Почти периодические решения некоторых классов дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

¡M ij СИ Специализированный Совет К 14 / A.0I.05

На правах рукописи

Каниева Гульбадан Сералиевна

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: член-корреспондент НАН РК,

д.ф.-м.н., профессор Д.У.Умбетжанов

Официальные оппоненты : д.ф.-м.н., профессор

Темирбулатов С.И., к.ф.-м.н., доцент Токибетов Ж.А.

Ведущая организация : Институт математики АН Украины.

Защита состоится "24" мая 1996 г. в 13 часов на заседании специализированного Совета К 14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном • университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алматы, ул. Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан " " апреля 1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

к.ф.-м.н., доцент

Б.М. Кадыкенов

Специализированный Совет К 14 / А.01.05 На правах рукописи

Каниева Гульбадан Сералиевна

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: член-корреспондент HAH PK,

д.ф.-м.н., профессор Д.У.Умбетжанов

Официальные оппоненты : д.ф.-м.н., профессор

Темирбулатов С.И., к.ф.-м.н., доцент Токибетов Ж.А.

Ведущая организация : Институт математики АН Украины.

Зашита состоится "24" мая 1996 г. в 13 часов на заседании специализированного Совета К 14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алматы, ул. Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан " " апреля 1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета к.ф.-м.н., доцент Б.М. Кадыкенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория колебаний имеет большое те-" оретическое и прикладное значение. Известно, что в основе математических моделей многих явлений, имехицих место в сплошных, средах лежат уравнения в частных производных. Изучение колебательных процессов сводится к нахождения решений колебательного вида соответствую^« дифференцальных уравнений.

Cciiü3cnojiojrwHH2?cvnH сСщеи теории пориодкчбс?\их решении бо нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений являются A.M. Ляпунов и А.Пуанкаре. Большой вклад в развитие теории периодических решений и ее применений внесли A.A. Андронов, Л.И. Мандельштам,Н.Д.Папалекси, применив методы Ляпунова и Пуанкаре к систематическому исследованию нелинейных колебаний в ряде конкретных физических систем.

Во многих задачах небесной механики, физики, техники встречаются процессы, в которых зависимость от времени не являются периодической,а выражается посредством тригонометрических сумм. В связи с этим возник интерес к исследования почти периодических решений дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами.

Теория почти периодических колебаний начала развиваться в работах П.Г. Боля, Г.Бора,' С.Бохнера, Б.М.Левитана. Фундаментальные результаты в теории почти периодических колебаний

установлены в работах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митро-

t

польского, А.М.Самойленко, В.Х.Харасахала. и др.

Многочисленные исследования по проблеме существования периодических и почти периодических решений параболических уравнений проведены Л.А. Багировым.В.В. Яиковым, Н.Н.Кочиной, Д.У. Умбетжановым, М.А. Шубиным и др.

Почти период1!ческие по временной и пространственной переменным решения краевых задач для линейных параболических и гиперболических уравнений изучались в работах Д.У. Умбетжанова, где установлены существование, единственность, устойчивость и аналитический вид этих решений. Краевые задачи для полипараболического уравнения рассматривались в работах М.О. Орынбасаро-ва.

В&тщьм и интересным модельным уравнением для описания нелинейных эффектов в диспергирующих средах является уравнение Уизема. Это уравнение встречается при описании поверхностных волн на воде, магнитозвузовых волн, в гидродинамике и других разделах физики. Имеется немало работ, исследующих это уравнение: П.И.Наумкин, И.А.Шипшарев, М.И. Иманалиев и др.

Таким образом, вопросы построения и исследования почти периодических решений различных классов дифференциальных уравнений являются важными и актуальными.

Целью-работы является исследование достаточных условий существования, единственности почти периодического решения для полипараболического уравнения и его аналитического представления и выяснение коэффициентных достаточных условий существования и единственности почти периодического решения уравнения типа Уизема, уравнения типа Уизема-Вюргерса.

Научная нсвизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Вопрос о почти периодических по всем переменным решениях полипараболических уравнений, уравнений типа Уизема. Уизема-Бюргерса ставится впервые и реиается положительно в классе гладких ограниченных почти периодических функций.

Для построения почти периодического решения уравнения ти-

па Уизема применен метод последовательных приближений в сочетании с методом характерней«. Почти периодическое решение полипараболического уравнения с помощью .функции Грина вспомогательной задачи Коши и ее свойства типа свертки.

