Погрешности электростатического гироскопа, вызванные неравномерным нагревом и конечной жесткостью ротора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РГБ

ОД

1 7 01{Т |(Ж>£К0ВСКК11 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Ни ггравях рукописи

КАРШБАЕВ САЛИАКЫН ЖУМАДШ10ВИЧ

ПОГРЕШНОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА, ВЫЗВАННЫЕ НЕГАННОМЕРНЫМ• НАГРЕВОМ и КОНЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ РОТОРА

Сплципльность 01.0;'.0ь - динамика, прочность машин,

приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

¿41/.'

Москь;

1994

г'яг.отн («unammiti г* Московском пнарг;личнсклм институт« не

•'tw *"!' !< .¡») 1 ичвекяя моханика".

'. {Л у 4114.1 V'J ко поди T^i л ь

кандидат .техш-г-гаских наук, доцент В.В. Г'одалков

Официальные oimoHijHTi.'

доктор (физико-математических наук, профессор П.л. Самсонов

кандидат технических наук, старима научный согуудник В. И. Гилкин

Рь АУ "ч-1 ■я о р m н и а ацк л

Икс та ту т upvuui адней математик» 17.Н

Защита диссертации состоится "/И " ifrçfiS'Ûl 1994 года в ^Г час. ни 'чШсндпкии споциахизировашюго совета К -053.16.12 в Мос ковски.! энергетическом института по адресу: Москва, F.-250, Крас-ьохасармокная ул., дом IT, пуд. Б-114.

Отзывы в двух акзймлл.чраж, заверенные печать», просим направлять по адресу: ШбйЗй, ГСП, Москва, Е-250, Красноказарменная ул., дом 14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Двтореферят разослан

1994 года.

.Учшшй секретарь специализированного совета кандидат технических наук, доцент

, / й-***—

Л.В. Петровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы.

Анализ публикаций, посвященных гироскопической и навигационной технике, показывает, что одним из наиболее перспективных путей повышения точности навигационных и гироскопических систем является использование чувствительных элементов с неконтактными подвесами роторов. В таких подвесах ротор взвешивается в вакууме силами электрического или магнитного поля. Основным достоинством неконтактного подвеса ротора является практически полное отсутствие сил трения при его вращении. Электростатический гироскоп (ЭСГ имеет ряд преимуществ по сравнению с другими датчиками: высокая точность (до 10-° рад/с), длительная безотказная работа на выбеге ротора (до нескольких лет), малое энергопотребление (в рабочем режиме гироскоп не потребляет энергии на поддержание вращения, постоянная времени выбега ротора за счет неполного вакуумирования кожуха измеряется десятками лет), небольшие габариты и масса.

Многочисленные исследования точности ЭСГ позволяют утверждать, что основным источником погрешностей ЭСГ является несферичность ротора. Под несферичностью понимается отклонение наружной поверхности ротора от сферической в системе координат с началом в центре масс ротора. Если поверхность ротора - идеальная сфера с началом в центре масс ротора, то поддерживающие силы, действующие по нормали к металлической поверхности ротора, образуют сходящуюся систему сил и приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс. Следовательно, вектор кинетического момента гироскопа будет неограниченно долго сохранять свое направление в инер-циальном пространстве.

Однако, в реальных приборах наружная поверхность ротора всегда отличается от сферической. К причинам возникновения несферичности ротора относятся:

погрешности изготовления ротора; центробежные силы, возникающие при его вращении; . термоупругие деформации, появляициеся при изменении температуры и другие.

При проектировании ЭСГ предъявляются также высокие требова-

ния к стабильности модуля угловой скорости ротора, которая может меняться даже при его центральносимметричной деформации, вызывав-моя изменением внешнего температурного поля.

Таким образом, перечисленные обстоятельства свидетельствуют об актуальности данной работы.

Цель данной работы состоит в следующем:

в исследовании влияния температуры окружающей среда на точность ЭСГ;

в изучении движения динамически симметричного и произвольного ротора в электростатическом поле с учетом его конечной жесткости.

