Погрешности электростатистическогг гироскопа, вызванные неравномерным нагревом и конечной жесткостью ротора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

московский энергетический 1/шстит.ут (техническим университет)

На правах рукописи

кар1шба.ев салиакын жумадшгович

погрешности электростатического гироскопа, вызванные неравномерным нагревом и конечной жесткостью totopa

Сипциальность 01.О^.Оь - динамика, прочность машин,

приборов и аппаратуры

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Мос.кьп 1994

Работа выполнена в кафидро "Теоретическая механика"

Научный руководитель

Официальные оплононты

Ведущая организация

)м энергетическом институте на

- кандидат технических наук, доцэнт В.В. Подалков

- доктор физико-математических

• наук, профессор В.Л. Самсонов

- кандидат технических наук, старший научный сотрудник В.И. Галкин

- Институт прикладной математики РАН

Защита диссертации состоится "У/ 1994 года в [$*

час. на заседании специализированного совета К-053.t6.12 в Московском энергнтическом институте по адресу: Москва, E-2S0, Красноказарменная .ул., дом 17, луд. В—114.

Отзывы в двух экземплярах, заваренные печатью, просим направлять по адресу: 105835, ГСП, Москва, Е-250, Красноказарменная ул., дом 14, Ученый Совет МЭМ.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке МЭИ. Автореферат разослан 1994 года.

.Учений секретарь специализированного совета кандидат технических наук, доцент

и. ~

A.B. Петровский

>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы.

Анализ публикаций, посвященных гироскопической и навигационной технике, показывает, что одним из наиболее перспективных путей повышения точности навигационных и гироскопических систем является использование чувствительных элементов с неконтактными подвесами роторов. В таких подвесах ротор взвешивается в вакуума силами электрического или магнитного поля. Основным достоинством неконтактного подвеса ротора является практически полное отсутствие сил трения при его вращении. Электростатический гироскоп (ЭСГ имеет ряд преимуществ по сравнению с другими датчиками: высокая точность (до 1СГ'° рад/с), длительная безотказная работа на выбеге ротора (до нескольких лет), малое энергопотребление (в рабочем реюше гироскоп не потребляет энергии на поддержание вращения, постоянная времени выбега ротора за счет неполного вакуумирования кохуха измеряется десятками лет), небольшие габариты и масса.

Многочисленные исследования точности ЭСГ позволяют утверждать, что основным источником погрешностей ЭСГ является несферичность ротора. Под несферичностью понимается отклонение наружной поверхности ротора от сферической в системе координат с началом в центра масс ротора. Если поверхность ротора - идеальная сфера с началом в центре масс ротора, то поддерживающие силы, действующие по нормали к металлической поверхности ротора, образуют сходящуюся систему сил и приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс. Следовательно, вектор кинетического момента гироскопа будет неограниченно долго сохранять свое направление в инер-циальном пространстве.

Однако, в реальных приборах наружная поверхность ротора всегда отличается от сферической. К причинам возникновения несферичности ротора относятся:

погрешности изготовления ротора; • центробежные силы, возникающие при его вращении; термоупругие деформации, появляющиеся при изменении температуры и другие.

При проектировании -ЗСГ предъявляются также высокие требова-

ния к стабильности модуля угловой скорости ротора, которая может меняться даже при ого централыюсимметричной деформации, вызываемой изменением внешнего температурного поля.

Таким образом, перечисленные обстоятельства свидетельствуют об актуальности данной работы.

Цель данной работы состоит в следующем:

в исследовании влияния температуры окружающей среды на точность ЭСГ;

в изучении движения динамически симметричного и произвольного ротора в электростатическом поле с учетом его конечной жесткости.

Основнш задачи диссертации:

- расчет температурного поля в роторе ЭСГ;

- влияние нестабильности температуры на угловую скорость;

- изучение движения вязкоупругого ротора в случае двойного вращения;

- анализ влияния возмущающих моментов на точность гироскопа с электростатическом подвесом.

