0 90

180.

б)

-180 -90

90 180

В)

зон смешанных форм нагружения от условий нормального отрыва до чистого сдвига для различных значений показателя деформационного упрочнения. По этим данным в свою очередь рассчитаны упругопластические коэффициенты (рис.Зв), параметры смешанности Мр и константы смешанных

форм 1п для математического разреза в полном диапазоне условий нагружения с учетом пластических свойств материала.

Рис.2.

а д д д V_^

О б)

Выделенная область вершины трещины с граничными перемещениями и расчетная схема МКЭ

Рис.3. Распределения упругопластических напряжений, деформаций и КИН для математического разреза

Численная составляющая решения поставленной задачи состояла в расчете действующих упругопластических компонент напряжений на основе инженерного компьютерного комплекса программ А№У8, реализующего метод конечных элементов (МКЭ). Рассматривались ряд расчетных схем для трещин с конечным радиусом кривизны р. Согласно модифицированному методу задания граничных условий все изменения исследуемых условий нагружения воспроизводились через граничные перемещения, которые задавались на контуре выделенной области (рис.2б). В соответствии с этим для расчета полных напряжений, стоящих в левой части основного модельного уравнения (1), сформирована расчетная схема, моделирующая область вершины трещины (рис.2в). Поля перемещений заданы в граничных

узлах этой расчетной схемы, расположенных на внешнем контуре выделенной круговой области с шагом по углу в = 4.5". Таким образом, при решении задачи для каждого отдельного случая смешанных форм деформирования при двухосном нагружении задавалось своё поле граничных упругих перемещений. В качестве исходных данных принимались радиус кривизны вершины трещины р, угол начальной ориентации трещины а, коэффициент двухосности номинальных напряжений ц и упру-гонластичесхие константы материала у, Е, а0, п. Все численные расчеты с привлечением МКЭ в настоящей работе проведены для упруго-пластического материала, обладающего следующими основными механическими характеристиками: Е = 200ГПа, V = 0.3, <т0 = 380МЩ. л = 5. Расчеты проведены для трех значений коэффициента двухосности: 77 = 0, 7 = 0.5, т) = -1. Сформированы три расчетные схемы МКЭ (рис.2в) с различными радиусами кривизны вершины трещины: р/а = 2-1СГ3, р/а = 10~3 и р/а = 10"4. Для каждого из трех соотношений рассчитаны полярные распределения компонент напряжений и амплитудные коэффициенты по методу конечных элементов.

В данной главе представлен порядок применения структуры решений для получения безразмерных трансверсальных распределений компонент параметров НДС в двухчленном представлении. Разработаны метод расчета безразмерных трансверсальных и радиальных распределений и амплитудных коэффициентов второго члена разложения напряжений в пластической области вершины трещины с конечным радиусом кривизны и порядок интерпретации результатов расчетов для анализа эффектов двухосности нагруже-ния и стеснения в полном диапазоне смешанных форм нагружения.

В третьей главе с целью обоснования модели (1) поведения материала в пластической области вершины трещины в условиях смешанных форм деформирования с учетом членов высоких порядков проведен численный анализ полей параметров НДС области вершины трещины. Согласно общей последовательности расчетов, представленной на рис.1, определены радиальные (на продолжении трещины) и трансверсальные распределения компонент напряжений, деформаций и перемещений для каждого сочетания угла исходной ориентации а, коэффициента двухосности 7, относительного радиуса кривизны р/а и уровня номинальных напряжений ст для материала с показателем упрочнения п- 5.

При анализе численных результатов полных полей упругопластических напряжений на полярные распределения напряжений выделяли эффекты влияния двухосности номинальных напряжений, величины радиуса кривизны вершины трещины и условий смешанных форм нагружения. Анализ эффектов влияния вида двухосного напряженного состояния на примере окружной компоненты напряжений показал, что наибольшие отличия в рас-

пределениях возникают при переходе от положительных к отрицательным коэффициентам двухосности напряжений 1] (рис.4а).

-180 -90 О 0 90 180^ -180 -90 0 Q 90 180^ -180 -90 0 Q 90 1В0

Рис.4. Распределения окружной компоненты напряжений дня различных условий нагружения и форм трещин

При оценке влияния радиуса кривизны вершины трещины р/а на транс-версальные распределения полей полных напряжений установлено, что поведение компонент напряжений зависит от типа смешанных форм деформирования и в наибольшей степени это влияние проявляется при нормальном отрыве (Мр =1,ог=90', рис.4б). Получено, что вариация смешанных форм нагружения от чистого сдвига (а = 45",77 = -1) до нормального отрыва (а = 90',77 = -1) приводит к монотонному изменению полей окружных напряжений SF™ (рис.4в). По координатам максимумов а™ определено направо ление дальнейшего роста трещины в' в зависимости от вида смешанных форм нагружения согласно критерию максимальных нормальных напряжений. По результатам численных расчетов установлено, что распределения компонент напряжений для различных расстояний от вершины трещины 7, не совпадают между собой, что свидетельствует о зависимости полярных угловых распределений компонент напряжений от положения рассматриваемого кругового сечения.

Следующая часть расчетов состояла в определении радиальных распределений компонент напряжений. Интерпретация этих результатов разнесена по отношению к сечению, расположенному на продолжении трещины при 0 = 0' (рис.5а, б), и к сечению в направлении максимума окружных напряжений (рис.5в), который соответствует критерию максимальных нормальных напряжений при в = в'. Для каждого угла начальной ориентации трещины а существует свое значение угла в". Представленные на рис.5 распределения нормальных и сдвиговых напряжений использованы для расчета параметров смешанности М * на продолжении и в направлении роста трещины.

Общая концепция предложенной модели (1) построена на предположении, что полные напряжения а™ и напряжения, относящиеся к первому

«г** и второму 2 слагаемому, имеют экстремум в одной и той же точке по угловой координате, определяющей направление роста трещины &'. Установлено, что максимальные значения окружных напряжений располагаются не на контуре вершины трещины, а на некотором удалении от неё, т.е. имеется некоторый подслойный максимум. В этой связи рассмотрены зависимости направления роста трещины в" в диапазоне расстояний от вершины трещины (рис.6).

Рис.5. Радиальные распределения компонент напряжений на продолжении трещины (а,б) и в направлении роста трещины (в)

Рис.6. Обоснование выбора радиальной координаты направления роста трещины по экспериментальным данным

На основе сравнения полученных численных результатов с известными литературными экспериментальными данными (рис.6) дано обоснование выбора расстояний г, от вершины трещины при нахождении угловых распределений второго члена разложения (1) )к?| для соответствующих сочетаний в" =в'(р/а,а,г]). Процедура нахождения г, и г2 является фрагментом предложенной общей блок-схемы всего комплекса расчетов (рис.1) и позволяет по известным значениям трансверсальных распределений второго члена разложения сг^ув*]^ и сх$(бсогласно модели (1) определить показатель степени Л и амплитуду А для каждого вида смешанных форм нагруже-ния по уравнениям (6) и (7).

