Задачи осесимметричного течения для различных моделей жестко-пластических материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Кинематические соотношения и условия равновесия в установившихся процессах конечного деформирования.

1.1. Запись кинематических соотношений в координатах, связанных с линиями тока.

1.2. Условия равновесия и уравнение совместности девиаторных составляющих тензора истинных напряжений. 2. Определяющие соотношения и постановка задачи

II стационарного течения пластических материалов.

2.1. Определяющие соотношения теории пластичности.

2.2. Связи между напряжениями и кинематическим потенциалом при стационарном движении.

3. Безвихревое течение в коническом канале.

3.1. Решение для модели идеально пластического материала.

3.2. Решение для модели жестко-пластического материала с изотропным упрочнением.

3.3. Решение для моделей материалов, описываемых аналогом деформационной теории.

4 4. Осесимметричное вихревое течение пластических материалов в коническом канале.

4.1. Решение для модели идеально пластического материала.

4.2. Решение для моделей материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого деформационной теорией с абсолютной производной.

4.3. Решение для модели материала, описываемого деформационной теорией скоростного типа с Яуманновской производной.

5. Решение задачи прямого выдавливания жестко-пластического материала через коническую матрицу.

5.1. Движение материала без учета трения о рабочую поверхность матрицы (безвихревое течение).

5.2. Сравнительный асимптотический анализ процесса прямого выдавливания для различных моделей материала (вихревое течение).

5.2.1. Вихревое течение идеально жестко-пластического материала.

5.2.2. Вихревое течение материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого модифицированной теорией с абсолютной производной.

5.2.3. Вихревое течение материала, описываемого модифицированной теорией с Яуманновской производной.

5.2.4. Сравнительный анализ асимптотических решений задачи прямого выдавливания для различных моделей материалов.

5.3. Сравнительный асимптотический анализ процесса прямого выдавливания для различных моделей материала при условии

Кулонова трения (вихревое течение).

Щ 5.3.1. Модель идеально жестко-пластического материала.

5.3.2. Материал с изотропным упрочнением и материал, описываемый модифицированной деформационной теорией с абсолютной производной.

5.3.3. Материал, описываемый деформационной теорией с Яуманновской производной.

5.3.4. Сравнительный анализ асимптотических решений задачи прямого выдавливания для различных моделей материалов с учетом Кулонова трения.

Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.

В начале XX века были опубликованы работы Хаара и Кармана, Мизеса. В первой из них была сделана попытка получить уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано условие текучести.

Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается по двум главным направлениям: теория пластического течения и деформационная теория. В работах Прандтля, Мизеса, Рейса были получены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. В трудах Генки были сформулированы основные положения деформационной теории пластичности. Однако законченный вид деформационная теория пластичности (теория малых упругопластических деформаций) приобрела благодаря работам А.А Ильюшина [16].

Вопросы экспериментального обоснования различных вариантов теории пластичности на основе общей теории процессов A.A. Ильюшина рассматривались в работах P.A. Васина [10], В.Г. Зубчанинова [15], Э.С. Ленского [32].

Исследованию задач установившегося течения пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы Д.Д. Ивлева [8], И.А. Кийко [20, 21, 22], В.В. Соколовского [44], О.Д. Григорьева [11], М.Я. Бровмана [4, 5, 6].

В рамках модели идеального жестко-пластического материала существует класс решений, известных как идеальные течения. Впервые возможность получения таких решений для установившихся плоских течений была показана в статье [63], в этой работе было получено решение, описывающее процесс выдавливания через матрицу специальной формы. Доказательство существования идеальных течений дано в статье [56].

В работах Кийко [20, 21, 22] получены точные решения задач о течении пластического материала в тонком слое, найденные с помощью интегрирования вдоль линий тока.

В работе [45] получено замкнутое аналитическое описание напряженно-деформированного состояния при волочении, удовлетворяющее всем условиям пластичности и граничным условиям.

В книге [44] приведены решения задач для осесимметричного течения идеально пластического и упрочняющегося материала при малых деформациях в коническом канале.

В работе [1] исследованы уравнения теории идеальных течений для установившегося плоского течения. В данной работе показано, что если условия идеальной пластичности течения выполняются, то существуют еще две переменные, которые подчиняются телеграфному уравнению. Эти переменные определяют связь между декартовой и криволинейной системами координат, координатные линии которой являются линиями тока и ортогональными к ним линиями.

