Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

003494520

На правах рукописи

Горбачев Роман Викторович

Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 МДР 2010

003494520

Работа выполнена в отделе Теоретической физики Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

И. Я. Арефьева.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

М. А. Васильев;

кандидат физико-математических наук А. С. Кошелев.

Ведущая организация — Объединенный Институт Ядерных исследований РА

Защита состоится "15" апреля 2010 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу:

117966, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан: марта 2010г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Ю. Н. Дрожжинов.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Одним из важнейших достижений теоретической физики прошлого века является построение локальной квантовой теории ноля, которая описывает взаимодействие точечных объектов. Возникает естественный вопрос о возможности построения аналогичной теории для протяженных объектов, в частности, струн. Ответ на этот вопрос дает полевая теория струн.

Первая полевая теория струн была построена в работах Каку, Киккавы и Креммера, Жерве в калибровке светового конуса. Особенностью этой теории было то, что предполагалась, что струны взаимодействуют своими концами. Вычисления проведенные в этой теории показали, что она правильно воспроизводит амплитуду Венециано. Вскоре Грином и Шварцем была построена полевая теория суперструны также в калибровке светового конуса. Важным результатом, полученным с помощью струнной теории поля в калибровке светового конуса, было наблюдение Грина и Шварца о том, что для калибровочной группы БО(32) происходит сокращение аномалий. После работы Грина и Шварца было сделано много попыток построить свободное ковариантное действие для струнной теории поля. Зигель в 1985 году, основываясь на БРСТ формализме, предложенном в 1983 году Като и Огава для первично квантованной струны, предложил полевую теорию бозон-ной струны в фиксированной калибровке. В 1986 году Хата, Ито, Куго, Кунитомо и Огава построили БРСТ инвариантную полевую теорию взаимодействующих струн в фиксированной калибровке. Особенность этой теории состояла в том, что в ней появлялся дополнительный параметр - длина струны, это связано с тем, что струны склеиваются концами. Основываясь на этой работе в том же году Арефьевой и Воловичем была предложена калибровочно-инвариантная теория открытой бо-

зонной струны с взаимодействием.

Следующим этапом (1986 год) в развитии полевой теории струн стала работа Виттена, в которой была предложена калибровочно-инвариантная полевая теория взаимодействующих открытых бозонных струн. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается "топологическим действием" типа действия Черна-Саймонса на некоторой бесконечно-мерной ассоциативной, некоммутативной алгебре. В отличии от всех предыдущих попыток построения бозонной теории струн, теория предложенная Виттеном не содержала дополнительного параметра - длины струны, так как все струны до взаимодействия и после имели одинаковую длину. Это достигалось с помощью того, что струны взаимодействуют не концами, а целыми своими половинами. Действие Виттена воспроизводило амплитуду Венециа-но. Дальнейшие попытки обобщения этого действия на случай суперструны приводили к трудностям, в частности не воспроизводились амплитуды рассеяния уже на древесном уровне. Эти трудности были преодолены в 1987 году И. Я. Арефьевой, А. П. Зубаревым, П. Б. Медведевым и независимо С. Преит-шопфом, Ч. Торном, С. Иостом. Ими было предложено кубическое действие полевой теории суперструн, которое в отличии от виттеновской теории суперструн использовало 0-картину (детали см. в Главе 2). Предложенная модифицированная теория не имела расходимостей на древесном уровне и воспроизводила суперсимметричное обобщение амплитуды Венециано. В 1995 году Н. Веркович предложил неполиномиальное действие для полевой теории супеструн. В 1999 году в работе Н. Берковича, А. Сена и Б. Цвибаха неполиномиальное действие Берковича для суперструны было обобщено на случай фермионной струны, которая в отличии от суперструны, содержащей только ГСО(+) сектор, содержит ГСО(+) и ГСО(-) сектора. Вскоре после этого в 2000 году И. Я. Аре-

фьевой, Д. В. Беловым, А. С. Кошелевым и П. Б. Медведевым было предложено кубическое действие для полевой теории фермионной струны, содержащей также оба сектора.

Известно, что различные теории струн связаны между собой преобразованиями дуальности. Как было показано в работе Дж. Полчинского, существование дуалыюстей с необходимостью влечет введение в теорию струн Ир-бран— непертурба-тивных динамических объектов. Если рассмотреть струну, на р + 1 координаты концов которой наложены граничные условия Неймана, а на остальные координаты концов - граничные условия Дирихле, то Бр-брана будет той самой (р + 1)-мерной гиперповерхностью, на которой живут открытые концы струны. Буква И отражает тот факт, что накладываются граничные условия Дирихле, а р-брана есть обобщение понятия мембрана на р + 1 измерение. В случае р = 0 это будет частица. Далее вместо термина Др-брана будет просто использовано брана. Изучение динамики £>-бран является необходимым для понимания непертурбативных свойств теории струн. Напомним, что основные усилия последних 15 лет в теории струн были связано с изучением ее непертурбативных аспектов.

Открытая бозонная струна имеет в своем спектре тахион — частицу с отрицательным квадратом массы, что приводит к нестабильности пертурбативного вакуума. В. А. Костелец-ки и С. Самуэль предложили использовать полевую теорию струн для описания возникновения непертурбативного вакуума и конденсации талиона. В своих вычислениях они использовали метод обрезания по уровням, то есть в вычислениях участвовали только поля с массой не более какого-то заданного значения М. Было показано уже на низших массовых уровнях, что последовательное обрезание при все больших и больших значениях М дает систематическую аппроксимацию для эффективного потенциала тахиона. Более того, в такой

схеме вычислений оказалось, что эффективный потенциал тахиона в бозонной струне имеет нетривиальный минимум.

В 1999 А. Сен предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной .О-браны, к которой прикреплены концы струны. Более того, он предположил, что вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбатив-ном вакууме, должна компенсировать натяжение нестабильной £>-браны (более конкретно, разность энергий в непертур-бативном и пертурбативном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной 1)-браны). Эта гипотеза стимулировала интерес к изучению полевой теории струн, поскольку полевая теория струн в принципе допускает проверку гипотезы Сена. Эта гипотеза была также сформулирована и для ферми-онной струнной теории поля. Нестабильные конфигурации Б-бран, которые полностью нарушают суперсимметрию, а именно не-БПС 1)-брану или пару £)-брана-анти-£-брана, как известно, можно описывать с помощью фермионных струн, причем надо учитывать поля как из ГСО(+), так и из ГСО(—) сектора. Наличие ГСО(—) сектора означает, что в спектре присутствует тахион, и мы снова можем поставить вопрос о нетривиальном минимуме тахионного потенциала и о распаде нестабильных конфигураций £М5ран.

