Подобно однородные пространства с внутренней метрикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Гундырев Иван Анатольевич

Подобно однородные пространства с внутренней метрикой

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск — 2015

11 ноя 2015

005564439

005564439

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Берестовский Валерий Николаевич

Официальные оппоненты: Андреев Павел Дмитриевич,

Защита состоится «10» декабря 2015 года в 14 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 па базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru/.

Автореферат разослан « 2, С? » октября 2015 г.

кандидат физико-математических наук, доцент, ФГАОУ ВПО «Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова», институт математики, информационных и космических технологий, кафедра математического анализа, алгебры и геометрии, доцент;

Никоноров Юрий Геннадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Южный математический институт ВИЦ РАН, отдел функционального анализа, главный научный сотрудник.

Ведущая организация: ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский)

федеральный университет».

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. О&ьектом исследования в данной работе являются подобно однородные неоднородные пространства с внутренней метрикой. Это метрические пространства, в которых расстояние между двумя произвольными точками равно инфимуму длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки, и группа метрических подобий (биекций, изменяющих в фиксированное число раз расстояния между любой парой точек) действует транзитивно на этом пространстве (для любой пары точек существует подобие, переводящее одну точку в другую). Неоднородность означает, что группа всех изометрий действует нетран-зитивно. Начало систематического изучения таких пространств положено в статье [10].

Наглядные примеры:

1. Ж+.— множество положительных вещественных чисел, с расстоянием равным модулю разности чисел. Подобие такого пространства — умножение на положительное вещественное число, а изометрией является только умножение на единицу, т.е. тождественное отображение.

2. К х К..(. —верхняя полуплоскость с евклидовой метрикой. Изометрии такого пространства — сдвиги вдоль граничной прямой, а подобия — раздутия и сжатия с центром в точке, принадлежащей граничной прямой.

3. К3\{0} — трехмерное вещественное пространство с выколотой точкой и евклидовой метрикой. Изометрии в этом случае — вращения вокруг точки 0, а подобия-—раздутия и сжатия с центром в точке 0.

Примерам подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой посвящен раздел 1.2 в диссертации.

Случай транзитивного действия группы подобий на открытом подпространстве /¡-мерного афинного пространства рассмотрен в [25].

В основных результатах диссертации предполагается локальная компактность или локальная полнота метрических пространств. Локальная полнота означает, что для любой точки .г пространства существует метрически полный замкнутый шар с центром в этой точке радиуса г = г(х) > 0. Точная верхняя грань таких чисел г для данной точки а: называется радиусом полноты пространства в точке х н обозначается с(а ). Заметим, что локально компактное метрическое пространство локально полно.

Однородные пространства с внутренней метрикой подробно изучаются в многочисленных работах (см. [6-9,18], монографии [5,11] и книгу [21], а также

списки литературы в них). Группы подобий для пространств с внутренней метрикой рассматриваются в статьях [10,19], в обзоре [141 и в [23]. Псевдоримановы подобно однородные многообразия изучаются в недавней статье [20].

Возникает естественный вопрос: когда подобно однородное пространство является однородным? Иначе говоря, когда группа всех подобий Г/, действует транзитивно на пространстве и подгруппа всех изометрий Г тоже действует тран-зитивно. Ответ на этот вопрос дает теорема 2.1 статьи [10] (также см. [15]): локально полное подобно однородное метрическое пространство однородно тогда и только тогда, когда оно метрически полно.

Группа подобий является подгруппой в группе конформных преобразований. Следовательно, подобно однородное пространство является конформно однородным. Результаты для (локально) конформно однородных пространств представлены в главе 5 монографии [5].

Согласно теореме 1.2 статьи [10], локально полное подобно однородное пространство с внутренней метрикой канонически конформно эквивалентно однородному полному пространству с внутренней метрикой. Для римановых Сх-многообразий утверждение теоремы 1.2 из [10] является следствием результатов, полученных Д. В. Алексеевским и Б. Н. Кимельфельдом в статьях [1-3]. Для локально конформно однородных римановых многообразий соответствующий результат получен Е. Д. Родионовым и В. В. Славским в работе [24].

В статье [10, следствие 4.2] показано, что всякая связная одиосвязиая разрешимая группа Ли размерности » > 1 с левоивариантной римановой метрикой iG.fi) допускает такую конформно эквивалентную риманову метрику и, что левые сдвиги группы С! действуют на (О, и) подобиями, но не обязательно изомет-риями. Это утверждение позволяет сделать вывод, что пока недоступна классификация связных подобно однородных неоднородных римановых многообразий.