Простота уравнений теории идеальных течений имеет большое практическое значение при теоретическом определении оптимальных геометрических параметров инструмента для различных операций обработки металлов давлением. Отметим также, что простота уравнений теории идеальных течений позволяет использовать решения задач в рамках этой теории как тестовые при отладке компьютерных программ, что является неотъемлемым элементом численного моделирования.

При этом основная часть задач рассматривалась в рамках теории течения с условием текучести Треска. Г. Генки было показано, что в этом случае разрешающая система уравнений гиперболическая с ортогональными характеристическими линиями. Однако известно, что условие текучести Мизеса лучше аппроксимирует экспериментальные данные. Кроме того, многие материалы упрочняются в процессе деформирования, в связи, с чем вырос интерес к исследованию задач установившегося течения с учетом упрочнения.

Для течений упрочняющегося жестко-пластического материала даже в случае малых деформаций [44] уравнения равновесия усложняются. Соответственно, нахождение аналитического решения этих задач затрудняется.

В статье [24] представлена замкнутая постановка краевой задачи плоского установившегося течения упрочняющегося жестко-пластического материала при больших деформациях. Показана невыполнимость теорем Генки для линий скольжения. В статье делается вывод о необходимости использования численных методов для решения задач плоского установившегося течения упрочняющегося жестко-пластического материала. Лишь в исключительных случаях возможно построение аналитических решений.

В статьях [12, 23] рассмотрен метод решения задач установившегося течения жестко-пластического материала с упрочнением. В отличие от задач о течении идеально пластических тел, где удается получить интегралы уравнений равновесия, например интегралы Генки для плоской деформации [41, 44], уравнения равновесия для упрочняющегося жестко-пластического материала [24, 62] не интегрируются. Это обстоятельство затрудняет использование прямых методов расчета, поэтому эффективным становится применение различных полуобратных методов. Рассматривается установившееся течение, когда траектории движения частиц, вдоль которых необходимо интегрировать параметр упрочнения для определения поверхности нагружения, совпадают с линиями тока. В работе [23] дано обобщение этого метода для плоского течения изотропно-упрочняющегося материала с гладкой поверхностью нагружения; получены решения задач о течении в шероховатом сходящемся канале и волочении тонкостенной трубы. В работе [23] хоть и введены линии скольжения, частные решения даны при условии, что линии тока совпадают с линиями скольжения. Так как полученные уравнения равновесия в общем случае не интегрируются. В работе [12] построены решения задачи течения материала в сходящемся канале с прямолинейными шероховатыми стенками и задачи течения материала в конфузоре с шероховатыми стенками, образованными логарифмическими спиралями. При сравнении данных задач отмечен дуализм: в случае течения по линиям тока, представляющим собой лучи, линии скольжения будут логарифмическими спиралями и наоборот, в задаче о течении в канале с логарифмическим профилем линии скольжения будут прямыми.

Первоначально полу обратный метод решения был предложен в [11] и применялся для задач об установившемся идеально пластическом течении материала Мизеса в криволинейном канале. Полуобратный метод основан на задании семейства линий тока и определяющих кинематических характеристик течения из удовлетворения уравнениям равновесия; такой характеристикой может быть модуль вектора скорости или некоторые другие величины, функционально с ним связанные. Этим методом найдено большинство точных решений. Так в задаче о течении среды в канале с прямолинейными стенками допущение о том, что линии тока - прямые, проходящие через начало координат, оправдывается и позволяет найти решение [44, 50]. В статье [4] найдено частное решение, в котором линиями тока являются логарифмические спирали. В работе [6] показано, что данным методом для гиперболических линий тока можно получить точные решения не только для статических задач, но и для динамических задач.

В работе [5] рассмотрен вопрос о проверке допущения о том, что кривые данного семейства являются линиями тока. При этом скорость и компоненты девиатора напряжений выражаются через функцию одной из криволинейных координат. Получено нелинейное дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция, если допущение оказывается правильным.

В последнее время активно развивается направление в пластичности не опирающееся на концепцию предельных поверхностей. Обобщение деформационной теории А.А. Ильюшина [14] поставило вопрос о выборе наилучшей коротационной производной в определяющих соотношениях, который рассматривается во многих работах [7, 48, 51, 54, 55, 57, 58, 60]. В работах [52, 53, 59, 61] получены и применяются определяющие соотношения, в которых используют непосредственно производную Яуманна. Такой подход вытекает из потребности исключить влияние жесткого вращения частицы при распространении определяющих соотношений для малых деформаций на большие, и восходит еще к работам Прагера [41] и Хилла [49].

