Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи Сухаревский Владимир Владимирович

Перерассеянис частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на Физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Богданов Р. И.

НИИЯФ МГУ

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук,

профессор

Молчанов A.M.

ИМПБ РАН

кандидат физико-математических наук,

Кириллов A.A. НИИЯФ МГУ

Ведущая организация: Институт Обшей Физики РАН, г. Мо^ва Защита состоится д?^» 2005 г. в часов на

заседании Диссертационного совета К-501.001.17 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г.Москва, Ленинские Горы, Физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Автореферат разослан «

/Л » futt-t^ t2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К-501.001.17

доктор физико-математических наук /Поляков П.А./

1 14М /С

Общая характеристика и актуальность работы

Бурное развитие в последние десятилетия наукоемких технологий,

высокопроизводительных микропроцессоров, настоятельно требует новых исследований нелинейных моделей физических процессов. Миниатюризация, например, микропроцессоров, требует снижения рабочих токов для уменьшения тепловых потоков, т.е., понижения плотности электронных пучков вплоть до нА, с увеличением рабочей частоты. Очевидно, что речь идет о моделях поведения, например, электронного газа в полупроводниковых средах (с числом частиц меньше числа Авогадро на 9-10 порядков). Другими словами, речь идет о моделировании соответствующих ансамблей частиц в квазиравновесных состояниях.

Классические модели, например, электронного газа, апеллируют к работам Больцмана, кинетическому уравнению Больцмана и т.п. Известны трудности теоретического исследования динамики, описываемой такого ряда моделями. Речь идет о хаотическом поведении решений соответствующих уравнений математической физики и трудностями их аналитического получения и анализа. Поэтому наряду с кинетическими непрерывными моделями с середины XX столетия используются дискретные аппроксимирующие модели, которые позволяют использовать в исследованиях современные ЭВМ.

В данной работе исследуется пример дискретизации динамики частицы по времени в простейшем нелинейном случае. Мы рассматриваем частицу (и вместе с тем, ансамбль частиц), движущихся в поле сил ангармонического осциллятора, слабодиссипативно возмущенного полем сил трения. Используется коэффициент трения, афинно зависящий от фазовой координаты в одномерном случае. Невзирая на большое количество работ, связанных с ангармоническим осциллятором, с

помощью ЭВМ получены новые результ ойствах

связанных

с

широким

внедрением

миниатюрных

динамики частицы в предложенной модели, известной в зарубежной литературе как «1^(1апоУ-тар». В частности, в рамках рассматриваемой модели удается производить расчет явлений фокусировки пучков, характеризующихся определенной энергией, временем и длиной свободного пробега, температурой, давлением, и производить оценку плотностей соответствующих ансамблей, самоорганизующихся в регулярные структуры в фазовом пространстве.

Уместно подчеркнуть, что в рассматриваемой модели наряду с регулярными режимами динамики (фокусировка пучка частиц) в фазовом пространстве имеются области, отделяющие друг от друга регулярные структуры. Эти области отвечают стохастической диффузии частиц, известной в литературе под названием «паутины Арнольда», а также странных аттракторов в теории динамических систем.

Мы не анализируем свойства динамики, отвечающей области стохастической диффузии (где, в частности, могут всюду плотно лежать «рассеивающие» периодические орбиты). Наш анализ касается регулярных структур.

Научная новизна и практическая ценность

Предложенный в работе подход позволил впервые использовать двумерную дискретную динамическую систему для интерпретации термодинамических характеристик нелинейной термодинамической системы. Получены аналитические результаты, аналитически исследованы условия существования и устойчивость полученных решений для дискретной динамической системы "Во§<1апоу-тар". Этот подход может быть использован и для других динамических систем с дискретным временем.

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получение явных аналитических выражений для орбит периода 2 в модели «Во§с1апоу-тар». Построение бифуркационной диаграммы существования в вещественной области орбит периода 2.

2. Исследование топологического типа полученных орбит периода 2 на фазовой плоскости. Построение бифуркационной диаграммы топологических перестроек и существования в вещественной области орбит периода 2.

3. Термодинамическая интерпретация численных расчетов инвариантов орбит периода выше 2 для модели "Во§йапоу-шар". Получение зависимости температуры от периода орбиты, с последующей оценкой плотности частиц в приближении идеального газа.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на семинарах Кафедры квантовой статистики и теории поля Физического факультета МГУ; Международной конференции «Ломоносов-99»; Международной конференции «Ломоносов-2000»; Международной конференции «Ломоносов-2001»; Международной конференции «Ломоносов-2003»; VIII Международный Симпозиум молодых ученых, аспирантов и студентов «Техника экологически чистых производств в XXI веке: проблемы и перспективы», 2004; работа выполнялась при частичной поддержке гранта РФФИ №04-01-00115

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 138 страниц. Список литературы содержит 84 ссылки.

Введение содержит краткое описание изучаемой темы, историю вопроса, целей работы и общей структуры диссертации. Сформулированы положения, выносимые на защиту.

Статистическая механика, описывающая макропроцессы на основании усреднения по ансамблю решений микроскопических уравнений движения, восходит к работам Больцмана, Ланжевена, Планка.

В 20 веке для описания процессов в атмосфере была предложена трехмерная модель Лоренца (1969), в которой впервые были обнаружены так называемые странные аттракторы (стохастические свойства решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений), четырехмерная консервативная модель Хенона-Хейлеса связанных осцилляторов (1964), в которой наблюдались периодические орбиты (обмотки тора). В конце 70-х годов появилась одномерная модель Фейгенбаума с дискретным временем, в которой наблюдается каскад бесконечных удвоений.

Следующим этапом развития теории нелинейных систем стала

модель с дискретным временем «Во§с1апоу-тар» (также известное в

литературе как «отображение Богданова»), появившаяся в работе

АгголУБтиЬ'а с коллегами в 1993 году:

р<Л [х + [у + еу + кх{х-\)+цху\\ Цу I у + еу + кх{х-\)+цху ]'

где (х , у) е К2 - фазовые координаты, (е, ц, к) е — вещественные параметры.

