Полиномиальная интерполяция операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КШВСЬКШ УН1ВЕРСИТЕТ Хм. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РГ6 од „

• На правах рукопксу

ХЛОБИСТОВ ВОЛОДИМИР ВОЛОДИМИРОВИЧ

УДК 519.65:62.50 ПОШОЩАЛЬНА 1НТЕРП0ЛЯЩЯ 0ПЕРАТ0Р1В 01.01.07 - <х5числювальна математика

Автореферат дисертацП на эдобуття наукового ступени доктора ф!зико-матеиатичних наук

Ки1з - 1994

Робота виконана на кафедр1 чисельних метод1в математично1 ф1эики Ки1вського ун1верситету 1м. Тараса Шевченка

Науковий консультант: 0ф11ийн1 опоненти:

Пров1дна орган!зац1я:

доктор ф1зико-математичних наук, професор В.Л.Макаров

член-кореспондент АН Б1лорус11,

доктор фхзико-математичних наук,

професор Л. 0. Янович;

доктор ф1зико%атематичних наук,

професор А. 0. Шкр1й;

доктор ф1эико-математичних наук,

професор Ю.А.Белов

Гнститут математики АН Укра1ни

Захист дисертацН в1дбудеться 1994 р о // годин1

на эаспданн1 спец1ал1зовано! ради Д.068.18.16 в КШвському ун1вер-ситет! 1м. Тараса Шевченка за адресою: 252127, Ки1в-127, проспект Академ!ка Глушкова, 6, факультет к1<5ернетики, ауд. 40.

3 дисертаидею мохна оэнайомитися в науков!й (ЯсЫотец! Ки1вського ун1верситету 1м. Тараса Шевченка Свул. Володимирська, 58.)

Автореферат роз ].слано ¿Хт^я&у 1994 р. ' Вчений секретар спец1ал1зовано! ради кандидат ф1зико-математичних наук,.

доцент.

А: В. Кузьмд.н

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнхсть теми. Важливхсть досл1дження задач! пол1ном1-альнох операторно! хнтерполяцх! обумовлена м1ркува...шми як теоретичного, так 1 практичного характеру. Це, по-перше, в1дсут-Н1сть загалыю1 теорИ пол1ном1ально! операторно! хн'арполяцх!, що м1стить в сосЯ, як частинний випадок, класичну хнтерполяц1ю функидй х узагальнсе на операторному р!вн1 основн1 аспекта псш-ном1алько! хнтерколяцП. До таких належать: конструктивна побу-дова операторного штерполянта, едшисть, властивхсть збереження хнтерполянтом оператоних полшомхв вхдповхдного степени, уза-гальнення на випадок ерьатсзоХ 1нтерполяцИ, анал1з точлостх штерполяцП, зб1жн!сть штерполяцдйного процесу. Серед небага-тьох пу<3л1кац1й в *дан1й галузх найбхльш ц!кавими е роботи таких автор1в як Р.Кадхссн, П.Прентер, У. Прртер, П. I. Соболеьсьчий, С. Ульм, Л.О.Янович, В.Л.Рвачов, О.М.Литвин. Але наведен! ь цих роботах операторн1 1нтерполянти або не конструктива (у розум1н-нх побудови), або не мають деяких важливих властивостёй класич-. ного полшокиального хнтерполянта, як то: единхсть, збереження операторних полхном1в того ж степеня та хн.

Актуальнасть досл1джень в галузх пол1номхально! операторно! 1нтерполяцх1 п1дтверджуеться також задачами практичного характеру. На практшЦ широко розповсюджен! нелхн1йн! системи, матема-тичнх модел! яких описуються пол!ном!альними операторами (пол1-номхальнх системи). Шдвищений хнтерес дослхдштв до таких структур в першу чергу пояснсеться досить простим 1х математич-ним описом. Кр1м того, в1до1и аналхтичн! методи, роэроблен1 для ; л!н1йних.систем, мохуть усп1шно эастосоруватись у'випадку пол1-лШйних та полхном1альяих систем. 3 1ншого боку, вивчення бага- тьох нел!н!йних структур загального виду мо*е бути эведено до вивчення 1х пол1ном1альних наближень. Таким чином, теор!я лолЬ ном1альних наближень, в деяхоыу розуи1нн!, с зв'яэкоы мхж л1н1й-нои та нел1нхйнов теор1ями. Кр1м того, важливос обставинов с той "факт, до досить часто хнформац1я про систему мхститься в знанн1 пар "вх1д-вих!д". Тому в межах пол!номдальних систем задача хдентифхкацЦ зводиться до задач! пол1ном1аль!!о! операторно!

1 НТС'рПО тяц 11.

Мета роботи. Покудова основ загаяьно! теорИ пол1ном1ально1 операторно! хнтерполяцН то м!стить в codi:

- неосШдна та достатка умови аснування 1нтерполяц1йного операторного по л i нома n-го степени у гл.льс$ертовому та доь1льному векторному просторах;

- опис Bciei множини таких пол1ном1в, а тако* множини операторних п1терполянт1в, эберагавчих onepaTopHi пол!номи того ж степени у цих просторах;

- узагальненнл на випадок ериитово! операторно! 1нтерполяцИ у Нльбертовому npocTopi;

- проведения анал1зу точност1 наближень пол1ном1альних операторов за допомогою i нтерполяц i йного методу.