В работе представлено расчетно-экспериментальное обоснование применения критерия максимальных окружных напряжений к определению на-

правления роста трещин в полном диапазоне смешанных форм нагружения. Как это принято для плоских задач, в настоящей работе состояние тела с наклонной трещиной характеризовалось параметрами смешанности М, и Мр для условий сочетания форм нормального отрыва и поперечного сдвига для трещин с различным радиусом кривизны р:

М'„ = — 1ап"' л

к,[гг+Р}

м:

-аг

Ки[2г-р\ айв = &

-ш

[(И-7)-(1-7)соз2а](2г + р)

[(1-77)яп2«](2/-р)

(8) (9)

Эти параметры при упругом М„ и пластическом Мр деформировании определялись отношением соответствующих компонент нормальных аед и сдвиговых <?,„ напряжений (рис.5). Параметры смешанности рассчитывались в двух направлениях: на продолжении плоскости ориентации исходной трещины при 0 = 0' ив направлении её роста, определяемом в = в', зависящем от вида смешанных форм нагружения.

По результатам аналитических расчетов установлено, что для упругих распределений параметра смешанности М\[р = 0") (рис.7а) характерна, а для пластических М'р(в = 0°) (рис.7б) очевидна, тенденция к возникновению условий, близких к нормальному отрыву на криволинейном контуре вершины трещины в плоскости ее исходной ориентации (т.е. при 7 = 0 и 0 = 0°).

1.0

0.8 Мр' 0.6 •ж

0.4

0.2

0.0 р/агИГ1

р/а = ю-3

ААлг- 10

/ 100

Мр 0.0

0 > » 9 < ^ г>»10и 51<)013

б) гс7о/и

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 _ 0.8 1.0

р/а = 2-1СГ

Ме 0. Мо"

Г)

10.0 100.0 г (Т, /У

— ы

р/а-МО"*

. ---- 0.00 ,, 0.01 .

Д) е)

Рис.7. Поведение параметров смешанности для различных геометрий вершины трещины

1.0 10 О 100.0

г<гоН

Установлены зависимости между упругим М[ и пластическим м' параметрами в полном диапазоне смешанных форм разрушения для фиксированного отношения радиуса кривизны к длине трещины (рис.7в). На значительном удалении от вершины трещины г >100, где влияние радиуса кривизны мало и пластические деформации сопоставимы с упругими, зависимость между М\ и М'р близка к линейной, что является граничным условием рассматриваемой задачи. Приведенные на рис.7в зависимости М'р = /(лг) отличаются от известных результатов для математического разреза именно в силу наличия конечного радиуса кривизны вершины трещины. В случае распределений пластического М'р(в = в') параметра смешанности в направлении роста трещины для различных значений радиуса кривизны р/а (рис.7г) мож-пц, отметить близость значений этого параметра к единице в полном диапазон смешанных форм нагружения, что ещё раз доказывает применимость критерия сг™ в настоящих расчетах. Характер влияния пластических свойств материала на поведение параметров смешанности при различных углах исходной ориентации трещины а = 45",65",85° показан на рис.7д. Получено, что распределения пластического параметра смешанности М * для трех различных соотношений р!а (рис.7е) во всех случаях зависят от угла исходной ориентации и радиуса кривизны вершины трещины.

Таким образом, комплекс аналитических и численных расчетов в упруго-пластической постановке позволил определить порядок влияния конечного радиуса кривизны вершины трещины на параметры, характеризующие смешанные формы разрушения в условиях плоской деформации. Получено, что соотношения взаимосвязи между упругим и пластическим параметрами смешанности являются непрерывными функциями радиуса кривизны и расстояния от вершины трещины.

т>) Четвертая глава посвящена определению угловых и амплитудных ха-'р%геристик второго члена разложения и установлению соотношений между параметрами смешанности и стеснения. Данный раздел замыкает общую последовательность расчетов (рис.1) по обоснованию модели НДС при „смешанных формах разрушения для трещин с конечным радиусом кривизны."

В соответствии с разработанным алгоритмом (рис.1), порядок расчетов состоял в последовательном применении уравнений (1)-(7), позволяющих определить для второго члена разложения угловые распределения компонент напряжений амплитудные коэффициенты А и показатели степени Л. На рис.В представлены угловые распределения полей напряжений второго члена разложения, полученные за зоной разгрузки для трещин различной геометрии.

С учетом найденной функции сгЦ* амплитудный коэффициент А при втором члене асимптотического разложения напряжений рассчитан по

формуле (6). В свою очередь, показатель степени Я при втором члене разложения найден через компоненты напряжений для двух расстояний от вершины трещины /• и г2 для каждого варианта смешанных форм нагру-жения и геометрии вершины трещины. По совокупности этих расчетов для А, Л по формуле (3) рассчитаны значения параметра стеснения б или корректирующей функции полей НДС в полном диапазоне смешанных форм разрушения. Зависимости между параметрами стеснения 0 и смешанности Мр приведены на рис.9а для рассматриваемых относительных радиусов кривизны вершины трещины.

р/а = 2- Ю"1 44, р1а = 1-Ю"1

в Ио = 0

-1

Щч

Мр=а Р!а = 10-"

. М/1с1

а)

б)

в)

Рис.8. Распределения напряжений второго члена разложения По рассчитанным полям полных упругопластических напряжений ст™

определен параметр трехосности к = ^ + действующих напряжений,

Зет,

где ст,, ст2, - главные напряжения, ае - эквивалентные по Мизесу напряжения. Найденные значения коэффициента трехосности напряжений А поставлены в соответствие значениям параметра стеснения <2 (рис.9б) для исследованных вариантов нагружений и геометрии вершины трещины.

0.3

0.Ю 12 130 1.8 22.4

а) б) И в) "'р

Рис.9. Зависимости между параметрами смешанности, стеснения и трехосности для трещин с конечным радиусом кривизны

Следствием корреляции между 0 и /; являются установленные зависимости между параметрами смешанности М'р и трехосности упругопластических напряжений А в области вершин трещин различной геометрии (рис.9в). Отмечено взаимное соответствие трех рассматриваемых характеристик £),

А/', А, отражающих влияние условий нагружения на состояние в пластической области вершины трещины с конечным радиусом кривизны.

Для математического описания полученных в работе численных результатов, отражающих зависимость параметра стеснения 2 от исследованных факторов нагружения и геометрии трещины предложено обобщенное ап-проксимационное уравнение:

е = -0.П84__0-0759-^__(Ш)

951.627 • р/а -1.31 • 106 • (р/а)1 + 4.28 • 10' ■ (р/а)'

Проведен расчет процентного соотношения вкладов первого и второго

а) 6) в)

Рис.10. Область доминантности предлагаемого решения

Установлено, что вклад параметра стеснения 0 по отношению к первому члену разложения аЦЕР достигает 40%. На примере радиальных распределений окружных напряжений (рис.10) определена область доминантности предлагаемой модели НДС по отношению к известным классическим упругим и пластическим решениям.