Модель удачно сочетает слабую диссипативность и низкую (равную двум) размерность фазового пространства. В этой модели, в отличие от консервативных систем, существуют асимптотически-устойчивые и неустойчивые периодические решения (орбиты). Низкая размерность фазового пространства упрощает исследование модели, а слабая диссипативность позволяет применять механические понятия в применении к модели.

Работа Агго\У5тк11'а с коллегами основывается на бифуркации Богданова-Такенса восходящей к работам Богданова, Такенса, и ранее, к работам Пуанкаре, А.А.Андронова и его школы в 1930-х годах:

(

" д X + ( р. ± х) х = -

к ' д х

х3

е х - — 3

/

где ё , ¡л — вещественные параметры.

В правой части уравнения под знаком производной находится ангармонический потенциал. Слабые диссипативные поправки позволяют использовать физические понятия, развитые для консервативных систем. Например, аналогом инварианта движения будет адиабатический инвариант движения, и т.д.

Таким образом, дискретные динамические системы в приложениях зачастую связаны с непрерывными дифференциальными уравнениями. В случае бифуркации Богданова-Такенса, динамика дискретной системы намного «богаче», чем динамика прототипа с непрерывным временем. В частности, бифуркация Богданова-Такенса имеет лишь одну периодическую орбиту, а в модели «Во£<1апоу-тар» найдено с помощью численных экспериментов порядка 108 периодических орбит.

Одной из известных механических моделей, к которым применима бифуркация Богданова-Такенса, является ускорение Ферми. Рассматривается взаимодействие микрочастицы и движущегося с постоянной скоростью облака частиц. Если пробная частица обгоняет облако, то из-за соударений частица замедляется, если же облако обгоняет частицу, то она ускоряется. Движение пробной частицы в слабо-диссипативном возмущении поля потенциальных сил описывается уравнением Ньютона:

• д1! ^ АГ

V =---(- А

а диат '

дх

Мы вводим поле диссипативных сил с помощью вязкости в виде:

Р'оисст =/{е,Ц,х)х,

где для простоты полагаем:

/{е,ц,х) = е + цх.

В области, где /(с,р,х) < 0, пробная частица получает энергию(возбуждается).

В диссертации рассматривается система с дискретным временем «Bogdanov-map», полученная из непрерывной модели дискретизацией по полуявной схеме Эйлера.

Преимуществом полуявной схемы дискретизации является возможность ее физической интерпретации: она учитывает поток тепла в форме закона Фурье на свободном пробеге на шаге дискретизации (поток пропорционален градиенту температуры). Таким образом, мы рассматриваем движение частицы, которая через шаг дискретизации (постоянный в собственном времени) меняет направление движения, а на пути свободного пробега взаимодействует с окружающей средой по закону Фурье. В условиях модели мы можем предполагать, что среда характеризуется температурой; поле температур Щх) предположим пропорциональным плотности среды:

Другими словами, распределение плотности в облаке пропорционально и(х), и распределение температур пропорционально плотности. Коэффициент вязкости можно представить в следующем виде:

Мы приходим к выводу, что силы вязкости распадаются на два слагаемых:

- кинематическая вязкость е х,

- обобщенная тепловая сила Р = ц—г*.

дх

Действительно, умноженное на А/ = /г, дает импульс обобщенной тепловой силы:

к-л, e'U -Л, 52f/A

= f-r-rxAt = ц—= ах ох

dU dU

дх х+Ьх дх X

Следовательно, импульс обобщенной тепловой силы пропорционален потоку тепла в форме Фурье вдоль траектории свободного пробега частицы.

Отметим, что шаг дискретизации допускает простую интерпретацию - это ни что иное, как время "свободного пробега" частицы в поле внешних сил Щх), причем во время "свободного пробега" учитывается радиационное взаимодействие с окружающей средой. Можно сказать, что мы получаем модель движения частицы с перерассеянием, определяемым полем масс (температур) 1}(х), через постоянные интервалы времени. Таким образом, имеется возможность исследовать квазиравновесные состояния предложенной модели газа, выгодно отличающейся своей простотой от моделей, предложенных ранее, и восходящих еще к работам Больцмана.

Первая глава диссертации посвящена описанию модели «Во£с1апоу-тар»:

ГдЛ (х + \у +еу + кх(х-])+цху\\

\у) ^ у +еу+кх(х-\)+цху )'

где (х , у) е К - фазовые координаты, (е, ц, к) е К3 — вещественные параметры.

Модель основывается на бифуркации Богданова-Такенса:

х + { ¡i ± х} х ^

д х

SX- —

3

где ê , fi - вещественные параметры.

Проведя замену переменных, из бифуркации Богданова-Такенса можно получить следующее (глобальное, xe[-0.5;l]) семейство:

. , . . ч . д f х2 х3

х + I S + и JCI X ------

v И ' д X [2 3

где s, fi - малые вещественные параметры; s, fi «\.

Дискретизуя глобальное семейство по полуявной схеме Эйлера, после соответствующей перенормировки х и у = х, получаем отображение, называемое "Во§с1апоу-тар". Вновь появившийся параметр к пропорционален квадрату шага дискретизации.

Основной результат этой главы заключается в получении явных формул для решения системы нелинейных уравнений для орбит периода 2 (бистабильных состояний) в модели "Bogdanov-map". Определение. Бистабильными состояниями называются решения уравнения 32(х0, Уа) = (х„, Уо) при условии ?(х0, у,) * (х0, уа) . Иными словами,вычисляются периодические орбиты "Во§(1апоу-шар" периода 2.

Рис 1. Схематическое изображение бистабильного состояния: переход из одной точки в другую происходит под влиянием отображения Богданова.

Лемма Бистабильные состояния (орбиты периода 2) определяются формулами:

_ (к - 2(е + 2)Х* + 2/л) ± -Щк - 2(е + 2)\к + 2ц\к + 2/1 + 2{е + 2)) 2{к + Жк + 2М)

у =2х -к~2(£ + 2> *л и к+ц

с естественной областью определения.

