Полусовершенные кольца и их свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

\ На правах рукопису

УДК 512.552.1

МАЩЕНКО Людмила Зіновіївіт

НАПІВДОСКОНАЛІ КІЛЬЦЯ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

01.01.06 — алгебра та теорія чисел .

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на одо буття наукового ступеня кандидата фіоико-математияндх наук

Київ - 1997

Дисертацією в рукопис.

Робота виконана у Київському державному університеті ім.Тараса Шевченко.

Науковий керівник доктор фіаико-математчних наук,

. професор Кириченко В. В.

Офіційні опоненти : доктор фізико-матемаличних наук, професор Міхальов О.В. (Росія).

кандидат фіаико-иатеиашчних наук, доцент КомаряицъкиЯ М.Я.

Провідна установа : Харківський державний університет

Захист відбудеться 17 червня 1997 року о 14-й годині на засіданні спеціалізованої ради Д 01.01.01 при Київському університеті ім.Тараса Шевченка за адресов : 252127 Київ-127, проспект

Академіка Гдушкова 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці університету за адресою м.Київ, вул.Володширська, 58.

. Автореферат розісланий 1997 року.

Вчений секретар спеціалізованої ради

Атуальвісяь печи. Дисертація, присвячена вивченню властивостей напівдосконалих кілець, які пов'явані в будовою рівних типів сагайдаків цих кілець.

Теорія кілець бере овій початок, в одного боку а спроб ува-гашьненкя поняття комплексного числа, а в Іншого боку дуже важливою для розвитку цієї теорії була теорія алгебраїчних чисел, побудована Дедекіндом і Кронекером. '

Теорії скінченновимірних алгебр присвячено роботи Веддер-Оарна, Моліна, Е.Картана, Фробеніуса та багатьох інших.

Новий етап розвитку теорії кілець було започатковано працями Артіна, Е.Нетер, Врауера, Кете, Аоано, Накаями та інших, які розглядали кільця 8 умовами обриву ланцюгів ідеалів.

В 1068 р. Л.А.Скорняков ввів важливий клас налівланцогових кілець, який містить клао однорядних кілець Кете та клас ува* гальиеггно однорядних кілець Накаями.

Налівланщогові кільця в напівдосконалими кільцями. Налівдсюконалі кільця Лудо введено в 1960 році американським математиком Бассом. ,

В 1в72 році в вв'ягку в вадачами теорії зображень П.Габрі* вяь ввів поняття сагайдака скінченновимірної алгебри. В.В.Кири-*Шко первніа це поняття на випадок напівдосконалих кілець і ввів поняття первинного сагайдака напівдосконалого кільця. Методи теорії Сагайдаків виявились дуже корисними в структурній теорії кі-

АЄЦВі ’

Вперш* Рояятм сагайдака напівдоокойалогб кіл»ця було васто-

- 4 - ■

совано для характерівації нетерових напівланцюгових кілець. В цьому випадку сагайдаки повніотю характеризують такі кільця.

Більш складні класи, напівдосконалих кілець вже не еавзди повністю характеризуються Судовою сагайдаків, но в багатьох випадках властивості сагайдаків дають важливу Інформацію про будову кілець. Так, ^наприклад, сагайдаки спадкових напівдосконалих на-півдистрибутивних кілець завжди ациклічні, а сагайдаки нетерових напівпервинних напівдосконалих нерозкладних кілець сильно вв'язні.

В роботах В.В.Кириченка, П.П.Костюкевича, В.В.Могильової,

З.П.Халецької, Ю.В.Яременка та інших методи теорії сагайдаків застосовувались для вивчення бірядних та багаторядних кілець, спадкових та напівспадкових кілець, напівпервинних та слабопер-винних кілець.

/Ша робот. Одержати теореми розкладу лля різних класів напівдосконалих кілець, вивчити будову сагайдаків квазіфробеніусо-йих кілець та будову ідемпотентних ідеаяів напівдосконалих кілець, дати опис горенштейнових напівмаксимальних трикутних та (ОД)-кілець.

Методи дрелідяеиь. О нову досліджень складають методи теорії сагайдаків та методи теор.ї кілець і модулів.

