Первичные ...-пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ОРДЕНА ДРУ1Ы НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРШН НАРОДОВ имени ПАТРНСА ЛУМ.ШН

Не правах рукописи ХОДЯЕВАНИОШИЖ ЭЛИСО CFMEHOBHA

ПЕРВИЧНЫЕ ^-ПРОСТРАНСТВА

01.01.04 - геоыетриа и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссергами на соискание чченсЛ степени кандидата ф'зико-мз'геиамческнх нал к

iL - Ъ92.

Работа аипэлвека нэ ка^здрз высшей математики Гор^скога экономического института

Научный руководитель

Л.И Ла.сха;,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппончвгы: диктор ¿и8ик0-ыахе.лагйческих наук, профессор Л.В.СабИиш доктор физико-ыатематичеонмх наук, профессор А.М.Селихоз

Ведущая организация - Белорусский ордена Трудового Крас1 Знамени Государственный УвивесйЕвЕ им. В.й.Ленина

Защита диссертации состоимся /^^иаЛ 1992 г. в 15 * 30 мин. на заседании Специализированного совета К.053.22.23 присуждению ученой степени кандидата уизико-маимагичеоких * в Униаесите^е Дружбы Народов имени И&ярииа Луыуыбы по адресо 117302, г.Москва, ул.Орджоникадзе, Ъ, ауд. 485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке } ситет? дружбы Народов по адресу: 117198, Москва, ул.Миклухо-

йвтореоерат разослан / 0 ыуэ^лЛ 1992 г.

Учевы* секретарь ааеикалпзиро^тшого зозета кандидат ^.зико-ыахецааичезких

наук, дсцент М.я.Драгнев

I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

""" Ак7увд>_|)асг> ¿еии исследования. Я^яясь дальнейший оо'оо<де-аиеи известных си^.,егричзсклг. пространств, -поостранс!

З2сде.нние Бедервикэзыи и Ледлереми били лредиетоы интенсивного изучения, ¿ей. не иенее осталось иного проблей для исследования та;<их пространств. Имеется ряд значительных проблем до сих пор не'исслйдо'ванныг. Одна из тпкиг. задач - задача изучения, так к зывоенцх первично V7 -пространств и ручается в данной диссерт;-пии, Актуальность исследоваьиг. очевидна, так как вез си^цетрпче кие -пространства первичны.

Песв:чние регулярные V -пространства описаны на языке алг« ( - •

Ли, что создает гредпосилки для построений структзгчоа теории такил п.-остранстэ.

•Цельз диссертационной работы является исследование стробм первичных У -трсограиств на языке групп 'Л алгебр Ли.

Научная аовизда исбледовчнкя заключается з той, что впервь расскотреяи:^' -прострзнствз наиболее Зпязкке по свойствам сиа-^етр'ичесяиы.-пространствам Э.Картава! и даао иг исчерьм'холэч исследование.

В работе яслольязются методы теории однородных пространств, группы и алгебр Лн и про,странстз ффиивой ов?5иооти.

л

Практическое г теоретическое азаченке работу. Получвавыз ре зуллагы важны длй теории одиородзн! пространств, так :-;ах вг^Чс асныл класс та.нах прос ранств, регдегзевиы2 симкетрччу/ни пространствам Э.Картава. Результаты «а.часе вага:» дгл прялог^зиа з ¿игике ;; а.хаааке. По::., чзв-п-е результат нсся.г юерзтгчеенка характер ;•. могу.' быть г;г.:.-*»• с.-;аяы а а* з с«сз гздгер^дк!

пространств и их приложениях, хах и для чт&аия лзкционн'ых курсов в Униаеронтвте Друкбы Народов, Беаорусокоы и Тбилисской университетах и других высших учебни вйведевиях отравы.

Апробация работа. Осеэвные реаулыаты диссертации доклады«

аалис^ и обсуждались на Кафедральной семинаре кафздры высаей математики в Горийскои эко^оиическоы института, на заседаниях сеиауара по геоиетрии Мооковокого областвого пвдзгогичвозого института иы.Н.К.Крупско!', (1989г.)» «а семинаре по геометрии УДН до.Н .Л'г'угбы.