Научная новизна:

- показано, что периодически изменящаяся со временем температура окружающей среды, вызывает флуктуации угловой скорости гироскопа ;

- найдены количественные оценки переходного процесса, приводящего к стационарному вращению вязкоупругого ротора вокруг оси наибольшего момента инерции;

- построена силовая функция и проанализированы возмущающие моменты для асферизовашого ротора, установлено, что принципиально невозможно устранить возмущакхцке моменты с помощью асфери-зации.

Практическая ценность работы.

Предлокенные в первой главе диссертационной работе способы расчета температурного поля в роторе и зависимость угловой скорости ЭСГ от температуры окружащей среды позволяют обоснованно сформулировать требования к системе тврмостатирования гироскопа и

г

размещению тепловыделяющих элементов конструкции прибора. Полученные во второй и третьей главах результаты позволяют разработчикам на стадии проектирования проводить выбор различных параметров гироскопических приборов при использовании двойных вращений. Результаты первый главы нашли применение на предприятиях приборостроительной промышленности, разрабатывающих навигационные приборы.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на:

- Всероссийской конференции "Современные проблемы механики и технологии машиностроения" (Москва, апрель 1992 г.);

- семинаре кафедры прикладной механики в НШ механики МГУ под руководством академика А.Ю. Ишлинского и профессора

И.В. Новожилова (Москва, март 1992 г.);

- научном семинаре кафедры теоретической механики МЭИ (Москва, 1990-1993 г.г.).

Основное содержание работы отражено в двух публикациях.

Структура и обьем'диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 74 наименования. Общий обьем работы составляет 127 страниц и включает 14 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор литературы, посвященной задаче о нагреве ротора при его раскрутке, зависимости частоты вращения ротора от его температуры и задаче о движении быстро закрученного тела около неподвижной точки с учетом конечной жесткости ротора. Формулируется1 цель исследования и излагается основное содержание диссертации.

В первой главе дано краткое описание конструкции прибора, разработанного и проходящего испытания в ЦНШЗлектроприСор. Исследуется влияние тепловых деформаций ротора на стабильность его угловой скорости. Рассматриваются конструкции электростатических гироскопов, у которых ротор представляет собой сплошной, а также полый шар.

В предположении о том, что нестационарное температурное поле

\

внутри ротора является центральносимметричным, записывается уравнение теплопроводности

to(0T*/öt) = V*= (?/0гя+{2/г)0/0г (1)

где г - cp/fVae, а ас, с, р - теплопроводность, теплоемкость и плотность'материала ротора, R ~ радаус шара, г - безразмерная радиальная переменная, отнесенная к радиусу шара.

В случае вакуумированного неконтактного подвесе сброс тепла с поверхности ротора может происходить только путем лучистого теплообмена, описываемого законом Стефана-Больцмана, поэтому линеаризованное краевое условие на поверхности ротора для случая малой разности температур |Т^-Т*|<<Т*, записывается в виде

Г ОТ* У От + е Т* ] ~ в Т* (2)

8 = 4- О Я Г*" / ЭЕ. Здесь е - малый параметр для реальных роторов, Т* - среднее значение температуры среды.

Температура окружающей среда в (2) является известной функцией времении и задается формулой

F{t), F(t) = f^exp(ioani) (3)

Предполагается что температура внутри ротора гироскопа в начальный момент времени постоянна

Т*, =т (4)

Решение уравнения (1) с граничным (2) и начальным (4) условиями имеет вид

00 г 1

1 c\v{k^)exp(tünt) + (5)

r>*4 f« =1 J

где

fta=-TU)t, V(Z )-3ln (Z) / Z t С «(Ej4 ft )/C (E-1 )sinft +A COSÄ ] ,

Г*ОП Г1 n r» f> fl f»

