Полукольца преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г 6 од

КИЇВСЬКИЙ УНІВКРСитеГ ім. ТАРАОА Ш&маША

2 8 МОИ 1993

, На правах рукопи.,,

Михайлова Ірина Олександрівна

МАЙКИКІЛЬЦЯ Ш'РВТВОРКНЬ 01.01.06 - математична логіка, алгебра та теорій чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата йізико-математичних наук

101 і В - 1993

!'обота виконана п Київському університеті ім. Тараса Шевченка

ЧауковиЯ керівник: доктор •Нзико-математичних наук,

процесор Кириченко Володимир Васильович

Офіційні опоненти: доктор фізико-мотематичних наук,

доцент ІСуруїаченко Леонід Андрійович;

■ кандидат фізико-иатематичних наук,

доцент Мовіков Борис Ролодимирович.

Провідна установа: Львівський університет

Захист дисертації відбудеться -11- _ 1993 р.

в \Ц 00 год. на засіданні спеціалізованої ради К 068.18.11 при Київському університеті ім. Тараса Іііевченка за адресою:

£

м.Київ, проспект акад. Глушкова, механіко-математичний Факультет Київського університету.

Г-/дисертація® можна ознайомитись в бібліотеці університету. Автореферат розповсюджено " , 1993 р.

ПчЄНИЙ секр°тпр спеиічлізпваної рлли

Суданський В.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОКОТИ

Актуальність тем:.! «кзна'іасгмїи зростаті;,!.; інтересу до інін-чсккя будови жРдвкілець перетворень груп, Простота таких май-нвкілець зумовлює труднощі, пов'язані з о<5м.”»-яіістю застосування у цьому випадку класичних ••‘•.•історизаціг-чих мегодін, Глгато рабі? з теорії наґиекілець, ::;о кикомаиі на прагла і останнього десятиріччя ( 'Н1*(-сігипі, Іііаіїиіу, У/и/'і , ■£-(ЛІСЛ та іи.), присвячені розроби: позах нотодіа ( і, зокрема, магрични;: ) ст-руотурної теорії ка?«‘кіяоць. Однак, поки .до ну вдається з достатньої', глибиною врдхунзти Н6ЛІНІІ1НІ ИІЇШКПі, ою виникають пра розгляді маїЧекіяець і, зокрема, м.яГдакілоць парзтгорень. Деякі непі підхоги до подолання згаданих трудноців с^ормува-лагь я роботах $а£іс’&, В.В.Кирпеик.а і ІІ.Ч. Усгика та деа-кях ііггях авторіз. Ці підвода засіювані мп класифікації опара-‘гориих ■дластііГ'хзтч? перетворень груп. їх уастосурання дао мса-ііішість ечуііяїпи та пиячити нові нляги маГо-^кілень тератрп-рваь.

?£ога роботи пслпгас у віірчон.чі структурі; майжекіл^иь пдр"-творень груп па допомогою виділення деякий спеціальних класів ліпмайш»кілець, а такоя ма допомогою тауніші ачипірної •! авторизації чаііжепілапь.

■ Йаукоса ноялана роботи риа»тп?ть'!я тич,' і-з в ні!* огр<’'і-иі тякі нові результати:

- опясаиі сгігоріті чриТчетичит га ст\ктурнї плзсткроєті

майжекілець рядукопанич та вербальних єндомор'їізчіс довільної групи;

- доведеш редукційна теорема про будову майжекільця однорідних перетворень нескінченної циклічної груші;

- описані локальна структура кайгекільця однорідний перетворень вільної аб 'пеЕюї групи скінченного рангу та деяких иентралізаториих п і лнч;,',то кілець цього майжекільця.

Результати роботи мають теоретичний характер і знайдуть застосування в дослдааннях з теорії каЯжекілсць та з теоріз треті.

Загальна методика дослідження, використана в роботі, базується як на класичних загальчоалгебратчних методах, так і на деяких нових редукційних методах теорії иаі’жекілець.

Апробація роботи здійснювалась на Міжнародних конФеренціях ( Новосибірськ - 1009, Київ - 1992), ла VI симпозиумі з теорії кілець, алгебр та коцул і в (Львів - ІК'О) та на алгебраїчних семінарах Київського Університету (І СТО - 1993).