Основные выводы

1. Предложена модель НДС в пластической области вершины трещины с учетом членов высоких порядков и дано ее численное и аналитическое обоснование.

2. Разработана и реализована методика исследования поведения параметров НДС в полном диапазоне смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины и членов высоких порядков.

3. В результате выполненных расчетов установлены качественные и количественные эффекты влияния нагружения на параметры НДС области вершины трещины при смешанных формах разрушения.

4. Установлены зависимости между параметрами смешанности, стеснения и трехосности в полном диапазоне смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины, угла исходной ориентации трещины и пластических свойств материала. Дано аналитическое описание соотношений между параметрами смешанности и стеснения при разрушении.

5. Представление полей НДС в пластической области вершины трещины с учетом членов высоких порядков показало, что их совокупный вклад может отличаться по отношению к первому члену разложения до 40%, что подтверждает необходимость подобного учета при анализе параметров смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины.

Основные печатные работы по теме диссертации:

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Кислова, С.Ю. Параметры смешанных форм деформирования для трещины в виде математического разреза / В.Н. Шлянников, С.Ю. Кислова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. № 1.-С. 77-84.

В других изданиях:

2. Кислова, С.Ю. Параметры смешанных форм разрушения с учетом конечной кривизны вершины трещины / В.Н. Шлянников, С.Ю. Кислова И Деформация и разрушение материалов. 2008. № 6.-С.2-8.

3. Кислова, С.Ю. Упругопластический расчет направления роста трещины при двухосном нагружении / С.Ю. Кислова // Труды Академэнерго. 2006. №1.-С. 165174.

4. Кислова, С.Ю. Расчет траектории роста трещины в нелинейной постановке / С.Ю. Кислова // Информационные технологии, энергетика и экономика: материалы Третьей межрегион, науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. - Смоленск: Филиал ГОУ ВПО МЭИ (ТУ) в г. Смоленске, 2006.-С. 29-32.

5. Кислова, С.Ю. Оценка влияния пластических свойств материалов на направление роста трещины / С.Ю. Кислова Н Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: материалы докладов V школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова. - Казань : Изд-во Казан. i-ос. ун-та, 2006. - С. 331-336.

6. Кислова, С.Ю. Численно-аналитический метод расчета траектории развития трещины / С.Ю. Кислова И Материалы XV Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2007), 25-31 мая 2007 г., Алушта. - М.: Вузовская книга, 2007. - С. 271.

7. Кислова, С.Ю. Анализ упругопласгических параметров смешанности для на-клшной трещины с конечным радиусом кривизны / С.Ю. Кислова // Безопасность и живучесть технических систем: материалы II Всерос. конф. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2007.-С. 160-161.

8. Кислова, С.Ю. Расчет параметров смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны / В.Н. Шлянников, С.Ю. Кислова // Труды Академэнерго. 2008. № 2.-С.79-88.

9. Kislova, S.Yu. Mode mixity and constraint parameters accounting for crack tip curvature / V.N. Shlyannikov, S.Yu. Kislova // Book of abstracts 17th European Conference on Fracture "Multilevel approach to fracture of materials, components and structures". Brno. Czech Republic. 2008.-P. 177.

10. Кислова, С.Ю. Методика определения параметров смешанных форм деформирования с учетом радиуса кривизны вершины трещины в упругой и упругопла-стической постановке / С.Ю. Кислова // XXXIV Гагаринские чтения. Секция №3.

Механика и моделирование материалов и технологий: сб. материалов Междунар. молодежной науч. конф. 1-5 апреля 2008 г. - М.: МАТИ, 2008. - С. 52-54.

11. Кислова, С.Ю. Оценка влияния радиуса кривизны вершины трещины на поведение параметров смешанных форм разрушения / С.Ю. Кислова // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной срсды, веществ, материалов и изделий: сб. материалов XX Всерос. межвуз. науч.-техп. конф.:в 2 ч. 1315 мая 2008 г. - Казань, КазВАКУ, 2008. Ч. 1. - С. 392-394.

12. Кислова, С.Ю. Расчет параметров стеснения для полного диапазона смешанных форм деформирования в плоской задаче / С.Ю. Кислова // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: материалы докладов VI школы-семинара молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова. 16-18 сентября 2008. -Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 2008. - С. 376-380.

13. Кислова, С.Ю. Расчет параметра стеснения и его структурных компонентов в разложении с учетом членов высоких порядков / С.Ю. Кислова, В.Н. Шляпников // Труды Академэнерго. 2008. № 4.-С. 57-68.

14. Кислова, С.Ю. Определение параметра коррекции полей НДС на кривизну вершины трещины в двухчленном разложении / С.Ю. Кислова // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: материалы Пятнадцатой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: в 3 т. - М.: Издат. дом МЭИ. 2009. Т.З.- С. 277-278.

Подписано в печать 31.03.09 Формат 60*84 1/16

Бум. офсет. Усл.печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 129 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Кислова, Светлана Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕХАНИКА СМЕШАННЫХ ФОРМ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И

РАЗРУШЕНИЯ

1.1. Условия возникновения смешанных форм деформирования и разрушения

1.2. Однопараметрйческие решения для маломасштабной текучести

1.3. Поля параметров НДС с учетом членов высоких порядков

1.4. Модели характеристического расстояния

1.5. Влияние двухосности нагружения на развитие наклонных трещин

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНЫ ПРИ ДВУХОСНОМ НАГРУЖЕНИИ

2.1. Структура решений для упруго-пластических полей напряжений в двухчленном представлении

2.2. Параметры НДС для математического разреза при смешанных формах деформирования

2.3. Моделирование условий полного диапазона смешанных форм деформирования для плоской задачи

2.4. Формирование расчетных схем МКЭ для прямолинейных трещин с различным радиусом кривизны

2.5. Метод расчета полярных распределений компонент напряжений и амплитудных коэффициентов

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ НА

ПАРАМЕТРЫ СМЕШАННЫХ ФОРМ РАЗРУШЕНИЯ

3.1. Кинетика деформированного состояния в полном диапазоне смешанных форм нагружения

3.2. МКЭ-решения для угловых распределений компонент упруго-пластических напряжений

3.3. Радиальные МКЭ-распределения компонент напряжений

3.4. Расчет направления роста трещины по критерию максимальных нормальных напряжений

3.5. Расчет траектории роста трещины по параметру зоны процесса разрушения

3.6. Расчет параметров смешанности в упругой и упруго-пластической постановке

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СТЕСНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛНОГО

