Периодическая краевая задача для функционально-дифференциального уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

О А

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Удмуртский государственный университет

на правах рукописи УДК 517.Э2Э

Осатайна Татьяна Алексеевна

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ «ШЖЩОНАЛШО-ДИФФЕРЕНЩШШНОГО УРАВНЕНИЯ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физино-матема-тическлх наук

профессор Л.Ф.РАХМАТУЛЛИНА

Ижевск - 1ЭЭ4.

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Л.Ф.Рахматуллина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.А.Брыквлов, доктор физико-математических наук, профессор Г.Г.Ислзмое

Ведущая организация - Уральский государственный университет кафедра теоретической механики

Защита диссертации состоится 22 февраля 19Э5 г. в /¿г часов на заседании специализированного Совета К 064.47.01 в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Красногеройская, 71, ауд. "2-/£

Автореферат разослан /г января 1995 года.

Ученый секретать специализированного совета

А ----канд. физ.-мат.наук

а

г \\

А.Г.Иванов

Ч

Х-

- э -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тема. Функционально-дифференциальное уравнение является обобщением обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения с сосредоточенным отклонением аргумента. Периодическая задача для фцу является математической моделью многих процессов биологии, экономики, радиофизики. И поэтому не случайно, что этой теме посЕящено огромное количество работ. Периодическая задача для линейного фцу изучается в работах В.А.Якубовича, В.М.Стражинского, Ю.В.Комленко, Н.Н.Юберева, А.Я.Хохрякова, Е.Л.Тонкова, А.И.Домошницкого. Периодической задаче для квазилинейных уравнений посвящены работы Ю.В.Комленко, А.М.Самойленко, Ы.Кшр1зг, Б.Рис1к.

Объект исследования. В работе изучается периодическая

задача для уравнения

п., Ь .

=Е М dgr.it,а) + /(О,

г-.о а

которое является обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с соредоточенным отклонением аргумента, а также исследуется периодическая задача для квазилинейного уравнения.

Цапью_рабдта является получение условий однозначной разрешимости периодической краевой задачи, условий знакопостоянства ее функции Грина и применение этих результатов для изучения вопроса о существовании решения периодической задачи для квазилинейного уравнения.

Методика исследования. Пространство &Г функций с абсолютно

непрерывной (п-1)-ой производной изоморфно прямому произведению лебегова пространства 0-1 и конечномерного пространства R". lía основании этого изоморфизма вопрос об однозначной разрепш-мости периодической краевой задачи сеодится к вопросу о свойствах решения интегрального уравнения в пространстве n-t, что позволяет использоезть хорошо изученные свойства операторов в пространстве о-1-Для изучения периодической задачи для квазилинейного уравнения используется метод изотонных операторов.

Научная новизна и практическая ценность работы. Предложена новая методика сведения периодической задачи к интегральному уравнению в пространстве суммируемых функций. С использованием этой методики получен критерий однозначной разрешимости периодической задачи, который позволят получать известные и новые достаточные условия однозначной разрешимости периодических задач. Получены эф1ектиЕкые признаки знакопостоянства функции Грина. Применение метода изотонных операторов позволило получить общие теоремы существования решений периодической задачи для квазилинейного уравнения, а также условия существования решений конкретных задач.

Апробация работы. Основные результаты доложены:

1) на Уральских региональных конференциях (г. Пермь, 1988, г.Уфа, 1В8Э),

2) на расширенном Пермском семинаре 1990г.,

3) на Ижевском городском семинаре 1993г.,

4) на зимней и весенней Воронежских математических школах 1994г.,

5) на Пермских семинарах по функционально-дифференциальным уравнениям 1989-1993гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, содержит 100 страниц. Список литературы состоит из 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для изложения результатов понадобятся следующие обозначения: К - пространство вещественных чисел; [а,Ь] - конечный отрезок вещественной оси; Х[3 ^ Ш - характеристическая функция отрезка [а,Ы; а^) - характеристическая функция множества 1Ы1а,Ъ1: а « П(0 « &);

{г(?г(Ш, если Л({)е[а,Ь], О , если

пространство суммируемых функций с нормой

&-ю - пространство функций г: [а.ЫЧК измеримых и ограниченных в существенном,

оэ Ге(а,Ь]

<н" - пространство функций х: [а.Ы-Ш с абсолютно непрерывной (п-1 )-ой производной,

1*1 » = +П2 1^(0)1; Ы 1 кго

- пространство таких функций х: 1а,Ь)-& с абсолютно непрерывной (п-1 )-ой производной, что ¿"е 0.

|r| n - + Ё |з?к,(а)|;

Ш OO lt=0

00

с - пространство непрерывных функций х:Га,Ъ]-0?,

|х|с = ЯП |x(t)|; teCa.öl

¡н$"(а,а,Ь) - пространство функций y:[a,b]-JR, представимых в виде

t lt-Tlr,~t n-. гt-nИ

,i о

i (t-x)""1 n-1 [t-a)i

'y(t) = I (rH)t «(Dtfi rr~ +

(1)

Au'n'l,{3) = у{п~1'(з)-у,п-1,(а-0);

vor x(t) - полная вариация функции x: ta,t>]4R. ie[a,b]

Перейдем к изложению содержания диссертации. Во введении даны общая характеристика и краткий обзор содержания работы.