Цель работы. Первая задача работы —проверка гипотезы из статьи [10] о топологическом строении подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой. Вторая задача — дать алгебраическую характеризацию таких пространств.

Гннотеза( [10]). Всякое локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой (X, р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с-1 (я) X (следовательно, с:-1(а) X К), где с'1 (а) —произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (Л', р). Топологическая группа Г'/» (всех подобий пространства (X, р)) изолюрф-на полупрямому топологическому произведению Е, X Г (следовательно, ЕХГ), где Г — группа всех изометрий пространства (X. р).

В статье П. Д. Андреева [4, раздел 5] построен пример локально полного подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой, пока-

зывающий существенность условия локальной компактности в этой гипотезе (см. раздел диссертации 2.4).

В связи с гипотезой следует упомянуть результат Д. В. Алексеевского.

Теорема ( [17], теорема 2.1). Пусть (М. ц)—самоподобное риманоео или при-чшшое лорепцево многообразие с группой подобий Ф = { с>, }, которая не имеет неподвижных точек. Тогда

1. М — диффеоморфно прямому произведению К х Аг, где N является многообразием.

2. Ф — однопараметрическая группа переносов линии К:

ф,: (и, у) -> (и + у), (и, у) е К х N.

Псевдориманово многообразие (М,д) с метрикой ц называется самоподобным, если оно изометрично многообразию (А/, Ад) для любого А > 0. Ло-ренцево многообразие называется причинным, если оно не содержит замкнутых времениподобных кривых (см. [13,16]).

Основные результаты.

1. Доказана гипотеза В. Н. Берестовского из статьи [10] о топологическом строении подобно однородного неоднородного локально компактного пространства с внутренней метрикой и его группы подобий.

2. Дана алгебраическая характсризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой.

Методы исследований. В работе используются методы метрической геометрии, классические теоремы из теории топологических групп и групп Ли. Важную роль играет глобализация теоремы о локальном представлении группы в виде прямого произведения из теории Ивасавы-Глисона-Ямабе для локально компактных групп [18, предложение 1.2]. Применяются теоремы об однородных пространствах с внутренней метрикой, поскольку согласно теореме 1.2 статьи [10] каждому подобно однородному пространству с внутренней метрикой каноническим образом сопоставляется однородное пространство с внутренней метрикой.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространств с внутренней метрикой.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях и семинарах: Российская конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007); VI молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007); Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология» (Барнаул, 2013); XII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2013» (Казань, 2013); Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске -2014», посвященная 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка (Новосибирск, 2014); XIII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2014» (Казань, 2014); Омский Алгебраический Семинар (ОФ ИМ СО РАН, Омск, 2015); Омский Геометрический Семинар (ОФ ИМ СО РАН, Омск, 2015); Семинар отдела анализа и геометрии (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2015).

Публикации. Всего автором опубликовано 9 работ по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех научных статьях (в журналах, рекомендованных ВАК) [26-28]. Шесть публикаций в материалах конференций [29-34].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 74 наименования. Общий объем диссертации 75 страниц.

Благодарности.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Валерию Николаевичу Берестовскому за постановку задач и поддержку в работе.

Автор глубоко признателен сотрудникам математического факультета ОмГУ и Омского филиала ИМ СО РАН за полезные дискуссии, ценные советы и дружескую помощь в процессе подготовки диссертации.

Содержание работы

Введение содержит информацию о предмете исследования, целях работы и основных результатах.

Первая глава имеет вспомогательный характер, в ней приведены основные определения, результаты других авторов и доказаны необходимые для дальнейшей работы утверждения. В разделе 1.2 приведены различные примеры изучаемых пространств, взятые из статьи [10].

Отображение метрических пространств ф: X -» ¥ называется субметри-ей, если для каждого числа г е и каждой точки г 6 X образ замкнутого шара радиуса гв!с центром в точке х есть замкнутый шар радиуса г в ¥ с центром в точке Ф(х).

Определение ( [10]). Пусть (Х,р) — пространство с внутренней метрикой и А = \(х),х £ X — положительная непрерывная вещественная функция на X. Для каждого параметризованного длиной дуги спрямляемого пути £ — 0 < « < а, в пространстве (X р) определим его новую длину /(£, А) := /(" А(£(.<.')) сЬ. Затем определим новую (внутреннюю) метрику р\ на X, полагая р\(г.у) для 2, у € X равным точной нижней г ранице длин /(£, А) по всем спрямляемым в метрике р путям соединяющим точки г, у. Будем говорить при этом, что метрика Р\ получена конформным изменением метрики р с коэффпщнентом конформности А или что метрика />\ конформно эквивалентна метрике р с коэффициентом конформности А.