E = > CE , E =-u (tKfe -Ц )-и(й +U ))/ift t1-u(2u )])

m Zj r> mn mn rm n'm r> r m n 1 m

Здесь собственные числа |im являются корнями трансцендентного уравнения (1-e)tg р. = ц.. Корни втого уравнения можно разбить на две группы. Первая группа состоит из одного корня , который является малым в силу малости параметра е. В результате для главного члена асимптотического разложения корня в ряд по малому параметру получено р.4=(ЗЕ)*'а. Для остальных корней такке по-

лучена приближенная асимптотическая формула = -тс/2 + тх, (т = = 2,3,...). Первым корнем определяется постоянная времени

V тв/ц\ (б)

теплообмена ротора электростатического гироскопа с окружающей средой. Остальные корни (т=2,3,...) дают слагаемые, входящие в (5), которые быстро затухают с течением времени.

При нахождении деформации ротора наибольший интерес представляет вариант медленного изменения тдмлерагуры во времени. В этом случае можно пренебречь инерционными членами в уравнениях Ляме и трактовать задачу как квазистатическую:

в2и 20и 2 вТ

-; + -г - —и = --(7)

От гвг г -От

с граничным условием агг=°. при г=1, где 7= с^ (2С+ЗХ)/(Х+2С),

огг-радиальное напряжение, С, А, -параметры Ляме материала шара, а - коэффициент линейного температурного расширения ротора. Найдено уравнение поверхности ротора

и(ЧМ1(г,£)

= Зо^Я^сГ-2 )-созй^ехр((ипГ )+-

» ч

+ i и(^сов к] (8)

тп = 1 »т

Оценивается числовой порядок величины хо, входящей в выражение к^, определяемой формулой (5). Рассматривается шаровой берил-лиевый ротор радиуса Я = 5*10~9 л., среднее значение температуры окружающей среды считается равным 296°К (23°С), и принимается для бериллия теплопроводность ае = 1.45*10* Вт/{х*К), теплоемкость с ■= 1.9 »103 Дх/{кг*К), плотность р = 1.84 »10® кг/л3, постоянная Стефана - Больцмана о = 5.7»10~в Вт/ (л2*К*). Тогда

хо = 0.625 с. (9)

Для реальных конструкций период изменения температуры среды 2тс/шп измеряется минутами или часами. Поэтому коэффициент йп, входящий в (8), является малым параметром- Учитывая также малость собственного числа ц , получаем асимггготичэскую формулу для перемещений .точек поверхности ротора:

со 1-1Ы Т

Ег. 1

А -—- (ехр(£ы Г)-ехр(-£/т: )] (10)

п 1 + ш т "

п =1 г» 1

Оценивается числовое значение постоянной времени Т1 (6) для

ротора, физические и геометрические характеристики которого были приведены выше. Если взять степень черноты поверхности ротора а = 0.1, то постоянная времени i оказывается равной 2.58 часа. При з = 0.5 постоянная времени составит 0.45 часа.

Угловая скорость вращения ротора пропорциональна ого кинетическому моменту

n=tf/J(t), (11)

где J(t) - момент инерции ротора, который при изменении температуры будет явной функцией времени. Согласно (10) ротор является однородным шаром переменного радиуса, поэтому функция J(i) находится по формуле момента инерции однородного шара массы т и радиуса R + и(Г)

J(t) - 5 т IR + a {t)J2 c-^nrf + Zflu (i) 1 (12)

Получено уравнение кинетического момента ротора гироскопа

tf(i)=tfo+2tfo*jexP[ (g-t )/т2]и(5)/Л/х2с1С (13)

о

здесь Ta=2ii/f/(5fco) -постоянная времени эквивалентного двигателя, заменяющего подвес, йо-постоянный коэффициент, Но- стационарное значение кинетического момента гироскопа. Затем из (11) получено окончательное выражение для угловой скорости ротора электростатического гироскопа

0(t) - 0о[ 1 + }<Vt-S) <14>

2а г т

Vt(t) = --T--V ^ exp(-t/xi) - exp(-tAs) 1 2 1 ^ Заметим, что найденное выражение для функции веса Ni(t) не содержит особенности при г = г . При указанном значении постоянной

21 Г а2

времени "электростатического двигателя" выражение ехр(-tA4)

- exp(-t/t2)J/(xi - х2) следует заменить на ограниченное при всех моментах времени t выражение -(t-T4)*exp(-i/Tt)A1z.