Наукова вотваа. В роботі отримано такі нові результати :

- вивчено будову ідемпотентних Ідеалів напівдосконалих кілець, які задовольняють умові Накаями; ■

- вивчено будову нетерових напівдосконалих напівдистрибутивннх кілець', е яких кожен нерадикальний ідеал в ідемпотентним;

- одержано тереми розкдаду для.ріаних класів напівдосконалих кілець;.' '

- доведено, ¡од сагайдак квагіфроСеніусова кільця сильно зв'язний;

- Б -

- вивчено будову напівмаксимальних горенштейнових трикутних та

(0,1)-кілець та їх сагайдаків.

Тсорстмпа та практична ці шість дисертації полягав в розвитку методів теорії сагайдаків в структурній теорії кілець. Вони можуть бути використані для подальших досліджень в цій теорії. Воі одержані в дисертації результати мають загально-теоритичний характер і їх прямого практичного використання не передбачається.

Апробація робот. Результати дисертації доповідались на міжнародній науковій конференції, присвяченій 100-Ьіччи 8 дня народження М.Г.Чеботарьова (Казань, 1994); п'ятії міжнародній конфе-' ренції ім.ак.М.Кравчука (Київ, 1995); міжнародній конференції "Representation theory and computer algebra“ (Київ, 1997).

Нумерація теорем, тверджень, наслідків в авторефераті співпадав з їх нумерацією в дисертації.

Публікації. По темі дисертації опубліковано п'ять наукових робіт, описок яких наведено в кінці автореферату.

Об’єм і струїтура робот : Загальний обсяг дисертації становить 101 сторінку машинопису. Дисертація складається із вступу та 13 підрозділів. Список використаних джерел містить ЗБ найменувань.

З И І С Т РОБОТИ .

У вступі обгрунтовано актуадьніоть проблематики дисертації, наводиться короткий огляд робіт за гемою дисертації, характеризуємся зміст роботи і її основні результати.

Дисертаційна робота складається в вступу та трьох глав.

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації та викладена її вміої. • .

У першій глайі наводяться Необхідні'для нас ідомості 8 тео-

- в -

рії кілець і модулів та теорії сагайдаків.

Всі кільця, шр розглядаються в дисертації, асоціативні в

1*0.

Під модулями, якщо не оговорено протилежне , розуміємо унітарні праві модулі.

В першому параграфі дається означення напівдосконалого кільця і викладаються критерії напівдосконалооті кільця.

Другий параграф присвячено викладенню теорії проективних накрить.

В третьому параграфі даються загальне означення оагайдака напівдосконалого кільця, побудованого по ідеалу, означення первинного сагайдака налівдосконалого кільця та означення сагайдака Пірса. Наводяться приклади, яки іллюструють ці поняття.

В четвертому параграфі розглядаються досконалі кільця, які також вперше введені Бассом. Добре відомо, що кільце є досконаліш тоді і тільки тоді, коли воно є напівдооконалим і радикал ДжвкоА-сона цього кільця е Т-нІдьпотентним справа і зліва.

Відмітимо такі результати. •

ТЕОРЕМА 4.Б. Досконие справа иалівпорвинне кільце А 5 на-півпростим артиновим кілі ієм. Навпаки, напівпрооте артинове кільце є досконалим напівпершнним кільцем.

НАСЛІДОК 4.В. Радикал Джекобсона і первинний радикал досконалого справа кільця співпадають.

НАСЛІДОК 4.9. Якщо а нетерове справа 1 досконале справа кільце, то РЧ(А) одержується в Ц(А) заміною всіх стрілок, ир йдуть а однієї вершини до іншої (молитво співпадавчей з початковою) однією стрілкою.

Друга глава.дисертації присвячена теоремам розкладу досконалих та напівдосконалих кілець в прямий добуток нерозкладних кі-

лець.

Термін "сагайдак", вгідно а термінологією Габрізля, овначйа . скінченний орієнтований граф. >

П'ятий параграф присвячено викладанню основних фактів про сагайдаки. При цьому широко використовується теорія матриць з невід'ємними коефіцієнтами."

Позначиш через вершини сагайдака Ц і припустимо, що

існув рівно Ьц стрілок між вершинами і та і. Черев СЦ] будемо позначати матриц» суміжності сагайдака Ц і >

СЦ] -

іц ... ііа Ьді ... Ьаа

ОЗНАЧЕННЯ 6.1. Матриця ВеМп(І?) називається порестшювочпо ввідзоа, якщо існує перестановочна матриця Р така, щр

%ТВ%

Ві Віз 0 Вг

де Ві 1 Вг - квадратні матриці порядку меньшого ніж п. В протилежно^ випадку матриця називавться лерестшкжмпо пеовідпов.