Пространство Л' с новой метрикой р\ из этого определения обозначим (X. р\).

Теорема ([10], теорема 1.2). Пусть (X, р) —локально полное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой. Тогда пространство (Х.рх), где А = 1/с, является однородным полным пространством с внутренней метрикой и группа подобий Гр(Л'. р) пространства (Х,/>) становится транзитивной группой движений пространства (Л', р\).

Определение. Пусть (Л*, р) — локально полное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой. Однородное полное пространство с внутренней метрикой (X, р\), где А = 1/с будем называть канонически конформно эквивалентным пространству (X, р).

Заметим, что если (Л', р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой, то канонически конформно эквивалентное ему пространство (X, рЛ), А = 1/с, является однородным локально компактным пространством с внутренней метрикой.

Вторая глава посвящена исследованию топологического строения изучаемых пространств. В разделах 2.1, 2.2 рассматриваются случаи, когда канонически конформно эквивалентное однородное пространство имеет ограничение на кривизну по А. Д. Александрову (сверху или снизу) или ¿-однородно. При выполнении этих условий проводятся рассуждения, позволяющие доказать гипотезу из статьи [10].

В случае ограничения на кривизну канонически конформно эквивалентного однородного пространства доказана следующая

Теорема 2.3. Пусть (X, р) — подобно однородное неоднородное локально компактное пространство с внутренней метрикой и (X, р\) — соответствующее ему ( [10, теорема 1.2], А = 1 /с) канонически конформно эквивалентное однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Пред-

7

положим, что (Л", р\) имеет кривизну > к по Л. Д. Александрову; G — наибольшая связная транзитивная локально компактная топологическая группа подобий (движений) пространства (X, р) ((Х,р\)), существование которой гарантировано предложением 4.1 в [10]; группа I — наибольшая подгруппа изо-метрий пространства (X, р) в группе G; х0 £ е_1(1) и II С I — стабилизатор точки .Гц в группе G; смежный класс gil € G/H естественно отождествляется с точкой д(хп) при помощи отображения /: G/H -> X, f(gll) — д(хц). Тогда

1. Топологическая группа G с компактно-открытой топологией относительно действия G на X изоморфна некоторому полупрямому произведению топологических групп (R, +) X I (I — нормальная подгруппа), так что:

2. элементы подгруппы (К, +) X {е} коммутируют с элементами компактной подгруппы II С I и I/II — эффективное однородное пространство группы I;

3. (Х,р\) = (G/H,p\)—однородное эффективное пространство

с G-инвариантной внутренней метрикой р\ относительно канонического левого действия G на G/II;

4. пространство (Л', р) естественно изометрично пространству (G/II, р), функция с: (G/H,p) —» —субметрия и одновременно радиус полноты пространства (G/H.p), где с((/, /)//) = exp(í), (t,i) € (R, -}-) X I (с учетом n.J).

Если в условии теоремы 2.3 пространство (Х,рх) имеет кривизну < к (вместо > к), то, как показано в работе [18], (Х,рЛ) является однородным ри-мановым многообразием секционной кривизны < к. Тогда по теореме 4.4 из статьи [ 10] все утверждения теоремы 2.3 верны и в этом случае.

Автору неизвестно, верно ли в общем случае (без условий на ограниченность кривизны) утверждение о коммутировании элементов подгруппы (К. I ) X {е} с элементами подгруппы II (стабилизатора точки .г(| € с~] (1)).

Для заданной точки х € X изометрия g : (X, р) -+ (X, р) метрического пространства (X р) называется 0(х)-смещением, если для любой точки у € Л' выполняется неравенство p(y,g{y)) < р(х,д(х)). Пространство с внутренней метрикой называется 6-однородным, если для любых двух точек х, у € X существует <5(:г) -смещение, переводящее х в у.

В случае ¿-однородности канонически конформно эквивалентного однородного пространства верна

Теорема 2.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.3, но вместо ограничения кривизны > к Имя (Х,рх) выполнено условие, что (Л', р\)—6-однородное пространство. Тогда верны пункты 1,3,4 теоремы 2.3.

