Полевая теория открытых струн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Белов, Дмитрий Михайлович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова
На правах рукописи
Белов Дмитрий Михайлович
Полевая теория открытых струн
01.04.02 — теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2005
Работа выполнена в отделе Теоретической физики Математического института имени В. А. Стеклова РАН.
Научный руководитель — доктор физико-математических наук,
профессор И. Я. Арефьева.
Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,
профессор И.В. Тютин; кандидат физико-математических наук С.Л. Дубовский.
Ведущая организация — Санкт-Петербургское отделение
математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Защита состоится 22 декабря 2005 года в /Г час. на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу:
117966, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан: " ^ ! " ноября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета,
доктор физико-математических наук
Ю. Н. Дрожжи нов.
2 из??О
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Бурное развитие теоретической физики элементарных частиц в значительной мере обязано созданию квантовой теории поля, которая вначале с успехом объяснила электромагнитное взаимодействие, а дальнейшее обобщение на случай взаимодействия Янга-Миллса привело к созданию последовательной квантовой теории калибровочных полей. Однако, теория не давала хорошего объяснения некоторых вопросов, возникающих при изучении сильных взаимодействий. В качестве нового подхода была предложена теория струн. Замечательным оказалось то, что теория струн (и ее суперсимметричное расширение — теория суперструн) значительно сблизила теорию Янга-Миллса и квантово-полевую теорию гравитации. На сегодняшний день теория суперструн является наилучшим кандидатом на единую теорию фундаментальных взаимодействий.
Элементарная частица в теории струн рассматривается как возбуждение струны, а не как точечная частица. Струна имеет много частот колебаний, и в связи с этим различные элементарные частицы интерпретируются как различные гармоники струны. В фейнмановские диаграммы обычной квантовой теории поля входят вершины взаимодействия, в которых частицы взаимодействуют точечным образом (см. Рис. 1а).
В отличии от этого, взаимодействие струн (см. Рис. 16) не является локальным.
Квантование релятивистской струны является нетривиальной задачей. Когда это было сделано в 70х годах, обнаружилось, что основное состояние замкнутой струны соответствует безмассовой частице спина 2, т.е. гравитону. Взаимодействие этих частиц (в длинноволновом режиме) в точности соответствовало предсказаниям общей теории относительности. Таким образом теория струн оказалась квантовой теорией гра-
РОС1. НАЦИОНАЛЬНАЯ { БИБЛИОТЕКА I
витации. Напомним, что стандартный подход к квантованию не работает для общей теории относительности из-за ультрафиолетовых расходимостей. Ультрафиолетовые расходимости общей теории относительности исчезают если мы заменим частицу струной. Замена частицы струной приводит к размыванию вершины взаимодействия (см. Рис. 1), и благодаря этому исчезает сингулярность содержащаяся в вершине. Теория струн также содержит калибровочную симметрию: безмассовое состояние открытой струны является калибровочным полем.
К 1984 году было известно пять теорий струн, в которых струны обладают различными свойствами:
1. Туре ПА и Туре НВ теория суперструны; в этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
2. Туре I теория суперструн; в этой теории струны являются открытыми или замкнутыми. Открытые струны несут электрический заряд на концах.
3. гетеротическая струна 50(32)/Ж^мЕ^У. в этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
Другим важным отличием теории струн от локальной квантовой теории поля является следующее. Обычно в квантовой
а)
в)
Рис. 1:
Type IIB
Type IIA
Het SO(32)
Het EgX £8 п^ЙММНВИИ^о тУРе 1
M Theory F Theory
Рис. 2: Пространство модулей теории струн.
теории поля у нас есть свободные безразмерные параметры, такие как константа тонкой структуры е2/47гhe ~ 1/137, или отношение массы мюона к массе электрона m;j/me ~ 206.8, которые определяются из эксперимента. В основном эти параметры появляются в вершине взаимодействия (см. Рис 1), однако они исчезают при переходе к теории струн. В теории струн нет свободных параметров, вместо этого есть много скалярных полей фг (модулей), среднее которых и определяет значения е2/47гhe, тпц/тпе и др. Это означает, что, в принципе, постоянная тонкой структуры, отношение массы мюона к массе электрона и др. параметры могут быть вычислены путем минимизации энергии как функции от фг. Другими словами, феноменологические параметры могут быть определены из теории.
Пять теорий суперструн упомянутых выше связаны между собой преобразованиями дуальности (см. Рис 2). На Рисунке 2 изображено пространство модулей теории струн. Преобразовав ния дуальности действуют на этом пространстве, отображая одну теорию струн в другую. Дуальности в теории струн являются обобщением дуальности Montonen-Olive в калибровоч-
ной теории. Изучение преобразований дуальности привело к открытию новых непертурбативных объектов в теории струн, D-бран.
В простейших случаях D-брана является геометрическим объектом. Например, рассмотрим конформную замкнутую струнную сг-модель с пространством-временем М, дилатоном Ф, метрикой gtll/ и "gerbe" связность Ь^. D-брану в такой а-модели можно представить как подмногообразие г : W M пространства-времени M на котором заканчивается открытая струна (на самом деле это только часть условий, дополнительные условия будут приведены ниже). Обозначим через X : £ —* M вложение мирового листа струны Е в М, тогда
г*Х(дТ,) е W.
Таким образом D-браны связаны с граничными условиями. Условие отсутствия аномалий в струнной сг-модели требует, чтобы квантовая теория имела конформную симметрию. Понятно, что не все граничные условия сохраняют конформную симметрию. Граничные условия, сохраняющие конформную симметрию, называются конформными граничными условиями. Не всегда существует хорошее геометрическое ZP-браны, поэтому обычно под "D-браной" понимают локальное конформное граничное условие.
Более подробное описание граничного условия в струнной и-модели определяется заданием топологического К-гомологического цикла [D. Freed], который состоит из вложения г : W M мирового объема ZJ-браны W в пространство время М, выбора Spinс структуры на W (электромагнитов поле на бране), а также выбора комплексного векторного расслоения Е —► W по-модулю некоторых соотношений эквивалентности. На физическом языке это означает, что задана "Л-брана, которая намотана на цикл W с расслоением Чана-Патона Е". К сожалению данное описание не является
точным, потому что я не определил какая именно К-теория должна использоваться. Тем не мене имеется довольно много "экспериментальных фактов", говорящих что в тех случаях, в которых мы можем классифицировать конформные граничные условия, они классифицируются с помощью некоторой К-теории.
Один из возможных подходов к классификации граничных условий в наиболее общей струнной сг-модели заключается в том, что мы должны построить некоторую алгебраическую /Г-теорию вертексной алгебры открытой струны. Надежда построения такой теории связана в первую очередь с недавним прогрессом [Н. Liu,M. Douglas,G. Moore,В. Zwiebach; L. RastellijA. Sen,B. Zwiebach; D. Belov,C. Lovelace] в понимав нии структуры Витенновской кубической полевой теории открытых струн [G. Moore]. Кубическая полевая теория открытых бозонных струн была сформулирована Эдвардом Витте-ным в 1987 году. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается "топологическим действием" типа Черна-Саймонса на некоторой бесконечно мерной ассоциативной некоммутативной алгебре. Непосредственное обобщение этого действия на случай суперструны имеет трудности, так как неправильно воспроизводятся амплитуды рассеяния уже на древесном уровне. Эти трудности были преодолены, и было построено кубическое действие полевой теории суперструн, независимо И. Я. Арефьевой, А. Зубаревым, П. Б. Медведевым и С. Preitschopf, С. Thorn, S. Yost .