Далее делаются числовые оценки при работе реального ЭСГ, были проведены замеры угловой скорости вращения ротора и температуры кожуха ротора, которую мокно принять в качества температуры окружающей среды. Измерение проводилось в течение 194 часов с интервалом At = 1 час. Отклонение температуры окрукапцей среды от

¿n lo (Q ir íoo (» № ¡fr /fio ¿ocí Рис. i

3.2 г

rtJZ -ai

~2S -1С

H ?,

w ü

O 20 Но ¿o fr /О 170 lio Ко /ВО >99 Рис. г

{Н 0.6 -ол -■и

!

)U „

ш !í

L'

hl. лги

1 ' ; - '

S i

1 г 1 ,

J

i; ? j i j: r - ;lj..u

in»). 1,

> r »

2¿> to eo . да m № lio но tto 2oo

Рис. 3

среднего значения в 23° С не превышало 2.5°, а отклонение угловой скорости вращения ротора находилось в пределах 0.3 об/сек от номинального значения 3000 об/сек. Зависимости температуры и угловой скорости ротора от времени приведены на рис.1 и на рис.2. На рис.3 приведена зависимость изменения угловой скорости вращения ротора, нолучонная по формулам (14) при т = 0.4-5 и та = 5.4 ч.

Из сравнение кривих, приведенных на рис.3 и рис.4 видно, что амплитудные значения изменения угловой скорости вращения ротора, полученные теоретическим путем, меньше, чем экспериментальные, -примерно в 2 раза- Из этого можно сделать вывод, что кроме рассмотренного выше фактора, обусловленного температурными деформациями ротора, на стабильность угловой скорости влияют и другие причины. Так например, при изменении температуры среды может происходить изменение номинальных значений элементов следящей системы подвеса, (емкостей, резисторов и т.д.) что приводит к изменению стационарной угловой скорости 0о вращения ротора в (14). Максимальное значение флуктуации угловой скорости можно найти предельным переходом при т2 -.» « и т^-ч О, что совпадает с оценками, получаемыми из теоремы о сохранении момента количества движения ротора гироскопа, температура которого равна температуре окружающей среды.

Далее рассматривается полый ротор ЗСГ, применяется изложенная выше методика для определения распределения темпераруры в роторе и при определении перемещений точек поверхности ротора. Оказалось, что зависимость от времени утловой скорости полого ротора совпадает по структуре с формулой (14), только постоянные времени и т. следует заменить соответственно на т(=то/р21 и т2 = 2тк (г^-г^5) /! 5ко () ]. В качества примера рассмотрено влияние температуры окружающей среда, изменяющейся по гармоническому закону, на угловую скорость ЭСГ.

Во второй главе диссертации изучается движение динамически симметричного упругого ротора в неконтактном подвесе. Рассматривается сплошной шаровой ротор неконтактного гироскопа, в экваториальной области которого имеется узкая кольцевая область, изготовленная из материала с более высокой плотностью.

Били введены ортогональные трехгранники с началом в центре масс ротора: жестко связанный с корпусом гироскопа, т}- с осью

т^, направленной по вектору кинетического момента I, х- жестко связанные с телом и осями, направленными по главным осям инерции ротора. Положение ос относительно т) определяется углами Эйлера: прецессии tj>=(L/Il), нутации -9= агссов(ГдЬ/Ь), собственного вращения (р=тс/2 -vt, а т] получается из £ двумя последовательными поворотами: поворотом на угол £ вокруг оси и поворотом на угол к вокруг второй оси промежуточного TTwxrpnwwKa.