Обозначение. Орбиты периода 2 исследуются с помощью пяти линейных форм от параметров (е, /I, к) е К3:

/, = к-2(е +2) /2 = А+2(е +2)+2ц • /3 = к 1(=к+2ц 1ь=к+ц.

Динамическая система "Bogdanov-map" зависит от трех вещественных параметров. Полученные формулы позволяют описать бифуркационную диаграмму в пространстве этих параметров (рис. 2).

Бифуркационная диаграмма определяет разбиение пространства параметров (с, ц, к) на открытые, односвязные области общего положения, в которых интересующие нас характеристики орбиты не изменяются. Такими характеристиками могут быть:

- вещественность координат орбиты в фазовом пространстве,

- конечность значений координат орбиты,

- топологический тип орбиты.

Таким образом, при пересечении границ бифуркационных областей орбиты могут испытывать различные перестройки:

- уходить в комплексную (вещественную) область,

- «влипать» в неподвижные точки,

- убегать на бесконечность,

- менять топологический тип.

Вещественным значениям координат бистабильных состояний соответствует десять областей в пространстве параметров (с, ц, к), выделенных на рис.2 штриховкой (здесь рассматривается верхняя полусфера, на ней заштриховано пять областей).

Рис.2. Верхняя единичная полусфера с центром в точке £ = -2, пересеченная с бифуркационными плоскостями. Штриховкой выделены области вещественности решений.

Бифуркационная диаграмма вещественности и конечности координат бистабильных состояний состоит из 5-ти плоскостей в пространстве параметров (18 бифуркационных областей).

Также, в дополнение к математическим результатам по орбитам периода 2 в «1^<1апоу-тар», показано, что модель гармонического слабодиссипативного осциллятора допускает наличие бистабильных состояний. Доказано также, что количество орбит периода 3 в «Вод<1апоу-шар» не более трех. Излагается геометрический метод нахождения орбит периода 4.

Представлен обзор литературы по соответствующим темам.

Вторая глава посвящена исследованию топологической устойчивости бистабильных состояний. С учетом разделения бистабильных состояний (орбит периода 2) на орбиты седлового и не-седлового (узел,фокус) типов бифуркационная диаграмма состоит из 28 областей.

В случае орбит периода 2 (бистабильных состояний), необходимо линеаризовать квадрат отображения в бистабильной точке. Матрица

12

линеаризации будет якобианом орбиты периода 2. Если эта матрица невырожденна, то она определяет топологический тип особой точки по Пуанкаре. Якобиан орбиты является произведением якобианов в точках орбиты.

Таким образом, характеристика отображения, определяющая

топологический тип особой точки - это его якобиан в этой точке:

Л Р&,у) 0(х,у) '

Для двумерных отображений плоскости на себя якобиан имеет вид:

еМ.

D(x,y)

дх ду dg2 Sg2 дх ду

,где g|*|->

МХ'У))

Характеристическое уравнение Dei (А-Л Е) = О имеет решение:

TrA ± -]Тг2А - ADetA

1 = -1-.

1.2 2

Существуют следующая общеизвестная классификация периодических орбит по топологическим типам в зависимости от X:

1. /¡,ДеМ(7У2А > ADetA):

• Седловой тип: \Х,\ < 1, |Х2| > 1 (TrA ~ DetA >\,TrA + DetA > -1,7X4 > О и TrA - DetA < 1 ,TrA + DetA < -1 ,ТгА < 0);

• Узловой тип (устойчивый): |A,i|< 1, |Я.2| < 1 ('-1 < DetA < 1);

• Узловой тип (неустойчивый): |Я.1|> 1, |А,2| > 1 (DetA>1,DetA<-1);

2. Л, , Л2 е С ,1тШ(ТггА < ADetA):

• Фокус (устойчивый): ReX <1 (ТгА<2);

• Фокус (неустойчивый): ReX, > 1 (7Ы>2);

Удобно анализировать эти условия разбиения бифуркационной диаграммы на топологические типы с помощью диаграммы на плоскости (DetA, TrA) — см.рис.З. Бифуркационными границами будут линии:

Ре1А = -Тг1А, 4

Пе(А = ТгА-\, Ое1А = -ТгА -1, ТгА = 2 при Эе1А > 1.

На этой диаграмме видно, какой тип имеют неподвижные точки или периодические орбиты в зависимости от ТгА и Пе(А.

Рис 3. Диаграмма топологических состояний для отображений 2-го порядка. Парабола и три прямых разбиваю! плоскость (Ое!А,ТгА) на 9 областей: в каждой области топологический тип либо седло, либо устойчивый или неустойчивый узел или фокус.

В случае орбит периода 2 (бистабильных состояний), необходимо линеаризовать квадрат отображения в бистабильной точке.

Получены явные формулы для следа и определителя квадрата отображения Богданова в точках орбиты, позволяющие определить топологический тип бистабильных состояний:

ТгА -- 1 + ГМА - ^-^-^-*----—

к + р

ША = 1 + _к_ * + "

(к+г»)

Наиболее важной задачей является отделение гиперболических орбит (тип орбиты - седло) от асимптотически устойчивых (тип - фокус или узел). Как видно из приведенной в п.2 классификации орбит, гиперболические орбиты имеют место при следующих условиях на параметры:

к(к-2(е + 2)){к + 2(е +2) + 2//) и

к + р

(к-2(е+2

к+ц

2 + 2Л* - к(к-2(£+2Щ+2(е+2)+2М) < 0_

или

к(к-2(е + 2))(к + 2(е +2) + 2^) ^ к + /л

2 + 2 Ое!А - -Ь-^-*--^ > 0.

к + ц

Эти условия дают нам все области, где - бистабильные состояния имеют седловой (гиперболический) тип.

Срез трехмерной бифуркационной диаграммы плоскостью к~0.5 представлен на рис.4.