Переносом Клиффорда-Вольера пространства с внутренней метрикой (А', р) называется изометрия у, перемещающая все точки в X на одно и тоже расстояние, т.е. р(х,у(:г)) = const; для всех х £ X.

При проведении доказательства теоремы 2.5 установлена важная

Теорема 2.6. Пусть (X, р) — подобно однородное неоднородное локально компактное пространство с внутренней метрикой и (X, р\) — соответствующее ему С [10, теорема 1.2], А = 1 /с) канонически конформно эквивалентное однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Предположим, что (А, рх) — S-однородное пространство. Тогда в группе движений пространства (А, рх) существует однопараметрическая подгруппа { g(/) | I £ R } переносов Клиффорда-Вольфа такая, что:

1. множество уровня М\ = (lnor;)_I(ai), «1 € Ш+, значений функции

In ос: (А, рх) —>• К (радиус полноты с вычисляется в пространстве (А, р)) при действии на него элемента у £ { g(f) | / £ R } переходит и множество уровня М> = (In ос)-1 («о), «2 € R+.

2. Для любых двух множеств уровня Mi = (In щ £ М+, / = 1,2, существует элемент у £ {g(0 | I € R } такой, что у(М}) =

В разделе 2.3 доказан общий случай гипотезы о топологическом строении. В доказательстве этого результата используется лемма Андреева и теорема о существовании однопараметрической подгруппы подобий на рассматриваемых пространствах.

На группе подобий Гр (и подгруппе изометрий Г С Г'р) метрического пространства (Х.р) вводится личприка Буземапа 6Ха (см. [12, (4.7), с.ЗО)). Для произвольной точки an £ X, для произвольных подобий у\,у-2 € Г р определим:

Лемма (П. Д. Андреев). Пусть (А\ р) — локально полное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой, Гр — его группа подобий, Г С Гр — подгруппа изометрий. Пусть на группе Гр задана метрика Буземапа (хц € X) и существует непрерывный гомоморфизм 0: (R+,-) —> (Гр, <">.,.„), удовлетворяющий условию па коэффициент подобия

о(6(0) = t при всех t 6 Е,..

Тогда топологическая группа (Гр,д3о) изоморфна полупрямому произведению топологических групп (IR,, •) Х^ (Г, <iro).

9

Теорема 2.7. (О существовании однопараметрической подгруппы подобий)

Пусть (А, р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой и С — транзитивная метрчзуемая локально компактная связная группа подобий пространства (Х,р), существование которой гарантировано предложением 2.2; I С С — наибольшая подгруппа изометрий пространства (X, р) в группе С.

Тогда существует непрерывный гомоморфизм О: (Ж+,-) -4 С С Гр, удовлетворяющий условию а ((-)(/,)) = / для всех í € Ж+.

Важную роль в доказательстве теоремы 2.7 играет глобализация теоремы о локальном представлении группы в виде прямого произведения из теории Ивасавы-Глисона-Ямабе для локально компактных групп — это один из результатов совместной статьи В.Н. Берестовского и К. Плаута (см. [18, предложение 1.21).

Предложение ([18], предложение 1.2). Пусть С — связная локально компактная (хаусдорфова) топологическая группа. Тогда существует компактная подгруппа К С С1, связная односвязная группа Ли Ь и локально изоморфный эпиморфизм тг: К х Ь —> С топологических групп. Если кроме того С локально связна, то К связна и локально связна, а 1г — накрывающий эпиморфизм.

Утверждения гипотезы из [10] подтверждаются доказательством теоремы 2.8.

Теорема 2.8. Пусть (А, р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой. Тогда

1. Топологическая группа (Гр. <)Ти) изоморфна полупрямому топологическому произведению (Ж+, •) X Г (следовательно, (К, +) X Г);

2. Пространство (А', р) гомеоморфно прямому топологическому произведению с-1 (а) х К+ (следовательно, с~1(а) х Щ где с~1(а), а € М+. — произвольное множество уровня функции с (радиуса полноты) на (А, р).

Если объединить требования ограниченности кривизны снизу по А. Д. Александрову и ¿-однородности к канонически конформно эквивалентному пространству, то получается следующая

Теорема 2.9. Пусть (А, р) — локально компактное подобно однородное неоднородное пространство с внутренней метрикой, {X, р\) — соответствующее ему ( [10, теорема 1.2], А = 1/с) однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Если пространство (А, р\) имеет кривизну > к (по А. Д. Александрову) и д-однородно, то пространство (X. рх) изометрично евклидову произведению (1п ос:)-1 (1) х Ж (радиус полноты с вычисляется на пространстве (А", р)).