Первая глава посвящена изучению вопроса об однозначной разрешимости задачи

xin'(t) = Е J Г<1,(3) a3rAt,a) + /(t), (2)

a

х'°(а) =ха> (Ь), (=0,п-1, (3)

где функции измеримы на [а,Ь]»[а,Ы, функции г4(.,з)

при каждом &5[а,Ы и полные вариации шг г Л.,а) суммируемы

ае[а,ы 1

на 1а,Ь], г{(1,Ь)=0 , /гСа.ЬНЙ суммируема.

Как хорошо известно, для обыкновенных дифференциальных уравнений вопрос о существовании периодического решения эквивалентен вопросу о существовании решения периодической краевой задачи на промежутке длиной в период.

В § 1.1 (теорема 1.1.1) показано, что аналогичный вопрос

для уравнения с отклоняющимся аргументом сводится к вопросу о существовании решения периодической краевой задачи для специального уравнения. А именно, рассмотрим уравнение

п-1 -ня

fn,(t) = "j j- а?"(а) cLp*(t,a) + /<t), t e E, (4)

i=° —CD

в предположении,что

а) функции r*(.,s),seR, i = О.п-1, локально суммируемы , / -ш-периодическая функция,суммируемая на СО,со]; ö) при почти всех t функции r*(t,.) являются функциями ограниченной вариации;

йо , _

с) Z£m Г гаг г (t,a)dt < со, I = 0,п-1; Й-«о -ЙШ 1

кроме того, выполняются равенства

r*(t,3) = г*(£-ка,гжй) + £ = ÖTTFMg^ (lj.

Определи;.! функцию rt(t,a) равенством r\(t,S)= S (r* (t-iäü,a)-r*(t-to,0)), (i ,a)etO,t)]* C0,ü)] .

k=-a>

тогда справедлива

Теорема 1.1.1. Уравнение (4) имеет ш-периодическое решение тогда и только тогда, когда задача (2),(3) разрешима. При этом решение задачи (2),(3) является сужением на [0,ш] решения уравнения (4), а ш-периодическое продолжение на К решения задачи (2), (3) удовлетворяет уравнению (4).

В § 1.2 на основе изоморфности пространств шп и n.i*(Rn доказывается критерий однозначной разрешимости периодической задачи (2),(3).

Определим при п}2 функцию Я(1,|) равенством

Ки,Е) = Д ^ 4*3 (5)

г'"

а

где

(я-Е)*"1 „-» (з-аУ"

1 ("(М)""1*1 •>-• гъ-п)>-1 -а) 1(п-1 I = П-3, 71-4.....О,

1 (-(МГ'-1 „-« (Ь-а)>-1 1

ь-е 55" 13Г'

о-а

и для случая п=1

ка,Ю = - г0(г,£).

Пусть интегральный оператор Л: о-,-^-, определен равенством Теорема

1.2.2. Задача (2),(3) однозначно разрешима тогда и только тогда,когда уравнение

га) - (Кг)а) = - (6)

при 7 = 0 и 7 = 1 не имеет такого нетривиального решения zo, что

Ь

= (7)

Замечание. Условие г0(1,а) ^ 0 на множестве положительной меры .является необходимым условием однозначной разрешимости задачи (2),(3). Бсвду далее будем считать это условие выполнении.

В § 1.2 также показано, что оператор К, определенный равен-

ством (5), является вполне непрерывным. Следовательно, оператор 1-К фредгольмов и справедливо

Следствие 1.2.1. Пусть уравнение

гЦ) - №)({) = .- г0(£,а) • имеет единственное решение г0. Задача (2),(3) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие

Ц)(И ф 0. (8)

Отметим, что в случае п=1 для обыкновеного дифференциального уравнения и уравнения с запаздыванием условие обратимости оператора 1-й эквивалентно однозначной разрешимости задачи Коши, а условие (8) в случае обыкновенного дифференциального уравнения

х'(*) = р(*)х(0 + /(П

Ъ

равносильно хорошо известному условию Ф О.

