Плюригармонический анализ Фурье и теория функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ДУБЦОВ Евгений Сергеевич

плюригармонический анализ фурье и теория функций

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

ш

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук В.И.Васюнин

доктор физико-математических наук, профессор Г.М. Хенкин

доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Эйдерман

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Защита состоится " 27 " декабря 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А. Стсклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь Совета доктор физико-математических наук

А.Ю.Зайцев

общая характеристика работы

актуальность темы. Эвристический принцип неопределенности, согласно которому ненулевая мера и ее преобразование Фурье не могут быть "малыми" одновременно, мотивирует многочисленные актуальные задачи гармонического анализа (см. [Ш]). В частности, к данному типу задач относятся классические вопросы об ограничениях на преобразование Фурье сингулярной меры (см. [ИМ], [ВН], [Ко]). Актуальны многомерные обобщения таких вопросов.

В случае нескольких (вещественных или комплексных) переменных актуальность рассматриваемых задач гармонического анализа также обусловлена их взаимосвязями с неизученными свойствами классических функциональных пространств. Наконец, исследуемые плюригармонические меры тесно связаны с вопросами теории операторов о циклических векторах, которые весьма актуальны (см.

[ыкг]).

цель работы. На комплексной сфере построить и исследовать аналоги классических произведений Рисса. Доказать многомерные аналоги теоремы Ивашева-Мусатова. Охарактеризовать симметричные меры и меры Зигмунда с помощью их гармонических продолжений. Использовать полученные результаты в теории функций нескольких комплексных переменных.

общая методика ИССЛЕДОВАНИЯ. Используется аппарат гармонического анализа на однородных пространствах компактных групп, методы многомерного комплексного анализа, вещественного гармонического анализа и линейного функционального анализа, а также (в главе 2) применяются некоторые вероятностные методы.

научная новизна. Предложены конструкции плюригармоничес-ких произведений Рисса, с помощью которых доказаны утверждения нового типа о сингулярных мерах с малым преобразованием Фурье (плюригармонические аналоги теоремы Ивашева-Мусатова). Получены новые описания симметричных мер и мер Зигмунда на евклидовых пространствах. Доказана новая факторизационная теорема для класса Неванлинны в шаре. Впервые построены внутренние функции из малого пространства Блоха в шаре. Полученные результаты о слабо внешних функциях также являются новыми.

практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Методы и результаты могут быть применены в смежных областях гармонического анализа, теории функций и теории операторов.

апробация работы. Результаты диссертации были представлены в тезисах докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003), докладывались на ежегодных конференциях по анализу в Санкт-Петербургском институте Эйлера (1997-1999, 2002), на конференции "Анализ и операторы" (Испания, 2003), на конференциях по комплексному анализу в Пала-мосе (Испания, 1997), в Сан-Ферреоле и в Баларюк-ле-Бэне (Франция, 1996); на коллоквиумах университета Уэйн (Детройт, 2000) и университета штата Вашингтон (Пуллман, США, 2000); в разные годы на семинаре по комплексному и линейному анализу ПОМИ-СПбГУ, на семинарах по нескольким комплексным переменным университета Упсалы (Швеция) и университета Тулуза-3 (Франция), а также на семинарах по анализу университета штата Мичиган (Ист Лэнсинг, США), университета Барселоны и автономного университета Барселоны (Испания).

публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-14], одна из которых написана в соавторстве с А. Нико-лау.

структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 99 наименований. Общий объем работы — 198 страниц.

содержание работы

общее описание. В первую очередь работа посвящена исследованию функций и мер, заданных на единичной комплексной сфере 5 = 5„ = {£ е С" : = 1}, п ^ 2. Отметим, что .У является однородным пространством, аименно, 5 = И(п)/1/(п — 1), где К{п) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С". Это обосновывает использование методов абстрактного гармонического анализа. Соответствующие общие конструкции на сфере Л' могут быть явно реализованы в терминах пространств

н(р,д),(р,я)

Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н(р, q) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (р, g) € Это означает, что рассматриваемые полиномы имеют степеньр по переменным z\, z2,..., z„, с степень q по переменным Ji,^,.. .,zn и общую степ еНь<Ч а с т о Н(р, q) называют пространством комплексных сферических гармоник.

Задачи гармонического анализа. Обозначим символом M(S) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на S. Пусть Kpq{z,Q — воспроизводящее ядро дня гильбертова пространства .H(p,q) с L2(a), где сг обозначает нормированную меру Лебега на сфере. Тогда многочлен

называют Н(р, ^-проекцией меры ц е M(S). Обозначение spec (р) используется для спектра меры р £ М(5) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем

Как обычно, функция f G и мера fa G M (S) отождествля-

ются. Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства Ll(S).

В главе 1 решаются задачи гармонического анализа на сфере, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества А с (разделы 1.1-1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении Q-шюригармонических сингулярных мер. Соответствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюри-гармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9).

Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Конкретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2-2.5).

Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре В = Вп = {С € С" : |С| < 1}, n ^ 2. Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности Т = {С G С : |С| = 1} и теории функций в единичном круге Ю> = {С G С : |С| < 1}. Соответствующие одномерные результаты мотивируют многомерные задачи, исследуемые в главе 3. А именно, в заключительной главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2-3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5-3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8.

Компактные операторы Ганкеля. Характеризуя методы исследований, необходимо указать, что связующим элементом между рассматриваемыми вопросами оказывается следующее свойство компактности дня операторов типа Ганкеля.

Зафиксируем множество (спектр) Л С Ъ2+ и положим

Рассмотрим ортогональный проектор К\ : L2(S) -» L\(S). Каждая функция (символ) <р € L°° (S) порождает JI-спектральный оператор типа Ганкеля IIa.v '■ L'2 (S) L2(S) с помощью формулы

Определение. Спектр Л с Z+ обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, Л € (КГ)), если преобразование сохраняет пространство C(S) и о п е :"£{<$)&+&(&) м -пактен для каждого многочлена (р на сфере S.

Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследова-нииплюригармоническихпроизведений Рисса (разделы 1.3-1.9 и 3.3)

и подобных объектов (раздел 3.2). Наконец, КГ-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).

обзор диссертации по главам. Введение содержит общую характеристику работы и основные обозначения и определения. Более подробно обсуждаются компактные операторы Ганкеля и близкое абстрактное понятие тугого пространства, введенное Б. Коулом и Т. Гамелином. В частности, устанавливается связь между тугими пространствами и правильными тройками из работы [Ал].

Глава 1. Плюригармонический анализ мер. Как отмечалось выше, исследуемые в данной главе вопросы мотивированы принципом неопределенности, который может быть сформулирован следующим образом:

ЕСЛИненулевая мера сосредоточена на малом множестве, то ее преобразование Фурье неможет быть слишкоммалым.

В частности, классическая теорема братьев Риссов утверждает, что при ¡л 6 М(Т) из условия fi(k) = 0 для всех k Eh- следует, что мера ц абсолютно непрерывна.

Пусть А с Ъ\. Положим MA(S) = {ц G M{S) : spec (pi) С Л}. Далее, по определению М\ (S) = {ц* : ц' является сингулярной частью некоторой меры ц е Мл(£>)}. Отметим, что в таких обозначениях теорема братьев Риссов приобретает следующий компактный вид:

Л*1+(Т) = {0}.

Первая цель главы 1 — исследовать спектральные множества, для которых заключение теоремы братьев Риссов не выполняется; точнее, искомые множества должны обладать следующим довольно редким свойством.

Определение. Множество Л С 7L\ называется сингулярным, если

1) множества M^(S) и M%3\A(S) нетривиальны;

2) если (взаимно сингулярны). Теорема 1.0.1. Для всех Q е ^множество

Л(д) = {{р, q) (p-Q)(<i-Q)=o,P>Q,q>Q}u {(о, о)}

является сингулярным.

Спектр Л(0) является естественным объектом в комплексном анализе, так как spec (/i) С Л(0) тогда и только тогда, когда интеграл Пуассона Р\р] является плюригармонической функцией. Соответствующие меры называют плюригармоническими. По аналогии, если

spec (ц) С Л(Q),

то мера ц называется Q-. плюригармонической.

Для изучения сингулярных спектральных множеств в разделе 1.1 развивается аппарат мер Хенкина.

Определение. Рассмотрим замкнутое подпространство X С С(5). Элемент ц £ M(S) называется Х-мерой (или мерой Хенкина), если

для всех последовательностей j С X, удовлетворяющих усло-

вию

fjgda 0 для всех д £ L1 (<г).

Далее, отметим, что для Q-плюригармонической меры ¡1 определены канонические срез-меры ц^ & М(Т) для <г-почти всех £ £ S. Это наблюдение использовано в разделе 1.2 для исследования Q-преобразований Коши Q-плюригармонических мер. Полученные результаты вместе со свойствами мер Хенкина приводят к доказательству теоремы 1.0.1.

Отправной точкой для дальнейших результатов о плюригармо-нических мерах служат классические утверждения о существовании на окружности сингулярных мер с малыми (в определенном смысле) коэффициентами Фурье. В частности, такие утверждения можно формализовать с помощью следующего понятия поточечной допустимой мажоранты.

Определение. Функция h : Z+ —> К+называется Т-допустимой, если существует сингулярная вероятностная непрерывная мера ц £ М(Т) такая, что ji(k) = С?(Л(|А:|)) при к —У оо.

L

В силу знаменитой теоремы Ивашева-Мусатова [ИМ] все стандартные тест-функции

являются Т-допустимыми.

Для доказательства подобных теорем на сфере в разделах 1.31.5 введены и исследованы плюригармонические произведения Рис-са, представляющие, возможно, самостоятельный интерес.

Прежде всего, напомним оригинальную конструкцию Ф. Рисса, которая лежит в основе дальнейших рассуждений. Зафиксируем последовательности а — {а*}^ С 1 и / = С Н, где

Зк+ъИк ^ 3. Произведение Рисса ц = ц{3,а) на единичной окружности Т определяется с помощью формального равенства

А именно, последовательность частичных произведений сходится к мере ц в слабой* топологии пространства М(Т).

Классический результат А. Зигмунда дает исчерпывающий ответ на вопрос о сингулярных и абсолютно непрерывных произведениях Рисса. Обозначим символом т нормированную меру Лебега на Т.

Дихотомия Зигмунда.

(¡) Пусть а е £2. Тогда ц(.7, а) -С т и ¿,ц/<1т € £2(Т). (и) Пусть а £ I2. Тогда а)±.т.