Наукова новизна результате роботи полягае:

- в побудов1 згладжуючого операторного полiнома як елемента найкращого наближення в уведеному г!льбертовому npocTopi НШ;

- в одержаны! необхГдно! та достатньо! умови !снування iH-терполяц!йного операторного лол1нома заданого степеня у г!льбер-товому та довольному векторному просторах;

- в побудов1 Bciei множини 1нтерполяц1йних операторних по-л1ном1в, а також Bciei множини !нтерполянт!в, з<5ер1гаючих полх-номи того ж степеня в. цих просторах;

- в одержаны! необхадно! та достатньо! умови !снування операторного полигама EpMiTa заданого степеня у г!льбертовому "простор! ; '; '

- в побудовх Bciei множини операторних noniHOMiB EpMiTa заданого степеня, а також Bciei множини поя!ном!& EpMiTa, 3Öe{>ira-

ючих операторн: пол^номи того ж степеня, у тльбертовому простора

- в одержаны! оц!нок точност! наближень иол1Ном!альгах опе-paTopiB методом !нтерполя1и! в уведеному Кльбертовому npocTopi H'CY).

n

Сл!д Мдиначити, що оок!льки в дисертацП побудована вся, множима пол1Нотальних операторних !нтерполянт!в заданого степени у довольному векторному простора, то результати названих вище авторов мохуть розглядатися як частинний випадок реэуль/raTiB,

удержании в да!пй робот!. . •

Практична uiHHiCTb. В дисертацП необх1дна та достатня умова розь'язуваностх задач! пол1ном1ально! операторно! !нтерполящ! одержана в терминах л!н1йяо1 алгебри i легко перев1ряеться на практиц! для конкретних задач; наведена конструктива побудова операторних 1нтерполянт1в; сдержан! оценки точности наближень шшномхальних операторiв !нтерполяц!йним методом у ri яьбертозо-му простор! Hn(Y), показано, що точность будь-якого наближення пол1ном!гпьного опернатора в метриц! простору Hn(Y) завжди можна п1двившти аа допомогою оператоно! 1нтерполящ1, одержана оценка швидкост! sdixHocTi 1нтерполяц1йного операторного процесу для спецхально вибрако! системи вузл1в; роэглянута можлив1сть засто-сування полиномиально! операторно! 1НтерполяаП для роэв'язу.ан-ня деяких задач практики.

На захкст виносяться так! положения: 1. Пойудова згладжуючого операторного попiнома л-го степеня як елемента найкращого наближення у гхльбертовоыу npocTopi ИСК); Е. Необх1дна та достатня умова розв'язуваност1 задач! noninoMi-ально! операторно! штерполяцП у г1льбертовому та дОв!льноыу векторному просторах;

3. Конструктивна побудова Bciel ыножини iHTepлоляц1йних операторних поланомав эадалого степеня,. а такох ыножини поланошв, що збер1гають операторн! полпюми того ж степеня у Г1льберто-вому та довольному векторному просторах;

4. Необх!дна та достатня умова розв'яэуваност1 задачх EpMiTa у г!льбертовому просторх;

5. Конструктивна побудова Bciel мнояини оператор[шх пол!ном!в £рм!та заданого степеня, а такох мнохини noniHouie EpMiTa,'що

: 36epirai>Tb оператора пол1номи того х степеня у г!льбертовому простор!;

•6. 0ц1нки точност! наблихень пол1ном!альних оператор!» методом . штерполяци у Пльбертовому npocTopi H^CY).

Апробащя результатов родоти. Основыi результата дисертадхй-но1 робота яопов!дались на MiimapoftHift конференци по граничнкм елементам /Boundary eienwnts IX/ С®гутгарт, ФРН, 5©37 р.); всесоюзному сем!нар! "Питания оптим!эацП обчислень" (Алушта, 1S87 р.); м!жнароан1й KOH'iepen.uil по чисел.ьним методам'та эастосуган •

ням (Софоя, Болгар1я, 1988 р.); ceMiHapi "Питания оптим1зацИ od-числень" (Киов, 1990 р.);- ceMiHapi' академока Самарського A.A. (Москва, 1992 р. 3; семонар! чл. кор. АН УкраХни КорнШчука М. П. (Ки1в, 1992 р.); математичному KonoKBiyMi Лейпоигського ун1верси-ситету (Лейпциг, ФРН, 1У92 р.); ceMiHapi проф. Е.Цайдлера СЛейп-циг, ФРН, 1992 р. D; ceMiнарах проф. Макарова В. Л. (Ки1в, 1988 -1994р.); ceMinapi проф. Степанця 0.I. (Ки1в, 1994 р.); ceMiHapi проф. MiKpifl A.A. (Ки1в, 1994 р.); викладацьких кoнфepeнцiяx Ки1в-ського yHiBepcrreTy (Ки1в, 1991 - 1993 р.).

ПублокацП. По тем! дисертацп опубликовано 19 podiT автора.

Структура та об'см роботи. Дисертаиия об'емом 196 машинописная CTopiHQK складаеться з вступу, трьох роздал!вi ' висновкав, списку

Зм1ст дисертацп. У вступ! розглянута постановка задач! полиномиально! операторно! онтерполяцП, обгрунтовуеться актуальность проблеми досл1джень, наводиться стислий огляд наукових праць, при-свячених питаниям полономоально! операторно! онтерполяцП, змост яисертацИ по розд!лам, а також поровняння ранош одержаних результатов по даной тематицо з результатами дисертацхйно! роботи.

Перший роздал дисертацП "Пoлiнoмiaльнa штерполмюя операторов у г1льбертових просторах" складаеться з дев'яти параграф!в. В § 1 вводиться Лльбертовий прост1р КСХ) д!йсних функдионал1в та будуеться йгладжуючий фунгаионаиьний пол!ном п-го степеня типу Вольтерра як елемент найкращого наближення в метриц1 цього простору на мкожин1 таких пол!ном1в л-го степеня. Цей результат подано теоремою 1 1.1. В § 2 розглянуто уэагальнення теореми 1.1.1. на еипадок неперервних операторних пол1ном1в п-го степеня. Нехай ц п«пка м!ра на сепарабельному Нльбертовому простор! X з скалярнйм яобутком С•, О , така, ¡цо водпоб!дниЙ кореляцойний оператор В е ядорним та Кегд = 0. Розглянемо гильбертов простор НС А.), \ е [ 0, ооЭ '.'¡ораторов р: X —* У , 7 гильберт1в пpocтip з скалярнйм добутком с ■. •) . Скалярний добуток в НС X) визначимо таким чином -

лотератури, то мостить 134 найменування.

v

А=о X • X*- ' ft

©

СР.0), = Е СРСВЙ:.)', ОСВЖ.)) . Р.О б НСХ) .

<хл>2_1 сХ , в нуль элемент простору X; Р(А| СЭЭу^ ди-

ферешиал Гато А-го порядку оператора Р в нул1 по напрлмкам , • •■>ул 6 X . Введемо так! позначенкя. Нехай Пп лШйний многовид ь НСХ) неперервних операторных полином!в степеня а

П = ( Р Сх) = I. + I х + 1хг + ... + Ь х" > ,

А . , П О 12 П

Ь^х* - А-та опёраторна степень,

п.