Основные задачи диссертации:

- расчет температурного поля в роторе ЗСГ;

- влияние нестабильности температуры на угловую скорость;

- изучение движения вязкоупругого ротора в случае двойного вращения;

- анализ влияния возмущающих моментов на точность гироскопа с электростатическом подвесом.

Научная новизна:

- показано, что периодически изменяющаяся со временем температура окружащей среды, вызывает флуктуации угловой скорости гироскопа ;

- найдены количественные оценки переходного процесса, приводящего к стационарному вращению вязкоупругого ротора вокруг оси наибольшего момента инерции:

- построена силовая функция и проанализированы .возмущающие моменты для асферизованного ротора, установлено, что принципиально невозможно устранить возмущающие моменты с помощью асфери-зации.

Практическая ценность роботы.

Предложенные в первой главе диссертационной работе способы расчета температурного поля в роторе и зависимость угловой скорости ЭСГ от температуры окружащей среды позволяют обоснованно сформулировать требования к система термостатирования гироскопа и

размещению тепловыделяющих элементов конструкции прибора. Полученные во второй и третьей главах результаты позволяют разработчикам на стадии проектирования проводить выбор различных параметров гироскопических приборов при использовании двойных вращений. Результаты первый главы нашли применение на предприятиях приборостроительной промышленности, разрабатывающих навигационные приборы.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на:

- Всероссийской конференции "Современные проблемы механики и технологии машиностроения" (Москва, апрель 1992 г.);.

- семинаре кафедры прикладной механики в НИИ механики МГУ под руководством академика А.Ю. Шплинского 'и профессора

И.В. Новожилова (Москва, март 1992 г.);

- научном семинаре кафедры теоретической механики МЭИ (Москва, 1990-1993 г.г.).

Основное содержание работы отражено в двух публикациях.

Структура и обьэм-диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 74 наименования. Общий обьем работы составляет 127 страниц и включает 14 рисунков. '

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор литературы, посвященной задаче о нагреве ротора при его раскрутке, зависимости частоты вращения.ротора от его температуры и задаче о движении быстро закрученного тела около неподвижной точки с учетом конечной жесткости ротора. Формулируется цель исследования и излагается основное содержание диссертации.

В первой главе дано краткое описание конструкции прибора, разработанного и проходящего испытания в ЦНИИЭлектроприбор. Исследуется влияние тепловых деформаций ротора на стабильность его угловой скорости. Рассматриваются конструкции электростатических гироскопов, у которых ротор представляет собой сплошной, а также полый шар.

В предположении о том, что нестационарное температурное поле

- б -

внутри ротора является цантральносимметричным, записывается уравнение теплопроводности

ао(<9 Т*/вг) = , С?/0г+(2/г)0/дг (1)

где %о * срк'/х, а х, с, р - теплопроводность, теплоемкость и плотность материала ротора, Л - радиус шара, г - безразмерная радиальная переменная, отнесенная к радиусу шара.

В случае вакуумированного неконтактного подвесе сброс тепла с поверхности ротора может происходить только путем лучистого теплообмена, описываемого законом Стефана-Больцмана, поэтому линеаризованное краевое условно на поверхности ротора для случая малой разности температур | З^-Г* | <<Т1*, записывается в виде

[бТ*/вг + б Г*] =» е Г* (2)

е = 4 о к г" / ж.

Здесь е - малый параметр для реальных роторов, Г* - среднее значение температуры среда.

Температура окружающей среда в (2) является известной функцией времении и задается формулой

т.*=т0+ - 1АпвхР<еаг.*> (3)

Предполагается что температура внутри ротора гироскопа в начальный момент времени постоянна

Решение уравнения (1) с граничным (2) и начальным (4) условиями имеет вид

00 - со .