Решение Эйлера - Пуансо применяется в качестве пороадащего решения задачи, а влияние упругости ротора в соответствии с идеями метода возмущения рассматривается как малое возмущение эйлерова движения. Записываются проекции вектора мгновенной угловой скорости и на оси трехгранника х

ш4= a eos vt, а sin vt, иэ = b

где а =(b/It)sirve и Ъ =(L/I9)cobú, проекции вектора о на оси г и о~а в начальный момент времени, v =Ь{1 -I )/1 - частота собственного вращения. <

В предположении о том, что частота собственных упругих колебаний намного больше частоты собственного вращения, можно пренебречь собственными колебаниями упругого тела и записать формулу для плотности сил инерции в виде

F = - рЯС [ы, г ] + и (ш, г) - со2г ) (15)

В трехграннике ххгха вводится сферическая система координат г, а, р (0 ^ г < R, О < а £ %, О < р £ 2тс) с полярной осью xs и находятся проекции вектора Р на эти оси.

Для реальных конструкций неконтактных гироскопов отношение (Ia-Ii)/It не превосходит 0.1, поэтому слагаемые с множителем v, оказываются малыми. Если пренебречь членами с множителем v, то сила (15) потенциальна

F = - grad П, П = - íf- puíVtr - Р2 (ае) ] (16)

эе = [a*sln a eos ((3 - vi) + Ь*сов а ] Здесь Р2(ае) = (Зае2 - 1)/2 - полином Лежандра, а* =а/ы, Ь* =Ь/ш. Найден вектор перемещений ь(иг,иа,и^), точек ротора, вызванных наличием инерционных сил (15): ри2Я"

и--Г(1+ц)г3 - (3+2n)ifr] Р (эе)

' ЗС(7+5ц) 2

ры'я' , вРя{ х) (17)

и = - f(2+|i)г - (3+2ц)кг] —--

а 6С(7+5ц.) ва

. , I OPA х)

= - f (2+ц, )r - (3+2u,)fTr J--2—

(i 6G(7+5(J.) sin a Oß

Оказалось, что при угле нутации -9 ^ О, -9 ¿ тс/2 ротор гироскопа испытывает циклическую нагрузку, которая приводит к рассеянию энергии». В формулах (17) опущены постоянные во времени слагаемые, описыващие центральносиммегричную деформацию ротора. Эти слагаемые не влияют на периодические деформации и, следовательно, не приводят к диссипации энергии. Для оценки потерь энергии предполагается, что внутреннее трение в материале подчиняется гипотезе Кельвина - Фойгга, и вводится диссипативная функция Рэлея.

Ф - + 2G'(k>rr+E*aa +k*fifl) + C*(k'ta+kln +k^)ldv (18)

Здесь , G* - коэффициенты вязкого трения в материале ротора, ¿ = бгг+ ёаа + крр, вгг..... к^- скорости деформации, интегрирование в (18) ведется по всему объему ротора. Коэффициент X* , G* в дальнейшем считаются малыми в том смысле, что время затухания Т± собственных упругих колебаний ротора много больше периода упругих колебаний ротора г . В то же время для корректности проводимых построений будем считать, что Г много меньше характерного времени движения ротора относительно центра масс. После необходимых вычислении получена диссипативная функция Рэлея

8ст2р*я'Лц.) £*В1П2-0 -sin2« © = -—--—- (-_ + -— (19)

9 -sin v cos -в ..

