Некоторые свойства плюригармонических и плюрисубгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.3

Глава I. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА 1ШОРИСУБГАВЮНИЧНОСТИ ПЛЮРИ-СУБГАШОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ I.I. Лапласиан и форма'Леви для плюрисубгармонических функций.17

§ 1.2. О классах функций РН ,н ,сн . . 29 -

§ 1.3. Оператор Привалова. Критерий плюригармоничности непрерывной функции . 33

§ 1.4. Неравенство для одного класса плюрисубгармонических функций. 38

§ 1.-5. Количественная мера плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций. 43

Глава И.ОБЬШНЫй КРИТЕРИЙ ГШОРИСУБГАБЮНИЧНОСТИ ЗТНКЦИЙ

§ 2.6. Плюригармоничность локально суммируемой функции 50 -

§ 2.7. Объемный критерий плюрисубгармоничности функций 57 -

§ 2.8. Оценки формы Леви от гармонической функции 66 -

§ 2.9. О количественной мере плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций.73

Глава Ш.ШШ1ГАЕ'ЮНИЧН0СТЬ СУшЫ ПОТЕНЦИАЛОВ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЕВ

§ 3.10.Плюригармоничность суммы потенциалов двойного и простого слоев.75

§ 3.II.Сумма потенциалов двойного и простого слоев как оператор плюригармонического продолжения . . 82

I. Установить количественную меру плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций. Пусть г»

Н )«•«*> ^к У М-1 есть форма Леви, заданная на пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций в области

QcC Для плюрисубгармонических функций "U м=*1

Под количественной мерой плюрисубгармоничности плюрисубгар -монических функций класса

С CQ) мы будем понимать сушест вование такого линейного дифференциального оператора 2-го порядка Р , что для всех плюрисубгармонических функций Ц класса L С^/

2) Н хотя бы для одной плгорисубгармонической дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве (СП функции 1А

Аналогичную задачу ставим для произвольных плюрисубгармони -ческих функций.

2. Кайти объемный критерий плюрисубгармоничности функций.

Для локально суммируемой в (С функции тл обозначим через SjOw)» С^) ' соответственно среднее по сфере и среднее по шару & (%Ъ)

Известно ( см., например, Брело [6] ), что полунепрерывная сверху в области С^ функция 1Аф — субгармонична тогда и только тогда, когда для всех достаточно малых £>о В^Ы , н ё Q.

Ставится задача о нахождении аналогичного критерия для плюрисуб -гармонических функций.

3. Определить условия плгаригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.

Задачи поставлены автором данной работы самостоятельно, ка -ких либо упоминаний о них в математической литературе не обнару -жено.

В диссертации используются методы теории потенциала, много -мерного комплексного анализа. Все полученные результаты являются новыми. Перечислим наиболее важные из них.

1). Установлена количественная мера плюрисубгармоничности пшорисубгармонических функций.

2). Получены необходимые и достаточные условия, связывающие между собой плюригармонические, гармонические и кратногармонические функции.

3). С помощью верхнего и нижнего операторов Привалова дан критерий плюригармоничности непрерывной функции.

4). Даны объемные критерии плюригармоничности и плюрисубгармоничности функций. Как следствия их приведены два критерия плюригармоничности гармонической функции.

5). Установлены оценки формы Леви от гармонической функции.

6). Найдены условия плюригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.

7). Показано, что сумма потенциалов двойного и простого слоев при некоторых ограничениях на область есть оператор плюригар -монического продолжения.

По мере получения результаты диссертации обсуждались на се -минаре по теории функций многих комплексных переменных при МОПИ им. Н.К.Крупской, на семинаре профессора Долженко Е.П. ( МГУ им. Ломоносова ). Были сделаны доклады на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимаций функций в комплексной области ( Уфа, 1980г), в Школе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока при Институте математики СО АН СССР ( Новосибирск, 1983 г. ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ц45]

- № ■

Диссертация состоит из введения, 3-х глав. Главы разбиты на II параграфов. Все параграфы имеют двойной номер, из них первый показывает принадлежность параграфа к главе, а второй - порядок встречи его в основном тексте. Теоремы имеют точно такую же ну

1. Ронкин JI.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. - М.: Наука, 1971. - 430 с.

2. RucUr* St/4 Function Theo^ Cn the Unit Batt o| Cr New Yo^k ; SpKn^er, 1980.

3. Тиман А.Ф., Трофимов B.H. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968. - 208 с.

4. Привалов И.И. Субгармонические функции. М.- Л.: Гостехиздат, 1937. - 200 с.

5. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964. - 212 с.

6. Курант Р. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1964.

7. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. -М.: Наука, 1966. 516 с.

8. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч. II. М.: Наука, 1976. - 400 с.

9. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392 с.

10. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. -М.: Мир, 1980. 304 с.

11. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 336 с.

12. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

13. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. -М.: Наука, 1964. 411 с.

14. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. - 368 с.