В бозонной полевой теории струн равенство величины натяжения нестабильной браны и значение потенциала тахиона в минимуме проверялось на низших уровнях. Позднее было показано, что значение тахионного потенциала в непертурбатив-ном минимуме компенсирует 100% натяжения нестабильной бозонной Д-браны. Такие же вычисления были произведены и в случае фермионной струны, оказалось, что значение тахионного потенциала в непертурбативном минимуме компенсирует почти 100% натяжения нестабильной 1)-браны уже на первых трех уровнях.

Кроме численных вычислений, в струнной теории поля по-

стоянно делались попытки найти аналитическое решение соответствующих уравнений движения. Основная трудность состояла в том, что струнное умножение простейших струнных функционалов приводило к функционалам, содержащим бесконечное число струнных возбуждений. В 1988 году Д. Гросс и А. Жевицкий предложили, осцилляторный подход к описанию струнного умножения. Были и другие попытки описания струнного умножения, был предложен подход, основанный на использовании /с-базиса, который развивался в работах Б. Цвибаха, Д. Белова, С. Ловласа и др. Так же были предложения интерпретировать струнное умножение как мояловское произведение, этот подход развивался в работах Т. Эрлера, И. Барса и др. Значительный прогресс в описании струнного произведения был достигнут 2000-х годах в работах Д. Гросса, В. Тейлора и др., в которых был предложен так называемый полу-струнный формализм.

Первое аналитическое решение уравнения движения полевой теории бозонной струны было найдено М. Шнаблом в 2005 году. Шнабл предложил искать решение в виде линейной комбинации так называемых веджевских состояний, отличительной особенность этих состояний является то, что они легко перемножаются относительно струнного умножения. Оказалось, что решение Шнабла описывает тахионный вакуум, т.е. на этом решении выполняются гипотезы Сена.

Вскоре после нахождения аналитического решения, описывающего тахионный вакуум, были найдены решения описывающие маргинальные деформации в бозонной полевой теории струн. Так же были попытки построить решения зависящие от времени, то есть решения описывающие конденсацию тахиона из пертурбативного вакуума в непертурбативный вакуум.

В 2007 году появилась работа Т. Эрлера в которой было найдено аналитическое решение уравнения движения кубической полевой теории суперструны. Оказалось, что получен-

ное решения удовлетворяет гипотезам А. Сена, что является странным, поскольку суперструна содержит только поле из ГСО(+) сектора и не содержит тахиона, которые находится в ГСО(—) секторе.

В главе 4 настоящей диссертации найдено аналитическое решение уравнений движения кубической полевой теории фер-мионной струны, содержащий ГСО(+) и ГСО(—) сектора. Для этого решения была проверена первая гипотеза Сена.

В 2008 году М. Кройтер и Е. Фукс показали, что неполиномиальная теория эквивалентна кубической полевой теории суперструны на классическом уровне.

В главе 5 настоящей диссертации доказана эквивалентность неполиномоальной теории и кубической полевой теории фер-мионной струны.

В 2009 году Т. Эрлер и М. Шнабл предложили новое решение уравнения движения полевой теории бозонной струны. Это решение отличается от найденного ранее решения Шна-бла тем, что оно не содержит так называемых "фантомных" слагаемых и не требует регуляризации.

В главе 6 настоящей диссертации предложено решение обобщающее решение Эрлера-Шнабла на случай суперструны. Показано, что это новое решение удовлетворяет гипотезам Сена и, следовательно, описывают непертурбативный вакуум теории.

Цель работы: Построение решения уравнений движения кубической полевой теории фермионной струны, исследование свойств полученного решения; доказательство эквивалентности неполиномиальной полевой теории фермионной струны и кубической полевой теории фермионной струны; построение решения уравнения движения полевой теории суперструны не требующее регуляризации; проверка гипотез А. Сена для полученного решения.

Основные результаты:

1. Аналитически построено решение уравнения движения полевой теории фермионной струны.

2. Доказана эквивалентность кубической полевой теории фермионной струны и неполиномиальной полевой теории фермионной струны.

3. Построено аналитическое решение уравнения движения суперструны. Это решение отличается от решения полученного ранее тем, что оно не содержит "фантомных" слагаемых и не требует регуляризации. Показано, что это новое решение удовлетворяет двум гипотезам Сена.

Методы исследования. В диссертации используются методы двумерной конформной теории теории поля, методы теории перенормировок.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые найдено аналитическое решение уравнений движения кубической полевой теории фермионной струны, проведена регуляризация полученных решений и показано, что они описывают тахионный вакуум фермионной струны; впервые доказана эквивалентность кубической и неполиномиальной теории фермионной струны; впервые получено аналитическое решение уравнения движения суперструны не содержащее "фантомных" слагаемых и не требующее регуляризации.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертационная работа носит теоретический характер. Наличие в спектре фермионной струны тахиона говорит о неустойчивости пертурбативного вакуума. Нахождение решения, описывающего тахионный вакуум фермионной струны, является хорошим основанием для поиска решений зависящих от времени и описывающих скатывания тахиона. Результаты диссертации могут быть использованы в работах, проводимых в МИАН, ФИАН, ЛТФ ОИЯИ, ИТЭФ, на физическом факуль-

тете МГУ.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стек-лова РАН, отделения теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, а также на следующих научных конференциях: "Международная конференция по математической физике и ее приложениям" Самара, 8-13 Сентября 2008, Вторая международная конференция "Струнная теория поля и смежные вопросы" Москве, 12-19 Апреля 2009, VIII International Workshop "Supersymmetries and Quantum Symmetries" Дубна, 29 Июля - 3 Августа 2009.

Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 107 страницы.

Содержание работы

Во введении формулируются мотивации и цели исследования, а также описывается структура диссертационной работы.

Глава 1 посвящена описанию основных понятий теории суперструн.

В параграфе 1 вводятся необходимые понятия и обозначения из теории струн, которые впоследствии будут использоваться при построении решений.

Параграф 2 посвящен детальному изучению струнного умножения на полубесконечном цилиндре.

В параграфе 3 и 4 вводятся определения Б-бран и формулируются гипотезы А. Сена.

Глава 2 посвящена нахождению решения уравнений движения модифицированной кубической полевой теории ферми-онной струны.

