Полные функции Грина в теории источников тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Причинные методы теории источников

§1. Физические источники.

§2. Скалярные частицы. Вакуумная амплитуда. Основные постулаты теории. Вынужденное излучение.

§3. Частицы спина I. Фотон.

§4. Частицы спина 1/

§5. Поля. Действие.

§6. Электродинамика. Скелетное приближение.

§7. Матричные элементы.

§8. Учет высших процессов. Обобщенные источники. Двухчастичный обмен. Эффективные источники.

§9. Модификация фотонной функции распространения.

ГЛАВА II. Пространственно-временная картина уравнений для полных функций Грина.

§1. Локализуемость обобщенного источника

§2. Модификация обобщенного источника

§3. Полный фотонный пропагатор

§4. Спектральность функции Гелл-Манна

§5. Асимптотика фотонного пропагатора

§6. Сравнение с уравнениями квантовой теории поля

ГЛАВА III. Приложение метода для описания свойств адронов

§1. Нестабильные частицы. Полный пропагатор ^ -мезона

§2. Электромагнитный формфактор пиона. Аналитические свойства в модели векторной доминантности

§3. Асимптотика электромагнитного формфактора пиона

§4. Низкоэнергетические теоремы, структурные параметры пиона

Теория источников была предложена Ю.Швингером в 1966 г. [l] как обобщение операторной теории поля и, одновременно, аналитической теории £ -матрицы, имещее целью дать описание физики высоких энергий математически строгое и основанное на минимальном числе постулатов с одной стороны и тесно связанное с экспериментом с другой.

Новая теория дала тот самый адекватный физике формализм, в котором отсутствуют операторные поля, адиабатическая гипотеза, ультрафиолетовые расходимости, который имеет прозрачный переход к нерелятивистской квантовой механике, к классической механике. О необходимости такого формализма в разное время много говорилось / см., например, [2] /.

Представляется естественным, что область применимости современной теории источников вышла далеко за пределы физики элементарных частиц и простирается от электродинамики сплошных сред и теории сверхтекучести до супергравитации. К обзору применений и достижений теории источников мы и перейдем.

Исторически первым объектом применимости теории источников была квантовая электродинамика [3 - б] ♦ Здесь были воспроизведены все достижения квантополевого подхода в вычислении наблюдаемых, причем развитые методы оказались столь мощными и одновременно простыми, что позволили провести наглядный /ручной/ рас-чет аномального магнитного момента электрона с точностью до е^ [7] амплитуду комп- : тоновского рассеяния до е^ [8]. Амплитуда ее рассеяния была рассчитана до е6 [э]. Было исследовано интересное явление возникновения второго заряда" [io] в скалярной электродинамике [if] в теории без расходимостей. К такому нетривиальному следствию привело условие совпадения однократной и двойной спектральных форм для амплитуд рассеяния вперед. Рассматривались также Т- N взаимодействия в высших порядках [12].

Изучение аналитических свойств амплитуд и трехточечных функций Грина привело к конструированию однократных спектральных форм [5,6,13]. Значительным успехом явилось доказательство двойных спектральных форм [3,5,14] для амплитуд рассеяния так называемого представления Мандельста-ма [l5]. Это доказательство имеет простой физический смысл, не содержит обычно употребляемой сложной математики не в ущерб строгости. Здесь были развиты мощные методы исследования аналитических свойств амплитуд, аномальных порогов [16,17] сравнения двойных и простых спектральных форм [9,11,16,18 J.

Естественно и просто теория источников описывает движение заряженных частиц в однородных внешних электри-чеческом и магнитном полях. Эта проблема рассматривалась еще в основополагающей работе Швингера [19]. Здесь был развит метод точных функций Грина, явившийся одним из генетических корней теории источников. При использовании этой техники были воспроизведены рассчеты синхротронного излучения [20] найдены квантовые поправки [2l] к нему. Впервые были исследованы и рассчитаны эффекты роздения электрон-позитронных[221 и нейтринных [23J пар фотонами, движущимися в сильныхважныеполях. Эти эффекты имеют астрофизические приложения, особен-? но в физике пульсаров [24].