Решения классического уравнения движения полевой теории струн, по-видимому, находятся в соответствии с различными конформными граничными условиями. Недавно A. Sen предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной .D-браны, к которой прикреплены концы струны. В рамках этого предположения вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбативном ваку-
уме, должна компенсировать натяжение нестабильной D-браны: разность энергий в непертурбативном и пертурбатив-ном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной D-браны. Подтверждением этой гипотезы являются произведенные A. Sen, L. Rastelli и В. Zwiebach для бозонной струны и И.Я. Арефьевой, Д.М. Беловым, A.C. Кошелевым и П.Б. Медведевым для фермионной струны численные расчеты, а также последние работы A.Sen о скатывающемся тахионе. Эта гипотеза стимулировала интерес к изучению полевой теории струн.
Цель работы: исследование структуры струнной алгебры; аналитическое доказательство ассоциативности струнного умножения; доказательство отсутствия аномалий; диагонали-зация матриц Неймана; вычисление ^-функции конформной теории поля на склеивающей поверхности; проверка закона умножения для состояний-поверхностей iV-клинов.
Основные результаты:
1. Найден спектр всех JV-струнных матриц Неймана (для бозонов с ненулевым импульсом, бозонизованных духов, NS фермионов), появляющихся в струнной теории поля. До этого был известен лишь спектр Зх струнных матриц Неймана для бозонов с нулевым импульсом и фермионов.
2. Предложена "размерная" регуляризация для струнной теории поля. Вычислена регуляризованная плотность состояний (результат записан в форме, не зависящей от регуляризации). С помощью этой плотности можно вычислять детерминанты операторов, появляющиеся в струнной теории поля.
3. Путем явного вычисления доказана ассоциативность струнного умножения. Вычислен важный нормировочный множитель TV-струнного вертекса (^-функция). Доказано отсутствие аномалии в ассоциативности. Доказаны соотношения между состояниями, представляющими поверхности с избытком угла 7Г(N — 2) (N-клин).
Методы исследования. В диссертации используются методы двумерной конформной теории поля, методы комплексного анализа, теория представлений группы SL(2, R).
Научная новизна. В диссертационной работе впервые были проведены аналитические вычисления в полной струнной теории поля: были учтены вклады как полей материи, так и конформных духов. Показано, что если не учитывать вклад духов выражения в струнной теории поля расходятся, и лишь правильный их учет приводит к конечным выражениям. Была вычислена регуляризованная плотность состояний, позволяющая считать следы и детерминанты матриц Неймана. Впервые была показана необходимость введения нормировочных множителей в выражения для JV-струнных вертексов, и были произведены вычисления этих множителей. Они имеют естественную интерпретацию «/-функций конформной теории поля, определенной на склеивающей поверхности. Аналогичные вычисления были проведены для специальной алгебры состояний-поверхностей ЛГ-клинов.
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертационная работа носит теоретический характер. Доказательство ассоциативности струнного умножения является важным шагом в понимании струнной теории поля. Некоторые результаты диссертации были использованы другими исследовательскими группами для построения аналитических решений струнной теории поля. Результаты диссертации могут быть использованы в работах, проводимых в МИ АН, ФИ-АН, ЛТФ ОИЯИ, ИТЭФ, на физическом факультете МГУ.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на семинаре по теории поля Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, на семинаре теоретической группы физи-
ки высоких энергий в MIT, Cambridge, USA, а также на школе в Les Houches, France.
Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 101 страницу.
Содержание работы
Введение состоит из общего введения в теорию струн и постановки задачи, также приводится краткое описание структуры диссертационной работы.
Глава 1 посвящена формулировке полевой теории открытых струн и постановки задачи.
В параграфе 1 дается краткое введение в теорию открытой бозонной струны. Вводятся понятия конформного тензора энергии-импульса, конформных духов и БРСТ заряда. В теории открытой струны необходимо накладывать граничные условия на поле материи X>'(z,z) при z = г. В дальнейшем мы будем считать, что z,z принадлежат верхней полуплоскости, а вещественная ось — является границей. Требование сохранения конформной инвариантности накладывает следующую связь между компонентами конформного тензора энергии-импульса Т(х) = Т(х) для х G R. Граничные условия на Xß, которые удовлетворяют этому соотношению, называются конформными граничными условиями. Спектр теории описывается в терминах когомологии H(Qb,Fi) БРСТ заряда в пространстве Фока с духовым числом +1. Особое вни-
мание обращается на универсальность данной конструкции, а именно, на то что конструкция БРСТ заряда не зависит от выбора конформного граничного условия. Однако пространство зависит от выбора граничных условий. В параграфе 2 формулируется кубическая полевая теория открытых струн. Эта теория задается следующим действием
Здесь А является элементов ассоциативной некоммутативной
градуированной алгебры я/ с умножением *, ф является оператором дифференцирования на этой алгебре, и / определяется как С-линейное отображение из в С. Действие (1) является обобщением действия Черна-Саймонса на трехмерном многообразии.
Элементы л^,*,/, определяющие действие, должны удовлетворять свойствам:
1. ассоциативность: а * (Ь * с) = (а* Ь) * с.
2. 2-градуировка (духовое число):
деЖ
В частности, д/д является подалгеброй, а для д е Ъ являются левыми (правыми) модулями алгебры М)-
3. Оператором дифференцирования называется отображение ф : ¿г/д —* я/д+1, имеющее духовое число +1, обладающее свойством нильпотентности = 0, и удовлетворяющее правилу Лейбница
(1)
= ф ¿/д аПс! * Д/д' С
■9-У 9'
<5(а * 6) = ((¿а) * Ь + (-1)кЬ(о)а * (С}Ь).
4. Интеграл / является линейным отображением to С, таким что / а — 0 если а имеет духовое число отличное от +3. Кроме того мы должны потребовать, что для всех а и Ь из выполняются соотношения
У^а = 0 и I а*Ь = (-1)**'шь) У Ь*а.
Действие (1) инвариантно относительно малых калибровочных преобразований А ь-» А + У^Л, где У^Л = фЛ + А* А — Л * А и Л € Вариация действия по А дает следующие уравнения движения
<2А + А * А = 0. (2)
Заметим, что линеаризованное уравнение движения <5о = 0 вместе с линеаризованными калибровочными преобразованиями ама + <2Л эквивалентно утверждению, что [а] е Н Это означает, что решения линеаризованных уравнений движения описывают спектр физических состояний струны.
Эти абстрактные аксиомы могут реализованы в теории струн. Естественным кандидатом на ф является БРСТ заряд Яв-
Струнное умножение
Теперь мы должны построить ассоциативное умножение открытых струн. Это совсем нетривиальная задача. Она была решена Витенном в 1986. Для начала необходимо забыть про репараметризационную инвариантность струны (точнее заменить ее на требование БРСТ инвариантности), и выбрать на открытой струне точку — центр струны М:
Теперь каждая струна £ имеет левую половину 5х и правую половину 5д. Будем обозначать струну 5 парой (¿х, Бд). Грубо говоря, искомое умножение определяется как (5^, 5д) * (Т£,Тд) = (5,£,Тд)5(5л-Та). Особенностью данного умножение является то, что оно по-крайней мере наивно ассоциативно:
Не сложно сделать эту идею точной. Надо всего лишь заполнить былые области на рисунке струнным мировым листом и интерпретировать этот рисунок как ^-точечную корреляционную функцию на поверхности с границей. В дальнейшем
Из этого рисунка легко видеть, что поверхность Едг может быть получена склейкой N карт (с углом) Каждая
карта Их представляет собой бесконечную полосу [0,7г] х М с удаленной полуосью{-7г/2} х К+:
-Г ^-.С=Л
-1(7=0
С помощью конформного преобразования г = ет+кг мы можем отобразить полосу в верхнюю полуплоскость с разрезом
I
4-
[г,гоо):
и, щ
М
¿Г МП и,
М„п,
М [г.
Функции склейки на пересечениях Щ П1//+1 = {3?г/ > 0} = < 0} задаются соотношением = — 1.