В статье [25] в определяющих соотношениях предложено применять производную Коттера и Ривлина. Автор пишет, что использование вихревой производной Яуманна в определяющих соотношениях приводит к осцилляции напряжений при простом сдвиге [39]. Но в статье [9] показано, что применение полярной производной Яуманна устраняет этот недостаток.

Для выбора производных, в работе [37], кроме требования объективности [33, 47], было сформулировано дополнительное требование объективности. Было показано, что дополнительному условию удовлетворяют лишь абсолютная и полярная Яуманновская производные. В работе [37] показано, что при изотропных и близких к ним процессах полярная и вихревая производные совпадают.

Отметим, что постановки и решения задач установившегося течения на основе вариантов деформационной теории практически отсутствуют. Представляется актуальной разработка достаточно общей постановки и метода решения задач осесимметричного установившегося пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических сред; проведение сравнительного анализа решений, соответствующих теории течения (с учетом и без учета упрочнения), а так же вариантам деформационной теории скоростного типа.

Учитывая выше сказанное, сформулируем цель работы: разработка общей постановки и метода решения задач осесимметричного стационарного пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических материалов; построение и сравнение аналитических решений задачи осесимметричного стационарного течения несжимаемых материалов при использовании различных моделей конечного пластического деформирования.

В данной работе построены аналитические решения для задач осесимметричного стационарного движения пластических материалов при конечном деформировании как в рамках теории пластического течения с изотропным упрочнением, так и с использованием двух вариантов деформационной теории. Выведено условие совместности для девиаторных составляющих тензора напряжения. У многих авторов [2, 5, 23] оно встречается в частных решениях плоских задач стационарного течения материала, но в общем виде приведено не было. Проведено сравнение результатов задач для различных моделей материала. Результаты работы были приведены в статьях [26-30].

Выводы по 5-ой главе:

1. Получено общее решение задачи прямого выдавливания при безвихревом осесимметричном стационарном течении. Решения для напряженного состояния различных моделей упрочняемых материалов одинаковы.

2. Найдены асимптотические решения для напряженного состояния при учете сдвиговых деформаций и интегральном учете Кулонова трения. Учет трения приводит к отличиям в кинематике течения для различных моделей материала и, как следствие, к отличиям в напряженном состоянии.

3. Учет сдвиговых деформаций и трения приводит к нарушению «гипотезы плоских сечений» при прямом выдавливании, и искривления изначально плоского сечения значительны для всех моделей материалов.

4. Характер радиальных напряжений стрр для безвихревого течения и для процесса с учетом сдвиговых деформаций подобен для всех моделей материалов. Максимальные значения эти напряжения имеют при входе материала в матрицу и, достаточно равномерно уменьшаясь, достигают нуля при выходе. Количественно учет сдвиговых деформаций и силы трения приводит к увеличению максимальных по модулю значений напряжений арр по сравнению с безвихревым течением. Увеличение напряжений стрр зависит от значений коэффициента трения к ив меньшей степени от модуля упрочнения G.

5. На характер тангенциальных напряжений сг = ст большое влияние ии оказывает значение модуля упрочнения G. При безвихревом течении для неупрочняемого и слабоупрочняемого материалов распределение напряжений оаа - <rw подобны для различных модулей материала.