I05(7+5fi)

I5G2

----—^-Л* (2)i-1 )'+G* (767ц* 41668(1+828j

Для оценки коэффициентов вязкого трения С* и \*, входящих в (19), воспользуемся, известным экспериментальным фактом, что модуль всесторонного ркатия слабо диссшшрует, тогда

л- с-

Рассматриваются центральносимметрнчныэ собственные колебания шара при наличии внутреннего трения. Если обозначить через т) логарифмический декремент затухания колебаний ротора, то

где х^ ~ первая собственная частоте упругих колебаний ротора. При выводе формулы (20) было учтено, что С° << С/х- Поэтому в качес-

тве оценки коэффициента вязкого трения получено

С*= 3 ЯзЫ сР . -тД Г 2рС(1-2ц) I-2 21)

2 (1-2(1) I- Л

тс/2 < й < 1с, в частности, при (1=0.03 к^ » 2.67. Получено уравнение для угла нутации тЗ

г^ЧКГ+э +а г^1« )"'ехр(-2эГ ) (22)

Здесь А - начальное значение утла между осью симметрии ротора хя и осью т] . Формула (22) позволяет оценивать движение оси симметрии ротора во время его раскрутки. Далее получена постоянная времени затухания нутационных движений ротора

i =

Г2(1-2(1)'

ПнГГ.

(23)

ZrKr.-IJp'^R'LVW

В качестве примера рассмотрен ЭСГ со сплошными бериллиевым и алкминиевым роторами. Радиус ротора R= 0.5 см, угловая скорость 0-1.88*10'' сек"1, 1^-0.9«^, J9=0.968»10~" кг м2, Кинетический момент Ь=1.824-»10~4 кг м2/с, логарифмический декремент затухания т)=0.02. В этом случае из (23) для ЭСГ с бериллиевым ротором получено i = 73 ч. Для алюминия, имеющего плотность р=2720 кг/м9, модуль сдвига 0=2.65*1010 Па, коэффициент Пуассона (1=0.32, из (23) находим i = 3 часа.

Сделаны оценки влияния неоднородности материала ротора на его моменты инерции и деформацию. Показано, что изменением моментов инерции ротора, вызванного наличием инерционных сил, мояно пренебречь. Далее проводится исследование ухода ЭСГ, вызванного упругими деформациями ротора. Получено уравнение поверхности ротора в движении, близком к движения Эйлера - Пуансо, с учетом его асферизации

• г pit3 (2+(i) хГ 1 1 г = я +--t - 3in2fl|— 4- — ]*

L 2 G (7+5(1) L l i* 21х/

* Г cos2 a - 1/з1 + —-— sin 2D sin 2a eos (G-vt) + 1 J 2Vs

. 1 „^2.

sln2U sln2a eos (2ví-2p)jj (24)

2 Г

*

Найдены следующие выражения для проекций момента поддержива-

ющих сил, когда кинетический момент расположен произвольным обра-

зом относительно системы координат £

5 I3!3 G3/Xb

Ы =

V >"oT.V )МоТЛ4 .

= <WVf4> (25)

рЯ^чц) х L2 - I*

--— sin « -(3 cos e -1) + ~ (3 sin-в - 1)+

• " 2 С(74-5ц) Г2 L I2

+ 6 — сов1 -в j С08 Ф0 Sin2 (J)0

Здесь у,- направляющие косинусы вектора кинетического момента ротора Ь, выражение для плотности сил было задано в вида Г-(u-ut>)2/8iccfHa, d=(Rt-R)/R, и..- потенциал го электрода, i^- потенциал ротора, радиус сферы, на которой расположены электроды. Проводится анализ зависимости возмущающего момента от угла нутации. В качестве примера рассмотрен ЭСГ, у которого физические и геометрические характеристики описаны выше. Опорное напряжение, подаваемое на электорды Vo-450 В, относительный зазор мевду ротором и электродами сг=6*10~*, Предполагается что вектор кинетического момента лежит в плоскости Угол, определяющий

геометрический размер электродов <|>0» агссоз(5/б), найдено 4^=3.2*10"* г см*/с2. Это значение достигается, когда -в=%/2 и когда вектор кинетического момента образует с осью fs угол тс/4 или Зх/4, т.е. 747з=0.5. По формуле получена величина воз-

можного ухода электростатического гироскопа ш*=3.5*10~2 град/час. Для определенности рассмотрен нюстиэлектродный подвес ротора.

