Переходные явления для марковских процессов с конечным множеством состояний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

» *"

Академ г я наук УкраТни Ордена Трудового Червоного Прапора 1нститут математики

На правах рукопису

К1НАШ Ореот Михайлович

ПЕРШДН1 ЯВИЩА ДЛЯ МАРКГВСЬКЙХ ПРОЦЕШВ 31 СК1НЧШ0Ю МНОШЙОЮ CTAHIB

01.01.05 - TeopiH ймов!рностей i математичта статистика

Автореферат. дисертацГг на здобуття вченого ступеня кандидата зико- математичних наук

Ки'1'в - 1992

Робота вйконана у в!дд1л! теорп випадкових npoi;eciB 1нотитуту математики АН Украпш.

Науковий кер!вник: доктор зико-математичних наук, професор ШУРЕНКОВ В.М.

OJiuißHi опоненги: доктор ф{зико-математичних наук, професор AHIGIM0B В.В., доктор ф{зико-математичних наук, старший науковий cniBpoöiTiuiK СВЩУК A.B.

Ведуча орган!зац1я: 1нститут прикладки математики t механ!ки АН Украгни, м. Донецьк

Захист дисертацН в1дбудеться -16 (лПм^у_199_£р.

о ^ годин! на зас1данШ спещал13с>вано1 ради Д 016.50.01! при 1нститут! математики АН Укра}'ни за адресою: 252601, Ки1в-4 ГСП, вул Терещенк1вська, 3.

, 3 дисертад!ею мокла ознайоштися в 61бл10тец} 1нституту.

Автореферат роз }слано 2. 9 лм иО и*^" 199 ¿ р.

Вчений секрвтар спец1ал!зовано'1 ради

ГУСАК Д.В.

пг.^г' '. ""'ЛЯ

ЗАГМЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теми.ДисертаШйна робота присвячена вивченню асшптотичшп' повед1нки перех1дних 1Мов!рностей однородного мар-к!вськога процесу. Це питания мае досить батату {стор{ю, що бере початок в роботах А.А.Маркова, А.Н.Колмогорова, В.Дьоблша. У випадку ергодичних процес1в усп!хи у вивченн! проблеми збгшюс-т! лерех!дних 1мов1рностей до стац!онарного розпод!лу зв"язаШ з роботами П.Лев!, 1\Е.Харр!са, С.Орх. Значних результаты в роз-глядуваному питанн! вдалося досягнути завдяки використашш мето-д!в теорП в1дновлення, а кошфетнШе застосуванню теорем, що належать Феллеру, Ердешу, Полларду 1 в!дошх також шд назвога теорем В1дновлення. Дан! теореми встановлюють ¿снування границ! так званого р!вняння в!дновлення. Вивченню перех1дних явищ для Р1вняння в!дновлення Гфид1лено багато уваги в роботах Д.С.СНль-вестрова, В.М.Шуренноаа, О.В.В"юг1на.

В дан!й роботI переходи! явища для теорем в!дновлення зас-тосовуються до вивчення повед!нки марк!вських процес!в, що забежать в1д малого параметра таким чином, що коли цей малий параметр прямуе до нуля, то даний процес прямуе до деякого процесу з в!домою асшптотичнов поведанною перех1дних !мов!рност,ей. Ця задача в св!й чао досить пл!дно розв"яэувалась, у досить аагальн!й ситуащ1, А.А.Ан!с!мовим, А.Ф.Турб1шш ! IX учняш.

Мета роботи. Вивчення асимптотичног повед!нки парах¡дно! о ^

1мов!рност1 г сj(-L) однор!дного марк!вського процесу Х,х№) з1 ок!нченого мнолшною стан!в, коли о<? , £ — , а саме :

!. Знаходження такого ¿п, — О , що в асиылтотиц! Р* (¿/¿п)

О

викшочено тривтальний випадок ;

2. ДоиЦдження структури £ п, .

Методика досл!джень. В дисертаци використовуються метода,, . розв!'нут1 при вивченн! багатом!рного р!вняння в!дновлення. Кр!м цього, використовуються спец*альнг метода ! дан! матричного ана-

Л13у."

Наукова новизна. В дисертац!йн1й робот1 отримано наступи! основн! результаты :

- методами теор!!' в!дновлення встановлена асимптотика пе-рех1дних 1ЫОв!рностей однорукого марк!вського процесу з! ск!н-ченою к!льк!стю стан!в ;

- показано 1снування такого малого параметра при якому в асимптотиц! перех!дних хмов!рностей в!дсутн!й трив!алышй випа-

ДОК ;

- показано, що в якост1 такого малого параметра можна взя-ти перрон!в кор!нь невно!" матриц! ;

- детально досл!джено асимптотику перронового кореня у за-гальноглу.С не обов"язково стохастичному) випадку.

