Плоские задачи установившегося движения пластических материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1. Кинематические соотношения и уравнения в установившихся процессах конечного деформирования

1.1 Кинематика конечного деформирования.

1.2 Запись кинематических соотношений в координатах, связанных с линиями тока.

1.3 Условия равновесия.

2. Определяющие соотношения и постановка задач стационарного течения пластического материала

2.1 Определяющие соотношения в теории пластичности.

2.2 Запись определяющих соотношений при стационарном движении.

2.3 Общие постановки задач стационарного течения для различных форм определяющих соотношений.

3. Постановка и решение задач установившегося течения пластических материалов в коническом канале.

3.1 Постановка задач о течении в коническом канале.

3.2 Случай безвихревого течения (отсутствие касательной составляющей напряжения и деформации).

3.3 Вихревые несимметричные решения (% = const).

4. Задача о симметричном вихревом течении.

Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.

В начале XX века были опубликованы работы Хаара и Кармана, Ми-зеса. В первой из них была сделана попытка получить уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано условие текучести.

Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается и приобретает два главных направления: теория пластического течения и деформационная теория. В работах Прандтля, Мизеса, Рейса были получены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. В трудах Генки были сформулированы основные положения деформационной теории пластичности. Однако законченный вид деформационная теория пластичности (теория малых упругопластических деформаций) приобрела благодаря работам А.А Ильюшина [16].

Вопросы экспериментального обоснования различных вариантов теории пластичности на основе общей теории процессов A.A. Ильюшина рассматривались в работах P.A. Васина [10], В.Г. Зубчанинова [15], Э.С. Ленского [24].

Исследованию задач установившегося плоского течения пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы Д.Д. Ивлева [8], И.А. Кийко [20, 21, 22], В.В. Соколовского [39], О.Д. Григорьева [11], М.Я. Бровмана [4, 5, 6].

В рамках модели идеального жесткопластического материала существует класс решений известных как идеальные течения. Впервые возможность получения таких решений для установившихся плоских течений была показана в статье [61], в этой работе было получено решение, описывающее процесс выдавливания через матрицу специальной формы. Доказательство существования идеальных течений дано в статье [54].

В работах Кийко [20, 21, 22] получены точные решения задач о течении пластического материала в тонком слое, найденные с помощью интегрирования вдоль линий тока.

В работе [40] получено замкнутое аналитическое описание напряженно-деформированного состояния при волочении, удовлетворяющее всем условиям пластичности и граничным условиям.

В книге [39] приведены решения задач для плоского течения и для плоского перемещения идеально пластической массы в сходящихся каналах формы плоского клина.

В работе [1] исследованы уравнения теории идеальных течений для установившегося плоского течения. В данной работе показано, что если условия идеальной пластичности течения выполняются, то существуют еще две переменные, которые подчиняются телеграфному уравнению. Эти переменные определяют связь между декартовой и криволинейной системами координат, координатные линии которой являются линиями тока и ортогональными к ним линиями.

Простота уравнений теории идеальных течений имеет большое практическое значение при теоретическом определении оптимальных геометрических параметров инструмента для различных операций обработки металлов давлением. Отметим также, что простота уравнений теории идеальных течений позволяет использовать решения задач в рамках этой теории как тестовые при отладке компьютерных программ, что является неотъемлемым элементом численного моделирования.

При этом основная часть задач рассматривалась в рамках теории течения с условием текучести Треска. Г. Генки было показано, что в этом случае разрешающая система уравнений гиперболическая с ортогональными характеристическими линиями. Известно, что условие текучести Мизеса лучше аппроксимирует экспериментальные данные, однако ортогональность характеристик при этом нарушается, и метод характеристик теряет свою эффективность. Кроме того, многие материалы упрочняются в процессе деформирования, в связи, с чем вырос интерес к исследованию задач установившегося течения с учетом упрочнения.

Для течений упрочняющегося жесткопластического материала даже в случае малых деформаций [39] уравнения равновесия усложняются. Соответственно, нахождение аналитического решения этих задач затрудняется.

В статье [24] представлена замкнутая постановка краевой задачи плоского установившегося течения упрочняющегося жесткопластического материала при больших деформациях. Показана невыполнимость теорем Генки для линий скольжения. В статье делается вывод о необходимости использования численных методов для решения задач плоского установившегося течения упрочняющегося жесткопластического материала. Лишь в исключительных случаях возможно построение аналитических решений.