Дихотомия Зигмунда подсказывает, что при построении произведений Рисса на комплексной сфере удачной заменой для характеров может стать последовательность полиномов Рыля-Войтащика. А именно, предположим, что голоморфные многочлены Щ обладают следующими свойствами:

• ^ & Для универсальной константы 6 > 0.

Пусть называется

парой Рисса.

• Щ 6ЯО',0);

• Н-^Нхо.^) = 1;

Рассмотрим пару Рисса (Я, а) и лакунарную последовательность 3 — с Н такую, что ]к\\Цк ^ 3. Стандартное произве-

дение является прямым аналогом классической меры

Рисса и определяется равенством

Для построения плюригармонических произведений Рисса используется соответствующий проектор. Пусть Р£Я2(£) обозначает пространство таких функций / € £2(5), что интеграл Пуассона Р[/] плюригармоничен в шаре. Рассмотрим ортогональный проектор

Тогда каждая функция <р е (5) порождает оператор типа Ганке-ля с помощью формулы

Теперь предположим, что <р является многочленом. Тогда оператор IIV : C(S) C(S) компактен, следовательно,

[II/jIIc(S) слабо в L2(5)] => \\Hvf3\\c(s) 0. (1)

Указанное свойство оказывается решающим при переходе от стандартных произведений Рисса к плюригармоническим. Соответствующее рассуждение восходит к работе А.Б. Александрова [Ал]. Также прототип подобной конструкции, использующий ограниченный ортонормальный базис в пространстве Харди Я2(В), представлен в статье Ж. Бургейна [Во].

Итак, пусть (Я, а) является парой Рисса. По индукции построим последовательность плюригармонических многочленов <рк, <рь > 0, на сфере и множество индексов 3 — Ок}^, Зк+\Цк ^ 3. В качестве базы индукции зафиксируем л € N и определим = 1 + Ее (ахЩ^.

По индукционному предположению на шаге с номером А: + 1 уже построен строго положительный плюригармонический многочлен ¡рк. Положим

К : L2(S)->PLH2(S).

ВД] = ¥>*[/] - 1<Ы], f е l2(S).

ipk+i = К (<рк [l + Re (ак+1Я,„+1)]).

С помощью свойства (1) очередной индекс jk+1 выбирается столь большим, что (pk+i > 0. Также из лакунарности последовательности J следует, что новый спектр spec (<pk+i—<pk) не пересекается с некоторым квадратом [0, М]2, который содержит множество spec(y>fc).

Наложенные ограничения гарантируют, что последовательность fk<r слабо* сходится к некоторой вероятностной плюригармоничес-кой мере. Такая предельная мера ж = n(R, J, а) называется плюри-гармоническим произведением Рисса.

В разделе 1.3 показано, что после минимальных изменений изложенная конструкция позволяет построить Q-плюригармонические произведения Рисса для всех Q £ Z+. Также отметим, что первая часть дихотомии Зигмунда без особых затруднений переносится на Q-плюригармонический случай.

Предложение 1.3.1. Зафиксируем Q G Z+ исоответствующуюпа-ру Рисса (R, а). Hf^A^mozda все Q-плюригармонические про-

изведения Рисса, основанные на паре (Л, а), абсолютно непрерывны относительно меры Лебега а.

Далее показано, что однородные многочлены Рыля-Войтащика можно заменить на подходящие полиномы с редким спектром. Такой вариант конструкции Рисса на окружности называют обобщенным произведением. В разделах 1.4 и 1.5 вводятся и исследуются L2- и L°°-обобщенные пары и произведения Рисса.

Опишем О-плюригармонический случай. Пусть для всех j, L G N зафиксированы такие однородные голоморфные многочлены Wd = Wd(j,L), d =1,2,..., D(j,L), что

• deg Wd ^ j;

• |deg Wdx — deg Wd31 ^ L (лакуны в спектре);

• lEdWdiOK 1 для всех С GS;

• Sdll^dllL2(s) ^ ^ для универсальной константы S > 0. Тогда положим

d

и определим R — {R{j, L))jl. Также зафиксируем последовательность коэффициентов а = {afc}*^ С Ю>. При таких предположениях (Л, о) называется L2-обобщенной парой Рисса.

Безусловно, предположение о лакунарности спектра становится вырожденным при Ь) = 1. Иными словами, всякая пара Рисса является /А обобщенной. Также отметим, что Ь°°-версия получается при замене последнего предположения о многочленах IVа на более ограничительное условие

Е1^(С)|2^>0 ДЛЯ всех С €5.

Итак, зафиксируем £2-обобщенную пару Рисса (R,a). При построении соответствующей меры ж повторяется необобщенная конструкция. Дополнительно положим = >рк + 2. Таким образом,

<рк+1 = К [рк (1 + йе [ак+1 ¿к+г)])] •

Отметим, что выбор величины (размера лакуны) гарантирует ключевое свойство в определении произведения Рисса. А именно, для каждого существует не более одного представления вида

где С1 — степени многочленов в однородном разложении полинома <Рк+1- Соответствующая предельная вероятностная мера тг = 7г(Д, 3% а) называется^2-обобщеннымплюригармонииескимпроизведением Рисса.

Основной результат раздела 1.4 в определенной степени заменяет вторую часть дихотомии Зигмунда.

Пусть и — — последовательность унитарных операторов

(на С) и Я — {Л^}!?.! — последовательности полиномов. По определению полагаем Ло[/ = Также ддя числовых последовательностей а = и 6 = определим аЬ = {а^к}^.

Теорема 1.4.1. Пусть <3 е Зафиксируемсоответствующую I?-обобщенную пару Рисса (R, a). Предположим, что а £ £2. Тогда длякаждогодостаточнолакунарногомножестваиндексов 7 С N существуют последовательность знакфв = {Рк}™^, Рк € {=Ы}> и последовательность унитарных опфат^фЬ^'^=.1 такие,что я-(Яо[/, .7, (За)±<т.

Безусловно, теорему 1.4.1 нельзя назвать полным аналогом второй части дихотомии Зигмунда, так как вместо изначального произведения я (Л, а) рассматривается мера п(Я, и, 3, 0, а). Вторым мотивом для внесения изменений в конструкцию Ь2-обобщенного произведения Рисса служат часто встречающиеся различия между свойствами, которые выполнены для почти всех точек С € 5 и соответствующими фактами, которые верны для всех точек С С 5. В частности, для положительной плюригармонической меры р срезы определены для всех £ е 5. Поэтому возникает естественный вопрос о существовании плюригармонических произведений Рисса, все срезы которых являются сингулярными мерами.

В разделе 1.5 показано, что на сформулированные вопросы о дихотомии Зигмунда и о срез-мерах можно одновременно ответить с помощью Ь°°-обобщения определения пары Рисса. Более того, для -обобщенных мер Рисса доказан следующий аналог классического критерия Пейрьера.

Теорема 1.5.5. Рассмотрим на, сфере Ь°° -обобщенныепарыРисса (Я,а) и (Я,Ь). Предположим, что^™^ — Ь= оо. Тогда для всех достаточно лакунарныхмножеств индексов 3 С N свойство ./, а)_1_тг£(Я, 3,6) имеет место для всехточек С € 5". Вчастнос-ти, имеем п(Я, 3, а)А.ж(Я, 3, Ь).

Заметим, что к (Я, 3,0) = <т для всех Я и 3. Таким образом, аналог дихотомии Зигмунда для /^-обобщенных плюригармонических мер Рисса является частным случаем теоремы 1.5.5.

Следствие 1.5.6. Пусть (Я, а) —Ь°°-обобщенная пара Рисса. Тогда

(1) если а е I2, то тг(Я, а) < <т и ¿ж/За е

(и) если а £ I2, тодлявсехдостаточнолакунарныхмножествш-дексов 3 срез-мера тг^(Я, 3, а) и мера Лебега на окружности Т взаимно сингулярны для всех точек С е 5. Вчастности,п(Я, 3, а)±а-.

Приложения построенных произведений Рисса к вопросам о допустимых мажорантах изложены в разделах 1.6-1.8.

Определение. Пусть г е (0, оо]. Функция Л : —> К+ называется 17 -допустимой (для размерности п ^ 2), если существует сингулярная вероятностная мера р е М(5„) такая, что

||/^2?о|1х.г(£) = 0{Ь{р)) и ррч = 0 при рд ф 0.

Иными словами, искомая мера ц должна быть плюригармоничес-кой. Также отметим, что Ь°°-допустимые мажоранты ограничивают коэффициенты Фурье всех срез-мер щ, £ G S. Таким образом, утверждения об ¿""-допустимых мажорантах можно считать наиболее точными аналогами теоремы Ивашева-Мусатова.

Некоторая информация о допустимых мажорантах получена в разделе 1.4. Действительно, в силу следствия 1.4.3 существует такая I.00-до пусти мая мажоранта h, что h(p) 0 при р —»■ оо. В разделе 1.6 доказано следующее количественное утверждение об L2-допустимых мажорантах.

Теорема 1.6.1. Положим h(p) = р-1''2, р 6 R. Тогдамажорантск являетсяЬ2 -допустимой дляразмерности п = 2.

Очевидно, что при условии h Е I2 мажоранта h не является L2-допустимой. Таким образом, теорема 1.6.1 точна относительно шкалы {/га}/сен. а € К. Далее, указанный результат имеет интерпретацию в вещественных терминах, так как соответствующая мера является плюригармонической. А именно, отождествим комплексную сферу Si"'1 С К2",' т о| | ¡д =а(9$1 /б/Щ, вде^^а чает проекцию меры ц на пространство Tik , состоящее из вещественных сферических гармоник. Также в разделе 1.6 приведен пример функции h : Ъ\ —»■ М+ такой, что h & И? и h не является L2-допустимой. Уточнение теоремы 1.6.1 в случае достаточно большой размерности доказано в разделе 1.7.

Теорема 1.1.1. Положим h(p) = (рlogр)3 при р ^ 2. Тогдама-жорантОявляется L2-допустимойдляразмерностип ^ 3.

В разделе 1.8 построены L°°-обобщенные пары Рисса, с помощью которых доказан плюригармонический аналог теоремы Ивашева-Мусатова.

Теорема 1.8.1. Длякаждого е > 0 функция h(p) = p~s loge рявляетсяЬ00 -допустимойдлявсехразмерностей п 2.

В заключительном разделе первой главы исследуются сверточные свойства канонических срезов плюригармонической меры. Давно известны примеры сингулярных вероятностных мер ц € М(Т) таких, что (I * ц £ If(T) дня в фе<ххД л я общих локально компактных абелевых групп этот вопрос был рассмотрен Э. Хьюиттом

и X. Цукерманом. Подобный результат о срезах плюригармоничес-кой меры немедленно следует из теоремы 1.8.1.