Г= Е (В* ,х,)р , АСХ) = СЕ + ХГ)

II рп 1 * * II «

'Ч. >=1

Е одинична матрица роэм!рност! (.л*т),

f = <?(.Вх1У*=1 € У* . е = (1,1.....1) е 1?л ,

<■> = Е <*40 , а е У , (31 е И, ,

а(Х) = < ? - , ХА(Х)е > / С1 + СХ«Х)е , еЛ ,

А

С•,•) скалярний добуток в Р* элемент найкращого наближення до

Р на множин! Пп в простор! НСО).

Теорема 1.2.1. Для Р е. НСХ) операяорний пол ¿нол

РЧх.П = Р'Сх^О * аСХ) + п л

+ <?-£*- аСХ)е , ХАСХ) Е {Сх,.%)р>* > . (1)

л р7, 1 ' 4г' .

е згладхуючил, яобяо розб'язкол ексврелсиъно! заА<т

Ш/ - |н,х,-. С^сД,- «2)

С чей роэб'язок еЯиний.

Сл!д зауважити, ао у випадку наближено! !иформацд1 про ГСВх(), I = 17« пол!ном РЧх.Р) мае самост!йний интерес.

В § 3 онаходится операторний пол!ном Р®Са:) як границя згиаджу-ючого коли X со .Доводиться низка допом!жних результатов, на основ! яких зд!йсноетьсл дей граничний перех!д.

Теорема 1.3.1. Як1 б не бух и пари (Вх^), ГСВг«( >3, I = 5™ , операторний поМнол Р^Сх), ак границ* зглаВ*уючока, хспуг. I ¿..ч-Йигчя-З

PeCx) = Pe(x;F) + а(оа) +

П ft

+ <?-?* - aCoo)e , Г Z {Ц, > .

n P-^ x -i

He Г* псебОообернена датрицз 1ура-Пенроуаа бо lamputu Г,

НА Г|| = О .

С3>

й(ю) =

<?-?*, Г+е>

_IV

1 + СГ+е , е) <А ? , е>

Рое Г норда в R

P*CO,F) . |А ?

А = Е-ГГ..... г ... . ..

О " " ' Л (

В § 4 наведена необх!дна та йостатня укова юнування хнгерпо-яяцШгого для F у вуэлах Bxi, i = операторного полхнома п-го степеня СВ оамоспряжений, додатниЯ оператор, якнй може бути вибра-чий одиничным). Доведено, що при викснанн! цШ умови операторний пол1ном Р"(х) е штерполяидйним для F'у вузлах B%i, i = 1.

Теорема 1.4.1. ¡ля розв'язубакосви забач! под£нодца,1ьио1 one-. раиорноI ¿ниерполяцП у гыъберяоводу просиоpi X э удобади

, PftCB*t) = FCB*t) , i = 1,« , Pn f П, neotizidHUA i досмаянСл e винопанкя piSHOcmi

A J. ikb' 0 ~ <5 CgA ?P+||A

f = 3 e У" .

(4)

,-C5)

Oe i (01 » 1 , <5 Сэс) = 0 , x * 0 .

о о

В § 5 подано опис BCiei множини II^CF) 1нтерполяц1йних опера-торяих поя1ном1в степеня л у глльбертовому простор! X. .

Теорема 1.5.1. Пехай биконуеться улова (6). Todi форлула

x Q (х) '+ <t - б , Г* £ «х..х)р>* >,

л л п t X i ~ I

p-i

лоли'йп(хУ пробьгав ■

а? , ъ

С 6)

IFCFD =

Р (ж) +

п

- -Р се) d<iiAjip+iA т

[ 1 - doC||A^)P ]:Pft 6 Па

т

олисуе Ъсо лнсжину П^СП ¿яяерподяцойки! для Г у вузлах СВх.)* ( оперсиормих полЫольв саепемя л у гольйермводу яросяор! X.

' В § 6 розглянута экстремальна властив1сть операторного пол1но-ма Р™(х) в гчльбертовому простор! НСО).

Теорема 1.6.1. Негай бикокуешьса улова (5;. ГоО! Р™, бизначе-ний за фарлулою (3}, е еделени найнрацого набди*екня "о Г ни лхо-*инС ПЧП у гиьбертободу просяор1 НСО), яобяо лае лкце ргвнгсчъ

'¡¡Г- К ■„«., ■ «*/ ®Н < о) . рп • С8)

При иьолу роэв'яэся задач). (8) буде един ил.

3 § 7 наведено опис вс1с1 мнехини П^СП 1нтерполяцхйних операторных пол1ном1в степеня л, цо зСерогашть сператсрш пол1номи того к степеня. Позначимо через П(СГ) множину пол 1 нот в степеня п. ¡цо являать собой рператорщ функцН ьхд Г.

Визначе-ння. Опе'раторнкй пол 1 ком Р^Сж;Г? з ТМП као^еыо с-по-л:номом, якщо в1н задсьольняе умовх

Р°Сх;Г) = ГС*) , у^еП^, у * « X •

Лема 1.7.1. Пехай РвС%;Р) деяний с-полЫол. Т)д1 вся лнохина

............п

с-П0Л1Н0*1в описуспъся за форгулою П°СП = < Рс<зс;П ^ Р (х; Г) - Р С%;Р®) + РЯ(%;П ,

п п п п п п

Р Сх;П € П СП > . С95

п п

Лозначиыо через 1Г°СШ шоетну

ПсоСР) =

Р Сл.) +

<А ? , е> '

-£--р се)

<5осцАог|Р+|!Аогуа »

[ 1 - СЦАвг|> ] = РЛ е ГСП

'Теорема 1.7.1. Зегай винонуешься улова (5). ?од( форлула (6), ноли О Сх) проб1гае П°ССГ), описуе всю лногину ШерполяцШих Оля

Л ' Л

Г у бузлах СВж1>*_( операяорних под¿кол£б степеня а, зберИаочих. польноли яого ж съепеня.