В статье [23] рассмотрен метод решения задач установившегося течения жесткопластического материала с упрочнением. В отличие от задач о течении идеально пластических тел, где удается получить интегралы уравнений равновесия, например интегралы Генки для плоской деформации [36, 39], уравнения равновесия для упрочняющегося жестко пластического материала [24, 60] не интегрируются. Это обстоятельство затрудняет использование прямых методов расчета, поэтому эффективным становится применение различных полуобратных методов. Рассматривается установившееся течение, когда траектории движения частиц, вдоль которых необходимо интегрировать параметр упрочнения для определения поверхности нагружения, совпадают с линиями тока. В работе [23] дано обобщение этого метода для плоского течения изотропно-упрочняющегося материала с гладкой поверхностью нагружения; получены решения задач о течении в шероховатом сходящемся канале и волочении тонкостенной трубы. В работе [23] хоть и введены линии скольжения, частные решения даны при условии, что линии тока совпадают с линиями скольжения. Так как полученные уравнения равновесия в общем случае не интегрируются.

Первоначально полуобратный метод решения был предложен в [11] и применялся для задач об установившемся идеально пластическом течении материала Мизеса в криволинейном канале. Полуобратный метод основан на задании семейства линий тока и определяющих кинематических характеристик течения из удовлетворения уравнениям равновесия; такой характеристикой может быть модуль вектора скорости или некоторые другие величины, функционально с ним связанные. Этим методом найдено большинство точных решений. Так в задаче о течении среды в канале с прямолинейными стенками допущение о том, что линии тока - прямые, проходящие через начало координат, оправдывается и позволяет найти решение [39, 48]. В статье [4] найдено частное решение, в котором линиями тока являются логарифмические спирали. В работе [6] показано, что данным методом для гиперболических линий тока можно получить не только точные решения для статических задач, но и для динамических задач.

В работе [5] рассмотрен вопрос о проверке допущения о том, что кривые данного семейства являются линиями тока. При этом скорость и компоненты девиатора напряжений выражаются через функцию одной из криволинейных координат. Получено нелинейное дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция, если допущение оказывается правильным.

В последнее время активно развивается направление в пластичности не опирающееся на концепцию предельных поверхностей. Обобщение деформационной теории А.А. Ильюшина [14], поставило вопрос о выборе наилучшей коротационной производной в определяющих соотношениях, который рассматривается во многих работах [7, 43, 49, 52, 53, 55, 56, 58]. В работах [50, 51, 57, 59] получены и применяются определяющие соотношения, в которых используют непосредственно производную Яуманна. Такой подход вытекает из потребности исключить влияние жесткого вращения частицы при распространении определяющих соотношений для малых деформаций на большие, и восходит еще к работам Прагера [35] и Хилла [47].

В статье [25] в определяющих соотношениях предложено применять производную Коттера и Ривлина. Автор пишет, что использование вихревой производной Яуманна в определяющих соотношениях приводит к осцилляции напряжений при простом сдвиге [34]. Но в статье [9] показано, что применение полярной производной Яуманна устраняет этот недостаток.

Для выбора производных, в работе [32], кроме требования объективности [28, 42], было сформулировано дополнительное требование объективности. Было показано, что дополнительному условию удовлетворяют лишь абсолютная и полярная Яуманновская производные.

В работе [32] показано, что при изотропных и близких к ним процессах полярная и вихревая производные совпадают.

Отметим, что постановки и решения задач установившегося течения на основе вариантов деформационной теории практически отсутствуют. Представляется актуальной разработка достаточно общей постановки и метода решения задач плоского установившегося пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических сред; проведение сравнительного анализа решений, соответствующих теории течения (с учетом и без учета упрочнения), а так же вариантам деформационной теории скоростного типа.

Учитывая выше сказанное, сформулируем цель работы: построение и сравнительный анализ аналитических решений плоских задач стационарного движения несжимаемых материалов в рамках различных моделей конечного пластического деформирования.

В данной работе построены аналитические решения для плоских задач стационарного движения пластических материалов при конечном деформировании как в рамках теории пластического течения с изотропным упрочнением, так и с использованием двух вариантов деформационной теории. Выведено условие совместности для девиаторных составляющих тензора напряжения. У многих авторов [2, 5, 23] оно встречается в частных решениях задач, но в общем виде приведено не было. Проведено сравнение результатов задач для различных моделей материала. Результаты работы были приведены в статьях [44, 45, 46].

Основные результаты и выводы

1. Предложенное условие совместности и представление определяющих соотношений через кинематический потенциал сводят задачу исследования плоских стационарных течений пластических материалов к замкнутой системе трех дифференциальных уравнений. Интегрирование данной системы вдоль линий тока позволяет определять согласованные поля девиаторных составляющих тензора напряжений и кинематического потенциала.

2. Дана универсальная постановка задач установившегося движения деформируемых сред, которая позволяет использовать различные модели материалов. В частности, рассмотрены две модели (с учетом и без учета упрочнения) в рамках теории пластического течения и два варианта деформационной теории скоростного типа (с использованием абсолютной и Яуман-новской производных по времени).