ДИАПАЗОНА СМЕШАННЫХ ФОРМ ДЕФОРМИРОВАНИЯ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ

4.1 Полярные распределения напряжений второго члена разложения

4.2. Расчет структурных компонентов второго члена разложения

4.3. Расчет параметра трехосности упруго-пластических напряжений

4.4. Соотношения между параметрами смешанности и стеснения при разрушении

ВЫВОДЫ

Введение диссертация по механике, на тему "Параметры смешанных форм деформирования с учетом кривизны вершины трещины"

Одной из фундаментальных основ инженерных наук является механика разрушения. Цель механики разрушения - выяснение условий и предотвращение разрушения машин и элементов конструкций. В материалах и элементах конструкций на различных стадиях изготовления и эксплуатации происходит накопление и развитие микродефектов, которые приводят к возникновению макротрещин. Основой развития механики разрушения явились фундаментальные работы А.Гриффитса, Г.Вестер гарда, Дж.Ирвина, Н.И.Мусхелишвили, Г.И.Баренблатта, Г.П.Черепанова, В.В.Панасюка, H.A. Махутова, Е.М. Морозова и др. [2, 36, 42, 49, 91, 35, 34]. Механика разрушения охватывает такие отрасли знаний, как физика, материаловедение, прикладная механика и сопротивление материалов. Более подробный обзор механики разрушения можно найти в монографии Д.Броека [5].

Анализ поведения элементов конструкций под действием эксплуатационного нагружения в состоянии упругости, пластичности, ползучести и разрушения является предметом рассмотрения механики деформируемого твердого тела. В этой отрасли знаний, как и во многих других, удачно сочетаются фундаментальные аналитические подходы и приближенные численные решения. Эффективное применение аппарата механики деформируемого твердого тела в исследовательских и прикладных целях требует глубоких знаний составляющих её разделов - теорий упругости, пластичности, ползучести и механики трещин. Классическое изложение данных основ можно найти в работах С.П.Демидова, А.А.Ильюшина, В.Новацкого, Ю.Н.Работнова, А.И.Лурье, В.Н.Шлянникова, А.А.Яблонского и др. [8, 14, 37, 44, 57, 31, 64].

Обзор литературы показывает, что в последнее время специалисты уделяют особое внимание задачам о наклонных трещинах, которые в механике разрушения относятся к разделу смешанных форм деформирования. Смешанными формами разрушения принято называть ситуации, когда наклонные трещины развиваются не в направлении их исходной ориентации. Направление и траектория роста наклонных трещин как правило заранее не известны. Более изучены в этом плане только частные случаи смешанных форм разрушения — нормальный отрыв и чистый сдвиг. В этих случаях проблем с прогнозированием направления и траекторий роста трещин не возникает.

Традиционные критерии, модели состояния и параметры механики трещин должным образом не учитывают специфику смешанных форм деформирования. Влияние вида нагружения, в частности, двухосности напряжений реализуется через зону пластической деформации в области вершины трещины, что предполагает проведение исследований в упруго-пластической постановке. В этой связи актуальной становится разработка параметров и критериев механики трещин при сложном напряженном состоянии, основанных на упруго-пластическом анализе области вершины трещины при соответствующем учете граничных условий, отражающих вид смешанных форм деформирования.

В последнее время в России и за рубежом обсуждается проблема эффектов стеснения, которая особенно актуальна для условий маломасштабной и развитой текучести [129, 72, 73, 74, 58]. Особая значимость этой проблемы обусловлена практическими приложениями, связанными с интерпретацией упруго-пластических характеристик сопротивления конструкционных материалов разрушению при статическом деформировании. Однако известные экспериментальные и теоретические результаты не рассматривали задачу определения параметров смешанности и стеснения для трещин с учетом кривизны вершины трещины.

Долгое время считалось, что напряжения и перемещения в области вершины трещины с достаточной точностью можно описать при любых условиях внешнего нагружения на основе одночленного асимптотического представления типа Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР) [46, 99, 100, 135]. Однако, как показывают исследования последних лет, однопараметрический подход ХРР-типа в определении напряженно-деформированного состояния отражает не полную картину происходящего и может содержать существенные погрешности. В связи с этим возникает необходимость моделировать состояние в вершине наклонной трещины с конечным радиусом кривизны с учетом членов более высоких порядков на основе двухчленного или трехчленного разложения параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в ряд по радиусу.

В этой связи в настоящей работе поставлена цель разработать и обосновать модель напряженно-деформированного состояния наклонных трещин с конечным радиусом кривизны в упруго-пластическом материале с учетом членов высоких порядков и провести на этой основе анализ эффектов стеснения в полном диапазоне смешанных форм деформирования для плоской задачи.

Для достижения цели в работе были поставлены следующие задачи:

• разработать методику определения параметров смешанных форм деформирования в нелинейной области вершины трещины с конечным радиусом кривизны;

• провести комплексный анализ структуры полей параметров НДС для непосредственного учета смешанных форм деформирования через члены второго порядка с учетом радиуса кривизны вершины трещины;

• оценить влияния радиуса кривизны вершины трещины на поведение параметров смешанных форм разрушения;

• обосновать понятие параметра стеснения и установить взаимосвязь между параметрами смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны.

Научная новизна работы состоит в:

• количественной оценке влияния вида нагружепия в сочетании с ориентацией трещины и пластических свойств материала на поля НДС и параметры смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны;

На защиту выносятся:

• сравнительная оценка параметров НДС, полученных по двухчленной модели и одночленной модели для задач смешанных форм деформирования;

• оценка влияния кривизны вершины трещины на параметры смешанных форм деформирования и параметры стеснения;

Практическая значимость настоящей работы заключается в возможности учета эффектов стеснения при определении характеристик сопротивления материала разрушению при статическом деформировании в условиях смешанных форм нагружения. В результате выполненного исследования предоставлена возможность количественной оценки влияния угла исходной ориентации, радиуса кривизны и расстояния до вершины трещины на параметры НДС при двухосном нагружении в нелинейной области вершины трещины для полного диапазона смешанных форм деформирования.

Результаты выполненных исследований представлены в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из 172 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

выводы

Проведенный в данной работе анализ параметров смешанности и эффектов стеснения в вершине трещины с конечным радиусом кривизны в полном диапазоне смешанных форм деформирования с учетом членов высоких порядков позволил сделать следующие выводы:

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Кислова, Светлана Юрьевна, Казань

1. Андрейкив А.Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии / Андрейкив А.Е. // Киев: Наук, думка, 1919.- С. 141.

2. Баренблатт Г.И. О хрупких трещинах продольного сдвига / Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. // Прикл. мех. и матем: 1961.

3. Болотин В.В. Энергетический подход к описанию роста усталостных трещин при неодноосном напряженном состоянии / Болотин В.В. // Прикл. мех. техн. физика.- 1985.- N 2.- С. 136-143.

4. Болотин В.В. Объединенные модели в механике разрушения / Болотин В.В. // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела.- 1984.- N3.-0. 127-137.

5. Броек Д. Основы механики разрушения / Броек Д. // «Высшая школа», Москва, 1980.

6. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов / Владимиров В.И.// Металлургия Москва, 1984.-С.280.