В параграфе 1 приводится формулировка модифицированной кубической фермионной полевой теории, вводятся матричные обозначения, позволяющие записать уравнения движения в виде, который формально совпадает с видом уравнения движения полевой теории суперструны. Вводится матричное струнной поле

Ф = Ф+ ® С73 + Ф_ ® г<72, (1)

Ф± - струнные поля из ГСО(±) секторов, сг{ - матрицы Паули. В этих обозначениях действие модифицированной кубической полевой теории фермионной струны примет следующий простой вид

Ф,дФ> + ^<у_2Ф,Ф*Ф)

(2)

где 0 = <Э ® <тз - матричный БРСТ оператор и У_2 = У-2 ® сз - матричный оператор смены картины. Уравнения движения в матричных обозначениях принимают вид

+ Ф * ф = 0. (3)

В параграфе 2 строиться решение уравнения движения (3) в виде "чистой калибровки"

Ф = = (4)

где - матричное калибровочное поле, которое в компонентах имеет вид

П = (5)

где и О,- калибровочные поля принадлежащие ГСО(±) секторам.

В параграфе 3 строится формальное решение матричного уравнения движения методом теории возмущений

00

Ф(А) = V А"+1<Э?* фп = ХОф-(6)

п=о 1 - ХФ

где

ф = ф+®1 + ф_®а1} (7)

калибровочное поле, ф+ и ф_ называются начальными данными.

В главе 3, используя полуструнный формализм, вводятся пять струнных полей с, 7,72, В, К, и показано, что они образуют замкнутую алгебру относительно действия БРСТ оператора

ЯВ = К, С}К = 0, (¿с = сКс - 72,

<27 = сКч - ^7Кс - сК, (8)

Q12 = СК72 - 72Кс и удовлетворяют следующим алгебраическим соотношениям: {В,с} = 1, [К,В] = О, В2 = с2 — О, [ВЛ] = 0, [с, 7] = 0. и

Также в этой главе введены веджевские состояния О" = епК.

В главе 4 рассматривается частный случай решения полученного в Главе 2. Выбираются начальные данные ф± в виде ф+ — РВсЕ, = РВ'уР и соответствующий формальный ряд (6) имеет вид (+ и — компоненты)

оо

Ф+(Л) = £А"+1С

(10)

71=0

здесь для удобства введены следующие обозначения Со = РсКВсР + РВу2Р,

1 1 (П)

Со = РсКВ^Р + -РВ^КсР + -РВ^сКР,

где

2 2

С = Фп + Х'п, « > о, С = К + п> о,

ф'п = РсПпКВсР, п > О,

Хп = Р^^'КВ'уР, п> О,

^ = F7Qn^s:BcF, гг > О,

т?; = РсПпКВ-/Р, п> 0.

(12)

(13)

При начальном условии ф+ — РВсР, ф- — О ряд по параметру Л при Л = 1 не удовлетворяет уравнению движения даже в слабом смысле, т.к.

(14)

здесь Ф+(1) = Аналогичное утверждение имеет

ме-

сто и для Ф? = £п=0 С и Ф^ = Е:=о С следующие слагаемые

К регуляризованной конфигурации Ф^, Ф^ добавляются

(15)

так, что уравнения движения выполняются в слабом смысле

аи +ф+ * ф+ - ф_ * ф_)» = о,

<(£п,(дф- + Ф+*Ф_-Ф-*Ф+))) = о. 1 ; и

Оказывается, что на полученной таким образом конфигурации выполняется

Ф+,Ф_] = ^, (17)

что подтверждает первую гипотезу Сена. Дополнительные слагаемые вида + называются "фантомными" слагаемыми.

Главе 5 посвящена доказательству эквивалентности неполиномиальной и модифицированной кубической теории фер-мионных полевых теорий струн на классическом уровне.

Пусть Л - множество матричных решений уравнения движения <3Ф + Ф * Ф = 0, лежащих в "малой алгебре", и В -множество решений уравнения движения неполиномиальной фермионной теории поля ^(С^С^С!) = 0, лежащих в большой алгебре. Определим отображение д переводящее В на Л

д : С - Ф = д(С) = С'^С. (18)

Определим теперь отображение Н из Л в В следующим образом

К : Ф ^ б = Л(Ф) = ер5, (19)

здесь Р = Р ® о"3) гДе -Р является нильпотентным оператором относительно звездочного произведения *:

(РФ1)*(РФ2) = 0, (20)

кроме того, его антикоммутатор с БРСТ оператором <5 равен единице

{<3,Р(*)} = 1. (21)

Учитывая нильпотентность оператора Р мы имеем

е™ = 1 + РФ, (22)

здесь 1 есть единичное состояние X® I относительно звездоч-ного произведения *.

Показано, что д о Л = Ы и д(В) = Д, т.е. произвольное классическое решение в модифицированной кубической теории в малой алгебре может быть представлено в виде чистой калибровки1, так же показано, что (/г. о д){(3) принадлежит

калибровочной орбите О^ = {С : = первоначаль-

НОГО поля О.

В Главе б строится новое решение уравнения движения кубической полевой теории суперструны

<2Ф + Ф*Ф = 0. (23)

Это решение, имеет вид

Ф = (-с - В72 + сКВс)-—. (24)

1 — л

Это решение не требует регуляризации и не содержит "фантомных слагаемых". Для полученного решения вычислено значение действия 5[Ф] и получилось

ЭД = (25)

Показано, что существует оператор гомотопии

1 Г00 А = -В--- = ~В (26)

1 J о

такой, что С^фА = 1, где (2$ вакуумный кинетический оператор (5ф- = <3 • +[Ф,-], из чего следует, что полученное решение описывает непертурбативный вакуум теории. Кроме того, построено калибровочное преобразование переводящее новое решение в решение Эрлера

Ф'=и-\Ф + (2)и, (27)

1 Напомним, что в "большой алгебре" когомологии БРСТ заряда тривиальны.

где

U = l-fBcg + Mf'Bcg', U~l = 1- f'Bcg' + M~lfBcg,

и f = e*,g' = e",f = 1 ,g =

1-Я"

l

Функция M определена следующим образом

(29)

Так же показано, что новое решение удовлетворяет новой калибровке типа Эрлера-Шнабла

В заключении перечисляются основные результаты диссертации. В приложении приведены корреляторы, используемые в параграфе 2 Главы 4.

Публикации автора по теме диссертации

[1] И. Я. Арефьева, Р. В. Горбачев, П. Б. Медведев, "Тахионное решение в кубической полевой теории струны Невё-Шварца," ТМФ, т. 158 (2009) 3, стр. 378-390;

[2] И. Я. Арефьева, Р. В. Горбачев, П. Б. Медведев, "Вакуумные решения в полевой теории Невё-Шварца фермионной струны и представление нулевой кривизны в градуированных пространствах," ТМФ, т. 159 (2009) 1, стр. 131-141;

[3] I. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev and P. B. Medvedev, "Pure gauge configurations and solutions to fermionic superstring field theory equations of motions," Journal of Physics A 42 (2009) 030, pp. 1-11;

B^m - =

(30)

[4] I, Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev, D. A. Grigoryev, P. N. Khromov, M. V. Maltsev and P. B. Medvedev, "Pure Gauge Configurations and Tachyon Solutions to String Field Theories Equations of Motion," JHEP 05 (2009) 050, pp. 1-26;

[5] P. В. Горбачев, "Новое решение уравнения движения суперструны," ТМФ, т. 162 (2010) 1, стр. 90-94.