5ауважения Оскальки будь-якиЯ полном Р*С*;П наДкрагдого нз-бликення до Г являе собою с-пол1ном, то Р*(лО с операторная с-хн-терпеллнтом. :

В § О розглянуто випадок, коли 1нтерполяц1йний операторной по-

лхном степеня п, визначений на ггльбертовоыу npocTopi X, эавади icHye, TodTo задача полиномиально! операторно! !нтерполяцП роз-в'яэувана. Доводиться низка допом1жних результатов, в тому числ1 1 лема 1.8.1 про оцшку зниэу рангу матриц! Г Ссуми степеней Адама-ра). котра мае самост!ший !нтерес.

Лена 1.8.1. Справедлива керхбШсвь

г6Г > min ß. м - Jo( П I l„ )) . С10Э

Г л , г#Г = 1 ,

«■(«и, Г*г; * 2 . Г. - Я «VVX,../.

При цъолу, коли TgT = 1 , то Kepi6»iciab (10) переиборюешься б

pi6Hicnb. "

Використовуючи ui результата, доводиться така теорема. Теореме 1.8.1. Якщо т < п + 1 , то ваЗаяа полШл1алъно1 операторно1 ¿кяерподяц!! в гыьберяоболу npociiopi завхди розб'лэубо-но. J

В § 9 розглянута ouiHKa залишкового члена ! теорема збххност! для одного виду !нтерполяц!йного операторного процесу. НехаЙ F: X Y , X,.Y йанахови простори. Позначимо через М = < х : || х fl < R , R > 1 ) с X , де R таке, що J с X . Запишемо !нтерполяц!йний у вузлах х(, i = 1,л+1 операторний полхном Нызтона у виг ляд! Р*Сх) = FCx ) +....+ F(z , х.....х )С% ~ х )... (х - х ) ,

n i i'a п*i ■ I п.

де FCxt, ..., Э под!лена операторна рхзниця А-го порядку,

. , х. )(х - %х")Сх ~ X. ).,. (х - х ) = А+ I А А- > 1 ■

х + > т. (.х, - х.) их - х.)... Сх - х } * I I* 1 i* 1 * I a i

* = • J

= J J ...J FU)

* dr. ..".dt

i г

Тут А-ьирний штеграл роэукиеться як Штеграл Бохнера, , якщо в!н

1'inye.

Теорема 1.9.1. Пехай оператор F ijuuü. Гобi nocuiöoöHiCfflb ih-щ«)>!)04ящйниг онеранорниг подгнолгб Р^С») збггаеяъся при п —» со бо ГГ >•1 [чбчол.рн(1 6 кул! М.

лисертацЦ "Узаганьнення; клас 1нтерполяйдйних |-и"|.чп-|Ч1их формул, лнтергюляцхя Ерм1та. !нтерполяц1я в довЪчьних

ьвкторних просторах" присвячений узагальненням результат!в першого 1 складаеться з чотирьох параграф в. В § 1 коротко формулюються основн1 результати розд1лу. В § 2 будусться клас штерполящйних операторних формул, пов'язаних з узагальненими оберненими до матриц! Г матрицями Г"; наведена необхддна та достатня умова !сну-вання !нтерполяц!йного операторного пол!нома в термшах матриц! 2, строками яко1 е координата л1к!йно незалежних власни.ч вектор 1 в матриц! Г э нульовим власним числом; одержано опис вс!е! множини по-Л1Яом!альних операторних !нтерполянт1в п-го степеня та вс1е! множини с-!нтерполянт1в в терм!нах матриць 2 ! Г". Нехай

г$Т = г§

931

= д - -г

* > О

2 • 8 с* Ц лШйко неэалежт.

I

т . Г?. = б , ¿=1~

Теорема 2.2.1. Яля ровб'язубаносш! ааОсги поИнол^сиыю! опе-раяорноI 1Н яврполяцЦ

1=1,«. Р € П

(И)

. 8 гильбершоволу просторг. X необххОнид улови

\ Е--^кгЬ' ] 2? = 3 Й г

I боС ||2е(|) + лгец3 J

Е единична лаяриця розл1рносаЧ (ахл.). Поэначимо через 1Г(П множину

2?, 2% > 12еН)

0соиапн1Д с биконання

(12)

П°СП

Л

г Л

= [ Р (*) + | —

I " 16лц

Я2еГ

[ 1 - 5о( 82?Я) ] : РЛ б Пл } .

Р (8)

(13)

через Г" - узагальнену о<5ернену матриц» до матриц! Г

Трема 2.2.2. Вехай бикокуешьсд ужоба (12Ь ТовС фордуда

р^сх) - апсх) ♦ <? - о^, г е ,

р=»

ноли 0 Сх) пробггае ¡ГСП б (13) ог.исуе всо лножину 1Н»еополя~ щйиих операпорни! полнольб п-го сменена Зля V у вузлах

<х.}я с X. * ( : !

X

Зауваження. Оск1льки узагальнена обернена матрица Г" не едина, то формула (14) являе собою клас янтерполяЩйних операторних формул у Г1Льбертовому простор!,X.

Теорема 5.2.3. Sexat! винонуешъся улова CIS) а у 8изначенн1 лнохики IPCF) в (13) П = H°(F) е лкожикою с-полШльв л-го спепеня.

ft л а

fodi форлула (14) описуе всю лномину с-1НверполянШв л-го сяепеня у гглъберяоволу npoenopi X. .

В § 3 розглянуто .узагальнення пол1ном1ально! операторно! iH-терполяцп на випадок 1нтерполяцИ Ерм1та. Нехай оператор F дифе-ренидйований по Гато у вузлах с X А,, i = i,m разi_B у кож-

ному. Треба энайти такий операторний полном Pft е IIft, який задо-вольняе штерполяцгйним умовам Ерм1та <

P(t>Cic,Dvfvi .. .v1 = F<i!(*,)Yfvf. ...v1', (15)

. П I I i-11 / i i - J 1 '

Уведено позначення:

• i■■= 0,A{, t = i,m.

a Cu,o) = Г (u,i»)p , u, v € X

Л X

p->

T симетрична матриця розм1рн1стю (АхД),

А = £ (А +1) . Т.» И tis 117

in '

t 8 матричний блок pooMipHicTD (A1+l)x(As+l)