Ценность работы. Результаты работы представляют прежде всего теоритический интерес и могут быть использованы при дальнейших исследованиях нелинейных уравнений и уравнений параболического типа. Результаты работы могут быть использованы в ряде прикладных задач, описываемых этими уравнениями.

На защиту автор выносит следующие результаты:

- доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости почти периодического решения полипэраболического уравнения, установлен аналитический вид этого решения;

- доказана теорема существования и единственности почти периодического по временной и пространственной переменным решения уравнения типа Уизема;

- доказана теорема существования и единственности почти периодического решения уравнения типа Уизема-Вюргерса;

- получены в явном виде коэффициенте критерии, обеспечивающие разрешимость этих задач.

Связь темы диссертации с планами отраслей науки. Диссертационная работа выполнена в соответствии с темой фундаментальных исследований КазГНУ йм.Аль-Фаргби "Почти периодические решения дифференциальных уравнений".

Апробация работы. Основные результаты диссертации доплачивались и обслуживались на научнух семинарах по дифференциальным уравнениям и функциональном пространствам член-корр.' НАЯ РК Д.У. Умбетжанова; по корректным задачам академика ЙА РК

Ш.С.Смагулова, по уравнениям математической физики профессора С.И. Темирбулатова, по дифференциальным уравнениям член-корр. HAH PK К.А.Касымова.

Публикациии.Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы и списка литературы из 50 наименований. Обьем диссертации 93 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится краткий обзор истории развития теории колебаний, обосновывается актуальность темы, излагается основное содержание диссертации.

Пусть - вещественное евклидово n-мерное пространство точек с нормой /зс/*в (я>х). Множество точекХеВ"1,

удовлетворяющих условию |CC-3C«Jйt,i>0 называется шаром в Е* с центром вД?0 и радиусом t и обозначается S(x9)t). Множество föj называется относительно плотным в Е*" , если существует число t>0 такое, что {fi} fl{x t S(x0,C)} ф 0 .Пусть Cß(Ea) банахова алгебра непрерывных и ограниченных на £*" функций /(ocj с нормой L'ijL.^^SUp ///. Вектор £ Сказывается

vv(i? ff

£ - почти-периодом функции j(x) бСБ(Е/, если имеет место неравенство

: I f(X+#)~ /(х) 1<£. Функция /frcjS'Cßff"'Уназывается равномерно почти периодической

(п.п.) функцией, если существует множество ее£- почти периодов,

Ел

. Множество всех равномерных п.п.функ-

цкй на Е" обозначается через С/1Р(£П)и представляет собой банахову подалгебру алгебры СВ(ЕЛ) с указанной выше нормой. Пусть 1еЕ = (-оо,+оо) > ,/(4х}-определенная

и непрерывная на функция.Функция , х) называется п.п. по С, X с £ - почти периодом если

¥£>0,

множество^,^} является относительно плотным множеством в Через СИ Р^ ( обозначается класс п. п. функций,

удовлетворяющих условию Гельдера по X с показателем у 6 (0_, ¡1 В первой главе рассматриваются Еопросы существования единственности, устойчивости почти периодического решения для полипараболического уравнения

где ~ СО№"Ь} & ~^ "А , Д- оператор Лаплеса,

5'(5М"'и), СС б£*-Л-мернов евклидово

пространство.

Предполагается, что f(t>X)€ С/1Р1 (Е***).

Постановка задачи: найти (Л{Ь, X) - ограниченное для всех (¿¡,Х) и почти периодическое по Ь к 52 , удовлетворяющее уравнения (1). С помощью вспомогательной задачи Коши

*К~'и 1{'0 (2)

где

строится функция Грина задачи Коши (1),(2). Коэффициенты 0*1 вычисляются с помощью определителя Вронского, тем самым обнаруживается связь с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.

ТЕОРЕМА 1. Для лзоьк tt и справедлива формула

i»L

fcM nv

где Tie(i) - S Скй pi(£) >коэффициентыC^определяются i-1.

из систем уравнений

'pi(O)... pjtf;

¿ги^-ц

-Ki

— 6К.

Условия периодичности по переменной * Пуанкаре приводят системе интегральной уравнений, имевди единственное решение о

-00 рч

являющееся начальной функцией, ¡»торой соответствует искомое п. п. решение уравнения (4).