Затем предложен способ асферизации ротора, который отличается от традиционного и позволяет учесть наличие двойного вращения. В этом случав форма внешней поверхности ротора имеет вид

г рЯа(2+ц> г , „ L* .

г = Л + {---X2 | (b'-q — )- с?/2| cos2 a,

1 l 2 G(T-+5^.) Ll i' J

где

I2 sln^O sin2-ft -1) Г sin2-« cos2«

q*--i--+ б — --- cos2D (26)

Г2 (3 cos2« -1) Г4 (3 cos fl -1)

Из (26) следует, что при -в = arceos(1 /У 3 ), функция имеет особенность и, следовательно, имеются такие режимы движения ротора, при которых проведение его асферизации принципиально невозможно.

В третьей главе рассмотрено движение упругого ротора с про-

извольным эллипсоидом инерции в неконтактном подвесе. Попрежнему r¡, х -правые ортогоналыше трехгранники, имеющие тот же смысл, что в главе 2. Для получения замкнутой системы уравнений к динамическим уравнениям Эйлера присоединяются кинематические уравнения Пуассона в матричной форме. В качестве порождающего решения уравнения движения тела относительно центре масс используется решение Эйлера - Пуансо. Вместо медленной переменной - угла нутации "в- вводится медленная переменная к2, которая является модулем эллиптических функций Якоби

к'= í (I2-Ií ) (ZTI-L2 ) ]/[ (Гд-Г2 ) (L2-ZTIí ) ] (27)

Рассматриваются движения твердого тела, при условии 2TIIa £ 2ТГа, что соответствует малым колебаниям оси х3 вблизи вектора кинетического момента ротора L, следовательно, параметр й2 мал по сравнению с единицей. Для нахоздения членов первого порядка малости по й рассматриваются динамические уравнения Эйлера, в которых из постоянная, а ш, ш2 считаются величинами первого порядка малости

u=(L/I )ка eos v í, co=(L/I )М> sin vt, <J=L/I „,

i N i' z * 2 2' 2 ' a a"

о-С(Г11(Г11-Г1))/(1в(Г,-Г4))]^> Ь=[(1,(Га-Г<))/(1а(Га-Г1))Г»

V2=(I/rs)f(I9-r )(ГЭ-Г2)/Г12]1хг, (Z8)

Записываются коэффициенты матрицы Пуассона при разложении по малому параметру к с точностью до fe2.

Удельная величина вектора инерционных сил F, возникающих при вращении ротора, определяется формулой (15). Как и в главе 2, силы, (20) являются потенциальными и определяются выражением (16), при этом параметр ж в полиноме Лажандра имеет вид

ае=(1 /ш)Сс(соза +0.5 alna! (a)cos(v t-pj+ía -t^ )cos(i>2í+p) ]),

где а - ai/I , b4 = Ы/12, с = Ы1Л. (29)

Выражения для компонент вектора перемещений в рассматриваемом случае в сферической системе координат г, a, р с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (17), полученными для динамически симметричного ротора, только в этих уравнениях вместо полинома, определяемого формулой (16), следует подставить полином с параметром, определяемым формулой (29). Для оценки потерь энергии предполагается, что внутреннее трение в материале ротора подчиня-

ется гипотезе Кельвина - Фойгга, вводится дассипативная функция Ралоя по формуле (23) и в результате получено

ф = (Г/г (30)

15СII2 1 2

э 1

Записывается следующее дифференциальное уравнение для функции к2

12(12-Г4)С* I1

й* «=_ ----2—5--[о2 + —ъ*)1? (31)

15Сг (Г.-^ХГ.-Г.Ц/ I/

Постоянная времени для процесса, описываемого уравнением (31), имеет вид

5 <1.-14)(Г.-1.)Г." й. С"2

где

а=-?—1-—;-:-у^л'-^г (32)

/((!)= -----+3)+21 07цг+581 Ти+45151

105(7+5ц.) 1-2ц ^

Выражение (32) была преобразованно с учетом формулы (21).