Теперь нам необходимо найти корреляционную функцию скалярного поля на £дт. Для этого необходимо ввести метрику на Едг. В каждой карте Ы[ можно выбрать плоскую метрику = <¿2;с£г/. Метрика на получается стандартным образом из метрик на картах. Из рисунка на предыдущей странице очевидно, что метрика на Едг не является плоской, в точке М имеется коническая сингулярность с избытком угла 7г(ЛГ — 2).
Двух точечная корреляционная функция скалярных полей {Х^^Х^,!!))) на Едг является решением уравнения Лапласа с Неймановскими граничными условиями на 9Едг. Есть хорошо известный трюк решения уравнения Лапласа на сложной области: нужно найти (сингулярное) отображение которое переведет Едг в верхнюю полуплоскость. Это отображение сингулярно, потому что оно меняет угол 7гЛ^ в точке М в угол 27г. Таким образом нормированная двухточечная корреляционная функция задается
где Х1 := Х\и, обозначает ограничение скалярного поля X определенного на Едг на карту Отображения {Л/} определяется как к ¡(г) = Ро(еткн)(г), <р[ — ^(адг—/), и число ам выбрано так чтобы все углы лежали в интервале (—тг, тг],
(Х£(г, = -- 1оё |Л7(г) - МО|2, (3)
»
Теперь мы можем дать точное определение струнного умножения. Для этого удобно ввести iV-струнные вертексы (Удг| и дуальные вертексы |V/v). ЛГ-вертекс является мультилинейным отображением из ЛГ°® степени пространства Фока состояний струны в комплексные числа
1..Л1 : ^ - С and )Vjv)i...jv : -* С. (5)
Напомним, что в двумерной квантовой теории поля имеется очень специальное соответствие между состояниями и операторами: каждому оператору 0(z,z) можно поставить в соответствие состояние |О) :— Итг_0Ф(z,z)|0). Обратное тоже верно: для каждого состояния \0) существует оператор 0(z,z), который порождает это состояние как описано выше. Таким образом мы можем однозначно определить
I..JV(Vjv| (|Oi> ® • • • ® IOJV)) := ZN{Ox{Px)... On(Pn))zn (6)
где Zn является стат. суммой конформной теории поля на Едг, (... )sAr обозначает нормированную N-точечную корреляционную функцию операторов вставленных в точки {Pi} на границе Ejv. Точки {Р[} соответствуют началу координат в картах {Ui}. До недавнего времени предполагалось, что Z^ — 1. Ниже я покажу, что Zn является нетривиальной функцией N, (23), и более того она совпадает с граничной энтропией конформной теории поля на Едг.
Вертексы и дуальные вертексы не являются независимыми, а связаны соотношениями
\VN)l...N = l'..JV'(Viv|(|V2)l'l ® • • • ® |Ц>ЛГ'Лг)
i...jv(Vw| = (ir(Va| ® ■ ■ • ® jvjv(^a|)|V3v>r..jv Струнное умножение * теперь можно определить как
(И * |Ь»1< := 12з(^з|(|а>2 ® |6)з ® |V2>u<). (7)
t
Кроме умножения вертекс | V3) определяет также и коумноже-ние.
Ассоциативность струнного умножение * означает, что вертексы должны удовлетворять бесконечному числу уравнений типа:
(ш(Уз| ® 45б(^з|)\V2)M = 1256(v4|. (8)
Несмотря на то, что струнная теория поля была сформулирована в 1986, до 2003г. не существовало аналитического доказательства ассоциативности струнного умножения [4]. Более того имелись утверждения, что ассоциативность нарушается аномалиями. В работе [4] я доказал, что все соотношения типа (8) выполняются. Доказательство ассоциативности является главным результатом диссертации.
Глава 2 посвящена изучению струнного умножения.
В параграфе 2.1 приведены необходимые сведения о группе SL(2, R). Рассматриваются представления из главной дискретной серии Вводятся два базиса: дискретный, диаго-нализирующий оператор Ly,
| m,s)(z) = N^zm, где = и непрерывный, диагонализирующий оператор К\
s){z) = [А(к)]1/2 (cosh и;)2" егKW, (10)
где z = i tanh w и
Вычислена матрица перехода между двумя базисами.
В параграфе 2.2 вводится понятие iV-струнного склеивающего вертекса (5). Из-за того что мы рассматриваем свободную теорию в балке, iV-струнный вертекс может быть записан
Г(ш + 2s)
Г(т + 1)
4i
(9)
как квадратичная экспонента
(^8)| = 1...*<0|ехР
п,т=0 J=1
Здесь 1..лг(0| является тензорным произведением БЬ(2, К)-инвариантных вакуумов пространства Фока, ай^ операторы уничтожения действующие в /-том пространстве Фока, Спт = (—1)п<5„т оператор твиста, а М™м пт обозначь ют Неймановские матрицы определяющие склеивающий вертекс. Неймановские матрицы являются (анти) симметричными (М'?мС)тп = (-1)2з(М^С)пт и удовлетворяют свойству
ЦИКЛИЧНОСТИ м/дг =
Производящая функция для Неймановской матрицы (М^)пт задается следующим выражением
(12)
где отображения {Л/} были определены в (4).
Далее производиться диагонализация матриц Неймана. Собственные значения равны
..II /к\ _ р-Нг«ЛГ/4^£лМ _ +хк/2
" (к) = (7 < д
А4« V
Л(«)
= (-1) е 4 ^ ^ I' >
где
Д»,лг(*) А,(к)
ЛГ
(13а) (13Ь) (13с)
Для 2s = integer, произведения Г-функций выражается через гиперболические функции. Таким образом в частных случаях выражение сильно упрощается. Удобно ввести обозначение
7Г к
Для s — 1 или s = 0 формулы (13) принимают вид sinh(JV - 2)х
(15)
wjfW
sinh Nx
e+x(N+2I-2J) p—x{N—2I+2J)
sinh 2x
siph Nx' smh 2x
sinh Nx'
и для s = ±
SiM =
±sinh(N - 2)x cosh Nx
+e+f(N+2I-2J) -e_3r (N-2I+2J)
cosh 2x
cosh Nx' cosh 2x
I = J; I < J; I>J.
I = J\ I < J; I> J.
(16a)
(16b)
Для s = 1 N ■
Rastelli и др. Выражение для s = h, ß[J(K) в (16b) совпадает
2
cosh Nx'
3, (16a) в точности совпадает с результатом I „и 2' Н
с результатом М. Marino и Schiappa.
В параграфе 2.3 рассматриваются склеивающие вертексы с добавлением нулевых мод. Основной результат состоит в том, что нулевые моды можно добавить действуя оператором ехр{{рцХ^(М)}. Однако этот оператор является сингулярным, и поэтому его необходимо регуляризовать. Математически правильное утверждение имеет следующий вид
(V^\{pi}) = lim^ltT.
rW
где оператор Up определен
/•00
I cIk£s(k) а+(к)+а~(к) -00
exp< г
(17)
Здесь £,(«) = эёп(к)у/Щк).
В параграфе 2.4 аналогичным образом рассмотрен рассматривается вертекс для бозонизованных духов. Результат очень похож на результат предыдущего параграфа, однако оператор и имеет вид
£/2э - ехр{е(д> + |) Р йкШ [а+(«) + «"(«)]},
а выражение для
где
21.
_еЯ2(М-2)* г N М-2 = "2--2ЛГ~ [1о§У--лГ
В параграфе 2.5 объединены результаты параграфов и приведен полный ЛГ-струнный вертекс для полей матрии-<-духи. ^-струйный склеивающий вертекс в теории критической бо-зонной струны имеет вид
х ехр
4£ гтА^Ц
7,7=1 -оо к ^
+
1 ^ /-00
, (18)
где ц = — 1,... — 1, ^ = — 1 соответствует бозонизованным духам, а /х = 0,..., Б — 1 соответствует духам материи; метрика = сиа§(-£, -1,1,..., 1); вектор = (д, -1\/2а'<р).