Теоретична ! практична ц!нитеть. Результата дисертац1йно1" роботи представлягать !нтерес при вивченн! марк!вських процес!в, Пллясткх процес!в, адитдвних-функщ онатп в. Також результати дисортац!I можуть бути використаШ в теорН збурення ыатриць.

Апробаы1я роботи ! дубликат!". Основн! результати дисертаци допов!дались на сем!нарах теорг I ймов!рностей ! математично'1 статистики 1нституту математики АН Украг ни, на сем! нарах по те-ор!х ймовгрностей ! теор!ЗГ випадкових Гфоцес!в Льв!вського держ-ун!верситету, на мхжнароднгй математичн1й конференщI присвячен!й 'Ю0-р!ччю народження С.Банаха ( Дьв!в, 1992 р.) , на 2-у.Уврагн-сько - Угорському симпозиум! "Новг напряги® теорП ймовгрностей

1 математичжп статистики" ( Мукачево, 1992 р. ) 1 опубл!кован! в роботах [I - 53 .

Структура 1 об"ем робота. Дисертац!я складаеться 31 вступу 1 основно-! частини, яка розбита на в!с!м параграф!в. Загальний об"см роботи / стор. машинописного тексту. Б1бЛ10граф1я скла-дае -Л0 назв.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступI подавться короткий огляд досл!ддень, що зв"язан{ з темою дасертаШ У, вшмаден! П основн! результати.

В 51 наведено ряд в}дошх результат! в, на як1 спираються використанг в робот} методи.

В $2 досл!джуеться гранична повед!нка перех!дних !мов!рнос-тей однородного марк1Вського процесу Х^ (I) з! ск!нченою множи-ною станов.

Розглядаеться, для кожного I > О , однор!дний марк1всысий процес Х^Ш з} ск1нченою.множиною стан!в В 1 з перех!дною !мов!рн!стю Р^ {1} за чао { , де I , J € Е , Будемо вважати, що '

Рь,(1) - ит />Л Ш

*> ¿ -г О </

в перекидною !иов!рн!стп деякого процесу X , який будемо па-зивати граничили для процесу (4) ,

Будемо вважати також, що винонуються наступи! умови (к): (А1) Р£$ а) * о(*) , при I - О ,

де =0 для С 1 "Ьц = / для ¿'У , - 1нтевоив-н!сть переходу з! стану I в стан j ;

(А2) - ♦ £ Ct,j * W , при 0 ,

де ?ity - ШенсивнЮть переходу для граничного цроцесу X Ш ;

Множина стан!в £ складаеться з п1Дмножин Е^ , к* /,..., I, таких, що Е - Е, 1Л. • U Et, Ек П Ещ а Ж для к t

И • i

А4 Обмаження на кояну з множин , И - i, - Л с

ергодичним процесом з! стащонарними розподглами 0?"/,..., Vf? в!ддов!дно на £/,..., Е% , де > 0 , к ^

Доведено наступну теорему.

Теотзеыа 2.2. Нехай виконуються вс! умови (А) , тод1

и» >J} - %tk№fik-

¿-+о

i -**0

при ¿е£( , je £„ ,ю lytk МЦц,, ° I

se£n v

Потргбно в1до!тити, що останн!й результат не новий (див. [щ

але отриманий !шгам шляхом.

В §3 цродовжено досл!дження асимптотики перех1дних iMOBip-

ностей введеного процесу XtU) у бШш эагалыйй ситуацГ(,

1юли присутн! ще HefcTOTHi стани.

Зауважимо, що в теорем! 2.2 ыояишвий випадок, коли ^(цШ-^л

де ^при t'k t 5д « 0 , при I Ф-к . Такий випадок наз-

вемо трив!альшш, i в цьому випадиу , а значить 1 Cij-o

при ie Ei , j£ , t к . Таким чином наявн!сть асимпто-

тичного розкладу (А2) .щэ не визначае 1стинну швидк!сть росту

параметраi (по в1дношеншо до £ I о) при як!й }снуе нетрив!аль-

I,Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем.- Киев : Наук, думка, 1978,- '¿'¿0 с.

на граница для Р^ (I Ю- Перед нами оостае задача знаходяення такого 6 3 Ъ{0 , при якому 1снуе нетрив!альна грани ця дм

р^а/т) .