а

Как следствие теоремы 1.2.2 в §§ 1.3-1.5 сформулированы эффективные признаки однозначной разрешимости периодических задач для о=1,2,3.

В §1.3 получены условия однозначной разрешимости периодической задачи для уравнения нейтрального типа

г'(V - (Яг'Ж) = /г(а)£гаг(?,з) + №), (9)

где оператор Б: 0-1-й-1 определен равенством

1=1 '

где ^ : [а,Ы К измеримы, функции В^ измеримы и ограничены в существенном. Доказана

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия: 1) оператор 1-5 положительно обратим ;

ci) ведача Кош

x'(t) - (Sx')(t) = £c{a)dar(t,з) + f(t), x(a) = 0 (10)

однозначно разрешима и ее функция Грина неотрицательна; 3) функция. r(t,.) не убывает (не возрастает) при почти всех tefa.b].

Тогда периодическая задача для уравнения (9) однозначно разрешила . •

Отмэиш, что условия существования и знакопостоянстЕа функции Грина задачи (10) приведены в работе ^ .

В § 1.4 получены эффективные услоеия однозначной разрешимости задачи &

£K(t) = fx(a)dgr(t,a) + /(t), ¿"(a) =г'-'(Ь), £=071РГ, (11) a

при n=2,3 e предположении монотонности функции r(i,.). В частности, доказана

Теорема 1.4.3. Пусть п=3 и выполнены условия:

1) функция r(t,.) не убывает (не возрастает) на tа,Ы;

2) выполнено хотя бы о дао из неравенств

b 32

fjr(t,a) |df ^-- , (12)

a (б-a)

48

vraiaup |r(i,a)| «-—,

(b-a)

Тогда задача (11) однозначно разрешима.

"Верезанский Л.М., Ларионов A.C. Знзкопостоянстео функции Коши для линейных диф|еренци8льных уравнений с последействием.// Периь,1987. Деп. в ВИНИТИ 26 марта 1986 г. Л 2665-В87.

А.И.Левиным показано*^ что условие (12)

точное в случае обыкновенного дифференциального уравнения.

2. Вторая глава посвящена получению аффективных признаков знакопостоянства функции Грина периодической задачи. Для изучения этого вопроса в случае, когда функция Грина C(t,.) непрерывна на Са,Ы £на Са,з] и (з,Ы е случае п=1 j, используется критерий необращения в нуль функции Грина G(.,.) в точке (т,э) . Приведем его формулировку в удобной для насформе.

Предварительно отметим, что на основании представления (1) строится изоморфизм гнезду пространством wsn(a,s,b) и пространством о. х JR*4"*'*" . Таким образом, для однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения п-то порядка в пространстве wsr'(a,s,b) необходимо п+1 линейно-независимых краевых условий.

Теорема**^ . Пусть задача (2),(3) однозначно разрешима. Для того чтобы функция Грина G(.,.) задачи (2),(3) обладала свойством б(т,з) f 0 , а<т<Ь, a<s<b, необходимо и достаточно, чтобы задача

*Левин А.Ю. ДАН СССР, 148, ЛЗ, 512-514, 1963.

**Азбалев Н.В., Максимов В.П., Рахмзтуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - 1-е изд.- М: Наука,1991 - 280 с.

iHt) = Y ^'"(^^(t.s),

/"(b) - y<ll(a),t = a^T, i/(x) = 0

в пространстве wsп(а,а,Ъ) имела только тривиальное решение.

Очевидно, что в случае непрерывности функции G(.,.) на [a,b]*[a,t>] условие ее необращения в нуль ни в одной точке множества [а,ЬЬ [а,Ы является условием ее знакопастаянства. При почти всех se[a,b] функция С(.,а) принадлежит пространству шп, следовательно, непрерывна на [a,b] (на[а,я] и (а,Ь] в случае л=1). Необходимые и достаточные условия непрерывности по второму аргументу элементов матрицы Грина краевой задачи для векторного уравнения первого порядка получены В.П.Максимовым и Л.Ф.Рахматуллнной** . По аналогии в §2.1 формулируется и доказывается критерий непрерывности функции Грина G(t,.) общей линейной краевой задачи для скалярного уравнения порядка то£ (теорема 2.1.2).

~ Следствие 2.1.1. Для того чтобы при кавдом t«=[a,t>] функция Грина задачи (2),(3) была непрерывна на [а,Ы, необходимо и достаточно, чтобы в кавдой точке aa отрезка Са,Ы функция r-^lx,.) была непрерывна при почти всех те[а,Ъ].