Методы теории источников дали возможность впервые рассчитать наблюдавшийся экспериментально тонкий эффектсовместного синхротронного и черенковского излучения [2b] в классическом и квантовом подходе. Для нужд создателей новых типов детекторов частиц, основанных на регистрации излучения в оптическом диапазоне, было всесторонне исследовано явление интерференции переходного излучения [2б] частицы при прохождении пластины с черенковским излучением [27], Зависимость интенсивности суммарного излучения от энергии частицы имеет резкие пики и провалы, что и составляет основу работы такого детектора. Еще одним исследованием, имеющим важные следствия для эксперимента, был рассчет рождения пар виртуальным синхритронным излучением [28],Другой областью применимости теории источников в макроскопической квантовой электродинамике стала разработка полной теории эффекта Казимира [29] т.е. рассчет ван-дер-Ваальсовых сил между макроскопическими диэлектриками или проводниками в зависимости от от их конфигурации, расположения и температуры. Здесь вступила в игру важнейшая особенность теории источников - описание изучаемых объектов на экспериментально контролируемых расстояниях /в противоположной асимптотической постановке задачи, характерной для теории поля/. Это дало возможность рассмотреть релятивистскую" квантовую задачу с классическими граничными условиями, оказавшуюся весь ма характерной для эффекта Казимира. Отметим, что в квантовой теории поля имеются зачастую непреодолимые трудности в расчете конкретных конфигураций [24]. При использовании метода функций Грина фотона при заданных граничных условиях в теории источников были рассчитаны силы между двумя параллельными пластинами из диэлектрика или проводника при произвольной температуре [зо], найдена казимирова энергия сферическойполости в проводнике [3l] рассчитаны силы в сверхпроводящей цилиндрической полости [32]. Здесь были впервые решены многие проблемы, поставленные еще Казимиром [29]. Неожиданно было выяснено математическое родствп задачи о силах Казимира и проблемы скрытой теплоты и поверхностного натяжения в жидкостях типа жидкого гелия [зо]. Оказалось, что эти эффекты в значительной мере могут быть оъяснены с позиций макроскопической кванровой электродинамики.

Попытка симметризовать электродинамику по электрическому и магнитному зарядам естественно приводит /на языке теории источников/ к дионной модели [зз]. Дионы -элементарные объекты, несущие электрический и магнитный заряды, причем электрический и магнитный заряды дионов равны- 1/3 -1/3 и 2/3. Этим дионы очень похожи на кварки. Это сходство еще больше увеличивается, если предположить, что современный термин "цвет" тождественен термину "магнитный заряд" [34]. Нейтральные в магнитном отношении адроны- это бесцветные адроны кварковой модели. Рассмотрение дионов в рамках объединпнной теории электромагнитных и слабых взаимодействий [Зб] привело к предсказанию семейства частиц [35,3б1 и расчету различных каналов их распадов [37].

В теории источников много занимались проблемой магнитного монополя [4,38]. В частности, Швингер показал, что предположение о том, что магнитный заряд Вселенной равен нулю /"симметричная" точка зрения/ приводит к выводу, что минимальный магнитный заряд вдвое превышает значение минимального магнитного заряда, предсказанное Дираком Г 39]. Оказалось, что именно такая величина магнитного заряда /и кратные ей/ обеспечивают лоренц-инвариантность амплитуды рассеяния электрического заряда на монополе [40]♦Детально было проанализировано и просчитано нерелятивистское [41] и классическое релятивистское [42] дион-дион-ное рассеяние.

Особого внимания заслуживает новый подход [43] к ренормализационной группе [44, 4б]. В отличие от традиционных методов получения уравнений ренормгруппы /уравнений Гелл-Манна - Лоу/, основанных на явном введении обрезающего расходимости параметра /или ему эквивалентных/ и последующем утверждении, что физические величины не зависят от такого параметра, теория источников дает возможность вывести основные постулаты ренормгруппы и уравнение Гелл-Манна - Лоу из рассмотрения аналитических свойств полных функций Грина, В частности, здесь был получен замечательный результат, что в электродинамике функция Гелл-Манна - Лоу совпадает, с точностью до множителей, со спектральным весом фотонного пропагатора в фазовом представлении [43]. Здесь опять новый уровень физического понимания был достигнут за счет свободного от расходимостей формализма теории источников.

Важность и плодотворность совместного рассмотрения аналитических и ренормгрупповых свойств отмечалась также в работах [46].

В работе [47] дан основанный на подходе [ 43J анализ спектральных и ренормгрупповых свойств "модели Швин-гера" [48]. Модель представляет собой электродинамику в двух измерениях - одно пространственное и одно временное. Причем фермионы предполагаются безмассовыми. Полный фотонный пропагатор в первом же приближении совпадает с точным. При этом у Фотона появляется масса за счет исчезновения фермионовЦелью пионерской работы [48] было построение примера ренормируемой теории с массивным калибровочным полем. Позднее рассматривался случай массивных фермионов. Точно решаемая "модель Щвингера? вызвала огромный интерес и обсуждается при рассмотрении различных механизмов динамической генерации масс [49] конфайнмента кварков [бо] калибровочных теорий на решетке [5l] структуры вакуума [52] проблемы связанных состояний [53] термодинамики [54].