Введение

1 Вспомогательные понятия для построения полевой теории струн и гипотезы Сена

1.1 Первично квантованые струны.

1.2 Струнное умножение.

1.3 В - браны.

1.4 Гипотезы Сена.

2 Формулировка полевой теории ферминной струны

2.1 Полевая теория фермионой струны

2.2 Решение уравнения движения типа "чистая" калибровка

2.3 Пертурбативное решение матричного уравнения движения

3 Полуструнный формализм

4 Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны

4.1 Тахионное решение.

4.2 Регуляризация тахионного решения.

5 Эквивалентность неполиномиальной и кубической полевых теорий

6 Решение уравнения движения полевой теории суперструны

6.1 Решение без фантомных слагаемых

6.2 Проверка 1-й и 3-й гипотезы Сена.

6.3 Чисто калибровочные решения и фантомные слагаемые

6.4 Эквивалентность решений с фантомными слагаемыми и без них.

Одним из важнейших достижений теоретической физики прошлого века является построение локальной квантовой теории поля [1], которая описывает взаимодействие точечных объектов. Возникает естественный вопрос о возможности построения аналогичной теории для протяженных объектов, в частности, струн [2, 3]. Ответ на этот вопрос дает полевая теория струн.

Первая полевая теория струн была предложена в работах Каку, Кик-кавы и Креммера, Жерве, в которых они сформулировали полевую теорию струн в калибровке светового конуса [4, 5]. Особенностью этой теории было то, что предполагалась, что струны взаимодействуют своими концами. Вычисления проведенные в этой теории показали, что она правильно воспроизводит амплитуду Венециано [6]. Вскоре Грином и Шварцем была построена полевая теория суперструны также в калибровке светового конуса [7]. Важным результатом, полученным с помощью струнной теории поля в калибровке светового конуса, было наблюдение Грина и Шварца о том, что для калибровочной группы 50(32) происходит сокращение аномалий. После работы Грина и Шварца было сделано много попыток построить свободное ковариантное действие для струнной теории поля. Зигель [8] в 1985 году, основываясь на БРСТ формализме, предложенным в 1983 году Като и Огава [9] для первично квантованной струны, предложил полевую теорию бозонной струны в фиксированной калибровке. В 1986 году Хата, Ито, Куго, Кунитомо и Огава [10] построили БРСТ инвариантную полевую теорию взаимодействующих струн в фиксированной калибровке. Особенность этой теории состояла в том, что в ней появлялся дополнительный параметр - длина струны, это происходило от того, что предполагалось, что струны склеиваются концами. В том же году Арефьевой и Воловичем [11] на основании [10] была предложена калибровочно-инвариантная теория открытой бозонной струны с взаимодействием.

Следующим этапом (1986 год) в развитии полевой теории струн стала работа Виттена [12], в которой была предложена калибровочно-инвариантная полевая теория взаимодействующих открытых бозонных струн. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается "топологическим действием" типа действия Черна-Саймонса на некоторой бесконечно-мерной ассоциативной, некоммутативной алгебре. В отличии от всех предыдущих попыток построения бозонной теории струн, теория предложенная Виттеном не содержала дополнительного параметра - длины струны, так как все струны до взаимодействия и после имели одинаковую длину. Это достигалось с помощью того, что струны взаимодействуют не концами, а целыми своими половинами. Действие Виттена правильно воспроизводило амплитуду Венециано. Дальнейшие попытки обобщения этого действия на случай суперструны [13] приводили к трудностям, в частности не воспроизводились амплитуды рассеяния уже на древесном уровне [14]. Эти трудности были преодолены в 1987 году И. Я. Арефьевой, А. П. Зубаревым, П. Б. Медведевым [15] и независимо С. Преитшопфом, Ч. Торном, С. Йостом [16]. В [15, 16] было предложено кубическое действие полевой теории суперструн, которое в отличии от [13] использовало 0-картину (детали см. в Главе 2). Предложенная модифицированная теория не имела расходимостей на древесном уровне и воспроизводила суперсимметричное обобщение амплитуды Венециано [15, 16]. В 1995 году Н. Беркович [17] предложил неполино-миальпое действие для полевой теории супеструн. В 1999 году в работе Н. Берковича, А. Сена и Б. Цвибаха [18] неполиномиальпое действие Бер-ковича для суперструны было обобщено на случай фермионной струны, которая в отличии от суперструны, содержащей только ГСО(+) сектор, содержит ГСО(+) и ГСО(—) сектора [19]. Вскоре после этого в 2000 году И. Я. Арефьевой, Д. В. Беловым, А. С. Кошелевым и П. Б. Медведевым [20] было предложено кубическое действие для полевой теории фермионной струны, содержащей также оба сектора.

С момента создания полевых теорий струн были неоднократные попытки решить соответствующие уравнения движения. Различные решения классических уравнений движения полевой теории струн, по-видимому, находятся в соответствии с различными конформными граничными условиями.

Открытая бозонная струна имеет в своем спектре тахион - частицу с отрицательным квадратом массы, что приводит к нестабильности пер-турбативного вакуума. А. Костелецкий и С. Самуэль [21] в 1990 году предложили использовать полевую теорию струн для описания возникновения непертурбативного вакуума и конденсации тахиона. Поскольку в то время не было известно аналитического решения уравнения движения полевой теории бозонной струны, в своих вычислениях авторы [21] использовали метод обрезания по уровням, то есть в вычислениях участвовали только поля с массой не более какого-то заданного значения М. Уже на низших массовых уровнях было показано, что последовательное обрезание при все больших и больших значениях М дает систематическую аппроксимацию для эффективного потенциала тахиона. Более того, в такой схеме вычислений оказалось, что эффективный потенциал тахиона в бозонной струне имеет нетривиальный минимум.

В 1999 году А. Сен [22] предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной £)-браны, к которой прикреплены концы струны. Более того, он предложил, что вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбативном вакууме должна компенсировать натяжение нестабильной .О-браны (более конкретно, разность энергий в непертурбативном и пертурбативном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной 1)-браны). Подтверждением этой гипотезы являются выполненные А. Сеном, Л. Растелли и Б. Цвибахом [23] вычисления для полевой теории бозонной струны, так же основанные на методе обрезания по уровням, а также последующие работы А. Сена о скатывающемся тахионе [24].