Множитель Zu — это стат. сумма рассматриваемой конформной теории поля на склеивающей поверхности Т,^. Этот множитель будет определен в следующей главе из требования ассоциативности (формула (23)).
В главе 3 доказывается ассоциативность струнного умножения.
В параграфе 3.1 вычисляется регуляризованная спектральная плотность, которая позволят вычислять следы и детерминанты матриц Неймана.
^'¿к^Т-гЛ^м- <19>
Регуляризация вводиться путем изменения скалярного произведения в гильбертовом пространстве Н8
^ roo лтг/4
х | cosher4*[cos(2i;)]2e 2g(z(w)) f(z(w)), (20)
где z = i tanh w.
В параграфе 3.2 путем явного вычисления проверяется выполнение соотношений спуска
l..Jv(V¡v| = 1 jv,iv+l(y¡v+l|14)jv+l, (21)
где (V¡v I ~ это объединенный материя+духи склеивающий N-струнный вертекс. Показано, что для того чтобы (21) было верно, необходимо и достаточно нормировать вертексы следующим образом
(VN\ = ZN{VN\ for 1. (22)
Здесь функция Z^ определена как
log ZN = log I + у [Do(iV) - D0(2)], (23)
Функция Zjv имеет естественную интерпретацию стат. суммы граничной конформной теории поля на склеивающей поверхности Sjv. В силу того, что центральный заряд рассматриваемой теории равен 0, совпадает с ^-функцией введенной Afleck и Ludwig.
Параграф 3.3 посвящен доказательству отсутствия аномалии в ассоциативности А. Strominger и др. Основное утверждение заключается в том, что аномалия в ассоциативности зависит от выбора регуляризации. В частности, в параграфе 3.1 построена регуляризация, в которой отсутствует аномалия в ассоциативности.
Глава 4. посвящена изучению некоторых свойств струнной алгебры.
В параграфе 4.1 вводиться понятие состояния-поверхности. Это такие состояния (Е| в пространстве состояний, что
<Е|ОД|0> ее ((ö(z))h. (25)
Здесь правая часть обозначает среднее от оператора O(z) на поверхности К. В связи с тем, что оператор ö(z) является произвольным, надо быть очень аккуратным с выбором системы координат.
В параграфах 4.2. и 4.3 проверяется алгебра состояний-поверхностей JV-клинов:
({hN,0| * {{hM,0| = ((hN+M~i,0|. (26)
и
({hff, 3| Ъм, 0)) = ZN+M-2- (27)
Опять таки для выполнения этих соотношений соответствующие состояния необходимо нормировать умножением на 2дг.
В заключении перечисляются основные результаты диссертации. В приложении приведены свойства полиномов, использующихся в диссертации.
Публикации автора по теме диссертации
[1] Д. Белов, О струнном произведении в Виттеновской струнной теории поля, Труды МИАН, т. 245 (2004) стр. 65-71.
[2] D. Belov, A. Konechny, "On spectral density of Neumann matrices", Physics Letters B558 (2003) pp. 111-118.
[3] D. Belov, C. Lovelace, "Witten's Vertex Made Simple", Physical Review D68 (2003) 066003, pp. 1-19.
[4] D. Belov, "Witten's Ghost Vertex Made Simple (be and bosonized ghosts)", Physical Review D69 (2004) 126001, pp. 112.
[5] D. Belov, A. Konechny, "On Continuous Moyal Product Structure in String Field Theory", Journal of High Energy Physics 0210 (2002) 049, pp. 1-23.
»25 6 в 7
РНБ Русский фонд
2006-4 28139
Введение
1 Формулировка струнной теории поля 1.1 Первично квантование струны.
1.2 Кубическая полевая теория струн.
2 Вертексы и струнное умножение
2.1 Необходимые сведения о группе £.£,(2, R.).
2.1.1 Различные базисы в 7is.
2.1.2 Вычисление нормировки As(k).
2.2 Определение вертексов.
2.2.1 Обозначения
2.2.2 Склеивающий вертекс.
2.2.3 Диагонализация струнных вертексов.
2.2.4 Результаты.
2.2.5 Добавление нулевых мод.
2.3 Неймановские матрицы соответствующие s = 0.
2.4 Неймановские матрицы для бозонизованных духов.
2.4.1 Бозонизация духов.
2.4.2 Вертекс в непрерывном базисе.
2.4.3 Унитарное преобразование
2.5 Объединенный вертекс: материя + духи.
3 Ассоциативность струнного умножения
3.1 Спектральная плотность.
3.2 Доказательство соотношений спуска.
3.3 Ассоциативность.
3.4 Отсутствие аномалии в ассоциативности
3.4.1 Что такое аномалия в ассоциативности?.
3.4.2 Доказательство отсутствия аномалии.
4 Структура струнной алгебры
4.1 Состояния, представляющие поверхность.
4.1.1 Неймановские матрицы для состояний-поверхностей
4.1.2 Неймановские матрицы для iV-клинов.
4.2 Скалярное произведение АГ-клинов.
4.3 Произведение iV-клинов.
Бурное развитие теоретической физики элементарных частиц в значительной мере обязано созданию квантовой теории поля [1], которая вначале с успехом объяснила электромагнитное взаимодействие, а дальнейшее обобщение на случай взаимодействия Янга-Миллса привело к созданию последовательной квантовой теории калибровочных полей. Однако, теория не давала хорошего объяснения некоторых вопросов, возникающих при изучении сильных взаимодействий. В качестве нового подхода была предложена теория струн. Замечательным оказалось то, что теория струн (и ее суперсимметричное расширение — теория суперструн) значительно сблизила теорию Янга-Миллса и квантово-полевую теорию гравитации. На сегодняшний день теория суперструн является наилучшим кандидатом на единую теорию фундаментальных взаимодействий.
Элементарная частица в теории струн рассматривается как возбуждение струны, а не как точечная частица [2, 3, 4]. Струна имеет много частот колебаний, и в связи с этим различные элементарные частицы интерпретируются как различные гармоники струны. В фейнмановские диаграммы обычной квантовой теории поля входят вершины взаимодействия, в которых частицы взаимодействуют точечным образом (см. Рис. 1а). В отличии от этого, взаимодействие струн (см. Рис. 16) не явА вр а) б)
Рис. 1: Вершина взаимодействия в квантовой теории поля а), и в теории струн б) ляется локальным.
Квантование релятивистской струны является нетривиальной задачей. Когда это было сделано в 70х годах, обнаружилось, что основное состояние замкнутой струны соответствует безмассовой частице спина 2, т.е. гравитону. Взаимодействие этих частиц (в длинноволновом режиме) в точности соответствовало предсказаниям общей теории относительности. Таким образом теория струн оказалась квантовой теорией гравитации! Напомним, что стандартный подход к квантованию не работает для общей теории относительности из-за ультрафиолетовых расходимостей. Ультрафиолетовые расходимости общей теории относительности исчезают если мы заменим частицу струной. Замена частицы струной приводит к размыванию вершины взаимодействия (см. Рис. 1), и благодаря этому исчезает сингулярность содержащаяся в вершине. Теория струн также содержит калибровочную симметрию: безмассовое состояние открытой струны является калибровочным полем.
К 1984 году было известно пять теорий струн, в которых струны обладают различными свойствами:
1. Туре НА и Туре ИВ теория суперструны; в этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
2. Type I теория суперструн; в этой теории струны являются открытыми или замкнутыми. Открытые струны несут электрический заряд на концах.