Однако, здесь для нас существенно, что в пионерских работах [48] модель была сформулирована на языке, который затем стал языком теории источников. "Модель Швингера" генетически предшествовала теории источников. Не случайно последняя унаследовала многие привлекательные черты и проблематику модели. В частности, на основе механизма динамического нарушения симметрии была развита /в теории источников/ объединенная теория электромагнитных и слабых взаимодействий [35]. Вопрос конфайнмента кварков рассматривается в упомянутой дионной модели. Теория массивного калибровочного поля и генерации массы в подходе теории источников подробно изложена в [55] а применительно к модели векторной доминантности в [56,57j.

Плодотворным оказалось применение теории источников к задаче о вычислении квантовых поправок к классическому лагранжиану электромагнитного поля [58] построении эффективного потенциала в квантовой электродинамике [59], нахождении эффективного лагранжиана квантовой электродинамики с учетом конечных температур и внешних полей [бО]. Такаяплодотворность обусловлена упоминавшейсяпрос-тотой перехода к классическому рассмотрению в теории источников.

Интересное применение теория источников нашла при описании сверхизлучательной способности активных сред[61] и когерентных фотонных состояний [б2]. Сверхизлучение испускается с.редой, имеющей инверсную заселенность уровней /отрицательная температура/ и обладающей аксиальной симметрией. Излучение происходит вдоль оси симметрии. Симметрия может быть обусловлена как"внутренними" причинами /например, строением кристаллической решетки/ так ^'внешними". Например, это может быть стеклянная цилиндрическая трубка со смесью газов, причем излучение происходит вдоль оси трубки. В этом последнем случае имеется квантовая система /газ при отрицательной температуре/ с классическими граничными условиями /стенки трубки/.Здесь легко усмотреть аналогию с казимировским: вакуумом в классической полости, сверхтекучей жидкостью в классическом сосуде. Уже отмечалась большая результативность рассмотрения таких квантовых задач с классическими граничными условиями в теории источников.

К числу фундаментальных достижений теории источников следует отнести интерпретацию [бЗ] лагранжианов, приводящих в квантовой теории поля к неперенормируемым взаимодействиям. Несмотря на отсутствие расходимостей и перенормировок в теории источников целесообразно сохранить термины перенормируемые и неперенормируемые взаимодействия. Они отличаются тем, что первые для полного описания картины взаимодействия на всех расстояниях /при любых энергиях и передачах/ требуют конечного набора феноменологических /т.е.невычисляемых в рамках данной конкретной схемы/ параметров, напримет, масс и зарядов. Неперенормируемые взаимодействия обладают таким свойством лишь на конечном отрезке энергетической шкалы. Для расширения рассматриваемого энергетического отрезка требуются новые феноменологические параметры, которые в реалистических теориях задаются массами и ширинами резонансов. Несмотря на ограниченную предсказательную силу таких, неперенормируемых теорий они;тем не менее,получают право на существование. Такая трактовка неперенормируемых взаимодействий стала возможной благодаря характерным чертам теории источников - способности рассматривать явления только на фиксированной конечной пространственно-временной области и отсутствию формальных разложений теории возмущений.

Одним из побудительных мотивов для создания теории источников было "недовольство притязаниями алгебры токов £64^ на роль не просто низкоанергетической феноменологии а некой фундаментальной схемы" [4]. Ясно, что одним из первых применений теории источников было воспроизведение результатов алгебры токов в новом подходе. Однако это воспроизведение Й было весьма своеобразно, поскольку не использовало ни операторных полей, ни, тем более, операторных токов. Швингер исходил из феноменологического лагранжиана низкоэнергетической пион-нуклонной системы. Подчинив его требованию частичной киральной симметрии [6б] он естественным образом пришел к появлению неабелевых калибровочных полей, соответствующим мезонным резонансам [бб] описал электромагнитное расщепление масс [б7, 571 • При этом попутно получилось соотношение Гольдберга- Треймана, Фейнман - Гелл-Манновская феноменология ^ - распада пионов и нуклонов fee] отношение аксиал - вектор для нзгклонов, сохранениевекторного и частичное сохранение аксиального токов, предсказание магнитных моментов нуклонов [бЙ. Интересно признание С.Вайнберга [?о2 который сам много занимался вопросами частичной инвариантности лагранжианов по различным группам, что пытаясь унифицировать перечисленные выше стороны феноменологии он пришел к теории, которая оказалась теорией источников Швингера /в частности, "алгебра токов без алгебры токов"/.