А. Сен также распространил свои гипотезы и на случай полевой теории фермионной струны. Проверка этих гипотез для неполиномиалыюй теории была сделана в работе Н. Берковича, А. Сена и Б. Цвибаха [25], используя метод обрезания по уровням. Для кубической теории вычисления были проведены в 2000 году И. Я. Арефьевой, Д. В. Беловым, А. С. Кошелевым и П. Б Медведевым [20]. Авторы [20] использовали метод обрезания по уровням и показали справедливость гипотез Сена уже на первых трех уровнях.

Отметим, что в [26] была предложена вакуумная струнная теория поля, т.е. теория поля, которая описывала теорию в окрестности гипотетического вакуума. Решение уравнений движения в такой теории строились Д. Гроссом и В. Тейлором [27] с помощью так называемых сливеров.

Кроме численных вычислений, в струнной теории поля постоянно делались попытки найти аналитическое решение соответствующих уравнений движения. Основная трудность состояла в том, что струнное умножение простейших струнных функционалов приводило к функционалам, содержащим бесконечное число струнных возбуждений. В 1988 году Д. Гросс и А. Жевицкий предложили, осцилляторный подход к описанию струнного умножения. Были и другие попытки описания струнного умножения, был предложен подход, основанный на использовании к-базиса, который развивался в работах Б. Цвибаха, Д. Белова, С. Ловласа и др. Так же были предложения интерпретировать струнное умножение как мояловское произведение, этот подход развивался в работах Т. Эрле-ра, И. Барса и др. Значительный прогресс в описании струнного произведения был достигнут 2000-х годах в работах Д. Гросса, В. Тейлора и др., в которых был предложен так называемый полу-струнный формализм.

Новый этап в развитии струнной теории поля начался в 2005 году после работы М. Шнабла [41], в которой он построил первое аналитическое решение уравнения движения для бозонной струной теории поля. Для построения решения Шнаблом было выдвинуто две важных идеи. Первая идея состояла в том, чтобы искать решение на подпространстве веджевских состояний - струнных полей специального вида [42, 48]. Ве-джевские состояния 0,а характеризуются тем, что они образую коммутативную подалгебру в алгебре струнных полей относительно струнного произведения (^-произведения) и имеют простой закон умножения

Вторая идея - использовать специальные координаты для струнных мировых листов. Чтобы получить эти координаты надо перейти от верхней полуплоскости к цилиндру с помощью отображения 5 = аг^ашг [42], [75]. Решение Шнабла для бозонной струны имеет вид [41]: где фп = РсВО,псР и ф'п = РсВКОР-сР (обозначения см. ниже Глава 3). Полученное решение удовлетворяет условию = 0 которое называется калибровкой Шнабла. Оказалось, что полученное решение удовлетворяет двум гипотезам Сеиа, на этом основании построенное решение описывает тахионный вакуум. После работы Шнабла появился ряд работ, в которых решение Шнабла записывалось более простыми способами [44, 45, 46]. Также значительная часть работ была посвящена выяснению смысла, так называемого "фантомного" слагаемого ф^. Выяснилось, что при некоторых вычислениях, таких как проверка гипотез Сена, вычисление амплитуд и т.д. слагаемое фм дает вклад, а в некоторых нет [47].

Вскоре после работы Шнабла были получены решения струнно-полевых уравнений движения, описывающие маргинальные деформации для бозонной струны [48, 49, 50, 55, 60], а так же решения описывающие маргинальные деформации в неполиномиальной теории суперструны [52, 53,

В 2007 году Т. Эрлером было построено решение уравнения движения

1)

54, 56]. в кубической полевой теории суперструны [57]. Решение имеет вид где фп = РсВПпсГ, ф'п = РсВКПпсР и Г = РВ-у2Р. Оказалось, что это решение удовлетворяет двум гипотезам Сена: оно правильно воспроизводит натяжение Б-браны и в окрестности этого решения нет возбуждений открытой струны. Этот результат казался удивительным, так как в полевой теории суперструны нет тахиона, который мог бы конденсироваться.

В 2008 году в нашей работе [58] было построено решение уравнений движения кубической фермионной полевой теории струн. Полученное решение имеет вид (в отличии от решения (3) решение (4) явно содержит тахионную компоненту)

Было аналитически показано [58], что это решение также удовлетворяют первой гипотезе Сена при N —У оо. В дальнейшем, это было подтверждено численными вычислениями [59]. Третья гипотеза для решения (4) была проверена в работе М. Кройтера и Е. Фукса [60]. Эти вычисления подтверждают, что полученное решение описывает настоящий тахионный вакуум. При этом возник вопрос является ли решение Эрлера [57] и наше решение [58] калибровочно эквивалентными? Этот вопрос до настоящего времени является открытым.

В 2008 году М. Кройтер и Е. Фукс [60] показали, что пеполиномиаль-ная теория суперструны эквивалентна кубической теории суперструны з)

4) на классическом уровне. Для этого ими был введен нильпотентный оператор Р, который связывает поля в кубической Ф^ь и неполиномиальной Фпопро1 суперструнной теории поля следующим образом:

ФпопрЫ = РФсаЬ- (5)

В том же 2008 году в наше работе с И. Я. Арефьевой и П. Б. Медведевым [61] было показано, что неполиномиальная теория фермионной струны эквивалентна кубической полевой теории фермионной струны. Мы предложили обобщить оператор Р и записать его в виде Р = Р®<7з, где <7з является матрицей Паули. Тогда отображение в одну сторону имеет вид ф попро1 = РФсиЬ, (6) где Ф обозначает определенную композицию полей Ф± с подходящими матрицами Паули. В другую сторону отображение принимает вид

ФсиЪ = б-^ё, (7) где С = е попрс1 и ф = ® сгз - матричный ВРСТ оператор.

В 2009 году М. Шнаблом и Т. Эрлером [62] было построено новое решение струнно-полевого уравнения движения. Оказалось, что решение также описывает тахионный вакуум бозонной полевой теории, т.е. было показано, что это решение удовлетворяет двум гипотезам Сена (первой и третьей). Это решение отличается от решения, полученного Шнаблом тем, что оно не содержит "фантомного" слагаемого и не требует регуляризации:

Ф = (—с + сКВс)-——рт- (8)

1 ~ К

Оказалось, что новое решение не удовлетворяет калибровке Шнабла, а удовлетворяет более общей калибровке

Во(Ф(1-А'))т-^: = 0> (9) подробный смысл обозначений см. в Главе 2.