Следствие 1.9.1. Существует такая вероятностная плюригармо-ническая мера fi, что срез-меры fiç сингулярны и (iç*fi( G LP(T) для всех р< ооя всех С G S.

В основной теореме раздела 1.9 построены меры с противоположным свойством. На компактной абелевой группе примеры такого типа были получены Г. Брауном.

Теорема 1.9.4. Существует такое плюригармоническое произведение Рисса 7Г, что для почти всех точек £ G S выполнены следующие свойства:

• срез-мера сингулярна;

• все сверточные степени мерыttç взаимно сингулярны.

Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона. Результаты данной главы можно объединить с помощью следующей общей схемы:

Задан набор гладких (в определенном смысле) мер ц на сфере S или на евклидовом пространстве М". Требуется найти описание рассматриваемого набора в терминах соответствующих гармонических продолжений, т.е. в терминах интегралов Пуассона

Во второй главе использованы три способа формализации понятия "гладкая мера": с помощью модулей непрерывности, меры Зигмунда и симметричные меры. В каждом случае моделью служит известный одномерный результат о мерах на окружности Т.

Гладкость в терминах модулей непрерывности исследуется для мер, заданных на сфере. Эти результаты находят свое применение при изучении слабо внешних внутренних функций (раздел 3.5).

Определение. Вещественным модулем непрерывности положительной меры называют функцию

где E(C,S) — {£ G S : |С — < Комплексным модулем непрерывности положительной меры fi G M(S) называют функцию

Модулем непрерывности на срезах положительной плюригармо-нической меры р £ M(S) называется функция

где J С Т обозначает произвольную дугу.

Основной результат раздела 2.1 обобщает на плюригармоничес-кий случай теорему Г. Шапиро о гладких мерах на Т.

Предложение 2.1.2. Пусть ц — положительная сингулярная плю-ригармоническая мера на сфере Sn- Положим

/„(*)= «р (-/J

(1-<*.С>)"

dp{ С)

z ев.

Тогда следующие свойства равносильны:

При исследовании мер Зигмунда и симметричных мер изложение несколько отклоняется от основной линии и рассматриваются меры на М". С одной стороны, такое отклонение обусловлено техническими причинами, в частности, возможностью использования диади-ческих мартингалов. С другой стороны, излагаемые доказательства показывают, что соответствующие результаты имеют вещественную природу. Безусловно, в приложениях потребуются результаты о симметричных мерах, заданных на сфере Однако в задачах о функциях из малого пространства Блоха (разделы 3.2-3.3) удается воспользоваться свойствами одномерных симметричных мер.

Определения мер Зигмунда и симметричных мер, а также основные результаты приведены в разделе 2.2. А именно, пусть и <3_ — соседние кубы в Ж" равного объема. По определению это означает, что

<3+ = ¡1 х ■ ■ ■ х /„, <5_ = Л х • • • х

где /,-, Зк являются интервалами равной длины £(()+) — ¿{Я-) а также Г,- = ./,• для в г, с1 < » < щ а исключением единственного индекса в, 1 < в < п, для которого и н т е р в а^ шя/в л я ю т с я соседними (т.е. имеют ровно одну общую точку).

Регулярной калибровочной функцией будем называть положительную неубывающую ограниченную функцию и : (0, оо) —> (0,оо) такую, что функция убывает при некотором е > 0. Символом А = Лп обозначим меру Лебега на Ж".

Определение. Вещественная мера р на Ж" называется и-мерой Зигмунда, если существует положительная константа С такая, что

НЯ+) - < си(/(д+))А(д+)

для всех пар соседних кубов С Ж".

Первый результат — это следующее обобщение на случай евклидова пространства теоремы Дюрена-Шапиро-Шилдса о мерах Зигмунда на

Теорема 2.2.3. Рассмотрим вещественную меру р наШп и регулярную калибровочную функцию ш. Пусть и обозначает гармоническое продолжение меры р. Тогда следующие свойства равносильны:

(a) и является и -мерой Зигмунда.

(b) Существует положительная константа С > 0 такая, что

2/|Ук(ж, у)| < С и (у) для всех точек (ж, у) 6

Определение. Конечная положительная мера р на М" называется и-симметричной, если существует константа С > 0 такая, что

для каждой пары соседних кубов удовлетворяющих условию

т+) < 1.

Второй результат обобщает на случай Ж" теорему Александрова-Андерсона-Николау о симметричных мерах на окружности.

Теорема 2.2.4, Пусть ш —регулярная калибровочная функция такая, что и>(0+) = 0. Рассмотрим конечную положительную меру ц на Ж" и ее гармоническое продолжение и. Тогда следующие условия эквивалентны:

(a) Мера ц является ш -симметричной.

(b) Существует константа С = С(^) > 0 такая, что

Доказательства теорем 2.2.3 и 2.2.4 даны в разделе 2.4. Основная идея может быть изложена следующим образом. Интегрируя по частям, удается связать размер величины 2/|У«(х,2/)| с разностями |//(_£+) — ц(Ь~)\, где Ь+,Ь~ С Ж" являются параллелепипедами с общей вершиной. Техническая проблема заключается в том, что при п > 1 требуется преобразовать имеющиеся оценки для кубов в информацию о параллелепипедах. Доказательство соответствующего точного утверждения изложено во вспомогательном разделе 2.3.

Дальнейшие исследования свойств Зигмунда и симметричности связаны с вопросами существования соответствующих положительных сингулярных мер. Примеры таких объектов можно получить с помощью классических конструкций. Также хорошо известно, что в одномерном случае квадратичное условие

решает вопрос о существовании сингулярных Зигмунда и

симметричных мер. Результаты раздела 2.5 показывают, что в многомерном случае условие (2) также оказывается решающим.

Теорема 2.5.1. Пусть и> —регулярная калибровочная функция.

(а) Предположим, что условие (2) выполнено. Тогда всякая ш-мера Зигмунда р, абсолютно непрерывна, т.е. ц = /с1\. Более того, для каждого куба ф С Зйп и каждого числа А > 0 выполнено условие

(Ь) Предположим, что условие (2) не выполнено. Тогда существует конечная положительная сингулярная ш-мера Зигмунда, на М".

< Сш< \ всех Точек (х у) е ©" + 1.

III Т 111 --~

(2)

Теорема 2.5.2. Пусть, ш —регулярная калибровочная функция такая, что w(0+) == 0.

(a) Предположим, что условие (2) выполнено. Тогда всякая ы-симметричная мера ц абсолютно непрерывна, т.е. ц = fdX. Более того, для каждого куба Q из М" и каждого числа А > 0 выполнено неравенство

(b) Предположим, что условие (2) не выполнено. Тогда существует конечная положительная сингулярная и-симметричная мера на К".

Глава 3. Факторизация и задачи теории функций. Пусть 7iol{B) обозначает пространство всех голоморфных функций в шаре В. По определению класс Неванлинны N(B) состоит из функций / £ Tiol(B) таких, что

sup J log+ \fr\da < +оо,

где fr (С) = /«) и ж+ = тах(ж, 0).

Следующий классический результат В. И. Смирнова играет ключевую роль в теории функций в круге и в теории операторов (см. [Га] и [Ни] соответственно).

Теорема о канонической факторизации. Пусть f £ / ф 0.

Тогда

где П — произведение Бляшке, 0\/•) — внешняя функция, Д и 1а — сингулярные внутренние функции. Факторизация (3) единственна. Всякая функция вида (3) принадлежит пространству N{p).

П( <V\(z) = exp (J logir КС) An(fl) , z £ D,

где символ

Ij(z) = exp(-^i±ld^j( о), j = 1, 2,

где меры ^ <Е М(Т) положительны и сингулярны.

Большинство результатов главы 3 мотивировано тем, что факто-ризационная теорема не имеет места в многомерном шаре Вп,п~^2. Прежде всего, в разделе 3.1 получено утверждение о факторизации в классе Неванлинны Ы(Вп), 2, в терминах функций из класса Смирнова.

Напомним, что класс Смирнова ЛГ+(В) — это пространство функций / £ таких, что семей |/гр}<а:в<Ч о м е р н о интегрируемо на По определению это означает, что для каждого £ > 0 существует 8 > 0 такое, что

для всех 0<г<1и всех множеств Дс S таких, что <т(Д) < S.

Теорема 3.1.1. Пусть/—голоморфная функция в шаре В„, Тогда / £ N(B„) в том и только том случае, когда существуют функции /+,/- € N+(Bn) такие,что f = /+//_ и f-(z) ф 0 для всех z £ В„.

Необходимо отметить, что при п ^ 2 даже при отсутствии нулей функция из класса Неванлинны может не иметь представления в виде частного /+//_, где /± £ Н°°(В) и функц^яне имеет нулей в шаре. Более того, имеет место следующий отрицательный результат.

Предложение 3.1.2. Пусть п ^ 2. Существует такая функция f £ N(Bn), что f(z) ф 0 для всех z £ Вп и / не представима в виде /+//_, где /+ £ N+(Bn), /_ £ Н°°{Вп) я /_ не имеет нулей в шаре.

Как в одномерном случае, функцию I £ Н°°(Вп) называют внутренней, если |J*| = 1 п.в. и / Ф const. Напомним, что задача о существовании таких функций при долгое время оставалась открытой. Первые примеры многомерных внутренних функций были получены А.Б. Александровым и Э. Ловом. Такие примеры порождают задачи о внутренних функциях с дополнительными свойствами и вопросы о принадлежности заданным пространствам для функций с предписанными граничными значениями.

Итак, в разделе 3.2 исследуются ограниченные функции из малого пространства Блоха Во(В), которое по определению состоит из таких функций / £ %о1(В), что

Теорема 3.2.1. Пусть <р — ограниченная полунепрерывная снизу функция на сфере 5, <р > 0. Тогда существует такая функция / € Я°° П В0{В), что \Г | = у п.в.

Более точное утверждение о внутренних функциях и£?о(В)э -казано в разделе 3.3.

Теорема 3.3.1. Пусть п 2. Тогда существует такая функция / Е Во(Вп), что для всех С € 51 срез-функции Д(А) - /(А£), А £ В,

являются внутренними (в круге).

Ключевыми элементами доказательств теорем 3.2.1 и 3.2.2 являются плюригармонические произведения Рисса и свойство симметричности. Также в разделе 3.3 установлены связи исследуемых объектов с малыми мерами Зигмунда и гиперболическими пространствами Блоха.