Общие методы теории источников применялись для описания гравитации [71, 4] как конформно-ковариантной теории безмассовой частицы спина два /гравитона/. В приближении слабого гравитационного поля /линеаризованная квантовая гравитация/ были получены все наблюдаемые эффекты [4 72 73-} причем в некоторых случаях имеется различие с предсказаниями общей теории относительности, однако расхождение не выходит за пределы экспериментальных ошибок. Здесь были выполнены очень простые рассчеты кванто-воэлектродинамических :поправок к гравитационнымвзаимодей-ствиям электрона [74] и фотона [75]. В случае сильного гравитационного поля непротиворечивость квантового описания требует [4, 75] /в теории источников/ введения искривленного пространства. Такая теория представляет собой обобщение общей теории относительности, отличаясь от последней в первую очередь тем, что это в явной форме квантовая теория. Такое построение стало возможным благодаря важному преимуществу теории источников - ее формализм не делает различия между квантовым и классическим описанием. Та или иная /квантовая или классическая/ специфика выявляется лишьпри соединении общего формализма с конкретными начальными /граничными/ условиями. Например, заданием масштаба рассматриваемых энергий-импульсов или времен-расстояний.

Сследует отметить, что не являясь /разумеется/ единой теорией всех фундаментальных взаимодействий, теория источников тем не менее, описывает все взаимодействия, в частности, эдектромагнетизм и гравитацию с единой точки зрения ]73\ аналогичным аппаратом. В этом смысле она является воплощением желания Эйнштейна единообразно описать различные взаимодействия, имея в виду дальнейший переход к объединенным теориям*Интересен подход теории источников к вопросам суперсимметрии и супергравитации. Еще в первой работе [i] по теории источников был сформулирован мультиспинорный способ описания частиц произвольного спина и типа статистики, представляющий собой существенное обобщение рассмотрения спина 3/2 Рариты - Швингера [77]. После подробного изучения такого способа [4] были построены [78] преобразования, переводящие фермионы и бозоны друг в друга. Алгебра таких преобразований была применена в работах [79] при построении конструктивного подхода к супергравитации - теории взаимодействующих гравитонов и гравитино, а также при исследовании связи таких взаимодействий с гравитационными.

Методы теории источников широко применялись [80] при изучении треугольных аномалий /напомним, что в теории источников отсутствуют традиционные расходимости в частности, и таких диаграмм/ в объединенных теориях электромагнитных и слабых взаимодействий. Здесь рассматривались радиационные поправки к треугольным аномалиям, магнитный момент мюонов и "W" - бозонов, применения к процессам радиационного рождения пионов на нуклонах, расп^адам нейтральных пионов и каонов. Отметим, что данное здесь описание двухфотонного распада Кц- мезона встречает трудности в обычном подходе. Сходные методы применялись для описания в теории источников нелинейностей, связанных с зависимостью магнитного момента электрона от сильного внешнего поля [81]. Поляризация электронов в однородном магнитном поле рассмотрена в [82].

Интересна работа [83] в которой преимущества теории источников демонстрируются на примере точно решаемой модели Ли.

Особую группу составляют работы [84] в которых теория источников применяется для описаниятаубоко неупругого рассеяния различных лептонов на нуклонах, высокоэнергетической электрон-позитронной анигиляции, мезон-нуклонного рассеяния. Здесь многие результаты, традиционно ассоциируемые с кварк-партонными моделями, были получены без предположений о структуре адронов.

Вместе с тем в теории источников успешно описываются модели адронов типа мешков [85]. Здесь рассмотрение свободных кварков, запертых в сферической полости, оказывается аналогичным задаче Казимира [29 - 32"] т.е. квантовой системе с классическими граничными условиями.- В последнее время теория и эксперимент обратились к выяснению пространственно-временной картины формирования наблюдаемых частиц в соударениях - "полуголые" или "юные" состояния, а также кластерный механизм адронизации [86^. В теории источников, лишенной перенормировок, вопрос взаимодействия частицы с собственным полем на начальной стадии эволюции частицы приобретает большую ясность[87] кроме того, здесь предпочтение отдается именно описанию в пространствег-времени.

Во многих случаях преимущества теории источников обусловлены применением метода полных функций Грина в пространстве-времени.

