Об устранении особенностей плюрисубгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.Б.ЛОМОНОСОВА

механико матеыатический факультет

рГ£

&Л ^ *

Ш 517.55

Пл. На правах рукописи

"пГ' 'Ял

КАРПОВА Наталья Геннадиевна

ОБ УСТРАНЕНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ ПЛВРИСУЕГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МОСКВА 1994

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени I».В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, в.н.с. Е.К.Чирка

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В.М.Миклюков

- кандидат физико-математических наук С.Э.Шаронов

Ведущая организация - Красноярски! государственный университет

Защита-диссертации состоится/О ¿Жлл^МИх^ 1994 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова но адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета /14 этаж/.

Автореферат разослан (Л-ч 1994 г.

Учений секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П. Лукашенко

го продолжения функции через неприводимое аналитическое множество достаточно ее ограниченности "сверху в окрестности некоторой точки этого множества.

Во второй главе диссертации мы исследуем условия на рост плюрисубгармонической функции возле Е , обеспечивающие ее локальную ограниченность сверху в некоторой точке а « Е и, следовательно, ее плюрисубгармоническое продолжение в в .

Цель работы. 1. Доказать, что любое связное с5- подмногообразие Е коразмерности 2 области в в с", п ± 2, либо устранимо в классе всех плюрисубгармонических в с \ Е функций, либо является комплексным подмногообразием с .

2. В случае, когда Е - (связное) комплексное подмногообразие б (комплексной) коразмерности 1, найти уловия на рост плюрисубгармонической в е \ Е функции, гарантирующие ее продолжение до функции, плюрисубгармонической во всей области о .

Общая методика исследования. Б диссертации используются методы теории функций многих,комплексных переменных, теории потенциала и геометрической теории меры.

Научная новизна. Основные результаты являются новыми, их достоверность подтверждается подробными доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа косит теоретический характер. Полученные результаты когут найти применение в многомерном комплексном анализе, теории потенциала и теории уравнений в частных производных.

Апробация. Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинарах по многомерному комплексному анализу и в МИ РАН на семинаре по теории функций'комплексных переменных.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работе автора, приведенной в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 17 наименований. Общий объем работы 55 страниц.

Содержание диссертации.

Во введении дается мотивировка исследований и краткое изложение содержания диссертации.

В главе 1 исследуется вопрос об устранимости С1 - подмногообразий Е коразмерности 2 области в в с", .л г= 2 для .класса ¡КсчЕ ) . Первый параграф содержит предварительные сведения и, в основном, известные результаты о плюрисубгармонических функциях. В частности, там приведены простые доказательства теорем Шиффмана и Сью.

Во втором параграфе доказывается следующее обобщение теоремы Пфлюга для многообразий класса с1.

Теорема 2. Пусть Е - вещественное С1 - подмногообразие коразмерности 2 в области С с С° и £о= [г е Е : Т^Е = Т^Е ]. Тогда любая функция <р , плюрисубгармояическая в £ \ Е , продолжается до функции, плюрисубгармонической в \ £ •

В §3 доказывается следующее свойство "заразительности" продолжения для плюрисубгармонических функций, обобщающее теорему Сью на случай с1- многообразий.

Теорема 3. Пусть Е - связное С1 - подмногообразие коразмерности 2 в области С с с" и функция р плюрисубгармонична з С \ Е . Если lim р(с) < +» для

некоторой точки a е Е, го функция <р продолжается до функции, плюрисубгармонической в G .

Из теорем 2 и 3 непосредственно следует основной результат главы 1.

Теорема 4. , Пусть Е - связное С1 - подмногообразие

коразмерности 2 в области G в с". Тогда либо £

- комплексное подмногообразие G , либо оно устранимо для функций класса P(.G\E ) .

В главе 2 рассматривается случай, когда Е - связное комплексное (л - 1)-мерное подмногообразие G. . Задача состоит в нахождении таких условий на функцию, плюрисубгармоническую •в • s \ Е ■ чтобы- она продолжалась до . функции, плврисубгармонической в G . В 51 исследованы условия устранимости, связанные с принципом Фрагмена - Линделёфа для субгармонических функций. Прежде всего мы доказываем следующий результат для функций, субгармонических в области типа полукруга.

Предложение 1. Пусть область Вес лежит в круге [\z\ < 1} , причем 3D состоит из дуги окружности [ I z\ = 1} и некоторой вордановой дуги класса С1 *с, с > 0, проходящей через 0. Если функция <р субгармонична в D , непрерывна в 75 \ {0], (р(2) * С на 3D \ {0} и ) = при z —> 0, то p(z) s С a D .

С помощью этого одномерного результата доказывается

Предлоиение 2. Пусть р плюрисубгармонична в с" \ £ ,

где £={геСп:г=0}, ю(г) = р (-Д—г| ПР" 2 —» 0.

п .. ' I' '} л

г ё V , где и = { г е с" : | < 1, j = 1, ■ ■ ■ ,п ] , и <р ограничена сверху на _ . (С/ \ £ ) п И, где М - вещественная гиперповерхность класса С1 *с, содержащая Е . Тогда <р продолжается до функции, плюрисубгармониче смой в с" .

Как обычно в теоремах типа Фрагмена - Линделёфа, здесь требуется ограниченность функции сверху на вещественной гиперповерхности и глобальная оценка роста. Без этого ограничения на рост ( <р(г) = ) ограниченности, в

общем, не будет, как показывает пример

„Ы = = - 1ш -А- .