3. гетеротическая струна SO(32)/Z2 и Eg х Eg; в этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
Другим важным отличием теории струн от локальной теории поля является следующее. Обычно в квантовой теории поля у нас есть свободные безразмерные параметры, такие как константа тонкой структуры e^/Aithc ~ 1/137, или отношение массы мюона к массе электрона Шц/тПе ~ 206.8, которые определяются из эксперимента. В основном эти параметры появляются в вершине взаимодействия (см. Рис 1), однако они исчезают при переходе к теории струн. В теории струн нет свободных параметров, вместо этого есть много скалярных полей ф1 (модулей), среднее которых и определяет значения е2/47тНс, тп^/те и др. Это означает, что, в принципе, постоянная тонкой структуры, отношение массы мюона к массе электрона и др. параметры могут быть вычислены путем минимизации энергии как функции от ф(. Другими словами, феноменологические параметры могут быть определены из теории.
Пять теорий суперструн упомянутых выше связаны между собой преобразованиями дуальности (см. Рис 2). На Рисунке 2 изображено пространство модулей теории струн. Преобразования дуальности действуют на этом пространстве, отображая одну теорию струн в другую. Дуальности в теории струн являются обобщением дуальности Montonen-Olive
Type IIB
Het Е„хЕ
Het SO(32)
8" 8
Type I
F Theory
Рис. 2: Пространство модулей теории струн. в калибровочной теории. Изучение преобразований дуальности привело к открытию новых непертурбативных объектов в теории струн, D-бран.
В простейших случаях D-брана является геометрическим объектом. Например, рассмотрим конформную замкнутую струнную сг-модель с пространством-временем М, дилатоном Ф, метрикой g^ и "gerbe" связность Ъ^. D-брану в такой сг-модели можно представить как подмногообразие г : W М пространства-времени М на котором заканчивается открытая струна (на самом деле это только часть условий, дополнительные условия будут приведены ниже). Обозначим через X : Е —» М вложение мирового листа струны Ев М, тогда
Таким образом jD-браны связаны с граничными условиями. Условие отсутствия аномалий в струнной сг-модели требует, чтобы квантовая теория имела конформную симметрию. Понятно, что не все граничные условия сохраняют конформную симметрию. Граничные условия, сохраняi*X(dЕ) е W. ющие конформную симметрию, называются конформными граничными условиями. Не всегда существует хорошее геометрическое D-браны, поэтому обычно под "D-браной" понимают локальное конформное граничное условие.
Более подробное описание граничного условия в струнной сг-модели определяется заданием топологического К-гомологического цикла [5], который состоит из вложения г :W М мирового объема D-браны W в пространство время М, выбора Spinс структуры на W (электромагнитов поле на бране), а также выбора комплексного векторного расслоения Е —> W по-модулю некоторых соотношений эквивалентности. На физическом языке это означает, что задана "D-брана, которая намотана на цикл W с расслоением Чана-Патона В". К сожалению данное описание не является точным, потому что я не определил какая именно /^-теория должна использоваться. Тем не мене имеется довольно много "экспериментальных фактов", говорящих что в тех случаях, в которых мы можем классифицировать конформные граничные условия, они классифицируются с помощью некоторой /С-теории (смотри параграфы 1,2 в обзоре [6])
Один из возможных подходов к классификации граничных условий в наиболее общей струнной <т-модели заключается в том, что мы должны построить некоторую алгебраическую if-теорию вертексной алгебры открытой струны. Надежда построения такой теории [6] связана в первую очередь с недавним прогрессом в понимании структуры Витен-новской кубической полевой теории открытых струн [7, 8]. Кубическая полевая теория открытых бозонных струн была сформулирована Эдвардом Виттеным в 1987 году [9]. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается "топологическим действием" типа Черна-Саймонса на некоторой бесконечно мерной ассоциативной некоммутативной алгебре. Непосредственное обобщение этого действия на случай суперструны имеет трудности, так как неправильно воспроизводятся амплитуды рассеяния уже на древесном уровне. Эти трудности были преодолены, и было построено кубическое действие полевой теории суперструн, независимо И. Я. Арефьевой, А. Зубаревым, П. Б. Медведевым [10] и С. Preitschopf, С. Thorn, S. Yost [И].
Решения классического уравнения движения полевой теории струн, по-видимому, находятся в соответствии с различными конформными граничными условиями. Недавно A. Sen [12] предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной D-браны, к которой прикреплены концы струны. В рамках этого предположения вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбативном вакууме, должна компенсировать натяжение нестабильной D-браны: разность энергий в непертурбативном и пертурбативном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной D-браны. Подтверждением этой гипотезы являются произведенные A. Sen, L. Rastelli и В. Zwiebach [7] для бозонной струны и И.Я. Арефьевой, Д.М. Беловым, А.С. Кошелевым и П.Б. Медведевым [13] для фермионной струны численные расчеты, а также последние работы A.Sen о скатывающемся тахионе [14]. Эта гипотеза стимулировала интерес к изучению полевой теории струн.
Диссертационная работа имеет следующую структуру. Глава 1 посвящена формулировке полевой теории открытых струн и постановки задачи.
В параграфе 1 дается краткое введение в теорию открытой бозонной струны. Вводятся понятия конформного тензора энергии-импульса, конформных духов и БРСТ заряда. В теории открытой струны необходимо накладывать граничные условия на поле материи XfJ,(z,z) при z = z. В дальнейшем мы будем считать, что z принадлежат верхней полуплоскости, а вещественная ось — является границей. Требование сохранения конформной инвариантности накладывает следующую связь между компонентами конформного тензора энергии-импульса Т(х) = Т(х) для х £ К. Граничные условия на Xм, которые удовлетворяют этому соотношению, называются конформными граничными условиями. Спектр теории описывается в терминах когомологии H(QB,^ri) БРСТ заряда в пространстве Фока с духовым числом +1. Особое внимание обращается на универсальность данной конструкции, а именно, на то что конструкция БРСТ заряда не зависит от выбора конформного граничного условия. Однако пространство зависит от выбора граничных условий.
В параграфе 2 формулируется кубическая полевая теория открытых струн. Эта теория задается следующим действием
Здесь А является элементов ассоциативной некоммутативной Z-градуированной алгебры srf с умножением *, Q является оператором дифференцирования на этой алгебре, и f определяется как С-линейное отображение из д/ в С. Действие (1.21) является обобщением действия Черна-Саймонса на трехмерном многообразии.
Элементы я/,*,/, определяющие действие, должны удовлетворять
S(A) = -1
Уо
Ua*qa+U
А*А*А .
1) свойствам:
1. ассоциативность: а * (6 * с) = (а * Ь) * с.
2. Z-градуировка gh (духовое число): я/ = ^^ д/g and srfg * С &fg+gl д£ Ъ
В частности, з/q является подалгеброй, а для д Е Z являются левыми (правыми) модулями алгебры
3. Оператором дифференцирования называется отображение Q : — •c^+i, имеющее духовое число +1, обладающее свойством нильпотентности Q2 — 0, и удовлетворяющее правилу Лейбница
4. Интеграл f является линейным отображением £/ to С, таким что f а = 0 если а имеет духовое число отличное от +3. Кроме того мы должны потребовать, что для всех а и Ъ из srf выполняются соотношения
Действие (1.21) инвариантно относительно малых калибровочных преобразований А А + V^A, где \7лЛ = QA + Л*Л-Л* Л и Л G 4-Вариация действия по А дает следующие уравнения движения
Q{a * Ъ) = (Qa) * Ь + * (Qb).
QA + А * А = 0.
2)
Заметим, что линеаризованное уравнение движения Qa = 0 вместе с линеаризованными калибровочными преобразованиями ана + QA эквивалентно утверждению, что [а] € Hl{Q). Это означает, что решения линеаризованных уравнений движения описывают спектр физических состояний струны.