Остановимся на содержании диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. На основе модельного предположения о локализуемоети эффективного источника многочастичной системы в теории источников Швингера развит метод получения уравнений для полных -функций Грина, точные и приближенные решения которых свободны от нефизических сингулярностей, а приближенные решения аналитичны по константе связи.

2. Дана пространственно-временная картина вкладов виртуальных и реальных процессов в полные функции Грина.

3. Показана ренорминвариантность предложенного подхода и продемонстрирован степенной рост инвариантного заряда в электродинамике при стремлении квадрата импульсных передач к бесконечности, причем результаты ренормгруппового подхода, основанного на квантовой теории поля дают предасимптотику полученных выражений.

4. Полученные уравнения применены для описания пропагаторов нестабильных векторных мезонов -и электромагнитного форм-фактора пиона. Показано, что учет уже однопетлевых эффектов в модели векторной доминантности позволяет здесь правильно описать экспериментальные значения формфактора пиона, а также вычислить ширину ро-мезона, зная массы ро- и пи-мезонов.

Мне приятно поблагодарить моего учителя В.А.Мещерякова. Для меня были очень интересны и полезны обсуждения вопросов, затронутых в диссертации, с В.М.Дубовиком, В.Г.Кадашевским, Н.В.Красниковым, С.В.Михайловым, С.Н.Николаевым, Р.Н.Фаусто-вым, Д.В.Ширковым. Я благодарен соавторам включенных в диссертацию работ Ю.П.Иванову и В.И.Иноземцеву. Я признателен Н.В. Хомутову за помощь в проведении числовых и аналитических выкладок на ЭВМ. Благодарю также сотрудников информационно-библиографического центра при ГПНТБ СССР.

1. Rohrlich F. In "Foundations of Radiation Theory and Quantum Electrodymanics", ed. by Barut A.O., Plenum, N.Y., 1980, p. 155. Бьёркен Д.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т. I, Наука, М., 1978, с. 9.

2. Schv/inger J. Phys.Rev., 1967, 158, p. 1391.

3. Швингер 10. Частицы, источники, поля, т. I, Мир, М., 1973.

4. Швингер Ю. Частицы, источники, поля, т.2, Мир, М., 1976.

5. Schv/inger J. Particles and Sources, Gordon and Breach, IT.Y., 1969.

6. Milton К.Л., Tsai Y/.-Y., DeRaad L. L., Jr. Phys. Rev., 1974, D9, p. 1809; p. 1814.

7. Milton К.Л. , Tsai Y/.-Y., DeRaad L.L., Jr. Phys.Rev., 1972, D6, p. 1411; p. 1428.

8. DeRaad L.L. , Jr., Ilg.Y.J. Phys. Rev., 1974, D10, p. 683; p. 3440.

9. Rohrlich F. Phys.Rev., 1950, 80, p. 666.1.. DeRaad L.L., Jr. Phys.Rev., 1975, D11, p. 282.

10. DeRaad L.L., Jr. Phys.Rev., 1976, D13, p. 2900.

11. Schv/inger J. Biys. Rev., 1974, D9, p. 2477. Ivanetich R.J. Phys.Rev., 1974, D10, p. 468.

12. Ivanetich R.J. Phys.Rev., 1973, D8, p. 4545; p. 4564.15. bland el stara S. Phys. Rev., 1959, 115, p. 1741.

13. Ширков Д.В., Серебряков В.В., Мещеряков В.Л. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях, Наука, Li., 1967.

14. Ivanetich R.J., Tsai Y/. -Y, DeRaad L. L. , Milton K.A., Urrutia L.F. Physica, 1979, 9бЛ, p. 233.

15. Ivanetich R.J. Phys. Rev., 1972, D6, p. 2805. Ivanetich. R. J., Ph.D.Dissertation, Harvard, 1969.

16. Urrutia L.?. Ph.D.Dissertation, UCLA, Los Angeles, 1978.

17. Schwinger J. Phys. Rev., 1951, 82, p. 664.

18. Schwinger J. Phys.Rev., 1973, D7, p. 1696.

19. Tsay Y/.-Y., Yildiz A. Phys.Rev., 1973, D8, p. 3446. Tsay Y/.-Y. Phys.Rev., 1973, D8, p. 3460.

20. Schwinger J., Tsai Y/.-Y. Ann.Phys. (IT.Y. ), 1978, 110, p. 63. Tsai Y/.-Y. Phys.Rev. , 1978, D18, p. 3863.

21. Tsai Y/.-Y., Erber T. Phys.Rev., 1974, p. 492. Tsai Y/.-Y. Phys.Rev., 1974, D10, p. 1342; p. 2699. Urrutia L.F. Phys.Rev., 1978, D17, p. 1977.