Результаты второй главы опубликованы в работах [26,27]. В разделе 2.4 приведен пример из статьи [4] локально полного (не локально компактного) подобно однородного неоднородного пространства с внутренней метрикой. Этот пример является Ж-деревом. Метрическое пространство X называется Е-деревом, если 1) оно геодезическое (т.е. для любых двух точек в Л" существует соединяющая их кратчайшая, длина которой равна расстоянию между этими точками), 2) любые две точки в этом пространстве можно соединить единственным отрезком (= кратчайшей, реализующей расстояние между ними) и 3) для любых трех точек .г, у, г G X отрезок [:г, у] содержится в [х, г] U [//, z}. М-деревья исследуются в многочисленных работах по геометрии, топологии и геометрической теории групп.

В третьей главе дана алгебраическая характеризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой.

Теорема 3.2. Пусть G—хаусдорфюва связная локально компактная группа с первой аксиомой счетпости, / — нормальная подгруппа в G, II — компактная подгруппа в G и II С I. Предположим, что выполнены следующие условия:

(и) каноническое левое действие группы G на G/II эффективно;

(b) существует изоморфизм топологических групп Ф: G —» (R+, •) X I;

(c) фактор-пространство G/II локально связно.

Тогда на пространстве G/II существует внутренняя метрика р такая, что (G/II, р) является подобно однородным неоднородным пространством относительно канонического левого действия группы G на G/H и радиус полноты пространства (G/ll.p) определяется формулой ((цП) — р1ч(Ф(/у)).

Теорема 3.3. Пусть G —хаусдорфова локально компактная группа с первой аксиомой счетности, I — нормальная подгруппа в G, // —компактная подгруппа в G и H Cl. Предположим, что выполнены следующие условия:

а) каноническое левое действие группы G на G/II эффективно;

1>) существует изоморфизм топологических групп Ф : G —> (R+, •) X I;

с) фактор-пространство G/H локально связно;

cl) фактор-пространство G/ II связно.

Тогда каноническое левое действие подгруппы Gt (компоненты связности единицы в группе G) на X = G j П транзитивно, существует внутренняя метрика р такая, что (X, р) является подобно однородным неоднородным пространством относительно этого действии и радиус полноты пространства

(Х.р) определяется формулой с(х) = ({<¡11) = 1>Г](Ф(г/)).

И "

Теорема 3.4. Пусть X — С1/II— эффективное локально компактное фактор-пространство связной полной топологической группы С с компактно-открытой топологией относительно канонического левого действия С на С/Н. Пространство X допускает внутреннюю метрику с группой подобий С (включающей и элементы, не являющиеся изометриями) относительно этого действия тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Ст—хаусдорфова связная локально компактная группа с первой аксиомой счетности;

2. Н — компактная подгруппа в С;

.?. С1/Л — локально связно;

4. Для некоторой подгруппы 1 в О существует изоморфизм топологических групп Ф: С-> (М+,-)Х/.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [28].

В приложении построен пример бесконечномерного подобно однородного неоднородного локально компактного пространства с внутренней метрикой. Основой для этого примера служит конструкция Ивасавы в [22, с. 550-551] и раздел 3 в совместной статье В. Н. Берестовского и К. Плаута [ 18].

Заключение содержит краткое изложение результатов диссертации.

Список литературы

1. Алексеевский Д. В. Группы конформных преобразований римановых пространств И Матем. сб. — 1972. — Т. 89(131). — № 2(10). — С. 280-296.

2. Алексеевский Д. В. В" и Е" — единственные римановы пространства, допускающие существенное конформное преобразование II УМН — 1973. — Т. 28. — № 5(173). — С. 225-226.

3. Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б.Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий II Матем. заметки — 1978. — Т. 24, —№ 1, —С. 103-110.

4. Андреев П. Д. Полулинейные метрические полурешетки на Ш-деревьях П Изв. вузов. Матем. — 2006. — № 6. — С. 3-13.

5. Балащенко В. В., Никоноров Ю. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Однородные пространства: теория и приложения. Ханты-Мансийск: Полиграфист, 2008.

6. Бсрестовский В.Н. О структуре однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой // Сип. матем. журн. — 1989. — Т. 30. — № 1. — С. 23-34.

7. Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой II ДАН СССР. — 1988. — Т. 301. — № 2. — С. 268-271.

8. Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой / Докт. дисс.., Им.-т матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1990. — 269 с.