На основании сформулированных утверадений в § 2.1 получены

*Максимов В^П., Рахматуллина Л.Ф. О некоторых свойствах матрицы

Грина// Краевые задачи , Пермь, 1987, с.6.

условия знакопостоянства функции Грина периодических задач для уравнений 1-го , 2-го и 3-го порядка.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия:

1) задача

b

x'(t) = rx(S)a5r0(t,£) + fit).

а (13)

т(а) = х(Ъ)

однозначно разрешима;

2) в каждой точке зо отрезка [а,Ь] функция г0(х,.) непрерывна при почти всех т <s [а,Ь];"

3) справедливо неравенство

b

J txr |г (t,5)| <tt « 1. (14)

а

Тогда функция Грина задачи (13) сохраняет знак в квадрате [а.ЬЗ* Са,Ы.

На примере задачи

x'(t) + х(а) = /(t), х(а) = х(Ь) показано, что неравенство (14) в теореме 2.1.1 точное. Теорема 2.1.3. Пусть выполнены услоеия:

1) задача

Ъ Ъ

x"(t) = J x'(3)d3r(t,3) + | i(3)d3r0(t,3) + f[t),

x'(o) = s' (b), x(a) = z(b). однозначно разрешима ;

2) в каждой точке а0 отрезка Са,Ь] функция rt (т,.) непрерывна при почти всех те[а,Ь];

3) справедливо неравенство

b . _ b Г иаг г (t,a) dt + (Ь-а)Г var г (t,a) dt $ 1. & ее(а,b1 1 h зе[а,Ь] 0

Тогда функция Грина задачи (15) сохраняет знак в квадрате [а,0]»[а,Ы .

Теорема 2.1.4. Пусть выполнены условия:

1 ) задача

x"'(t)=i; Jfl,(e)darl(tfa) + f(t)

1=о & a (16)

x(b) = x(a), x'(b) = x' (a) ,x' ' (b) = x"(a). однозначно разрешима;

2) E каждой точке а0 отрезка [a,b] функция г2(т,.) непрерывна при почти всех те[а,Ы;

3)справедливо неравенство

b Ь

2 Г var r(t,V,üt + (b-a)T vor r(t,i)dt + a geta.b] а |б[а,Ь] 1

(b-a)2 b

—5- J VOr ro(t,6)Öt < 1

a gsta.b] °

Тогда функция Грина задачи (16) сохраняет знак в квадрате [a,b]«[a,b] .

В заключение §2.1 отмечается, что вопрос о знаке функции Грина в общем случае остается открытым, но показывается, что в случае когда фнкция Грина задачи

fm(t) = S х(а) dar(t,a) + f(t), a

fl>(a) =fu(b), (=07гГТ, знакопостоянна, то она положительна, если функция r(t,.) не возрастает, и отрицательна, если r(t,.) не убывает.

Н.В.Азбелевым показано** , что задача (2),(3) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда для почти .всех 8«(а,Ь) однозначно разрешима задача

IГа) = Y Г ¡/"(a) dLr (í.a),

v=o а

ü'U(a) = ум{Ъ) , t-ш П7ТГТ, (17)

¿if(s) s y(s) - y(a-Q) = 1 в пространстве wsn(o,3,b). При этом функция Грина С(.,з) задачи (2),(3) при почти кавдом зе(а,Ъ) является решением задачи (17). На основании этого факта в § 2.2 строится представление функции Грина периодической задата для случая, когда оператор 1-Я обратим. Для уравнений первого и второго порядков устанавливаются условия знакопостоянства функции Грина в случае, когда функция Грина не является непрерывной; а также строятся оценки фукзкция Грина сверху и снизу.

Отметим, что установить условия однозначной разрешимости задачи (16) с помощью теоремы 1.2.1 не удается, т.к. не удается установить области монотонности соответствущего оператора. В §2.3 приводятся условия однозначной разрешимости задачи (16), полученные другими методами.

3. Полученные в первой и второй главах условия сущствования и знакопостоянства функции Грина периодичесой краевой задачи используются для получения признаков существования решения периодических задач для квазилинейных уравнений. При этом

*Азбелев Н.В. Критерий необращения в нуль функции Грина.//

Краевые задачи, 1987. С. 3.

используется схема Ь, ,Б,-квазшшнеаризации и частный случай теоремы Тарского-Еиркгоффа-Канторовича, с помощью которго можно получить оценки решения снизу и .сверху. Рассмотрим задачу

да:) . и [а,ы,

(18)

= х'^(Ь) , £=0,...,п-*, где Ь : ч о-д, - линейный ограниченный оператор, а оператор Р : а_со - определен равенством "( Рх )(П = /(Пхпа)). Для и, г « с , и < 2, обозначим П =: у < х ^ г>. Будем говорить, что оператор Р: О -» «-т удовлетворяет условию \ (1„), если существует такая функция q е п-ш, что оператор

И ; П - п-ш, определенный равенством

+ 09)

изотопен (антитонен).