7. Гарсон А. Континуальная теория вязкого разрушения, обусловленного образованием и ростом пор / Гарсон А. // Критерии текучести и законы течения для пористой пластической среды. Теоретические основы инженерных расчетов. 4.1. 1977. № 1., С. 1-17.

8. Демидов С.П. Теория упругости / Демидов С.П. // Учебник для вузов.-Москва, 1979.-С. 432.

9. Долгоруков В.А. Упругопластические функции напряжений для трещин нормального отрыва и поперечного сдвига / Долгоруков В. А., Шлянников В.Н. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения, 1988.- С. 49-55.

10. Зилова Т.К. Испытание на двухосное растяжение листовых материалов с различным запасом упругой энергии / Зилова Т.К. и др. // Заводская лаборатория, 1967. №5.- С.64-57.

11. Икэда К. Хрупкое разрушение при двухосном растяжении Случай обширной и общей текучести (Сообщение 2) / Икэда К. и др. // Кобэ сэйко гихо, т.28, № 4, 1978, С. 69-73.

12. Ильюшин A.A. Пластичность / Ильюшин A.A. // ОГИЗ.- Москва, 1948.

13. Киблер Дж. Влияние двухосности напряжений на усталость и разрушение / Киблер Дж., Роберте Р. // Труды американского общества инженеров-механиков. Прикладная механика, 1970. N 4. С. 68-77.

14. Кислова С.Ю. Параметры смешанных форм деформирования для трещины в виде математического разреза / Шлянников В.Н., Кислова С.Ю. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. JVb 1.-С. 77-84.

15. Кислова С.Ю. Параметры смешанных форм разрушения с учетом конечной кривизны вершины трещины / Шлянников В.Н., Кислова С.Ю. // Деформация и разрушение материалов. 2008. № 6.-С.2-8.

16. Кислова С.Ю. Упруго-пластический расчет направления роста трещины при двухосном нагружении / Кислова С.Ю. // Труды Академэнерго. 2006. №1.-С. 165-174.

17. Кислова С.Ю. Численно-аналитический метод расчета траектории развития трещины / Кислова С.Ю. // Тезисы докладов XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта. 2007.-С. 271.

18. Кислова С.Ю. Анализ упруго-пластических параметров смешанности для наклонной трещины с конечным радиусом кривизны / Кислова С.Ю. // Тезисы докладов II Всероссийской конференции «Безопасность и живучесть технических систем» Красноярск. 2007.-С. 160-161.

19. Кислова С.Ю. Расчет параметров смешанности и стеснения для трещин с конечным радиусом кривизны / Шлянников В.Н., Кислова С.Ю. // Труды Академэнерго. 2008. № 2.-С.79-88.

20. Кислова С.Ю. Расчет параметра стеснения и его структурных компонентов в разложении с учетом членов высоких порядков / Кислова С.Ю., Шлянников В.Н. // Труды Академэнерго. 2008. № 4.-С. 57-68.

21. Красовский А .Я. Параметры структуры, контролирующие трещиностойкость конструкционных материалов / Красовский А.Я., Плювинаж Г. // Проблемы прочности.-1994.-№1.-С.18-30.

22. Красовский А.Я. Хрупкость металлов при низких температурах / Красовский А.Я. // Наукова думка, Киев, 1980.- С.337.

23. Кузнецов A.C. Методика оценки механических свойств листовых материалов при двухосном растяжении эллипсоидных сегментов / Кузнецов A.C., Зилова Т.К., Фридман Я.Б. // Заводская лаборатория, Москва, 1967. №5.-С.

24. Лурье А.И. Теория упругости / Лурье А.И. // Издательство «Наука», Москва, 1970.

25. Махутов H.A. Особенности решения задач нелинейной механики трещин при двухосном нагружении произвольного направления / Махутов H.A., Долгоруков В.А., Шлянников В.Н. // Доклады АН СССР, 1990.-Т.315.-№5, С.1073-1076.

26. Махутов H.A. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность / Махутов H.A. // Машиностроение, -Москва, 1981.- С.271.

27. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Морозов Н.Ф. //Наука, -Москва, 1984.

28. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Морозов Е.М., Никишков Г.П. // Наука, -Москва, 1980.

29. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н.И. // Наука, -Москва, 1966.

30. Новацкий В. Теория упругости / Новацкий В. // Издательство «Мир», -Москва, 1975.

31. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения / Нотт Дж.Ф. // Металлургия, Москва, 1978.-С.256.

32. Одзи К. Анализ с помощью J-интеграла пластины с центральной трещиной при двухосной нагрузке / Одзи К., Кубо С., Огура К. // Нихон кикай гаккай ромбунсю, 1982.- N.48.- С. 1522-1527.

33. Панасюк В.В. Применимость crQ-критерия для прогноза криволинейнойтраектории трещины / Панасюк В.В., Зборомирский А.И., Иваницкая Г. С., Ярема С .Я. // Проблемы прочности, 1986.- N 9. С. 3-7.

34. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / Панасюк В.В. // Киев, 1968,- С.

35. Пестриков В.М. Механика разрушения твердых тел / Пестриков В.М., Морозов Е.М. // курс лекций. Профессия, СПб, 2002. С.320.

36. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Работнов Ю.Н.//Москва, 1988.

37. Роберте Р. Распространение усталостных трещин при поперечном сдвииге / Роберте Р., Киблер Дж. // Труды американского общества инженеров-механиков. Теоретические основы инженерных расчетов, 1971, N 1. С. 204-212.

38. Сиратори М. Вычислительная механика разрушения / Сиратори М., Миеси Т., МацуситаХ. //Мир. Москва, 1986. С.334.

39. Тартыгашева A.M. Анализ эффектов стеснения в вершине трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков: дис.Тартыгашевой A.M. канд.ф.-м. наук: защищена 30.03.2006 / Тартыгашева A.M. — Казань, 2006.- 120с.

40. Черепанов Т.П. Механика хрупкого разрушения / Черепанов Т.П. // Наука. Москва, 1974.

41. Чжень В. Рост усталостной трещины при смешанном нагружении / Чжень В., Кир JIM. // Труды американского общества инженеров-механиков. Современное машиностроение, 1991.- N 7. -С. 41- 47.

42. Шанявский A.A. Безопасное усталостное разрушение элементов авиаконструкций. Синергетика в инженерных приложениях / Шанявский

43. A.A. //Уфа: Монография, 2003.- 803с.

44. Шанявский A.A. Моделирование усталостных разрушений металлов, синергетика в авиации / Шанявский A.A. // Уфа: ООО «Монография», 2007.- 500с.

45. Шлянников В.Н. Смешанные моды развития трещин при сложном напряженном состоянии обзор / Шлянников В.Н. // Завод ск. лаборатория, 1990.- 56.- С. 77-90.