При изменении параметра к от нуля до бесконечности, двумерная диаграмма испытывает две топологические перестройки: сливаются области «2» и «14» , а потом «15» и «6». Поэтому в трехмерном положительном полупространстве имеется 14 односвязных областей. Аналогичные рассуждения верны и для отрицательного полупространства - там имеется также 14 односвязных областей.

Таким образом, бифуркационная диаграмма состоит из 28 областей в пространстве параметров.

С,седло , ' 1а Шшшй / \ \ч 4 г4 - - • \ ' 4 4 • сейло ^ • ч •'•У. У4. ' '

' - ~ '/У«/ XX / г , . У/\ \< Щ/Ш V- <Л - / 'Мшл .

ч чЧ \ "ЧЧ'А.* *Ч 1ШШщк ~ -С, С1 и - ' дло N(¿25 <

Рис 4 Срез трехмерной бифуркационной диаграммы (е, Ц, к) еПЗ3 при параметре

к-0 5. Жирные черные кривые - след поверхности, отделяющей седловые орбиты периода 2 от узловых и фокальных. Серым цветом обозначены области вещее гвенности координат орбит, штриховкой - области с топологическим типом «седло», пунктирной штриховкой обозначены области с топологическим типом «неустойчивый узел».

В третьей главе рассматриваются результаты численных *

экспериментов по расчету периодических орбит в модели «Bogdanov-тар», и нахождению зависимости абсолютной температуры от периода »

орбиты, а также приводятся оценки плотностей потоков частиц, оразмеренных для эксперимента по облучению слоеных плоскостных структур, где чередуются слои «микрокристалл-диэлектрическая матрица», например, 2п8е/8Юг, в электрическом ангармоническом потенциале вдоль перпендикуляра к слоям. Слоистые труктуры подбираются по своим геометрическим характеристикам для соответствия ангармоническому потенциалу.

Периодической орбитой периода v дискретного отображения называется совокупность v точек j(x( , у,) е К2, i = l,...,v| фазового

пространства, для которых g"(x„ у,) = (х„ у,) ugJ(x„y,)*(xny,)npu j<v. Здесь g"{x„ y¡) обозначает j-ю степень отображения g относительно

композиции gJ = g°...ag .

J pal

Arrowsmith с коллегами обнаружили существование периодических орбит у отображения Богданова при е,ц ~1(Г2. Богдановым с коллегами это изучение продолжено независимо при е,ц ~10"s, и обнаружено, что в слабодиссипативной дискретной динамике обнаруживаются асимптотически устойчивые (отвечают состояниям "out") и неустойчивые (соответственно , состояниям "in") периодические орбиты в количестве ~103, а также ~103 гиперболических (седловых) орбит (такое, а не, возможно, большее количество орбит обусловлено мощностью используемых в расчетах ЭВМ). В частности, было установлено, что в окрестности асимптотически (неустойчивой периодической орбиты существует гиперболическая орбита того же периода.

В последующих работах Богданова, в ходе численного эксперимента обнаружены периодические орбиты со значением периода от 2 до 108.

Каждой дискретной (вообще говоря, непериодической, или не строго периодической) орбите, асимптотически сходящейся к периодической, можно сопоставить набор адиабатически инвариантных величин, имеющих физический смысл. Адиабатическими инвариантами являются, например, средняя длина пробега частицы, средняя энергия вдоль орбиты. Для периодических орбит эти величины являются инвариантами динамики.

Анализ числовой информации упрощается с учетом того, что

множество периодических орбит разделяется на так называемые «кортежи

орбит» в соответствии со значением адиабатических инвариантов. Также

показано, что с ростом периода происходит «насыщение» для некоторых

17

адиабатических инвариантов, т.е., кривая зависимости «инвариант-период» выходит на плато.

Величина такого адиабатического инварианта, как средняя энергия, отвечающая одной группе (кортежу), выходящая на плато, отстоит от другой на расстояние А, много большее дисперсии, вычисленной для каждой группы (A>>D(E), где А~10"2, D(E)~ 10"5) - см. рис.5.

В расчетах выполнены оценки площадей областей захвата в фазовом пространстве состояний типа "in" (или "out") т.е. их статистические веса (рис.6).

Напомним, что областью захвата периодической асимптотически (не)устойчивой орбиты типа "out" ("in"), является множество точек в фазовом пространстве, итерации которых сходятся к периодической орбите при / -> +оо (t -оо).

Е

Рис 5 Зависимость величины адиабатического Рис.6. Схемагическое изображение области инварианта орбиты - средней энергии Е от захвата периодической орбиты. ^

периода орбиты V. Кривые, соответствующие различным группам параметров четко разделены.

Будем определять абсолютную температуру как параметр канонического распределения Гиббса, считая систему микрочастиц находящейся в квазиравновесном состоянии.

Замечено, что в кортеже статистические веса орбит связаны со средней энергией вдоль орбиты классическим распределением Больцмана - Гиббса:

где Q - площадь захвата одной точки асимптотически (не) устойчивой периодической орбиты, Е - среднее значение энергии вдоль периодической орбиты из набора:

E = ^¡— , v

v - период орбиты в дискретном времени (распределение Больцмана-Гиббса придает смысл частоты этой величине). В силу малое i и параметров (е, /л), площади захвата разных точек асимптотически (не) устойчивой орбиты приблизительно равны.

При расчете температуры кортеж орбит разделяется на низкопериодическую и высокопериодическую области. Высокопериодическая и низкопериодическая части кривой lnQ(v) аппроксимировались по методу наименьших квадратов, площади захвата были получены в ходе численного эксперимента.

В нормировке модели абсолютные температуры оказались заключены в пределах 10 -ИО4 . Здесь 10 -МО2 отвечает значениям v~l -НО3 (низкопериодическая область), 103 +104- v~104 -И07 (высокопериодическая область, рис.7).

Расчетные данные по "Bogdanov-map" были сопоставлены с экспериментальными в предположении, что х - координата электрона из низкоэнергетического пучка, у = х - его скорость. Такое классическое рассмотрение связано с тем, что скорости электронов далеки от релятивистских, а плотности пучка невелики.