И »Л II ' > •

. + Ь v: I

p p P=i

Т" узагальнена очернена матриця до матриц! Т, А = Е - Т~Т

е» = с 1- .0. • ■ Pi. .0, • v . 0......1, .0, ■ Oi ) S

* . * А

л

Теорена 5.3.5. Вехай rgТ = А

2 'ИГ Г,

i > 0 ,

. с* йт , г?. = б , . t = ТП , ?t aíhíüho HescueiHi. Todi для розв'яэуб<1носщ1 ьтерполяцШно'х заЗач( Spjiaa (I6j в ггльберяюболу 'r.pocnopi X необхобнид да доспиИ1Н1Д е биконанхя улови -

27* CZ^V

ZF?4. е Y*"

.6oC¡|Z^IP+íizs;I]

Ое Е сСинична лаяриця розльрЩсм Jj.-¡| корда 6 ¡?г

Поэначимо через 71° С F) мкожину

(163

IT(F3 Н Р СяЗ +,

ft л

* <ZКЖ>

а " - -р сез

í0cHZi;i¡)+íizi:r

х [ 1 - ó¿\\zz;\p ]:Рп 6 п *

Теорема ?,.3.6. .Вехай виконуетъся улова CIS). Todi форлула

I i ■ 1

(17)

+ £ а vc , х3 р р

рг 1 *

СМ

(13)

bl

коли Qn(%3 npoóízae IF(F3. б' (17), описуе бея дкокику операшорних по,лШол1в ЕрлСша п-го сшепепя 6 гьльйерпоболу npoenipi X, sai-садовольнятъ уловал (15).

Теорема 3.3.7. Пехай ви.чонуеться улова С16П в 1T°(F3 6 (ГГ) Пп s IPCF3 е лнохиною c~n0¿iH0¿i&. Todi форлула (IB) описуе бс» мо-3 ипу C-nOAiHQAte EpJÍUta в ■ гиЛЬбвШОбОЛу . npocnopi X, ЯК1 3afl060.ifcH,4-шь улобал Í15}.

Нехай X - сепарайельний ггльбертознй- npocrip, В - хореляц:йкий оператор деяко!-(При У на X ядерний i такий, ад КегВ - 0 . Позна-' чимо через if (F) многшну операторних пол!ном1е. як! эадовольняють 1нтерполяц0йним умовам

Pa)(B*,3Bv*Bvf ..' F^'CBíc.DBvfBvf .,,Bvf,

п S 4,<~i. t £ i t -1 i

i = 0(4f* , t I - .

/5

Розглянуто полном EpMiTa конкретного виду з tf4F). В теорем! 2,3.3 доведено, що в!н являс собою розв'яэок екстремально! задач1

w Нр-рА«н«о> • рА<Х(Г> • В § 4 результата §2 узагалышються на випадок довольного векторного 'простору X. Нехай серед вузлхв xt. i = l,n е А лШйно не-залежних, 1 5 А < т . Без зменшення загальност! будемо вважати Ix

першими А вузлами х , ..., %. Тод1

А __

*« а 1 aip € R. • £ = *

В аягебра!чно спрякеному простор! X' ¿саують А лШйних функциона-Я1В ¿|р>Сх), р = Г~А , визначених усюди на X i таких, ш.о

<íp>cV s<5p» . Р. »«о.

а символ Кронекера. Лобудуемо п л!н!йних функционалов

¿ Сх). = Е «i ' 1р1(х) , i ='i7ñ . Psl Р

i мгтриш

л

Г - II ¿PC* ) Г ■ , Г « Е Г . р " i i р

Г" узагальнену обернену матрице до матриц! Г, Z матриц», строками яко! е координата Л1н1йно неэалежних власних вектор!в матриц! Г э яульсыш власким числом. '

L Геореиа 2.4.1. Для розв'язуваносШ задача noxiuosicubHOl о'пе-pwopnoi. iHs?.epnoAnnit(ll) у вето рнолу прос sopi X кеобх£Зко ло доейзднъо биконання улови (12) з бизначено» биче дешрице» Z. Яицо цл улова виконуеаься, то форлула

Р*Сх) = Q Сх) + <? - Q ' , Г" Г UpCx)>* > , (19)

л л*. л ¿ i = t

код и <ЗлСх) пробегав IP(F) б <"73/, описуе бсо лножину мкерполяцШ-них 04» F onepaaopmij noünoaiö л-го снепенл у беклорноду просяорС X, «о ¿аЗобсиьнямиь у-ювеи ГШ.

Творона 2.4.2. йкщо л < л + 1 , «о задача neAiHQtiaibHol one-pasopnoi ihsepnc4«nii у бекворному просворi X заблЗи роэв'яэубана, Tffopewa 2.4.3. Пехай винонуешъся улоба <12) э бизначеною бищв -дакриче» Z, fodi форлуда СШ, кодй Q (ж) провШе

ITCCF) > í Р Сх)

^ . J а

<Z? , lb . р (в)

I*»«» И"»4«» Л

¿0(|¡2e¡) - Ре»

* [ 1 - 50(|iZ?p ] : Pft e 1£CF) } ,

0e IFCFD iHOiUHa с-пол';иод(б, описуе.бсю лпояину ышерполяцШних

Оля F у бузлах (xt>*_t с X операяорних noлiнoлiв п-го степеня у

бенторнолу npocaopi X, що stiepiaanmb полтоли того ж сведена.

Для опису Bciei множини IfCr) с-полшом1в п-го степеня, визна-

чено1 за формулою (9), необхз.дно !снування принаймиi одного с-по-

л1нома п-го степеня (лема 1.7.1). В цьому параграф! розглянутГтри

приклад! побудови таких пол1ном1в.