Эти абстрактные аксиомы могут реализованы в теории струн. Естественным кандидатом на Q является БРСТ заряд Qb
Струнное умножение
Теперь мы должны построить ассоциативное умножение открытых струн Это совсем нетривиальная задача. Она была решена Витенном в 1986. Для начала необходимо забыть про репараметризационную инвариантность струны (точнее заменить ее на требование БРСТ инвариантности), и выбрать на открытой струне точку — центр струны М:
Теперь каждая струна S имеет левую половину Sl и правую половину Sr. Будем обозначать струну S парой (Si,SR). Грубо говоря, искомое умножение определяется как (SL,SR) * (TL,TR) = (SL,TR)6(SR - TL). Особенностью данного умножение является то, что оно по-крайней мере наивно ассоциативно: Не сложно сделать эту идею точной. Надо всего м лишь заполнить былые области на рисунке струнным мировым листом и интерпретировать этот рисунок как iV-точечную корреляционную функцию на поверхности Ем с границей. В дальнейшем поверхность Ejv мы будем называть iV-клином:
-м
Из этого рисунка легко видеть, что поверхность Едг может быть получена склейкой N карт (с углом) {W/}/=i,.,jv. Каждая карта Ui представляет собой бесконечную полосу [0,7г] xlc удаленной полуосью{7г/2} х R+: ст=я а-л/2 ст= О
С помощью конформного преобразования 2 = ет+гсг мы можем отобразить полосу в верхнюю полуплоскость с разрезом [г, гоо): м ^
U<T\U7 Uf\U%
Функции склейки на пересечениях Ui П Ui+i — {Re zj > 0} = {Re zj+i < 0} задаются соотношением zizi+i = — 1.
Теперь нам необходимо найти корреляционную функцию скалярного поля на Syv- Для этого необходимо ввести метрику на Едт- В каждой карте Ui можно выбрать плоскую метрику ds] = dzidzi. Метрика на Eyv получается стандартным образом из метрик на картах. Из рисунка на предыдущей странице очевидно, что метрика на Е^ не является плоской, в точке М имеется коническая сингулярность с избытком угла tt(N — 2). Двух точечная корреляционная функция скалярных полей
X(z,z)X(w,u;))е„ на Siv является решением уравнения Лапласа с Неймановскими граничными условиями на дЕдг- Есть хорошо известный трюк решения уравнения Лапласа на сложной области: нужно найти (сингулярное) отображение Iin(z), которое переведет 2дг в верхнюю полуплоскость. Это отображение сингулярно, потому что оно меняет угол 7tN в точке М в угол 27Г. Таким образом нормированная двухточечная корреляционная функция задается
X^Xjiz'^h» = -jbglh^-hjiz')]2, (3) где Xi := X\ut обозначает ограничение скалярного поля X определенного на E/v на карту Ui. Отображения {hi} определяется как hi(z) = Po{ellpIhM)(z), ipi = jf(aN — -О» и число ам выбрано так чтобы все углы <£>jv лежали в интервале (—7Г, 7г],
2/" и PM = i£f (4)
Теперь мы можем дать точное определение струнного умножения. Для этого удобно ввести iV-струнные вертексы (Улг| и дуальные вертексы | Улг). ЛГ-вертекс является мультилинейным отображением из №и степени пространства Фока состояний струны в комплексные числа and С. (5)
Напомним, что в двумерной квантовой теории поля имеется очень специальное соответствие между состояниями и операторами: каждому оператору 0(z,z) можно поставить в соответствие состояние |О) := lim^o @(z, z) |0). Обратное тоже верно: для каждого состояния | О) существует оператор 0(z,z), который порождает это состояние как описано выше. Таким образом мы можем однозначно определить
1 .N(VN\(|0I) ® • ■ • ® |On)) := ^<Oi(Pi) -. On(Pn))xn (6) где Zn является стат. суммой конформной теории поля на Е^г, (• • • обозначает нормированную iV-точечную корреляционную функцию операторов вставленных в точки {Pi} на границе Едг. Точки {Pi} соответствуют началу координат в картах {£//}. До недавнего времени предполагалось, что Zn = 1. Ниже я покажу, что Zjy является нетривиальной функцией N, (4.21), и более того она совпадает с граничной энтропией конформной теории поля на Е^у.
Вертексы и дуальные вертексы не являются независимыми, а связаны соотношениями
VN)L.jv = V.N'(V/vI (|^2)i'i <S> • • • ® |V2>ww) l.Jv(V)v| = (п'(И>| <8> • • • <8> MNT'O^QIWi'.-JV'
Струнное умножение * теперь можно определить как а) * ДО)!, := 12з(^з|(|а>2 ® |Ь)з ® \V2)iv). (7)
Кроме умножения вертекс | V3) определяет также и коумножение.
Ассоциативность струнного умножение * означает, что вертексы должны удовлетворять бесконечному числу уравнений типа: шШ ® 45б(^з|) \V2)u = 1256(^4(8)
Несмотря на то, что струнная теория поля была сформулирована в 1986, до 2003г. не существовало аналитического доказательства ассоциативности струнного умножения [15]. Более того имелись утверждения, что ассоциативность нарушается аномалиями. В работе [15] я доказал, что все соотношения типа (1.28) выполняются. Доказательство ассоциативности является главным результатом диссертации.
Глава 2 посвящена изучению струнного умножения.
В параграфе 2.1 приведены необходимые сведения о группе 51/(2, Ж). Рассматриваются представления из главной дискретной серии Вводятся два базиса: дискретный, диагонализирующий оператор Lq, m,s)(z) = N$zm, где N<# = и непрерывный, диагонализирующий оператор К\ я, s)(z) = [Д,(к)]1/2 (cosh w)2s eiKW, (10) где z = г tanh w и
AW = ^r(s + f)r(s-f). (ii)
Вычислена матрица перехода между двумя базисами.
В параграфе 2.2 вводится понятие TV-струнного склеивающего вертекса (1.25). Из-за того что мы рассматриваем свободную теорию в балке,
Г(т + 2s) Г (т +1) i/z
9) a4s)| = i.jv<0|exp
JV-струнный вертекс может быть записан как квадратичная экспонента Ё ib(M's?NC)mn n,m=О I,J= 1
Здесь i.jv(0| является тензорным произведением SL(2, М)-инвариантных вакуумов пространства Фока, ай^ операторы уничтожения действующие в /-том пространстве Фока, Спт = (—1 )nSnm оператор твиста, а М/)дГ) пт обозначают Неймановские матрицы определяющие склеивающий вертекс. Неймановские матрицы являются (анти) симметричными (-1 )2'МЬс)„т и удовлетворяют свойству цикличности М/дг = Ml+Nl'J+\
Производящая функция для Неймановской матрицы (М^)ПТП задается следующим выражением h'^Ylh'ji-z')]8 §и Г (2s)
12) h^-hji-z')]23 (z + z')2sy где отображения {hj} были определены в (1.24).
Далее производиться диагонализация матриц Неймана. Собственные значения равны
II (к\ r+TTKN/4Bs,N{K) +пк/2
PsM") -е Аз(к) е '
W = (-1)^-* {N-2I+2J) ^^ (/ > J), где
B3,n{K) А3(к)
2' N
2s—1 + r(s + f)r(s-f) '
13а) (13b) (13с)
Для 2s = integer, произведения Г-функций выражается через гиперболические функции. Таким образом в частных случаях выражение сильно упрощается. Удобно ввести обозначение х=—. (15)
Для s = 1 или s = 0 формулы (2.47) принимают вид sinh(N - 2)х sinh Nx ' '
AifirW = e+x(N+2i-2J) j < j (16a) sinh Nx g—x (N—2I+2J) Smb- j > j sinh Nx' и для s = \ sinh(iV-2)x cosh Nx ' ' h[jn{k) = +e+-(iv+2/-2j) / < J; (16b) coshiVx e-T (N—2I+2J) cosh 2x j > j cosh Nx'
Для s = 1 N = 3, (2.52a) в точности совпадает с результатом Rastelli и др. Выражение для s = 5, в (2.52b) совпадает с результатом 2
М. Marino и Schiappa.