1пО

(а. ю" ю4

10" у

Низкопериодическая область

■пит

Высокопериодическая область

Рис.7. Кривая зависимости логарифма площади захвата 1п() от периода орбиты V, полученная при численном эксперименте на ЭВМ Отрезки V - 1-105 и V ~ 104-М06 выделены аппроксимирующими прямыми. Для существующей точности численного эксперимента, температуры "разделяются хорошо".

В эксперименте рассматриваются слоеные плоскостные структуры, где чередуются слои «микрокристалл-диэлектрическая матрица», например, 2п8е/8Ю2, в электрическом ангармоническом потенциале вдоль перпендикуляра к слоям. Непосредственным измерениям подвергается спектр пропускания образца в видимом диапазоне.

Глубину потенциальной ямы ангармонического потенциала можно определить как величину энергии зоны проводимости активированного микрокристалалла-полупроводника, а максимум потенциальной энергии -как величину энергии пробоя диэлектрического слоя (таким образом, высота потенциального кора для указанного выше образца ~1.41 эВ).

Энергетические уровни, лежат в пределах от 0.15 до 1.2 эВ. Если предположить, что низкотемпературные орбиты (низкопериодический кортеж) находятся при температуре 300 К, то высокотемпературные орбиты (высокопериодический кортеж) соответствуют ~ ю3 + 104 К.

В предположении разреженного газа кинетическая энергия оценивается как ЗкТ/2.

Плотность числа электронов с фиксированной средней энергией и периодом 104 -107 (высокопериодический кортеж) оценивается как:

VI

N = -0— * Ю13 -И014,

Угкт

что позволяет с привлечением дополнительных соображений оценить потоки электронов.

В эксперименте потоки электронов плотноегью Ю19 частиц в секунду соответствует токам порядка 1А, поэтому при указанных выше предположениях модель слабодиссипативного осциллятора может сравниваться с экспериментальной динамикой, при токах порядка 1-10 мкА.

Также рассматривается возможность более общей термодинамической интерпретации дискретных отображений как термодинамических систем.

В приложения вынесены листинги программ, таблицы численных результатов.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получены явные аналитические выражения для орбит периода 2 в модели «Bogdanov-map». Построена бифуркационная диаграмма для вещественности орбит периода 2.

2. Исследована устойчивость полученных решений для координат орбит периода 2 на фазовой плоскости. Построена бифуркационная диаграмма топологической устойчивости и существования орбит периода 2.

3. Введена термодинамическая интерпретация численных расчетов инвариантов орбит периода выше 2 для модели "Во§с1апоу-тар". Получена зависимости температуры от периода орбиты, позволяющая оценить число частиц в соответствующих ансамблях.

Публикации

1. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова. Вестник МГУ, серия «Математика. Механика», №5. - М: МГУ, 2003 г., с. 3-5

2. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Вестник МГУ, серия «Физика. Астрономия», №6. - М: МГУ, 2005 г., с. 28:29

3. Сухаревский В. В. Абсолютная температура в "Bogdanov -шар". В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов - 99", секция "Физика", - МГУ, 1999, с. 202-203.

4. Сухаревский В.В. Топологические типы бистабильных состояний в "Bogdanov-map" // В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов-2001", секция "Физика", - МГУ,2001.

5. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в "Bogdanov-map"

// В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов-2000", секция "Физика", - МГУ,2000, с. 239-241.

6. Сухаревский В.В. Модель одномодового лазера с дискретным временем // В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов-2003", секция "Физика", - МГУ,2003, с. 201.

7. Генералов М.Б., Богданов Р.И., Сухаревский В.В. Оценка плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Техника экологически чистых производств в XXI веке: проблемы и перспективы. Материалы VIII Международного Симпозиума молодых ученых, аспирантов и студентов. - М: МГУИЭ, 2004, с. 144

/

Подписано к печати 17.14.СК Тираж ХСй Заказ {72

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета \'!ГУ

№22894

РНБ Русский фонд

2006-4 26440

Введение.

Глава 1. Получение аналитических выражений для координат орбит периода 2. Бифуркационная диаграмма вещественности координат орбит.

1.Постановка задачи

2.Механические модели.

3.Нахождение аналитических выражений для бистабильных состояний.

4.Исследование бифуркационных свойств бистабильных состояний (построение бифуркационной диаграммы)

5. Регуляризация полученных решений.

6. Выводы.

Глава 2. Исследование устойчивости орбит периода 2. Построение бифуркационной диаграммы топологических типов орбит.

1. Общие вопросы.

2.Исследование топологических типов орбит периода 2 (бистабильных состояний).

3.Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов

4.Нахождение бифуркационных поверхностей в пространстве параметров.

5. Определение параметров, определяющих топологический тип фокус.

6. Устойчивость бистабильных состояний.

7. Выв оды.

Глава 3. Модель перерассеяния частиц. Определение температуры и плотности потока частиц для квазиравновесной системы в ангармоническом осцилляторе

1. Постановка задачи.

2.Данные численного эксперимента.

3 . Оценка температуры.

4.Оценка плотности.

5.Дополнительные математические исследования

6.Применение методик изучения моделей с дискретным временем для модели лазера.

7. Термодинамическая интерпретация численных данных для системы "Bogdanov-map".

8. Выводы.

Актуальность и общая характеристика работы

Теоретическое исследование реальной физической системы приводит к построению упрощенной, идеализированной математической модели. Определенная идеализация всегда неизбежна, так как для построения математической модели (то есть, для составления той или иной системы уравнений, описывающих поведение физической системы) необходимо учесть лишь основные факторы, определяющие интересующие нас черты поведения системы. Определить, подходит ли данная модель (идеализация) для данной конкретной физической задачи, можно в конечном итоге, только опытным путем [1].