ОЗНАЧЕННЯ В. 2. Скінчений орієнтований граф (сагайдак) називається сильно пп'яятш, якщо в орієнтований путь між будь-якими його вершинами.

* Ф.Р.Гантмачер, Теория матриц М і Наука, 1967.- 676 с.

ТШ'ДНЕШИ 5.1. * Сагайдак Ц сильно зв'язний годі і тільки

тоді, коли його матриця сумішості [ф перестановочна незвідна.

Відмітимо, що при перенумерації т вершин сагайдака Ц матриця [СЦ переходить в матриц» Ц?Щ1Р.

ТВЕРДШИЯ 5.2. Існує перестановочна матриця Р така, до

PTtQ]P

Ві Big О Во

0 0

■ • Bit

■ • B2t

.. Bt

де матриці - перестановочно кєавідні.

ТБЕРДШЗШ G.S. Сагайдак Q є ациклічним тоді і тільки тоді, коли існує перестановочна матриця Р така, що

Рт СОЗР

о * о о

о о о о

0 л 0 Q

ЇВЕРДЙЕШИ 5.8. Нехай сі - сильно зв'язний сагайдак і максимальне додатне власне число матриці СРЗ - дорівнює одиниці. Тоді сагайдак Ц співпадає з простим циклом Сп. Навпаки, якщо Сп -простий цикл, то максимальне додатне власне число матриці ССП' дорівнює одиниці. ’ . ’

S3

* Lankaster P., .Theory of matrices, Academia Press, Hew York London, 1969, 320 p.p.

ОШІДЧЕШШ 5.9. Нумерацію вершш сагайдака Q будемо називати сетяндаряпоет, якщо матриця CQ] має вигляд

CQ]

Bl * . *

0 в2 . .. * ■к

0 0 .. . Bt.l л

0 0 .. . 0 Bt

де матриці перестановочно незвідні, та координати до-'

датніх власних векторів 2і,...,2? лінійно впорядковані за величиной. .

ОЗНАЧИШ 5.10. Сагайдак будемо називати правильтш, якщо будь-яка нумерація його вершин є стандартною.

ТЕЕРДШШЯ 5.11. Правильніш зв'язний сагайдак Ц в сильно зв’лгпш сагайдаком. ■■

В шостому параграфі доводиться теорема розкладу для налів-досконалих кілець, яка базується на властивостях сагайдака Пірса та дазться два варіанти теореми ВеддерОарна-Артина.

Нехай В » СГ(А)3 - матриця суміжності сагайдака Пірса напів-досконапого кільця А, прігчому нумерація вершин сагайдака Г(А) стандартна. Тому

Ві

0 .

0

0

Bt-1 *

0 Bt

(*)

*

де матриці Ві,..., Bt перестановочно неввідні, та координати додатній власник векторів zî,..., zf, які відповідають максимальним додатнім власним значенням матриць Ві,..., Bt лінійно впорядковані за величиною.

ТЕОРША 0.1. Нехай А - напівд^сконале кільце і В = СГ(А)] маз вигляд (*). Тоді існує розклад ІєА в суму попарно ортогональних ідемпотентів : 1 » si + ■•■ + St такий, пр

t

А » © gTiAg-j

двосторонній пірсовський розклад, де g-іAgrj « 0 (j<i) і матриці

суміжності оагайдаків Г(Аі) кілець Ai = ЄіАді співпадають з Ві (і ■ 1,..., t).

ТЕОРЕМА 6.S. Наступні умови рівносильні для напівдосконалого

<9

кільця А :

(1) сагайдак Г(А) в незв'язним об’єднанням точок;

(2) кільце А ізоморфно скінченному прямому добутку повних маїричних кілець над тілами.

ТЕОРША 6.4. Наступи умови еквівалентні для нетерова справа напівдосконалого кільця А :

(1) сагайдак Q(A) є незв'язним об’єднанням точок;

(2) кільце А Ізоморфно скінченному прямому добутку повних матричних кілець над тілами. .

Відмітимо наступний результат з сьомого параграфу.

НАСЛІДОК 7.3. Досконале кільце А єдиним чином розкладається у скінченний прямий добуток кілець Ді,.!., Ащ із зв'язними первинними сагайдаками.

Основним результатом восьмого параграфу в теорема 8.1., яка формулюється для довільного (не обов'язково напівдосконалого)

кільця.