В параграфе 2.3 рассматриваются склеивающие вертексы с добавлением нулевых мод. Основной результат состоит в том, что нулевые моды можно добавить действуя оператором exp[ip/1Xp,(M)]. Однако этот оператор является сингулярным, и поэтому его необходимо регуляризовать. Математически правильное утверждение имеет следующий вид
40>1{М) = Urn^'l M^V + --- + Р»). г 7-М где оператор Up определен ехрJ <*«&(«) [а+(к;) + а""(/с)] (17)
Здесь £3(к) = 8&а.(к)у/Аа(к).
В параграфе 2.4 аналогичным образом рассмотрен рассматривается вертекс для бозонизованных духов. Результат очень похож на результат предыдущего параграфа, однако оператор U имеет вид
U) is) jo,Q а выражение для J |а+(я) +а (к) vbl\W}) = Hme^' (V<&\U$Q <g> • • • О 6q>+.+q»+Qfi, где logy
N N-2 N log 2
2 2N ' 2
В параграфе 2.5 объединены результаты параграфов и приведен полный TV-струнный вертекс для полей матрии+духи. TV-струнный склеивающий вертекс в теории критической бозонной струны имеет вид qI(-V - Q'P1}) = Zn 1.лг(0|<V+.^+Q,O*(26V + • •• +PN) x ехр
4 E i,J=i
I,J=1 J-°°
•, N -oo Лса;«(/с)^(«)(С7а^)(/с) , (18)
Z г т— 1 «/-00 где ц = — 1,.,D— 1, ц — —1 соответствует бозонизованным духам, а (1 = 0,., D—1 соответствует духам материи; метрика гfv — diag(—е, —1,1, вектор jotfl = (q, —i\f2a'p). Множитель Z^ — это стат. сумма рассматриваемой конформной теории поля на склеивающей поверхности Этот множитель будет определен в следующей главе из требования ассоциативности (формула (4.21)).
В главе 3 доказывается ассоциативность струнного умножения.
В параграфе 3.1 вычисляется регуляризованная спектральная плотность, которая позволят вычислять следы и детерминанты матриц Неймана. ч 1 l°g2 Id,.,. . .
Регуляризация вводиться путем изменения скалярного произведения в гильбертовом пространстве 7is заменой s —> s + А
7Г/4 ' —тг/4
Г ОО Л7Г/4
Ш)з = -,4 du dv
7lT(2s - 1) 700 Jn/4 x |coshw;|-4s[cos(2v)]2s 2g{z{w)) f(z(w)), (20) где z = i tanh w.
В параграфе 3.2 путем явного вычисления проверяется выполнение соотношений спуска 7
I.JV(V)V| = I.N,N+i(VN+I\VI)N+I, (21) где (V/v| — это объединенный материя-}-духи склеивающий TV-струнный вертекс. Показано, что для того чтобы (3.12) было верно, необходимо и достаточно нормировать вертексы следующим образом
VN\ = ZN(VN\ for N^l. (22)
Здесь функция Z^ определена как log ZN = log у + у [d0(N) - Do(2)], (23)
Функция Zm имеет естественную интерпретацию стат. суммы граничной конформной теории поля на склеивающей поверхности Ед/-. В силу того, что центральный заряд рассматриваемой теории равен 0, Zц совпадает с ^-функцией введенной Afleck и Ludwig.
Параграф 3.3 посвящен доказательству отсутствия аномалии в ассоциативности A. Strominger и др. Основное утверждение заключается в том, что аномалия в ассоциативности зависит от выбора регуляризации. В частности, в параграфе 3.1 построена регуляризация, в которой отсутствует аномалия в ассоциативности.
Глава 4. посвящена изучению некоторых свойств струнной алгебры.
В параграфе 4.1 вводиться понятие состояния-поверхности. Это такие состояния (Е| в пространстве состояний, что
Е|0(*)|О> = ((0(z))h. (25)
Здесь правая часть обозначает среднее от оператора O(z) на поверхности Е. В связи с тем, что оператор O(z) является произвольным, надо быть очень аккуратным с выбором системы координат.
В параграфах 4.2. и 4.3 проверяется алгебра состояний-поверхностей iV-клинов:
Лаг, 0| * ((hM, 0| = «hN+M-i, 0|. (26) и hN, 3|hM, 0)) = ZN+M-2. (27)
Опять таки для выполнения этих соотношений соответствующие состояния необходимо нормировать умножением на Z^.
В Заключении перечисляются основные результаты диссертации. В Приложении приведены свойства полиномов V^(ac) определенных в параграфе 1 Главы 2.
Заключение
В заключение еще раз перечислим основные результаты, выдвигаемые на защиту.
1. Найден спектр всех iV-струнных матриц Неймана (для бозонов с ненулевым импульсом, бозонизованных духов, NS фермионов), появляющихся в струнной теории поля. [До этого был известен спектр Зх струнных матриц Неймана для бозонов с нулевым импульсом и фермионов.]
2. Предложена "размерная" регуляризация для струнной теории поля. Вычислена регуляризованная плотность состояний (результат записан в форме, не зависящей от регуляризации). С помощью этой плотности можно вычислять детерминанты операторов, появляющиеся в струнной теории поля.
3. Путем явного вычисления доказана ассоциативность струнного умножения. Вычислен важный нормировочный множитель iV-струнного вертекса (^-функция). Доказано отсутствие аномалии в ассоциативности. Доказаны соотношения между состояниями, представляющими поверхности с избытком угла тг(N — 2) (N-клин).
Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:
1. Д. Белов, О струнном произведении в Виттеновской струнной теории поля, Труды МИАН, т. 245 (2004) стр. 65-71.
2. D. Belov, A. Konechny, "On spectral density of Neumann matrices", Physics Letters B558 (2003) pp. 111-118.
3. D. Belov, C. Lovelace, "Witten's Vertex Made Simple", Physical Review D68 (2003) 066003, pp. 1-19.
4. D. Belov, "Witten's Ghost Vertex Made Simple (be and bosonized ghosts)", Physical Review D69 (2004) 126001, pp. 1-12.
5. D. Belov, A. Konechny, "On Continuous Moyal Product Structure in String Field Theory", Journal of High Energy Physics 0210 (2002) 049, pp. 1-23.
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на семинаре по теории поля Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, на семинаре теоретической группы физики высоких энергий в MIT, Cambridge, USA, а также на школе в Les Houches, France.
Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы.
Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя И. Я. Арефьеву за постоянное внимание и поддержку во время моего обучения и написания работы, А. Гирявца, А. Кошелева, А.О. Рычкова за плодотворные обсуждения и ценные комментарии, а также А. Конечного и С. Lovelace за плодотворное сотрудничество.
1. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, 4-е изд., Наука, 1981;
2. М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн, в 2-х томах, Мир, 1990;
3. J. Polchinski, String Theory, Cambridge University Press 1998.
4. E. Witten, "Comments on string theory," arXiv:hep-th/0212247.
5. P. Baum and R.G. Douglas, "K Homology and Index Theory," Proc. Symp. Pure Math. 38(1982), 117
6. G. W. Moore, "K-theory from a physical perspective," 2003, hep-th/0304018.
7. A. Sen and B. Zwiebach, 'Tachyon condensation in string field theory," JHEP 0003, 002 (2000);
8. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, Star Algebra Projectors, JHEP 0204 (2002) 060;
9. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, String Field Theory Around the Tachyon Vacuum, Adv.Theor.Math.Phys. 5 (2002) 353-392;
10. D. Gaiotto, L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, Ghost Structure and Closed Strings in Vacuum String Field Theory, hep-th/0111129.