С Ги(йг,г)ехр(ШГ) + ^£тг>1;(ц1>,г)ехр(-^г/тй)| (5)

г>я 1 и т = 4 •*

где

и(г)=э1пС »(,вА й )/[ (е-1 )в1пй созй 3,

П . О Г» ППГ> Т> п л

2? = ^ СЕ . Е 1и(к -ц )-и(А )1/Ог [1-и(2ц )])

т /> п тп тг» ' т п г т пгт г> * гт'

п=1

Здесь собственные числа |1т являются корнями трансцендентного уравнения (1-е ц = ц,. Корни втого уравнения можно разбить на две грухшы. Первая группа состоит из одного корня ц4, который является малым в силу малости параметра е. В результате для главного члена асимптотического разлокения корня ^ в ряд по малому параметру получено ц »(36)1". Для остальных корней цт также по-

лучена приближенная асимптотическая формула = -тс/2 + ют, (т = = 2,3,...). Первым корнем определяется постоянная времени

V <б>

теплообмена ротора электростатического гироскопа с окружающей средой. Остальные корни цт(771=2,3, —) дают слагаемые, входящие в (5), которые быстро затухают с течением времени.

При нахождении деформации ротора наибольший интерес представляет вариант медленного изменения температуры во времени. В этом случае можно пренебречь инерционными членами в уравнениях Ляме и трактовать задачу как квазистатичвскую:

О2 и 2 ви 2 в Т

-[ + -г ~ —и = 7Я--(7)

вг гбг г в г

с граничным условием • огг=0, при г=1, где 7= а (2С+ЗА.)/(А.+2С),

огг-радиальное напряжение, С, А. -параметры Ляме материала шара, а1- коэффициент линейного температурного расширения ротора. Найдено уравнение поверхности ротора

I "Г 1 и(ЧМхг(г,1>! =3£\йУ Сп|—Ги(йп)-сояй 1ехр(£шп£) +

' |г»1 1 " 1 ктх I- " "-1 п

' П *1

» 1

+ X Т» [ " > "С0Э 0ХР'{<и,1о > (8)

Кг, ^

Оценивается числовой порядок величины т , входящей в выражение определяемой формулой (5). Рассматривается шаровой берил-лиевый ротор радиуса й = 5*1 б"3 л., среднее значение температуры окружающей среды считается равным 296°К (23°С), и принимается для бериллия теплопроводность х = 1.45»102 Вт/(л*К), теплоемкость с = 1.9 *103 Дж/(кг»К), плотность р = 1.84 »10® кг/л3, постоянная Стефана - Больцмана оо = 5.7»10'в Вт/(л2*К*). Тогда

го = 0.625 с. (9)

Для реальных конструкций период изменения температуры среды 2тс/шп измеряется минутами или часами. Поэтому коэффициент к^, входящий в (8), является малым параметром. Учитывая также малость собственного числа , получаем асимптотическую формулу для перемещений точек поверхности ротора: оо 1-£ш т

и(П = 77"^ Гехр(£шоГ)-ехр(-</т1)1 (10)

Оценивается числовое значение постоянной времени -с (6) для

ротора, физические и геометрические характеристики которого Оыли приведены выше. Если взять степень черноты поверхности ротора з = 0.1, то постоянная времени т оказывается равной 2.58 часа. При з = 0.5 постоянная времени составит 0.45 часа.

Угловая скорость вращения ротора пропорциональна ого кинетическому моменту

П = tf/J(t), (11)

где J{t) ~ момент инерции ротора, который при изменении температуры Судет явной функцией времени. Согласно (10) ротор является однородным шаром переменного радиуса, поэтому функция J(t) находится по формуле момента инерции однородного шара массы т и радиуса Я + u(t)

J(t) - § т IR + u (t)]2 •*§т[Я* + 2Яи (t)I (12)

Получено уравнение кинетического момента ротора гироскопа

Н(i) =Я0+*/ехрГ (?-1)/т:я3и(С)/й/t^ciC (13)