Публикация. Основные результат диссертации опубликованы а четырех работах, список которых приведен в конце авторефер та. Все результаты получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 63 сгр машинописного текста и состоят из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 33 нопиеновакий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ Д&СЕРТА1&Ш _0й

Во рзеденииа краткий, обэог работ-по теме диссертации, изложен ц сановные [ззультаты диссертации и списана еэ структура. Глава первая состоит иг ?рех параграфов. , -

Б "Однородные V7 -преетрагсгва'дани 'яесЗхэдвыые сведен..я дз тзорчв одаосодяых -пространств &/н со осадками ва ла-¡¡•¿•гату ;•>}•. Ввьдея» поьитид нг-азпл.^г , и^вимального и иегмчиог.. 10 -1:р:странстза. Отм-чс.ча сгяль -;;рссг:р нств с тееркея Р -кзаз;.г?у.Д!. Деке преддсдсяпд.

Г..-:' ¡'С I. &/Й - </ - 1: ;и 6} -

и<; [X'1) | Хбь; ~> Зесть х-?' 5С ( Г хГ\ ■

Тогда Г?)*®'

предложение. ?. Однородное проаграпстао G-/H с ^eajKTaiiîOi Gl jv^ei ьргьпльн;:« ty -npocïpaaciBOu с канонический редукта< ¡roa ^J-££Gea;ia й Ггл5к0 ссли oyaeosBjsî

I3;!Oe, ЧТО

(r/,e - проекция »о вдоль класса еиеяносги, т.е. ^sf-^/IP/y^

Предложение lije-i G-/h " минимальное однородное про- , сгрансгзо о кзазиредуктангои : Q X : > <S} '

Оиекиия я ямеьг еид x (ifa:)"' и ^ любых CC^í- q, < ямеея aecsc ?о::дес1эо

X-ly- í^x)'1^ I^Q (*0

гогда QrfW есть однородно» прззял*яов -проограноава, Щ - его '¡а;Н()лиескил родухгз^г, и эг;доиор.*изи ^ опрз-яд-

иекя правой у (-J&ü (VS» $, И).

^одвр:лгся необходимые и доотахсчаив условен яа «аяогячезкя. ре-

дукгзяз? «ш. тая. ¿oro прззхлзвого однорогие?.;. $ -¿»оосараь &//j -

3 § 2 "Гладкие Ц -прзсгрансява" ¿ассааярйьаезся сч^ацня, к5т' о^ыородвсе I/ - л реетранcîso Ç~f Я -

ïKoe, '»о с-о-i;.

кзд'Ьйза урезке, ц'4-г «с

^'»15.10 «i

H . îéCCS.OCP'T.-iZ.n иа яс

» л - -......... Г' y

g zibi^Cüm,^

первичного однородного минимального У -пространства 6-/Н с канон;:чсгОг:иц ^ед^л'ханго»1 Q . Далее свойство пер^лчнссти для гладкого случая порщллзуетея д:цЬеренциалы;о-геоиехрическкм

ORCCOÖOU.

В § 3 "Структура алгебры Ли перзичного гладкого правильного У -пространства &/н с каноническим рлдуктантои (Q>s сначала доказано предложение .

Предложение Пусть Q=£x.(<fjc) - канони-

чзскиЛ родуктянт правильного -пространства Gr/H . Тогда

^.ре<а(3 -

имевшей алгебричесяий характер и описываюцее канонический редун гавх правильного однородного ty - пространства в тершна:: группового уиногеипк. С использованием этого результата далс;з получены некоторые дилере:нцг.альнк^ уравнения на редуктдлхе в нормальных координатах. Это приводит к необходимый и достяточ-нш: условия« на структуру соответствующих алгебр Лй g м ^ . Последнее к составляет содертанг.е предложений 5 и 6.