TEOPHtA 8. і. Наступні умови рівносильні для кільця А з Т-нільпотентним первинним ради'злом :

(a) кільце А нерозкладне;

(b) фактор-кільце А/Iй нерозкладне.

У дев'ятому параграфі розглядаються ідемпотентні ідеали на-півдосконалих кілець.

ОЗНАЧИШ 9.4. Будемо казати, ш.о кільце к вадовільняє’ лівій ушві Накаями для ідеалів, яісцо для довільних ідеалів Ji і J2 кільця А з рівності Ji +■ RJ2 = J2 вгаїлгазає, що Ji = J2.

ТЕОРЕМ 9.3. Нехай напівдосконале кільце А задовільняв лівій умові Накаями для ідеалів. Тоді кожний ідемпотентний ідеал J мав вигляд J = fAf, де f - ідемпотент, центральний sa модулем радикала Джексбсона R кільця А. '

Нагадаємо, що s означав число попарно неізоморфних нерозкладних проективних модулів над напівдосконалим кільцем А.

ТЕОРЕШ 9.4. Нехай напівдосконале кільце А еадовільняє лівій умові Накаями для ідеалів 'і нехай кожен нерадикальний ідеал в ідемпотентним. Тоді s < 2.

ТііОРВїЛ 9.6. Нехай А нетерове справа нерозкладне напідосконале напівдистрибутивне кільце. Якщо кожен нерадикальний ідеал кільця А в ідемпотентним, то яільце А нетерове напівланцюгове кільце і сагайдак 0(A) кільця А містить не більш двох вершин. Навпаки, якщо сагайдак напівланцгагового нерозкладного нетерова кільця містить не більш двох вершин, то кожен нерадикальний ідеал цього кільця s ідемпотентним.

В десятому параграфі надається означення частково впорядкованої множини, в'язки, наведені приклади комутативної та некому-тативної в'язки.

- 12 -

Результатом §10 є твердження 10.2.

ТЕЕРДЖЕШЯ 10.2. В’язка Л(А) усіх ідемпотентних ідеалівнапів-досконалого к’ яьця А, яке задовольняв лівій умові Накаями для іде-аліЕ, відносно операції додавання ізоморфна напівструктурі усік підмнажин ¡.шатни в Б елементів відносно операції об’єднання.

Метою третьої глави є опис горенштейнових напівмакоимапьних трикутних та (О.І)-кілець та вивчення сагайдаків квазіфробеніусо-вих кілець. .

Одішнадцятий параграф приовячен напівмаксимальним кільцям. Наяівдосконале напівдистрибутивне (справа) кїльце будемо називати БРЭБ (ЗРЗБИ) - кільцем.

ТЕОРЕМА 11.1. * Наступні умови рівносильні для нетерова

справа напівпервинного напівдосконаяого кільця А:

(а) кільце А є БРЗО-кільцем;

(б) кільце А в прямим добутком напівпростого артинова кільця

та напівмаксимального кільця.

ТЕ0РВ1А 11.2. ** Наступні умови рівносильні для напівпервин-ного напівдосконалого нетерова кільця А:

(а) кільце А є БРЗОК-кільцем; '

(б) кільце А є прямим добутком напівпростого артішова кільця

та напівмаксимального кільця.

Наступна теорема дає опио напівмаксимальних кілець.

* Кириченко.В.В., Хибина H.A. Полусовершенные полудисгрибутив-ные кольца //Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры.-Киев : Ин-т математики, 1993.-C.457-4S0.

** Кириченко В.В., Пащенко З.П. О полупервичных полусовершенных кольцах дистрибутивно-представленчвского типа //Алгебраические

исследования, сборник статей, Институт математики НАН Украины, Киев, 1996 г.- с.65-76.

TE0PEL1A 11.3. " Довільне напівмаксимальне кільце ізоморфно СІСІНЧЄНОі(!У прямому добутку первинних кілець вигляду :

де п > 1,0- дискретно нормоване чідьцз з простім еденектаі.1 tí , «і, - цілі раціональні числа, причому + «ji- )atk для усіх і» j, k ( Сі і і ■■ 0 яри і-l...n). Таке кільце нетерове В ДЕ ох сторін.

У дванадцятому параграфі дається опис геренштейнових триісуг-шіх та (0,1)-кілець.

ТЕОРЕМА 12.і. 4 Наступні умови рівносильні для паліЕмакси-каяьіюго первинного зведеного кільця А :

(а) кільце А - горемитешозе;

(б) іскув підстановка і * б (і) чисел 1,...,п така, ідо

«ік + йкГ(і) ” Д“я будь-якого і.