Ц!й задач! присвячено §4 . В ньому приймаються нов! позна-чення. Розглядаемо для кожного п , П еЫ однор!дний марк!вський процес Хп, з! сличено» множиного отан!в Е 1 перех!дною 1Мов!рн!ствэ Рс)(Ь) за час Ь . Будемо вважати, що для виконуються наступи! умови :

(АО) Р¿} (Ь) — РЦШ , ПРИ П. - оо ;

И 91] И) - * (О * о(Ц , при Ь-0 ; Умови (АЗ) ! (А4| збер!гаються.

Ми в!дмовляемось лише В!д умови (А2) . При виконанн! згаданих умов справедлива наступна теорема. Теорема 1.4. Генуе така посл!довн!сгь ! така пос-

л!довн!сть . Ъ - матриць

Сп 3 (ске)к,е •/ '

що С^ 7/ 0 при к -и- I ,

( /¿о) - Ш *°>

оо

при I 6 Ел , ^ б Е^ , ^лМ - ий элемент матриц! ехр(1Сп].

В §5 уточнено структуру посуИдовностей I С л . Доведено наступну теорему.

Теорема Г.5. Посл!довност! ! С^ (

з теореми 1.4 можна вибрати такш чином, що ёони будуть зедов(ль-няти наступн! асимптотичн! сп!вв!дношення при я ;

- - : • Сг ¿ЕЕ ^Чь

се£к

к

де - перрон! в кор!нь, тобто д1йсне власне число з максимальною (серед ус1х власних чисел) Д1 йеною частиною, матриц! Ап,, що е обмеженням матриц! !нтенсивностей переход¡в Л

п на мно—

жину Ек '< * *>■ •> * .

В наступних трьох параграфах уточнюеться структура перроно-вого кореня. Зауважимо, що розглядаеться матрица !нтенсивностей переход!в А - Ал, що в!дпов!дае одному класу стан!в з! стацЮнарним розпод!лом. . Це на зменшуе загальн!сть, оск!ль-ки, розгладаючи асимптотику в теорем! 1.5, ми вибирали перро-н!в кор!нь з одного класу В к .

В §6 розглядаеться асимптотичний розклад црй п — <*»

оо

л » л * 21 в* . п к*/

де = г)-* 0 ! , при а , в^ -

стай! матричн! коеф!ц!енти.

Вводимо : -{13? - правий ! л!вий анулююч! вектори матриц! Л , •¿■Я*« ;

¿V, ! - преший ! Л1ВИЙ власн! вектори матриц! Л п. ,

що в!дпов!дають , де - перрон!в кор!нь матриц! Лл .

Основним результатом §6 е наступна теорема. Теорема 1.6. Нехай

0,7 > = .. . = < e>t4 т> - О,

С 5Г, ßLl > * 0. Тод!,. при (г — «> , маемо :

s* ~ Si < г* 7>.

В §7 узатальюоеться результат попереднього параграфа на випадок нестохастично'1 матриц!. Вводимо наступне означения.

Означения 1,7. Матрищо А ^ будемо називати оберненою уза-гальненою до Л , яйцо А А® « - I ~П , де

; А®7-ъ , От Л® - о .

Поэначимо V- -Л® . Доведено наступну теорему.

Теорема 1.7. Нехай ^ 5?, E>j 7у - О , j ¿-(,

<öf, ßf 7> % < я, Ö< V в4 ?> ±0.

Тод!

(I) .?» - ^ < ää\ <*> , при Г/ * !

(И)'- ; ~ ^VB, 7> + <sf, ß^ 7>J,

або

5>„ - $"/[< 5f, e,v/ß, 7> * i< sf, r>J,

при S"/ ~ с !

(in) $л ~ a, ve>, 7> . при ^»'tö4

Посл1довно, накладаючи умови на скалярн! добуткн ми приводимо до наступного твердкення.

Твердження. Нехай <0?, В; Ту = 0 , <>•••> 1-<> < яг, 7 > Ф о , < аГ , в , V В, - 0 .

б,(У&,)г7> *о , 4 < Ш, а^ V В>< 7 > * о.

Тод! • \

+ с, < Я , V 7 > ■ ~ Гг 0г \/в, Г> -* < 5Г, 7 у ] ,

при, 1 с Дг

Зауважимо, що при !нших сп!вв!дношеннях м1ж «Г, , ми отримаемо !ншу асимптотику для .В даному випадку наведено лише один !з приклад!в асимптотики для .