3. Получены точные решения задач о безвихревом движении пластических сред в коническом канале. Установлено, что использование вариантов деформационной теории и теории течения упрочняющегося материала приводят к одинаковому распределению полей напряжений, отличному от их распределения при использовании модели идеально пластического материала.

4. Получены точные решения задач о вихревом движении пластических сред в коническом канале с одинаковым, несимметричным, соответствующем постоянному значению кинематического потенциала распределением скоростей. Установлено, что решения в рамках теории течения являются частными случаями решения, полученного с использованием деформационной теории.

5. Получены точные решения задач о симметричном вихревом движении пластических сред в коническом канале. Установлено, что решение, соответствующее теории течения с упрочнением следует из общего решения, полученного на основании деформационной теории.

6. Установлено, что законы изменения девиаторных составляющих напряжений вдоль линий тока, определяемые в рамках деформационной теории с Яуманновской производной, содержат осциллирующие слагаемые, что не позволяет точно удовлетворить условию постоянства кинематического потенциала. Получены частные решения без учета осциллирующих слагаемых для случаев несимметричных и симметричных вихревых течений.

1. Александров С.Е. Плоские установившиеся идеальные течения в теории пластичности. // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2. С. 136-141.

2. Александров С.Е., Гольдштейн Р.В. Некоторые точные решения в элементарных функциях в теории плоского пластического течения в полярных координатах. // Изв. РАН. МТТ. 1997. №4. С. 106-112.

3. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1966. - 250 с.

4. Бровман М.Я. О движении пластической массы в криволинейном канале // Прикладная механика. 1983. Т. 19. № 8. С. 121-124.

5. Бровман М.Я. О линиях тока при плоской пластической деформации.// Изв. РАН. МТТ. 1989. №2. С. 185-187.

6. Бровман М.Я. Применение гиперболических линий тока при исследовании плоской пластической деформации.// Известия вузов. Черная металлургия. 1995. № 1. С. 25-28.

7. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформированных сред.// ПММ. 1990. Т. 54. Вып.5. С. 814-824.

8. Быковцев Г.И, Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1966.-231 с.

9. Быченков В.А., Свиденский В.А. Некорректность модели упругопласти-ческого течения в методе Уилкенса.// Физика горения и взрыва. 1990. Т. 26. №1. С.118-122.

10. Васин Р. А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном напряжении. // Упругость и неупругость. Вып.1. М.: Изд-во МГУ, 1971. С. 59-126.

11. П.Григорьев О. Д. К теории плоской деформации жесткопластического тела.// ПММ. 1961. Т.2. Вып. 5. С. 906-911.

12. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение. 1990. 271 с.

13. Жуков A.M. Упругие и пластические свойства одной марки стали. // Изв. РАН. МТТ. 1994. №6. С. 162-167.

14. Зубчанинов В.Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов. // Прикл. Мех. 1989. Т. 25, №5. С. 3-12.

15. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. // Прикладная математика и механика. 1943. - Т. VII. Вып. 4. - С. 245272.

16. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

17. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Учебник для университетов. -2-е изд., перераб. и дополн. М.: Изд-во МГУ, - 1978. - 287с.

18. Качанов JI.H. Основы теории пластичности. М.: Наука, - 1969. - 420с.

19. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям.// Инженерный журнал, механика твердого тела, 1966, №5, стр. 123-126.

20. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым плоскостям.// Инженерный журнал, V, вып. 2, 1965, стр. 372-375.

21. Кийко И.А. О воздействии сжатого пластического тонкого слоя на упругие поверхности.//Изв. РАН, механика и машиностроение, 1961, № 6, стр. 131-133.

22. Киквидзе Д.А., Корякин JI.A., Сахаров А.Н. Полуобратный метод решения задач установившегося течения жесткопластического материала с упрочнением.// Механика твердого тела, 1993, № 6, стр. 79-85.

23. Клюшников В.Д. плоское установившееся течение упрочняющегося ма-териала.//Докл. АН СССР,1988. Том 303, № 4, стр. 815 -817.

24. Коновалов A.B. Определяющие соотношения для упругопластической среды при больших пластических деформациях. // Изв. РАН. МТТ. 1997, №5, с. 139-147.

25. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наук, думка, 1987. 232 с.

26. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций. // Вопросы теории пластичности. M.: Изв. АН СССР, 1961, с. 58-82.

27. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, - 1980. - 512 с.

28. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры процессов конечного деформирования // 'Известия Северокавказского научного центра высшей школы '. Естественные науки. 1987. -№ 2. - С. 49-53.