ТЕОРЕМА 12.2. Будь-яке трикутне горенштешюье кільце А -“ •íC«ij)tQ> еквівалентно в сенсі Мор і ти кільїдо вигляду

0 іЄ а - /^0" 0

/стд • • • ОТ

* Завадский А.Г., Кириченко В.В. Модули без кручения над первичными кольцами //Зап.науч. семинаров ЛОМИ АН СССР.-1976.-57.-с.100-116. .

Ак

сг и сг

л Ї к

71*0 яЧГ и

де к>і. •

Навпаки, кільце А* є горенштейновим кільцем при довільному

к>і.

ТЕОРЕМА 12.3. Будь-яке введене горенштейнове (0,1)-кільце А ізоморфно кільцю Нт(0) або кільцю 02т(О). Навпаки, кільця Нщ(0) та б2т(0) в горештейновими (0,1)-кільцями.

ТЕОРЕМА 12.4. Сагайдак гореншгейнового трикутного (*), або (0,1)-кільця (**) в бірядним. В випадку (*) - це проотий цикл а петлями в кожній вершині або проотий цикл. В випадку (**) це або простий цикл з матрицею суміжності Сп або бірядний сагайдак, що задається блочною матрицею суміжності

Сп/2

Сп/2

СпУ 2

Сп/2

і який існує тільки для парних п.

В тринадцятому параграфі розглядаються квавіфробеніуоові кільця. Основним результатом цього параграфу в наступна теорема.

ТЕОРЕиА 13.1. Сагайдак Q(A) нерозкладного ОҐ-кіяьця А сильно вв'язний. Навпакі, для довільного сильно вв’яеного сагайдака Р існує скінченновимірна ЦР-алгебра А така, ар £}(А) - Ц. .

~lS ’

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТИМ ДОСЕРТАЦІЇ

1. Кириченко В.В., Мащенк- Л. Колчаны квавифроСениусових ко-

лец // АлгеОра и анализ. Тевисы докладов международной научной конференции посвященной 100-легии оо дня рождения Н.Г.Чеботарева (Б-11 тоня 1094 г., г.Кавань), 1994. С.49. •

2. Мащений Л.. Сагайдаки горенштейнових кілець //П'ята Міжнародна конф. ім. ак. М. Кравчука, теа.доповід. -Київ,-1998,-0.277

3. Мащенко л. Ґоренштейнові напівмаксимальні кільця //Київ,-Вісник Київського університету - 1905 - N2 с. 41-52.

4. L.Z.Msschenko Semi-perfect rings in which every ideal із ideir,potent'//Mathematyohni Studii.-7, N2, -1997- p.p.131-134.

5. V.V.Kiriohenko, UZ.Masohenko, Yu.V.Yaremenko. Finite oriented graphs and structural ring theory ft Representation theory and computer algebra,(Kyiv, March 18-23),-1097. p.p.23-24.

Югачов! cajsa : кільце, модуль, оагайдак, первинний сагайдак, сильно зв’явний оагайдак, иапівлаицюгове кільце, папівдист-рйбу.ивне кільце, горенитейновэ кільце, квавіфробениусове кільце.

Мащенко Л.З.Полусовершенные кольца и их свойства. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ю специальности 01.01,06 - алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1S97.

• В диссертации получены теоремы разложения для различных классов полусов ершенных колец. Доказано, что колчан квазифробени-усова кольца сильно связен. Изучены идемпотентные идеалы полусо-вершенных колец, удовлетворяющих условию Накаямы. Описаны нетеро-вы полусовершенные полудистрибутивные кольца, в которых каждый нерадикальный идеал идемпотентен. Изучены горенштейновы полуыак-симальныз треугольные и (0,1)-кольца и их колчаны.

Maschenko L.Z. Semi-perfect rings and their properties. The manuscript. Thesis of the dissertation for obtaining: the degree of the candidate of sciences in physios and mathematics speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1997.

Decomposition theorems for various classes of semi-perfeot rings are obtained in the dissertation. It was proved that the quiver of a quasi-Frobenius ring is strongly connected. Idempotent ideals of semi-perfect rings with Nakayama condition are investigated. Noetherian semi-perfect semi-distributive rings such that every their non-radioal ideal is idempotent are described in the dissertation. Gorenstein semi-maximal triangular and (0,l)-rlngs end their quivers are studied.