Такой подход к теоретическому изучению физики потребовал глубокого исследования динамических систем. Под динамической системой понимают объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени [2]. Задание закона эволюции динамической системы может быть разнообразным: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и проч. Выбор одного из этих способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [3] . Математическая модель считается заданной, если указаны координаты

1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 04-01-00115 системы, однозначно определяющие ее состояние и указан закон эволюции. Закон эволюции в операторной форме для координаты системы в N-мерном фазовом пространстве ^(0 и начального состояния ^-Оо) можно записать в виде: x(t)=Ttx(t0) f где - оператор эволюции [3] . Таким образом, оператор эволюции отображает фазовое пространство на себя.

Динамические системы классифицируют в зависимости от Т вида оператора xt и структуры фазового пространства. В этой классификации можно выделить два подкласса - системы с непрерывным и дискретным временем. Оба этих направления исторически развивались параллельно, взаимно дополняя друг друга, со времен Ньютона и Эйлера. Столь давнюю историю динамических систем можно пояснить следующим образом: для решения задач, например, по баллистике, задавалась динамическая система, основанная на уравнениях Ньютона. Системам с дискретным временем в основном отводилась роль расчетных «приближений» непрерывных систем (например, разностные схемы для аппроксимации дифференциальных уравнений, хотя не следует забывать и о задаче Фибоначчи о кроликах, датируемой 1202 годом).

С началом развития во второй половине 19 века статистической физики, дискретные модели начали приобретать самостоятельное значение, так как стала учитываться молекулярная (атомарная) природа вещества. В то же время, идеи, развитые в рамках молекулярнокинетической теории, обычно старались описывать системами уравнений с непрерывным временем [4].

Во второй половине 20 века, с появлением цифровых ЭВМ и постоянным увеличением их производительности, появилась возможность исследовать большое количество непрерывных динамических систем с помощью дискретных аппроксимаций. В то же время, получили дальнейшее развитие и принципиально дискретные модели - модель бильярда, модель клеточных автоматов и т.д. [5]. Началось численное исследование отображений, т.е., динамических систем, у которых оператор эволюции 'Ц дискретен по времени [6].

Широкое распространение дискретных систем связано, в частности, с тем, что современные ЭВМ оперируют с дискретными числовыми множествами, поэтому дискретные динамические системы, опирающиеся, например, на разностные схемы, идеально приспособлены для машинных расчетов.

Модели динамических систем с дискретным временем, построенные на основе непрерывных моделей, могут иметь и самостоятельную физическую интерпретацию [7,8]. Использование непрерывной модели в качестве основы обусловлено необходимостью физической «привязки» системы (например, используется дискретизация по схеме Эйлера уравнений Ньютона). Наряду с индивидуальными динамическими системами в приложениях приходится рассматривать семейства динамических систем, зависящих в простых случаях от конечного числа параметров.

Одной из основных задач при исследовании динамических систем является построение так называемой бифуркационной диаграммы - под бифуркацией при этом подразумевают изменение числа или устойчивости решений определенного типа (например, периодических решений). Бифуркационная диаграмма, если ее удается получить, позволяет ответить на вопросы, имеются ли соответствующие решения, устойчивы ли они и т.д [9].

Исследования динамических систем, как непрерывных, так и дискретных, можно условно разделить на два направления - исследования поведения системы в хаотических режимах и исследование периодических решений [10,11].

Данная работа посвящена исследованию периодических решений конкретной динамической системы, а именно, изучению модели динамической системы на плоскости с дискретным временем "Bogdanov-map": fx} (х + \у + еу + кх(х-\)+цху^ 8 у + еу + кх(х -1)+/ixy t где (л: , >>) е М^ - фазовые координаты, (е, ц, к) е М^ — вещественные параметры. Получены аналитические выражения для координат орбит периода 2, построена бифуркационная диаграмма существования и топологического типа периодических орбит периода 2.

Глубокое исследование орбит периода 2 обусловлено относительной простотой получения аналитических результатов [12], а также соображениями, известными из результатов численных экспериментов [13] . Дело в том, что найденные в ходе численного эксперимента периодические орбиты динамической системы с дискретным временем "Bogdanov-map" можно сгруппировать в так называемые «кортежи» по значениям адиабатических инвариантов (например, средней энергии на орбите), что значительно упрощает анализ численных данных. Оказывается также, что кортежи орбит часто содержат в себе орбиту периода 2, что в дальнейшем может позволить аналитически и численно исследовать каскад бесконечных удвоений периода типа Фейгенбаума [14,6], т.е., переход к хаотическому режиму.

Основная цель диссертации.

Основной целью диссертации является аналитическое изучение периодических орбит периода 2 (также известных в литературе как «бистабильные состояния») в модели «Bogdanov-map». Особое внимание уделяется условиям существования решений в вещественной области и исследованию топологического типа орбит периода 2.

Методы, используемые в работе, апеллируют к технике дифференциальной геометрии и топологии. Наряду с этим вводится термодинамическая интерпретация численных результатов, полученных на ЭВМ для орбит высоких порядков.

Научная новизна и практическая ценность

Предложенный в работе подход позволил впервые использовать двумерную дискретную слабо-диссипативную динамическую систему для интерпретации макрохарактеристик нелинейной термодинамической системы. Получены явные выражения, позволяющие аналитически исследовать условия существования и устойчивость полученных решений для дискретной динамической системы "Bogdanov-map". Этот подход может быть использован и для других динамических систем с дискретным временем.

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов, а также качественным сравнением с экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Получение явных аналитических выражений для орбит периода 2 в модели «Bogdanov-map». Построение бифуркационной диаграммы существования в вещественной области орбит периода 2.

Основные результаты диссертации

1. Получены явные аналитические выражения для орбит периода 2 в модели «Bogdanov-map». Построена бифуркационная диаграмма для вещественности орбит периода 2.

2. Исследована устойчивость полученных решений для орбит периода 2 на фазовой плоскости. Построена бифуркационная диаграмма топологической устойчивости и существования орбит периода 2.