Нехай (хаУ - алге<3ра!чний базис у векторному простор! X, який

MicTKTb вузли xt; i = ГГ& <je , "'it.....xA лШйно незалезыи). По-

эначимо через лШйну оболонку, побудовану за системою елемен-

TiB <х >\Сэг,. a I t-i

Теорема 2.4.4. "Нехай X локально опуклий просяСр, систеди, вузл1в <xi)*_t яака, цо .

detT * 0, ? = <FC*.+y)>* . (Г = <Q . •

4 t = I Л Л i 4 = 1 Q

To5i уу e Зо сисвела вузлгв + y>*_t буде ъняерполяцЩноо для операторного полШла (19). ' "

. Теорема 2.4.5. Зехай биконувжься улови, иеореди 2.4.4. Тойl форлулa CI9J у е H°°CF) onuct/e бс» лнохту ттерполяцьйних

с-полыолШ в локально опуклолу веторнолу npocaopi X у вузлах

Ч + vy7-.t сХ • w е '

Нехай

11 Й "

z РСх ) • , 0° = 1 , .rgV = л - а , 1 > 0 ,

1 р = ° lh,J=>

Zv = ls V- К «Т ' V^t = 8 , i « 1,а .

л!н!йно незалешЦ. Теорема 2.4.6. Для розб'дзуЗапоев! заЗач! поДнодшдьно! опе-рсшорко! ¿кшерподяиН (II) у Зекшорнолу npocuopi X необТ1.днил i docmmniJ s виконйння улови

2 ? = § е Y* . С20)

V

Ялщо цч улова' виконуешься, ио/фордула

РхСх) = Q С ж) + '<? - Q* , V~ Г U*!(x)>n > , Q ( П С2П

р = о

аписуе Зс» лнохину 1няерполяЩйних вля F noAino*i6 п-го сяепеня у бекпорнолу npocnopi X, забоболькяочих уловах (11).

Заува.у-ення. Кехай « * л + 1 , X = Y = R . Tofli множинаъполх-щиЛь (21) скяадаеться .э единого интерполяц1йиого алгебрахчного

леяхнома 'л-го степеня Ъиду

Р*(я) = С? , V" Z TI хР) , ■ (22)

•до i;o = (х^, ... , xvJ) , р = 0,п , 0° = i , (•. О скаляряий . дс-бутск в 2 . t •

Кехаи П1 множина лхнхйних onepaTopiB, Qe:X —♦ Y, X, Y векторн!

IIpOOTOpi*..'

Теорема-g.4.7. Еля розд'язуваносаИ задача АиИйно! операторное 1Нп$рполяца у веторнолу npocaopi X необИОнил ва боскаяки е биконанн.ч улоби " '

2? Ъ е Yn , (23)

-го : = ... г ¡¡т . гг^ - в W С, j-S = 3 •

¿Г\ i = диийко незаде««!. Якцо ця улоба бикохуекься, по фор- ■

луАЛ . -

Р:(х) - Q (х) + <? 3 , Г<Г(х))ш > ,

1 1 I tin

описус dcv лнохину 1нтерполяцШних у буздах' (a;.)®_t дтйниг опе-p.'-.opi3 у венаорнолу npocnopi X.

Заувааення.. Теореми 2.4.4 - Е. 4.7 масть Micu.e в г!льбертовому KcocTopi X при'эамШ у в!дпов1дних формулах I Сх) нас (х.х4) .•

Т?ут1»! роздал "Аналхэ точност1 наближень пол!ном!альиих операторов в гхльберових просторах методом 1нтерполяцИ" прнсвячений оцднкам точностх набликенЬ пол1ном1альних onepafopiB методом хн-терг.оляцН в ув&де.ному гнльбертовому npocTopi Hft(Y). а також за-стосуоскням олераторно! онтерполяцП для розв'язання деяких прак-тичних задач. Роэдол скяадаеться з восьми параграфов. В § 1 подано короткий огляд осноэних результат!в розд!лу, В § 2 наведен! необ-xisHi позначенна та постановка задач! наближень пол!ном!альних оператор!® онтерлоляцхЯшш методом, Кехай X. Y сёпарабельн! гхль-Оертов! простора, р деяка uipa на X така, ао 11 кореляцхйния оператор В с анеркчм i КегЗ i 3 . Розглядасться г!льбертовий прост!р HfD аолгао¥1аяьяах оператор<з n-го степеня Р : X —» Y

Р Сх) = Ь + I х + 1-х* + + (25)

п о I л /г

з скалярным добутком

СР

■.•V - £ Х---/ [^'«^¿.»...у,.

О м ,,

х х

, . .у, ЬСА^С*^;).С2Й)

'V

1/г

1 нормою Я ра йн <у, = СРЛ. Р^- , ,

- да ,д%*. К

Цг<)

а, €1Й1 . £ = 1,А .

а =... =а. = о 1 4

Нбхай Рл(х) € Н>г('П деяке наближения оператора Р^(^) виду

Л л л л -

Р Сх) ••■= I + I х + I хг + ... + I хп . (27)

; п о 1 г п

л

Поставимо у в!дпов!дн1сть пол!номам Р Саг), Р (ж) пол!ном1алышЙ

I- ■, по.

оператор п-го степеня Р^ л е 7)

Р1 С») = и + I1* + ... + 1гхп , (28)

Л, Л 0 1 2 л

= V-• -

= Вх< . ..Вй^ , у 1 < I, < 1з < ... < ¿д < <л) ,

'Л-1

5.(х) = Ь.хк - 1.x* ,

А Л Я

с X лШйно неэалежна система елемент!в,

?4С*) = и1йСх),ЧгАСх). =

)ХСХ,*1 )„...(%,* V , V 1 * ¿2 ^ ... < I, < «.)

Мд = Т]^ А 1 , ГА матриця Грама з (элементами

А

V

< •> = Е , а4 € У , /3, € .

I = 1

Розглядаються похибки -

ДС*) = Р (ж) - Р С*)-', А£Сх) = Р1 С ж) - Р (ж) .

л ■ л -л л, т л

ДаШ показано (теорема 3.4.1), >до Р^ %) е .гнтерполяцхйним для Р (%) з 1нтерполяц1йиими умовами Ерм1та • '

Р1 а>С8)Вх. Вх. ох. = ?а,Св)В*. Вх. Вх. .

A. A._t Л ki t

у 1 < Аг < ... < in , i =0,n , ^ Основна задача полягае в проведение анал!эу 'похибки .штерполяцИ ¿4%) в .метрицд простору Нл(YD та пор1вняння 11 з похибкою ДСх) в

ink метриид.

3 § 3 доводяться деяк! допом1жн1 результата, необх1дн! для по-дальшого викладання. В § 4 наведенi OQHOBHi теореми анал1эу точно-ст1 1ктерполяц11 полшомхальних оператор:в.