22. DeRaad L.L., Jr., Milton K.A., Dass 1T.D.H. Phys.Rev., 1976, D14, p. 3326.

23. Milton K.A. In "Foundation of Radiative Theory and Quantum Electrodynamics", ed. by Barut A.O., Plenum, IT.Y., 1980, p. 173.

24. Schwinger J., Tsai Y/.-Y., Erber T. Ann.Phys. (IT.Y.), 1976, 96, p. 303.

25. Erber Т., V/hite D., Tsai Y/.-Y., Latal H.G. Ann. Phys. (IT.Y.), 1976, 102, p. 405.

26. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Электродинамика сплошных сред, Наука, М., 1982.

27. DeRaad L.L., Jr., Tsai Y/.-Y., Erber T. Phys.Rev., 1978, D18, p. 2152.

28. Tsai W.-Y., blearing J,, DeRaad L.L., Jr. Phys. Rev., 1980, D21, p. 3428.

29. Milton K.A., DeRaad L.L., Jr., Tsai w.-Y. Phys.Rev., 1981, D23, p. 1032.

30. Casirnir H.B.G. Proc.K.lIed. Acad.Wet., 1948, B51, p. 793. Лившиц E.M. ЕЭТФ, 1955, 29, c. 94.

31. Schv/inger J. Lett.Math.Phys., 1975, 1, p. 43.

32. Schv/inger J., DeRaad L.L., Jr., Hilton К.Л. Ann. Phys. (IT.Y.), 1978, 115, p. 1.

33. Milton К.Л., DeRaad L.L, Jr., Schv/inger J., Ann. Phys. (II. Y.), 1978, 115, p. 388.

34. DeRaad L.L., Milton K.A. Ann.Pliys. (II.Y.), 1981, 136, p. 229.

35. Schv/inger J. Phys.Rev., 1968, 173, p. 1536.

36. Schwinger J. Science, 1969, 165, p. 757.

37. Schv/inger J., Phys.Rev., 1973, D7, p. 908. Schwinger J. Phys.Rev., 1973, D8, p. 960.

38. Schv/inger J. Phys.Rev.Lett., 1975, 34, p. 37. Schv/inger J. Science, 1975, 188, p. 1300.37. 'Schv/inger J., Milton K.A., Tsai V/. Y., DeRaad L. L., Jr.

39. Phys.Rev., 1975, D12, p. 2617.

40. Tsai W.-Y,, DeRaad L.L.,Jr., Milton K.A., ibid, p. 2620. Schv/inger J., Milton K.A., Tsai W.-Y., DeRaad L. L., Jr. Proc. rlatl.Acad. Sci. USA, 1975, 72, p. 4216.

41. Schv/inger J. Phys.Rev., 1975, D12, p. ЗЮ5.

42. Schv/inger J. In "Gauge Theories and Modern Pield Theory", ed. by Arnov/itt R., Hath P., HIT Press, Mass., 1976, p. 337.

43. Dirac P.A.M. Eroc.Royal Soc. of London, 1931, A133, p. 60.

44. Ore P.R., Jr. Phys.Rev., 1976, D13, p. 2295.

45. Schv/inger J., Milton K.A. , Tsai W.—Y., DeRaad L. L., Jr., Clark D.G. Ann.Phys. (II.Y.), 1976, 101, p. 451.

46. Barut A.O. ,Beker II. Preprint Miraniare-Trieste, 73/13, 1973.

47. Schvdnger J. Pro c.ITat. Acad. Sci. ITSA, 1974, 71, p. 3024; p. 5047.

48. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей, Наука, М., 1976.

49. Владимиров А.А., Ширков Д.В. УШ, 1979, 129, с. 407.

50. Krasnilcov II.V. Report on Math.Phys., 1980, 17, p. 309. Krasnilcov IT. V. Hucl.Phys., 1981, B192, p. 497. Красников H.B. ЯФ, 1982, 35, c. 1594.

51. Yildiz Л. Physica, 1979, 96A, p. 341. Yildiz A. Phys.Rev., 1974, D10, p. 1796.

52. Schwinger J. Phys.Rev., 1962, 125, p. 397; 128, p. 2425. Schvdnger J. In Proceedings of the Seminar on Theoretical Physics at Trieste,Vienna, 1963.