Публікації. Результати дисертації опубліковано з б роботах япгора, перелік лггп'г паиедгн»п п кінці роі-аряту.

Структура та обсяг роботи. /іисзртоціПну роботу викладено і;-"- 77 стер, ммііинопиг.у. Роботи складаються з вступу, двох роз-л\ііп, ідо ніс'.пть язгяпом 8 параграфів, та переліку літератури, и п.мцу цап і-м'чгьгя '?І пчзізп робіт.

- з -

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальні мотивування та огляд результаті» дисертаційної роботи.

У перлому розділ і'роботи редукційними иетодами виьчаються ігаПгекільця редукованих ендоморйізиів і вербальних перетворень груп.

В 51 розділу І наводяться основні поняття теорії маГи.акі-лзць. Разом з тим, детально вивчається поняття редукційної підгрупи майжекільця, цо в основою редукційних методів теорії май-яекілець. ‘

Майкекільцем називається алгебра *■, •) з двома бінарними операціями такими, що А(Л/) = (-*■) - група ( Д -група, або адитивна група майкекільия ) , а М(^)-(^,‘) -напівгрупа (М -напівгрупа, або мультипліїсатикна напівгрупа майжекільця Я) , причому

Ь (и * гг) - іи * іг/

для всіх с,и,1Г Є Л . Через позначається негг|>аль-

ний елемент групи Л(иУ) , а через ^ - елемент, протилежний елементу в групі А(ЛО . Нейтральний еле-

мент (якщо він існує) напівтрупи М(^) позначається че[<ез &Л •

Підгрупа Ы £? /4(іЛ0 називаються редуетііЛноіо, пкіі:о при ' будь-яких Х,Ц Є М , Ы Є. и виконується умонн

5Г^ * (х>шц є и .

Будь-якиі! ідеал довільного маіілекільця за означенням в редукційною підгрупою в своєму майжекільці.

Яшцо (О,*) - довільна група, то чяроз Ц/ЗХС>) позно.-чаєтьея маШкекільце всіх перетворень групи О підносно операцій суперпозиції та покомпог»?нтного підсумовування перетворень. МаОкекільце Ц/ЗХО>) називаються симетричним майкекільцем на групі О .

В §2 винччються деякі гиайжекільця, що породжуються так званими редукованими ендонор'Мзмаки груп, а також майжекільця, ідо породжуються вербальними ендомор'Нзмами груп.

Нехай С - група, Д - нормальна підгрупа групи С> • Перетворення V € Л!0ХСі) називається раду кованим Д--ендоморФізиом (або, коротше, СїїДШОрч^ІЗМОМ) групи О »

якщо '

<р* 0^'А)*/7» Лу є Д

для всіх д,А Є Сз . Нехай £&(&) - множина всіх /?А-ен-доморфізмів групи О? • Покладемо

жл(0 = { уеЕл(С)І досд} .

ії-зс місце

'ГО,)РН.!А. Множина </УЕд(С) тоді іі лише тоді в підмайже-кільцем симетріг-шого иай.токільця иУУ~(С>') , коли

[ Я2ІГ ; у У] Є А

•гоіх Х,уЄ-С , ^ Є Л'Ей(С>) . За цих умов множина

3 = Жл(0)/0 еД] є ідоалсм ма.-ілскьіп,л Жй(в), а фактормайжекільце жл(0/ сУ е кільцем.

Ця теорема знаходить СВІЙ розвиток при рОЗРЛДНІ ТаК званих -ендоморЬіізу.ів груп. Через Ча , Ш - ціле, позначимо перетворення групи О , яке визначимо рекурсивно: ^0 - ,

1 =?*9У—^ • •

Перетворення V £ назвемо л)(1 -иь'диі.іорріамом групи

СІ ( ^ - ціле), ЛІ'ІІІО Чі'/' = (/’Уа . Юч -КОМуТаїОрОІД еле-

ментів Л,'#' групи О НйЗООМО ИЛсМУНТ с,ч(і£ 1 IX) — и.У,^* *(и‘1')ї'п‘ І/У^ , а %)а -комутантом груші О - підгрупу С-л(Сі) , що породжується всіма Юд -комутаторами Ся(иі'іт) , и,?гєС) . Сп(0 - нормальна в С , н С'і/СаСС) -$)л-комутативна група {або П -абалеьа за тс-р^інологією ра, що ввів це поняття). $)„-кому і'ативішші с груші, ь нки> виконується тотожність і тільки та-