о

здесь Tz=2mtfV(5fto) -постоянная времени эквивалентного двигателя, заменяющего подвес, йо-постоянный коэффициент,' но- стационарное значение кинетического момента гироскопа. Затем из (11) получено окончательное выражение для угловой скорости ротора электростатического гироскопа

0(t) - 0о[ 1 + }*■„»-£) (14)

2d, г % т

ЛГ (i) = -T---V- г" expf-t/tj - expt-t/tH

» j l i j

Заметим, что найденное выражение для функции веса fft(t) не содержит особенности при = т1. При указанном значении постоянной

времени "электростатического двигателя" выражение Г ~ exp(-i/44)

1 L 1

- exp(-t/xa) /(tt - i2) следует заменить на ограниченное при всех

моментах времени t выражение ~(t-xt)*exp[-t/xi)/%tx.

Далее делаются .числовые оценки при работе реального ЭСГ, были проведены замеры угловой скорости вращения ротора и температуры кожуха ротора, которую можно принять в качестве температуры окружающей среды. Измерение проводилось в течение 194 часов с интервалом At = 1 час. Отклонение температуры окружающей среды от

-30.0

и r

>

Í

f.7¿ oií

-M

-to'

П

Г • •

m

lili

HWWn\ n

j Л il i' i il !

Li

U

O 20 ¿W (-o êr ln¡ <70 Ц0 «O feo Рис. Ü

'I

2l. 1.4 0.6 -o.l -f.t -It

!

/а.;,

. J'Ui L , _J U 1—' ... ¡ "i

¡í iL !\ьг ft "m

L

V ■ i r • 11 4

>r 1

so Ko m) ito Ho m tto m

Рис. 3

среднего значения в 23°с не превышало 2.5°, а отклонение угловой скорости вращения ротора находилось в пределах 0.3 об/сек от номинального значения 3000 оО/сек. Зависимости температуры и угловой скорости ротора от времени приведены на рис.1 и на рис.2. На рис.3 приведена зависимость изменения угловой скорости вращения ротора, полученная по формулам (14) при = 0.45 и а2 » Б.4 ч.

Из сравнение кривых, приведенных на рис.3 и рис.4 видно, что амплитудные значения изменения угловой скорости вращения ротора, полученные теоретическим путем, меньше, чем экспериментальные, -примерно в 2 раза. Из этого можно сделать вывод, что кроме рассмотренного выше фактора, обусловленного температурными деформациями ротора, на стабильность угловой скорости влияют и другие причины. Так например, при изменении температуры среды может происходить изменение номинальных значений элементов следящей системы подвеса, (емкостей, резисторов и т.д.) что приводит к изменению стационарной угловой скорости 0о вращения ротора в (14). Максимальное значение флуктуации угловой скорости можно найти предельным переходом при т2 --> «и Т4О, что совпадает с оценками, получаемыми из теоремы о сохранении момента количества движения ротора гироскопа, температура которого равна температуре окрукащей среда.

Далее рассматривается полый ротор ЗСГ, применяется изложенная выше методика для определения распределения темпераруры в роторе и при определении перемещений точек поверхности ротора. Оказалось, что зависимость от времени угловой скорости полого ротора совпадает по структуре с формулой (14), только постоянные времени т и 1 следует заменить соответственно на % =т /й2 и

| . й » о ~ *

= 2№к{гг -г15)/[5Ло(гг-г®)]. В качества примера рассмотрено влияние температуры окружающей среды, изменяющейся по гармоническому закону, на угловую скорость ЭСГ.

Во второй главе диссертации изучается движение динамически симметричного упругого ротора в неконтактном подвесе. Рассматривается сплошной шаровой ротор неконтактного гироскопа, в экваториальной области которого имеется узкая кольцевая область, изготовленная из материала с более высокой плотностью.