В качестве примера рассмотрен ЭСГ со сплошным бершишевым и алюминиевым ротором, физические свойства и геометрические размеры ' которого описаны выше. Номинальная угловая скорость ш = 1.88»10* сек"1, 1^0.9*1, 12 =0.95*1, 19=1, С? -0.9, Ь2-1.9, 0.058«/,

логарифмический декремент затухания 17=0.02. В случае, когда ротор изготовлен из бериллия, из (32) для постоянной времени получено 1=23 час, а для алюминиевого ротора т«2 часа.

Найдены следующие выражения для проекций момента поддерживающих сил с учетом асферизации ротора, когда кинетический момент расположен произвольным образом относительно системы координат £

- К-тл.. <33>

° 2 0 (7+5(1) Гзг I 1я

- сГ+Ц Ь2)] + {[1*<Ы>']3 - —

I г I* I* I2

- — Ь (af+b2)--- a2 - -~-ъ2 + — ctol) cos (b sin2 ф

I I Iz 21 T. ii ° To

2 12 2 1

Заметим, что выражения (33) совпадают по структуре с уравнениями (25), однако, Ио в (33) следует заменить на И*, следовательно, выражения силовой функции для моментов сил, полученные при анализе поведения вектора кинетического момента динамически симметричного ротора, будут справедливы и при вращении ротора с произвольным эллипсоидом инерции.

В качестве примера был рассмотрен ЭСГ, у которого физические и геометрические характеристики описаны выше. Опорные напряжение, подаваемые на электроды, относительный зазор между ротором и электродами и угол, определяющий геометрический размер электродов такие же, как во второй главе. Пусть вектор кинетического момента лепит в плоскости В результате получено * = 3.66*10~4

г «см2/с2 Это значение достигается, когда К2 = 0,5 и когда вектор кинетического момента образует с осью угол г/4- или 3ic/4, т.е. 74 ув= 0.5. По формуле U^Jl получаем величину возможного ухода электростатического гироскопа о* = 4-*10~2 град/час.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, приведены в заключении и состоят в следущем:

- решена краевая задача по определению температурного поля в роторе электростатического гироскопа;

- получены асимптотические выражения для перемещений точек ротора с учетом частотных характеристик температурного поля;

-установлена зависимость угловой скорости ЭСГ от температуры окружающей среды и выполнены числовые оценки;

- исследовано движение вязкоупругого ротора в случае двойного вращения;

- выполнен анализ изменения угла нутации -а и определена постоянная времени затухания нутационного движения, что позволило сделать вывод, что осуществление двойного вращения ротора возможно лишь при наличии дополнительного момента;

- построена силовая функция и проанализированы возмущающие моменты для асферизованного ротора, установлено, что принципиально невозможно устранить возмущающие моменты с помощью асфери-зации;

- выполю ¡ш оценки уходов ЭСГ, вызванных инерционными силами в случае произвольного тензора инерции ротора.

Публикации по теме диссертации:

1. Каршбвев С.Х. Уходы неконтактного гироскопа, вызываемые тепловыми деформациями ротора // В кн.: Современные проблемы механики и технологии машиностроения. Всероссийская конференция: Тезисы докладов и сообщения. -М.: ВИНИТИ РАН, 1992. - с.5.

2. Карипбаев С.Я.,Ландау Б.Б., Мартынанко Ю.Г., Подялков В.В. Зависимость угловой скорости электростатического гироскопа от температуры окружающей среда // Изв. РАН. МГТ.- 1993.- * 3. - С. 42-49.