Максимальные значения по модулю эти напряжения имеют при входе в матрицу и, равномерно уменьшаясь, достигают минимума на выходе. Для сильноупрочняемого материала распределение напряжений оаа = crw становится другим: после входа материала в матрицу абсолютное значение этих напряжений растет, достигая максимума в области середины матрицы, и затем уменьшается к выходу, приближаясь, но, не достигая значений на входе. При учете сдвиговых деформаций и трения распределение напряжений оаа = сг^ подобно безвихревому течению для всех моделей материала. Количественно при вихревом течении происходит рост значений этих напряжений по сравнению с безвихревым. Зависит этот рост от величины коэффициента трения к и модуля упрочнения (?. Это увеличение максимально для материала, описываемого деформационной теорией с Яуманновской производной. Наибольшие отличия в напряженном состоянии для различных моделей определяющих соотношений наблюдаются в сдвиговых напряжениях. Для идеально жестко-пластического материала касательные напряжения на рабочей поверхности матрицы одинаковы по всей ее длине. Для модели материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого деформационной теорией с абсолютной производной, имеющих одинаковые определяющие соотношения, сдвиговые напряжения при входе материала в матрицу совпадают со сдвиговыми напряжениями для идеально жестко-пластического материала, и затем достаточно быстро увеличиваются к выходу, достигая значений в несколько раз больших, чем на входе. Имеет большое значение при этом величина коэффициента трения к и модуля упрочнения (7. Для модели материала, описываемого деформационной теорией с Яуманновской производной, касательные напряжения на входе равны нулю и быстро возрастают к выходу, достигая значений больших, чем для материала с изотропным упрочнением. Физику процесса наиболее точно отражает модель материала, описываемая деформационной теорией с Яуманновской производной, т.к. при входе материала в матрицу отсутствуют сдвиговые деформации и, соответственно, касательные напряжения должны быть равны нулю. Наибольший интерес с прикладной точки зрения имеет зависимость для удельного давления прессования <7 от относительного радиуса выходного отверстия матрицы р0. При вихревом течении с учетом трения значения <7 возрастают по сравнению с безвихревым для всех рассматриваемых моделей материала и, уже при значениях р0 порядка 0,7 рост составляет более 10%, при меньших значениях р0 это отличие становится значительнее. Большое влияние на величину д имеют значения коэффициента Кулонова трения к и модуля упрочнения С. Следует отметить, что для инженерной оценки усилия выдавливания необходимы максимальные значения удельного давления прессования и в этом отношении предпочтительнее выглядит модель материала, описываемая деформационной теорией с Яуманновской производной, которая дает при вихревом течении с учетом трения наибольшие значения q при любых значениях /?0.

В целом напряженное состояние материала и кинематику процесса для стационарного осесимметричного течения при прямом выдавливании через коническую матрицу, как с физической, так и с инженерной точки зрения наиболее корректно отражает модель определяющих соотношений, описываемая деформационной теорией скоростного типа с вихревой Яуманновской производной, по сравнению с другими рассматривавшимися моделями материалов.

Результаты и выводы по работе:

Получены представления кинематических характеристик стационарного осесимметричного течения несжимаемой среды через потенциальную функцию переменной а2, отсчитываемой вдоль координатных линий, лежащих в меридиональной плоскости и ортогональных линиям тока. Дана универсальная для различных моделей несжимаемого жестко-пластического материала постановка задач осесимметричного течения без ограничения на степень деформации.

Найдены в явном виде поля девиаторных составляющих тензора напряжений в сферических координатах, выраженные через кинематический потенциал для изотропно упрочняющегося материала и моделей материалов, описываемых деформационной теорией скоростного типа с использованием абсолютной и Яуманновской производных. Задачи о течении в коническом канале материала, описываемого различными моделями пластичности, сведены к определению кинематического потенциала из обыкновенного дифференциального уравнения, являющегося следствием условия совместности девиаторных составляющих тензора напряжений.

Показано, что представление девиаторных компонент тензора напряжений через кинематический потенциал для материала с изотропным упрочнением является частным случаем распределения девиаторных составляющих напряжений для материала, описываемого деформационной теорией скоростного типа с абсолютной производной.

6. Получены точные решения задачи о безвихревом течении пластических сред в коническом канале, на основании которых найдены зависимости усилия выдавливания от геометрии матрицы и характеристик материала без учёта силы трения. Показано, что решения в рамках теории течения упрочняющегося материала и деформационных теорий скоростного типа совпадают.

7. Задача о вихревом течении идеально пластического материала сведена к решению обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения относительно касательной компоненты тензора напряжений. Данное уравнение эквивалентно системе двух дифференциальных уравнений, полученных В.В. Соколовским.

8. Решение задачи о вихревом течении изотропно упрочняющегося материала и материала, описываемого модифицированной деформационной теорией с абсолютной производной, представлено в квадратурах.

9. В области геометрических параметров процесса, исключающей осцилляцию напряжений, получено аналитическое решение задачи о течении материала, описываемого деформационной теорией скоростного типа с Яуманновской производной.

10. Из сравнительного анализа асимптотических представлений полей напряжений, соответствующих различным моделям материала, но одинаковой кинематике течения, установлено, что физику процесса более корректно отражает модифицированная деформационная теория с Яуманновской производной.

11. Предложена методика определения в рамках различных моделей материалов характеристик процесса прямого выдавливания с учётом трения о стенку конической матрицы.

12. Показано, что учёт сдвиговых деформаций и трения приводит к нарушению часто используемой в инженерных расчётах «гипотезы плоских сечений» при прямом выдавливании, и искривления изначально плоского сечения значительны для всех рассматривавшихся моделей материалов.