В разделе 3.4 продолжается исследование функций с предписанным модулем граничных значений и рассматривается аналитическое пространство Бесова Л^Ю), 0 < р ^ 2. По определению

Л» = {/ € ПоЩ : ||/||^(и) = \\Прл,т

= [ \Г(г)\'(1-\г\у-Ч^)<со), Jв

где и — обозначает нормированную меру Лебега на круге Р.

Теорема 3.4.1. Пусть 0<р<2и^6 С( Т), <р > 0. Тогда существует функция д € Н°° П -4р(Ю) такая, что \д*\ = (р т-п.в.

Теорема 3.4.1 имеет интерпретацию в терминах внешних и внутренних факторов. Действительно, пусть 0 < д < 2, £ С(Т), <р >0

О^ и

0<я<2 21

Тогда существует внутренняя функция I,^ такая, что 6 Д*(Ю>).

Иными словами, внешняя функция Оу может быть исправлена с помощью Iу. Таким образом, в пространстве #°°П.Д£(]И>) невозможно деление на внутреннюю функцию /„,. Аналогичным образом может быть интерпретирована теорема 3.2.1.

Дальнейшие задачи о внутренних функциях связаны с исследованием свойств классических пространств Харди НР(В) в квазибанаховом случае 0 < р < 1. Напомним, что пространство НР(В) состоит из голоморфных в шаре В функций /, для которых

Определение. Зафиксируем р 6 (0,1). Функция Р £ Н°°(В) называется слабо внешней, если подпространство РНР(В) С НР(В) является слабо плотным.

Термин внешняя мотивирован следующей классической теоремой В.И. Смирнова:

Произведения многочленов на функцию / £ НЯ(Щ, д > 0, образуют плотное подмножество в тогда и только тогда, когда / является внешней функцией.

Безусловно, классические внешние функции являются слабо внешними. Таким образом, с помощью теоремы о канонической факторизации в пространствах задача об описании всех слабо внешних функций в круге сводится к изучению сингулярных внутренних функций 1ц.

В 1969 году П. Дюрен, Б. Ромберг и А. Шилдс [0118] обнаружили слабо внешние внутренние функции в Ю и доказали, что функция

является слабо внешней, если ассоциированная мера обладает достаточной гладкостью. Позже Дж. Робертс и (независимо) Б. Коренблюм получили полное описание слабо внешних внутренних функций в круге в терминах множеств Карлесона. По определению замкнутое множество нулевой меры Лебега КС Т называется множеством Карлесона, если

где и^.! Зк — каноническое разбиение м н о ж е сТ^^н а непересекающиеся открытые дуги.

Многомерный аналог сингулярной внутренней функции задается равенством

где ц является положительной сингулярной плюригармонической мерой на сфере Так как такие меры обладают значительной гладкостью, то Дж. Шапиро [Ли] поставил следующий вопрос:

Верно ли, что при п 2 каждая не имеющая нулей внутренняя функция является слабо внешней?

В разделе 3.5 дан отрицательный ответ на этот вопрос. Более того, получено следующее общее утверждение о внутренних функциях которые не являются слабо внешними (не умаляя общности, рассматривается срез

Предложение 3.5.3. Пусть /л — положительная сингулярная плю-ригармоническая мера. Предположим, что срез-мера = /хе1 является сингулярной и Ц\{К) > 0 для некоторого множества Карлесона К С Т. Тогда внутренняя функция не является слабо внешней.

Также в разделе 3.5 построены внутренние функции с противоположным свойством.

Теорема 3.5.6. Для каждого п ^ 2 существуетвнутренняяфунк-ция I (Е Н°°(Вп) такая, чтоподпространство 1НР(В„) слабо плотно в пространстве Харди Щ[Вп) при 0 < р < 1.

При доказательстве теоремы 3.5.6 использована конструкция банаховой оболочки и установлена прямая связь между слабо внешними функциями в Нр, О < р < 1, и циклическими элементами в соответствующих весовых пространствах Бергмана

Определение. Пусть V обозначает множество голоморфных многочленов в Предположим, что линейное топологическое пространство X С ~Но1{В) замкнуто относительно умножения на многочлены р 6 V. Элемент / <Е X называется циклическим (слабо обратимым) в если произведение плотно в

1(г) = 1ц{г) = ехр

}зШ-МУ

2

I»

Близкая задача об ограниченных циклических элементах в классических пространствах Бергмана АР(В), 0 < р < оо, рассмотрена в разделе 3 б. Пусть V обозначает нормированную меру Лебега на шаре В. По определению

В разделе 3.6 с помощью теоремы обН2-короне доказано следующее утверждение.

Теорема 3.6.6. Предположим, что положительная плюригармони-ческаямера, ft £ M(S) допускает а-гладкое разбиение. Тогда функция

Указанное условие об а-гладком разбиении обобщает ограничение на модуль непрерывности = 0(i2"-1 log у). Также отметим, что для положительной меры р G М(Т) существование а-гладкого разбиения равносильно условию р(К) = 0 для всех множеств Карлесона .КС Т (противоположное свойство использовано в предложении 3.5.3).

Исследование слабо внешних функций продолжается в разделе 3.7, где рассматриваются функции в поликруге Ю^ с предписанным модулем граничных значений на торе Т".

Теорема 3.7.1. Пусть 0 <р < 1. Предположим, что tp G L°°(Tn),

<р > 0 и функция <р полунепрерывна снизу. Тогда, существует такая Нр-слабо внешняя функция / £ Н00 (ПУ), что |/*| = <р га„-л.в.

В заключительном разделе изложение несколько отклоняется от основной линии и рассматривается одна задача об операторах композиции Cvf = f о ip на весовых пространствах X а ~Н2(В). В частности, в разделе 3.8 доказан следующий результат.

Ар =

|/ G Ш{В) : \\f\fAP = jf \f(z)\p dV(z) < cx>}

является циклической в А1.

Теорема 3.8.2. Предположим, что отображение tp : Вп Вп голоморфно и у>(0) = 0. Тогда ||C»,/||wg ^ НЛ1я?_п для всех / € ~Hi-„(B)-

Сформулированную теорему и остальные результаты главы 3 объединяет использование в доказательствах методов гармонического анализа: основными инструментами для исследования оператора композиции являются обратные сдвиги Лейбензона. Также отметим, что для проверки точности теоремы 3.8.2 используются внутренние функции в шаре.

ЛИТЕРАТУРА

[Ал] Александров А.Б. Внутренние функции на компактных пространствах

// Функц. анализ и его прил. 1984. Т. 18. Вып. 2. С. 1-13. [Га] Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984. [ИМ] Ивашев-Мусатов О.С. О коэффициентах тригонометрических нуль-рядов

// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21. С. 559-578. [Ни] Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. — М.: Наука, 1980. [Во] Bourgain J. Applications of the spaces of homogeneous polynomials to some problems on the ball algebra // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 93. P. 277283.

[BH] Brown G., Hewitt E. Continuous singular measures with small Fourier—Stiel-

tjes transforms // Adv. in Math. 1980. V. 37. P. 27-60. [DRS] Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals on H spaces

with 0 < p < 1 // J. Reine Angew. Math. 1969. V. 238. P. 32-60. [HJ] Havin V., Joricke B. The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis. —

Berlin-New York: Springer-Verlag, 1994. [HKZ] Hedenmalm H., Korenblum В., Zhu K. Theory of Bergman spaces. — Berlin-

New York: Springer-Verlag, 2000. [Ко] Korner T.W. Uniqueness for trigonometric series // Ann. of Math. 1987. V. 126. P. 1-34.

[Ru] Rudin W. New constructions of functions holomorphic in the unit ball of Сп. — Providence: Amer. Math. Soc, 1986.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Дубцов Е.С. Правильные унитарно инвариантные пространства на комплексной сфере // Записки науч. семин. ПОМИ. 1998. Т. 255. С. 54-81.

2. Дубцов Е.С. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова и срез-меры // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Вып. 6. С. 101-128.

3. Дубцов Е.С. Слабо внешние внутренние функции // Функц. анализ и его прил. 2003. Т. 37. Вып. 2. С. 7-15.

4. Дубцов Е.С. Ограниченные циклические функции в шаре // Записки науч. семин. ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 102-110.

5. Дубцов Е.С. Слабо циклические векторы с заданным модулем // Записки науч. семин. ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 111-118.

6. Doubtsov E. Approximation on the sphere by Besov analytic functions // Studia Math. 1997. V. 124. No. 2. P. 179-192.

7. Doubtsov E. Corrected outer functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. No. 2. P. 515-522.

8. Doubtsov E. Henkin measures, Riesz products and singular sets // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1998. V. 48. No. 3. P. 699-728.

9. Doubtsov E. Singular measures with small H(p,^-projections // Ark. Mat. 1998. V. 36. No. 2. P. 355-361.

10. Doubtsov E. Little Bloch functions, symmetric pluriharmonic measures and Zygmund's dichotomy // J. Funct. Anal. 2000. V. 170. No. 2. P. 286-306.

11. Doubtsov E. Nevanlinna functions as quotients // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. V. 128. No. 10. P. 2899-2901.

12. Doubtsov E. Leibenzon's backward shift and composition operators // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. V. 129. No. 12. P. 3495-3499.

13. Doubtsov E. An inner function which is not weak outer // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 2002. V. 334. No. 11. P. 957-960.

14. Doubtsov E., Nicolau A. Symmetric and Zygmund measures in several variables // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2002. V. 52. No. 1. P. 153-177.

Отпечатано в ООО «АкадемПринт». С-Пб. ул. Миллионная, 19 Тел.: 315-11-41. Подписано в печать 24.09.04. Тираж 100 экз.

»2 2892

Введение

Основные обозначения и определения

Работы автора по теме диссертации

Глава 1. Плюригармонический анализ мер

1.1. Меры Хенкина

1.2. Плюригармонические меры и сингулярные множества

1.3. Плюригармонические произведения Рисса

1.4. Ь2-обобщенные произведения Рисса

1.5. Ь°°-обобщенные произведения Рисса

1.6. Ь2-допустимые мажоранты

1.7. Большие размерности

1.8. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова

1.9. Сверточные степени срез-мер

Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона

2.1. Гладкие меры на сфере

2.2. Меры Зигмунда и симметричные меры

2.3. Кубы и параллелепипеды

2.4. Гармонические продолжения

2.5. Критическая скорость убывания

Глава 3. Факторизация и задачи теории функций

3.1. Факторизационная теорема для класса Неванлинны

3.2. Ограниченные функции из малого пространства Блоха

3.3. Внутренние функции из малого пространства Блоха

3.4. Исправленные внешние функции и пространства Бесова

3.5. Слабо внешние внутренние функции

3.6. Циклические функции и теорема о короне

3.7. Слабо внешние функции с предписанным модулем

3.8. Операторы композиции и обратный сдвиг Лейбензона

Настоящая работа в первую очередь посвящена исследованию функций и мер, заданных на единичной комплексной сфере

5 = 5„ = {СеС" : |С| = 1}, п > 2.

Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, 5 = и(п)/и(п — 1), где Ы{п) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".

Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере 5 в терминах пространств Н(р,д), (р,я) Е

Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н{р, д) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (р, д) £ Это означает, что рассматриваемые полиномы имеют степень р по переменным 22,., гп, степень д по переменным 21,¿2,., гп и общую степень р + Тот же символ будет использоваться для сужения Н(р, </) на сферу 5.

Часто Н(р, д) называют пространством комплексных сферических гармоник.

Обозначим символом а нормированную меру Лебега на сфере. Отметим, что ь\а)= е Н(р,д).

Особенности гармонического анализа на 5 удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств Н(р,д): если / £ Н(р,д) и д £ Н(г, в), то произведение /д принадлежит сумме ь е=о где Ь = гшп(р, в) + тт(д, г). Доказательства сформулированных фактов и дальнейшие сведения о комплексных сферических гармониках изложены в главе 12 монографии [17].

Обозначим символом М(£) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере 5. Пусть Крд(г,£) — воспроизводящее ядро для пространства Н(р,д) С Ь2(сг). Тогда многочлен

М*) = { кр*(*> 0 МО (* € называют Н(р, (^-проекцией меры // е М(5). Обозначение зрес(ц) используется для спектра меры /х £ М(5) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем эрес(^) = {(р, д) € 7?+ : Црд{г) ^ О, 2 е 5} .

Если п = 1 (одномерный случай), то многие пространства Н(р,д) являются тривиальными: Н(р, д) = {0} при рд ф 0. Далее, в этом случае имеет место равенство Кро(г,£) = поэтому многочлены /хро непосредственно выражаются через коэффициенты Фурье: //ро(>г) = /г(р)г? для р £ г+, 2 € Т = {С € С : |С| = 1}.

Всюду ниже будем отождествлять функцию / £ и меру /сг £

М(5). Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства Ь1{Е>).

В первой главе диссертации решаются задачи гармонического анализа, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества (разделы 1.1-1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении С^-плюригармонических сингулярных мер. Соответствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9).

Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Конкретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2-2.5).

Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре в = Вп = {С е сп : 1С1 < 1}, П> 2.

Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности Т и теории функций в единичном круге Р = {( 6 С : |£| < 1}. Соответствующие одномерные результаты часто мотивируют многомерные задачи, исследуемые в главе 3.

В третьей главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2-3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5-3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8.

Компактные операторы Ганкеля. Также отметим, что связующим элементом между вопросами, рассматриваемыми в диссертации, оказывается свойство компактности для операторов типа Ганкеля.

Зафиксируем множество (спектр) Л С и положим

4(5) = {/€ Ь2(5) : 8Рес(/)СА}.

Рассмотрим ортогональный проектор К\ : -£>2(£) —> £д(5) (проектор Коши-Сегё).

Каждая функция (символ) <р £ Ь°°(5) порождает Л-спектральный оператор типа Ганкеля (кратко, А-оператор Ганкеля) Н\}1р : Ь2(8) —> 1^2(5) с помощью формулы

НаМ = <рКл№ - Ккш

Определение. Спектр Л С обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, Л Е (КГ)), если преобразование Н\г(р сохраняет пространство С (Б) и оператор Н\>1р : С(5) С(5) компактен для каждого многочлена <р на сфере 5.

Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследовании плю-ригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9 и 3.3) и подобных объектов (см., например, раздел 3.2). Наконец, Л'.Г-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).

Чтобы немедленно получить иллюстрацию применения подобного свойства компактности рассмотрим правильные тройки, введенные А.Б. Александровым в статье [2]. Здесь уместно отметить, что рассуждения из работы [2] служат отправной точкой для конструкции плюригармонического произведения Рисса.

Правильные тройки и тугие подпространства. Пусть К — се-парабельное топологическое компактное пространство и // — конечная положительная регулярная борелевская мера на К. В пространстве непрерывных функций С (К) зафиксируем подпространство X. Всюду ниже символом <р будем обозначать произвольную строго положительную непрерывную функцию на К. Положим по определению

Определение. Тройка (Х,К,ц) называется правильной, если выполнено одно из следующих эквивалентных свойств:

П1) Существует число т > 0 такое, что для всех ср выполнена оценка

П2) Для каждой функции (р и любого числа е > 0 существует функция / 6 X такая, что < <р всюду и /х{|/| ф (р] < £.

Далее, напомним, что в работе [43] Б. Коул и Т. Гамелин ввели весьма близкое к КГ-свойству понятие тугого (tight) пространства. Исследование строго тугих пространств было начато С. Сакконе в статье [84] (см. также обзоры [85] и [54]). По определению замкнутое подпространство X С С (К) называется строго тугим, если обобщенный оператор Ганкеля Sg : X —>■ С(К)/Х, действующий по правилу / fg + является компактным для каждой функции д £ С (К).

Правильные тугие пространства. Для получения вышеупомянутой иллюстрации рассмотрим ограниченную область V С Сп и положим X = A(V) = С(Т>) fVHo/(P). Отметим, что подпространство X С С(V) является строго тугим, если V — это строго псевдовыпуклая область с границей класса С2.

Напомним, что С. Сакконе ([85], предложение 6.1) доказал равно

Xv = {feX:\f\< <р}. сильность следующих свойств:

Т1) Пространство X С С{Т>) является строго тугим.

Т2) Если последовательность {/}} С X ограничена и сходится к нулю поточечно на Р, то для всех д Е С{Т>) выполнено свойство ->0 при .7-*оо.

Таким образом, имеет место следующий факт.

Предложение. Пусть пространство А{Т>) является строго тугим. Рассмотрим положительную меру \1 £ М(дТ>). Тогда правильность тройки (Л(Х>), дТ>, ¡г) равносильна следующему свойству:

ПЗ) Для любого числа е > 0 существует такая непостоянная функция / Е А(V), что |/| < 1 всюду и /м{|/| ф 1} < е.

Доказательство. Свойство (ПЗ) является частным случаем свойства (П2). Поэтому достаточно проверить, что (ПЗ) =Ф- (П1). Для этого зафиксируем строго положительную функцию <р £ С{дТ>). Выберем столь малое е > 0, что условие < е гарантирует оценку у2 ¿р < ^ I <р2 ¿¡1.

ЗЕ ^ идЪ

Свойство (ПЗ) доставляет соответствующую функцию /£ Е А(Т>). По предположению пространство А(Т>) является строго тугим, а также степени // Е А(Т>) сходятся к нулю поточечно на V. Поэтому можно воспользоваться свойством (Т2) для д = 3<р/4. Следовательно, существует функция / Е А(Т>) такая, что |/| < <р и ц{|/| > <р/2} > 1 — £. Таким образом, |/|2^>/*

Иными словами, свойство (П1) выполнено для т = 1/5. □

Основные обозначения и определения

В = Вп — единичный шар из С", п > 1. 5 = 5П = дВп — единичная сфера.

Ы = Ы{п) — группа всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".

V = рп и а = ип — нормированные меры Лебега на шаре В и сфере Я соответственно.

При п = 1 часто удобно использовать специальные обозначения: Ю) = Ви Т = ар, тп = (71.

М(5) — пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере 5.

1^(5) = 1^(5, <т). Функция / £ ^(Б) отождествляется с мерой € о- = рг(сг), где рг : С" \ {0} —>• СР"-1 ■— каноническая проекция. А = Ап — мера Лебега на Ж", п > 1.

Запись -С Ц2 означает, что мера //1 абсолютно непрерывна относительно меры Если меры ¡.1\ и Ц2 взаимно сингулярны, то используется обозначение Мера // называется сингулярной, если /г и соответствующая мера Лебега взаимно сингулярны.

Гармонический анализ на сфере.

Н(р, я) — пространство однородных гармонических многочленов бистепени (р, д) £ #(/?,</)-проекция меры ¡л 6 М(5). spec(//) = {{p,q) G Z2 : ¡ipq ф 0} — спектр меры /х G M(S). Мера fi G M(5) называется плюригармонической, если spec(^) С {(p, i) G Z2. : pq = 0} .

Пусть Л С Тогда

Ma(5) = {li G Af(5) : spec(/i) С Л};

L\(S) = {/ G L2(S) : spec(/) С Л}. Аналогично определяется пространство C\(S).

А'л : L2(S) -> L\(S) — ортогональный проектор.

Ядра и интегралы Пуассона. Ядро Пуассона в шаре:

P[ji] — интеграл Пуассона меры ц G M(S): Jsp(z, () ¿КО

Инвариантное ядро Пуассона в шаре: irrai5)"

V[fi] — инвариантный интеграл Пуассона меры /i G M(S):

ПФ)= [ V(z,0d»(0. Js

Ядро Пуассона для верхнего полупространства:

Р(х,у) = Ру(х)=Сп У ^ (ж G М", > 0), lklr + r) 2 где константа Сп выбрана таким образом, что P(x,y)d\(x) = l.

JRn

Пространства голоморфных функций.

• 7iol(V) — пространство всех голоморфных функций в области V.

• НР(В) — классическое пространство Харди (р > 0):

HP (В) = {/ <= Ш(В) : \\f\\pHP = sup [ \f{rQ\pda{Q I 0<r<lJs fg\f*(0\pМО <

Символ /* обозначает граничные значения функции /. Как обычно, мы будем отождествлять НР(В) и пространство граничных значений HP(S).

• = {/ G Hoi (В) : Ц/Цоо = supz€5 \f(z)\ < оо}.

• ЛР(В) — весовое пространство Бергмана (р > 0, а > —1):

AUB) = |/ 6 Hcl(B) : = J |/(г)|'(1 - |г|2)" dv(z) < <х,} .

Также в главе 3 вводятся и изучаются следующие пространства:

• N(B) — класс Неванлинны;

• N+(B) — класс Смирнова;

• Bq(B) — малое пространство Блоха;

• Лр(Ю)) — аналитические пространства Бесова (0 < р < 2);

• Ид(В) — весовые пространства Харди (q > 0).

Организация работы. Диссертация разделена на три главы; результаты, полученные в первых двух главах, используются в третьей. Главы состоят из разделов. Для нумерации утверждений и формул используются номер раздела и номер по порядку.