53. Brown L.S. ITuovo Cim., 1963, 29, p. 617. Sommerfield C.LI. Ann. Phys. (II. Y.), 1964, 26, p. 1. ZuminO B. Phys.Lett., 1964, 10, p. 224.

54. Fischler V/., Kogut J., Susskind L. Phys.Rev., 1979, D19, p. 1188.

55. Рак U.K. Phys.Rev., 1978, D17, p. 3262.

56. Crev/ther D.P., Hamer G.J. Hucl. Phys., 1980, 170B, p. 329. Luescher Ы. Phys.Lett., 1980, 90, p.277.

57. Rrasnikov II. V., I;Iatveev V.A. , Rubakov V.A., Tavkhelidze A.IT., Tokarev V.P. Phys.Lett., 1980, B97, p. ЮЗ.

58. Raina A.K., Y/anders G. Helv. Phys. Acta, 1981, 54, p. 419. Raina Л.К. , Wanders G., Ann. Fnys. (II. Y. ), 1981, 132, p. 404.

59. V/oo G.H. Z.Phys., 1979, C2, p. 165.

60. Love S.T. Phys.Rev., 1981, D23, p. 420.

61. Pinkel stein R.J. , Kvitky J. Ann. Phys. (IT. Y.), 1973, 80, p. 441. Pinlcelstein R.J. , Smit J. Ann.Phys. (II.Y.), 1974, 88, p. 157.

62. Schv/inger J. Phys.Rev., 1971, D3, p. 1967. Schv/inger J. Phys.Rev. Lett., 1967, 19, p. 1501.

63. Schv/inger J. Phys.Rev., 1968, 165, p. 1714; 167. p. 1546.

64. Dittrich V/. J.Phys., 1976, A9, p. 1171. Dittrich \7., J.Phys., 1977, Л10, p. 833.

65. Dittrich V/., Tsai Y/.-Y., Zimmermann K.-H. Phys.Rev., 1979, D19, p. 2929.

66. Dittrich W. Phys.Rev., 1979, D19, p. 2385.

67. Kim Y.D. J.Korean Phys. Soc. , 1979, 12, p. 63.

68. Kim. Y.D. J.Korean Phys. Soc., 1981, 14, p.5.

69. Schv/inger J. In The Physicist's Conception of IJature, ed. by J.Mehra, Dordrecht, 1973, p. 413.

70. Lee B.\7. Ghiral Dynamics, Gordon and Breach, H.Y., 1972.

71. Schv/inger J. Phys.Lett., 1967, 24B, p. 473.

72. Schv/inger J. Phys.Rev., 1968, 167, p. 1432.

73. Schwinger J. Phys.Rev.Lett., 1967, 18, p. 797. Schv/inger J. Phys.Rev.Lett., 1968, 20, p. 516.

74. Schv/inger J. Phys.Rev.Lett., 1967, 19, p. 1501.

75. Schv/inger J. Phys.Rev. Lett., 1967, 18, p. 923.

76. Weinberg S. Physica, 1979, 9бЛ, p. 327.

77. Schv/inger J. Phys.Rev., 1868, 173, p. 1264.

78. Schv/inger J. Am.J.Phys., 1974, 42, p. 507; p. 510. Milton К.Л. Am. J.Phys., 1974, 42, p. 911.

79. Schv/inger J. Gen.Rel. and Grav., 1976, 7", p. 251.

80. Milton К.Л. Phys.Rev., 1977, D15, p. 538.

81. Milton.K.A. Phys.Rev., 1977, D15, p. 2149.

82. Yilmaz H. Ann.Phys. (U.Y.), 1975, 90, p. 256.

83. Rarita 17., Schv/inger J. Phys.Rev., 1941, 60, p. 61.

84. Schv/inger J. Ann.Phys. (1T.Y.), 1979, 119, p. 192.

85. Pinkelstein R. Physica, 1979, 96A, p. 223.

86. Milton K.A., Urrutia L.F., Pinkelstein R. UCLA/78/TER/26, 1978.

87. DeRaad L.L., Jr., Milton K.A., Tsai V/.-Y. Phys.Rev., 1972, D6, p. 1766.

88. Milton K.A., Tsai V7.-Y. , DeRaad L.L., Jr. Phys.Rev., 1972, D6, p. 3491.

89. Tsai V/.-Y., DeRaad L. L., Jr., Milton K.A. Phys.Rev., 1973, D8, p. 1887; 1974, D9, p. 1840.

90. DeRaad L.L. ,Jr., Milton K.A. , Tsai V/.-Y. Phys.Rev., 1974, D9, p. 2847.

91. Dittrich V/. Decay Mode A Source Theory Viepoint,

92. Tubingen, W.Germany, 1976.1.hikav/a K., Milton K.A. Phys.Rev., 1980, D21, p. 1700.

93. DeRaad L.L., Jr., Ivanetich R.J., Milton K.A., Tsai V/.-Y. Phys.Rev., 1972, D5, p. 358.

94. Dittrich \Y. Pair Production in a Constant Pield with Anomalous Magnetic Moment of the Electron, Tubingen,?/. Germany, 1974.