В 2009 году в нашей работе [63] решение Эрлера-Шнабла было обобщено на случай суперструны:

Ф = (-с - Б72 + сКВс(10)

Как и в случае полученного Эр л ером решения, было показано, что это решение удовлетворяет двум гипотезам Сена, т.е. описывает непертурба-тивный вакуум суперструны. Также было показано, что решение Эрлера и новое решение связаны калибровочным преобразованием:

Ф Ег1ег = и-\Фпе%и + Я)и. (11)

Оказалось, что как и в случае бозонной струны новое решение для суперструны удовлетворяет калибровке Эрлера-Шнабла:

50"(Ф(1-^))Г^ = 0. (12)

Интересно обобщить полученный результат на случай фермионной струны.

Диссертационная работа имеет следующую структуру:

Заключение

В заключение еще раз перечислим основные результаты, выдвигаемые на защиту.

1. Аналитически построено решение уравнений движения полевой теории фермионной струны. Проверено, что на этом решении реализуется 1-ая гипотеза Сена.

2. Доказана эквивалентность модифицированной кубической полевой теории фермионной струны и неполиномиальной полевой теории фермионной струны на классическом уровне.

3. Построено новое аналитическое решение уравнения движения полевой теории суперструны. Это решение отличается от решения полученного ранее тем, что оно не содержит "фантомных" слагаемых и не требует регуляризации. Показано, что это новое решение удовлетворяет двум гипотезам Сена и, следовательно, описывает непертурбативный вакуум полевой теории суперструн.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. И. Я. Арефьева, Р. В. Горбачев, П. Б. Медведев, "Тахионное решение в кубической полевой теории струны Неве-Шварца," ТМФ, т. 158 (2009) 3, стр. 378-390.

2. И. Я. Арефьева, Р. В. Горбачев, П. Б. Медведев, "Вакуумные решения в полевой теории Неве-Шварца фермионной струны и представление нулевой кривизны в градуированных пространствах," ТМФ, т. 159 (2009) 1, стр. 131-141.

3. I. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev and P. B. Medvedev, "Pure gauge configurations and solutions to fermionic superstring field theory equations. < of motions," Journal of Physics A 42 (2009) 030, pp. 1-11.

4. I. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev, D. A. Grigoryev, P. N. Khromov, M. V. Maltsev and P. B. Medvedev, "Pure Gauge Configurations and Tachyon Solutions to String Field Theories Equations of Motion," JHEP 05 (2009) 050, pp. 1-26.

5. P. В. Горбачев, "Новое решение уравнения движения суперструны," ТМФ, т. 162 (2010) 1, стр. 90-94.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинаре по теории поля Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, на Международной конференции по математической "физике и ее приложениям в Самаре (8-13 сентября 2008), на

Второй международной конференции "Струнная теория поля и смежные вопросы" в Москве (12-19 Апреля, 2009), на VIII International Workshop "Supersymmetries and Quantum Symmetries" в Дубне (29 Июля - 3 Августа, 2009).

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы.

Особенно я хочу поблагодарить И. Я. Арефьеву за предложенную тему исследований, постоянное научное руководство и поддержку во время моего обучения и написания работы. Я также признателен П. Б. Медведеву за плодотворные обсуждения и ценные комментарии.

1. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, "Введение в теорию квантованных полей", 4-е изд., Наука, 1981;

2. М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, "Теория суперструн", в 2-х томах, Мир, 1990;

3. J. Polchinski, "String Theory", Cambridge University Press 1998.

4. M. Kaku and K. Kikkawa, "The Field Theory Of Relativistic Strings, Pt. 1. Trees," Phys. Rev. D 10, 1110 (1974).

5. M. Kaku and K. Kikkawa, "The Field Theory Of Relativistic Strings. 2. Loops And Pomerons," Phys. Rev. D 10, 1823 (1974).

6. E. Cremmer and J. L. Gervais, "Combining And Splitting Relativistic Strings," Nucl. Phys. В 76, 209 (1974).

7. E. Cremmer and J. L. Gervais, "Infinite Component Field Theory Of Interacting Relativistic Strings And Dual Theory," Nucl. Phys. В 90, 410 (1975).

8. G. Veneziano, "Construction of a crossing symmetric, Regge behaved amplitude for linearly rising trajectories," Nuovo Cim. A 57 (1968) 190.

9. М. В. Green and J. Н. Schwarz, "Anomaly Cancellation In Supersymmetric D=10 Gauge Theory And Superstring Theory," Phys. Lett. В 149, 117 (1984).

10. W. Siegel, "Covariantly Second Quantized String. 2," Phys. Lett. В 149, 157 (1984) Phys. Lett. В 151, 391 (1985)].

11. M. Kato and K. Ogawa, "Covariant Quantization Of String Based On Brs Invariance," Nucl. Phys. В 212, 443 (1983).

12. H. Hata, K. Itoh, T. Kugo, H. Kunitomo and K. Ogawa, "Manifestly Covariant Field Theory Of Interacting String," Phys. Lett. В 172, 186 (1986).

13. I. Y. Arefeva and I. V. Volovich, "Gauge Invariant Action Of Interacting Boson Strings," Theor. Math. Phys. 67 (1986) 630 Teor. Mat. Fiz. 67 (1986) 474].

14. Y. Arefeva and I. V. Volovich, "Gauge Invariant String Interaction And Nonassociative Algebra," Phys. Lett. В 182, 159 (1986).

15. E. Witten, "Noncommutative Geometry and String Field Theory," Nucl. Phys. В 268, 253 (1986).

16. E. Witten, "Interacting Field Theory of Open Superstrings," Nucl. Phys. В 276, 291 (1986).

17. С. Wendt, "Scattering amplitudes and contact interactions in Witten's superstring field theory," Nucl. Phys. В 314, 209 (1989).

18. I. Ya. Aref'eva, P. B. Medvedev and A. P. Zubarev, "Nonperturbative vacuum for superstring field theory and supersymmetry breaking",Mod.Phys.Lett. A6, pp.949-958 (1991)

19. Ya. Aref'eva, P. B. Medvedev and A. P. Zubarev, "Background formalism for superstring field theory", Phys.Lett. B240, pp.356-362 (1990)

20. C. R. Preitschopf, C. B. Thorn and S. A. Yost, "Superstring Field Theory," Nucl. Phys. B 337, 363 (1990).

21. N. Berkovits, "SuperPoincare invariant superstring field theory," Nucl. Phys. B 450, 90 (1995) Erratum-ibid. B 459, 439 (1996)] [arXiv:hep-th/9503099],

22. N. Berkovits, A. Sen and B. Zwiebach, "Tachyon condensation in superstring field theory," Nucl. Phys. B 587, 147 (2000) arXiv:hep-th/0002211],

23. F. Gliozzi, J. Scherk and D. I. Olive, "Supersymmetry, Supergravity Theories And The Dual Spinor Model," Nucl. Phys. B 122, 253 (1977).