9. Берестовский В.Н. Однородные G-пространства Буземана II Сиб. матем. журн. — 1982. — Т. 23. — № 2. — С. 3-15.

10. Берестовский В. Н. Подобно однородные локально полные пространства с внутренней метрикой II Изв. вузов. Матем. — 2004. — № 11. — С. 3-22.

11. Берестовский В. Н., Никоноров Ю. Г. Римановы многообразия и однородные геодезические. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012.

12. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962.

13. Гичев В. М., Мещеряков Е. А. О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий II Сиб. матем. журн. — 2007. — Т. 48. — № 1. — С. 75-88.

14. Егоров И. П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях II М.: ВИНИТИ Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. — 1984. — № 16, —С. 81-126.

15. Сосов E.H. О конечной компактности и полноте некоторых пространств отображений с метрикой Буземана II Изв. вузов. Матем. — 1993. — № 11. —С. 62-68.

16. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

17. Alekseevski D. Sel/similar Lorentzkm manifolds II Ann. Global Anal. Geom. — 1985. — V. 3. — № I. — P. 59-84.

18. Bereslovskii V., Plaut C. Homogeneneous Spaces of Curvature Bounded Below II J. Geom. Anal. — 1999. — V. 9. — № 2. — P. 203-219.

19. Busemann H. Similarities and differentiability И Tohoku Malh. J. — 1957. — V.9. — № 1, —P. 56-67.

20. Garcia-Rio E., Gilkey P., Nikcevic S. Homothety curvature homogeneity and homothety homogeneity // Ann. Global Anal. Geom. — 2015. — V. 48. — № 2. — P. 149-170.

21. Deng S. Homogeneous Finsler Spaces. Springer Monographs in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2012.

22. Iwasawa K. On some types of topological groups // Ann. Math. — 1949. — V. 50. — № 3. — P. 507-558.

23. Lovas Rezso L„ Szilasi J. Homotheties of Finsler manifolds II arXiv.org, Cornell University Library, 2009. — 13 pp. URL: http: //arxiv. org/abs/0904.3228

24. Rodionov E. D„ Slavskii V. V. Conformal deformations of the Rienumnian metrics and homogeneous Riemannian spaces II Comment. Math. Univ. Carolinae — 2002. — V. 43. — № 2. — P. 271-282.

25. Zastrow A. Transitivity domains of groups of similarities И Manuscripla Math. — 1988. —V. 61. — № 3. — P. 373-382.

Список публикаций автора по теме диссертации

26. Гундырев И. А. О подобно однородных локально-компактных пространствах с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2008. — № 4. — С. 28^2.

27. Гундырев И. А. Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Математические труды. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 132-141.

28. Гундырев И. А. Строение подобно однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой. // / И. А. Гундырев // Математические труды. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 15-26.

Тезисы конференций

29. Гундырев И. А. О подобно однородных пространствах с внутренней метрикой [Электронный ресурс] / И. А. Гундырев // Российская научная конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН. Тезисы докладов. Новосибирск. — 2007. — С. 59-61. Режим доступа: http://math.nsc.ru/ conference/conf50/Abstracts.pdf

14

30. Гундырев И. А. Топологическое строение подобно однородных пространств с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань. — 2007. — Т. 36. — С. 62-64.

31. Гундырев И. А. О подобно однородных неоднородных пространствах с внутренней метрикой и их группах подобий [Электронный ресурс] / И. А. Гундырев//Труды Всероссийской молодежной школы-семинара «Анализ, геометрия и топология» Ч. 1. Барнаул. — 2013. — С. 200-202. Режим доступа: https://sites.google.com/site/geometryaltai/home/ news/sborniktrudov

32. Гундырев И. А. Строение подобно однородных неоднородных пространств с внутренней метрикой и их групп подобий / И. А. Гундырев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань. — 2013. — Т. 47. — С. 3638.

33. Гундырев И. А. Алгебраическая характеризация подобно однородных неоднородных локально компактных пространств с внутренней метрикой / И. А. Гундырев // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирскс-2014», посвященной 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетника. Новосибирск. — 2014. —С. 24-25.

34. Гундырев И. А. О существовании внутренней подобно однородной метрики на локально компактном пространстве связной группы / И. А. Гундырев // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. — 2014. — Т. 50. — С. 60-61.

Подписано в печать 06.10.2015.

Печать цифровая, лазерная. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в ООО «Печатный двор ФИЛИПП». 644024, г. Омск, ул. Ленина, 22.