Полином с?(Л)=,д называется полиномом Гурвица,

если все его корни имеют отрицательные вещественные части. Для того чтобы полином -был полиномом Гурвица необходимо и доста-точнр,чтобь1 имели место неравенства

at>0,

«# аз

a* cttJ

>0

O-i Ъ Qs a„ Од

0 а, аь

>0,»

а, а? .. О

а, Чг «у 0

0 а, аь .. О

\ \ • Cm

>0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть Х(А) - ^ " + + - полином

Гурвииа , X) ¿СДР* (Е **л) Тогда уравнение

(1) имеет единственное п.п. решение j.

-о, р

/А

. A Ш

гд?1Л(г,х) ~ (№•£) <= 4 .

Причем для всех /с в У,..,, щ $K~U*(t,X) € СЙРЛ (E^V.

Это решение равномерно и асимптотически устойчиво в'классе решений, имеющих начальные функции задачи Коши из. С В (Е*) ■ В j? 3 рассматривается квазилинейное уравнение

Snu+a1Sxu +... (3)

Предполагается, что ,U) удовлетворяет условию ( Р) ,если Q(ifX,U)-п.п. по t, С2 и удовлетворяет условию

\Q(t,xfu)-Q(ix,u)UQi((x-xl9+lu-ul;.

Обозначим через H(d,p)- класс ограниченных и удовлетворяющих ■ условию Гельдера по х функций. На основании теор?№ '2 показывается, что оператор 6

I /"Г» (i-s)Uo (I -s, lg(s, l))J$3.

-co

*

отображает класс ограниченных "п.п. функций з себя при достаточно малых значениях Jlj.

ТЕОРЕМА 3. Пусть 32(Л) - полинсм Гурвица, и Ц(Ь,х,и) удовлетворяет условию (Р). Тогда найдется уЬ' >0, такое, что при любых^л •• 0<уи<^л уравнение (3) допускает единственное п.п. решение

Во второй главе рассматриваются вопросы существования и единственности почти периодического по I и х решения уравнения типа Уизема

+ 00 г

(4)

где (Л - искомая функция, - положительная постояная.На ядро (О и правую часть уравнения / налагаются условия, совокупность которых обозначим (V/):

1) Щ)€Сг(Е\0),

• +СО +*>

« По < + 00 , J 1Я(>))1а- *] = <+оо}

СДР(Е&)ПСг(Ег), иА'1>хМг 4€/»0,

Чтобы найти ограниченное-п. п. решение уравнения (4) применяется метод последовательных приближений. За начальное приближение примем единственное п. п. решение уравнение Ч^. + 1Л ~ £ имеющее вид

— оэ

Тогда пъ - се приближение определяется из уравнения

п+1 пг 1Я.+1 rn.fi г~т >

и-4 +и, +уц, - ^ (5)

Л фос -00

Д. У. Умбетжановым было построено п. п. по ь и х решение уравнения (5) £

ип*\ х) = }еп'"г) Г

где А-характеристическая функция оператора!} У- ~ ИЛ II Ц-

V

т,

ЛР.Ш 2. Последовательные приближенияМ. (с,X) при выполнении условий ( V/) и +2 {о[ будут ограничеными почти -периодическими по Ь и х функциями, удовлетворяющими условию Липшица по х с константой об =» ("У- "

Обозначим - (об Ко у)/-сС

Уыбетжанов Д.У. Почти многопериодические решения дифс&зрвн-гаальнкх уравнений в частных производных. Алматк, 19?9, 211 с

ЛЕММА 3. Последовательность почти-периодических по I и х функций и'г((,х) и последовательности их частных производныхи И* при выполнении условий (й/) и р</ сходятся равномерно в предельной Функции И* ((, х) и к соответствующим ее частным производным И ж , ■ Справедливы следующее оценки

1иГ"4-ипЧ£аёЯ1 , - 4 аГа-О,

¡иТ-иЦ ¿(Ск+сие*1.

ТЕОРЕМА 4. Уравнение (4) при выполнении условий №) и ' V » Т 4. /Со + + к 0+еС)

I

допускает единственное п.п. решение, для которого имеют место оценки -

' Г-Кс 3

Ц и* II < - Нг-к^ыс • 2

Причем и*(Ь,х) удовлетворяет интегральному уравнению

и»'

'(I, =/е"7(1" 1к, д* М, - ]П)и\ Хф)-

"СО -оо

где

йг

В § 5 рассматривается квазилинейное уравнение

Предполагав гея, ~то заполнена условия (W) • яа К и/..