11. D.M. Belov and C. Lovelace, "Witten's Vertex Made Simple", hep-th/0304158.
12. E. Witten, "Noncommutative Geometry and String Field Theory," Nucl. Phys. В 268, 253 (1986).
13. I.Ya.Aref'eva, P.B.Medvedev and A.PZubarev, Nonperturbative vacuum for superstring field theory and supersymmetry breaking,Mod.Phys.Lett. A6, pp.949-958 (1991)
14. A. Aref'eva, P.B. Medvedev and A.P. Zubarev, Background formalism for superstring field theory, Phys.Lett. B240, pp.356-362 (1990)
15. C. R. Preitschopf, С. B. Thorn and S. A. Yost, "Superstring Field Theory," Nucl. Phys. В 337, 363 (1990).
16. A. Sen, Stable поп BPS bound states of bps d-branes, JHEP 08, 010 (1998), hep-th/9805019
17. A. Sen, SO(32) spinors of type i and other solitons on brane anti-brane pair, JHEP 09, 023 (1998), hep-th/9808141
18. I. Y. Aref'eva, A. S. Koshelev, D. M. Belov and P. B. Medvedev, "Tachyon condensation in cubic superstring field theory," Nucl. Phys. В 638, 3 (2002).
19. A. Sen, "Rolling tachyon," JHEP 0204, 048 (2002) arXiv:hep-th/0203211].
20. D. М. Belov, "Witten's ghost vertex made simple (be and bosonized ghosts)," Phys. Rev. D 69, 126001 (2004).
21. A. M. Polyakov, "Quantum geometry of bosonic strings," Phys. Lett., vol. B103, pp. 207-210, 1981.
22. C. Lovelace, "Strings in curved space," Phys. Lett., vol. B135, p. 75, 1984.
23. E. Witten, "Overview of k-theory applied to strings," Int. J. Mod. Phys., vol. A16, pp. 693-706, 2001, hep-th/0007175.
24. D. Freedman, S. Giddings, J. Shapiro and C. Thorn, "The Nonplanar One Loop Amplitude in Witten's String Field Theory", Nucl. Phys. B298 (1988) 253.
25. D. Gross, A. Jevicki, Operator Formulation of Interacting String Field Theory (I), (II) and (III), Nucl.Phys. B283 (1987) 1, Nucl.Phys. B287 (1987) 225, Nucl.Phys. B293 (1987) 29;
26. E. Cremmer, A. Schwimmer and С. B. Thorn, The Vertex Function in Witten's Formulation of String Field Theory, Phys. Lett. В179, 57 (1986);
27. S. Samuel, The Physical and Ghost Vertices in Witten's String Field Theory, Phys. Lett. B181, 255 (1986).
28. N. Ohta, Covariant Interacting String Field Theory in the Fock-Space Representation, Phys. Rev. D34 (1986) 3785 3793; D35 (1987) 2627 (E).
29. V. Bargmann, Ann. Math. 48 (1947) 568.
30. I. Gelfand, M. Graev and N. Vilenkin, Generalized functions, Academic Press, 1966, Vol. 5, Ch. 7.
31. W. Rtihl, The Lorentz Group and Harmonic Analysis, Benjamin (1970), Ch. 5.
32. A. LeClair, M. Peskin and C. Preitschopf, String Field Theory on the Conformal Plane (I). Kinematical Principles, Nucl. Phys. B317 (1989) 411-463;
33. String Field Theory on the Conformal Plane (II). Generalized Gluing, Nucl. Phys. B317 (1989) 464.
34. J.L. Manes, Nucl. Phys. B303 (1988) 305-328
35. R. Potting and C. Taylor, Nucl. Phys. B316 (1989) 59-79
36. M. Marino and R. Schiappa, Towards Vacuum Superstring Field Theory: The Supersliver, J.Math.Phys. 44 (2003) 156-187; hep-th/0112231.
37. I.Ya. Arefeva and A. Giryavets, Open Superstring Star as a Continuous Moyal Product, hep-th/0204239; JHEP 0212 (2002) 074.
38. D. Belov, Diagonal Representation of Open String Star and Moyal Product, hep-th/0204164;
39. B. Feng, Y. He and N. Moeller, The Spectrum of the Neumann Matrix with Zero Modes, hep-th/0202176; JHEP 0204 (2002) 038.
40. T.G. Erler, Moyal Formulation of Witten's Star Product in the Fermionic Ghost Sector, hep-th/0205107.
41. К. Okuyama, Ghost Kinetic Operator of Vacuum String Field Theory, hep-th/0201015; JHEP 0201 (2002) 027.
42. S. Fubini and G. Veneziano, Duality in Operator Formalism, Nuovo Cim. A67 (1970) 29.
43. D. M. Belov and A. Konechny, "On continuous Moyal product structure in string field theory," JHEP 0210, 049 (2002); hep-th/0207174.
44. I. Bars, Map of Witten's * to Moyal's *, Phys.Lett. B517 (2001) 436444, hep-th/0106157; I. Bars, MSFT: Moyal Star Formulation of String Field Theory, hep-th/0211238;
45. Bars, Yutaka Matsuo, Computing in String Field Theory Using the Moyal Star Product, Phys.Rev. D66 (2002) 066003; hep-th/0204260.
46. M.R. Douglas, H. Liu, G. Moore and B. Zwiebach, Open String Star as a Continuous Moyal Product, JHEP 0204 (2002) 022; hep-th/0202087.
47. K. Okuyama, Siegel Gauge in Vacuum String Field Theory, JHEP 0201:043,2002, hep-th/0111087.
48. V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, New York, M. Dekker, 1971.
49. М. Schnabl, "Wedge states in string field theory", JHEP 0301, 004 (2003), hep-th/0201095.
50. D. M. Belov and A. Konechny, "On spectral density of Neumann matrices", Phys. Lett. B558, 111 (2003).
51. E. Fuchs, M. Kroyter and A. Marcus, Virasoro Operators in the Continuous Basis of String Field Theory, JHEP 0211 (2002) 046.
52. W. Riihl, The Lorentz Group and Harmonic Analysis, (Benjamin, New York, 1970), Ch. 5.
53. L. Bonora, C. Maccaferri, D. Mamone and M. Salizzoni, "Topics in string field theory", hep-th/0304270.
54. A. Jevicki, "Construction Of Interacting String And Superstring Field Theory", Int. J. Mod. Phys. A 3, 299 (1988).
55. L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, "Boundary CFT construction of D-branes in vacuum string field theory", JHEP 0111, 045 (2001), hep-th/0105168.
56. I. Bars and Y. Matsuo, "Computing in string field theory using the Moyal star product," Phys. Rev. D 66, 066003 (2002), hep-th/0204260.
57. Bars, I. Kishimoto and Y. Matsuo, "Fermionic ghosts in Moyal string field theory," JHEP 0307, 027 (2003) arXiv:hep-th/0304005.
58. K. Furuuchi and K. Okuyama, "Comma vertex and string field algebra", JHEP 0109, 035 (2001), hep-th/0107101;
59. T. Kawano and K. Okuyama, "Open string fields as matrices", JHEP 0106, 061 (2001), hep-th/0105129.
60. A. Sen, "Descent relations among bosonic D-branes Int. J. Mod. Phys. A14, 4061 (1999) hep-th/9902105];
61. Non-BPS states and branes in string theory hep-th/9904207; "Universality of the tachyon potential JHEP 9912, 027 (1999) hep-th/9911116.
62. N. Berkovits, A. Sen and B. Zwiebach, 'Tachyon condensation in superstring field theory", Nucl. Phys. B587, 147 (2000), hep-th/0002211.