46. Шлянников В.Н. Плотность энергии деформации и зона процесса разрушения. Сообщение 1. Теоретические предпосылки / Шлянников

47. B.Н. //Проблемы прочности, 1995, 11/12, С. 3-17.

48. Шлянников В.Н. Плотность энергии деформации и зона процесса разрушения. Сообщение 2. Экспериментальное обоснование / Шлянников В.Н. // Проблемы прочности, 1995, 11/12, С. 3-21.

49. Шлянников В.Н. Траектории развития криволинейных трещин в алюминиевых сплавах при двухосном циклическом нагружении / Шлянников В.Н. // Проблемы прочности, 1991.- № 6.

50. Шлянников В.Н. Вычислительная механика деформирования и разрушения / Шлянников В.Н. // Изд-во КГЭУ. Казань, 2001.

51. Шлянников В.Н. Соотношение между параметрами стеснения и повреждения через плотность энергии деформации / Шлянников В.Н. // Известия Академии наук. Энергетика, 1998. № 5. -С. 52-62.

52. Шлянников В.Н. Метод расчета членов высоких порядков в пластической области вершины трещины / Шлянников В.Н. // Проблемы прочности, 2006.- № 3. С.43-59.

53. Шлянников В.Н. Расчет амплитудных коэффициентов при ползучести для материала диска паровой турбины / Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В. // Известия РАН. Энергетика, 2006.- № 2. С.83-90.

54. Шлянников В.Н. Влияние вида напряженного состояния на поведение роторной стали при ползучести в условиях близких к разрушению / Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В. // Известия РАН. Энергетика, 2006.- № 2. С.91-100.

55. Эрдоган Ф. О развитии трещин в пластинах под действием продольной и поперечной нагрузок / Эрдоган Ф., Си Дж. // Техническая механика, 1963, № 4.

56. Эфтис Дж. Панель с трещиной под действием сдвигового напряжения / Эфтис Дж., Субрамонян Н. // Ракетная техника и космонавтика, 1980.- N 4.- С. 248-247.

57. Яблонский A.A. Курс теоретической механики / Яблонский A.A., В.М.Никифорова//Издательство «Высшая школа», Москва, 1966.

58. Adams N. Some comments on the effect of biaxial stress on fatigue crack crowth and frakture / Adams N. // Engineering frakture mechanics — 1973., V.5, P.983-991.

59. Alpa G. Validity limits of the Dugdale model Por thin cracked plates under biaxial loading / Alpa G. et all. // Engineering frakture mechanics 1979., V.12, P.523-529.

60. Anderson T.L. Elastic plastic fracture mechanics / Anderson T.L. // Fracture Mechanics. Fundamentals and Applications. CRC Press. 1995. P. 139-181.

61. ANSYS Structural Analysis Guide. 001245. Fifth Edition // SAS IP. Inc. -1999.

62. ANSYS Theory Reference. 001242. Eleventh Edition // SAS IP. Inc. 1999.

63. Antolovich S.D. A model for fatigue crack propagation / Antolovich S.D., Sakena A., Chanani C.R. // Eng. Fract. Mech.- 1975.- 7. P. 649-652.

64. Aoki S. A finite element study of the near crack tip deformation of a ductile material under mixed mode loading / Aoki S., Kishimoto K., Sakata M. // Journ. Mech. Phys. Solids 1987.- 35.- P. 431-455.

65. Arun R.Y. A finite element investigation of the effect of crack tip constraint on hole growth under mode I and mixed mode loading / Arun R.Y., Narasimhan R. // Int. J. Solid. Struct. 1999. - 36. - P. 1427-1447.

66. Ayatollahi M.R. Determination of T-stress from finite element analysis for mode I and mixed mode I/II loading / Ayatollahi M.R., Smith D.J., Pavier M.J. //Int. J. Fract. 1998. - 91. - P. 283-298.

67. Ayatollahi M.R. Crack-tip constraint in mode II deformation / Ayatollahi M.R., Smith D.J., Pavier M.J.//Int. J. Fract. 2001. - 113. - P. 153-173.

68. Betegon C. Two-parameter characterization of elastic-plastic crack-tip fields / Betegon C., Hancock J.W. // J. Appl. Mech. 1991. - 58. - P. 104-110.

69. Bhattacharjee D. Ductile fracture in HY100 steel under mixed mode I/Mode II loading / Bhattacharjee D., Knott J.F. // Acta metall. mater. V.42. N.5. 1994. P. 1747-1754.

70. Brown M.W. Direct orientation in fatigue under multiaxial stress-strain conditions / Brown M.W., Miller K.J. // Proc. 1st Int. Symp. Tuczno, Oct. 1318, 1980, P. 29-38.

71. Chao Y.J. Higher-order asymptotic crack-tip fields in power-law creeping material / Chao Y.J., Zhu X.K., Zhang L. // Int. J. Solid. Struct. 2001. - 38. -P. 3853-3875.

72. Chrysakis A.C. Improvement of the max crr, max xrQ and max <j\ criteria formixed mode fracture / Chrysakis A.C. // Eng. Fract. Mech.- 1987.- 26.- P. 651-656.

73. Clayton J.Q. Phosphorus segregation in austenite in Ni-Cr and Ni-Cr-Mn steels / Clayton J.Q., Knott J.F. //. Metal Sci 16. 1982. P. 145-152.

74. Dugdale D.S. Yielding of steel containing slits / Dugdale D.S. // Journ. Mech. Phys. Solids I960.- 8.- P. 100-108.

75. Eftis J. Biaxial load effects on the crack boarder elastic strain energy and strain energy rate. / Eftis J. et al // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 753-764.

76. Eftis J. Crack border stress and displacement equations revisited. / Eftis J., Subramonian N., Liebowitz H. // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 189-210.

77. Eftis J. The inclined crack under biaxial load. / Eftis J., Subramonian N. // Eng. Fract. Mech. 1978. - 10. - P. 43-67.

78. Ellin F. Multiaxial fatigue damage criterion / Ellin F., Golos K. // Trans ASME J. Engng. Mater. Tech. N.l. 1988. P. 63-74.

79. Erdogan F., Sih G.C.: Trans. ASME, J. Basic Eng. 85(1963), p.519-527.

80. Gdouts E.E. The influence of specimen's geometry on the crack extension angle / Gdouts E.E. // Eng. Fract. Mech.- 1980.

81. Ghosal A.K. A finite element study of the effect of void initiation and growth on mixed-mode ductile fracture / Ghosal A.K., Narasimhan R. // Mech Mater 25. 1997. P. 113-127.

82. Goldman N.L., Hutchinson J.W. Int. J. Solids Struct. 1975.- N 11,- P. 575.

83. Goldstrein R.V. Brittle fracture of solids with arbitrary cracks / Goldstrein R.V., Salganik R.L. // Int. Journ. Fract. 1974. - 10. - P. 507-523.

84. Griffits A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids / Grifflts A.A. // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1920.