Работы автора по теме диссертации

1. Дубцов Е.С. Правильные унитарно инвариантные пространства на комплексной сфере // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т. 255. С. 54-81.

2. Дубцов Е.С. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова и срез-меры // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Вып. 6. С. 101-128.

3. Дубцов Е.С. Слабо внешние внутренние функции // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 2. С. 7-15.

4. Дубцов Е.С. Ограниченные циклические функции в шаре // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 102-110.

5. Дубцов Е.С. Слабо циклические векторы с заданным модулем // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 111-118.

6. Doubtsov Е. Approximation on the sphere by Besov analytic functions // Studia Mathematica. 1997. V. 124. No. 2. P. 179-192.

7. Doubtsov E. Corrected outer functions // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. No. 2. P. 515-522.

8. Doubtsov E. Henkin measures, Riesz products and singular sets // Annales de l'Institut Fourier (Grenoble). 1998. V. 48. No. 3. P. 699728.

9. Doubtsov E. Singular measures with small H(p,q)-projections // Arkiv for Matematik. 1998. V. 36. No. 2. P. 355-361.

10. Doubtsov E. Little Bloch functions, symmetric pluriharmonic measures and Zygmund's dichotomy // Journal of Functional Analysis. 2000. V. 170. No. 2. P. 286-306.

11. Doubtsov E. Nevanlinna functions as quotients // Proceedings of the American Mathematical Society. 2000. V. 128. No. 10. P. 2899-2901.

12. Doubtsov E. Leibenzon's backward shift and composition operators // Proceedings of the American Mathematical Society. 2001. V. 129. No. 12. P. 3495-3499.

13. Doubtsov E. An inner function which is not weak outer // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. Sér. I. 2002. V. 334. No. 11. P. 957-960.

14. Doubtsov E., Nicolau A. Symmetric and Zygmund measures in several variables // Annales de l'Institut Fourier (Grenoble). 2002. V. 52. No. 1. P. 153-177.

1 Плюригармонический анализ мер

Как отмечалось во введении, исследуемые в данной главе вопросы мотивированы эвристическим "принципом неопределенности", который может быть сформулирован следующим образом:

Если ненулевая мера сосредоточена на малом множестве, то ее преобразование Фуръе не может быть слишком малым.

Многочисленные конкретные проявления данного общего принципа представлены, например, в монографии [60]. В частности, классическая теорема братьев Риссов утверждает, что при ¡1 6 М{Т) из условия ¡г(к) = 0 для всех к £ Ъ- следует, что мера (1 абсолютно непрерывна.

Зафиксируем множество (спектр) А С Напомним, что по определению Мд(5) = М(5) : эрес(//) С Л}. Далее, положим

Мд(£) = {¿г5: — сингулярная часть некоторой меры // 6 Мл(5)}.

Отметим, что в таких обозначениях теорема братьев Риссов приобретает следующий компактный вид: М|+(Т) = {0}. Многомерные обобщения данного результата были получены в статье [36]. Например, множество Мд(5) тривиально, если Л С {(р, </) € : < ер} для некоторого е < 1.

Первая цель данной главы — исследовать спектральные множества, для которых заключение теоремы братьев Риссов не выполняется; точнее искомые множества должны обладать следующим довольно редким свойством.

Определение. Множество Л С называется сингулярным, если

1.0.1) множества Мд(5) и М%2+\А(8) нетривиальны;

1.0.2) если Мд(5) и ь>£ -Л^дл(•->)' то (взаимН0 сингулярны).

Пусть ф Е 1*+. Положим р-Я)(я-<Э) = Ь р>Я, <?>«и{(о,о)}.

В разделе 1.2 будет установлен следующий результат.

Теорема 1.0.1 Для всех Е множество является сингулярным.

Спектр Л(0) является естественным объектом в комплексном анализе, так как врес^) С Л(0) тогда и только тогда, когда интеграл Пуассона гев) является плюригармонической функцией. Соответствующие меры называют плюригармоническими. Отметим, что в теории плюрипотен-циала термин "плюригармоническая мера" применяется для совершенно иного объекта. По аналогии, если ярес^) С Л(ф), то будем говорить, что мера ¡1 является плюригармонической. Отметим, что добавление точки (0,0) к множеству А(<5) позволяет рассматривать положительные (^-плюригармонические меры.

Для доказательства свойства (1.0.2) будет использован аппарат мер Хенкина (см. раздел 1.1), а также асимптотическая формула типа Буля-Виноградова-Хрущева (теорема 1.2.1).

Далее, свойство (1.0.1) фактически известно для всех А(ф). Действительно, в статье [7] показано, что тройка (Сд^) (£),£, с) является правильной в смысле работы [2] (см. введение). Таким образом, результаты статьи [2] гарантируют, что / {0}. Последний факт порождает задачи о свойствах элементов множества с точки зрения анализа Фурье. Отправной точкой для дальнейших результатов служат классические утверждения на окружности о существовании сингулярных мер с малыми (в определенном смысле) коэффициентами Фурье. Отметим, что соответствующие конструкции мотивированы поиском количественных границ применимости принципа неопределенности. В частности, такие утверждения можно формализовать с помощью следующего понятия поточечной допустимой мажоранты.

Определение. Функция И : —У называется Т-допустимой, если существует сингулярная вероятностная непрерывная мера /1 Е М(ТГ) такая, что ¡г(к) = 0(1г(\к\)) при к —> оо.

Для решения аналогичных многомерных задач в разделах 1.3-1.5 введены и исследованы плюригармонические произведения Рисса, которые, возможно, представляют самостоятельный интерес. Приложения построенных произведений Рисса к вопросам о допустимых мажорантах изложены в разделах 1.6-1.8. Дальнейшие приложения будут даны в главе 3.

Наконец, отметим, что для ф-плюригармонической меры // определены срез-меры ^ £ М(Т) для ¿--почти всех £ Е СРП-1. Более того, в слабом смысле верны интегральные представления где // обозначает сингулярную часть меры ц (ц^) (детали изложены в разделе 1.2). Таким образом, возникают естественные вопросы о возможных свойствах семейства {/^^^ср"-1* Наиболее полные ответы на такие вопросы удается получить с помощью Ь°°-обобщенных произведений Рисса (см., например, разделы 1.8-1.9).

1.1 Меры Хенкина

Основываясь на результатах Ж. Бургейна о свойстве Дан форд а-Пет-тнса, Дж. Сима и Р. Тимони ввели в работе [42] следующее понятие.

Определение. Пусть А — банахова алгебра. Рассмотрим линейное подпространство X С А. Алгебра Бургейна Х$ по определению состоит из таких элементов / £ А, что если ^ —> 0 слабо в X.

В статье [30] Ж. Бургейн фактически показал, что подпространство X С С (К) обладает свойством Данфорда-Петтиса, если Хв — С (К). Весьма близкое абстрактное понятие (вместо слабой сходимости рассматривается слабая* сходимость) оказывается полезным при исследовании мер Хенкина, соответствующих подпространству

Алгебры Хенкина. В последующих определениях предполагается, что К — компактное хаусдорфово пространство, р — положительная регулярная борелевская мера на А', замкнутый носитель меры р совпадает с К и подпространство X С С (К) замкнуто.

Определение. Функциональная последовательность С X называется (X, /^-последовательностью (кратко, /»-последовательностью), если

Замечание. Иными словами, предполагается, что fj —> 0 слабо* относительно двойственности (^(р), L°°(p)) (здесь X С С(К) С L°°(p)). В частности, \\fj\\C(K) = ||/j||oo < const.

X С С (К). для всех д 6 Ll(p).

Определение. Рассмотрим замкнутое подпространство X С С (К). Алгеброй Хенкина Х%{р) (относительно меры р) называется множество таких функций (р € С [К), что для каждой /9-последовательности С X.

Следующее стандартное наблюдение (ср. [42]) оправдывает использование термина алгебра в сформулированном определении.

Предложение 1.1.1 Пространство Хц(р) является замкнутой подалгеброй пространства С (К).

Доказательство. Предположим, что является /9-последовательностью.

1) Пусть <¿>1,^2 € Х<н(р). Тогда существуют функции ду Е X такие, что \\ipifj + <7/||оо -> 0 при ] —» оо. Отметим, что является р-последовательностью, следовательно, существуют Е X такие, что 11^20.? + ^||оо -> 0 при ] —¥ оо. В сумме получаем

- Моо < \\<Р2\\ОО\\<Р1^ + ^||оо + 11^2^- + Мое 0.

Иными словами, Е Хц(р).

2) Не умаляя общности, предположим, что ||//||оо < 1- Пусть

С Х%{р) и \\ipk — (^Цоо —> 0 при к —» оо. Выберем число к Е N такое, что - «^Цоо < г; тогда ||/,•<£> +< £ + \\/^<рк + АГЦоо < при достаточно большом j. □

Определение. Элемент ц Е М(К) называется (X, р)-мерой (или мерой Хенкина), если cpfj + ХЦоо 0 при ] -> оо для каждой /^последовательности С X.

Замечание. Безусловно, множество мер Хенкина замкнуто по норме пространства М(К).

Предложение 1.1.2 Предположим, что Х-ц(р) = С (К). Пусть р является (Х,р)-мерой и пусть А <С р. Тогда А является (X, р)-мерой.

Доказательство. Рассмотрим /^-последовательность {/у}^ и функцию (р £ С (К). Определение алгебры Хенкина доставляет последовательность С X такую, что + д^\оо —> 0 при 3 —> оо. Отметим, что {д^^х является ^-последовательностью. Таким образом, так как р является мерой Хенкина. Итак, с одной стороны, (рр — мера Хенкина для всех <р £ С (К). С другой стороны, Л = фр для ф Е L^l^l). Так как множество мер Хенкина замкнуто, то Л является мерой Хенкина. □

Имеется большое количество работ об алгебрах Бургейна, порожденных подпространствами различных равномерных алгебр (такие задачи для нескольких комплексных переменных изучаются, например, в статье [66], где также приведены дальнейшие ссылки). Многие из соответствующих утверждений имеют аналоги в случае алгебр Хенкина. Однако, далее наше внимание будет сконцентрировано на случае К = S и р — а.

Меры Хенкина на сфере. Напомним, что Р[р] обозначает интеграл Пуассона меры ц Е M(S).