I j.

Пусть Cj(t,Xtïl) - почти периодическая по i> к Ci равномерно относительно IX и удозлэтзоряэ? условия

\çjit,x,lL)-сцЬ,х,и)\4 <p(ix-xi -tlïZ-ul),

Совокупность зсех условий обозначил >' Wj). Снова п.п. рзпю-строктся методом последовательных приближений. В качестве начального приближения возьь'.эк Тогда Ш-оэ приближение определяется аз уравнения:

Каждое уравнение имеет единственное п.п. по t к X решение

Ifl 1 — со

vV (S,t,x) _ характеристическая функция операторе

т*

il

где

D и* щ +д(и )их

. Справедливы оценки

Ии^-иГИ ^l^Hu'-ull, IиТ~ u2U(Cm+d)lm

Введем обозначения = fo, -t-^ + Я . Пусть ^ таково, что йз неравенства ^f > ^ следует "fi, < 1

г - ^(т-ъУ+асс

ll.VCTb

'¡b

nJ * , „ n*R * * y >

{ при cC>rt

.обозначим г =

- 14 -

ТЕОРЕМА 6. При выполнении условий (V/ ¡¡,) и У уравнение (Б) имеет единственное п.п. по С и£С решение -¿¿'/к 11*^(1 .х), удовлетворяющее следующему интегральному уравнению

и*с Ы) «/в^гЛ*, Л, Ь> *)) ¡Щ

где •

Для и^С^, зс.) верны оценки:

а и-л 6 , и иг а Г-ч-ъ-МГ'^ь)1-*«}-.

В параграфе 6 п.п. решение уравнения типа Уизема-Бюргер-

са

и^+ии^-ш-* \К(ос<?>

— со

строится методом последовательных приближений

гь г +<*>

"ОС СЛ. ' -О® 1 1 0

с

ТЕОРВЛА 7. Пусть 1)

}С € С(Е)

2) /(¿^сслй-СЕ*;,

3) М + 2 С^с/г}£ * / , *,)+^Уг 4,

• где - уравнение (7)

допускает единственное п.п. решение, удовлетворяющее интегральному уравнению

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корреспонденту HAH PK Д.У. Умбетжанову за пос-. тановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах;

1. Умбетжанов Д.У., Каниева Г.С. О почти периодических решениях уравнения типа Уизема.Деп. ВИНИБ1.20.05.91. N2594- В91.

2. Каниева Г.С. Почти периодическое решение уравнении типа Уизема // Известия HAH PK. 1993. 1. С. 24-28.

3. Каниева Г.С., Умбетжанов Д.У. О почти периодических по всем независимым переменным решениях полипараболического уравнения // Известия HAH PK . 1994. 1. С. 40-44.

4. Каниева Г.С. Построение почти периодического решения уравнения типа Уизема-Бюргерса. Деп. КазИНТИ. 18.03.96, ' N 6793-Ка 96.

Личннй вклад диссертанта. Всо иаучнкэ результаты, соо -тавлягяше основное соявржшло диссертация, получены диссерган-самостоятельно, а соавтору принадлежат постановка задачи и обсуждение работы.

Каниева Г. С.

Диффэренциялдьш; тевдеулерд1ч кейбхр класстарыньщ периодты д@рл!к шепимдерь

Подипарабодалык тевдеудщ периодты дерлхк шеш1М1 бар жене б1рден-б1р екендхП, онын орныктылыгы туралы георемалар дэлел-дещц. Укаем ткптео хекдеудш, уакрттык жене кецютитк айны-мадалар бойынша периодты дерлхк шеи1м1 бар жене бхрден-бхр екендхг! туралы ' теорема дэлелдендь Уизем-Бюргере типтес тендеуд1д периодты дерлхк шеи1м1 бар жэне б1рден-б1р екендхп туралы теорема дэделдекдк Б*л есептердщ шеш1Л1мд»Л1Г»н к,ам-тамас-ыэ етеин коэффициент! 1 к ¡парттар айкын тгрде табылды.

Kanieva G.S.

Almost periodic solution for some classes of differential eguations.

Theorem of existence, uniqueness and stability of the almost periodic solution for polyparabolic eguatlon Is proved. Theorems of existence and uniquness of almost periodic by space and time variables solution for Whithan and Wnithan-Burgers type eguations are proved. Jhe sufficient conditions of decision of these problems are found.