' Предложение 3. Пуст* Cr fr, правя ль нре f - ¡¡рсстрг::ствс. о груг.поГ. Ли к подгруппа". Й и каноническим редуктзп-

тоы (2-. Око псрв::ч;:о тогда, к то.лькс

X В r1e (Q) ^ Ifyß.f) $ ] * |= -Те CQ)

, здо;' V = ¿ )

е? '9 ITохi f j^ - правильное tf - np:uipat ••iro .'.'угло,: Л;-. а подгруг.г.за И и ка: знкчесгиы pe,-yi

í'i'2 т'.с г;:1, w г г. i: г тог--, sí""-.

1 ■„,_ .. . ^.tv-le^T,.^

< 5 Cr' - ■

(здесь )

Пользуясь далее ргэвигой техняхоП приходим к лре. .лоаени» 7 {х,у в 6}61 для канонического редуктанге

(Я у и;- анального правильного первичного ^ -пространства).

Глава П состоит из двэх параграф.

Е § 4 "Ин'донитезниальпое исследование строения первичных ^ - пространств" провслит^.я детальное исследование троек

Е ), где $ = - каноническое ^ ~ инвврг

антнсг редуктивное разлр.хенпз, отвечающее первичному минимальному лравилькоиу ^р _ пространств;/ Ь-/Н Вводится понятие нин :мальной первично?. троИки (^»^Е ) и необходима и достаточные услсзия первичности и имальноси (предложения 8, 9, 10, II).

Предложение 8. Коли - первичная ^ - троИка

то (.линейная сбо.-::.чка для есть под-

алгебра в <| .

Предложен :е Э. Пусть дала первичная У - грайка О Тогда I = Е + ])> - идеал в £ .

Предложен е 1С. Е^'ли первичная - тройка ()

минимальна, то ^гЕ+^СЕ/^-^/*"

'Лоеллаасние II. Если перзач::-.: ^ - тролка ииницзл..на, то рГ $ ЗУ г £ (здесь рТ^

проекция на £ ..иллельно В . ) Зводяюя .'-зкахорге заубчагзлз^ио ид^зл-.' г г

л/

В предложении 12 показана :>х ^ - 1шзараав2;:эсхь, Првдло:-.енве 12. если С З^Р ) ~ первйЧ,:ая инициальная

У - тройна ■ £ = нл<се.ЕЗ>, к = р г/<[ьй>

•_э - ^ - ¿с;з..ч>п1дз идеал:.; г р1сКс1, V С Г

Лал/лив ахи/. идеалов даег сильные следсгзкя в случаях, когда (у-полупрссм пли прссза и и случае, когда '.'/ Н неприводивэ дел« зуег на 6-/^ (си.предлоя. 13, 15, с„¡ориулироваиние ^ терминах алгзирц Ли и предложения 14,16, с..1сраулироаанные на языке групп Ли).

Предложение 1?. Если алгебра Ди^ первичной прагчльной максимально I/ -хром ( д, Е ) пэлупрос?а,^::£]^«32

(прпыаь суиыа идеалов) З^^Гг» ~ сиишлрическая

пара. 23 и} ил

11ри згой «2.^0 считан» а, =Кет (Здесь ва

исключается, чхо^-г^о] пли

Предложение 14. Пусп б/ц первичное правильное иммшиалз ноо - пространство с каноническим редукганмь (3 « Если (у - г.олупросх: ~ группа .¡л, го б--Кег (прямое ирокзв'-денае нормальных подгрупп), Не1? ф-Кч'У^' ух - ос ~'(х у у = У .V € н .

Нс-глсиенпе 15. Пусть {^^.Е ) - перечная. мш'.иаальаая ■ (р - урз/Ша. £сл« ^Г изпэавэдиво зе:«^«? на Е (в чгсгнзсгм цах^кальнол пада..геор: в £ ), то лрйо Е)

грэ—чи, .-»:с«о £ , "рогу.о чн;:* Пусть - г ?р;-,;:ч: се прави

Г •• : г-:'•'• --- с ч. ; . : - :

-'с..'.", И .... ......т &А{ ^

что тс кс;:эа ), то либо - сцциотрическое простран-

ство, лйбо G=&,

iemnipyea кратно полученные результаты. Оказывается, что полней описание и классификация первичных цикшзльных празилья!