24. V. A. Kostelecky and S. Samuel, "On a Nonperturbative Vacuum for the Open Bosonic String," Nucl. Phys. B 336, 263 (1990).

25. A. Sen, "Stable non BPS bound states of bps d-branes", JHEP 08, 010 (1998), hep-th/9805019

26. A. Sen, "SO(32) spinors of type i and other solitons on brane anti-brane pair", JHEP 09, 023 (1998), hep-th/9808141

27. A. Sen and B. Zwiebach, "Tachyon condensation in string field theory," JHEP 0003, 002 (2000);

28. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, "Star Algebra Projectors", JHEP 0204 (2002) 060;

29. A. Sen, "Rolling tachyon," JHEP 0204, 048 (2002) arXiv:hep-th/0203211],

30. N. Berkovits, A. Sen and B. Zwiebach, "Tachyon condensation in superstring field theory," Nucl. Phys. B 587, 147 (2000) arXiv:hep-th/0002211],

31. L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, "String field theory around the tachyon vacuum," Adv. Theor. Math. Phys. 5, 353 (2002) arXiv:hep-th/0012251].

32. D. J. Gross and W. Taylor, "Split string field theory. I," JHEP 0108,009 (2001) arXiv:hep-th/0105059.

33. D. J. Gross and W. Taylor, "Split string field theory. II," JHEP 0108,010 (2001) arXiv:hep-th/0106036.,

34. W. Taylor, "Mass generation from tachyon condensation for vector fields on D-branes," JHEP 0008, 038 (2000) hep-th/0008033].

35. A. Sen and B. Zwiebach, "Large marginal deformations in string field theory," JHEP0010, 009 (2000) hep-th/0007153].

36. H. Hata and S. Teraguchi, "Test of the Absence of Kinetic Terms around the Tachyon Vacuum in Cubic String Field Theory," hep-th/0101162.

37. D. Ghoshal and A. Sen, "Tachyon condensation and brane descent relations in p-adic string theory", Nucl. Phys. B584, 300 (2000) hep-th/0003278].

38. B. Zwiebach, "A Solvable Toy Model for Tachyon Condensation in String Field Theory," JHEP 0009, 028 (2000) hep-th/0008227],

39. J. A. Minahan and B. Zwiebach, "Field theory models for tachyon and gauge field string dynamics," JHEP 0009, 029 (2000) hep-th/0008231],

40. J. A. Minahan and B. Zwiebach, "Effective Tachyon Dynamics in Superstring Theory," hep-th/0009246].

41. J. A. Minahan and B. Zwiebach, "Gauge Fields and Fermions in Tachyon Effective Field Theories", JHEP 0102, 034 (2001) hep-th/0011226].

42. J. Minahan, "Mode Interactions of the Tachyon Condensate in p-adic String Theory", hep-th/0102071.

43. G. Chalmers, "Open string decoupling and tachyon condensation," hep-th/0103056.

44. A. A. Gerasimov and S. L. Shatashvili, "Stringy Higgs mechanism and the fate of open strings," JHEP0101, 019 (2001) hep-th/0011009].

45. S. L. Shatashvili, Talk at Strings 2001, Mumbai, India, http: / / theory.theory.tifr.res .in / strings/Proceedings / samson

46. Ian Ellwood and W. Taylor, "Open string field theory without open strings", hep-th/0103085.

47. M. Schnabl, "Analytic solution for tachyon condensation in open string field theory," Adv. Theor. Math. Phys. 10, 433 (2006) arXivrhep-th/0511286].

48. L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, "Star algebra spectroscopy," JHEP 0203, 029 (2002) arXiv:hep-th/0111281],

49. M. Schnabl, "Wedge states in string field theory", JHEP 0301, 004 (2003), hep-th/0201095.

50. Y. Okawa, "Comments on Schnabl's analytic solution for tachyon condensation in Witten's open string field theory," JHEP 0604, 055 (2006) arXiv:hep-th/0603159].

51. T. Erler, "Split string formalism and the closed string vacuum," JHEP 0705 (2007) 083 arXiv:hep-th/0611200],

52. Т. Erler, "Split string formalism and the closed string vacuum. II," JHEP 0705, 084 (2007) arXiv:hep-th/0612050].

53. T. Takahashi, "Level truncation analysis of exact solutions in open string field theory," JHEP 0801, 001 (2008) arXiv:0710.5358 [hep-th]].

54. M. Schnabl, "Comments on marginal deformations in open string field theory," Phys. Lett. В 654, 194 (2007) arXiv:hep-th/0701248],

55. M. Kiermaier, Y. Okawa, L. Rastelli and B. Zwiebach, "Analytic solutions for marginal deformations in open string field theory," JHEP 0801, 028 (2008) arXiv:hep-th/0701249].

56. E. Fuchs, M. Kroyter and R. Potting, "Marginal deformations in string field theory," JHEP 0709, 101 (2007) arXiv:0704.2222 [hep-th]].

57. E. Fuchs and M. Kroyter, "Marginal deformation for the photon in superstring field theory," JHEP 0711, 005 (2007) arXiv:0706.0717 [hep-th]].

58. Y. Okawa, "Analytic solutions for marginal deformations in open superstring field theory," JHEP 0709, 084 (2007) arXiv:0704.0936 [hep-th]].

59. Y. Okawa, "Real analytic solutions for marginal deformations in open superstring field theory," JHEP 0709, 082 (2007) arXiv:0704.3612 [hep-th]].

60. M. Kiermaier and Y. Okawa, "Exact marginality in open string field theory: a general framework," arXiv:0707.4472 hep-th].

61. M. Kiermaier and Y. Okawa, "General marginal deformations in open superstring field theory," arXiv:0708.3394 hep-th].

62. T. Erler, "Marginal Solutions for the Superstring," JHEP 0707, 050 (2007) arXiv:0704.0930 [hep-th]].

63. T. Erler, "Tachyon Vacuum in Cubic Superstring Field Theory," JHEP 0801, 013 (2008) arXiv:0707.4591 [hep-th]].

64. I. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev and P. B. Medvedev, "Tachyon Solution in Cubic Neveu-Schwarz String Field Theory," Theor. Math. Phys. 158, 320 (2009) arXiv:0804.2017 [hep-th]].