Были введены ортогональные трехгранники с началом в центре масс ротора: жестко связанный с корпусом гироскопа, Т)~ с осью

т^, направленной по вектору кинетического момента L, х- жестко связанные с телом и осями, направленными по главным осям инерции ротора. Положение х относительно т) определяется углами Эйлера: прецессии Ц>= (i/X4), нутации -0= arceos (I3b/I), собственного вращения (p=ic/2 -vi, а т) получается из 5 двумя последовательными поворотами: поворотом на угол С, вокруг оси и поворотом на угол А. вокруг второй оси промежуточного трехгрйЯ1ПТка.

Решение Эйлера - Пуансо применяется в качестве порохдвщвго решения задачи, а влияние упругости ротора в соответствии с идеями метода возмущения рассматривается как малое возмущение эйлерова движения. Записываются проекции вектора мгновенной угловой скорости ы на оси трехгранника х

ш = a eos vt, g)2= a sin vt, шэ = Ь

где a =(L/I JslivO и Ь =(I/IB)cos-fl, проекции вектора ш на оси х и ха в начальный момент времени, v ~b(Ia~Ií )/Ií- частота собственного вращения.

В предположении о том, что частота собственных упругих колебаний намного больше частоты собственного вращения, можно пренебречь собственными колебаниями упругого тела и записать формулу для плотности сил инерции в виде

К = - рЯПш, г ] + и (ы, г) - (Ir ) (15)

В трехграннике ххгхя вводится сферическая система координат г, а, р (0 < г < Я, 0 < а < тс, 0 ^ р < 2ic) с полярной осью хя и находятся проекции вектора F на эти оси.

Для реальных конструкций неконтактных гироскопов отношение (It-Ii)/Ii не превосходит 0.1, поэтому слагаемые с множителем v, оказываются малыми. Если пренебречь членами с множителем v, то сила (15) потенциальна

F = - grad П, П = - íf- puíVlI - ра(ае)] (16)

эв » ta*sin а соя (р - vt) + b*coa а 1 Здесь Р2(ае) = (Зге* - 1)/2 - полином Лежандра, а* =а/ш, b* =D/u. Найден вектор перемещений и(иг,иа,и^), точек ротора, вызванных наличием инерционных сил (15): Р^Я*

и = - I (I+ц)г* - (3+2u)flV] Р„(а>)

ЗС(7+5ц) 1

ри'я9 ' з . вР-(х) (1Т)

Г(2+ц)гэ - (3+2ц)Л*г]

6G(7+5fi) ва

иа =

. . I ОР (х)

ип =--f (2+ц)г8 - (3+2u)ñzr]

' 6С(7+5ц) Sin а ар

Оказалось, что при угле нутации -d ¿ О, -в ф тс/2 ротор гироскопа испытывает циклическую нагрузку, которая приводит к рассеянию энергии», в формулах (17) опущены постоянные во времени слагаемые, описывающие центральносимметричную деформацию ротора. Эти слагаемые не влияют на периодические деформации и, следовательно, не приводят к диссипации энергии. Для оценки потерь энергии предполагается, что внутреннее трение в материале подчиняется гипотезе Кельвина - Фойгта, и вводится диссипативная функция Рэлея.

® = + 2G*(¿*r+¿*a + +¿^)]cíu (18)

Здесь A.*, G* - коэффициенты вязкого трения в материале ротора, ¿ = ёгг+ каа + £рп, ¿rr,..., е^- скорости деформации, интегрирование в (18) ведется по всему объему ротора. Коэффициент , G* в дальнейшем считаются малыми в том смысле, что время затухания rá собственных упругих колебаний ротора много больше периода упругих колебаний ротора Г . В то же время для корректности проводимых построений будем считать, что Г4 много меньше характерного времени движения ротора относительно центра масс. После необходимых вычислении получена диссипативная функция Рэлея

8ю>2р2Я7*'(а) ¿"sin2« fBiif'Q сов"а Ф . ------ Г__ + ___ | (19)

(В 1П Ü СОВ "и ,

р(м)= -!--Г 1Х-А.* (2u-1 )7+G* (767ц*+1668U+828]