хг + у2

п "и

В §2 получена устранимость комплексного подмногообразия при совсем других условиях на <р : здесь мы требуем ограниченность <р сверху на специальном множестве вещественной размерности л ( а не 2л - 1, как в предложении 2 ) и накладываем специальное ограничение на рост ч> лишь в одной точке множества Е (а не на открытом в Е множестве).

Определение. Последовательность {г'] , гк е с", стремится к точке со из множества Е с с" полиномиальным образом относительно Е , если

(ИБЦ2к,£ ) г а(<ИзМ2к для некоторых констант о > 0 и г е и.

Теперь мы можем сформулировать основной результат главы-2.

.. Теорема 5. Пусть С - область в с" , £ - связное комплексное (п - 1)-черное подмногообразие б , О е Е , и <р -

плюрисубгармоническая функция в G \ Е , такая, что p(z) = о^) , когда 2 —► О полиномиальным образом относительно Е . Пусть, кроме того, функция р ограничена сверху на' M \ Е , где M - некоторое IR аналитическое вполне вещественное п - черное подмногообразие некоторой окрестности

О, проходящее через О, и такое, что ditn_(Ai л E ) = я - 1 .

IK

Тогда <p продолжается до функции, плюрисубгармошгческой в области G .

Условие V (z) = ПРИ любом полиномиальном

стремлении z к 0 существенно. Если оно выполнено лишь при стремлении z к 0 порядка не выше t < ■» (то есть, Iz| = /dist(z,£ ) j ), то такого продолжения в общем нет.

z'

Это видно из примера функции p(z) = Ira ' , плюрисуб-

п

гармонической в с" \ {z = 0} , которая не продолжается на Е = [z = 0} , хотя она и ограничена (равна нулю) на (2л - 2) - мерной вещественной плоскости {Im z^ = Im z^ = 0] (вне e).

Теорему 5 можно использовать для устранения особенностей "на бесконечности". Для начала приведем аналог теоремы Сью для случая, когда Е есть бесконечно удаленная гиперплоскость в рп э с" .

Теорема 6. Пусть KQ и К - открытие с - однородные ■конуса в с", К <z Ко , ЗК n aKQ = {0} , функция ч> плюрисуб-гармонична в К^ и ограничена сверху в области К л [ 1 z\ > 1}. Тогда вне шара {|zl s 1} функция р ограничена сверху в ■любом конусе К с К^ , таком, что SK^ л 3Кд = {0} .

Аналогом предложения 2 является

Предложение 3. Пусть Ко а К - открытые С однородные

конуса в С", К с К , ЭК п ЗК = {0} , . (0.....0,1) € К ,

0 0

функция <р плюрисубгарнонична в Ко , ограничена сверху на множестве Кл{|2|>1)л(1ш2п=0] и = о( I г I)

при г^—> 2 с К . Тогда вне шара {| г| £ 1 ] ' функция <р ограничена сверху в любом конусе К^ с К^ , таком, что ак п 8К = (0} .

1 о

Для целых функций теорема 6 не дает ничего нового, так как целая функция, ограниченная в некотором открытом с -- однородном конусе, постоянна. Однако, предложение 3 дает новый результат и для целых функций. ;

Следствие. Пусть ё - целая функция в с" , К - открытый с - однородный конус, содержащий точку (0,...,0,1) , 1п|£(г)| = оС 1г |) при г —> ■ , г е Л , и ё ограничена на

п п

К п { 1ш = 0 }. Тогда £ постоянна.

Прежде, чем переформулировать для конусов, теорему 5, определим полиномиальное стремление к точке бесконечно удаленной гиперплоскости.

Определение. Будем говорить, что последовательность {г"}, г" е с", стремится к точке ц с однородными координатами 10 : ц : ... : ч ] полиномиальным образом относительно бесконечно удаленной гиперплоскости Ио, если I я" | —» о и для некоторых а > 0 и & ' > 1 выполнено неравенство Ы^Сг")! * а|л ±(гк)|г , где тг^ - ортогональная

проекция на комплексную прямую х, = { хСт^ ,... ,т)в), х « с }

и п 1 - проекция на ортогональное дополнение к X. '. ч

Результат теоремы 5 переносится на конусы в следующем

виде.

Теорема 7. Пусть К^ и К — открытые с. — . однородные

конусы в с", К с Ко Ж п 8Ко = (0) . (0.....ОД) е X ,

\г I

функция р плюрисубгармонична в К , ip(z ) = о

1 + (г'^

где г' = (¿г , ,Г.,.г ) , когда г стремится к точке с однородными-координатами [0 :0 : ... :0 :1] полиномиальным образом относительно бесконечно удаленной гиперплоскости Яо , и <р . ограничена сверху на множестве

К п {Iг| > 1} л ( 1га г = ... = 1тг = 0 } .

1 я

Тогда вне шара [\г\ з 1} функция <р ограничена сверху в

любом конусе К с К , таком, что 3К л Ж = {0] . ' 10 1 о

Следствие. Пусть ё - целая функция в с", К - открытый

с - однородный конус, содержащий точку (0,...,0,1)

1п1ё(г)| = о

I z I

когда z стремится к точке с

..1 + Iz'll

однородными координатами [0:0: ... :0 :1) полиномиальным

образом относительно бесконечно удаленной гиперплоскости H

о

и g ограничена на множестве К л {Ira zt = ... = Ira z^ =0} . Тогда g постоянна.

Доказательства предложения 3, теорем 6 и 7 содержатся в §3 главы 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Е.М.Чирке за постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.

Работы автора по теме диссертации.

1. Карпова Н.Г. Об устранении особенности плюрисубгармониче-ских функций. - Матем. заметки, 1991, т.49, вып.З, с.35-40.