3. Выполнена термодинамическая интерпретация численных расчетов инвариантов орбит периода выше 2 для модели "Bogdanov-map": получена зависимость температуры от периода орбиты, позволяющая оценить число частиц в соответствующих ансамблях.

Физической мотивировкой вышеизложенных результатов является вопрос о температуре и плотности микрочастиц, движущихся в возмущенном поле сил ангармонического осциллятора [39] с перерассеянием через фиксированное время свободного пробега.

Возможной мотивировкой модели "Bogdanov-map" может быть также углубленное рассмотрение элементарных актов перерассеяния в неравновесной термодинамике. Как отметил В. П. Маслов, в подходе Больцмана к выводу интеграла столкновений имеется существенный пробел - после элементарного столкновения пучок рассеянных частиц к другому акту столкновения считается распределенным, как и до первого столкновения.

Модель "Bogdanov-map" может представлять собой пример динамики потока частиц с «навязанным» законом перерассеяния. Эта модель показывает совершенно новые свойства динамики по сравнению с классической.

В диссертации показано, что асимптотически устойчивые периодические орбиты как связанные состояния ансамбля частиц, имеют статистический вес, пропорциональный площади области захвата периодической орбиты, и эти статистические веса согласуются с каноническим распределением Больцмана-Гиббса.

Адиабатические инварианты дискретных орбит позволяют выявить структуру периодических асимптотически (не) устойчивых орбит и качественные свойства динамики ансамбля квазиравновесных микрочастиц. Данные эксперимента хорошо согласуются с модельными, и позволяют оценить плотности и температуры микрочастиц, находящихся в связанных состояниях.

Современные математические проблемы нелинейной динамики уже не могут быть решены только с помощью аналитического подхода. Применительно к теории дискретных отображений необходимо отметить, что даже при квадратичной нелинейности в отображении, уравнение на орбиту периода 3 может иметь б-ю и более высокую степень, т.е. быть, возможно, неразрешимым в радикалах. В таких условиях небходимо пользоваться дополнительными соображениями, которые позволят снизить степень уравнений, либо применять расчет на ЭВМ. Кроме того, т.к. реальные физические модели имеют несколько параметров и несколько измерений характеризующих величин, построение бифуркационных диаграмм затруднено и свести их к удобочитаемым диаграммам на плоскости удается лишь специальными методами, да и то не всегда.

Исследование модели "Bogdanov-map" возможно двумя способами:

- аналитическим;

- численным.

Как видно из Главы 2, аналитический подход сталкивается с определенными техническими трудностями.

Однако, сравнительно несложный вид решений в виде (1.5) и (2.2), (2.3) наталкивает на мысль о возможности развить именно аналитический метод [47].

Численные эксперименты имеют свои недостатки -ограниченную точность, высокие требования к аппаратному обеспечению ЭВМ.

Вместе с этим глубокое понимание динамики, а также направления развития аналитического подхода неразрывно связано с численным экспериментом. Таким образом, оба подхода взаимно дополняют друг друга.

Это верно не только для рассматриваемой модели, но и по крайней мере для многих моделей нелинейной динамики [48] .

Необходимо также отметить, что рассмотреть с точки зрения модели дискретного времени можно многие физические уравнения, и, возможно, это позволит нам получить замечательные результаты.

Автор хотел бы, чтобы подтверждением этих выводов служила данная работа.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Р.И.Богданову за постановку задачи, а также доценту Сухаревскому В.Г. за полезные обсуждения.

Заключение.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматлит, 1959

2. Аносов Д.В. Динамическая система // Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия,197 9

3. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990

4. Стратонович P.JI. Нелинейная неравновесная термодинамика М: Наука, 1985, с. 480

5. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с.

6. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Спивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.

7. Сухаревский В.В. Модель лазера с дискретным временем. ". В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов 2003", секция "Физика", - МГУ, 2003, с. 142-144.

8. Климонтович Ю.Л. // Нелинейное броуновское движение. УФН, 164, №8, 1994 с. 812-843.

9. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости -М.: Наука, 1967

10. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. // J. Atmos. Sci., 1-963, 20,130

11. Henon M. and Heiles C. The Appliciability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments. // Astron. J., 1964, 69,1,73

12. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова. Вестник МГУ, серия «Математика. Механика», №5. М: МГУ, 2003 г.

13. Feigenbaum M.J. "Universal Behavior in Nonlinaer Systems" Los Alamos Science 1, 4-27 (1980)

14. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov Map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v.3, N.4, 803 842.

15. Богданов P.И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. //Тр. сем. им. И. Г. Петровского, вып.2, 1976 г. М.: Издательство МГУ.

16. Takens F. Detecting strange attractors in turbulance. // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer. 898 (1981) . P.336-381.

17. Ферми Э., Научные труды. M. : Наука, 1972, т.2, с. 645.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Статистическая физика ч.1 и ч.2. -М.: Наука.Физматлит, 1995.

19. Богданов Р.И. Приложения слабодиссипативной теории Колмогорова Арнольда - Мозера. - М.: "Принт", препринт НИИЯФ МГУ 96-22, 429, 136 с.

20. Богданов Р.И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения (с решением проблемы Гильберта). М.: Вузовская книга, 2003.

21. Сухаревский В. В. Абсолютная температура в "Bogdanov map". // В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов - 99", секция "Физика", - МГУ, 1999, с. 202203.

22. Богданов Р.И., Демин А.В., Курилов А.Н. Нелинейные оптические свойства гетерогенных тонких пленок в рамках слабодиссипативной КАМ. М. : Сборник научных трудов МГУ ИЭ, вып. 2, стр. 40-97

23. Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. М.: Мир, 1982, Т.2

24. Кадомцев Б.Б. Self-organization and transport in tokamak plasma. Избранные труды. В 2 т., T.l - М: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.477

25. Яве де ла Р. Введение в КАМ-теорию. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, с. 10, 56

26. Арнольд В.И. // Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука,1978 с.200-298

27. Климонтович Ю.Л. // Статистическая физика -М.:Наука, 1982 с. 26-32.