Теорема 3.4.2. Нёхай сисмеда едедениИб <xi>*_i ¿ittidHO незало хна в X i пос-иЗобнивь Ba^, i -- 17л вака, що биконуешъся при-;шЛ.и одна i< п улов

б'А,(ЮЗх. Вх. ...Вх. = А!£.(Вг. Вх. ...Вх. )/8r С29)

к t , t , 4 А 4 i i.

A A-J 1 12 , A

то OÍ

1 < i < t i . .. < i. < m , A' =. 1.л .

I ' 2 A

¡I Ин «у, < II Д «Н «V> • ft "

Таким чином, в умовах теореми 3.4.2 яке d не було наблихення• Рл noníHQMiaflbHoro оператора Pft, точность його в метрит простору К СY3 ..завжди можна п1двшцити за допомогою операторно! АнтерполяцП Снавхть э використанням лише одного днтерполяц1йного вузла).

Теорема 3.4.3. Нехай сиешела элеленш1в <*t>®_i дíhíüho неза-.4в»>«а. Too i -

' II ¡IH <Y> * II £ йн «Y, V« - 1.2...... (30)

л n

Янцо Cñx .x .) = 6. . , i, J - 1, 2, ... i винскутъсА улови (29),

i J X i / ■

чс кергбнСсяь (30) спае строго». .

Теорема 3.4.4. Нехай е побкою сиспедо» б X. Todi лае

исце aóixHiciяь ¿няерлодяцШого лроцесу Р* Сх) flo Pft(x) б деяри-цг просяору HCY). тобшо

П д1лЙН(1т а0 •

Теорема 3.4.5. Нехай орвонордобаний баsue. б X, екда-

Зекий 8 бдаених елеленШв операвора В. ГоЗ{ спрабебдиба ouíhkq

К .V, «Сл(аЛ- , л

Sf 0 * о(В) > 0 , С не задета б id «в Ообояня комеданиа.

Л

Ь>хай тепер , ортснормований базис в У. Розгляне*о р

Н СУ) л!н1йну оболонку 2(.т), лобудовану за системою элементов Л а. Сх)у У , А = ГГ . г = О7п , р = 1,2..... М = 1 .

Ав 8 . О

Теорема 3.4.6. Ортогональна проекция Рл е Н^СУЗ на 2СтУ сп(в-падае а ¿нкерполяцШнил польнолол Врл¿да Р^ ящо

■ 1.хк = в е У , -А = 1~л ,

т *

шобто полхнол Р1 (%) ябляе собою розб'азов задач!

Чп/ || рп - 0п ||н , 0Л € гс«5 .

п

В § 5 розглянуто зв'язок м1ж нормами || ||+, ||-||н (У) , || ■ || л1-

а

н!йного оператора, де Х+ = В X с X .

Теорема 3.5.1. Пехай л(Н1йций оператор I : X —► У неперервний б X, де Х,У сепарабедьк! гьльбертовс просяори. Тод1 лать дЮце нергбносли

В 11 || Ц ||н < || Ь, ЦСЭрВ)1/г . (31)

I

Яри цъолу, якцо Ь^. Х^ , йо львосяороння нерьвнюшь, в (31)

с>)!ае*р1бК1си». '

Заувакення. Якщо хо е Х+ , то на тдставг (31) в умовах теоре-ми 3.4.5 маемо оц!нку похибки !нтерполяцП л!нШгого оператора

| Л^х) ||у < С/сгт^-'^И х й+ • '• (32)

■ В § 6 роэглянута можлив1стъ эастосування операторко! хнтерпо-лящ1 для розв'язку л1н1йных операторних р1внянь. Нехай розв'язуеться задача

Аи = ¡£ , / ( X , и « У , (33)

Х,У сепарабелыи гильбертов! простори, А л!н1йний оператор, який мае обмежений обернений. Нехай дал! липйно незалежнл ело-

менти з У, на яких в1дом! значения £ = Аи1 , £ = 1,т , ! кр!м то-"

го, оператор 3 такий, цо р!вняння В/. = £ розв'яэушъся достатньо

а

ч^ просто. Ход!, якщо в!домо деяке наближення А"' оберненого оператора, то з допомого» розглянутого вище !нтерполяц!йного процесу (28) при п = 1 , 1о =.б1 € У ', залишавчись в умовах теореми 3.4.2, можна побудувати нове, краше в розумлпи .метриид простору Н (У), нзблн-ження А"'1 оберненого оператора А"1. Розглянуто приклад двохточко-во! крайово! задач! для звичайного диференидаяьного р1вняння другого порядку, приведен! -результата обчислень. Сл!д зауважити. то коли вузли вибрати власними елементами оператора В. (/4, / ) =

-S , то на подстав! (32) для розв'яэку задач! (33) !нтерполя-шйиим методом маемо оиднку похибки у вигяядо

II и* - и^ ||у < С/огт^-'^й X ||+ , *

ди •а точиий розв'язок ровняння (33), - наближений, одержаний за допомогою !нтерполяцН оберненого оператора у ьузлах /., L - l.ffl .

В § 7 рсзглянуто i обгрунтовано застосування пол!ном!ально! . операторно! онтерполяцИ в задачах 1дентифокац1! пол!ном1альних систем. Показано, що(у випадку, коли система, то 1дентиф1куеть-оя являв собою BiBpiaoK ряду типу Вольтерра, а вузли iнтерполян-та (28) вибран! ортонормованими власними елементами оператора В.' то !дентиф!кац!я за допомогов октерполяйта (28) сп1впадае а ; !дентаф1кац!ею, зд!йсненою методом ортогональних момент!в, ! мае wicue adisjiicTb полоном!альних наближень при m —♦ со . Але якщо система вузл!в <xi}*_i не е базисом (нехай навоть повна в X), то ■ adiajiocTi наближень методом ортогональних момент!ь, вэаг'ал! кажучи, не буде. Для методу операторно! 1нтерполяц!Г одержан! оцднки похибки в метриц! простору HftCY), а у випадку повно! системи вузл!в доведена зб!жн!сть !нтерполяц!йного процесу.в uift , метрит.