Предложение 1.1.3 Последовательность {fj}^i С X С C(S) является а-последовательностью тогда и только тогда, когда

1.1.1) P[fj]{z) 0 пРи 3 оо для всех z Е В и

1.1.2) ll/jlloo < const для всех j £ N. fj<p dp = (fjcp - (jj) dp + gj dp 0,

Доказательство. Предположим, что свойства (1.1.1) и (1.1.2) выполнены, а также д Е Ь1(а). Положим -РГЫ(С) = Р[д](г()) 0 < г < 1, £ Е 5. В силу теоремы Фубини имеем

J йа = J (д - Рг[д]) йа + J Рг[^]д йа

1Л1|со|Ь-РгЫ|11 + ||Д[Л]|1оо1Ы1ь Отметим, что \\д — РгЫЦх —> 0 при г —»• 1—, а также стремится к нулю равномерно на компактных подмножествах шара. Следовательно, /¿р ¿а —> 0 при ] —^ оо.

Для проверки обратной импликации предположим, что {//1^1 является ^-последовательностью. Если г £ В, то Р(г,-) Е Ь1{а), поэтому свойство (1.1.1) выполнено. Далее, свойство (1.1.2) имеет место для всякой /^-последовательности. □

Ниже всюду предполагается, что из включения / Е X следует, что

РАП е х.

Предложение 1.1.3 позволяет установить связь между (X, <т)-мерами и аннулятором X1- = {/л Е М(5) : = 0 для всех / Е X}. Если

X = А(5) := {/ Е С(5) : Р[/] Е Ло1(В)} (шар-алгебра), то следующее утверждение является теоремой Вальского ([17], раздел 9.2). Покажем, как рассуждение Р.Э. Вальского работает в общем случае.

Теорема 1.1.4 Пусть ц является (Х,а)-мерой и е > 0. Тогда существует функция д Е Ь1(а) такая, что ||<7||1 < и Ц—дсг Е х-1.

Сначала установим один вспомогательный факт.

Лемма 1.1.5 Пусть А является (Х,а)-мерой и е > 0. Тогда существует функция Н Е Ь1{а) такая, что ||/г||1 < ||А|| и ||А — На\\х* < £.

Доказательство. Положим иг = РГ[А], 0 < г < 1. Достаточно проверить, что

Шп ||А — ига\\х* = 0. 21

Действительно, в этом случае остается положить И = иг для достаточно большого г.

Предположим, что рассматриваемый предел не равен нулю. Тогда существуют 6 > 0, г^ -> 1 и fj Е X, ||//||оо < 1, такие, что £ для всех ] Е N. сIX- ¡¡иГ} с1а 75 ив

По теореме Фубини }иг йа — /г <1Х, следовательно, 6 для всех $ Е N. №)-ЬМ)] ¿40

Положим по определению д^(х) — ^(г) — fj(rjz), г Е В. Отметим, что 9А*) ~~^ О Для всех 2 Е В. Таким образом, в силу предложения 1.1.3 ! является сг-последовательностью. Следовательно, ^д](1Х О при ] —У оо по определению меры Хенкина. Полученное противоречие доказывает лемму. □

Доказательство теоремы 1.1.4. Выберем числа е^ > 0 такие, что оо

-пни* >°2

Положим ¡л = /л и предположим в качестве индукционной гипотезы, что I > 1, це является (X, сг)-мерой и < ее- По теореме Хана

Банаха \\це — ре\\ < ее для некоторой меры ре Е XЛемма 1.1.5 (примененная к X = не — ре) доставляет функцию де Е такую, что ||<^||1 < ее и \\/ле — ре — де&\\х* < £е+1- Положим по определению ре+1 = Ре~ 9е<т

Отметим, что ре+1 является мерой Хенкина, таким образом, индукционный переход завершен.

Положим д = 9], тогда д Е Ь\а) и \\д\\г < £у

Имеем ц = 4- Pj + 9зи Для всех ^ £ поэтому

I оо l-QL7 = Щ+1 ^ дЗа'

3=1 ^£+1

Так как Е X-1, то получаем оо оо

На* - < НА'тНх- + ^ 1Ы11 - + £з 0

1 ¿=¿+1 прп £ —» оо. Иными словами, ц — да Е Xх. Доказательство теоремы 1.1.4 завершено. □

Теперь рассмотрим ¿/-инвариантные подпространства пространства С (Б). А именно, для А С положим

X = Сл(5) = {/ € С(5) : 8рес(/) С Л}.

Рассмотрим проектор Коши-Сегё К\ : Ь2(5) —У Ь\(3) и предположим, что 6 Ь°°(5). Напомним, что действие Л-спектрального оператора типа Ганкеля ^ : £2(5) —> Ь2(в) задается с помощью формулы Д\,<£>[/] = <рКА[/] - КА[<р/].

Отметим следующее свойство дополнения: + = 0.

Далее, напомним, что по определению Л Е (КГ), если оператор ' С(£>) С (Б) компактен для каждого многочлена кр на сфере 5.

Предложение 1.1.6 Предположим, что Л Е (КГ), мера р Е М(5) положительна, замкнутый носитель меры р равен 5 и оператор КА ограничен относительно Ь2(р)-нормы. Тогда СА(3)%(р) = С(Б).

Доказательство. Рассмотрим полином <р и (СА(Б), ^-последовательность Отметим, что КА[(р/^ Е С\(в), поэтому включение <р Е Сл(5)и(р) следует из свойства \\cpfj - КаМД||с(5) 0.

Для проверки последнего свойства предположим обратное: пусть 11ЯЛ^[Л]||С(5) 0. Так как Ц/^-Цод < 1 и Л Е (КГ), то существует подпоследовательность {л}^ такая, что Н\}<р[^к] —д в пространстве С(Б) для некоторой функции д ф 0. С другой стороны, /,- —0 слабо в пространстве Ь2(р) и оператор К\ ограничен на Ь2(р), следовательно, На, 0 слабо в Ь2(р). Получено противоречие.

Напомним, что алгебры Хенкина замкнуты, таким образом, доказательство завершено. □

Для Е,Е С положим

Л = А(Е, Р) = {(р, д) е : ц 6 Е или р е Е}.

Удобно представлять множество Ъ\ как первый квадрант целочисленной решетки. Тогда А(£1, .Р) есть объединение горизонтальных и вертикальных лучей.

Следствие 1.1.7 Пусть А = А(Е, Р) или А = Ъ\\А(Е, Р) для конечных множеств Е,Е С Предположим, что р является (Сл(З'), сг)-мерой и V <С Р- Тогда и является (Сд(5), а)-мерой.

Доказательство. Свойство А(Е, Р) Е (-К-0 установлено в работе [7]. Поэтому достаточно применить предложения 1.1.6 и 1.1.2. □

Следствие 1.1.8 Предположим, что множество А удовлетворяет условиям следствия 1.1.7. Пусть р Е ^(Б) + Сл(5')± и V р- Тогда и 6 Ь1(3) + Сл(З')-1-.

Доказательство. Воспользуемся следствием 1.1.7 и теоремой 1.1.4. □

В завершение этого раздела приведем иные простые примеры алгебр Хенкина, порожденных унитарно инвариантными подпространствами.

Пример. Для 1 G Z+ положим D(£) = {(p,q) G Z+ : p — q = £}. Пусть d — простое число, а также оо оо О

Л= U D(£d) или A = [jD(£) или Л = (J Г>(£).

-00 £=0 £=—оо

ТогдаСЛ(5ЬИ = СЛ(5).

Доказательство. 1) Положим А = Ca(S)h(ct). Отметим, что А является ¿/-инвариантной подалгеброй пространства C(S). Так как C\(S) является алгеброй, то Ca(S) С А.

2) Предположим, что А (]L C\(S), тогда А = С(5), так как C\(S) является максимальной ¿/-инвариантной подалгеброй пространства C(S) ([17], теоремы 12.4.7 и 12.5.6). Зафиксируем точку £ G S. Пусть гп£ обозначает меру Лебега на окружности

Тс = {АС : А G Т}.

Предполагается, что d > 1, поэтому при А G Т имеем АkrriQ G C^S)1-для некоторого А; G Z. В частности, Актп^ является мерой Хенкина. Так как А = C(S), то т£ — мера Хенкина в силу предложения 1.1.2.

С другой стороны, выберем многочлены такие, что fj G

H(j,j), /(£) = 1, |/| < 1 на S. Тогда {fj}^ является сг-последователь-ностью и fs fj dm^ = 1 для всех j G N. Полученное противоречие завершает рассуждение. □

1. Александров А.Б. Существование внутренних функций в шаре // Мат. сб. 1982. Т. 118. Вып. 2. С. 147-163.

2. Александров А.Б. Внутренние функции на компактных пространствах // Функц. анализ и его прил. 1984. Т. 18. Вып. 2. С. 1-13.

3. Александров А.Б. Теория функций в шаре // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 8. С. 115-190.

4. Александров А.Б. Собственные голоморфные отображения из шара в полидиск // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. Вып. 1. С. 11-14.

5. Виноградов С.А. Умножение и деление в пространстве аналитических функций с производной, суммируемой по площади, и близких к нему пространствах // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. Т. 222. С. 45-77.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. -— М.: Мир, 1984.

7. Дубцов Е.С. Некоторые вопросы гармонического анализа на комплексной сфере // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. мат. мех. астрон. 1995. Вып. 1. С. 15-21.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965.

9. Ивашев-Мусатов О.С. О коэффициентах тригонометрических нуль-рядов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1957. Т. 21. С. 559-578.

10. Макаров Б.М. Пример сингулярной меры, эквивалентной своему квадрату по свертке // Вестн. Ленинград, ун-та. Сер. мат. мех. астрон. 1968. Вып. 2. С. 51-54.

11. Макаров Н.Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1. Вып. 1. С. 3-59.

12. Мергелян С.Н. Об одном интеграле для аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15. С. 395-400.

13. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа. Труды МИАН. Т. 120. — Л.: Наука, 1974.

14. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. — М.: Наука, 1980.

15. Пеллер В.В., Хрущев C.B. Операторы Ганкеля, наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. Вып. 1. С. 53-124.

16. Рудин У. Теория функций в поликруге. — М.: Мир, 1974.

17. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". — М.: Мир, 1984.

18. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

19. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.

20. Хенкин Г.М. Уравнение Г. Леви и анализ на псевдовыпуклом многообразии, II // Мат. сб. 1977. Т. 102. Вып. 1. С. 71-108.

21. Шапиро Г. Некоторые замечания о весовой полиномиальной аппроксимации голоморфных функций // Мат. сб. 1967. Т. 73. С. 320-330.

22. Aleksandrov A.B. Essays on non locally convex Hardy spaces // Lect. Notes in Math. 1981. V. 864. P. 1-89.

23. Aleksandrov A.B., Anderson J.M., Nicolau A. Inner functions, Bloch spaces and symmetric measures // Proc. London Math. Soc. 1999. V. 79. P. 318-352.