1. Александров С.Е. Плоские установившиеся идеальные течения в теории пластичности. //Изв. РАН. МТТ. 2000. №2. С. 136-141.

2. Александров С.Е., Гольдштейн Р.В. Некоторые точные решения в элементарных функциях в теории плоского пластического течения в полярных координатах. // Изв. РАН. МТТ. 1997. №4. С. 106-112.

3. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1966. — 250 с.

4. Бровман М.Я. О движении пластической массы в криволинейном канале//Прикладная механика. 1983. Т. 19. № 8. С. 121-124.

5. Бровман М.Я. О линиях тока при плоской пластической деформации.// Изв. РАН. МТТ. 1989. №2. С. 185-187.

6. Бровман М.Я. Применение гиперболических линий тока при исследовании плоской пластической деформации.// Известия вузов. Черная металлургия. 1995. № 1. С. 25-28.

7. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформированных сред.// ПММ. 1990. Т. 54. Вып.5. С. 814-824.

8. Быковцев Г.И, Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1966. - 231 с.

9. Быченков В.А., Свиденский В.А. Некорректность модели упругопла-стического течения в методе Уилкенса.// Физика горения и взрыва. 1990. Т. 26. №1.С.118-122.

10. Васин Р. А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном напряжении. // Упругость и неупругость. Вып.1. М.: Изд-во МГУ, 1971. С. 59-126.

11. Н.Григорьев О. Д. К теории плоской деформации жесткопластического тела.//ПММ. 1961. Т.2. Вып. 5. С. 906-911.

12. Давыдова Е.А., Сахаров А.Н. Течение изотропно упрочняющегося жесткопластического материала в плоских каналах.// Механика твердого тела. 2001. №6. С. 125-131.

13. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение. 1990. 271 с.

14. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. // Прикладная математика и механика. 1943. - Т. VII. Вып. 4. - С. 245272.

15. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

16. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Учебник для университетов. -2-е изд., перераб. и дополн. М.: Изд-во МГУ, - 1978. - 287с.

17. Качанов JI.H. Основы теории пластичности. М.: Наука, - 1969. - 420с.

18. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям.// Инженерный журнал, механика твердого тела, 1966, № 5, стр. 123-126.

19. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым плоскостям.// Инженерный журнал, V, вып. 2, 1965, стр. 372-375.

20. Кийко И.А. О воздействии сжатого пластического тонкого слоя на упругие поверхности.//Изв. РАН, механика и машиностроение, 1961, № 6, стр. 131-133.

21. Киквидзе Д.А., Корякин JI.A., Сахаров А.Н. Полуобратный метод решения задач установившегося течения жесткопластического материала с упрочнением.// Механика твердого тела, 1993, № 6, стр. 79-85.

22. Клюшников В.Д. плоское установившееся течение упрочняющегося материал а.//Докл. АН СССР,1988. Том 303, № 4, стр. 815 -817.

23. Коновалов A.B. Определяющие соотношения для упругопластической среды при больших пластических деформациях. // Изв. РАН. МТТ. 1997, №5, с. 139-147.

24. Красавин Р.В., Маркин A.A. Установившееся течение упруго-пластического материала в конической матрице// Прикладные задачи механики сплошных сред/ Сб науч.ст. Воронеж: Изд-во ВГУ. - 1999. -С. 148-154.

25. Красавин Р.В., Маркин A.A., Хилкова О.В. Постановка задачи стационарных осесимметричных течений для различных моделей пластических материалов// Известия ТулГу. Серия Математика. Механика. Информатика- Том 7. Выпуск 2. Механика. - 2001. - С. 188-195.

26. Красавин Р.В., Хилкова O.B. Осесимметричное установившееся течение упрочняющихся материалов// Математическое моделирование и краевые задачи/ Труды двенадцатой межвузовской конференции. Часть 1. -Самара: Изд-во СамГУ, 2002. С. 201-203.

27. Красавин Р.В., Хилкова О.В. Осесимметричное установившееся течение изотропно упрочняющегося материала// Известия ТулГУ. Серия Машиностроение. Выпуск 7. — Тула, 2002. — С. 64-73.

28. Красавин Р.В. Установившееся течение идеально-пластического материала в коническом канале// Механика деформируемого твёрдого тела и обработка металлов давлением. Часть 1/ Межвуз. сб. науч. тр. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. - С. 63-70.

29. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наук, думка, 1987. 232 с.

30. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций. // Вопросы теории пластичности. М.: Изв. АН СССР, 1961, с. 58-82.

31. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. -М.: Наука, 1980. - 512 с.

32. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры процессов конечного деформирования // 'Известия Северокавказского научного центра высшей школы '. Естественные науки. 1987. -№ 2. - С. 49-53.

33. Маркин А.А Построение образа процесса конечного формоизменения. Тезисы доклада // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. — 1984. -№5.-с.98.

34. Маркин А.А Меры деформации, потенциалы. // Тезисы докладов 2 всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. Фрунзе: 'Илим',- 1985.-с. 9-10.

35. Маркин A.A. Определяющие соотношения конечного упругопластиче-ского деформирования./ ТулПИ. Тула, 1985. - 17с. - Рус. - Деп. В ВИНИТИ 08.04.85, № 2358 - 85 Деп.

36. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, - 1974. 206 с.

37. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няншин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.

38. Прагер В. Элементарный анализ определений скоростей изменения напряжений. // Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1960. №3. С. 69-74.

39. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во иностр. Лит., 1956. 398 с.

40. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.-284с.

41. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. Учебник для университетов. М.: Наука, - 1970. - 492 с.

42. Соколовский В.В. Теория пластичности. Высшая школа, М.-1969.

43. Тарновский В. И. Исследование волочения как жесткопластического течения в сходящемся канале. // Известия вузов. Черная металлургия. 1998;№ 5, с. 31-35.

44. Толокоников Л.А. Механика деформированного твердого тела: Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1979. - 318 с.

45. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

46. Коротационные производные и определяющие соотношения в теории больших деформаций. / П.В. Трусов, В.В. Мулюков, В.Д. Онискив / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. - 25с. - Рус. — Деп. В ВИНИТИ, 14.12.85 № 8020-25 Деп.

47. Хил л Р. Некоторые основные принципы механики твердых тел при отсутствии влияния естественного времени. // Механика. Период, сб. пе-рев. иностр. статей. 1960. №3. С. 75-93.

48. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 407 с.

49. Atluri S.N. On constitutive relations an finite strain : hypo elasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening // Comput. Meth. Appl. and Eng. - 1984. - Vol. 43. № 2. - p. 137 - 171.

50. Bathe K.J., Snyder M.D., Cimento A.P., Donald R.W. On some current procedures and difficulties in finite element analysis of elastic-plastic reponse. // Comput. and Struct. 1980. V. 12. No. 4. P. 607-624.

51. Cheng J. II., Kikuchi N. An Analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations. // Comput. Meths. Appl. Mech. Eng. 1985. V. 49. No. 7. P. 71-108.

52. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations // Trans. ASME : G. Appl. Mech. 1983. - Vol. 50. - № 3. - p. 561 -565.

53. Dienes I.K. On the analysis of rotation and stress rate in deformation bodies // Acta. Mech. 1979. - № 32. - p. 217 - 232.

54. Hill R. Ideal forming operations for perfectly plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. № 3. P. 223-227.

55. Kleiber M. A note of finite strain theory of elastoplasticity // Acta. Mech.1984.-№50.-p. 291 -297.

56. Kleiber M., Raniecki B. Elastic plastic materials of finite strain // Plasticity Today : Modeling, Method and Application. — London, New — York.1985.-p. 3-46.

57. Lange K., Herrmann M., Keck P.,Wilhelm M. Application of an elasto-plastic finite element code to the simulation of metal forming processes // J. Mater. Proc. Technol. 1991. V. 27. No. 1-3. P. 239-261.

58. Lee E.H., Mallet R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite — deformation plasticity // Trans. ASME : G. Appl. Mech. 1983. - Vol. 50. -№ 3. - p. 554 - 560.

59. Lee E.H. Finite deformation effect in plasticity analysis // Numerical Analysis of Forming Processes / Eds. by J.F.T. Pittman et al. N.J.: Wiley, 1984. P. 372-393.

60. Palmer W.B., Oxley P.L.B. Mechanics of ortogonal machining./1 Proc. Inst. Mech. Engrs. 1959. T. 173. №24. P. 623-654.

61. Richmond O., Devenpeck M.L. A die profile for maximum efficiency in strip drawing // Proc. 4 th US. Nat. Cong. Appl. Mech. V. 2. / Ed. R. M. Rosenberg New-York: ASME. 1962. P. 1053-1057.