95. Schwinger J., Tsai \7.-Y. Phys.Rev., 1974, D9, p. 1843.

96. Dittrich V/. Phys.Rev., 1974, D10, p. 1902.

97. Schv/inger J. Proc.Hat.Acad,Sci. USA, 1975, 72, p. 1; p. 1559; p. 4725; 1976, 73, p. 3351; p. 3816.

98. Tsai W.-Y. , Milton K.A., DeRaad L.L.,Jr. Phys.Rev., 1975, D11, p. 3537.

99. DeRaad L.L., Jr., Milt on K.A., Tsai V/.-Y. Phys.Rev., 1975, D12, p. 3747; 1976, D13, p. 3166 (E).

100. Schv/inger J. Am.Inst.Phys. Conference Proc. II 28, p. 23, 1976.

101. Schv/inger J. Phys.Rev., 1977, D15, p. 910. Schv/inger J. Phys.Lett., 1977, 67B, p. 89. Schv/inger J. llucl. Phys., 1977, B123, p. 223.

102. Milton К.Л. Phys.Rev., 1980, D22, p. 1441; p. 1444. Milton К.Л. Oklahoma University preprint 136, Stilv/ater, 1982.

103. Фейнберг E.JI. УФН, 1980, 132, c. 255.

104. Демьянов А.И., Мурзин B.C., Сарычева Л.И. Препринт ИФВЭ АН Каз. ССР, 82-04, Алма-Ата, 1982.

105. Phares A.J. Phys.Rev., 1974, D9, p. 920; 1975, D12, p. 2356.

106. Glim J., Jaffe A. Phys.Rev.Lett., 1974, 33, p. 440. Коgut J., Wilson K.G. Phys.Rep., 1975, 12, p< 75. Schrader R. Comm.Math.Phys., 1976, 49, p. 131; 50, p. 97.

107. Hicolai IT. Hucl.Phys., 1978, B140, p. 294; 1979, B156, p. 157;p. 177.

108. Krasnikov II.V. CERIT preprint, TH 3047, Geneva, 1982. Krasnikov 2T.V. , Hicolai IT. Gern preprint, TII 3436, Geneva, 1982.

109. Ландау Л.Д., Абрикосов A.A., Халатников И.М. ДАН СССР,1954, 95, с. 497; с. 773; с. 1177.

110. Vyshensky S.V. JDTR preprint, Е2-82-681, Dubna, 1982.

111. Вышенский С.В. Депонировано в ВИНИТИ 28 декабря 1982 г. & 6376-82.

112. Вышенский С.В., Иванов Ю.П. Сообщ. ОШИ, Р2-82-870,Дубна,1982.

113. Ivanov Yu.P., Vyshensky S.V. JI1TR Comm. ,E2-82-824,Dubna, 1982.

114. Вышенский С.В. В сб. "Тезисы П Всесоюзного рабочего совещания "Гравитация и объединение фундаментальных полей (Киев- 1982)", Изд. ИПП АН УССР, Киев.

115. Вышенский С.В., Иноземцев В.И. Сообщ. ОШИ, P4-8I-327,Дубна, 1981.

116. Schv/inger J. In "Recent Developments in Particle and Pield Theory" ed. by W.Dittrich, V/. Germany, Vieweg, 1979.

117. Hilton K.A. Phys.Rev., 1973, D8, p. 3434.

118. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. "Наука",М., 1977.

119. Redmond P.J. Phys.Rev., 1958, 112, p. 1404.

120. Ю1. Боголюбов H.H., Логунов A.A., Ширков Д.В. ЖЭТФ, 1959, 37, с. 805.

121. Dubnicka S., Ivleshcheryakov V. A., Milko J., J. Phys., 1981, G7, p. 605.

122. Gordin M. Phys.Rep., 1974, 11С, p. 29.

123. Вышенский C.B., Меунаргия O.B. ТМФ, 1980,43, c. 100. Dubnicka S. , Ivleshcheryakov V.A. ITucl.Phys., 1974, B83, p. 311.