24. Aleman A., Richter S., Sundberg C. Beurling's theorem for the Bergman space // Acta Math. 1996. V. 177. P. 275-310.

25. Anderson J.M., Fernandez J.L., Shields A.L. Inner functions and cyclic vectors in the Bloch space // Trans. Amer. Math. Soc. 1991. V. 323. P. 429-448.

26. Anderson J.M. On division by inner factors // Comment. Math. Helv. 1979. V. 54. P. 309-317.

27. Andersson M. On the Hp corona problem // Bull. Sci. Math. 1994. V. 118. P. 287-306.

28. Bishop C. Bounded functions in the little Bloch space // Pacific J. Math. 1990. V. 142. P. 209-225.

29. Bishop C. An indestructible Blaschke product in the little Bloch space // Publ. Math. 1993. V. 37. P. 95-109.

30. Bourgain J. The Dunford-Pettis property for the ball-algebras, the polydisc-algebras and the Sobolev spaces // Studia Math. 1984. V. 77. P. 245-253.

31. Bourgain J. Applications of the spaces of homogeneous polynomials to some problems on the ball algebra // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 93. P. 277-283.

32. Brossard J. Intégrale d'aire et supports d'une mesure positive // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 1983. V. 296. P. 231-232.

33. Brown G. Riesz products and generalized characters // Proc. London Math. Soc. 1975. V. 30. P. 209-238.

34. Brown G., Hewitt E. Continuous singular measures equivalent to their convolution squares // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1976. V. 80. P. 249-268.

35. Brown G., Hewitt E. Continuous singular measures with small Fourier-Stieltjes transforms // Adv. in Math. 1980. V. 37. P. 27-60.

36. Brummelhuis R.J.M. An F. and M. Riesz theorem for bounded symmetric domains // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1987. V. 37. P. 139150.

37. Carleson L. On mappings, conformai at the boundary //J. d'Analyse Math. 1967. V. 19. P. 1-13.

38. Carmona J.J., Donaire J.J. The converse of Fatou's theorem for Zyg-mund measures // Pacif. J. Math. 1999. V. 191. P. 207-222.

39. Cascante C., Ortega J.M. Convergence in nonisotropic regions of harmonic functions in Bn H Studia Math. 1999. V. 134. P. 269-298.

40. Chang S.Y.A., Wilson J.M., Wolff T.H. Some weighted norm inequalities concerning the Schrôdinger operator // Comment. Math. Helv. 1985. V. 60. P. 217-246.

41. Cima J.A., Mercer P.R. Composition operators between Bergman spaces on convex domains in Cn // J. Operator Theory. 1995. V. 33. P. 363-369.

42. Cima J., Timoney R. The Dunford-Pettis property for certain planar uniform algebras // Michigan Math. J. 1987. V. 34. P. 99-104.

43. Cole B.J., Gamelin T.W. Tight uniform algebras and algebras of analytic functions // J. Funct. Anal. 1982. V. 46. P. 158-220.

44. Cowen C.C., MacCluer B.D. Composition operators on spaces of analytic functions. — Boca Raton: CRC Press, 1995.

45. Dupain Y. Gradients des fonctions intérieures dans la boule unité de Cn // Math. Z. 1986. V. 193. P. 85-94.

46. Dupain Y. Fonctions intérieures dans la boule unité de C" dont les fonctions traces sont aussi intérieures // Math. Z. 1988. V. 198. P. 191206.

47. Duren P.L. Smoothness of functions generated by Riesz products // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. V. 16. P. 1263-1268.

48. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1 //J. Reine Angew. Math. 1969. V. 238. P. 3260.

49. Duren P.L., Shapiro H.S., Shields A. Singular measures and domains not of Smirnov type // Duke Math. J. 1966. V. 33. P. 247-254.

50. Falconer K. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. — Chichester: Wiley, 1990.

51. Falconer K. Techniques in fractal geometry. — Chichester: Wiley, 1997.

52. Fefferman R.A., Kenig C.E., Pipher J. The theory of weights and the Dirichlet problem for elliptic equations // Ann. of Math. 1991. V. 134. P. 65-124.

53. Frazier A.P. The dual space of Hp of the polydisc for 0 < p < 1 // Duke Math. J. 1972. V. 39. P. 369-379.

54. Gamelin T.W., Kislyakov S.V. Uniform algebras as Banach spaces // Handbook of the geometry of Banach spaces. Paris: Elsevier, 2001. V. 1. P. 671-706.

55. García-Cuerva J., Rubio de Francia J.L. Weighted Norm Inequalities and Related Topics. — North-Holland, 1985.

56. Gardiner F.P., Sullivan D.P. Symmetric structures on a closed curve // American J. Math. 1992. V. 114. P. 683-736.

57. Gowda M.S. Nonfactorization theorems in weighted Bergman and Hardy spaces on the unit ball of Cn (n > 1) // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. P. 203-212.

58. Graham G.C., McGehee O.C. Essays in Commutative Harmonic Analysis. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979.

59. Hare K.E., Roginskaya M. Multipliers of spherical harmonics and energy of signed measures // Ark. Mat. 2003. V. 41. P. 281-294.

60. Havin V., Jöricke B. The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1994.

61. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 2000.

62. Henkin G.M. Approximation of functions on pseudoconvex domains and Leibenzon's theorem // Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Sei. Math. Astronom. Phys. 1971. V. 19. P. 37-42.

63. Henriksen В.S. A peak set of Hausdorff dimension 2n—1 for the algebra A(D) in the boundary of a domain D with C°°-boundary in Cn // Math. Ann. 1982. V. 259. P. 271-277.

64. Hewitt E., Zuckerman H.S. Singular measures with absolutely continuous squares // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1966. V. 62. P. 399-420. Corrigendum, ibid. 1967. V. 63. P. 367-368.

65. Hruscëv S.V., Vinogradov S.A. Free interpolation in the space of uniformly convergent Taylor series // Lect. Notes in Math. 1981. V. 864. P. 171-213.

66. Izuchi K. Bourgain algebras of the disc, polydisc and ball algebras // Duke Math. J. 1992. V. 66. P. 503-519.

67. Kahane J.P. Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires // Enseignement Math. 1969. V. 15. P. 185-192.

68. Keldysh M.V. Sur l'approximation en moyenne par polynômes des fonctions d'une variable complexe // Мат. сб. 1945. T. 16. С. 1-20.

69. Korenblum В. A Beurling-type theorem // Acta Math. 1977. V. 138. P. 265-293.

70. Kôrner T.W. Uniqueness for trigonometric series // Ann. of Math. 1987. V. 126. P. 1-34.

71. Llorente J.G. Boundary values of harmonic Bloch functions in Lips-chitz domains: a martingale approach // Potential Anal. 1998. V. 9. P. 229-260.

72. Low E. A construction of inner functions on the unit ball in C™ // Invent. Math. 1982. V. 67. P. 223-229.

73. MacCluer B.D. Compact composition operators on Hp(Bx) // Michigan Math. J. 1985. V. 32. P. 237-248.

74. MacCluer B.D., Mercer P.R. Composition operators between Hardy and weighted Bergman spaces on convex domains in C" // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123. P. 2093-2102.

75. Menchoff D.E. Sur l'unicité du développement trigonométrique // C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. A-B. 1916. V. 163. P. 433-436.

76. Peyrière J. Etude de quelques propriétés des produits de Riesz // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1975. V. 25. P. 127-169.

77. Piranian G. Two monotonie, singular, uniformly almost smooth functions // Duke Math. J. 1966. V. 33. P. 255-262.

78. Riesz F. Uber die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion von beschränkter Schwankung // Math. Z. 1918. V. 2. P. 312-315.

79. Roberts J.W. Cyclic inner functions in the Bergman spaces and weak outer functions in Hp (0 < p < 1) // Illinois J. Math. 1985. V. 29. P. 25-38.

80. Rudin W. The radial variation of analytic functions // Duke Math. J. 1955. V. 22. P. 235-242.

81. Rudin W. Zeros of holomorphic functions in balls // Indag. Math. 1976. V. 38. P. 57-65.

82. Rudin W. New constructions of functions holomorphic in the unit ball of Cn. — Providence: Amer. Math. Soc., 1986.

83. Ryll J., Wojtaszczyk P. On homogeneous polynomials on a complex ball // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 276. P. 107-116.

84. Saccone S. Banach space properties of strongly tight uniform algebras // StudiaMath. 1995. V. 114. P. 159-180.

85. Saccone S. Tight uniform algebras // Holomorphic Spaces. MSRI Publications. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. V. 33. P. 135-154.

86. Sarason D. Functions of vanishing mean oscillation // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 207. P. 391-405.

87. Sarason D. Blaschke products in Bo // Lect. Notes in Math. 1984. V. 1043. P. 337-338.

88. Shapiro H.S. Weakly invertible elements in certain function spaces, and generators in tl // Michigan Math. J. 1964. V. 11. P. 161-165.

89. Shapiro H.S. Monotonie singular functions of high smoothness // Michigan Math. J. 1968. V. 15. P. 265-275.

90. Shapiro J.H. Mackey topologies, reproducing kernels, and diagonal maps on the Hardy and Bergman spaces // Duke Math. J. 1976. V. 43. P. 187-202.

91. Shapiro J.H. Remarks on F-spaces of analytic functions // Lect. Notes in Math. 1977. V. 604. P. 107-124.

92. Shapiro J.H. Cluster set, essential range, and distance estimates in BMO // Michigan Math. J. 1987. V. 34. P. 323-336.

93. Shapiro J.H. Composition operators and classical function theory. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1993.

94. Skoda H. Valeurs au bord pour les solutions de l'opérateur d", et car-actérisation des zéros des fonctions de la classe de Nevanlinna // Bull. Soc. Math. France. 1976. V. 104. P. 225-299.

95. Smirnov V.l. Sur les valeurs limites des fonctions, régulières à l'interieur d'un cercle // >K. JleHiiHrp. (J)H3.-MaT. 06-Ba. 1929. T. 2. C. 22-37.

96. Smith W. Inner functions in the hyperbolic little Bloch class // Michigan Math. J. 1998. V. 45. P. 103-114.

97. Stephenson K. Construction of an inner function in the little Bloch space // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. P. 713-720.

98. Ullrich D. A Bloch function in the ball with no radial limits // Bull. London Math. Soc. 1988. V. 20. P. 337-341.

99. Zhu K. Operator theory in function spaces. — New York: Marcel Dekker, 1990.