Ю5(7+5ц) А J

15 С* 1 г 15

Для оценки коэффициентов вязкого трения С* и А.*, входящих в (19), воспользуемся, известным экспериментальным фактом, что модуль всесторонного сжатия слабо диссипирует, тогда

г* -2 г* ■

X —3 С

Рассматриваются центральносимметричные собственные колебания шара при наличии внутреннего трения. Если обозначить через т] логарифмический декремент затухания колебаний ротора, то

'

где х1 - первая собственная частота упругих колебаний ротора. При выводе формулы (20) было учтено, что С° << С/х- Поэтому в качес-

тве оценки коэффициента вязкого трения получено

С'ЛМ^, = Ж- Г 2рС(1-2Ц) р (21)

2 (1-2ц) » I- 1 "г ■ ]

%/2 < к1 < %, в частности, при ц=0.03 » 2.67. Получено уравнение для угла нутации -в

(1+э Г"1ехр(-2зГ) (22)

Здесь "8 - начальное значение угла между осью сишетрии ротора хя и ось» 17 . Формула (22) позволяет оценивать движение оси симметрии ротора во время его раскрутки. Далее получена постоянная времени затухания нутационных движений ротора

. </а

, - РЕ^Щ (23)

27)рвхяЯ"Л4/(И> 1 а-Ц) ) В качестве примера рассмотрен ЭСГ со сплошными бериллиевым и алюминиевым роторами. Радиус ротора К= 0.5 см, угловая скорость ш-1.88*10* сек"1, 14=0.9*Гя, 1а=0.968»10"в кг м2, Кинетический момент Ь=1.824«10~4 кг м2/с, логарифмический декремент затухания т]=0.02. В этом случав из (23) для ЭСГ с бериллиевым ротором получено 1 = 73 ч. Для алюминия, имеющего плотность р=2720 кг/м9, модуль сдвига 0=2.65*10*° Па, коэффициент Пуассона ц=0.32, из (23) находим т = 3 часа.

Сделаны оценки влияния неоднородности материала ротора на его моменты инерции и деформацию. Показано, что изменением моментов инерции ротора, вызванного наличием инерционных сил, можно пренебречь. Далее проводится исследование ухода ЭСГ, вызванного упругими деформациями ротора. Получено уравнение поверхности ротора в движении, близком к движению Эйлера - Пуансо, с учетом его асферизации

рй9 (2+ц) г 1 1 г= и + 1----ь - 81Л •в!— + -- »

Г Н«- 2 Г , ( ' 1 ^

^----ь2 - зт-еГ—- + —].

2 С (7+5(1) 1- 1 1а 21/

сод2 а - 1/з] + —-— з1п 2« а1п 2а соз +

} 21 Г 1 а

. 1 „«„2,.

212

з1п2"8 в1п2а соз (24)

Найдены следупцие выражения для проекций момента поддерживающих сил, когда кинетический момент расположен произвольным образом относительно системы координат £

*9 = < MoTJs. (25)

рЯ3 (2+Ц) 1С Ь2 2 Г , i*

--— airi4 -(3 coa2« -1) + -4 (3 sin « - 1)+

2 С(Т+5ц) Г2 L l\

+ б — сов2 -6 j cos <()o sin2 ф0

Здесь 7.- направляющие косинусы вектора кинетического момента ротора Ь, выражение для плотности сил было задано в виде S-{ti-u^)*/&iu?lf, d=(Ht-H)/ß, и,- потенциал J- го электрода, и^- потенциал ротора, ñt- радиус сферы, на которой расположены электроды. Проводится анализ зависимости возмущающего момента от угла нутации. В качестве примера рассмотрен ЭСГ, у которого физические и геометрические характеристики описаны вше. Опорное напряжение, подаваемое на электорды Vo-450 В, относительный зазор между ротором и электродами 0=6*10"*, Предполагается что вектор кинетического момента лежит в плоскости Угол, определяющий

геометрический размер электродов ф0» агссов(5/6), найдено Íf_-3.2.10- г см2/с2. Это значение достигается, когда «»тс/2 и когда вектор кинетического момента образует с осью угол тс/4 или Зх/4, т.е. 717з=0.5. По формуле Í^/I получена величина возможного ухода электростатического гироскопа u" =3.5*10"2 град/час. Для определенности рассмотрен шестиэлектродный подвес ротора.