85. Hauser H.L. Kopp, u. H.Spohn: Ist der gegenwartige Stand der Technischen Regeln für druckfuhrende Bauteile unzulänglich // VGB Kraftwerkstechnik 60 (1980), S. 153/63.

86. He M.Y. Surface crack subject to mixed mode loading / He M.Y., Hutchinson J.W. // Eng. Fract. Mech. N.65. 2000. P.l-14.

87. Henry D.S. The stress triaxiality constraint and the Q-value as ductile fracture parameter / Henry D.S., Luxmoore A.R. // Engng.Fract.Mech.- 1997.- 57.-P.375-390.

88. Hilton P.D. Plastic intensity factors for cracked plates subjected to biaxial loading / Hilton P.D. //Int. Journ. Fract.- 1973.- 9.- P. 149-156.

89. Hilton P.D., Hutchinson J.W. Engng Fracture Mech.- 1971,N 3, P.435.

90. Howard I. A method of estimating biaxial fatigue growth rates / Howard I. // Fatigue Eng. Mater. Struct.- 1980,- 3. P. 265-270.

91. Hunt R.T. Crack propagation and residual static stength of stiffend and unstiffend sheet / Hunt R.T. // Current aeronautical fatigue probleme. Proceedings of a Symposium held in Rome Pergamon Press, New-York, 1960, p.287-324.

92. Hutchinson J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip / Hutchinson J.W. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - 16. - P. 337-347.

93. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material / Hutchinson J.W. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. — 16.-P. 13-31.

94. Hutchinson J.W. Fundamentals of the phenomenological theory of nonlinear fracture mechanics / Hutchinson J.W. // Journ. Appl. Mech. 1983. - 50. - P. 1042-1051.

95. Kardomateas G.A. Displacement fields for mixed mode elastic-plastic cracks / Kardomateas G.A. //Eng. Fract. Mech.- 1986.- 25. P. 135-139.

96. Kislova S.Yu. Mode mixity and constraint parameters accounting for crack tip curvature / Shlyannikov V.N., Kislova S.Yu. // Proceedings of 17th European

97. Conference on Fracture "Multilevel approach to fracture of materials, components and structures". Brno. Czech Republic. 2008.-P.1201-1208.

98. Larsson S.G. Influence of non-singular stress terms and specimen geometry on small-scale yielding at crack tips in elastic-plastic materials / Larsson S.G., Carlsson A.J. // J. Mech. Phys. Solids 21: 263-272. 1973.

99. Lee J.D. The nonlinear and biaxial effects on energy release rate, J-integral and stress intensity factor / Lee J.D., Liebowitz H. //Eng. Fract. Mech.- 1977.9.- P. 765-779.

100. Lee J.D. Technical Rept / Lee J.D., Liebowitz H. // School of Engineering and Applied Science, The George Washington Univ., Submitted to ONR, 1975.

101. Leevers P.S. Fracture trajectories in a biaxially stressed plate / Leevers P.S., Radon J.C., Culver L.E. // Journ. Mech. Phys. Solids.- 1976. 24.- P. 381395.

102. Leevers P.S. Crack growth in plastic panels under biaxial stress / Leevers P.S., Radon J.C., Culver L.E. // Polimer, V.17, P. 627-632.

103. Li Y. High-order asymptotic field of tensile plane-strain nonlinear crack problems / Li Y., Wang Z. // Scientia Sinica (series A). 1986. - 29. - P. 941955.

104. Matvienko Y.G. Some problems in linear and nonlinear fracture mechanics / Matvienko Y.G., Morozov E.M. // Eng. Fract. Mech. 1987. - 28. - P. 127138.

105. Mauer W. Schaden und Reparaturmassnahmen an Speisewasserdruckbehaltern / Mauer W., P.Strasser // VGB Kraftwerkstechnik 55 (1975), s. 330/35.

106. McClintock F.A. A criterion for ductile fracture by growth of holes / McClintock F.A. // J Appl Mech 35. 1968. P. 324-334.

107. McMeeking R.M. Finite deformation analysis of crack-tip opening in elastic-plastic materials and implications for fracture / McMeeking R.M. // Journ. Mech. Phys. Solids.- 1977. 25. -P. 357-381.

108. Miller K.J. Fatigue under complex stress / Miller K.J. // Metal Science.-1977,- 11.-P. 432-438.

109. Miller K.J. An elastic-plastic finite element analysis of crack tip fields under biaxial loading conditions / Miller K.J., Kfouri A.P. // Int. Journ. Fract.-1974,- 10.- P. 393-404.

110. Murakami Y. A simple proudure for the accurate determination of stress intensity factors by finite element methode / Murakami Y. // Engineering fracture mechanics. 1976, V.8, N 4, P. 643-655.

111. Narasimhan R. A finite element analysis of small-scale yielding near a stationary crack under plane stress / Narasimhan R., Rosakis A.J. // Journ. Mech. Phys. Solids.- 1988.- 36. P. 77-117.

112. Narasimhan R. Three-dimensional effects near a crack tip in a ductile three-point bend specimen: part I-A numerical investigation / Narasimhan R., Rosakis A.J. //Journ Appl. Mech. 1990.- 57.- P. 607-617.

113. Naumann K.F. Das Buch der Schadensfalle / Naumann K.F. // Stuttgard, 1980.

114. Needleman A. An analysis of ductile rupture modes at a crack tip / Needleman A., Tvergaard V. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1987,- 35.- P. 151-183.

115. Neimitz A. Jump-like crack growth models or theory of critical distances. Are they correct? / Neimitz A. // ESISNewsletter № 44. 2008. P.20-26.

116. Neuber H. Uber die Berücksichtigung der Spannungskonzetration bei Festigkeitsberechungen / Neuber H. // Konstruction. 1968.- 20.-S.245-251.

117. Neville D.J. On the distance criterion for failure at the tips of cracks, minimum fracture toughness, and nondimensional toughness parameters / Neville D.J. //Journ. Mech. Phys.Solids.- 1988.- 36. P. 443-457.

118. Nguyen B.N. On higher-order crack-tip fields in creeping solids / Nguyen B.N., Onck P.R., E. van der Giessen. // J. Appl. Mech., Trans ASME 2000. -67. - P. 372-382.

119. Nikishkov G. P. An algorithm and f computer program for the three-term asymptotic expansion of elastic-plastic crack tip stress and displacement fields /Nikishkov G. P. // Engng. Fract. Mech. 1995. - 50. - P.65-83.

120. O'Dowd N.P. Applications of two parameter approaches in elastic-plastic fracture mechanics / O'Dowd N.P. // Engineering Fracture Mechanics 1995.52. - P. 445-465.

121. Orowam E. Brittle fracture of notched specimens / Orowam E. // Repts Progr. Phys.-1948.- 12, № 11.-P. 185-199.

122. Papadopoulos G.A. Crack initiation under biaxial loading / Papadopoulos G.A. //Eng. Fract. Mech. V.29. N.5. 1988. P. 585-598.