15. Mo^ow I.» Ross»C H. Some theoterosraiccty cornp&x spaces,-X Math. Soc. Japan, 1975, v. 27, Ns2, p. U7- U5.

16. КоЛко. M • On a conjecture o| hunt and Mщч a^ con-Cef-nCucj c\f f^wM'sul hex fm once «functi'ohS.-Proceed-Cn^S ef the Amer. Math. Soc., 1979, v. >3, N i, P- 30-ЗЧ

17. Wt X Anai^ttC |anctv.ons Cn ^wantuTn ihecnij, An tntrociuctCO". In ' Cowpk* Ana£App£ . Led. Int Semen. Cotuse, TNesie ,21 May--8 Aug . 19?5, V.3 ,-Vienna, 1976, p. 181-192.

18. DtecWich K.3 Fornaess J. E. Pseudotonv^.* Domains:unAtJL Shitty Qfmonic. ExhaustsFunctions, InV4niione& math., 197?, N39, p. 128-141.

19. В>есЦо1-А E,Bumis Domains ©J E^Cstence {of- Ptu~KbutharmonCc Functions Math . Ann., 19 7 8,N158, p. 67-69.

20. Fot-naess У. E. Р£и\чСыД harmonCg ole|uung-functions.- Расфс J. of Matb., p.381--588.

21. Ьео1|огсИ E . Extf-emaf! p?ufvsuj>ЬамтопОс Functionsot- Cet-tcu'n Domains in (С2". Ihdiana Uncv. Mtxtb.1. i9?8,v.!l8,N4, p. 613-626.

22. Садуллаев А. Плюрисубгармонические меры и емкости на комплексных многообразиях. УМН, 1981, т. 36, вып. 4 / 220 /, с. 53105.

23. Borche.f'S Н.т. The genet-afrzecl three a>cie anot other convexity. theorems wctb app&catCon to the construction of env^Cope.s o| hoforoc^ph^-Ann. Inst.He-nK PoOncare Section A., 1977, V. X^Vl^Nl, p. 3~ GO.

24. U. Relations &etwe^n fern ovasuigu£a-Ktij ^etg, pfurt sut>h(Umom'c functions and p osctc V€ , с Posed (1Д) currents . - ARCH - MATH .,1978, v.30, p.

25. U. RemovaWe scngu£cmfcces p&ncsuliho^moni'c functions <^nol t^e^ateol pto6fems. — Ptoc. London Math. Soc, 4Э78, p. 310-356.Hunt L.R., Mm nay. J. p&AKsuihaMwom'c. functions and gene^czec* DcKch(?et Pfo^Pem .-Hick. Math. X, i 379, v. 25, P. 2.99-316.

26. MofJ E. Envelopes continuous pturCsuiharmonic Functions. Math. Ann., mD,N£25i,p.l75-m.

27. Уэрмер Д. Теория потенциала. -М.: Мир, 1980. 136 с.32. 5еЛ|оГЛ Е. The D;Kch?et frofe^m |or some ovefjet-armcneJ on the unit ЬМ ЫJ. Math., 19?4vV.5l, NH, p, 312-33?.

28. E ,, F^^et^usKP. Р&лкЬатоПСсvalues,- tUoku 76-81.

29. Белошапка В.К. Функции, плюригармонические на многообразиях.-Изв. АН СССР, 1978, т. 42, 3, с. 475 483.

30. Айзенберг Л.А., Даутов Ш.А. Голоморфные функции многих комплексных переменных с неотрицательной действительной частью. Следы голоморфной и шюригармоничеекой функций на границе Шилова. Мат. сб., 1976, т. 99 / 141 /, 3, с. 342 - 355.

31. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971. - 232 с.

32. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974. - ,160 с.

33. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 344 с.

34. Брело М. 0 топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974. - 224 с.

35. Гусман М. Дифференцирование интегралов. -М.: Мир, 1978.

36. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. - 396 с.

37. Kisebman О.ТЬе Pat-tiafc olte Transform AttDn |oh p^uMsabhaMnontc Functions,-Inventories >i<m, p. 13?-m.

38. Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких переменных.- М.: Мир, 1968. 280 с.

39. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных."- М.: Высшая школа, 1977. 432 с.

40. Прудников В.Я. Некоторые замечания к одной теореме У.Рудина.- В кн.: Математический анализ и теория функций, межвуз. сб. науч. тр. / Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К.Крупской. М.: МОПИ, 1980, - с. 96 - 97.

41. Прудников В.Я. Некоторые свойства плюрисубгармонических и плю-ригармонических функций. В кн.: Всесоюзный симпозиум по теории аппроксимаций функций в комплексной области : Тез. докл., Уфа, 1980, с. НО - III.

42. Прудников В.Я. 0 плюригармоническом продолжении гладких функций. М., 1981. - 9 с. - Рукопись представлена МОПИ им. Н.К. Крупской. Деп. в ВИНИТИ 22 фев. 1982, № 814 - 82.

43. Прудников В.Я. Обобщенный параметр Привалова и плюрисубгармони-ческие функции. М., 1981. - 21 с. - Рукопись представлена МОПИ им. Н.К.Крупской. Деп. в ВИНИТИ 22 фев. 1982, № 815 - 82.Ф