Затем предложен способ асферизации ротора, который отличается от традиционного и позволяет учесть наличие двойного вращения. В этом случае форма внешней поверхности ротора имеет вид

f рЯ9(2+ц) г , , L" .

г = R + i---i2 J (ö*-q* — )- cf/2] cos2 a,

1 V 2 G(T+5p.) LI i2a J

где

Iя sln2«(3 sin2« -1) I sin2« cos2«

q - -Í---5- + б — -i- c°s О (26)

I2 (3 cos2« -1) I4 (3 cos « -1)

Из (26) следует, что при « = arceos(1/уТГ), функция имеет особенность и, следовательно, имеются такие режимы движения ротора, при которых проведение его асферизации принципиально невозможно.

В третьей главе рассмотрено движение упругого ротора с про-

извольным эллипсоидом инерции в неконтактном подвесе. Попрехнему 7}, х -правые ортогональные трехгранники, имеющие тот же смысл, что в главе 2. Для получения замкнутой системы уравнений к динамическим уравнениям Эйлера присоединяются кинематические уравнения Пуассона в матричной форме. В качестве порождающего решения уравнения движения тела относительно центра масс используется решение Эйлера - Пуансо. Вместо медленной переменной - угла нутации ■й- вводится медленная переменная к2, которая является модулем эллиптических функций Якоби

[ (Xa-Tl) (2TJa-¿2) 1/[ <Гз-Га) (Ь2-2ГГх ) 1 (27)

Рассматриваются движения твердого тела, при условии 2Г1г^ Ia í 2Т1В, что соответствует малым колебаниям оси ха вблизи вектора кинетического момента ротора L, следовательно, параметр й2 мал по сравнению с единицей. Для наховдения членов первого порядка малости по к рассматриваются динамические уравнения Эйлера, в которых ш3 постоянная, а , ц>2 считаются величинами первого порядка малости

ы=(£/1 )йа coa vt, ы =(L/I)ftb sin vt,

á Л i' г " 2х a' a* a э

a=t(It(Is-I2))/(I9(I2-ri))l^2, b=t(I2(Ia-I ))/(!,(1,-1,_ V^.ínVIJd.-I,)/!,!,]1'1, (28)

Записываются коэффициенты матрицы Пуассона при разложении по малому параметру Л с точностью до Л2.

Удельная величина вектора инерционных сил F, возникающих при вращении ротора, определяется формулой (15). Как и в главе 2, силы, (20) являются потенциальными и определяются выражением (16), при этом параметр ае в полиноме ТГежандра имеет вид

зе=(1/и){с1соза +0.5 slrnt (a<+&l)coa(v2í-p)+(ai-bJ)cos(v2t+p)]),

где at = aL/Ii, bt = M/I2, с = 1/Г9. (29)

Выражения для компонент вектора перемещений в рассматриваемом случае в сферической системе координат г, а, р с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (17), полученными для динамически симметричного ротора, только в этих уравнениях вместо полинома, определяемого формулой (16), следует подставить полином с параметром, определяемым формулой (29). Для оценки потерь энергии предполагается, что внутреннее трение в материале ротора подчиня-

втся гипотеза Кельвина - Фойгта, вводится дассипативная функция Рэлея по формуле (23) и в результате получено

ф = ^p2R7P{\x) L* [q2+ (I/JjVltf ' (30)

I5G 1*1* 1 *

9 I

Записывается следующее дифференциальное уравнение для функции Д®

ft2 =- -5--—-ylcf + —'~ b'jK2 (31)

I5C2 (V-r.HWi/ V

Постоянная времеш для процесса, описываемого уравнением (31), имеет вид

т 5 СГ.-^ХГ.-Г,)!/*, 8rqy2(ri-Ii)(a^(Ii2/l/)b')HBpsy2L3/^r (1- ц)

где

JГ(Ц)= ---- 11*-2ll +3)+21 0Tu,*+581 TU+4515]

i05(7+5fi) 1-2ц ^

Выражение (32) была преобразование с учетом формулы (21).