кі групи. ^-комутативні групи (під мааном гі -аоеяоміх ) вивчились я роботах Л.А.ІЬлучніпа, Г.А.іїараеьовл, Н.М.Коі'ЛОва та іншіх авторів. Поклчдомо

ТСп(С)-{<*єЛ№) І їд.х е а і у. х*} є Сп(С>)} ,

$п(@)-(Г/ГСі(С)1 Уи,и Сі ач' • (а •:?)ч * є. С„(С>)], К(С) К(С) / О V € Сп(0)} . .

ТЕОРІь’МА, Ш&) с підмай^екільцем в и\У(0) , а

К«% - ідеал в . При цьому Існуп МОМО!'.'ОР4>ІЗ!4

р : Ї)°(С)/ЇХ(С) —МС/СхСО)

-ендоморФізми с частинним випадком поняття вербального єпдомор'Чзму груп». А саме - нехай ... ,Хт) - групове слою в а^єтііі X - , ■■■ , Перетворення V Є ^3~(С>)

назвемо \^у--ендоморфізмом (вербальним ЇМ -яндоморгрізмои), якщо (ги(х,<Г, ...,зіпС'))>ґ = гог(зс.і?<?, ..,сс.тру') при будь-яких ' значеннях Х/Г Є б ЗМІННИХ 2?і Е О . $)-і -ендомор-

Фізми є, таким чішоч, 14п/х) -овдоморфізмгки, де 5Л(з:) -=• .

З 53 розглядаться -еидоморї'іош груп длл групового

слова 'НУ- ж*у * ’і. . Такі взрйапьяі євдоаорїіісми названі із

роботі ■ -ендомсртізчйміі. Отримується описшгля майяекільця -ендоморіТіісміс довільної «белепої групи у вигляді підмай-■усктльця маіїжекільця її атфінних перетворені.

Заключні И» §5 розділу І містять результати, пов'язані о докладним випчєнита найжекільця перетворень адитивної групи // кільця цілих чиоел. При цьому в §4 бкклодєкі наобхідні поняття й результати редукційної теорії адитивної фзкторизації їиаґкокілець. Головним при цьому, разом з поняттям редукційної підгрупи о поняття псевдотрансляції майгокідьця. Адитивний ч:і-Я'Чіорйіам & майкекільця $ називається його поевдотранс-лі'!!іся. якщо

( х-и)ІЇ ~ ( х.£>. • у)!іш

.плі; всіг Л', і/ Є Л . 0 §4 наведені результат:;, про розмая , п ідуміютеатімиї: і!Соадотршкшщігми у кайдакільиє-

ву конструкцію типу напівпрямого добутку. Ця конструкція, названа i/Vi?-добутком, застосовується в §5 до вивчення майяе-кільця перетворень групи і? . А саме: Hexaft Jt— JV^(X') -майкекільцо однорідних перетворень групи /£ ' , (сс.уі - остача, а ('х)З. - неповна частка від ділення на П>0 Сфіксована ціле ) , Rn={OJ, , Покладемо

яч>=(хщ((ія.і)гч>+ (ixnoysv^)} t ,/L0 ~{?ejz I ,%!/> ~oj ,'

до (X)ifl - знак чгіола ХЄЖ • Елементи з названо доско-

налими л)а -ендоморфізмами групи Ж , а елементи з Л.о -януяяторамя лишків за модулем Я . Лп і Ми,о - підгрупи адитивної групи канженільця М .