29. Маркин А.А Построение образа процесса конечного формоизменения. Тезисы доклада // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1984. - №5. - с.98.

30. Маркин А.А Меры деформации, потенциалы. // Тезисы докладов 2 всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. Фрунзе: 'Илим', - 1985.-с. 9-10.

31. Маркин A.A. Определяющие соотношения конечного упругопластиче-ского деформирования./ ТулПИ. Тула, 1985. - 17с. - Рус. - Деп. В ВИНИТИ 08.04.85, № 2358 - 85 Деп.

32. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, - 1974. 206 с.

33. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няншин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.

34. Прагер В. Элементарный анализ определений скоростей изменения напряжений. // Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1960. №3. С. 69-74.

35. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во иностр. Лит., 1956. 398 с.

36. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. -284с.

37. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. Учебник для университетов. -М.: Наука, 1970.-492 с.

38. Соколовский В.В. Теория пластичности. Высшая школа, М.-1969.

39. Тарновский В. И. Исследование волочения как жесткопластического течения в сходящемся канале. // Известия вузов. Черная металлургия. 1998, № 5, с. 31-35.

40. Толокоников Л.А. Механика деформированного твердого тела: Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1979. - 318 с.

41. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

42. Коротационные производные и определяющие соотношения в теории больших деформаций. / П.В. Трусов, В.В. Мулюков, В.Д. Онискив / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. - 25с. - Рус. - Деп. В ВИНИТИ, 14Л2.85 № 8020 - 25 Деп.

43. Хилкова О.В. Плоские стационарные течения упрочняющегося материала. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 10 межвузовской конференции. 4.1. - СамГУ, Самара. - 2000 г. - С. 173-178.

44. Хилкова О.В. Плоское стационарное течение жесткопластического материала с изотропным упрочнением. // Известия ТулГУ. Серия «Математика. Механика. Информатика». Т. 6. Вып. 2. Механика. - Тула: ТулГУ, 2000 г. - С. 167-170.

45. Хилкова О.В. Плоское стационарное течение упрочняющегося материала в сходящемся канале. // Известия ТулГУ. Серия «Математика. Механика. Информатика». Т. 6. Вып. 2. Механика. - Тула: ТулГУ, 2000 г. -С. 171-177.

46. Хилл Р. Некоторые основные принципы механики твердых тел при отсутствии влияния естественного времени. // Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1960. №3. С. 75-93.

47. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 407 с.

48. Atluri S.N. On constitutive relations an finite strain : hypo elasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening // Comput. Meth. Appl. and Eng. - 1984.-Vol. 43. №2.-p. 137-171.

49. Bathe K.J., Snyder M.D., Cimento A.P., Donald R.W. On some current procedures and difficulties in finite element analysis of elastic-plastic reponse. // Comput. and Struct. 1980. V. 12. No. 4. P. 607-624.

50. Cheng J. II., Kikuchi N. An Analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations. // Comput. Meths. Appl. Mech. Eng. 1985. V. 49. No. 7. P. 71-108.

51. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations // Trans. ASME : G. Appl. Mech. 1983. - Vol. 50. - № 3. - p. 561 -565.

52. Dienes I.K. On the analysis of rotation and stress rate in deformation bodies // Acta. Mech. 1979. - № 32. - p. 217 - 232.

53. Hill R. Ideal forming operations for perfectly plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. № 3. P. 223-227.

54. Kleiber M. A note of finite strain theory of elastoplasticity // Acta. Mech. -1984.-№50.-p. 291 -297.

55. Kleiber M., Raniecki B. Elastic plastic materials of finite strain // Plasticity Today : Modeling, Method and Application. - London, New - York. - 1985. -p. 3-46.

56. Lange K., Herrmann M., Keck P.,Wilhelm M. Application of an elasto-plastic finite element code to the simulation of metal forming processes // J. Mater. Proc. Technol. 1991. V. 27. No. 1-3. P. 239-261.94

57. Lee E.H., Mallet R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite -deformation plasticity // Trans. ASME : G. Appl. Mech. 1983. - Vol. 50. - № 3. -p. 554-560.

58. Lee E.H. Finite deformation effect in plasticity analysis // Numerical Analysis of Forming Processes / Eds. by J.F.T. Pittman et al. N.J.: Wiley, 1984. P. 372393.

59. Palmer W.B., Oxley P.L.B. Mechanics of ortogonal machining./ / Proc. Inst. Mech. Engrs. 1959. T. 173. №24. P. 623-654.

60. Richmond O., Devenpeck M.L. A die profile for maximum efficiency in strip drawing // Proc. 4 th US. Nat. Cong. Appl. Mech. V. 2. / Ed. R. M. Rosenberg New-York: ASME. 1962. P. 1053-1057.