28. Арнольд В.И., Варченко А.В., Гусейн-Заде С.М. Теория особенностей гладких отображений. // М. : Наука, 1972.

29. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в "Bogdanov-map" // В сб. тезисов международной конф. "Ломоносов-2000", секция "Физика", МГУ,2000, с. 239241.

30. Сухаревский В. В. Топологические типы бистабильных состояний в "Bogdanov-map" // В сб. тезисовмеждународной конф. "Ломоносов-2001", секция "Физика", -МГУ,2001.

31. Богданкевич О.В., Дарзнек С.А., Елисеев П.Г. Полупроводниковые лазеры, М., 1976.

32. Арнольд В.И Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

33. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1985г.

34. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. // УМН, Т.27, №5, 1972 с.119-184

35. Ландау Л., Лифшиц Е. , Квантовая механика. // М.: Физматгиз, 1963, с. 543 618.

36. Маслов В.П., Чеботарев A.M. Эволюционные уравнения в факторизованных вероятностных пространствах. // В сб. научных тр. "Избранные вопросы математики, механики и их приложений". М: Изд-во МГУ, 1999, с. 259 - 276.

37. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. -Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002

38. Маслов В.П., Асимптотические методы. М: Изд-во МГУ, 1967, с. 113.

39. Stats C.L., DeMars G. // Quantum Electronics.-N.Y. Columbia Univ.Press,1960,p.530

40. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. -М.:Наука.Физматлит, 1999, с.79-100.

41. Oppo G.L., Politi А. // Instabilities and Chaos in Quantum Optics. V.2 /Eds N.B. Abraham, F.T. Arecchi, L.A. Lugiato. N.Y.: Plenum, 1987. P.363.

42. Генкин В.Н., Ханин Я.И. //Изв. Вузов: Радиофиз.1962. Т.5, с.423

43. Ораевский А.Н., Успенский А.В. // Тр.ФИАН. 1965. Т.31,с.96.

44. Кайзер В., Гаррет К., Вуд Д. // Лазеры. Пер. с англ./Под ред. М.Е.Жаботинского и Т.А.Шмаонова. М. : ИЛ,1963. С.75.

45. Малинецкий Г.Г., Потапов А. Б. // Современные проблемы нелинейной динамики М.: Эдиториал УРСС, 2000

46. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.Фундаментальные направления.1985.Т5, с.5-220.

47. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. // М.: Мир, 1978, с. 309-311

48. Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре // Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002 г., 320 с.

49. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. // РХД, Ижевск, 2000

50. Арнольд В.И., Севрюк М. Колебания и бифуркации в обратимых системах. // Нелинейные явления в физике плазмы и гидродинамике, М: Мир, 198 6

51. Н.Н. Боголюбов, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1974

52. Michel Henon. Numerical exploration of Hamiltonian systems // Chaotic Behavior of Deterministic Systems (Les Houches, 1981), c.53-170, Amsterdam, 1983

53. Колмогоров А. Н. О сохранении условно периодических движений при малых изменениях в функции Гамильтона. // Докл. Акад. Наук СССР (Н.С.), 98:527-530, 1954

54. Лочак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных аппроксимациях. // УФН, 47 (6 (288)) : 59-140, 1992

55. Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions // Math. Ann., 169; 136-176, 1967

56. Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical Systems. // Princeton University Press, Princeton, N.J., 1973

57. Нейштадт А. И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно периодических движений // Прикл. Мат. Мех., 45(6): 1016-1025, 1981

58. Уиттекер Е.Т. Аналитичекая динамика // РХД, Ижевск, 1999

59. Takens F. Forsed oscillations and bifurcations. Applications of Global Analysis, 1 // Symposium Communications of the Mathematical Institute of Rijksuniversiteit Utrecht, №3, c.476-493

60. Андронов А.А., Леонтович E.A., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем. // М.: Наука, 1966

61. Андронов А.А., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости периодических движений от параметра // Уч.зап. ГГУ, 1939, вып.6, с.З

62. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях в версальных семействах // УМН, т.27, №5, 1972, с.119-184

63. Базыкин А.Д., Кузнецов В. А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций: Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости. // Новое в науке и технике, сер. «Математика, кибернетика», №3, М.:3нание, 1971

64. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических динамических систем на плоскости. // М.: Наука, 1976 496 с.

65. Березовская Ф.С., Крейцер Г. П. Степенные асимптотики системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки // Препринт ОНТИ НЦБИ АН СССР. Пущино, 197 6 - 16 с.

66. Бишоп Р.Л., Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий. // М.: Мир, 1967

67. Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике. // Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, с.21

68. Гусев А. И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. // М.: Физматлит, 2005, с. 332

69. Боголюбов Н.Н., Митропольский В. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1974

70. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. // М.: Высшая школа, 1990

71. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений // М.: Мир, 1967

72. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. // М.: Наука, Физматлит, 1984

73. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. // М.: Мир, 1990

74. Кириллов А. А. Геометрическое квантование // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), 1985, т. 4, с. 141-178.

75. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. // М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1972

76. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. // М.: Мир, 1980

77. Суинни X., Голлаба Дж. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. // М. : Мир, 1984

78. Хорозов Е.И. Версальные деформации эквивариантных векторных полей для случаев симметрии порядка 2 и 3. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1979. т.5, с.163-192.

79. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, биологии, химии. М: Мир, 1987

80. Н.М. Gibbs. Optical Bistability: Controlling Light with Light N.Y.: Academic Press, 1985

81. Gleiter H. Materials with ultrafine microstructure: retrospectives and perspectives. // Nanostruct. Mater. 1992. V.l. №1. P.1-19

82. Birringer R., Gleiter H. Nanocrystalline materials. // Encyclopedia of Material Science and Engineering. Suppl. Vol.1 Ed. R.W. Cahn. Oxford: Pergamon Press, 1988. P.339-349

83. Morgenstern K. Dynamische Mikroskopie von Nanostrukturen. // Physik Journal, 2002. Bd.l. №7/8, s.95-98