65. I. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev, D. A. Grigoryev, P. N. Khromov, M. V. Maltsev and P. B. Medvedev, "Pure Gauge Configurations^ and Tachyon Solutions to String Field Theories Equations of Motion," JHEP 0905, 050 (2009) arXiv:0901.4533 [hep-th]].

66. E. Fuchs and M. Kroyter, "On the classical equivalence of superstring field theories," JHEP 0810, 054 (2008) arXiv:0805.4386 [hep-th]].

67. E. Fuchs and M. Kroyter, "Analytical Solutions of Open String Field Theory," arXiv:0807.4722 hep-th.

68. I. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev and P. B. Medvedev, "Pure Gauge Configurations and Solutions to Fermionic Superstring Field Theories Equations of Motion," J. Phys. A 42, 304001 (2009) arXiv:0903.1273 [hep-th]].

69. T. Erler and M. Schnabl, "A Simple Analytic Solution for Tachyon Condensation," arXiv:0906.0979 hep-th].

70. Р. Горбачев, "Новое решение уравнения движения суперструпы," ТМФ 162(1):90-94 (2010).

71. Е. S. Fradkin, М. A. Vasiliev, "Cubic interaction in extended theories of massless higher spin fields", Nucl. Phys. B291 (1987) 141-171;

72. E. S. Fradkin, M. A. Vasiliev, "Candidate to the role of higher spin symmetry", Annals Phys. 177 (1987) 63-112;

73. M. A. Vasiliev, "Higher spin gauge theories in various dimensions," Fortsch. Phys. 52, 702 (2004) arXiv:hep-th/0401177],

74. D. Friedan, E. J. Martinec and S. H. Shenker, "Conformal Invariance, Supersymmetry And String Theory", Nucl. Phys. B271, 93 (1986).

75. A. A. Belavin, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, "Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory", Nucl. Phys. B241, 333 (1984).

76. D. Friedan, "Notice on String Theory and Two Dimensional Conformal Field Theory II", preprint EFI 85-99 (1986).

77. I. Ellwood and W. Taylor, "Open string field theory without open strings," Phys. Lett. В 512, 181 (2001) arXiv:hep-th/0103085].

78. I. Ellwood, B. Feng, Y. H. He and N. Moeller, "The identity string field and the tachyon vacuum," JHEP 0107, 016 (2001) arXiv:hep-th/0105024],

79. A. LeClair, M. Peskin and C. Preitschopf, "String Field Theory on the Conformal Plane (I). Kinematical Principles", Nucl. Phys. B317 (1989) 411-463;

80. String Field Theory on the Conformal Plane (II). Generalized Gluing", Nucl. Phys. B317 (1989) 464.

81. K. Bardakci and M. B. Halpern, "Explicit spontaneous breakdown in a dual model," Phys. Rev. D10 (1974) 4230; K. Bardakci, "Spontaneous symmetry breaking in the standard dual string model," Nucl. Phys. B133 (1978), 297.

82. I. Ya. Arefeva, D. M. Belov and A. A. Giryavets, "Construction of the vacuum string field theory on a non-BPS brane," JHEP 0209, 050 (2002) arXiv:hep-th/0201197].

83. D. Gross, A. Jevicki, "Operator Formulation of Interacting String Field Theory (I), (II) and (III)", Nucl.Phys. B283 (1987) 1, Nucl.Phys. B287 (1987) 225, Nucl.Phys. B293 (1987) 29;

84. E. Cremmer, A. Schwimmer and C. B. Thorn, "The Vertex Function in Witten's Formulation of String Field Theory", Phys. Lett. B179, 57 (1986);

85. S. Samuel, "The Physical and Ghost Vertices in Witten's String Field Theory", Phys. Lett. B181, 255 (1986).

86. N. Ohta, "Covariant Interacting String Field Theory in the Fock-Space Representation", Phys. Rev. D34 (1986) 3785 3793; D35 (1987) 26271. E)

87. I. Ya. Arefeva, D. M. Belov, A. A. Giryavets, A. S. Koshelev and P. B. Medvedev, "Noncommutative field theories and (super)string field theories," arXiv:hep-th/0111208.

88. D. M. Belov and C. Lovelace, "Star products made easy," Phys. Rev. D 68, 066003 (2003) arXiv:hep-th/0304158].

89. D. M. Belov, "Witten's ghost vertex made simple (be and bosonized ghosts)," Phys. Rev. D 69, 126001 (2004) arXiv:hep-th/0308147.

90. I. Ya. Aref'eva, R. Gorbachev, P. B. Medvedev and D. V. Rychkov, "Descent relations and oscillator level truncation method," Theor. Math. Phys. 150, 2 (2007) arXiv:hep-th/0606070].

91. Ya. Aref'eva, R. V. Gorbachev, P. B. Medvedev and D. V. Rychkov, "Descent Relations in Cubic Superstring Field Theory," JHEP 0801, 005 (2008) arXiv:0704.3688 [hep-th.].

92. E. Fuchs and M. Kroyter, "Normalization anomalies in level truncation calculations," JHEP 0512, 031 (2005) arXiv:hep-th/0508010].

93. E. Fuchs and M. Kroyter, "On the validity of the solution of string field theory," JHEP 0605, 006 (2006) arXiv:hep-th/0603195],

94. M. R. Gaberdiel and B. Zwiebach, "Tensor constructions of open string theories I: Foundations," Nucl. Phys. B 505, 569 (1997) arXiv:hep-th/9705038].

95. M. R. Gaberdiel and B. Zwiebach, "Tensor constructions of open string theories. II: Vector bundles, D-branes and orientifold groups," Phys. Lett. B 410, 151 (1997) arXiv:hep-th/9707051.,

96. I. Ellwood and M. Schnabl, "Proof of vanishing cohomology at the tachyon vacuum," JHEP 0702, 096 (2007) arXiv:hep-th/0606142].

97. L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, "Vacuum string field theory," arXiv:hep-th/0106010.

98. A. Sen, "BPS D-branes on non-supersymmetric cycles," JHEP 9812, 021 (1998) arXiv:hep-th/9812031].

99. A. Sen, "Tachyon condensation on the brane antibrane system," JHEP 9808, 012 (1998) arXiv:hep-th/9805170],

100. A. Sen, "SO(32) spinors of type I and other solitons on brane-antibrane pair," JHEP 9809, 023 (1998) arXiv:hep-th/9808141],

101. A. Sen, "Stable non-BPS bound states of BPS D-branes," JHEP 9808, 010 (1998) arXiv:hep-th/9805019].

102. A. Sen, "Non-BPS states and branes in string theory," arXiv:hep-th/9904207.

103. I. Ellwood, "Singular gauge transformations in string field theory," JHEP 0905, 037 (2009) arXiv:0903.0390 [hep-th]].