123. Radon J. Stress biaxiality effects on slow crack growth in PMMA / Radon J. //Proc. 5th Int. Conf. Fract. Cannes, 1981, V.2.

124. Rice J.R. Limitations to the small yielding approximation for crack tip plasticity / Rice J.R. //Journ. Mech Phys. Solid. 1974.- 22.- P. 17-26.

125. Rice J.R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material / Rice J.R., Rosengren G.F. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - 16. -P. 1-12.

126. Rice J. R. A path Independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks / Rise J.R. // ASME/ 1967.

127. Ritchie R.O. On the relationship between critical tensile stress and fracture toughness in mild steel / Ritchie R.O., Knott J.F., Rice J.R. // Journ. Mech. Phys. Solids.- 1973.-21. P. 395-410.

128. Roy Y.A., Narasimhan R. J-Dominance in mixed mode ductile fracture specimens / Roy Y.A., Narasimhan R. // Int J Fract 88, 1997, pp. 259-279.

129. Schuller H.J. Beurteilung von im Betrieb nachgewiesenen Rissen im Schweissnahtbereich / Schuller H.J., P. Lobert, H. Christian // Der Maschinenschaden 53 (1980), S. 141/51.

130. Shanyavsky A.A. Fracture surface development in an overloaded D16T Al-alloy subjected to biaxial loading. A fractographic analysis / Shanyavsky A.A., Orlov E.F. // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. V.20, N.2. 1997. P. 151166.

131. Shanyavsky A.A. Fractographic analyses of fatigue crack growth in D16T alloy subjected to biaxial cyclic loads at various R-ratios / Shanyavsky A.A., Orlov E.F., Koronov M.Z. // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. V.18, N.ll. 1995. P. 1263-1276.

132. Shanyavsky A.A. Shear lips on fatigue fractures of aluminium alloy sheets subjected to biaxial cyclic loads at various R-ratios / Shanyavsky A.A., Koronov M.Z. // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. V.17, N.9. 1994. P. 10031013.

133. Shanyavsky A.A. Development of semi-elliptic fatigue cracks in AK6 aluminium alloy under biaxial loading / Shanyavsky A.A. // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. V.19, N.12. 1996. P. 1445-1458.

134. Sharma S.M. Determination of higher-order terms in asymptotic elastoplastic crack tip solutions / Sharma S.M., Aravas N. // J. Mech. Phys. Solids. 1991. -39.-P. 1043-1072.

135. Shih C.F. Small-scale yielding analysis of mixed plane strain crack problem / Shih C.F. // Fracture Analysis. ASTM STP 560. American Society for Testing and Materials, Philadelphia. 1974. - P. 187-210.

136. Shlyannikov V.N. Characteristics of fatigue-crack resistance of aluminium alloys in combined modes of failure under biaxial loading / Shlyannikov V.N. // Strength of Materials, Vol.26, N 3, 1994.

137. Shlyannikov V.N. A model for prediction crack growth rate for mixed mode fracture under biaxial loads / Shlyannikov V.N., Braude N.Z. // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct.- 1992,- 15.-P. 825-844.

138. Shlyannikov V.N. Biaxial loading effect on higher-order crack tip parameters / Shlyannikov V.N., Ilchenko B.V., Boychenko N.V. // Journal of ASTM International, V.5, № 8.

139. Shlyannikov V.N. Modelling of crack growth by fracture damage zone / Shlyannikov V.N. // Theoretical and Applied Fracture Mechanics 25. 1996. P. 187-201.

140. Shlyannikov V.N. Elastic-plastic mixed mode fracture criteria and parameters / Shlyannikov V.N. // Springer, Berlin, 2003. - 248 p.

141. Sih G.C. Some basic problems in fracture mechanics and new concepts / Sih G.C. // Engng Fract Mech 5. 1973. P. 365-377.

142. Sih G.C.: Mechanics of fracture I. Leyden 1973.

143. Sih G.S. Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems / Sih G.S. //Int. Journ. Fract.- 1974.- 10.- P. 305-321.

144. Sih G.C., Liebowitz H. Fracture (Ed. H. Liebowitz), Academic Press, New York, vol.2, P.67.

145. Smith R.N. Second-order terms and strain energy density for the angled crack problem / Smith R.N. // Eng. Fract. Mech.- 1987.- 26.- P. 463-469.

146. Tanaka K. Fatigue crack propagation from a crack inclined to the cyclic tensile axis / Tanaka K. // Eng.Fract.Mech.- 1974.- 6.- P. 493-507.

147. Taylor D. Predicting brittle fracture using the theory of critical distances: constraint effects / Taylor D. // Mechanical Engineering Dept.

148. Taylor D. The theory of critical distances to predict static strength of notched brittle components subjected to mixed-mode loading / Taylor D., Susmel L. // Eng. Fract. Mech. 2007.

149. Taylor D. The theory of critical distances / Taylor D. // accepted manuscript.

150. Theocaris P.S. A higher-order approximation for the T-Criterion of Fracture in Biaxial Fields / Theocaris P.S. // Engng Fract Mech 19. 1984. P. 975-991.

151. Theokaris P.S. A modified strain energy density criterion applied to crack propagation / Theokaris P.S., Andrianapoulos N.P. // Joum. Appl. Mech.-1982.- 49.-P. 81-86.

152. Tvergaard V. The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic plastic solids / Tvergaard V., Hutchinson J.W. // J Mech Phys Solids 40. 1992. P/ 1377-1397.

153. Tvergaard V. Ductile fracture by cavity nucleation between larger voids / Tvergaard V. // J. Mech. Phys. Solids. 1982. 30, №> 4. P. 265-286.

154. Ueda Y. Characteristics of brittle fracture under general combined modes including those under bi-axial tensile loads / Ueda Y., Ikeda K., Yao T., Aoki M. // Eng. Fract. Mech. V.18.N.6. 1983. P. 1131-1158.

155. VDI 3822, Bl. 1 bis 6: Schadensanalyse.

156. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack. / Williams M.L. // J. Appl. Mech. -1957. 24. - P. 109-114.

157. Woo C.W. On angled crack initiation under biaxial loading / Woo C.W., Ling L.H. // Journ. Strain Analysis.- 1984.- 19. P. 51-59.

158. Yang S. Higher order asymptotic fields in a power law hardening material / Yang S., Chao Y.J., Sutton N.A. // Engng. Fract. Mech. 1993. - 45. - P. 1-20.

159. Yuan H. Effects of biaxial loading on three-dimensional crack front fields / Yuan H. // Schwalbe KH, Berger C (eds.) Proc 10-th Biennial European Conference on Fracture, Berlin, pp.493-503. -1994.

160. Zhu X.K. Characterization of constraint of fully plastic crack-tip fields in non-hardening materials by the three-term solution / Zhu X.K., Chao Y.J. // Int. J. Solid. Struct. 1999. - 36. - P. 4497-4517.