В качестве примера рассмотрен ЭСГ со сплошным бериллиевым и алюминиевым ротором, физические свойства и геометрические размеры которого описаны выше. Номинальная угловая скорость ш = 1.88*10* сек"1, It=0.9*1, 1^0.95*1, 1а=Г, а*«0.9, Ь*-1.9, 0.058«/,

логарифмический декремент затухания Tf-0.02. В случае, когда ротор изготовлен из бериллия, из (32) для постоянной времени получено т=23 час, а для алюминиевого ротора г«2 часа.

Найдены следующие выражения для проекций момента поддерживающих сил с учетом асферизации ротора, когда кинетический момент расположен произвольным образом относительно системы координат £ »i-iVW'X TaV V<WVfX T,v

К - <WVf4> Ctj2. (33)

. J^L^JL /4 _ ¿h _ 2йА.

° 2 G(T+5p) Is2 . It I2

I,

2

- МсГчь2)-

соз фо йШ1 фо

Заметим, что выражения (33) совпадают по структуре с уравнениями (25), однако, Ио в (33) следует заменить на М*, следовательно, выражения силовой функции для моментов сил, полученные при анализе поведения вектора кинетического момента динамически симметричного ротора, будут справедливы и при вращении ротора с произвольным эллипсоидом инерции.

В качестве примера был рассмотрен ЭСГ, у которого физические и геометрические характеристики описаны выше. Опорные напряжение, подаваемые на электроды, относительный зазор между ротором и электродами и угол, определяющий геометрический размер электродов такие же, как во второй главе. Пусть вектор кинетического момента лежит в плоскости В результате получено *тси<= 3.66*10"*

г«см2/с2 Это значение достигается, когда = 0,5 и когда вектор-кинетического момента образует с осью угол тс/4 или Зтс/4, т.е. 74 7в= 0.5. По формуле получаем величину возможного ухода

электростатического гироскопа и* = 4*10"2 град/час.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, приведены в заключении и состоят в следующем:

- решена краевая задача по определению температурного поля в роторе электростатического гироскопа;

- получены асимптотические выражения для перемещений точек ротора с учетом частотных характеристик температурного поля;

-установлена зависимость угловой скорости ЭСГ от температуры окружающей среды и выполнены числовые оценки;

- исследовано движение вязкоупругого ротора в случае двойного вращения;

- выполнен анализ изменения угла нутации О и определена пос-. тоянная времени затухания нутационного'движения, что позволило сделать вывод, что осуществление двойного вращения ротора возможно лишь при наличии дополнительного момента;

- построена силовая функция и проанализированы возмущапцие моменты для асферизованного ротора, установлено, что принципиально невозможно устранить возмущающие моменты с помощью асфери-зации;

- выполнены оценки уходов ЗСГ, вызванных инерционными силами в случае произвольного тензора инерции ротора.

Публикации по теме диссертации: I. Каршзбаев С.Ж. Ухода неконтактного гироскопа, вызываемые тепловыми деформациями ротора // В кн.: Современные проблемы механики и технологии машиностроения. Всероссийская конференция: Тезисы докладов и сообщений. -М.: ВИНИТИ РАН, 1992. - с.б.

- 2. Карипбаев С.X..Ландау Б.Б., Мартыненко Ю.Г., Подалков В.В. Зависимость угловой скорости электростатического гироскопа от температуры окружающей среды /í Изв. РАН. МГТ.- 1993.- * 3. - С. 42-49.