Теорема 3.2.1. Пусть существуют функции и,г е такие, что V ^ г,

к'1'(а) =и<1>(Ь), 2<1>(а) = г<1>(й), £=0.....п-1, (20)

для которых при почти всех t е Со.Ь] справедливы неравенства

ша) « (г^ги г шш г* ) (21)

(IzЯt; > ( (12)а) « ) (22)

и, кроме того,

1) оператор Р: П -» ограничен и удовлетворяет условию \ (1Х);

2) функция q в равенстве (19) такова,что задача

x'l,(aj =x,i'(bJ,l=0,...,n-J,

однозначно разрешима и ее функция Грина G(.,.) положительна

(отрицательна) в (а,Ы»[а,Ь).

Тогда существует решение х задачи (18), удовлетворяющее

неравенству v « х « г.

В книге-рассматривается задача

х (И

r"(t) - Xx(t) = е + <p(t),

(24)

г'(а) = х'(Ь), х(а) = х(Ь), приводятся условия существования решения при А.<1 и ставится Еопрос о нахождении условий разрешимости при Ъ1.

На основании теоремы 3.2.1 получены условия существования решения задачи (24) допускающие Х>1. А именно, показано, что в случае, когда

-œ < m « <p(t) « ЦШ - 1), решение задачи (24) существует.

Отметим, что в некоторых случаях можно отказаться от условия (20). Рассмотрим задачу

z'(t) = f{t,xh(t)), Ula.bl,

п (25)

x(b) = х(а).

Теорема 3.2.2. Пусть существуют функции v,z s такие,

что

и ç z , и(Ь) к и(а) , z(b) » z(a), £u(t>) ^ и(а), z(b) « 2(а)J, и выполнены условия

*FuaIk S. Solvability of nonlinear equations and boundary valúe problema// D. Reldel Publ. Co. Dordrecht, 1980, 390 pp.

1) при почти всех t<=[a,b] справедливы неравенства

v'{t) >f{t,vh{t))

2'(t) <f{t,zh{t))

2) Оператор F : ограничен и удовлетворяет условию Ь2;

3) при этом неотрицательная функция q такова, что оператор I-Q , где I - тождественный оператор, оператор Q : - а.т определен равенством

Ь

(Qy)(t) = q(t) J ah(t) x[a h{t)]W У™ dT'

обратим, а функция Грина задачи

(Zr)(t) в x'(t) - q(t)xn(t) = <p(t) , x(a) = х(Ь) ,

знакопостоянна в квадрате Са,Ь]*[а,&].

Тогда существует решение х задачи (25), удовлетворяющее неравенству v s х s z.

Список опубликованных работ.

1. Осечкина Т.А. Н вопросу об однозначной разрешимости периодической задачи .— 26-я воронежская зимняя математическая школа.Тезисы докладов. 1994. С.70.

2. Осечкина Т.А. К вопросу о знакопостоянстве функции Грина периодической краевой задачи для уравнения второго порядка с

отклоняющимся аргументом — ФДУ - 1991 - с.175-180.

3. Осечкина'Т.А. Критерий однозначной разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения — Известия ВУЗов. Математика.- 1994.- МО.- 0.

94-100.

4. Осечкина Т.А. Об одном признаке однозначной разрешимости периодической краевой задачи.— Тез. докладов весенней Воронех-

ской математической школы. 1994. 0.107.

5. Осечкина Т.А. Однозначная разрешимость и знакопосто-янство функции Грина периодической краевой задачи для линейного уравнения с отклоняющимся аргументом.— Известия ВУЗов. Математика,- 1993.- Я5.~ 0. 89-95.

6. Осечкина Т.А. К вопросу о существовании решения периодической краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения.—Парм.политехи.ин-т.-Пермь, 1989.-18с. Деп. В ВИНИТИ 30.09.93, Я 2497-В93.

7. Осечкина Т.А. О некоторых признаках разрешимости периодической краевой задачи.— Тез.докладов 4-ой уральской региональной конференции. Уфа 1989.0.84.

8. Осечкина Т.А. О периодической'краевой задаче для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом— Пермь, 1990. - 19с. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.90. - Я 2816-В90.

Сдано в печать 4.1.95. Формат 60x84/16 Тираж 100. Заказ 1315. Объем 1,25 п. л.

Ротапринт Пермского государственного технического унявере«тега