"БОРЕМ. Майкєкільцс однорідних перетворень гру-

ія А. е jy$i—добутком підгрупи досконалих ?^>п. -ендомор-

иізїлііз і підгрупі? ануляторів лкпяів за модулем Гі для когаю-го ҐІ €. //. , /2 > О ,

З цієї теореми итнливае відповідний наслідок про розклад з jYSl-добуток ‘<айк9іпльця -ендог/ерйігмів групи £. ,,

Основним об'єктом вивчення в другої/у розділі роботи е маимкільце однорідних перетворень вільної абелевої групі! скінченного ргшгу. З §51,2 розділу II будуються тая звані гЛ$?-спо-лукй - зовнішня иійлекілшева конструкція, що дозволяс гавкати симетричні чдйкекільця ;;а прялих добутках груп. При розгляді в {З розділу II Ч?ПТ!ЄТ.-ІЛЬЦЯ ’N .//5Г (VIл. ) однорідних перетворень

групи конструкція ЛМ-с [іолук дозволяє ото-

тожнювати елементи ЄєЛ з матрицями

\<ї> ) ' -де ^ -=3.^^ , &с - канонічна проекція групи 01п на

К -ту пряму компоненту, = З-іУ-О],

є }а={У,2,,..,/2]. Цри цьому маГгаекільцеві операпії виконуються за правилами

'ЧЛ /,л'Л <<!?) {■“%>/■ ( <4'"^,

І \ /' і \ і' [ 1 ‘ (,'у ' £, !Г„ ]

.<£>/ -/'7'/ \<и; V?* '(сг>,

де

4Г= е^ес*© ,..©^ ,

Сс = *”« * ’ С,і ' Г/ ,

ЛЗГ = е/© с£© • ••©££,

Зображення майжекільця «УИ , ідо отримується при цьому, разом з результатами §5 розділу І утворюють описання локальної структури майяекільця ^-Л^оС^гі) . Це описання в §3 розділу II застосовується до вивчення централізаторних підмайжекілець майжекільця Підмайжекільце /? симетричного майжекільця на групі С> називається

5 -централ ізаторнш (де 3 - підналівгрупа напівгрупи

бгиіа,-) , коли У4.-<к,У для всіх /Р, об £5 . Нехай

£, і О і О О І ... і О

Е - І о ■, О; ... ;£„

<0 ; 0 \ ... ; 0 >

Має місце *

ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо 3 ~ ^.ПіІ , то 5 -централізаторне підмайжекільце майжекільця г//співпадає з множиною перетворень вигляду

Е \

, те І .

< 0>

риць,

Нехай С - група всіх мономіальних П.х П -мат Оп - симетрична група степеня п ,

*-{(*") І МЄС. т, І].

Миоштп. ТЇЇЬ с піднапівгрупою напівгрупи бпсі Шп . Через ЖеОЛп') позначимо ш -центрпл ізаторнп иілмаітжекільце ^

маїшзкільця Ма(Ш ) , а через 6ij - природній ізоморфізм Mis і -ю та j -ю прямими компонентами групи Ша . Покладемо ,

1b*={?e$)(l/laiZ)lVreWtV$eSa (£,?£,s+..■+з:л(г£ч')у>=(ра-} ,

tee місце

ТЕОРЕМА.

ЛЩШл) = 1(^)]тє1,Єе7к)

РОЮТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Михайлова И.А. 0 полиномиальных почтикольцах// Сибирская піїсола по многообразиям алгебраичзских систем,: Тез. докл,-Барнаул, 1588,- а,48.

2. Михайлова И.А. Об аффинных палупочтикольцах// Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева: Тез. доил, по теории колец, алгебр и модулей,- ИМ СО АН ССОР,-Новосибирск, 1989,- с.69.

3. Кириченко В.Б., Михайлова И.А. Предпряшэ произведения почтиколец// VI Симпозиум пс теории колец, алгебр и модулей: Таз. сообщ,- Львовский госуниверситет им. И.А.Франко, Институт

. прикладних проблем механики и математики АН УССР,- Львов, 1990.-

а.65.

4. Михайлова 11, А. О матричных поптикольцах// Международная кок^зрзнцмя, посвященная памяти академика М.П.Кравчука (?2 - 28 сентября 1992 г.): 7оз. докл.- ИМ АН Украины,- 'Спев, 1992,-с.134.

5. Михайлова И.Д., Усенко В.М. О взрбплышх преобразованиях/ Киев, ун-т.- Киев, 1993,- 19 с.- Доп. в УкрЛНТРИ 26.01.93, -•Й9-Ук93.

6. Михайлова И.Л. О почтикольцах редуцированных Рндемор?из-ков/ Ниеэ. ун-т,- Киев., 1992.- II с.- Деп. в УкрИШИ 22.13,92, .‘?2025-Ук?2.