Рухаючись дал! 1 какладаючи посл!довно умови на скалярн! добутки ми будемо йти до загального випадку, вивчекню. якого при-свячено §8.

Ввела» *ЛптЛ . Тод! Лп * Л * 1

при п

Виводиться наступна формула, яку названо"основною формулою: уп-1 ,

= Ц<*> Т> *

и)

+ Г> , .

да т - дов!льне натуральна число.

Лда роботи з основною формулою використовуеться наступна

лема.

Дема 1.8, Нехай — о , тод1 1снують посл1довн1сть

п1 о , скачена шкала {'5',,^, . . . , 'ь^ J , тобто ^к 0 1 ^г/ 1 о (¿д) , при /г = «.' -» <*=• ,1 ск1нчений наб!р матриць В>,} , .. . , й^/ таких, що

а*- + г^в^.

Ця лема показуе природн1сть прыпущення, що матриця мае асимптотичний розклад по дея^й шкал} ^ •• • ; ^л/ > ••• » не обов"язково ск1нчен1й. А саме

Поэначимо: с; = < зГ, В; 7> ; с/

Розглянемо можлив! ситуац!I.

Ситуацгя I. Нехай 1снуе такий номер j , що с/ ф О ,1 нахай.

{_ * тС^ [ j Ы : < ет, В,(\/В4У~* ТУ *о) / Тод! ич

~ ^ < зг , (УЪп)к Ту.

к*о

В останньому сп}вв1дношенн! символ " розуи!емо таким чином, що Я)^ потр!бно зам!нити на асимптотичний розклад, роз-крити дужки 1 вибрати ыШмальн! по порядку, ненульов!, апр1ор! незр!вним! ы!ж собою доданки.

В ц!й ситуац!¥ розглядаються два виладки :

1.1. 1снуе с таке, що ^ « о () | поэначимо

К - ктЧ { I - .

Тод1 ^ * к

де * + •• 'Г % 6к ;

}.2,, НехаЙ 'О(^) , для вс!х I >/ ^ .В цьому

випадву будемо вважати, що асимптотичний розклад являеться точною р!вн!стю

¿>1

■я им* — •

£

-Г»

Нехай

< 5г> в, СУ&д ТУ =0 Ш

для вс!х ук ъО. В цьому випадну залшаетьоя в!дщжтим питания- : Чи сл!дуе тод! з (2) те, що В,? -(Г або ЗГВ^'В?

Оитуап!я 2. Будемо вважати, що !онуе такий номер ^ , що < ОТ, 7> 1 позначимо

д! = мС» { j > / : < 7> * а} ;

ВУЧ •

м

« <6, - • • • Ч- в

Розглядаються три випадки :

1снуе j , що ^ а . Позначимо

у/- {"у•• - о^)}, ад //-/ • ' .

к*0

8.2, Нахай для во!х виконуе?ься 1 1снув и<-° ( те сане, що в ситуацН I) . ПрийыемоЖ'^ . Фл ® * тод! справедлива форкула (3)

2.3, Виюонуються умови 1

О ^ - o(f/) , для вс ix J >, i ;

ii) <5f, ßf T > = О , для всtx j J .

■ Тод! f^ = o(f^) , для будь-якого j ^ i . Формула fl)

в цьому випадку практично безкорисна.

OcHOBHt положения дисертац!? опубл! кован} в настушшх роботах :

1. Кинаш О.М. Одна предельная теорема для марковских прцессов о конечным числом состояний//Укр. мат. журн.- 1990,- 42, ЛЮ,-С. 1427 - 143I.

2. Шуренков В.М., Кинаш О.М. О существовании малого параметра^/ Бесконечномерный стохастический анализ,- Киев: Ин-г математики АН УССР, 1990,- С. 114 - 117.

3. Кинаш О.М. О переходных явлениях для марковских процессов с конечным числом состояний^ Стохастические уравнения и граничные теоремы,- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1991.-С. 73 - 79.

4. Кинаш О.М. Асимптотическое поведение переходной вероятности однородного марковского процесса с конечным числом состояний

в схеме серий// Укр. мат. журн.- 1992.- 44, №4,- С. 574 - 576.

5. Kirixsb О.М. The Um Li i he Prem -tribnsiiion o-f ihe. HOHogeneoici Mix,rkov proce*,*. wi-frh finiie, 4er-*> of 4 l'he ca.se of untienU&g U^les//

Мгжнародна математична конферекц!я.щшсвячена I00-pf44D народ-ження С.Банаха, Льв1в, 6-8 травня 1992 р.: Тези допов{дей.-Льв1в, 1992.- С. 17 - 18.