У - прсзтрзнспа не тривиальна в силу нзличия Идеала $ в алгебле Ли g . Здесь чмеется два крайних случая, Jf: F н тэгде Н - ft] » то е0Г1, яяегс группе joe пространство,

$ z jof , что приводит к симиетркческоиу поост.анству G-/H Облип случал ко;.бг.а1:руется натогтгальаи» обраэои ..з этих двух (а иаеяяо, X идеал r^Q/f, ) ест*. симметрическая пар;

oauöTüu, что в случае обратимого" У , ¡ш приходим к так называешь совср'зеннии ^ ■■ пространствам G/tf .

В § 5 "Цш.ииальные первичные У - пространства ыалых р. меров" с использование!! ррзвитоа теории классифицируется на йз: алгебр ли все двумерные минимальные правильные первичные У -йрострзнства Ь/ч.

Глава и состоят из двух параграфов.

В § б "Гедуктивние пространство ал^тиоп связности" приводятся езедения из теории а^ииных едяяв-з^еа в t^ap.'fз, ую5егЛ . для дальнейших рьссистрекид. В частности, да этеи язихе расоис реви локачьно сиииетричес.чиэ а локально реду!(тилн .«з npoo'ipsacj а такхе ^ормальзыэ ксордииагм.

В § 7 " У - пространства аффинной связности" по аналогий теорией сиуиетричоских прозтрансгв к ^ - црсстронптз аира-дедзао г.ззятка У - пргсгралств^ а'Киивза с^чгаэстн, ¡mopv. яа дкГ1.if,ьЧ* с." i.зыко ло..а>"ьго oni'tyr^i :>;£. г-.«, сдесродг-иг У - -p2-rp-;'JS;.-3. HecaoTf >■ к а достег.члуг. з"-.-;;'- к; г;: ; еэ е.-г пер зе /.т-.i» .чтз

оледуеж из анализа литературы. Ввсдиюя понятие правильного и регулярного.)Р - пространства аффинно! связности» Предложение 17 демонстрирует ьеедивствевн'осп (вообде говоря) аффинн'* свя« ности для регулярного правильного У - пространства аффинной связности (в случае -пространств ииеется как известно, едт

стбзнность).

Предложение 17. Пусть ( н) ц Щ ^ ^

, г

два регулярных прапльных > -пространства аффилной связноси тогда V* <ру - V* [илч <?> ^У) -

Т предложении 13 для прав^ьного регулярного У - простра! ства ( Л/, V, получено любогптное тождество

котопое в случае ¡*д - пространств превращается л ::оро.;о .".зззс: ное тоядество регулярности (или, на друго:.' яз:.-]ке, левой дг.стр:;-бутивнссти).-

Поедлиение 18. Пусть С М, V, ) - пр?Е .^з^

регулярное ¿Г - пространство. Тогда

Наконец, предложения 19 и 20 устанавливает (локально) связь по] тий «шнииальногс правильного первичыго У' - пространства б и правильного регулярного У* - пространства а$1)яаной связноо: Гакоиен, -оедлзленпя 19 я 20 да ах в5з:-;уноздно::вачную связь одяородгы* ;л!ниаа7ьн;гс правильных первичные У* - пространств о лпчзильншт регуляояыми пространствам!' аф'упвоА связно!

ПУБЛИКАЦИЯ АВТОРА ПО ТЕ!И ДИССЕРТАЦИИ

I. Ходаеваншвили Э.С. О первичных У - пространствах. Дифференциальная геометрия и ыультипликатииный интеграл". Сборник раи'от. - U., 1989. Деп. г ВИНИТИ 89, гё 3299-В89 ... Дзуаерные перзичные У* - пространства. Тбилиси, Деп. СИЭ грльтаити, 25.03.90, 676-гэо.

3. Ин.'инятезииальнзе исследование строения первичных У* - пр странств. Тбилиси, Деп. СКФ ГрузНИИНТИ, 18.03.91, Iii 730-Г9

if.. Ыин"иальние первичные -У- пространства налых разыерносте Тик-ою»; Деп. СИФ ГрузНИИНТИ, 13.^9.91, N2 75г-хД1.

/ /