Сл1д зауважити. цо в задачах 1дентиф!кац!1 деяких нелШйних систем яепол!ном!ального виду мозуть бути застосован! imai iHTep-поляцойи! методи. Так, наприклад, для !дентиф!кааоI оператора Ури-соиа а нев!домою пШнтегральною нел!н!йн!стю ефективним е набли-кенкя ц!е! нелШйност! за допомогоо параболочних сплайнов.

В § 8 методом операторно! онтерполяцП . одержано важлив! для практики ьировення оадачо визначення л!н!1 перетину двох поверхень л-го порядку. . ;

CCHOBKI РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1; Побудоэаиий эгладжуючий операторний пол!ном п-го степеня як

епеы^нт кайкрааого каближекня в г!льбертовому простор! НШ. 3 Лоьеден! тсареми про кеобх!дя! та достатко умовк !снування ^••:т>*ргсллцШюго операторного пол!нема n-го степеня у г!льбер-

товому 1 довЬтьному векторному просторах.

3. Конструктивно описана вся множина 1нтерполяц1йних операторних пол!ном!в п-го степеня, а також множима операторних 1нтерполян-т!в, що зберхгають пол!номи в1дповхдного степеня в них просторах.

4. Доведена теорема про необххдну та достатню умову хснуванйя операторного пол1нома Ерм1та эаданого степеня в г1льбертовому простор!.

3. Одержано конструктивная опис вс1е1 множини операторних полгно-м1в Ерм1та л-го степеня, а також множини пол!ном1в Ермдта, що 3(5ер1гають операторн1 полГноми в1дпов!дного степеня в гхльбер-товому простор1.

6. Одержан! о[Цнки точност1 наближень пол1ном!альних оператор из методом !нтерполяцН в г!льбертовому простор!, доведено теореми про зб1жн1сть !нтерполяц1йного продесу, а також про швидк!сть зб1жност1 для специально вибраних вуэл1в. У зв'язку з тим, що ' ряд результата дисертацП одержано в спхвавторств! з проф. Макаровым В.Л. в кхшп кожного роэд!лу ви-значений осоо'истий внесок автора.

0сновн1 резулътати дисертацП опубл1кован1 в роботах

1,. Хлобыстов В. В. О некоторых свойствах экстремальных параболических сплайнов//Вычисл. и прикл. матем. , 1982, вып. 48.

- с. 23-26.

2. Хлобыстов Э. В. Оценка координат источников сигналов при \ сферическом фронте волны // Кибернетика. - 1986, N-1.

с. 9-13.

3. Хлобыстов В. В. Оценки координат источников сигналов и системы измерителей//ДАН УССР. сер. А. - 1987, N-7. - с. 68-70.

4. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн-аппроксимация функций.

- М. , 'Высшая'школа, 1983. - 80 с.

5. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В., Чекан Д. Д. Некоторые вопросы -идентификации нелинейных'функциональных систем//Вычисл. и прикл. матем.,. 1989, вып.67.' - с; 101-106.

6. Макаров В. Л. , Хлобыстов В. 3. Об одном подходе. к решении задачи' идентификации модели Урысона//Электронное моделиро-

вакие. - 1988, N-4. - с. 12-15.

7. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В. Интерполяционный метод решения задачи'идентификации для функциональной системы? описываемой оператором Урысона//ДАН СССР. - 1988, т. 300, N-6. -'с. 1332-1336.

8. Макаров В. Л., Хлобыстов В.В. Интерполяционная формула типа Ньютона для нелинейных функционалов // ДАН СССР. - 1989, т. 307, N-3. - с. 534-537. (Soviel. Math. Dokl. voi.. 43 С1991) N-l, p.,106-109) ■.

9. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Об общей структуре полиномиальных функциональных интерполянтов // ДАН СССР. - 1991, т.318, N-4. - с.805-808. (Soviet. ; Math. Dokl. vol. 43

'. (1931) N-3, p. 771-774)

10. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Полиномиальное интерполирование нелинейных функционалов//ДАН СССР. - 1991, т.321, N-3. -с. 470-473. (Soviet. Math. Dokl. vol.. 44 (1992) N-3, p. 721-725) ' •„','*

11. Макаров В.Л., Хлобыстов B.B. Об общей структуре интерполяционных функциональных полиномов//Укр. мат. журя. - 1991; т. 43, N-10. - с. 1361-1367.

12. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Полиномиальное интерполирование операторов в гильбертовых пространствах//ДАН России. -.1992, т. 324,' N-4. - с. 742-745. (Russian Acad. Sei. Dokl. Math. vol. 45 (1S92) N^3. p.624-628)

13. Макаров В.Я., Хлобыстов B.B. Эрмитова интерполяция операторов в гильбертовых простраяствах//ДАН России. - 1992, т.327', N-2. - с. 1183-185. (Russian Acad. Sei. Dokl. Math, vol. 46 (1993), N-3, p. 435-438)

14. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Полиномиальное интерполирование операторов в векторных пространствах//ДАН России. -1993, т.329. Н;2. - с. 135-139. (Russian Acad. Sei.' Dokl. Math. vol. 47 (1993))

15. Хяобистоз B.B. Згладжуючий операторний полxном в гхльбер-"-овому простор: Н(Х)//0бчисл. та прикл. матем: Сб. наук, пр. - Ки1в, 1993, вип.77. - с. 27-35.

15. Хлобистов В.В. Полиномиальна 1нтерполяц1я оператор!в у пякЗерто&их просторах//0бчисл. та прикл. матем. Сб. наук.

пр/ - Ки1в, 1993, вип.77. - с.44-55.

17. Макаров В. JL , Хлобыстов В. В. Повышение точности приближений полиномиальных операторов в гильбертовых пространствах методом интерполирования /<ЯАН России. - 1994, т. 334, N-1. - с. 20-22. .

18. Khlobystov V.V. On the identification of nonlinear opera- '

• tors and it's application/zBoundarу elements IX, v. 1:. Mathematical and Computational Aspects, Springer-Veriag, Berr lin, 1987. - p. 43-58, Co-author Makarov V.L.

19. Khlobysiov V. V. The Newton-type interpolational formula for the nonlinear operator^ and it's application/zConferen-ce of numerical methods and application, Sofia, August,-22-27, 1988. - p. 272-283. Co-author Makarov V. L.